Ketika memecahkan masalah C2 menggunakan metode koordinat, banyak siswa menghadapi masalah yang sama. Mereka tidak bisa menghitung koordinat titik termasuk dalam rumus produk skalar. Kesulitan terbesar adalah piramida. Dan jika titik dasar dianggap kurang lebih normal, maka puncaknya benar-benar neraka.
Hari ini kita akan berurusan dengan piramida segi empat biasa. Ada juga piramida segitiga (alias - segi empat). Ini adalah desain yang lebih kompleks, jadi pelajaran terpisah akan dikhususkan untuk itu.
Mari kita mulai dengan definisi:
Piramida beraturan adalah piramida yang:
- Basisnya adalah poligon beraturan: segitiga, bujur sangkar, dll.;
- Tinggi yang ditarik ke alas melewati pusatnya.
Secara khusus, dasar piramida segi empat adalah kotak. Sama seperti Cheops, hanya sedikit lebih kecil.
Di bawah ini adalah perhitungan untuk piramida dengan semua sisi sama dengan 1. Jika ini tidak terjadi pada masalah Anda, perhitungannya tidak berubah - hanya angkanya yang akan berbeda.
Titik sudut piramida segi empat
Jadi, misalkan sebuah piramida segi empat beraturan SABCD, di mana S adalah puncaknya, alas ABCD adalah persegi. Semua sisi sama dengan 1. Diperlukan untuk memasukkan sistem koordinat dan menemukan koordinat semua titik. Kita punya:
Kami memperkenalkan sistem koordinat dengan asal di titik A:
- Sumbu OX diarahkan sejajar dengan tepi AB ;
- Sumbu OY - sejajar dengan AD . Karena ABCD adalah persegi, AB AD ;
- Akhirnya, sumbu OZ diarahkan ke atas, tegak lurus terhadap bidang ABCD.
Sekarang kita pertimbangkan koordinatnya. Konstruksi tambahan: SH - tinggi ditarik ke alas. Untuk kenyamanan, kami akan mengambil dasar piramida dalam gambar terpisah. Karena titik A , B , C dan D terletak pada bidang OXY, koordinatnya adalah z = 0. Kita memiliki:
- A = (0; 0; 0) - bertepatan dengan asal;
- B = (1; 0; 0) - langkah demi 1 di sepanjang sumbu OX dari titik asal;
- C = (1; 1; 0) - langkah demi 1 di sepanjang sumbu OX dan 1 di sepanjang sumbu OY;
- D = (0; 1; 0) - hanya melangkah sepanjang sumbu OY.
- H \u003d (0,5; 0,5; 0) - pusat alun-alun, tengah segmen AC.
Tetap mencari koordinat titik S. Perhatikan bahwa koordinat x dan y titik S dan H adalah sama karena terletak pada garis lurus yang sejajar dengan sumbu OZ. Tetap mencari koordinat z untuk titik S .
Perhatikan segitiga ASH dan ABH :
- AS = AB = 1 dengan syarat;
- Sudut AHS = AHB = 90° karena SH adalah tinggi dan AH HB sebagai diagonal persegi;
- Sisi AH - umum.
Jadi segitiga siku-siku ASH dan ABH setara satu kaki dan satu sisi miring. Jadi SH = BH = 0,5 BD . Tetapi BD adalah diagonal persegi dengan sisi 1. Oleh karena itu, kami memiliki:
Total koordinat titik S:
Sebagai kesimpulan, kami menuliskan koordinat semua simpul dari piramida persegi panjang biasa:
Apa yang harus dilakukan ketika tulang rusuknya berbeda?
Tetapi bagaimana jika tepi samping piramida tidak sama dengan tepi alasnya? Dalam hal ini, perhatikan segitiga AHS:
Segitiga AHS- persegi panjang, dan AS sisi miring juga merupakan tepi samping dari SABCD piramida asli . Kaki AH mudah dipertimbangkan: AH = 0,5 AC. Temukan kaki yang tersisa SH sesuai dengan teorema Pythagoras. Ini akan menjadi koordinat z untuk titik S.
Tugas. Diberikan sebuah piramida segi empat beraturan SABCD , yang alasnya terletak sebuah bujur sangkar dengan sisi 1. Sisi samping BS = 3. Tentukan koordinat titik S .
