Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, dan 36 habis dibagi.

Bilangan yang habis dibagi (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi bilangan. Pembagi bilangan asli sebuah adalah bilangan asli yang membagi bilangan tersebut sebuah tanpa jejak. Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut gabungan .

Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka-angkanya: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari angka-angka ini adalah 12. Pembagi umum dari dua angka ini sebuah dan b adalah bilangan yang kedua bilangan tersebut habis dibagi tanpa sisa sebuah dan b.

kelipatan umum beberapa bilangan disebut bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut. Misalnya, bilangan 9, 18 dan 45 memiliki kelipatan persekutuan 180. Namun 90 dan 360 juga merupakan kelipatan persekutuannya. Di antara semua kelipatan jcommon, selalu ada yang terkecil, dalam hal ini adalah 90. Angka ini disebut paling sedikitkelipatan persekutuan (KPK).

KPK selalu merupakan bilangan asli, yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang didefinisikan.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Komutatif:

Asosiatif:

Secara khusus, jika dan adalah bilangan koprima , maka:

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat m dan n adalah pembagi dari semua kelipatan persekutuan lainnya m dan n. Selain itu, himpunan kelipatan persekutuan M N bertepatan dengan himpunan kelipatan untuk KPK( M N).

Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Sebaik:

Ini mengikuti dari definisi dan properti dari fungsi Landau g(n).

Apa yang mengikuti dari hukum distribusi bilangan prima.

Mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:

1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:

2. Biarkan dekomposisi kanonik kedua bilangan menjadi faktor prima diketahui:

di mana p 1 ,...,p k adalah berbagai bilangan prima, dan d 1 ,...,d k dan e 1 ,...,ek adalah bilangan bulat non-negatif (bisa menjadi nol jika bilangan prima yang sesuai tidak ada dalam dekomposisi).

Kemudian KPK ( sebuah,b) dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, ekspansi KPK berisi semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya satu dari ekspansi bilangan a, b, dan yang terbesar dari dua eksponen faktor ini diambil.

Contoh:

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan yang berurutan KPK dari dua bilangan:

Aturan. Untuk mencari KPK dari serangkaian angka, Anda perlu:

- menguraikan bilangan menjadi faktor prima;

- pindahkan ekspansi terbesar ke faktor-faktor dari produk yang diinginkan (produk dari faktor-faktor dari jumlah terbesar dari yang diberikan), dan kemudian tambahkan faktor-faktor dari ekspansi bilangan lain yang tidak terjadi pada bilangan pertama atau di dalamnya beberapa kali lebih kecil;

- produk yang dihasilkan dari faktor prima akan menjadi KPK dari bilangan yang diberikan.

Setiap dua atau lebih bilangan asli memiliki KPKnya sendiri. Jika bilangan-bilangan tersebut bukan kelipatan satu sama lain atau tidak memiliki faktor pemuaian yang sama, maka KPK-nya sama dengan perkalian bilangan-bilangan tersebut.

Faktor prima dari bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (bilangan 21), hasil kali (84) adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 21 dan 28.

Faktor prima dari bilangan terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 dari bilangan 25, hasil kali 150 lebih besar dari bilangan terbesar 30 dan habis dibagi semua bilangan yang diberikan tanpa sisa. Ini adalah hasil kali terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang semua bilangan yang diberikan adalah kelipatan.

Bilangan 2,3,11,37 adalah prima, jadi KPK-nya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

aturan. Untuk menghitung KPK dari bilangan prima, Anda perlu mengalikan semua bilangan ini.

Pilihan lain:

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan yang Anda butuhkan:

1) nyatakan setiap bilangan sebagai hasil kali faktor primanya, misalnya:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan pangkat semua faktor prima:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembagi prima (pengganda) dari masing-masing bilangan tersebut;

4) pilih derajat terbesar dari masing-masing, ditemukan di semua ekspansi dari angka-angka ini;

5) kalikan kekuatan ini.

Contoh. Tentukan KPK dari bilangan: 168, 180 dan 3024.

Keputusan. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kami menulis kekuatan terbesar dari semua pembagi prima dan mengalikannya:

KPK = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Cara mencari KPK (kelipatan persekutuan terkecil)

Kelipatan persekutuan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat yang habis dibagi rata oleh kedua bilangan yang diberikan tanpa sisa.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terkecil dari semua bilangan bulat yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut.

