Bagian: Matematika

Target: Belajar melakukan operasi perkalian dan pembagian pecahan aljabar.

Bentuk pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.

Metode mengajar: bermasalah, dengan pencarian independen untuk solusi.

Peralatan: Komputer, proyektor, handout untuk pelajaran, meja.

Selama kelas

Pelajaran dilakukan dengan menggunakan presentasi komputer. (Lampiran 1)

. Organisasi pelajaran.

1. Persiapan bagian teknis.

2. Kartu untuk pekerjaan berpasangan dan pekerjaan mandiri.

. Memperbarui pengetahuan dasar untuk mempersiapkan studi topik baru.

Secara lisan:

(Jawaban ditampilkan menggunakan komputer.)

1. Berkembang biak:

2. Kurangi pecahan:

3. Perkalian pecahan:

Disebut apakah angka-angka ini? (Angka timbal balik)

Temukan kebalikan dari suatu bilangan

Dua bilangan apa yang disebut kebalikan? (Dua bilangan disebut resiprokal jika hasil perkaliannya adalah 1.)

Temukan timbal baliknya:

Bagi pecahan:

Kami mengucapkan aturan untuk mengalikan dan membagi pecahan biasa. Sebuah poster dengan aturan dipasang di papan tulis.

. Topik baru

Mengacu pada poster, guru mengatakan: sebuah, b, c, d- dalam hal ini nomor. Dan jika ini adalah ekspresi aljabar, apa yang disebut pecahan? (Pecahan aljabar)

Aturan perkalian dan pembagiannya tetap sama.

Jalankan tindakan:

Contoh pertama dan kedua dilakukan sendiri, dilanjutkan dengan siswa menuliskan penyelesaiannya di papan tulis. Guru menunjukkan solusi dari contoh ketiga di papan tulis.

V. Penahan

1) Kerjakan buku soal: No. 5.2 (b, c), No. 5.11 (a, b). halaman 32

2) Bekerja berpasangan pada kartu:

(Keputusan dan jawaban tercermin melalui proyektor.)

V. Ringkasan pelajaran

Pekerjaan mandiri.

Lakukan perkalian atau pembagian:

Opsi		Varian

Siswa menyerahkan buku kerja mereka.

VI. Pekerjaan rumah

5.8; 5.10; 5.13 (a, b).

Contoh.

Temukan produk dari pecahan aljabar dan.

Keputusan.

Sebelum melakukan perkalian pecahan, kita memfaktorkan polinomial pada pembilang pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua. Rumus perkalian disingkat yang sesuai akan membantu kita dengan ini: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 dan x 2 1=(x−1) (x+1) . Dengan demikian, .

Jelas, pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi (kami membahas proses ini dalam artikel tentang pengurangan pecahan aljabar).

Tetap hanya untuk menulis hasilnya dalam bentuk pecahan aljabar, di mana Anda perlu mengalikan monomial dengan polinomial dalam penyebut: .

Biasanya, solusinya ditulis tanpa penjelasan sebagai urutan persamaan:

Menjawab:

.

Terkadang dengan pecahan aljabar yang perlu dikalikan atau dibagi, beberapa transformasi harus dilakukan untuk membuat implementasi operasi ini lebih mudah dan lebih cepat.

Contoh.

Bagilah pecahan aljabar dengan pecahan.

Keputusan.

Mari kita sederhanakan bentuk pecahan aljabar dengan menghilangkan koefisien pecahan. Untuk melakukan ini, kami mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 7, yang memungkinkan kami untuk membuat properti utama dari pecahan aljabar, kami memiliki .

Sekarang menjadi jelas bahwa penyebut pecahan yang dihasilkan dan penyebut pecahan yang perlu kita bagi adalah ekspresi yang berlawanan. Ubah tanda pembilang dan penyebut pecahan, kita mendapatkan .

Pada artikel ini, kami melanjutkan studi kami tentang operasi dasar yang dapat dilakukan dengan pecahan aljabar. Di sini kita akan mempertimbangkan perkalian dan pembagian: pertama kita menurunkan aturan yang diperlukan, dan kemudian kita menggambarkannya dengan solusi masalah.

Cara membagi dan mengalikan pecahan aljabar dengan benar

Untuk melakukan perkalian pecahan aljabar, atau untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kita perlu menggunakan aturan yang sama seperti untuk pecahan biasa. Mari kita lihat kata-kata mereka.

Ketika kita perlu mengalikan satu pecahan biasa dengan yang lain, kita melakukan perkalian pembilang dan penyebut secara terpisah, setelah itu kita menuliskan pecahan terakhir, menempatkan produk yang sesuai di tempatnya. Contoh perhitungan seperti itu:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

Dan ketika kita perlu membagi pecahan biasa, kita melakukannya dengan mengalikan dengan kebalikan dari pembagi, misalnya:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Perkalian dan pembagian pecahan aljabar mengikuti prinsip yang sama. Mari kita rumuskan aturannya:

Definisi 1

Untuk mengalikan dua atau lebih pecahan aljabar, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut secara terpisah. Hasilnya adalah pecahan, yang pembilangnya adalah perkalian dari pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian dari penyebutnya.

Dalam bentuk literal, aturan tersebut dapat ditulis sebagai a b · c d = a · c b · d. Di sini a , b , c dan d akan polinomial tertentu, dan b dan d tidak boleh nol.

Definisi 2

Untuk membagi satu pecahan aljabar dengan pecahan lainnya, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.

Aturan ini juga dapat ditulis sebagai a b: c d = a b d c = a d b c . Huruf a , b , c dan d di sini menunjukkan polinomial, di mana a , b , c dan d tidak boleh nol.

Mari kita membahas secara terpisah tentang apa itu pecahan aljabar terbalik. Ini adalah pecahan yang, ketika dikalikan dengan aslinya, memberikan unit sebagai hasilnya. Artinya, pecahan seperti itu akan mirip dengan bilangan yang saling timbal balik. Jika tidak, kita dapat mengatakan bahwa pecahan aljabar terbalik terdiri dari nilai yang sama dengan yang asli, tetapi pembilang dan penyebutnya terbalik. Jadi, dalam kaitannya dengan pecahan a b + 1 a 3, maka pecahan a 3 a b + 1 adalah invers.

Menyelesaikan masalah perkalian dan pembagian pecahan aljabar

Dalam paragraf ini, kita akan melihat bagaimana menerapkan aturan di atas dengan benar dalam praktik. Mari kita mulai dengan contoh sederhana dan ilustratif.

Contoh 1

Kondisi: kalikan pecahan 1 x + y dengan 3 x y x 2 + 5, lalu bagi satu pecahan dengan pecahan lainnya.

Keputusan

Mari kita lakukan perkalian terlebih dahulu. Menurut aturan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut secara terpisah:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Kami telah menerima polinomial baru, yang harus dibawa ke bentuk standar. Kami menyelesaikan perhitungan:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Sekarang mari kita lihat bagaimana membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya dengan benar. Menurut aturan, kita perlu mengganti tindakan ini dengan mengalikan dengan kebalikan x 2 + 5 3 x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Kami membawa pecahan yang dihasilkan ke bentuk standar:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Menjawab: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2 .

Cukup sering, dalam proses membagi dan mengalikan pecahan biasa, diperoleh hasil yang dapat dikurangi, misalnya, 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. Ketika kita melakukan operasi ini pada pecahan aljabar, kita juga bisa mendapatkan hasil yang dapat direduksi. Untuk melakukan ini, akan berguna untuk terlebih dahulu menguraikan pembilang dan penyebut dari polinomial asli menjadi faktor-faktor terpisah. Jika perlu, baca kembali artikel tentang cara melakukannya dengan benar. Mari kita lihat contoh masalah di mana perlu untuk melakukan pengurangan pecahan.

Contoh 2

Kondisi: kalikan pecahan x 2 + 2 x + 1 18 x 3 dan 6 x x 2 - 1.

Keputusan

Sebelum menghitung produk, kami menguraikan pembilang dari pecahan awal pertama dan penyebut kedua menjadi faktor yang terpisah. Untuk melakukan ini, kita memerlukan rumus untuk perkalian yang disingkat. Kami menghitung:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1

Kami memiliki pecahan yang dapat direduksi:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Kami menulis tentang bagaimana ini dilakukan dalam artikel tentang pengurangan pecahan aljabar.

Mengalikan monomial dan polinomial dalam penyebut, kita mendapatkan hasil yang kita butuhkan:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Berikut adalah transkrip dari seluruh solusi tanpa penjelasan:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Menjawab: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .

Dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mengubah pecahan asli sebelum mengalikan atau membagi sehingga perhitungan lebih lanjut menjadi lebih cepat dan lebih mudah.

Contoh 3

Kondisi: bagi 2 1 7 x - 1 dengan 12 x 7 - x .

Solusi: Mari kita mulai dengan menyederhanakan pecahan aljabar 2 1 7 · x - 1 untuk menghilangkan koefisien pecahan. Untuk melakukan ini, kami mengalikan kedua bagian pecahan dengan tujuh (tindakan ini dimungkinkan karena sifat utama pecahan aljabar). Hasilnya, kita akan mendapatkan yang berikut:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Kita melihat bahwa penyebut pecahan 12 x 7 - x, yang dengannya kita perlu membagi pecahan pertama, dan penyebut pecahan yang dihasilkan adalah ekspresi yang berlawanan satu sama lain. Dengan mengubah tanda-tanda pembilang dan penyebut 12 x 7 - x, kita mendapatkan 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7.

Setelah semua transformasi, kita akhirnya bisa langsung ke pembagian pecahan aljabar:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Menjawab: 2 1 7 x - 1 : 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Cara mengalikan atau membagi pecahan aljabar dengan polinomial

Untuk melakukan tindakan seperti itu, kita dapat menggunakan aturan yang sama yang kita berikan di atas. Pertama, Anda perlu menyatakan polinomial sebagai pecahan aljabar dengan satuan di penyebutnya. Tindakan ini mirip dengan mengubah bilangan asli menjadi pecahan biasa. Misalnya, seseorang dapat mengganti polinomial x 2 + x 4 di x 2 + x 4 1. Ekspresi yang dihasilkan akan sama persis.

Contoh 4

Kondisi: membagi pecahan aljabar dengan polinomial x + 4 5 x x y: x 2 - 16 .

Keputusan

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Menjawab: x + 4 5 x y : x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pelajaran video “Perkalian dan pembagian pecahan aljabar. Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat ”adalah alat bantu untuk mengajarkan pelajaran matematika tentang topik ini. Dengan bantuan video lesson, memudahkan guru untuk membentuk kemampuan siswa dalam melakukan perkalian dan pembagian pecahan aljabar. Alat bantu visual berisi penjelasan rinci dan dapat dimengerti tentang contoh-contoh di mana operasi perkalian dan pembagian dilakukan. Materi dapat didemonstrasikan selama penjelasan guru atau menjadi bagian tersendiri dari pelajaran.

Untuk membentuk kemampuan menyelesaikan tugas perkalian dan pembagian pecahan aljabar, komentar penting diberikan selama deskripsi solusi, poin yang memerlukan hafalan dan pemahaman mendalam disorot menggunakan warna, huruf tebal, dan pointer. Dengan bantuan video pembelajaran, guru dapat meningkatkan keefektifan pembelajaran. Alat bantu visual ini akan membantu Anda dengan cepat dan efektif mencapai tujuan belajar Anda.

Video tutorial dimulai dengan memperkenalkan topik. Setelah itu, ditunjukkan bahwa operasi perkalian dan pembagian dengan pecahan aljabar dilakukan mirip dengan operasi dengan pecahan biasa. Layar menunjukkan aturan untuk perkalian, pembagian dan eksponensial pecahan. Perkalian pecahan ditunjukkan dengan menggunakan parameter literal. Perlu dicatat bahwa ketika mengalikan pecahan, pembilang, serta penyebut, dikalikan. Ini adalah bagaimana pecahan yang dihasilkan a/b c/d=ac/bd diperoleh. Pembagian pecahan ditunjukkan dengan menggunakan ekspresi a/b:c/d sebagai contoh. Diindikasikan bahwa untuk melakukan operasi pembagian, perlu untuk menulis produk dari pembilang dari dividen dan penyebut dari pembagi ke dalam pembilang. Penyebut hasil bagi adalah produk dari penyebut dividen dan pembilang dari pembagi. Dengan demikian, operasi pembagian berubah menjadi operasi perkalian pecahan bagi hasil dan kebalikan pecahan pembagi. Membesarkan ke pangkat pecahan sama dengan pecahan yang pembilang dan penyebutnya dipangkatkan.

Berikut ini adalah contoh solusi. Dalam contoh 1, Anda perlu melakukan tindakan (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Untuk menyelesaikan contoh ini, pembilang pecahan kedua yang termasuk dalam produk didekomposisi menjadi faktor. Menggunakan rumus perkalian yang disingkat, transformasi dibuat x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Kemudian pembilang pecahan dan penyebutnya dikalikan. Setelah dilakukan operasi, diketahui bahwa ada faktor pembilang dan penyebut yang dapat dikurangi dengan menggunakan sifat utama pecahan. Sebagai hasil transformasi, diperoleh pecahan (x + y) 2 / 2x. Ini juga mempertimbangkan eksekusi tindakan 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Semua pembilang dan penyebut dipertimbangkan untuk kemungkinan faktorisasi, alokasi faktor persekutuan. Kemudian pembilang dan penyebutnya dikalikan. Setelah perkalian, pengurangan dilakukan. Hasil transformasinya adalah pecahan 2(a-b)/7a.

Sebuah contoh dipertimbangkan di mana perlu untuk melakukan tindakan (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. Untuk menyelesaikan ekspresi, diusulkan untuk mengonversi pembilang pecahan pertama menggunakan rumus perkalian yang disingkat x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Menurut aturan pembagian pecahan, pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan dari pecahan kedua. Setelah mengalikan pembilang dan penyebut, diperoleh pecahan yang memiliki faktor pembilang dan penyebut yang sama. Mereka menyusut. Hasilnya adalah pecahan (x-1) 2y. Solusi dari contoh (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) juga dijelaskan di sini. Mirip dengan contoh sebelumnya, rumus perkalian disingkat digunakan untuk mengubah pembilang. Penyebut pecahan juga diubah. Kemudian pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan pecahan kedua. Setelah perkalian, transformasi dilakukan, pengurangan pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan. Hasilnya adalah pecahan - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Perhatian siswa tertuju pada bagaimana tanda-tanda pembilang dan penyebut berubah selama perkalian.

