Antara akar dan koefisien persamaan kuadrat, selain rumus akar, ada hubungan berguna lainnya yang diberikan oleh teorema Vieta. Pada artikel ini, kami akan memberikan rumusan dan pembuktian teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Selanjutnya, kami mempertimbangkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Setelah itu, kami akan menganalisis solusi dari contoh paling khas. Akhirnya, kami menuliskan formula Vieta yang menentukan hubungan antara akar sebenarnya persamaan aljabar derajat n dan koefisiennya.

Navigasi halaman.

Teorema, formulasi, bukti Vieta

Dari rumus akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 dari bentuk , di mana D=b 2 4 a c , hubungan x 1 +x 2 = b/a, x 1 x 2 = c/a. Hasil ini dikonfirmasi teorema Vieta:

Dalil.

Jika sebuah x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, maka jumlah akar-akarnya sama dengan rasio koefisien b dan a, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali dari akar-akarnya sama dengan rasio koefisien c dan a, yaitu .

Bukti.

Kami akan membuktikan teorema Vieta sesuai dengan skema berikut: kami membuat jumlah dan produk dari akar persamaan kuadrat menggunakan rumus akar yang diketahui, setelah itu kami mengubah ekspresi yang dihasilkan, dan memastikan bahwa mereka sama dengan b /a dan c/a, masing-masing.

Mari kita mulai dengan jumlah akar, menyusunnya. Sekarang kita bawa pecahan ke penyebut yang sama, kita punya. Pada pembilang dari pecahan yang dihasilkan , setelah itu : . Akhirnya, setelah 2 , kita mendapatkan . Ini membuktikan hubungan pertama teorema Vieta untuk jumlah akar persamaan kuadrat. Mari kita beralih ke yang kedua.

Kami membuat produk dari akar persamaan kuadrat:. Menurut aturan perkalian pecahan, produk terakhir dapat ditulis sebagai. Sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung di pembilang, tetapi lebih cepat untuk menciutkan produk ini dengan rumus selisih kuadrat, Jadi . Kemudian, mengingat , kami melakukan transisi berikutnya. Dan karena rumus D=b 2 −4 a·c sesuai dengan diskriminan persamaan kuadrat, maka b 2 4·a·c dapat disubstitusikan ke dalam pecahan terakhir dan bukan D, kita dapatkan . Setelah membuka kurung dan mengurangi suku yang sama, kita sampai pada pecahan , dan pengurangannya dengan 4·a memberikan . Ini membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk produk akar.

Jika kita menghilangkan penjelasan, maka bukti teorema Vieta akan berbentuk ringkas:
,
.

Tetap hanya untuk dicatat bahwa ketika diskriminan sama dengan nol, persamaan kuadrat memiliki satu akar. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa persamaan dalam kasus ini memiliki dua akar yang identik, maka persamaan dari teorema Vieta juga berlaku. Memang, untuk D=0 akar persamaan kuadrat adalah , maka dan , dan karena D=0 , yaitu, b 2 4·a·c=0 , dari mana b 2 =4·a·c , maka .

Dalam praktiknya, teorema Vieta paling sering digunakan dalam kaitannya dengan persamaan kuadrat tereduksi (dengan koefisien tertinggi a sama dengan 1 ) dari bentuk x 2 +p·x+q=0 . Kadang-kadang diformulasikan untuk persamaan kuadrat jenis ini saja, yang tidak membatasi keumumannya, karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen dengan membagi kedua bagiannya dengan angka bukan nol a. Berikut adalah rumusan yang sesuai dari teorema Vieta:

Dalil.

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + p x + q \u003d 0 sama dengan koefisien di x, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar adalah suku bebas, yaitu x 1 + x 2 \u003d p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema kebalikan dari teorema Vieta

Rumusan kedua teorema Vieta, yang diberikan pada paragraf sebelumnya, menunjukkan bahwa jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0, maka relasi x 1 +x 2 = p , x 1 x 2=q. Di sisi lain, dari hubungan tertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 +p x+q=0. Dengan kata lain, pernyataan kebalikan dari teorema Vieta adalah benar. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema, dan membuktikannya.