Metode 1. Anda dapat menemukan KPK, pada gilirannya, untuk setiap angka yang diberikan, menuliskan dalam urutan menaik semua angka yang diperoleh dengan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Contoh untuk nomor 6 dan 9.
Kami mengalikan angka 6, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami mengalikan angka 9 secara berurutan dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang Anda lihat, KPK untuk angka 6 dan 9 adalah 18.

Metode ini cocok jika kedua bilangan kecil dan mudah untuk mengalikannya dengan urutan bilangan bulat. Namun, ada kalanya Anda perlu mencari KPK untuk bilangan dua digit atau tiga digit, dan juga bila ada tiga atau bahkan lebih bilangan awal.

Metode 2. Anda dapat menemukan KPK dengan menguraikan bilangan asli menjadi faktor prima.
Setelah dekomposisi, perlu untuk mencoret angka yang sama dari deret faktor prima yang dihasilkan. Sisa bilangan pertama akan menjadi faktor bilangan kedua, dan sisa bilangan kedua akan menjadi faktor bilangan pertama.

Contoh untuk nomor 75 dan 60.
Kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60 dapat ditemukan tanpa menuliskan kelipatan dari angka-angka ini secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor prima:
75 = 3 * 5 * 5, dan
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang Anda lihat, faktor 3 dan 5 terjadi di kedua baris. Secara mental kita "mencoret" mereka.
Mari kita tuliskan faktor-faktor sisa yang termasuk dalam pemuaian masing-masing bilangan ini. Saat menguraikan angka 75, kami meninggalkan angka 5, dan saat menguraikan angka 60, kami meninggalkan 2 * 2
Jadi, untuk menentukan KPK dari bilangan 75 dan 60, kita perlu mengalikan sisa bilangan hasil perkalian 75 (ini adalah 5) dengan 60, dan bilangan sisa dari perluasan bilangan 60 (ini adalah 2 * 2 ) kalikan dengan 75. Artinya, untuk memudahkan pemahaman , kami mengatakan bahwa kami mengalikan "melintasi".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ini adalah bagaimana kami menemukan KPK untuk angka 60 dan 75. Ini adalah angka 300.

Contoh. Tentukan KPK untuk bilangan 12, 16, 24
Dalam hal ini, tindakan kita akan sedikit lebih rumit. Tapi, pertama, seperti biasa, kami menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan KPK dengan benar, kami memilih yang terkecil dari semua angka (ini adalah angka 12) dan secara berurutan melewati faktor-faktornya, mencoretnya jika setidaknya satu dari baris angka lainnya memiliki faktor yang sama yang belum dilintasi keluar.

Langkah 1 . Kami melihat bahwa 2 * 2 terjadi di semua seri angka. Kami mencoret mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Pada faktor prima dari angka 12, hanya angka 3 yang tersisa, tetapi ada pada faktor prima dari angka 24. Kami mencoret angka 3 dari kedua baris, sementara tidak ada tindakan yang diharapkan untuk angka 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang Anda lihat, saat menguraikan angka 12, kami "mencoret" semua angka. Jadi penemuan NOC selesai. Tetap hanya untuk menghitung nilainya.
Untuk angka 12, kami mengambil faktor sisa dari angka 16 (terdekat dalam urutan menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus ini, menemukan KPK agak lebih sulit, tetapi ketika Anda perlu menemukannya untuk tiga angka atau lebih, metode ini memungkinkan Anda melakukannya lebih cepat. Namun, kedua cara mencari KPK itu benar.

Definisi. Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar (gcd) angka-angka ini.

Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari angka 24 dan 35.
Pembagi dari 24 adalah angka 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembagi dari 35 adalah angka 1, 5, 7, 35.
Kita melihat bahwa angka 24 dan 35 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut koprima.

Definisi. Bilangan asli disebut koprima jika pembagi persekutuan terbesarnya (gcd) adalah 1.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK) dapat ditemukan tanpa menuliskan semua pembagi dari bilangan yang diberikan.

Memfaktorkan bilangan 48 dan 36, diperoleh:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, kami menghapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan kedua (yaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 tetap. Hasil kali mereka adalah 12. Angka ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36. Pembagi persekutuan terbesar dari tiga angka atau lebih juga ditemukan.