Kita sudah mengetahui koordinat x dan y dari titik ini: x = y = 0,5. Ini mengikuti dari dua fakta:
- Proyeksi titik S ke bidang OXY adalah titik H;
- Pada saat yang sama, titik H adalah pusat persegi ABCD, yang semua sisinya sama dengan 1.
Tinggal mencari koordinat titik S. Perhatikan segitiga AHS. Ini adalah persegi panjang, dengan sisi miring AS = BS = 3, kaki AH adalah setengah diagonal. Untuk perhitungan lebih lanjut, kita membutuhkan panjangnya:
Teorema Pythagoras untuk segitiga AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Kita punya:
Jadi, koordinat titik S:
Definisi. Sisi wajah- ini adalah segitiga di mana satu sudut terletak di bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan bertepatan dengan sisi alas (poligon).
Definisi. Iga samping adalah sisi umum dari sisi wajah. Piramida memiliki tepi sebanyak sudut dalam poligon.
Definisi. tinggi piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari atas ke dasar piramida.
Definisi. Apotema- ini adalah tegak lurus dari sisi sisi piramida, diturunkan dari puncak piramida ke sisi alas.
Definisi. Bagian diagonal- ini adalah bagian piramida dengan bidang yang melewati bagian atas piramida dan diagonal alasnya.
Definisi. Piramida yang benar- Ini adalah piramida di mana alasnya adalah poligon beraturan, dan tingginya turun ke tengah alas.
Volume dan luas permukaan piramida
Rumus. volume piramida melalui luas alas dan tinggi:
sifat piramida
Jika semua sisi sisinya sama, maka sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar pangkal piramida, dan pusat alasnya berimpit dengan pusat lingkaran. Juga, tegak lurus yang dijatuhkan dari atas melewati pusat alas (lingkaran).
Jika semua rusuk sisinya sama besar, maka mereka miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
Tulang rusuk lateral adalah sama ketika mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar, atau jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke pusatnya.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka apotema dari sisi-sisinya adalah sama.
Sifat-sifat piramida biasa
1. Bagian atas piramida berjarak sama dari semua sudut alasnya.
2. Semua sisi sisinya sama.
3. Semua rusuk sisi miring pada sudut yang sama ke alas.
4. Apotema semua sisi sisinya sama.
5. Luas semua sisi sisinya sama.
6. Semua wajah memiliki sudut dihedral (datar) yang sama.
7. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida. Pusat bola yang dijelaskan akan menjadi titik persimpangan tegak lurus yang melewati tengah tepi.
8. Sebuah bola dapat ditulisi dalam sebuah piramida. Pusat bola tertulis akan menjadi titik persimpangan garis-bagi yang berasal dari sudut antara tepi dan alas.
9. Jika pusat bola bertulisan bertepatan dengan pusat bola yang dibatasi, maka jumlah sudut datar di puncak sama dengan atau sebaliknya, satu sudut sama dengan / n, di mana n adalah angka sudut di dasar piramida.
Hubungan piramida dengan bola
Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida ketika di dasar piramida terletak polihedron di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi yang diperlukan dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang-bidang yang lewat secara tegak lurus melalui titik-titik tengah tepi samping piramida.
Sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekitar piramida segitiga atau biasa.
Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan pada satu titik (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.
Hubungan piramida dengan kerucut
Sebuah kerucut disebut bertulisan dalam sebuah piramida jika simpul-simpulnya berhimpitan dan alas kerucut tersebut tertulis di dasar piramida.
Sebuah kerucut dapat ditulisi dalam piramida jika apotema piramida sama.
Kerucut dikatakan dibatasi di sekitar piramida jika simpulnya bertepatan dan pangkal kerucut dibatasi di sekitar dasar piramida.
Kerucut dapat digambarkan mengelilingi piramida jika semua sisi sisi piramida sama satu sama lain.
Koneksi piramida dengan silinder
Sebuah piramida dikatakan bertulisan dalam sebuah silinder jika bagian atas piramida terletak di salah satu dasar silinder, dan dasar piramida tertulis di dasar silinder yang lain.
Sebuah silinder dapat dibatasi di sekitar piramida jika lingkaran dapat dibatasi di sekitar dasar piramida.
Sebuah tetrahedron memiliki empat wajah dan empat simpul dan enam tepi, di mana setiap dua tepi tidak memiliki simpul yang sama tetapi tidak bersentuhan.
Setiap simpul terdiri dari tiga sisi dan sisi yang membentuk sudut segitiga.
