Analisis matematika adalah cabang matematika yang berhubungan dengan studi fungsi berdasarkan gagasan fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematis adalah besaran, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

Nilai segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan suatu bilangan disebut.

banyak adalah kumpulan dari beberapa elemen yang disatukan oleh beberapa fitur umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa bilangan, gambar, benda, konsep, dan lain-lain.

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, dan anggota himpunan dilambangkan dengan huruf kecil. Elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen x milik himpunan X, lalu menulis x∈X (∈ - milik).
Jika himpunan A adalah bagian dari himpunan B, tulislah A B (⊂ - terkandung).

Himpunan dapat didefinisikan dengan salah satu dari dua cara: dengan enumerasi dan dengan properti yang mendefinisikan.

Misalnya, enumerasi mendefinisikan set berikut:

• A=(1,2,3,5,7) - kumpulan angka
• =(x 1 ,x 2 ,...,x n ) adalah himpunan dari beberapa elemen x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) adalah himpunan bilangan asli
• Z=(0,±1,±2,...,±n) adalah himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞;+∞) disebut nomor baris, dan setiap nomor adalah titik dari garis ini. Biarkan a menjadi titik sewenang-wenang pada garis nyata dan bilangan positif. Interval (a-δ; a+δ) disebut -lingkungan titik a.

Himpunan X dibatasi dari atas (dari bawah) jika ada bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk setiap x X pertidaksamaan x≤с (x≥c) dipenuhi. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah) himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas. Wajah terkecil (terbesar) dari himpunan bagian atas (bawah) disebut wajah atas (bawah) yang tepat set ini.

Set Numerik Dasar

N	(1,2,3,...,n) Himpunan semua
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Setel bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk himpunan bilangan asli.
Q	Sekelompok angka rasional. Selain bilangan bulat, ada juga pecahan. Pecahan adalah ekspresi dari bentuk , dimana p adalah bilangan bulat, q- alami. Desimal juga dapat ditulis sebagai . Misalnya: 0,25 = 25/100 = 1/4. Bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai . Misalnya dalam bentuk pecahan dengan penyebut “satu”: 2 = 2/1. Jadi, bilangan rasional apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal - periodik hingga atau tak terhingga.
R	Banyak dari semuanya bilangan asli. Bilangan irasional adalah pecahan non-periodik tak terbatas. Ini termasuk: Bersama-sama, dua himpunan (bilangan rasional dan irasional) membentuk himpunan bilangan real (atau real).

Jika suatu himpunan tidak mengandung unsur-unsur, maka disebut set kosong dan direkam Ø .

Elemen simbolisme logis

Notasi x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

pembilang

Saat menulis ekspresi matematika, quantifier sering digunakan.

pembilang disebut simbol logis yang mencirikan unsur-unsur yang mengikutinya secara kuantitatif.

• ∀- penghitung umum, digunakan sebagai pengganti kata "untuk semua", "untuk siapa saja".
• ∃- kuantifier eksistensial, digunakan sebagai pengganti kata "ada", "memiliki". Kombinasi simbol ! juga digunakan, yang dibaca karena hanya ada satu.

Operasi pada set

Dua himpunan A dan B sama(A=B) jika terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) maka A=B.

Serikat (jumlah) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya paling sedikit dimiliki oleh salah satu himpunan tersebut.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), maka A B = (1,2,3,4,5,6)

Persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), maka A B = (2,4)

perbedaan himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan A, tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A B yang merupakan gabungan dari selisih himpunan AB dan BA, yaitu A B = (AB) (BA).
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), maka A B = (1,2) (5,6) = (1,2, 5.6)

Sifat operasi himpunan

Sifat permutabilitas

A B = B A
A B = B A

sifat asosiatif

(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)

Set yang dapat dihitung dan tidak terhitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, dibuat korespondensi antara elemen-elemennya.

Jika korespondensi ini satu-satu, maka himpunan tersebut disebut ekuivalen atau ekuivalen, A B atau B A.

Contoh 1

Himpunan titik kaki BC dan sisi miring AC dari segitiga ABC memiliki kekuatan yang sama.

Himpunan matematika

Sekelompok- salah satu objek utama matematika, khususnya, teori himpunan. “Di bawah himpunan yang kami maksud adalah penyatuan menjadi satu objek tertentu yang sepenuhnya dapat dibedakan dari intuisi atau pemikiran kita” (G. Kantor). Ini bukan dalam arti penuh definisi logis dari konsep himpunan, tetapi hanya penjelasan (karena mendefinisikan konsep berarti menemukan konsep generik di mana konsep ini termasuk sebagai spesies, tetapi himpunan mungkin merupakan konsep matematika dan logika yang paling luas).

teori

Ada dua pendekatan utama untuk konsep himpunan - naif dan aksiomatis teori himpunan.

Teori himpunan aksiomatik

Saat ini, himpunan didefinisikan sebagai model yang memenuhi aksioma ZFC (aksioma Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan). Dengan pendekatan ini, dalam beberapa teori matematika, muncul kumpulan objek yang bukan himpunan. Koleksi seperti itu disebut kelas (dari ordo yang berbeda).

Setel elemen

Benda-benda yang membentuk himpunan disebut mengatur elemen atau set poin. Himpunan paling sering dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, elemen-elemennya - dengan yang kecil. Jika a adalah anggota himpunan A, tulislah a A (a milik A). Jika a bukan anggota himpunan A, tulis a A (a bukan anggota A).

Beberapa jenis set

• Himpunan terurut adalah himpunan yang memberikan relasi orde.
• Satu set (khususnya, pasangan terurut). Tidak seperti hanya satu set, itu ditulis di dalam tanda kurung: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), dan elemen dapat diulang.