Mencari pembagi persekutuan terbesar

2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya;
3) menemukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Jika semua bilangan yang diberikan habis dibagi salah satunya, maka bilangan tersebut adalah pembagi persekutuan terbesar angka yang diberikan.
Misalnya, pembagi persekutuan terbesar dari 15, 45, 75, dan 180 adalah 15, karena membagi semua bilangan lain: 45, 75, dan 180.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 75 dan 60 dapat dicari tanpa menuliskan kelipatan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor sederhana: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kami menulis faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan yang pertama dari angka-angka ini, dan menambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang 2 dan 2 dari perluasan angka kedua (yaitu, kami menggabungkan faktor-faktornya).
Kami mendapatkan lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasilnya adalah 300. Angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60.

Temukan juga kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih.

Ke cari kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan asli, Anda perlu:
1) menguraikannya menjadi faktor prima;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan;
3) tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka-angka yang tersisa;
4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

Perhatikan bahwa jika salah satu dari angka-angka ini habis dibagi dengan semua angka lainnya, maka angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Misalnya, kelipatan persekutuan terkecil dari 12, 15, 20, dan 60 adalah 60, karena ia habis dibagi oleh semua bilangan yang diberikan.

Pythagoras (abad VI SM) dan murid-muridnya mempelajari masalah pembagian bilangan. Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (tanpa bilangan itu sendiri), disebut bilangan sempurna. Misalnya, angka 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sempurna. Bilangan sempurna berikutnya adalah 496, 8128, 33.550.336. Orang Pythagoras hanya mengetahui tiga bilangan sempurna pertama. Yang keempat - 8128 - mulai dikenal pada abad ke-1. n. e. Kelima - 33 550 336 - ditemukan pada abad ke-15. Pada tahun 1983, 27 bilangan sempurna sudah diketahui. Namun hingga saat ini, para ilmuwan belum mengetahui apakah ada bilangan sempurna ganjil, apakah ada bilangan sempurna terbesar.
Ketertarikan para matematikawan kuno pada bilangan prima adalah karena fakta bahwa bilangan apa pun adalah prima atau dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima, yaitu, bilangan prima seperti batu bata yang darinya sisa bilangan asli dibangun.
Anda mungkin memperhatikan bahwa bilangan prima dalam deret bilangan asli muncul secara tidak merata - di beberapa bagian deret tersebut jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang deret bilangan, semakin jarang bilangan prima. Timbul pertanyaan: apakah bilangan prima terakhir (terbesar) ada? Ahli matematika Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Awal", yang selama dua ribu tahun merupakan buku teks utama matematika, membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, yaitu, di belakang setiap bilangan prima ada bilangan genap bilangan prima yang lebih besar.
Untuk menemukan bilangan prima, matematikawan Yunani lain pada waktu yang sama, Eratosthenes, menemukan metode seperti itu. Dia menuliskan semua angka dari 1 ke beberapa angka, dan kemudian mencoret unit, yang bukan bilangan prima atau gabungan, kemudian mencoret satu semua angka setelah 2 (angka yang merupakan kelipatan 2, yaitu 4, 6 , 8, dst). Angka sisa pertama setelah 2 adalah 3. Kemudian, setelah dua, semua angka setelah 3 dicoret (angka kelipatan 3, yaitu 6, 9, 12, dst). pada akhirnya, hanya bilangan prima yang tidak dicoret.

Siswa diberi banyak tugas matematika. Di antara mereka, sangat sering ada tugas dengan rumusan sebagai berikut: ada dua nilai. Bagaimana cara menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan yang diberikan? Penting untuk dapat melakukan tugas-tugas seperti itu, karena keterampilan yang diperoleh digunakan untuk bekerja dengan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis cara menemukan KPK dan konsep dasarnya.

Sebelum menemukan jawaban atas pertanyaan tentang cara mencari KPK, Anda perlu mendefinisikan istilah kelipatan. Paling sering, kata-kata dari konsep ini adalah sebagai berikut: kelipatan beberapa nilai A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa Jadi, untuk 4, 8, 12, 16, 20 dan seterusnya, hingga batas yang diperlukan.

Dalam hal ini, jumlah pembagi untuk nilai tertentu dapat dibatasi, dan ada banyak kelipatan yang tak terhingga. Ada juga nilai yang sama untuk nilai alam. Ini adalah indikator yang dibagi oleh mereka tanpa sisa. Setelah berurusan dengan konsep nilai terkecil untuk indikator tertentu, mari beralih ke cara menemukannya.