Dalil.

Jika bilangan x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 .

Bukti.

Setelah mengganti koefisien p dan q dalam persamaan x 2 +p x+q=0 dari ekspresi mereka melalui x 1 dan x 2, itu diubah menjadi persamaan setara.

Kami mengganti angka x 1 alih-alih x ke dalam persamaan yang dihasilkan, kami memiliki persamaan x 1 2 (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, yang untuk setiap x 1 dan x 2 adalah persamaan numerik yang benar 0=0, karena x 1 2 (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Oleh karena itu, x 1 adalah akar dari persamaan x 2 (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, yang berarti bahwa x 1 adalah akar persamaan ekivalen x 2 +p x+q=0 .

Jika dalam persamaan x 2 (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 gantikan x 2 dengan x, maka kita mendapatkan persamaan x 2 2 (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang benar karena x 2 2 (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 x 1 x 2 x 2 2 +x 1 x 2 =0. Oleh karena itu, x 2 juga merupakan akar dari persamaan x 2 (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dan karenanya persamaan x 2 +p x+q=0 .

Ini melengkapi bukti teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta.

Contoh penggunaan teorema Vieta

Saatnya berbicara tentang aplikasi praktis teorema Vieta dan teorema kebalikannya. Dalam subbagian ini, kami akan menganalisis solusi dari beberapa contoh yang paling umum.

Kita mulai dengan menerapkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Lebih mudah menggunakannya untuk memeriksa apakah dua angka yang diberikan adalah akar dari persamaan kuadrat yang diberikan. Dalam hal ini, jumlah dan perbedaannya dihitung, setelah itu validitas hubungan diperiksa. Jika kedua hubungan ini terpenuhi, maka, berdasarkan teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta, disimpulkan bahwa angka-angka ini adalah akar dari persamaan. Jika setidaknya salah satu hubungan tidak terpenuhi, maka angka-angka ini bukan akar persamaan kuadrat. Pendekatan ini dapat digunakan ketika memecahkan persamaan kuadrat untuk memeriksa akar yang ditemukan.

Contoh.

Manakah dari pasangan bilangan 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2), atau 3) yang merupakan pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 16 x+9=0?

Keputusan.

Koefisien persamaan kuadrat yang diberikan 4 x 2 16 x+9=0 adalah a=4 , b=−16 , c=9 . Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan b/a, yaitu 16/4=4, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan c/a, yaitu, 9 /4.

Sekarang mari kita hitung jumlah dan hasil kali bilangan di masing-masing dari tiga pasangan yang diberikan, dan bandingkan dengan nilai yang baru saja diperoleh.

Dalam kasus pertama, kita memiliki x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Nilai yang dihasilkan berbeda dari 4, oleh karena itu, verifikasi lebih lanjut tidak dapat dilakukan, tetapi dengan teorema, kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat segera menyimpulkan bahwa pasangan angka pertama bukanlah pasangan akar dari persamaan kuadrat yang diberikan .

Mari kita beralih ke kasus kedua. Di sini, yaitu, kondisi pertama terpenuhi. Kami memeriksa kondisi kedua: , nilai yang dihasilkan berbeda dari 9/4 . Oleh karena itu, pasangan bilangan kedua bukan merupakan pasangan akar persamaan kuadrat.

Kasus terakhir tetap ada. Di sini dan . Kedua kondisi terpenuhi, jadi bilangan x 1 dan x 2 ini adalah akar dari persamaan kuadrat yang diberikan.