Menurut hierarki:

Himpunan himpunan Subset Superset

Dengan batasan:

Operasi pada set

literatur

• Stoll R.R. Set. Logika. teori aksiomatik. - M.: Pendidikan, 1968. - 232 hal.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Set matematika" di kamus lain:

Himpunan Vitali adalah contoh pertama dari himpunan bilangan real yang tidak memiliki ukuran Lebesgue. Contoh ini, yang telah menjadi klasik, diterbitkan pada tahun 1905 oleh ahli matematika Italia J. Vitali dalam artikelnya “Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

- (nilai rata-rata) dari variabel acak adalah karakteristik numerik dari variabel acak. Jika variabel acak diberikan pada ruang probabilitas (lihat teori Probabilitas), maka M. o. MX (atau EX) didefinisikan sebagai integral Lebesgue: di mana... Ensiklopedia Fisik

Variabel acak adalah karakteristik numeriknya. Jika variabel acak X memiliki fungsi distribusi F(x), maka M. o. akan: . Jika distribusi X adalah diskrit, maka .о.: , di mana x1, x2, ... adalah nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit X; hal1 ... Ensiklopedia Geologi

Dukungan matematika dari ACS- , sama dengan perangkat lunak, perangkat lunak, seperangkat program dan algoritma matematika, salah satu subsistem pendukung. Biasanya mencakup banyak program untuk memecahkan masalah tertentu di komputer, digabungkan dengan program utama ... ... Kamus Ekonomi dan Matematika

perangkat lunak ACS- sama seperti perangkat lunak, perangkat lunak, satu set program matematika dan algoritma, salah satu subsistem pendukung. Biasanya mencakup banyak program untuk memecahkan masalah tertentu di komputer, digabungkan dengan program utama oleh operator. ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

- (matematis) lihat teori himpunan...

Model matematika adalah representasi matematis dari realitas. Pemodelan matematika adalah proses membangun dan mempelajari model matematika. Semua ilmu alam dan sosial menggunakan peralatan matematika, pada kenyataannya ... ... Wikipedia

Suatu disiplin matematika yang dikhususkan untuk teori dan metode pemecahan masalah untuk menemukan fungsi ekstrem pada himpunan ruang vektor berdimensi hingga yang ditentukan oleh kendala linier dan non-linier (persamaan dan pertidaksamaan). M. p. ... ... Ensiklopedia Matematika

Suatu disiplin matematika yang dikhususkan untuk teori dan metode untuk memecahkan masalah dalam menemukan fungsi ekstrem pada himpunan yang didefinisikan oleh kendala linier dan non-linier (persamaan dan pertidaksamaan). M.p. bagian dari ilmu ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Bukti. Dalam matematika, bukti adalah rangkaian inferensi logis yang menunjukkan bahwa untuk beberapa set aksioma dan aturan inferensi, pernyataan tertentu adalah benar. Tergantung pada ... Wikipedia

Buku

• Pemodelan matematika ekonomi, Malykhin V.I. Buku ini membahas model matematika utama ekonomi: model konsumen individu (berdasarkan fungsi utilitas), model perusahaan manufaktur (berdasarkan fungsi produksi),…

sinopsis singkat

Saya seorang fisikawan teoretis berdasarkan pendidikan, tetapi saya memiliki latar belakang matematika yang baik. Di magistrasi salah satu mata pelajarannya adalah filsafat, perlu untuk memilih topik dan mengirimkan makalah tentangnya. Karena sebagian besar opsi lebih dari sekali membosankan, saya memutuskan untuk memilih sesuatu yang lebih eksotis. Saya tidak berpura-pura baru, saya hanya berhasil mengumpulkan semua / hampir semua literatur yang tersedia tentang topik ini. Filsuf dan matematikawan dapat melempari saya dengan batu, saya hanya akan berterima kasih atas kritik yang membangun.

P.S. Sangat "bahasa kering", tetapi cukup mudah dibaca setelah program universitas. Sebagian besar, definisi paradoks diambil dari Wikipedia (kata-kata yang disederhanakan dan markup TeX yang sudah jadi).

pengantar

Baik teori himpunan itu sendiri maupun paradoks yang melekat di dalamnya muncul belum lama ini, lebih dari seratus tahun yang lalu. Namun, selama periode ini telah menempuh perjalanan yang panjang, teori himpunan, dengan satu atau lain cara, sebenarnya menjadi dasar dari sebagian besar bagian matematika. Paradoksnya, terkait dengan ketidakterbatasan Cantor, berhasil dijelaskan secara harfiah dalam setengah abad.

Anda harus mulai dengan definisi.

Apa itu banyak? Pertanyaannya cukup sederhana, jawabannya cukup intuitif. Himpunan adalah sekumpulan elemen yang diwakili oleh satu objek. Kantor dalam karyanya Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre memberikan definisi: dengan "set" yang kami maksud adalah kombinasi menjadi keseluruhan tertentu dari objek kontemplasi atau pemikiran kita yang dapat dibedakan dengan baik (yang akan disebut "elemen" dari himpunan). Seperti yang Anda lihat, esensinya tidak berubah, perbedaannya hanya di bagian yang tergantung pada pandangan dunia determinan. Sejarah teori himpunan, baik dalam logika dan matematika, sangat kontroversial. Bahkan, Kantor meletakkan dasar untuk itu pada abad ke-19, kemudian Russell dan yang lainnya melanjutkan pekerjaan.

Paradoks (logika dan teori himpunan) - (dari bahasa Yunani lainnya - tak terduga, aneh dari bahasa Yunani lainnya -δοκέω - sepertinya saya) - kontradiksi logis formal yang muncul dalam teori himpunan yang bermakna dan logika formal sambil mempertahankan kebenaran logis dari penalaran. Paradoks muncul ketika dua proposisi yang saling eksklusif (bertentangan) sama-sama dapat dibuktikan. Paradoks dapat muncul baik dalam teori ilmiah maupun dalam penalaran biasa (misalnya, paradoks Russell tentang himpunan semua himpunan normal diberikan oleh Russell: "Pemangkas rambut desa mencukur semua dan hanya penduduk desanya yang tidak mencukur diri mereka sendiri. Seharusnya dia mencukur dirimu sendiri?"). Karena kontradiksi formal-logis menghancurkan penalaran sebagai sarana untuk menemukan dan membuktikan kebenaran (dalam teori di mana paradoks muncul, setiap kalimat, baik benar dan salah, dapat dibuktikan), masalah muncul dalam mengidentifikasi sumber kontradiksi tersebut dan menemukan cara untuk menghilangkannya. Masalah pemahaman filosofis tentang solusi khusus untuk paradoks adalah salah satu masalah metodologis yang penting dari logika formal dan dasar logis matematika.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari paradoks teori himpunan sebagai pewaris antinomi kuno dan konsekuensi yang cukup logis dari transisi ke tingkat abstraksi baru - tak terhingga. Tugasnya adalah mempertimbangkan paradoks utama, interpretasi filosofisnya.