Ruas yang menghubungkan puncak segi empat dengan pusat sisi yang berhadapan disebut median dari tetrahedron(GM).
bimedian disebut ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan yang tidak bersentuhan (KL).
Semua bimedian dan median tetrahedron berpotongan di satu titik (S). Dalam hal ini, bimedian dibagi dua, dan median dalam perbandingan 3: 1 mulai dari atas.
Definisi. Piramida Miring Akut adalah piramida di mana apotema lebih dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. piramida tumpul adalah piramida di mana apotema kurang dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. tetrahedron biasa Sebuah tetrahedron yang empat wajahnya adalah segitiga sama sisi. Ini adalah salah satu dari lima poligon beraturan. Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral (antara wajah) dan sudut trihedral (pada titik sudut) adalah sama.
Definisi. Tetrahedron persegi panjang disebut tetrahedron yang memiliki sudut siku-siku antara tiga sisi pada titik tersebut (sisi-sisinya tegak lurus). Bentuk tiga wajah sudut segitiga siku-siku dan wajah-wajahnya adalah segitiga siku-siku, dan alasnya adalah segitiga sembarang. Apotema wajah apa pun sama dengan setengah sisi alas tempat apotema itu jatuh.
Definisi. Tetrahedron isohedral Disebut tetrahedron di mana sisi-sisinya sama satu sama lain, dan alasnya adalah segitiga biasa. Wajah tetrahedron seperti itu adalah segitiga sama kaki.
Definisi. Tetrahedron ortosentrik sebuah tetrahedron disebut di mana semua ketinggian (tegak lurus) yang diturunkan dari atas ke wajah yang berlawanan berpotongan di satu titik.
Definisi. piramida bintang Polihedron yang alasnya berupa bintang disebut.
Piramida. Piramida terpotong
Piramida disebut polihedron, salah satu wajahnya adalah poligon ( basis ), dan semua wajah lainnya adalah segitiga dengan simpul yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segi empat .
rusuk samping piramida disebut sisi sisi wajah yang bukan milik alas Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi sisi piramida beraturan adalah sama satu sama lain, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Tinggi sisi sisi piramida beraturan yang ditarik dari titik sudut disebut pendewaan . bagian diagonal Bagian dari piramida disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki wajah yang sama.
Luas permukaan samping piramida disebut jumlah luas semua sisi sisi. Luas permukaan penuh adalah jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.
Teorema
1. Jika dalam sebuah piramida semua sisi miring sama rata terhadap bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.
2. Jika dalam piramida semua tepi lateral memiliki panjang yang sama, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alas.
3. Jika dalam piramida semua wajah sama-sama condong ke bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.
Untuk menghitung volume piramida sewenang-wenang, rumusnya benar:
di mana V- volume;
S utama- daerah dasar;
H adalah ketinggian piramida.
Untuk piramida biasa, rumus berikut ini benar:
di mana p- keliling pangkalan;
h a- apotema;
H- tinggi;
S penuh
sisi S
S utama- daerah dasar;
V adalah volume piramida biasa.
piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong yang benar disebut bagian dari piramida biasa, tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida.
Yayasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping - trapesium. Tinggi piramida terpotong disebut jarak antara alasnya. Diagonal Piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan simpulnya yang tidak terletak pada wajah yang sama. bagian diagonal Bagian dari piramida yang terpotong disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki sisi yang sama.
Untuk piramida terpotong, rumusnya valid:
(4)
di mana S 1 , S 2 - area pangkalan atas dan bawah;
S penuh adalah luas permukaan total;
sisi S adalah luas permukaan lateral;
H- tinggi;
V adalah volume piramida terpotong.
Untuk piramida terpotong biasa, rumus berikut ini benar:
di mana p 1 , p 2 - perimeter dasar;
h a- apotema piramida terpotong biasa.
Contoh 1 Dalam piramida segitiga biasa, sudut dihedral di pangkalan adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping ke bidang alas.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).
 |
Piramida beraturan, artinya alasnya adalah segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki. Sudut dihedral pada alas adalah sudut kemiringan sisi muka piramida terhadap bidang alas. Sudut linier akan menjadi sudut sebuah antara dua garis tegak lurus: mis. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran berbatas dan lingkaran bertulis di segitiga ABC). Sudut kemiringan rusuk samping (misalnya SB) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya ke bidang dasar. Untuk tulang rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk menemukan garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD adalah 3 sebuah. dot HAI segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kami menemukan JADI: 
Dari kami menemukan: 
Menjawab:
Contoh 2 Hitunglah volume limas segi empat beraturan jika diagonal alasnya cm dan cm dan tingginya 4 cm.