Menjawab:

Teorema, kebalikan dari teorema Vieta, dapat digunakan dalam praktik untuk memilih akar persamaan kuadrat. Biasanya, akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat yang diberikan dengan koefisien bilangan bulat dipilih, karena dalam kasus lain hal ini cukup sulit dilakukan. Pada saat yang sama, mereka menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua angka sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, diambil dengan tanda minus, dan produk dari angka-angka ini sama dengan suku bebas, maka angka-angka ini adalah akar persamaan kuadrat ini. Mari kita tangani ini dengan sebuah contoh.

Mari kita ambil persamaan kuadrat x 2 5 x+6=0 . Agar bilangan x 1 dan x 2 menjadi akar persamaan ini, dua persamaan x 1 +x 2 \u003d 5 dan x 1 x 2 \u003d 6 harus dipenuhi. Tetap memilih nomor seperti itu. Dalam hal ini, ini cukup sederhana untuk dilakukan: angka tersebut adalah 2 dan 3, karena 2+3=5 dan 2 3=6 . Jadi, 2 dan 3 adalah akar dari persamaan kuadrat ini.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta sangat cocok untuk menemukan akar kedua dari persamaan kuadrat tereduksi ketika salah satu akar sudah diketahui atau jelas. Dalam hal ini, akar kedua ditemukan dari salah satu relasi.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 512 x 2 509 x−3=0 . Di sini mudah untuk melihat bahwa unit adalah akar persamaan, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini adalah nol. Jadi x 1 =1 . Akar kedua x 2 dapat ditemukan, misalnya, dari relasi x 1 x 2 =c/a. Kami memiliki 1 x 2 =−3/512 , dari mana x 2 =−3/512 . Jadi kita telah mendefinisikan kedua akar persamaan kuadrat: 1 dan 3/512.

Jelas bahwa pemilihan akar hanya bijaksana dalam kasus yang paling sederhana. Dalam kasus lain, untuk menemukan akarnya, Anda dapat menerapkan rumus akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.

Aplikasi praktis lain dari teorema, kebalikan dari teorema Vieta, adalah kompilasi persamaan kuadrat untuk akar yang diberikan x 1 dan x 2. Untuk melakukan ini, cukup menghitung jumlah akar, yang memberikan koefisien x dengan tanda berlawanan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan produk dari akar, yang memberikan istilah bebas.

Contoh.

Tulis persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah bilangan 11 dan 23.

Keputusan.

Dinotasikan x 1 =−11 dan x 2 =23 . Kami menghitung jumlah dan produk dari angka-angka ini: x 1 + x 2 \u003d 12 dan x 1 x 2 \u003d 253. Oleh karena itu, angka-angka ini adalah akar dari persamaan kuadrat yang diberikan dengan koefisien kedua -12 dan suku bebas -253. Artinya, x 2 12·x−253=0 adalah persamaan yang diinginkan.

Menjawab:

x 2 12 x−253=0 .

Teorema Vieta sangat sering digunakan dalam menyelesaikan tugas-tugas yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Bagaimana teorema Vieta terkait dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 ? Berikut adalah dua pernyataan yang relevan:

• Jika intersep q adalah bilangan positif dan jika persamaan kuadrat memiliki akar real, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
• Jika suku bebas q adalah bilangan negatif dan jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar real, maka tanda-tandanya berbeda, dengan kata lain, satu akar positif dan akar lainnya negatif.

Pernyataan-pernyataan ini mengikuti rumus x 1 x 2 =q, serta aturan untuk mengalikan bilangan positif, negatif, dan bilangan dengan tanda yang berbeda. Pertimbangkan contoh penerapannya.

Contoh.

R adalah positif. Menurut rumus diskriminan, kita menemukan D=(r+2) 2 4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , nilai dari ekspresi r 2 +8 positif untuk sembarang r nyata , jadi D>0 untuk sembarang r nyata . Oleh karena itu, persamaan kuadrat asli memiliki dua akar untuk setiap nilai riil parameter r.

Sekarang mari kita cari tahu kapan akar memiliki tanda yang berbeda. Jika tanda-tanda akarnya berbeda, maka produknya negatif, dan dengan teorema Vieta, produk dari akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan suku bebas. Oleh karena itu, kami tertarik pada nilai r yang suku bebasnya r−1 negatif. Jadi, untuk menemukan nilai r yang menarik bagi kita, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier r−1<0 , откуда находим r<1 .

Menjawab:

di r<1 .

formula vieta

Di atas, kita berbicara tentang teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan menganalisis hubungan yang dinyatakannya. Tetapi ada rumus yang menghubungkan akar dan koefisien real tidak hanya dari persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik, persamaan empat kali lipat, dan secara umum, persamaan aljabar derajat n. Mereka disebut formula vieta.

Kami menulis rumus Vieta untuk persamaan aljabar derajat n dalam bentuk, sementara kami berasumsi bahwa ia memiliki n akar real x 1, x 2, ..., x n (di antara mereka mungkin ada yang sama):

Dapatkan formula Vieta memungkinkan teorema faktorisasi polinomial, serta definisi polinomial yang sama melalui kesetaraan semua koefisien yang sesuai. Jadi polinomial dan ekspansinya menjadi faktor linier dalam bentuk adalah sama. Membuka tanda kurung di produk terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kami mendapatkan rumus Vieta.

Khususnya, untuk n=2 kita telah mengetahui rumus Vieta untuk persamaan kuadrat .

Untuk persamaan kubik, rumus Vieta memiliki bentuk

Hanya perlu dicatat bahwa di sisi kiri formula Vieta ada yang disebut dasar polinomial simetris.

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 2010.- 368 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Inti dari teknik ini adalah mencari akar tanpa bantuan diskriminan. Untuk persamaan bentuk x2 + bx + c = 0, di mana ada dua akar real yang berbeda, dua pernyataan benar.

Pernyataan pertama mengatakan bahwa jumlah akar persamaan ini sama dengan nilai koefisien variabel x (dalam hal ini adalah b), tetapi dengan tanda yang berlawanan. Secara visual, terlihat seperti ini: x1 + x2 = b.

Pernyataan kedua tidak lagi terhubung dengan jumlah, tetapi dengan produk dari dua akar yang sama. Produk ini disamakan dengan koefisien bebas, yaitu. c. Atau, x1 * x2 = c. Kedua contoh ini diselesaikan dalam sistem.

Teorema Vieta sangat menyederhanakan solusi, tetapi memiliki satu batasan. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dapat ditemukan dengan menggunakan teknik ini harus direduksi. Dalam persamaan di atas untuk koefisien a, yang sebelum x2 sama dengan satu. Persamaan apa pun dapat direduksi menjadi bentuk yang serupa dengan membagi ekspresi dengan koefisien pertama, tetapi operasi ini tidak selalu rasional.

Bukti teorema

Pertama-tama, kita harus ingat bagaimana, menurut tradisi, mencari akar persamaan kuadrat adalah kebiasaan. Akar pertama dan kedua dicari, yaitu: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Umumnya habis dibagi 2a, tetapi, seperti yang telah disebutkan, teorema hanya dapat diterapkan jika a=1.

Dari teorema Vieta diketahui bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda minus. Artinya x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = 2b/2 = b.

Hal yang sama berlaku untuk hasil kali akar yang tidak diketahui: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Pada gilirannya, D = b2-4c (sekali lagi, dengan a=1). Ternyata hasilnya adalah: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Dari bukti sederhana di atas, hanya satu kesimpulan yang dapat ditarik: teorema Vieta dikonfirmasi sepenuhnya.

Formulasi kedua dan bukti

Teorema Vieta memiliki interpretasi lain. Lebih tepatnya, itu bukan interpretasi, tetapi kata-kata. Faktanya adalah bahwa jika kondisi yang sama dipenuhi seperti pada kasus pertama: ada dua akar real yang berbeda, maka teorema dapat ditulis dalam rumus yang berbeda.

Persamaan ini terlihat seperti ini: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Jika fungsi P(x) berpotongan di dua titik x1 dan x2, maka dapat ditulis sebagai P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Dalam kasus ketika P memiliki derajat kedua, dan ini adalah persis seperti apa ekspresi aslinya, maka R adalah bilangan prima, yaitu 1. Pernyataan ini benar karena jika tidak, persamaan tidak akan berlaku. Koefisien x2 saat membuka tanda kurung tidak boleh lebih dari satu, dan ekspresinya harus tetap persegi.

Teorema Vieta sering digunakan untuk menguji akar yang sudah ditemukan. Jika Anda telah menemukan akarnya, Anda dapat menggunakan rumus \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) untuk menghitung nilai \(p\ ) dan \(q\ ). Dan jika ternyata sama dengan persamaan aslinya, maka akarnya ditemukan dengan benar.

Misalnya, mari gunakan , selesaikan persamaan \(x^2+x-56=0\) dan dapatkan akarnya: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Mari kita periksa apakah kita membuat kesalahan dalam proses penyelesaian. Dalam kasus kami, \(p=1\), dan \(q=-56\). Dengan teorema Vieta kita memiliki:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Kedua pernyataan konvergen, yang berarti bahwa kami menyelesaikan persamaan dengan benar.

Tes ini dapat dilakukan secara lisan. Ini akan memakan waktu 5 detik dan menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh.

Teorema Vieta terbalik

Jika \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), maka \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar dari persamaan kuadrat \ (x^ 2+px+q=0\).

Atau secara sederhana: jika Anda memiliki persamaan berbentuk \(x^2+px+q=0\), maka dengan menyelesaikan sistem \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) Anda akan menemukan akarnya.

Berkat teorema ini, Anda dapat dengan cepat menemukan akar persamaan kuadrat, terutama jika akar-akar ini adalah . Keterampilan ini penting karena menghemat banyak waktu.

Contoh . Selesaikan persamaan \(x^2-5x+6=0\).

Keputusan : Dengan menggunakan teorema Vieta terbalik, diperoleh bahwa akar memenuhi kondisi: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Perhatikan persamaan kedua dari sistem \(x_1 \cdot x_2=6\). Bilangan \(6\) dapat diurai menjadi dua apa? Pada \(2\) dan \(3\), \(6\) dan \(1\) atau \(-2\) dan \(-3\), dan \(-6\) dan \(- satu\). Dan pasangan mana yang harus dipilih, persamaan pertama dari sistem akan memberi tahu: \(x_1+x_2=5\). \(2\) dan \(3\) serupa, karena \(2+3=5\).
Menjawab : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Contoh . Menggunakan invers teorema Vieta, cari akar persamaan kuadrat:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Keputusan :
a) \(x^2-15x+14=0\) - faktor apa yang \(14\) terurai? \(2\) dan \(7\), \(-2\) dan \(-7\), \(-1\) dan \(-14\), \(1\) dan \(14\ ). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(15\)? Jawaban: \(1\) dan \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - ke dalam faktor apa \(-4\) terurai? \(-2\) dan \(2\), \(4\) dan \(-1\), \(1\) dan \(-4\). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(-3\)? Jawaban: \(1\) dan \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – ke dalam faktor apa \(20\) terurai? \(4\) dan \(5\), \(-4\) dan \(-5\), \(2\) dan \(10\), \(-2\) dan \(-10\ ), \(-20\) dan \(-1\), \(20\) dan \(1\). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(-9\)? Jawaban: \(-4\) dan \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - ke dalam faktor apa \(780\) terurai? \(390\) dan \(2\). Apakah mereka menambahkan hingga \(88\)? Tidak. Apa pengganda lain yang dimiliki \(780\)? \(78\) dan \(10\). Apakah mereka menambahkan hingga \(88\)? Ya. Jawaban: \(78\) dan \(10\).

Tidak perlu menguraikan suku terakhir menjadi semua faktor yang mungkin (seperti pada contoh terakhir). Anda dapat segera memeriksa apakah jumlah mereka memberi \(-p\).

Penting! Teorema Vieta dan teorema kebalikan hanya bekerja dengan , yaitu, yang koefisien di depan \(x^2\) sama dengan satu. Jika pada awalnya kita memiliki persamaan yang tidak tereduksi, maka kita dapat membuatnya berkurang hanya dengan membaginya dengan koefisien di depan \ (x ^ 2 \).

Misalnya, biarkan persamaan \(2x^2-4x-6=0\) diberikan dan kami ingin menggunakan salah satu teorema Vieta. Tapi kita tidak bisa, karena koefisien sebelum \(x^2\) sama dengan \(2\). Mari kita singkirkan dengan membagi seluruh persamaan dengan \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Siap. Sekarang kita dapat menggunakan kedua teorema.

Jawaban untuk pertanyaan yang sering diajukan

Pertanyaan: Dengan teorema Vieta, Anda dapat menyelesaikan ?
Menjawab: Sayangnya tidak ada. Jika tidak ada bilangan bulat dalam persamaan atau persamaan tidak memiliki akar sama sekali, maka teorema Vieta tidak akan membantu. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan pembeda . Untungnya, 80% persamaan dalam kursus matematika sekolah memiliki solusi bilangan bulat.

Fungsi kuadrat.

Fungsi yang diberikan oleh rumus y = ax2 + bx + c , di mana x dan y adalah variabel dan a, b, c diberikan angka, dengan a tidak sama dengan 0 .
ditelepon fungsi kuadrat

Pemilihan persegi penuh.

Turunan rumus untuk akar persamaan kuadrat, kondisi keberadaannya dan jumlahnya.

adalah diskriminan dari persamaan kuadrat.

Teorema langsung dan invers Vieta.

Dekomposisi trinomial persegi menjadi faktor linier.

Dalil. Biarlah

x 1 dan x 2 - akar trinomial kuadratx 2 + px + q. Kemudian trinomial ini didekomposisi menjadi faktor linier sebagai berikut:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).

Bukti. Pengganti bukannya

p dan qekspresi mereka melaluix 1 dan x 2 dan gunakan metode pengelompokan:

x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Teorema telah terbukti.

Persamaan kuadrat. Plot Trinomial Persegi

Ketik persamaan

disebut persamaan kuadrat. Bilangan D = b 2 - 4ac adalah diskriminan dari persamaan ini.
Jika sebuah

lalu angkanya

adalah akar (atau solusi) dari persamaan kuadrat. Jika D = 0, maka akar-akarnya berhimpitan:

Jika D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Rumus yang valid:

- Formula Vieta; sebuah
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
rumus faktorisasi.
Grafik fungsi kuadrat (trinomial kuadrat) y \u003d ax 2 + bx + c adalah parabola. Lokasi parabola tergantung pada tanda-tanda koefisien a dan diskriminan D ditunjukkan pada gambar.


Angka x 1 dan x 2 pada sumbu x adalah akar dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + + c \u003d 0; koordinat titik puncak parabola (titik A) dalam semua kasus

titik potong parabola dengan sumbu y memiliki koordinat (0; c).
Seperti garis lurus dan lingkaran, parabola membagi bidang menjadi dua bagian. Di salah satu bagian ini, koordinat semua titik memenuhi pertidaksamaan y > ax 2 + bx + c, dan di bagian lain, sebaliknya. Tanda pertidaksamaan di bagian bidang yang dipilih ditentukan dengan menemukannya di beberapa titik di bagian bidang ini.
Pertimbangkan konsep garis singgung parabola (atau lingkaran). Sebuah garis y - kx + 1 akan disebut garis singgung parabola (atau lingkaran) jika memiliki satu titik yang sama dengan kurva ini.


Pada titik kontak M(x; y) untuk parabola, persamaan kx + 1 = ax 2 + bx + c terpenuhi (untuk lingkaran, persamaan (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Menyamakan diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan menjadi nol (karena persamaan harus memiliki solusi yang unik), kita sampai pada kondisi untuk menghitung koefisien garis singgung.

teorema Vieta

Membiarkan dan menunjukkan akar dari persamaan kuadrat tereduksi
(1) .
Maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien di yang diambil dengan tanda yang berlawanan. Hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas:
;
.

Catatan tentang banyak akar

Jika diskriminan persamaan (1) adalah nol, maka persamaan ini memiliki satu akar. Tetapi, untuk menghindari formulasi yang rumit, secara umum diterima bahwa dalam kasus ini, persamaan (1) memiliki dua akar kelipatan, atau sama,:
.

Bukti satu

Mari kita cari akar-akar persamaan (1). Untuk melakukan ini, gunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat:
;
;
.

Mencari jumlah akar:
.

Untuk menemukan produk, kami menerapkan rumus:
.
Kemudian

.

Teorema telah terbukti.

Bukti dua

Jika bilangan-bilangan tersebut dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat (1), maka
.
Kami membuka kurung.

.
Dengan demikian, persamaan (1) akan berbentuk:
.
Membandingkan dengan (1) kita menemukan:
;
.

Teorema telah terbukti.

Teorema Vieta terbalik

Biarkan ada angka yang sewenang-wenang. Maka dan adalah akar-akar persamaan kuadrat
,
di mana
(2) ;
(3) .

Bukti teorema kebalikan Vieta

Perhatikan persamaan kuadrat
(1) .
Kita perlu membuktikan bahwa jika dan , maka dan adalah akar-akar persamaan (1).

Substitusikan (2) dan (3) menjadi (1):
.
Kami mengelompokkan istilah sisi kiri persamaan:
;
;
(4) .

Pengganti di (4) :
;
.

Pengganti di (4) :
;
.
Persamaan terpenuhi. Artinya, bilangan tersebut adalah akar dari persamaan (1).

Teorema telah terbukti.

Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat lengkap

Sekarang perhatikan persamaan kuadrat lengkap
(5) ,
dimana , dan adalah beberapa bilangan. Dan .

Kami membagi persamaan (5) dengan:
.
Artinya, kita telah memperoleh persamaan di atas
,
di mana ; .

Maka teorema Vieta untuk persamaan kuadrat lengkap memiliki bentuk sebagai berikut.

Membiarkan dan menunjukkan akar dari persamaan kuadrat lengkap
.
Kemudian jumlah dan produk akar ditentukan dengan rumus:
;
.

Teorema Vieta untuk persamaan kubik

Demikian pula, kita dapat membangun hubungan antara akar persamaan kubik. Perhatikan persamaan kubik
(6) ,
dimana , , , adalah beberapa bilangan. Dan .
Mari kita bagi persamaan ini dengan:
(7) ,
di mana , , .
Biarkan , , menjadi akar dari persamaan (7) (dan persamaan (6)). Kemudian

.

Membandingkan dengan persamaan (7) kita menemukan:
;
;
.

Teorema Vieta untuk persamaan derajat ke-n

Dengan cara yang sama, Anda dapat menemukan hubungan antara akar , , ... , , untuk persamaan derajat ke-n
.

Teorema Vieta untuk persamaan derajat ke-n memiliki bentuk sebagai berikut:
;
;
;

.

Untuk mendapatkan rumus tersebut, kita tulis persamaannya dalam bentuk berikut:
.
Kemudian kita samakan koefisien pada , , , ... , dan bandingkan suku bebasnya.

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
cm. Nikolay, M.K. Potapov et al., Aljabar: buku teks untuk kelas 8 lembaga pendidikan, Moskow, Pendidikan, 2006.