Paradoks dasar teori himpunan

Tukang cukur hanya mencukur orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Apakah dia mencukur dirinya sendiri?

Mari kita lanjutkan dengan perjalanan singkat ke dalam sejarah.

Beberapa paradoks logis telah dikenal sejak zaman kuno, tetapi karena fakta bahwa teori matematika terbatas pada aritmatika dan geometri saja, tidak mungkin untuk menghubungkannya dengan teori himpunan. Pada abad ke-19, situasi berubah secara radikal: Kantor mencapai tingkat abstraksi baru dalam karya-karyanya. Dia memperkenalkan konsep tak terhingga, sehingga menciptakan cabang matematika baru dan dengan demikian memungkinkan ketidakterbatasan yang berbeda untuk dibandingkan menggunakan konsep "kekuatan himpunan". Namun, dalam melakukannya, ia menciptakan banyak paradoks. Yang pertama adalah yang disebut Paradoks Burali-Forti. Dalam literatur matematika, ada berbagai formulasi berdasarkan terminologi yang berbeda dan asumsi set teorema terkenal. Berikut adalah salah satu definisi formal.

Dapat dibuktikan bahwa jika merupakan himpunan sembarang bilangan urut, maka himpunan jumlah tersebut adalah bilangan urut yang lebih besar dari atau sama dengan masing-masing elemen dari . Misalkan sekarang itu adalah himpunan semua bilangan urut. Maka adalah bilangan urut yang lebih besar dari atau sama dengan salah satu bilangan di . Tapi kemudian dan merupakan bilangan urut, apalagi, itu sudah benar-benar lebih besar, dan karena itu tidak sama dengan salah satu nomor di . Tetapi ini bertentangan dengan kondisi yang merupakan himpunan semua bilangan urut.

Inti dari paradoks adalah bahwa ketika himpunan semua bilangan urut terbentuk, jenis ordinal baru terbentuk, yang belum ada di antara "semua" bilangan urut transfinit yang ada sebelum pembentukan himpunan semua bilangan urut. Paradoks ini ditemukan oleh Cantor sendiri, ditemukan dan diterbitkan secara independen oleh ahli matematika Italia Burali-Forti, kesalahan yang terakhir dikoreksi oleh Russell, setelah itu formulasi memperoleh bentuk akhirnya.

Di antara semua upaya untuk menghindari paradoks semacam itu dan sampai batas tertentu mencoba menjelaskannya, gagasan Russell yang telah disebutkan paling layak mendapat perhatian. Dia mengusulkan untuk mengecualikan dari matematika dan logika kalimat impredikatif di mana definisi elemen himpunan tergantung pada yang terakhir, yang menyebabkan paradoks. Aturannya berbunyi seperti ini: "tidak ada himpunan yang dapat berisi elemen yang didefinisikan hanya dalam istilah himpunan, serta elemen yang mengandaikan himpunan ini dalam definisinya." Pembatasan seperti itu pada definisi himpunan memungkinkan kita untuk menghindari paradoks, tetapi pada saat yang sama secara signifikan mempersempit ruang lingkup penerapannya dalam matematika. Selain itu, ini tidak cukup untuk menjelaskan sifat dan alasan kemunculannya, yang berakar pada dikotomi pemikiran dan bahasa, dalam fitur logika formal. Sampai batas tertentu, pembatasan ini dapat dilacak analogi dengan apa yang pada periode kemudian psikolog kognitif dan ahli bahasa mulai menyebut "kategorisasi tingkat dasar": definisi direduksi menjadi konsep yang paling mudah dipahami dan dipelajari.

paradoks penyanyi. Asumsikan bahwa himpunan semua himpunan ada. Dalam hal ini, memang benar bahwa setiap himpunan adalah himpunan bagian dari . Tetapi dari sini dapat disimpulkan bahwa kardinalitas himpunan apa pun tidak melebihi kardinalitas . Tetapi berdasarkan aksioma himpunan semua himpunan bagian, untuk , serta himpunan apa pun, ada himpunan semua himpunan bagian , dan oleh teorema Cantor, yang bertentangan dengan pernyataan sebelumnya. Oleh karena itu, tidak mungkin ada, yang bertentangan dengan hipotesis "naif" bahwa setiap kondisi logis yang benar secara sintaksis mendefinisikan suatu himpunan, yaitu untuk setiap formula yang tidak mengandung bebas. Bukti luar biasa dari tidak adanya kontradiksi semacam itu berdasarkan teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang telah diaksiomakan diberikan oleh Potter.

Dari sudut pandang logis, kedua paradoks di atas identik dengan "Pembohong" atau "Si Tukang Cukur": penilaian yang diungkapkan diarahkan tidak hanya pada sesuatu yang objektif dalam hubungannya dengan dia, tetapi juga pada dirinya sendiri. Namun, kita harus memperhatikan tidak hanya pada sisi logis, tetapi juga pada konsep tak terhingga, yang hadir di sini. Literatur mengacu pada karya Poincaré, di mana ia menulis: "kepercayaan akan keberadaan ketidakterbatasan yang sebenarnya ... membuat definisi non-predikatif ini diperlukan" .

Secara umum, poin utama adalah:

1. dalam paradoks ini, aturan dilanggar untuk secara jelas memisahkan "bidang" predikat dan subjek; tingkat kebingungan mendekati penggantian satu konsep dengan yang lain;
2. biasanya dalam logika diasumsikan bahwa dalam proses penalaran subjek dan predikat mempertahankan volume dan isinya, dalam hal ini terjadi transisi dari satu kategori ke kategori lain, yang mengakibatkan ketidaksesuaian;
3. kehadiran kata "semua" masuk akal untuk sejumlah elemen yang terbatas, tetapi dalam kasus jumlah elemen yang tak terbatas, dimungkinkan untuk memiliki satu yang, untuk mendefinisikan dirinya sendiri, akan memerlukan definisi himpunan;
4. hukum logika dasar dilanggar:
   1. hukum identitas dilanggar ketika non-identitas subjek dan predikat terungkap;
   2. hukum kontradiksi - ketika dua penilaian yang bertentangan diturunkan dengan hak yang sama;
   3. hukum ketiga yang dikecualikan - ketika yang ketiga ini harus diakui, dan tidak dikecualikan, karena baik yang pertama maupun yang kedua tidak dapat diakui satu tanpa yang lain, karena mereka sama-sama valid.