Menemukan NOC

Kelipatan terkecil dari dua atau lebih eksponen adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi sepenuhnya oleh semua bilangan yang diberikan.

Ada beberapa cara untuk menemukan nilai seperti itu. Mari kita pertimbangkan metode berikut:

1. Jika jumlahnya kecil, maka tulis di baris semua habis dibagi. Terus lakukan ini sampai Anda menemukan kesamaan di antara mereka. Dalam catatan, mereka dilambangkan dengan huruf K. Misalnya, untuk 4 dan 3, kelipatan terkecil adalah 12.
2. Jika ini besar atau Anda perlu mencari kelipatan untuk 3 nilai atau lebih, maka Anda harus menggunakan teknik yang berbeda di sini, yang melibatkan penguraian bilangan menjadi faktor prima. Pertama, lay out yang terbesar dari yang ditunjukkan, lalu sisanya. Masing-masing memiliki jumlah pengganda sendiri. Sebagai contoh, mari kita dekomposisi 20 (2*2*5) dan 50 (5*5*2). Untuk yang lebih kecil, garis bawahi faktor-faktornya dan tambahkan ke yang terbesar. Hasilnya adalah 100, yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka di atas.
3. Ketika menemukan 3 angka (16, 24 dan 36) prinsipnya sama dengan dua lainnya. Mari kita perluas masing-masingnya: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Hanya dua deuces dari ekspansi angka 16 yang tidak termasuk dalam dekomposisi yang terbesar Kami menambahkannya dan mendapatkan 144, yang merupakan hasil terkecil untuk nilai numerik yang ditunjukkan sebelumnya.

Sekarang kita tahu apa teknik umum untuk menemukan nilai terkecil untuk dua, tiga atau lebih nilai. Namun, ada juga metode pribadi, membantu mencari NOC, jika yang sebelumnya tidak membantu.

Bagaimana menemukan GCD dan NOC.

Cara Menemukan Pribadi

Seperti halnya bagian matematika, ada kasus khusus untuk menemukan KPK yang membantu dalam situasi tertentu:

• jika salah satu bilangan habis dibagi yang lain tanpa sisa, maka kelipatan terkecil dari bilangan-bilangan ini sama dengannya (NOC 60 dan 15 sama dengan 15);
• Bilangan koprima tidak memiliki pembagi prima yang sama. Nilai terkecil mereka sama dengan produk dari angka-angka ini. Jadi, untuk angka 7 dan 8, ini akan menjadi 56;
• aturan yang sama berlaku untuk kasus lain, termasuk kasus khusus, yang dapat dibaca dalam literatur khusus. Ini juga harus mencakup kasus penguraian bilangan komposit, yang merupakan subjek artikel terpisah dan bahkan disertasi PhD.

Kasus khusus kurang umum daripada contoh standar. Tetapi berkat mereka, Anda dapat mempelajari cara bekerja dengan pecahan dengan berbagai tingkat kerumitan. Ini terutama berlaku untuk pecahan., di mana ada penyebut yang berbeda.

Beberapa contoh

Mari kita lihat beberapa contoh, berkat itu Anda dapat memahami prinsip menemukan kelipatan terkecil:

1. Kami menemukan KPK (35; 40). Kami lay out pertama 35 = 5*7, lalu 40 = 5*8. Kami menambahkan 8 ke angka terkecil dan mendapatkan NOC 280.
2. NOC (45; 54). Kami meletakkan masing-masing: 45 = 3*3*5 dan 54 = 3*3*6. Kami menambahkan angka 6 menjadi 45. Kami mendapatkan NOC sama dengan 270.
3. Nah, contoh terakhir. Ada 5 dan 4. Tidak ada kelipatan sederhana untuk mereka, jadi kelipatan persekutuan terkecil dalam hal ini adalah produk mereka, sama dengan 20.

Berkat contoh, Anda dapat memahami bagaimana NOC berada, apa nuansa dan apa arti dari manipulasi tersebut.

Menemukan NOC jauh lebih mudah daripada yang terlihat pada awalnya. Untuk ini, baik dekomposisi sederhana dan perkalian nilai-nilai sederhana satu sama lain digunakan.. Kemampuan untuk bekerja dengan bagian matematika ini membantu dalam studi lebih lanjut tentang topik matematika, terutama pecahan dari berbagai tingkat kerumitan.