Keputusan. Untuk menemukan volume piramida terpotong, kami menggunakan rumus (4). Untuk menemukan luas alasnya, Anda perlu menemukan sisi-sisi bujur sangkar alas, mengetahui diagonal-diagonalnya. Sisi alasnya masing-masing adalah 2 cm dan 8 cm Ini berarti luas alas dan Mengganti semua data ke dalam rumus, kami menghitung volume piramida terpotong:
Menjawab: 112 cm3.
Contoh 3 Hitunglah luas permukaan sisi piramida beraturan berbentuk segitiga beraturan yang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tingginya 2 cm.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).
Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Basis diberikan oleh kondisi, hanya tingginya yang tidak diketahui. Temukan dari mana TETAPI 1 E tegak lurus dari suatu titik TETAPI 1 pada bidang alas bawah, A 1 D- tegak lurus dari TETAPI 1 on AC. TETAPI 1 E\u003d 2 cm, karena ini adalah ketinggian piramida. Untuk menemukan DE kita akan membuat gambar tambahan, di mana kita akan menggambarkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot HAI- proyeksi pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain Oke adalah jari-jari lingkaran tertulis dan 
om adalah jari-jari lingkaran tertulis:
MK=DE.
Menurut teorema Pythagoras dari
Area wajah samping: 
Menjawab:
Contoh 4 Di dasar piramida terletak trapesium sama kaki, yang alasnya sebuah dan b (sebuah> b). Setiap sisi wajah membentuk sudut yang sama dengan bidang alas piramida j. Temukan total luas permukaan piramida.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Luas permukaan total piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.
Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua wajah piramida sama-sama miring ke bidang alasnya, maka puncaknya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Dot HAI- proyeksi puncak S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang dasar. Menurut teorema pada area proyeksi ortogonal dari bangun datar, kita mendapatkan:
Demikian pula, itu berarti 
Jadi, masalahnya dikurangi menjadi menemukan luas trapesium ABCD. Menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot HAI adalah pusat lingkaran pada trapesium.
Karena lingkaran dapat ditulis dalam trapesium, maka atau Dengan teorema Pythagoras kita miliki
Definisi
Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(n\) segitiga dengan simpul yang sama \(P\) (tidak terletak pada bidang poligon) dan sisi-sisi yang berhadapan berhadapan dengan sisi-sisi poligon.
Penunjukan: \(PA_1A_2...A_n\) .
Contoh: piramida segi lima \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Segitiga \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) dll. ditelepon wajah samping piramida, segmen \(PA_1, PA_2\), dll. - rusuk samping, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – dasar, titik \(P\) – puncak.
Tinggi Piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya.
Piramida dengan segitiga di alasnya disebut segi empat.
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan dan salah satu kondisi berikut terpenuhi:
\((a)\) tepi sisi piramida adalah sama;
\((b)\) ketinggian piramida melewati pusat lingkaran berbatas dekat alas;
\((c)\) rusuk sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
\((d)\) permukaan sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
tetrahedron biasa adalah piramida segitiga, semua wajah yang segitiga sama sisi.
Dalil
Kondisi \((a), (b), (c), (d)\) adalah ekuivalen.
Bukti
Gambarlah tinggi piramida \(PH\) . Biarkan \(\alpha\) menjadi bidang dasar piramida.
1) Mari kita buktikan bahwa \((a)\) menyiratkan \((b)\) . Biarkan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Karena \(PH\perp \alpha\) , maka \(PH\) tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini, sehingga segitiga siku-siku. Jadi segitiga-segitiga ini sama pada kaki yang sama \(PH\) dan sisi miring \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Jadi \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Artinya titik-titik \(A_1, A_2, ..., A_n\) berada pada jarak yang sama dari titik \(H\) , sehingga terletak pada lingkaran yang sama dengan jari-jari \(A_1H\) . Lingkaran ini, menurut definisi, dibatasi di sekitar poligon \(A_1A_2...A_n\) .
2) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sama dengan dua kaki. Oleh karena itu, sudut mereka juga sama, oleh karena itu, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Mari kita buktikan bahwa \((c)\) menyiratkan \((a)\) .
Mirip dengan titik pertama, segitiga \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sepanjang kaki dan sudut akut. Ini berarti bahwa sisi miringnya juga sama, yaitu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((d)\) .
Karena dalam poligon beraturan, pusat lingkaran berbatas dan bertulisan bertepatan (secara umum, titik ini disebut pusat poligon beraturan), kemudian \(H\) adalah pusat lingkaran bertulisan. Mari menggambar garis tegak lurus dari titik \(H\) ke sisi alas: \(HK_1, HK_2\), dll. Ini adalah jari-jari lingkaran tertulis (menurut definisi). Kemudian, menurut TTP, (\(PH\) adalah tegak lurus bidang, \(HK_1, HK_2\), dll. adalah proyeksi tegak lurus ke sisi) miring \(PK_1, PK_2\), dll. tegak lurus ke sisi \(A_1A_2, A_2A_3\), dll. masing-masing. Jadi, menurut definisi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) sama dengan sudut antara sisi-sisi dan alasnya. Karena segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) sama besar (sama siku-siku pada dua kaki), maka besar sudut \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) adalah sama.
5) Mari kita buktikan bahwa \((d)\) menyiratkan \((b)\) .
Demikian pula dengan titik keempat, segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) adalah sama (sepanjang kaki dan sudut lancip), yang berarti bahwa segmen \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) adalah sama. Oleh karena itu, menurut definisi, \(H\) adalah pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Tapi sejak untuk poligon beraturan, pusat lingkaran bertulis dan berbatas bertepatan, maka \(H\) adalah pusat lingkaran berbatas. Chtd.
Konsekuensi
Sisi-sisi sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki.
Definisi
Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut pendewaan.
Apotema dari semua sisi lateral piramida beraturan adalah sama satu sama lain dan juga merupakan median dan garis bagi.
Catatan penting
1. Ketinggian piramida segitiga beraturan jatuh ke titik persimpangan ketinggian (atau garis bagi, atau median) alasnya (alasnya adalah segitiga beraturan).
2. Ketinggian piramida segi empat biasa jatuh ke titik persimpangan diagonal alas (alasnya persegi).
3. Ketinggian piramida heksagonal beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya adalah segi enam beraturan).
4. Tinggi piramida tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di dasarnya.
Definisi
Piramida disebut persegi panjang jika salah satu sisi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alas.
Catatan penting
1. Untuk piramida segi empat, sisi yang tegak lurus alasnya adalah tinggi piramida. Artinya, \(SR\) adalah tingginya.
2. Karena \(SR\) tegak lurus terhadap sembarang garis dari alas, maka \(\segitiga SRM, \segitiga SRP\) adalah segitiga siku-siku.
3. Segitiga \(\segitiga SRN, \SRK segitiga\) juga berbentuk persegi panjang.
Artinya, segitiga apa pun yang dibentuk oleh tepi ini dan diagonal yang keluar dari titik sudut tepi ini, yang terletak di alasnya, akan siku-siku.
\[(\Large(\text(Volume dan luas permukaan piramida))))\]
Dalil
Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tinggi piramida: \
Konsekuensi
Misalkan \(a\) adalah sisi alasnya, \(h\) adalah tinggi piramida.
1. Volume piramida segitiga beraturan adalah \(V_(\text(segitiga siku-siku pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Volume piramida segi empat beraturan adalah \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. Volume piramida segi enam beraturan adalah \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Volume tetrahedron beraturan adalah \(V_(\text(tetra kanan.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Dalil
Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema.
\[(\Large(\text(Piramida terpotong))))\]
Definisi
Pertimbangkan piramida arbitrer \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Mari kita menggambar bidang yang sejajar dengan dasar piramida melalui titik tertentu yang terletak di tepi samping piramida. Bidang ini akan membagi piramida menjadi dua polihedra, salah satunya adalah piramida (\(PB_1B_2...B_n\) ), dan yang lainnya disebut piramida terpotong(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Piramida terpotong memiliki dua alas - poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(B_1B_2...B_n\) , yang mirip satu sama lain.
Ketinggian piramida terpotong adalah tegak lurus yang ditarik dari beberapa titik alas atas ke bidang alas bawah.
Catatan penting
1. Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium.
2. Segmen yang menghubungkan pusat-pusat dasar piramida terpotong biasa (yaitu, piramida yang diperoleh dari bagian piramida biasa) adalah ketinggian.
pengantar
Ketika kami mulai mempelajari angka-angka stereometrik, kami menyentuh topik "Piramida". Kami menyukai tema ini karena piramida sangat sering digunakan dalam arsitektur. Dan karena profesi masa depan kami sebagai arsitek, terinspirasi oleh sosok ini, kami pikir dia akan mampu mendorong kami untuk proyek-proyek besar.
Kekuatan struktur arsitektur, kualitasnya yang paling penting. Mengaitkan kekuatan, pertama, dengan bahan dari mana mereka dibuat, dan, kedua, dengan fitur solusi desain, ternyata kekuatan struktur secara langsung berkaitan dengan bentuk geometris yang mendasarinya.
Dengan kata lain, kita berbicara tentang sosok geometris yang dapat dianggap sebagai model dari bentuk arsitektur yang sesuai. Ternyata bentuk geometris juga menentukan kekuatan struktur arsitektural.
Piramida Mesir telah lama dianggap sebagai struktur arsitektur yang paling tahan lama. Seperti yang Anda ketahui, mereka memiliki bentuk piramida segi empat biasa.
Bentuk geometris inilah yang memberikan stabilitas terbesar karena area dasar yang besar. Di sisi lain, bentuk piramida memastikan bahwa massa berkurang ketika ketinggian di atas tanah meningkat. Kedua sifat inilah yang membuat piramida stabil, dan karenanya kuat dalam kondisi gravitasi.
Tujuan proyek: belajar sesuatu yang baru tentang piramida, memperdalam pengetahuan dan menemukan aplikasi praktis.
Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:
Pelajari informasi sejarah tentang piramida
Pertimbangkan piramida sebagai sosok geometris
Temukan aplikasi dalam kehidupan dan arsitektur
Temukan persamaan dan perbedaan antara piramida yang terletak di berbagai belahan dunia
Bagian teoretis
Informasi sejarah
Awal dari geometri piramida diletakkan di Mesir kuno dan Babel, tetapi secara aktif dikembangkan di Yunani kuno. Yang pertama menetapkan volume piramida sama dengan adalah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Ahli matematika Yunani kuno Euclid mensistematisasikan pengetahuan tentang piramida dalam volume XII "Awal" -nya, dan juga mengeluarkan definisi pertama piramida: sosok tubuh yang dibatasi oleh bidang yang menyatu dari satu bidang pada satu titik.
Makam para firaun Mesir. Yang terbesar dari mereka - piramida Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza pada zaman kuno dianggap sebagai salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia. Pendirian piramida, di mana orang-orang Yunani dan Romawi sudah melihat monumen kebanggaan raja dan kekejaman yang belum pernah terjadi sebelumnya, yang membuat seluruh rakyat Mesir melakukan konstruksi yang tidak masuk akal, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan seharusnya diungkapkan, tampaknya, identitas mistik negara dan penguasanya. Penduduk negara bekerja pada pembangunan makam di bagian tahun bebas dari pekerjaan pertanian. Sejumlah teks memberikan kesaksian tentang perhatian dan perhatian yang diberikan oleh raja-raja itu sendiri (walaupun di kemudian hari) untuk pembangunan makam mereka dan para pembangunnya. Juga diketahui tentang penghargaan kultus khusus yang ternyata adalah piramida itu sendiri.
Konsep dasar
Piramida Disebut polihedron, yang alasnya adalah poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga yang memiliki simpul yang sama.
Apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, ditarik dari atasnya;
Wajah samping- segitiga konvergen di atas;
Iga samping- sisi umum dari sisi samping;
puncak piramida- titik yang menghubungkan tepi samping dan tidak terletak pada bidang alas;
Tinggi- segmen tegak lurus yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen ini adalah bagian atas piramida dan alas tegak lurus);
Bagian diagonal piramida- bagian piramida yang melewati bagian atas dan diagonal alas;
Basis- poligon yang bukan milik puncak piramida.
Sifat utama dari piramida yang benar
Tepi samping, wajah samping, dan apotema masing-masing sama besar.
Sudut dihedral pada alasnya sama besar.
Sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar.
Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar.
Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi.
Rumus dasar piramida
Luas permukaan lateral dan penuh piramida.
Luas permukaan lateral piramida (penuh dan terpotong) adalah jumlah luas semua permukaan sampingnya, luas permukaan total adalah jumlah luas semua permukaannya.
Teorema: Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema piramida.
p- perimeter dasar;
h- apotema.
Area permukaan lateral dan penuh dari piramida terpotong.
p1, p 2 - perimeter dasar;
h- apotema.
R- total luas permukaan piramida terpotong biasa;
sisi S- area permukaan lateral piramida terpotong biasa;
S1 + S2- daerah dasar
Volume Piramida
Membentuk Skala volume digunakan untuk piramida jenis apa pun.
H adalah ketinggian piramida.
Sudut piramida
Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi muka dan alas piramid disebut sudut dihedral pada alas piramid.
Sudut dihedral dibentuk oleh dua garis tegak lurus.
Untuk menentukan sudut ini, Anda sering perlu menggunakan teorema tiga tegak lurus.
Sudut yang dibentuk oleh sisi samping dan proyeksinya pada bidang alas disebut sudut antara tepi lateral dan bidang alas.
Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi disebut sudut dihedral di tepi lateral piramida.
Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi salah satu muka piramida disebut sudut di puncak piramida.
Bagian dari piramida
Permukaan piramida adalah permukaan polihedron. Masing-masing wajahnya merupakan bidang, sehingga bagian piramida yang diberikan oleh bidang potong adalah garis putus-putus yang terdiri dari garis-garis lurus yang terpisah.
Bagian diagonal
Bagian piramida oleh bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak terletak pada permukaan yang sama disebut bagian diagonal piramida.
Bagian paralel
Dalil:
Jika piramida dilintasi oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka tepi samping dan tinggi piramida dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional;
Bagian dari bidang ini adalah poligon yang mirip dengan alasnya;
Luas bagian dan alasnya saling berhubungan sebagai kuadrat jaraknya dari atas.
Jenis-jenis piramida
Piramida yang benar- sebuah piramida, yang alasnya berupa poligon beraturan, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya.
Di piramida yang benar:
1. rusuk samping sama besar
2. sisi sisinya sama
3. apotema sama
4. sudut dihedral pada alasnya sama besar
5. sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar
6. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar
7. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi
Piramida terpotong- bagian piramida yang tertutup antara alasnya dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya.
Bagian dasar dan bagian yang sesuai dari piramida terpotong disebut dasar piramida terpotong.
Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik di suatu alas ke bidang alas lainnya disebut ketinggian piramida terpotong.
tugas
nomor 1. Pada piramida segi empat beraturan, titik O adalah pusat alas, SO=8 cm, BD=30 cm.Temukan sisi samping SA.
Penyelesaian masalah
nomor 1. Dalam piramida biasa, semua wajah dan tepinya sama.
Mari kita pertimbangkan OSB: OSB-persegi panjang, karena.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramida dalam arsitektur
Piramida - struktur monumental dalam bentuk piramida geometris biasa biasa, di mana sisi-sisinya bertemu pada satu titik. Sesuai dengan fungsinya, piramida pada zaman dahulu merupakan tempat pemakaman atau pemujaan. Basis piramida bisa berbentuk segitiga, segi empat, atau poligonal dengan jumlah simpul yang berubah-ubah, tetapi versi yang paling umum adalah alas segi empat.
Sejumlah besar piramida diketahui, dibangun oleh berbagai budaya Dunia Kuno, terutama sebagai kuil atau monumen. Piramida terbesar adalah piramida Mesir.
Di seluruh bumi Anda dapat melihat struktur arsitektur dalam bentuk piramida. Bangunan piramida mengingatkan pada zaman kuno dan terlihat sangat indah.
Piramida Mesir adalah monumen arsitektur terbesar Mesir Kuno, di antaranya salah satu dari "Tujuh Keajaiban Dunia" adalah piramida Cheops. Dari kaki ke atas mencapai 137,3 m, dan sebelum kehilangan puncak, tingginya 146,7 m.
Bangunan stasiun radio di ibu kota Slovakia, menyerupai piramida terbalik, dibangun pada tahun 1983. Selain kantor dan tempat layanan, ada ruang konser yang cukup luas di dalam volume, yang memiliki salah satu organ terbesar di Slovakia .
Louvre, yang "sesunyi dan megah seperti piramida" telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi museum terbesar di dunia. Itu lahir sebagai benteng, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang segera berubah menjadi kediaman kerajaan. Pada tahun 1793 istana ini menjadi museum. Koleksi diperkaya melalui warisan atau pembelian.