paradoks Russell. Ini salah satu pilihannya. Membiarkan menjadi himpunan semua set yang tidak mengandung diri mereka sendiri sebagai elemen mereka. Apakah itu mengandung dirinya sendiri sebagai elemen? Jika demikian, maka, menurut definisi, seharusnya tidak menjadi elemen - kontradiksi. Jika tidak - maka, menurut definisi, itu harus menjadi elemen - lagi-lagi kontradiksi. Pernyataan ini secara logis diturunkan dari paradoks Cantor, yang menunjukkan hubungan mereka. Namun, esensi filosofis memanifestasikan dirinya lebih jelas, karena "pergerakan diri" konsep terjadi tepat "di depan mata kita".

Paradoks Tristram Shandy. Dalam Stern's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, sang pahlawan menemukan bahwa dia membutuhkan satu tahun penuh untuk menceritakan peristiwa hari pertama hidupnya, dan satu tahun lagi untuk menggambarkan hari kedua. Dalam hal ini, sang pahlawan mengeluh bahwa materi biografinya akan terakumulasi lebih cepat daripada yang bisa dia proses, dan dia tidak akan pernah bisa menyelesaikannya. “Sekarang saya berpendapat,” Russell keberatan dengan ini, “bahwa jika dia hidup selamanya dan pekerjaannya tidak akan menjadi beban baginya, bahkan jika hidupnya terus menjadi penting seperti di awal, maka tidak satu bagian dari biografinya akan tidak tetap tidak tertulis.

Memang, Shandy dapat menggambarkan peristiwa hari ke-untuk tahun ke-dan, dengan demikian, dalam otobiografinya, setiap hari akan terekam. Dengan kata lain, jika kehidupan berlangsung tanpa batas, maka ia akan memiliki tahun sebanyak hari.

Russell menarik analogi antara novel ini dan Zeno dengan kura-kuranya. Menurutnya, solusinya terletak pada kenyataan bahwa keseluruhan setara dengan bagiannya di tak terhingga. Itu. hanya "aksioma akal sehat" yang mengarah pada kontradiksi. Namun, solusi dari masalah tersebut terletak pada ranah matematika murni. Jelas, ada dua set - tahun dan hari, di antara elemen-elemen yang ada korespondensi satu-satu - sebuah bijeksi. Kemudian, di bawah kondisi kehidupan protagonis yang tak terbatas, ada dua set kekuatan yang sama tanpa batas, yang, jika kita menganggap kekuatan sebagai generalisasi dari konsep jumlah elemen dalam satu set, menyelesaikan paradoks.

Paradoks (teorema) Banach-Tarski atau menggandakan paradoks bola- teorema dalam teori himpunan yang menyatakan bahwa bola tiga dimensi terdiri dari dua salinannya.

Dua himpunan bagian dari ruang Euclidean dikatakan tersusun sama jika satu bagian dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang berhingga, dipindahkan, dan terdiri dari bagian kedua. Lebih tepatnya, dua himpunan dan tersusun sama jika mereka dapat direpresentasikan sebagai penyatuan berhingga dari himpunan bagian yang saling lepas dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap himpunan bagian tersebut kongruen.

Jika kita menggunakan teorema pilihan, maka definisinya terdengar seperti ini:

Aksioma pilihan menyiratkan bahwa ada pembagian permukaan unit bola menjadi sejumlah bagian yang terbatas, yang, dengan transformasi ruang Euclidean tiga dimensi yang tidak mengubah bentuk komponen ini, dapat dirakit menjadi dua bidang radius satuan.

Jelas, mengingat persyaratan agar bagian-bagian ini dapat diukur, pernyataan ini tidak layak. Fisikawan terkenal Richard Feynman dalam biografinya menceritakan bagaimana pada suatu waktu ia berhasil memenangkan perselisihan tentang membelah jeruk menjadi beberapa bagian yang terbatas dan menyusunnya kembali.

Pada titik-titik tertentu paradoks ini digunakan untuk menyangkal aksioma pilihan, tetapi masalahnya adalah bahwa apa yang kita anggap geometri dasar tidak esensial. Konsep-konsep yang kita anggap intuitif harus diperluas ke tingkat sifat fungsi transendental.

Untuk lebih melemahkan kepercayaan mereka yang percaya bahwa aksioma pilihan salah, kita harus menyebutkan teorema Mazurkiewicz dan Sierpinski, yang menyatakan bahwa ada himpunan bagian tak kosong dari bidang Euclidean yang memiliki dua himpunan bagian lepas, masing-masing dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang terbatas, sehingga mereka dapat diterjemahkan oleh isometrik menjadi penutup himpunan . Pembuktian tidak memerlukan penggunaan aksioma pilihan. Konstruksi lebih lanjut berdasarkan aksioma kepastian memberikan resolusi paradoks Banach-Tarski, tetapi tidak menarik seperti itu.

1. Paradoks Richard: Diperlukan untuk menyebutkan "angka terkecil yang tidak disebutkan dalam buku ini". Kontradiksinya adalah bahwa di satu sisi, ini dapat dilakukan, karena ada bilangan terkecil yang disebutkan dalam buku ini. Berasal dari itu, orang juga dapat menyebutkan nama terkecil yang tidak disebutkan namanya. Tapi di sini muncul masalah: kontinum tidak terhitung, di antara dua angka mana pun Anda dapat memasukkan angka perantara dalam jumlah tak terbatas. Sebaliknya, jika kita dapat menyebutkan nomor ini, maka secara otomatis akan berpindah dari kelas yang tidak disebutkan dalam buku ke kelas yang disebutkan.
2. Paradoks Grelling-Nilson: kata-kata atau tanda-tanda dapat menunjukkan beberapa properti dan pada saat yang sama memilikinya atau tidak. Rumusan yang paling sepele terdengar seperti ini: apakah kata "heterologis" (yang berarti "tidak berlaku untuk dirinya sendiri") heterologis?.. Ini sangat mirip dengan paradoks Russell karena adanya kontradiksi dialektis: dualitas bentuk dan isi dilanggar. Dalam kasus kata-kata yang memiliki tingkat abstraksi tinggi, tidak mungkin untuk memutuskan apakah kata-kata ini heterologis.
3. Paradoks skolem: dengan menggunakan teorema kelengkapan Godel dan teorema Löwenheim-Skolem, kita memperoleh bahwa teori himpunan aksiomatik tetap benar bahkan ketika hanya himpunan yang dapat dihitung yang diasumsikan (tersedia) untuk interpretasinya. Pada saat yang sama, teori aksiomatik mencakup teorema Cantor yang telah disebutkan, yang membawa kita ke himpunan tak terbatas yang tak terhitung.

Penyelesaian paradoks

Penciptaan teori himpunan memunculkan apa yang dianggap sebagai krisis ketiga matematika, yang belum diselesaikan secara memuaskan untuk semua orang. Secara historis, pendekatan pertama adalah set-teoritis. Itu didasarkan pada penggunaan ketidakterbatasan aktual, ketika dianggap bahwa setiap urutan tak terbatas selesai dalam tak terhingga. Idenya adalah bahwa dalam teori himpunan, seseorang sering kali harus beroperasi pada himpunan yang dapat menjadi bagian dari himpunan lain yang lebih besar. Tindakan yang berhasil dalam kasus ini hanya mungkin dalam satu kasus: set yang diberikan (terbatas dan tak terbatas) selesai. Keberhasilan tertentu terbukti: teori himpunan aksiomatik Zermelo-Fraenkel, seluruh sekolah matematika oleh Nicolas Bourbaki, yang telah ada selama lebih dari setengah abad dan masih menimbulkan banyak kritik.

Logisisme adalah upaya untuk mereduksi semua matematika yang dikenal menjadi istilah aritmatika, dan kemudian mereduksi istilah aritmatika menjadi konsep logika matematika. Frege mengambil ini dengan cermat, tetapi setelah menyelesaikan pekerjaannya, dia terpaksa menunjukkan ketidakkonsistenannya, setelah Russell menunjukkan kontradiksi dalam teorinya. Russell yang sama, seperti yang disebutkan sebelumnya, mencoba menghilangkan penggunaan definisi impredikatif dengan bantuan "teori tipe". Namun, konsepnya tentang himpunan dan tak terhingga, serta aksioma reduksibilitas, ternyata tidak logis. Masalah utama adalah bahwa perbedaan kualitatif antara logika formal dan matematika tidak diperhitungkan, serta adanya konsep yang berlebihan, termasuk yang bersifat intuitif.
Akibatnya, teori logika tidak dapat menghilangkan kontradiksi dialektis dari paradoks yang terkait dengan ketidakterbatasan. Hanya ada prinsip dan metode yang memungkinkan untuk menyingkirkan setidaknya definisi non-predikatif. Dalam alasannya sendiri, Russell adalah pewaris Cantor.

Pada akhir XIX - awal abad XX. Penyebaran pandangan formalis tentang matematika dikaitkan dengan pengembangan metode aksiomatik dan program pembuktian matematika, yang dikemukakan oleh D. Hilbert. Pentingnya fakta ini ditunjukkan oleh fakta bahwa yang pertama dari dua puluh tiga masalah dia disajikan kepada komunitas matematika adalah masalah tak terhingga. Formalisasi diperlukan untuk membuktikan konsistensi matematika klasik, "sambil mengecualikan semua metafisika darinya." Mengingat sarana dan metode yang digunakan oleh Hilbert, tujuannya ternyata pada dasarnya tidak mungkin, tetapi programnya memiliki dampak besar pada seluruh perkembangan selanjutnya dari dasar-dasar matematika. Hilbert mengerjakan masalah ini untuk waktu yang lama, setelah pertama kali membangun aksiomatik geometri. Karena pemecahan masalahnya ternyata cukup berhasil, ia memutuskan untuk menerapkan metode aksiomatik pada teori bilangan asli. Inilah yang dia tulis sehubungan dengan ini: "Saya mengejar tujuan penting: sayalah yang ingin menangani pertanyaan-pertanyaan dasar matematika seperti itu, mengubah setiap pernyataan matematika menjadi formula yang dapat diturunkan secara ketat." Pada saat yang sama, direncanakan untuk menghilangkan ketidakterbatasan dengan menguranginya menjadi sejumlah operasi tertentu. Untuk melakukan ini, ia beralih ke fisika dengan atomismenya, untuk menunjukkan seluruh inkonsistensi jumlah tak terbatas. Bahkan, Hilbert mengajukan pertanyaan tentang hubungan antara teori dan realitas objektif.

Gagasan yang kurang lebih lengkap tentang metode hingga diberikan oleh siswa Hilbert, J. Herbran. Dengan penalaran terbatas, ia memahami penalaran yang memenuhi kondisi berikut: paradoks logis

Hanya sejumlah objek dan fungsi yang terbatas dan pasti yang selalu dipertimbangkan;

Fungsi memiliki definisi yang tepat, dan definisi ini memungkinkan kita untuk menghitung nilainya;

Itu tidak pernah menyatakan "Objek ini ada" kecuali cara untuk membangunnya diketahui;

Himpunan semua objek X dari koleksi tak terhingga tidak pernah dipertimbangkan;

Jika diketahui bahwa suatu penalaran atau teorema benar untuk semua X , maka ini berarti bahwa penalaran umum ini dapat diulang untuk setiap X spesifik , dan penalaran umum ini sendiri harus dianggap hanya sebagai model untuk penalaran khusus tersebut.

Namun, pada saat publikasi terakhir di bidang ini, Gödel sudah menerima hasilnya, pada dasarnya ia kembali menemukan dan menyetujui kehadiran dialektika dalam proses kognisi. Pada intinya, perkembangan matematika lebih lanjut menunjukkan kegagalan program Hilbert.

Apa sebenarnya yang Godel buktikan? Ada tiga hasil utama:

1. Gödel menunjukkan ketidakmungkinan bukti matematis dari konsistensi sistem apa pun yang cukup besar untuk memasukkan semua aritmatika, bukti yang tidak akan menggunakan aturan inferensi selain yang ditemukan dalam sistem itu sendiri. Bukti seperti itu, yang menggunakan aturan inferensi yang lebih kuat, mungkin berguna. Tetapi jika aturan inferensi ini lebih kuat daripada cara logis kalkulus aritmatika, maka tidak akan ada kepercayaan pada konsistensi asumsi yang digunakan dalam pembuktian. Bagaimanapun, jika metode yang digunakan tidak finit, maka program Hilbert akan menjadi tidak praktis. Gödel hanya menunjukkan inkonsistensi perhitungan untuk menemukan bukti finit dari konsistensi aritmatika.

2. Godel menunjukkan keterbatasan mendasar dari kemungkinan metode aksiomatik: sistem Principia Mathematica, seperti sistem lain yang dengannya aritmatika dibangun, pada dasarnya tidak lengkap, yaitu untuk sistem aksioma aritmatika yang konsisten ada kalimat aritmatika yang benar. tidak diturunkan dari aksioma sistem ini.

3. Teorema Gödel menunjukkan bahwa tidak ada perluasan sistem aritmatika yang dapat menyelesaikannya, dan bahkan jika kita mengisinya dengan himpunan aksioma tak terhingga, maka dalam sistem baru akan selalu ada benar, tetapi tidak dapat dikurangkan melalui sistem ini, posisi. Pendekatan aksiomatik untuk aritmatika bilangan asli tidak dapat mencakup seluruh bidang proposisi aritmatika yang benar, dan apa yang kami maksud dengan proses pembuktian matematis tidak terbatas pada penggunaan metode aksiomatik. Setelah teorema Gödel, menjadi tidak berarti untuk mengharapkan bahwa konsep bukti matematis yang meyakinkan dapat diberikan sekali dan untuk semua bentuk yang digambarkan.

Yang terbaru dalam rangkaian upaya untuk menjelaskan teori himpunan ini adalah intuisionisme.

Dia melewati sejumlah tahap dalam evolusinya - semi-intuitionism, intuisionisme yang tepat, ultra-intuitionism. Pada tahap yang berbeda, matematikawan khawatir tentang masalah yang berbeda, tetapi salah satu masalah utama matematika adalah masalah tak terhingga. Konsep matematika tak terhingga dan kontinuitas telah menjadi subjek analisis filosofis sejak awal (gagasan para atomis, aporias Zeno dari Elea, metode sangat kecil di zaman kuno, kalkulus sangat kecil di zaman modern, dll.). Kontroversi terbesar disebabkan oleh penggunaan berbagai jenis infinity (potensial, aktual) sebagai objek matematika dan interpretasinya. Semua masalah ini, menurut pendapat kami, dihasilkan oleh masalah yang lebih dalam - peran subjek dalam pengetahuan ilmiah. Faktanya adalah bahwa keadaan krisis dalam matematika dihasilkan oleh ketidakpastian epistemologis dari perbandingan dunia objek (tak terhingga) dan dunia subjek. Matematikawan sebagai subjek memiliki kemungkinan memilih sarana kognisi - baik potensi atau tak terhingga aktual. Penggunaan potensi tak terhingga sebagai menjadi satu memberinya kesempatan untuk melaksanakan, untuk membangun satu set konstruksi tak terbatas yang dapat dibangun di atas yang terbatas, tanpa langkah yang terbatas, tanpa menyelesaikan konstruksi, itu hanya mungkin. Penggunaan infinity aktual memberinya kesempatan untuk bekerja dengan infinity seperti yang sudah dapat direalisasikan, selesai dalam konstruksinya, seperti yang sebenarnya diberikan pada waktu yang sama.

Pada tahap semi-intuitionism, masalah infinity belum mandiri, tetapi dijalin ke dalam masalah konstruksi objek matematika dan cara untuk membenarkannya. Semi-intuitionism A. Poincaré dan perwakilan dari sekolah Paris teori fungsi Baire, Lebesgue dan Borel diarahkan terhadap penerimaan aksioma pilihan bebas, dengan bantuan yang teorema Zermelo terbukti, menyatakan bahwa setiap himpunan dapat dibuat terurut secara lengkap, tetapi tanpa menunjukkan cara teoretis untuk menentukan elemen dari setiap himpunan bagian dari himpunan yang diinginkan. Tidak ada cara untuk membangun objek matematika, dan tidak ada objek matematika itu sendiri. Matematikawan percaya bahwa ada atau tidak adanya metode teoretis untuk membangun urutan objek studi dapat berfungsi sebagai dasar untuk mendukung atau menyangkal aksioma ini. Dalam versi Rusia, konsep semi-intuitionistic dalam landasan filosofis matematika dikembangkan sedemikian rupa sebagai efektivisme yang dikembangkan oleh N.N. Luzin. Efektivitas adalah oposisi terhadap abstraksi utama doktrin Cantor tentang ketidakterbatasan - aktualitas, pilihan, induksi transfinit, dll.

Untuk efektivisme, abstraksi kelayakan potensial secara epistemologis lebih berharga daripada abstraksi ketidakterbatasan yang sebenarnya. Berkat ini, menjadi mungkin untuk memperkenalkan konsep ordinal transfinite (bilangan ordinal tak hingga) berdasarkan konsep pertumbuhan fungsi yang efektif. Pengaturan epistemologis efektifisme untuk menampilkan kontinum (kontinuum) didasarkan pada sarana diskrit (aritmatika) dan teori deskriptif himpunan (fungsi) yang dibuat oleh N.N. Luzin. Intuisionisme orang Belanda L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting melihat urutan yang muncul secara bebas dari berbagai jenis sebagai objek studi tradisional. Pada tahap ini, memecahkan masalah matematika yang tepat, termasuk restrukturisasi semua matematika pada dasar baru, para ahli intuisi mengangkat pertanyaan filosofis tentang peran matematikawan sebagai subjek yang memahami. Apa posisinya, di mana dia lebih bebas dan aktif dalam memilih sarana kognisi? Intuitionists adalah yang pertama (dan pada tahap semi-intuitionism) untuk mengkritik konsep infinity aktual, teori himpunan Cantor, melihat di dalamnya pelanggaran kemampuan subjek untuk mempengaruhi proses pencarian ilmiah untuk solusi untuk masalah konstruktif . Dalam hal menggunakan potensi tak terhingga, subjek tidak menipu dirinya sendiri, karena baginya gagasan potensi tak terhingga secara intuitif jauh lebih jelas daripada gagasan tak terhingga yang sebenarnya. Bagi seorang ahli intuisi, suatu objek dianggap ada jika diberikan langsung kepada ahli matematika atau jika metode pembuatannya diketahui. Bagaimanapun, subjek dapat memulai proses penyelesaian konstruksi sejumlah elemen himpunannya. Objek yang tidak dibangun tidak ada untuk intuisionis. Pada saat yang sama, subjek yang bekerja dengan ketidakterbatasan aktual akan kehilangan kesempatan ini dan akan merasakan kerentanan ganda dari posisi yang diadopsi:

1) tidak pernah mungkin untuk melakukan konstruksi tanpa batas ini;

2) dia memutuskan untuk beroperasi dengan infinity aktual seperti dengan objek yang terbatas, dan dalam hal ini kehilangan kekhususannya dari konsep infinity. Intuisionisme secara sadar membatasi kemungkinan seorang ahli matematika dengan fakta bahwa ia dapat membangun objek matematika secara eksklusif dengan cara yang, meskipun diperoleh dengan bantuan konsep-konsep abstrak, efektif, meyakinkan, dapat dibuktikan, secara fungsional konstruktif tepat secara praktis dan secara intuitif jelas sebagai konstruksi, konstruksi, yang keandalannya dalam praktiknya tidak diragukan lagi. Intuisionisme, mengandalkan konsep potensi tak terhingga dan metode penelitian konstruktif, berkaitan dengan matematika menjadi, teori himpunan mengacu pada matematika menjadi.

Untuk Brouwer intuisionis, sebagai perwakilan dari empirisme matematika, logika adalah yang kedua; dia mengkritiknya dan hukum tengah yang dikecualikan.

Dalam karya-karyanya yang sebagian mistik, ia tidak menyangkal adanya ketidakterbatasan, tetapi tidak membiarkan aktualisasinya, hanya potensiisasi. Hal utama baginya adalah interpretasi dan pembenaran dari cara-cara logis dan penalaran matematis yang digunakan secara praktis. Pembatasan yang diadopsi oleh para ahli intuisi mengatasi ketidakpastian penggunaan konsep tak terhingga dalam matematika dan mengungkapkan keinginan untuk mengatasi krisis dalam fondasi matematika.

Ultra-intuisionisme (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, dan lainnya) adalah tahap terakhir dalam pengembangan intuisionisme, di mana ide-ide utamanya dimodernisasi, ditambah dan diubah secara signifikan, tanpa mengubah esensinya, tetapi mengatasi kekurangan dan memperkuat aspek positif, dipandu oleh kriteria ketelitian matematika. Kelemahan pendekatan intuisionis adalah pemahaman yang sempit tentang peran intuisi sebagai satu-satunya sumber pembenaran atas kebenaran dan efektivitas metode matematika. Mengambil "kejelasan intuitif" sebagai kriteria kebenaran dalam matematika, para ahli intuisi secara metodologis memiskinkan kemungkinan seorang ahli matematika sebagai subjek pengetahuan, mengurangi aktivitasnya hanya pada operasi mental berdasarkan intuisi dan tidak termasuk praktik dalam proses pengetahuan matematika. Program ultra-intuitionistic untuk membuktikan matematika adalah prioritas Rusia. Oleh karena itu, matematikawan domestik, mengatasi keterbatasan intuisionisme, mengadopsi metodologi dialektika materialistik yang efektif, mengakui praktik manusia sebagai sumber pembentukan konsep matematika dan metode matematika (kesimpulan, konstruksi). Para ultraintuisionis memecahkan masalah keberadaan objek matematika, tidak mengandalkan konsep subjektif intuisi yang tidak terdefinisi, tetapi pada praktik matematika dan mekanisme khusus untuk membangun objek matematika - sebuah algoritma yang diekspresikan oleh fungsi rekursif yang dapat dihitung.

Ultra-intuitionism meningkatkan keuntungan dari intuisionisme, yang terdiri dari kemungkinan memesan dan menggeneralisasi metode untuk memecahkan masalah konstruktif yang digunakan oleh matematikawan dari segala arah. Oleh karena itu, intuisionisme tahap terakhir (ultraintuitionism) dekat dengan konstruktivisme dalam matematika. Dalam aspek epistemologis, gagasan dan prinsip utama ultraintuitionisme adalah sebagai berikut: kritik terhadap aksiomatik logika klasik; penggunaan dan penguatan signifikan (atas instruksi eksplisit A.A. Markov) dari peran abstraksi identifikasi (abstraksi mental dari sifat-sifat objek yang berbeda dan isolasi simultan dari sifat-sifat umum objek) sebagai cara untuk membangun dan memahami abstrak secara konstruktif konsep, penilaian matematis; bukti konsistensi teori yang konsisten. Dalam aspek formal, penerapan abstraksi identifikasi dibenarkan oleh tiga sifat (aksioma) kesetaraan - refleksivitas, transitivitas dan simetri.

Untuk memecahkan kontradiksi utama dalam matematika pada masalah ketidakterbatasan, yang memunculkan krisis fondasinya, pada tahap ultra-intuisionisme dalam karya-karya A.N. Kolmogorov menyarankan jalan keluar dari krisis dengan memecahkan masalah hubungan antara logika klasik dan intuisionistik, matematika klasik dan intuisionistik. Intuitionisme Brouwer secara keseluruhan menyangkal logika, tetapi karena matematikawan mana pun tidak dapat melakukannya tanpa logika, praktik penalaran logis masih dipertahankan dalam intuisionisme, beberapa prinsip logika klasik diizinkan, yang memiliki aksioma sebagai dasarnya. S.K. Kleene, R. Wesley bahkan mencatat bahwa matematika intuitionistic dapat digambarkan sebagai semacam kalkulus, dan kalkulus adalah cara mengatur pengetahuan matematika berdasarkan logika, formalisasi dan bentuknya - algoritme. Versi baru hubungan antara logika dan matematika dalam kerangka persyaratan intuisionistik untuk kejelasan penilaian intuitif, terutama yang menyertakan negasi, A.N. Kolmogorov mengusulkan sebagai berikut: ia menyajikan logika intuisionistik, yang terkait erat dengan matematika intuisionistik, dalam bentuk kalkulus proposisi dan predikat minimal implikatif aksiomatik. Dengan demikian, ilmuwan menyajikan model baru pengetahuan matematika, mengatasi keterbatasan intuisionisme dalam mengenali hanya intuisi sebagai sarana kognisi dan keterbatasan logika, yang memutlakkan kemungkinan logika dalam matematika. Posisi ini memungkinkan untuk mendemonstrasikan dalam bentuk matematis sintesis intuitif dan logis sebagai dasar rasionalitas fleksibel dan efektivitas konstruktifnya.