Pada contoh ketiga, Anda perlu melakukan operasi dengan pecahan ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Dalam memecahkan contoh ini, aturan menaikkan pecahan ke pangkat diterapkan. Baik pecahan pertama dan kedua dipangkatkan. Mereka dikonversi dengan menaikkan pembilang dan penyebut ke pangkat. Selain itu, untuk mengonversi penyebut pecahan, rumus perkalian yang disingkat digunakan, menyoroti faktor persekutuan. Untuk membagi pecahan pertama dengan pecahan kedua, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. Pembilang dan penyebut membentuk ekspresi yang dapat diperkecil. Setelah konversi, diperoleh pecahan (x-2) / 27x 3 (x + 2).

Pelajaran video “Perkalian dan pembagian pecahan aljabar. Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat ”digunakan untuk meningkatkan efektivitas pelajaran matematika tradisional. Materi tersebut mungkin berguna bagi seorang guru yang memberikan pembelajaran jarak jauh. Deskripsi terperinci yang jelas tentang solusi contoh akan membantu siswa yang secara mandiri menguasai subjek atau membutuhkan kelas tambahan.

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan aturan perkalian dan pembagian pecahan aljabar, serta contoh penerapan aturan ini. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar tidak berbeda dengan perkalian dan pembagian pecahan biasa. Namun, kehadiran variabel mengarah ke cara yang agak lebih kompleks untuk menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan. Terlepas dari kenyataan bahwa mengalikan dan membagi pecahan lebih mudah daripada menjumlahkan dan mengurangkannya, studi tentang topik ini harus didekati dengan sangat bertanggung jawab, karena ada banyak "jebakan" di dalamnya yang biasanya tidak diperhatikan. Sebagai bagian dari pelajaran, kita tidak hanya akan mempelajari aturan untuk mengalikan dan membagi pecahan, tetapi juga menganalisis nuansa yang mungkin muncul saat menerapkannya.

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Perkalian dan pembagian pecahan aljabar

Aturan perkalian dan pembagian pecahan aljabar sangat mirip dengan aturan perkalian dan pembagian pecahan biasa. Ingat mereka:

Artinya, untuk mengalikan pecahan, perlu untuk mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang produk), dan mengalikan penyebutnya (ini akan menjadi penyebut produk).

Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan pecahan terbalik, yaitu, untuk membagi dua pecahan, perlu untuk mengalikan yang pertama (pembagi) dengan yang kedua (pembagi).

Terlepas dari kesederhanaan aturan ini, banyak orang membuat kesalahan dalam sejumlah kasus khusus ketika menyelesaikan contoh tentang topik ini. Mari kita lihat lebih dekat kasus-kasus khusus ini:

Dalam semua aturan ini, kami menggunakan fakta berikut: .

Mari kita selesaikan beberapa contoh perkalian dan pembagian pecahan biasa untuk mengingat cara menggunakan aturan yang ditunjukkan.

Contoh 1

Catatan: saat mengurangi pecahan, kami menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima. Ingat itu bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri. Sisanya disebut unsur . Bilangannya bukan prima atau komposit. Contoh bilangan prima: .

Contoh 2

Sekarang mari kita perhatikan salah satu kasus khusus dengan pecahan biasa.

Contoh 3

Seperti yang Anda lihat, mengalikan dan membagi pecahan biasa, jika aturan diterapkan dengan benar, tidaklah sulit.

Perhatikan perkalian dan pembagian pecahan aljabar.

Contoh 4

Contoh 5

Perhatikan bahwa adalah mungkin dan bahkan perlu untuk mengurangi pecahan setelah perkalian menurut aturan yang sama yang telah kita bahas sebelumnya dalam pelajaran tentang pengurangan pecahan aljabar. Mari kita pertimbangkan beberapa contoh sederhana untuk kasus khusus.

Contoh 6

Contoh 7

Sekarang mari kita perhatikan beberapa contoh perkalian dan pembagian pecahan yang lebih kompleks.

Contoh 8

Contoh 9

Contoh 10

Contoh 11

Contoh 12

Contoh 13

Sejauh ini, kita telah membahas pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah monomial. Namun, dalam beberapa kasus perlu untuk mengalikan atau membagi pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial. Dalam hal ini, aturannya tetap sama, dan untuk pengurangan perlu menggunakan rumus perkalian dan tanda kurung yang disingkat.

Contoh 14

Contoh 15

Contoh 16

Contoh 17

Contoh 18