Jangan lupa untuk memecahkan contoh secara berkala dengan metode yang berbeda, ini mengembangkan peralatan logis dan memungkinkan Anda untuk mengingat banyak istilah. Pelajari metode untuk menemukan indikator seperti itu dan Anda akan dapat bekerja dengan baik dengan bagian matematika lainnya. Selamat belajar matematika!

Video

Video ini akan membantu Anda memahami dan mengingat cara menemukan kelipatan persekutuan terkecil.

Materi yang disajikan di bawah ini adalah kelanjutan logis dari teori dari artikel di bawah judul KPK - kelipatan persekutuan terkecil, definisi, contoh, hubungan antara KPK dan PKS. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan memberikan perhatian khusus untuk memecahkan contoh. Mari kita tunjukkan terlebih dahulu bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung dalam bentuk FPB dari bilangan-bilangan ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu, kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.

Navigasi halaman.

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Salah satu cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan KPK memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b) . Perhatikan contoh mencari KPK menurut rumus di atas.

Contoh.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70 .

Keputusan.

Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan hubungan antara KPK dan PKS yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Artinya, pertama-tama kita harus menemukan pembagi persekutuan terbesar dari angka 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari angka-angka tersebut sesuai dengan rumus tertulis.

Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .

Sekarang kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: KPK(126, 70)=126 70: KPK(126, 70)= 126 70:14=630 .

Menjawab:

KPK(126, 70)=630 .

Contoh.

Apa KPK(68, 34) ?

Keputusan.

Sebagai 68 habis dibagi 34 , lalu gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34: KPK(68, 34)= 68 34:34=68 .

Menjawab:

KPK(68, 34)=68 .

Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b : jika bilangan a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut adalah a .

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima

Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima umum yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Aturan yang diumumkan untuk mencari KPK mengikuti persamaan KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Memang, produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi angka a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam ekspansi bilangan a dan b (yang dijelaskan pada bagian tentang menemukan gcd menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima ).

Mari kita ambil contoh. Diketahui bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Mari kita buat produk dari semua faktor dari ekspansi ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari produk ini semua faktor yang ada baik dalam perluasan angka 75 dan dalam perluasan angka 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka produk akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai perkalian ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 210, yaitu KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Contoh.

Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.

Keputusan.

Mari kita uraikan angka 441 dan 700 menjadi faktor prima:

Kami mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .

Sekarang mari kita buat perkalian dari semua faktor yang terlibat dalam pemuaian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari produk ini semua faktor yang secara bersamaan hadir di kedua ekspansi (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dengan demikian, KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Menjawab:

KPK(441, 700)= 44 100 .

Aturan untuk mencari KPK menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b ke faktor-faktor dari penguraian bilangan a, maka nilai hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.

Sebagai contoh, mari kita ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, ekspansinya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Untuk faktor 3, 5 dan 5 dari perluasan bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari perluasan bilangan 210, kita mendapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210).

Contoh.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Keputusan.

Pertama-tama kita peroleh dekomposisi bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari perluasan bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari perluasan bilangan 648 , kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4 536 .

Menjawab:

KPK(84, 648)=4 536 .

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk menemukan KPK dari tiga angka atau lebih.

Dalil.

Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.

Contoh.

Tentukan KPK dari keempat bilangan tersebut 140 , 9 , 54 dan 250 .

Keputusan.

Dalam contoh ini a 1 = 140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Pertama kita temukan m 2 \u003d KPK (a 1, a 2) \u003d KPK (140, 9). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9 ), kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: KPK(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yaitu, m 2 = 260 .

Sekarang kita temukan m 3 \u003d KPK (m 2, a 3) \u003d KPK (1 260, 54). Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana KPK(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.

Kiri untuk menemukan m 4 \u003d KPK (m 3, a 4) \u003d KPK (3 780, 250). Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , dari mana gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.

Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.

Menjawab:

KPK(140, 9, 54, 250)=94,500.

Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat ditemukan dengan mudah menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, aturan berikut harus diikuti. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang tersusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.

Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Contoh.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Keputusan.

Pertama, kita peroleh perluasan bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 faktor prima) dan 143=11 13 .

Untuk mencari KPK dari bilangan-bilangan ini, ke faktor-faktor dari bilangan pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7 ) Anda perlu menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua 6 . Perluasan angka 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan angka pertama 84 . Selanjutnya faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari pemuaian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan himpunan faktor 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini di langkah berikutnya, karena 7 sudah ada di dalamnya. Akhirnya, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari perluasan bilangan 143 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .