fungsi ganjil genap y 2x. Fungsi genap dan ganjil

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

membentuk konsep fungsi genap dan ganjil, mengajarkan kemampuan menentukan dan menggunakan sifat-sifat ini dalam mempelajari fungsi, membuat grafik;
mengembangkan aktivitas kreatif siswa, berpikir logis, kemampuan membandingkan, menggeneralisasi;
untuk menumbuhkan ketekunan, budaya matematika; mengembangkan keterampilan komunikasi .

Peralatan: instalasi multimedia, papan tulis interaktif, handout.

Bentuk pekerjaan: frontal dan kelompok dengan unsur kegiatan pencarian dan penelitian.

Sumber informasi:

1. Aljabar kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku pelajaran.
2. Aljabar Kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku tugas.
3. Aljabar kelas 9. Tugas untuk pembelajaran dan pengembangan siswa. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi

Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran.

2. Memeriksa pekerjaan rumah

No. 10.17 (Buku soal kelas 9 A.G. Mordkovich).

sebuah) pada = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 untuk X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fungsi meningkat dengan X € [– 2; + ∞)
6. Fungsi dibatasi dari bawah.
7. pada sewa = - 3, pada naib tidak ada
8. Fungsinya kontinu.

(Apakah Anda menggunakan algoritma eksplorasi fitur?) Menggeser.

2. Mari kita periksa tabel yang ditanyakan pada slide.

Isi meja
	Domain	fungsi nol	Interval konstan		Koordinat titik potong grafik dengan Oy
	Domain	fungsi nol			Koordinat titik potong grafik dengan Oy
		x = -5, x = 2	€ (–5;3) U U(2;∞)	€ (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x 2		€ (–5;3) U U(2;∞)	€ (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Pembaruan pengetahuan

- Fungsi diberikan.
– Tentukan domain definisi untuk setiap fungsi.
– Bandingkan nilai setiap fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan – 1; 2 dan - 2.
– Untuk fungsi yang diberikan dalam domain definisi yang merupakan persamaan f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (memasukkan data ke dalam tabel) Menggeser

		f(1) dan f(– 1)	f(2) dan f(– 2)	grafik	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		dan tidak didefinisikan.

4. Bahan baru

- Saat melakukan pekerjaan ini, teman-teman, kami telah mengungkapkan satu lagi properti fungsi, yang tidak Anda kenal, tetapi tidak kalah pentingnya dari yang lain - ini adalah kemerataan dan keanehan fungsi. Tuliskan topik pelajaran: "Fungsi genap dan ganjil", tugas kita adalah mempelajari cara menentukan fungsi genap dan ganjil, mencari tahu signifikansi properti ini dalam mempelajari fungsi dan plot.
Jadi, mari kita cari definisinya di buku teks dan baca (hlm. 110) . Menggeser

def. satu Fungsi pada = f (X) yang didefinisikan pada himpunan X disebut bahkan, jika untuk sembarang nilai X X sedang berlangsung persamaan f (–x) = f (x). Berikan contoh.

def. 2 Fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada himpunan X disebut aneh, jika untuk sembarang nilai X X persamaan f(–х)= –f(х) terpenuhi. Berikan contoh.

Di mana kita bertemu dengan istilah "genap" dan "ganjil"?
Manakah dari fungsi-fungsi ini yang akan genap, menurut Anda? Mengapa? Yang ganjil? Mengapa?
Untuk setiap fungsi dari bentuk pada= x n, di mana n adalah bilangan bulat, dapat dikatakan bahwa fungsi tersebut ganjil untuk n ganjil dan fungsinya genap untuk n- bahkan.
– Lihat fungsi pada= dan pada = 2X– 3 bukan genap atau ganjil, karena persamaan tidak terpenuhi f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studi tentang pertanyaan apakah suatu fungsi genap atau ganjil disebut studi fungsi untuk paritas. Menggeser

Definisi 1 dan 2 berhubungan dengan nilai fungsi pada x dan - x, sehingga diasumsikan bahwa fungsi juga didefinisikan pada nilai X, dan di - X.

ODA 3. Jika suatu bilangan himpunan dengan setiap elemennya x mengandung elemen x yang berlawanan, maka himpunan tersebut X disebut himpunan simetris.

Contoh:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) adalah himpunan simetris, dan , [–5;4] adalah nonsimetris.

- Apakah fungsi genap memiliki domain definisi - himpunan simetris? Yang aneh?
- Jika D( f) adalah himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsi pada = f(X) genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( f) adalah himpunan simetris. Tetapi apakah kebalikannya benar, jika domain suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka itu genap atau ganjil?
- Jadi keberadaan himpunan simetris dari domain definisi adalah kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana kita bisa menyelidiki fungsi paritas? Mari kita coba menulis sebuah algoritma.

Menggeser

Algoritma untuk memeriksa fungsi untuk paritas

1. Tentukan apakah domain fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 dari algoritma.

2. Tulislah ekspresi untuk f(–X).

3. Bandingkan f(–X).dan f(X):

jika f(–X).= f(X), maka fungsinya genap;
jika f(–X).= – f(X), maka fungsinya ganjil;
jika f(–X) ≠ f(X) dan f(–X) ≠ –f(X), maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.

Contoh:

Selidiki fungsi paritas a) pada= x 5 +; b) pada= ; di) pada= .

Keputusan.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) fungsi h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e h(x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

pada = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, jadi fungsinya bukan genap maupun ganjil.

di) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

pilihan 2

1. Apakah himpunan yang diberikan simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

sebuah); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Periksa fungsi untuk paritas:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Dalam gambar. diplot pada = f(X), untuk semua X, memenuhi syarat X? 0.
Gambarkan Fungsinya pada = f(X), jika pada = f(X) adalah fungsi genap.

3. Dalam gambar. diplot pada = f(X), untuk semua x yang memenuhi x? 0.
Gambarkan Fungsinya pada = f(X), jika pada = f(X) adalah fungsi ganjil.

Saling memeriksa menggeser.

6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometris dari properti paritas.

*** (Penugasan opsi USE).

1. Fungsi ganjil y \u003d f (x) didefinisikan pada seluruh garis nyata. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Tentukan nilai fungsi h( X) = pada X = 3.

7. Menyimpulkan

. Untuk melakukan ini, gunakan kertas grafik atau kalkulator grafis. Pilih sejumlah nilai numerik untuk variabel independen x (\gaya tampilan x) dan masukkan ke dalam fungsi untuk menghitung nilai variabel terikat y (\gaya tampilan y). Letakkan koordinat yang ditemukan dari titik-titik pada bidang koordinat, dan kemudian hubungkan titik-titik ini untuk membuat grafik fungsi.

Substitusikan nilai numerik positif ke dalam fungsi x (\gaya tampilan x) dan nilai numerik negatif yang sesuai. Misal diberikan fungsi f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Substitusikan nilai-nilai berikut ke dalamnya x (\gaya tampilan x):

Periksa apakah grafik fungsi simetris terhadap sumbu y. Simetri mengacu pada bayangan cermin dari grafik tentang sumbu y. Jika bagian grafik di sebelah kanan sumbu y (nilai positif variabel bebas) sama dengan bagian grafik di sebelah kiri sumbu y (nilai negatif variabel bebas), grafik simetris terhadap sumbu y. Jika fungsi simetris terhadap sumbu y, fungsi tersebut genap.

Periksa apakah grafik fungsi simetris terhadap titik asal. Asal adalah titik dengan koordinat (0,0). Simetri tentang asal berarti bahwa nilai positif y (\gaya tampilan y)(dengan nilai positif x (\gaya tampilan x)) sesuai dengan nilai negatif y (\gaya tampilan y)(dengan nilai negatif x (\gaya tampilan x)), dan sebaliknya. Fungsi ganjil memiliki simetri terhadap asal.

Periksa apakah grafik fungsi memiliki simetri. Jenis fungsi yang terakhir adalah fungsi yang grafiknya tidak memiliki simetri, yaitu tidak ada bayangan cermin baik relatif terhadap sumbu y maupun relatif terhadap titik asal. Misal diberikan suatu fungsi.

Substitusikan beberapa nilai positif dan negatif yang sesuai ke dalam fungsi x (\gaya tampilan x):
Menurut hasil yang diperoleh, tidak ada simetri. Nilai y (\gaya tampilan y) untuk nilai yang berlawanan x (\gaya tampilan x) tidak cocok dan tidak berlawanan. Jadi, fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.
Harap dicatat bahwa fungsinya f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) dapat ditulis seperti ini: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Ditulis dalam bentuk ini, fungsinya tampak genap karena ada eksponen genap. Tetapi contoh ini membuktikan bahwa bentuk suatu fungsi tidak dapat ditentukan dengan cepat jika variabel bebasnya diapit tanda kurung. Dalam hal ini, Anda perlu membuka tanda kurung dan menganalisis eksponen yang dihasilkan.

Sembunyikan tampilan

Cara untuk mengatur fungsi

Biarkan fungsi diberikan oleh rumus: y=2x^(2)-3 . Dengan menetapkan nilai apa pun ke variabel bebas x , Anda dapat menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai yang sesuai dari variabel terikat y . Misalnya, jika x=-0.5 , maka dengan menggunakan rumus, kita mendapatkan bahwa nilai yang sesuai dari y adalah y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Mengingat nilai apa pun yang diambil oleh argumen x dalam rumus y=2x^(2)-3 , hanya satu nilai fungsi yang dapat dihitung yang sesuai dengannya. Fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai tabel:

x	−2	−1	0	1	2	3
kamu	−4	−3	−2	−1	0	1

Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat mengetahui bahwa untuk nilai argumen -1, nilai fungsi -3 akan sesuai; dan nilai x=2 akan sesuai dengan y=0, dan seterusnya. Penting juga untuk mengetahui bahwa setiap nilai argumen dalam tabel hanya sesuai dengan satu nilai fungsi.

Lebih banyak fungsi dapat diatur menggunakan grafik. Dengan bantuan grafik, ditentukan nilai fungsi mana yang berkorelasi dengan nilai x tertentu. Paling sering, ini akan menjadi nilai perkiraan fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

Fungsinya adalah fungsi genap, ketika f(-x)=f(x) untuk setiap x dari domain. Fungsi seperti itu akan simetris terhadap sumbu Oy.

Fungsinya adalah fungsi ganjil ketika f(-x)=-f(x) untuk setiap x dalam domain. Fungsi seperti itu akan simetris terhadap asal O (0;0) .

Fungsinya adalah bahkan tidak, juga tidak aneh dan disebut fungsi umum ketika tidak memiliki simetri tentang sumbu atau asal.

Kami memeriksa fungsi berikut untuk paritas:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) dengan domain definisi simetris tentang asal. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Oleh karena itu, fungsi f(x)=3x^(3)-7x^(7) adalah ganjil.

Fungsi periodik

Fungsi y=f(x) , dalam domain di mana f(x+T)=f(x-T)=f(x) benar untuk sembarang x, disebut fungsi periodik dengan periode T \neq 0 .

Pengulangan grafik fungsi pada setiap segmen sumbu absis, yang memiliki panjang T .

Interval di mana fungsinya positif, yaitu, f (x) > 0 - segmen sumbu absis, yang sesuai dengan titik-titik grafik fungsi yang terletak di atas sumbu absis.

f(x) > 0 pada (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Kesenjangan di mana fungsinya negatif, yaitu f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Batasan fungsi

dibatasi dari bawah merupakan kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \in X ketika ada bilangan A yang pertidaksamaannya f(x) \geq A berlaku untuk setiap x \in X .

Contoh fungsi yang dibatasi di bawah ini: y=\sqrt(1+x^(2)) Since y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 untuk sembarang x .

dibatasi dari atas fungsi y=f(x), x \in X dipanggil jika ada bilangan B yang pertidaksamaannya f(x) \neq B berlaku untuk setiap x \di X .

Contoh fungsi yang dibatasi di bawah ini: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] karena y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 untuk setiap x \dalam [-1;1] .

Terbatas merupakan kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \di X bila terdapat suatu bilangan K > 0 yang pertidaksamaannya \left | f(x) \kanan | \neq K untuk setiap x \dalam X .

Contoh fungsi terbatas: y=\sin x terbatas pada garis bilangan bulat karena \kiri | \sin x \kanan | \neq 1.

Fungsi naik dan turun

Merupakan kebiasaan untuk berbicara tentang fungsi yang meningkat pada interval yang dipertimbangkan sebagai meningkatkan fungsi ketika nilai x yang lebih besar akan sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar y=f(x) . Dari sini ternyata mengambil dari interval yang dipertimbangkan dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) , dan x_(1) > x_(2) , itu akan menjadi y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Fungsi yang menurun pada interval yang ditinjau disebut fungsi menurun ketika nilai x yang lebih besar akan sesuai dengan nilai fungsi y(x) yang lebih kecil. Dari sini ternyata mengambil dari interval yang dipertimbangkan dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) , dan x_(1) > x_(2) , itu akan menjadi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Akar fungsi merupakan kebiasaan untuk menamai titik-titik di mana fungsi F=y(x) berpotongan dengan sumbu absis (mereka diperoleh sebagai hasil dari penyelesaian persamaan y(x)=0 ).

a) Jika fungsi genap meningkat untuk x > 0, maka fungsi genap berkurang untuk x< 0

b) Ketika fungsi genap berkurang untuk x > 0, maka fungsi tersebut meningkat untuk x< 0

c) Ketika fungsi ganjil meningkat untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga meningkat untuk x< 0

d) Ketika fungsi ganjil berkurang untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga akan berkurang untuk x< 0

Fungsi ekstrem

Fungsi titik minimum y=f(x) biasanya memanggil titik seperti itu x=x_(0) , di mana lingkungannya akan memiliki titik lain (kecuali untuk titik x=x_(0) ), dan kemudian pertidaksamaan f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - penunjukan fungsi pada titik min.

Fungsi titik maksimum y=f(x) biasanya memanggil titik seperti itu x=x_(0) , di mana lingkungannya akan memiliki titik lain (kecuali untuk titik x=x_(0) ), dan kemudian pertidaksamaan f(x) akan puas untuk mereka< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Kondisi yang diperlukan

Menurut teorema Fermat: f"(x)=0, maka ketika fungsi f(x) , yang terdiferensiasi di titik x_(0) , akan muncul ekstrem pada titik ini.

Kondisi cukup

Ketika tanda turunan berubah dari plus ke minus, maka x_(0) akan menjadi titik minimum;
x_(0) - akan menjadi titik maksimum hanya jika turunannya berubah tanda dari minus ke plus saat melewati titik stasioner x_(0) .

Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval

Langkah-langkah perhitungan:

Mencari turunan f"(x) ;
Titik-titik stasioner dan kritis dari fungsi ditemukan dan titik-titik yang termasuk dalam interval dipilih;
Nilai fungsi f(x) ditemukan pada titik stasioner dan kritis dan ujung segmen. Hasil terkecil adalah nilai terkecil dari fungsi, dan banyak lagi - terbesar.

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi y=x^2 genap. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh karena itu, f(x) = f(-x). Dengan demikian, kedua kondisi dipenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y=x^3 ganjil. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Jadi f(x) = -f(x). Jadi, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y=x^3 adalah simetris terhadap titik asal.

- (Matematika.) Fungsi y \u003d f (x) dipanggil meskipun tidak berubah ketika variabel independen hanya berubah tanda, yaitu, jika f (x) \u003d f (x). Jika f(x) = f(x), maka fungsi f(x) disebut ganjil. Misalnya, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x adalah contoh fungsi ganjil. f(x) = x2 adalah contoh fungsi genap. f(x) = x3 ... Wikipedia

Fungsi yang memenuhi persamaan f (x) = f (x). Lihat Fungsi Genap dan Ganjil... Ensiklopedia Besar Soviet