Dengan demikian, aspek epistemologis pengetahuan matematika memungkinkan kita untuk menilai perubahan revolusioner pada tahap krisis fondasi matematika pada pergantian abad ke-19-20. dari posisi baru dalam memahami proses kognisi, sifat dan peran subjek di dalamnya. Subjek epistemologis dari teori pengetahuan tradisional, sesuai dengan periode dominasi pendekatan teori himpunan dalam matematika, adalah subjek "sebagian" yang abstrak, tidak lengkap, diwakili dalam hubungan subjek-objek, dirobek oleh abstraksi, logika, formalisme dari realitas, secara rasional, secara teoritis mengetahui objeknya dan dipahami sebagai cermin, secara akurat mencerminkan dan menyalin realitas. Bahkan, subjek dikeluarkan dari kognisi sebagai proses dan hasil nyata dari interaksi dengan objek. Masuknya intuisionisme ke dalam arena perjuangan tren filosofis dalam matematika menyebabkan pemahaman baru matematikawan sebagai subjek pengetahuan - orang yang tahu, yang abstraksi filosofisnya harus dibangun, seolah-olah, lagi. Matematikawan muncul sebagai subjek empiris, sudah dipahami sebagai pribadi nyata yang integral, termasuk semua sifat yang diabstraksikan dari subjek epistemologis - konkret empiris, variabilitas, historisitas; itu bertindak dan mengetahui dalam kognisi nyata, subjek yang kreatif, intuitif, dan inventif. Filosofi matematika intuisionistik telah menjadi dasar, fondasi paradigma epistemologis modern, dibangun di atas konsep rasionalitas fleksibel, di mana seseorang adalah subjek kognisi integral (holistik), yang memiliki kualitas, metode, prosedur kognitif baru; ia mensintesis sifat dan bentuknya yang abstrak-epistemologis dan logis-metodologis, dan pada saat yang sama menerima pemahaman eksistensial-antropologis dan "historis-metafisik".

Poin penting juga adalah intuisi dalam kognisi dan, khususnya, dalam pembentukan konsep matematika. Sekali lagi, ada perjuangan dengan filsafat, upaya untuk mengecualikan hukum tengah yang dikecualikan, karena tidak memiliki makna dalam matematika dan masuk ke dalamnya dari filsafat. Namun, kehadiran penekanan yang berlebihan pada intuisi dan kurangnya pembenaran matematika yang jelas tidak memungkinkan mentransfer matematika ke dasar yang kuat.

Namun, setelah munculnya konsep algoritma yang ketat pada tahun 1930-an, tongkat estafet dari intuisionisme diambil alih oleh konstruktivisme matematis, yang perwakilannya memberikan kontribusi signifikan pada teori komputabilitas modern. Selain itu, pada 1970-an dan 1980-an, hubungan signifikan ditemukan antara beberapa ide para intuisionis (bahkan yang sebelumnya tampak tidak masuk akal) dan teori matematika topos. Matematika yang ditemukan di beberapa topo sangat mirip dengan yang coba diciptakan oleh para ahli intuisi.

Akibatnya, seseorang dapat membuat pernyataan: sebagian besar paradoks di atas sama sekali tidak ada dalam teori himpunan dengan kepemilikan diri. Apakah pendekatan seperti itu definitif masih bisa diperdebatkan, pekerjaan lebih lanjut di bidang ini akan ditunjukkan.

Kesimpulan

Analisis dialektis-materialistik menunjukkan bahwa paradoks adalah konsekuensi dari dikotomi bahasa dan pemikiran, ekspresi dialektika yang mendalam (teorema Gödel memungkinkan untuk memanifestasikan dialektika dalam proses kognisi) dan kesulitan epistemologis yang terkait dengan konsep objek dan subjek area dalam logika formal, satu set (kelas) dalam logika dan teori himpunan, dengan penggunaan prinsip abstraksi, yang memungkinkan pengenalan objek (abstrak) baru (tak terhingga), dengan metode untuk mendefinisikan objek abstrak dalam sains, dll. Oleh karena itu, a cara universal untuk menghilangkan semua paradoks tidak dapat diberikan.

Apakah krisis matematika ketiga telah berakhir (karena ia berada dalam hubungan kausal dengan paradoks; sekarang paradoks adalah bagian integral) - pendapat berbeda di sini, meskipun paradoks yang diketahui secara formal dihilangkan pada tahun 1907. Namun, sekarang dalam matematika ada keadaan lain yang dapat dianggap sebagai krisis atau pertanda krisis (misalnya, tidak adanya pembenaran yang ketat untuk integral jalur).

Adapun paradoks, paradoks pembohong yang terkenal memainkan peran yang sangat penting dalam matematika, serta seluruh rangkaian paradoks dalam apa yang disebut teori himpunan naif (aksiomatik sebelumnya) yang menyebabkan krisis fondasi (salah satu dari paradoks ini dimainkan peran fatal dalam kehidupan H. Frege). Tapi, mungkin, salah satu fenomena yang paling diremehkan dalam matematika modern, yang bisa disebut paradoks dan krisis, adalah solusi Paul Cohen pada tahun 1963 dari masalah pertama Hilbert. Lebih tepatnya, bukan fakta dari keputusan itu, tetapi sifat dari keputusan ini.

literatur

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. DI. Burova. Paradoks teori himpunan dan dialektika. Sains, 1976.
3. M.D. Tukang tembikar. Teori himpunan dan filosofinya: pengantar kritis. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Dasar filosofis matematika. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S.Ilyin. Tentu saja, Anda bercanda, Tuan Feynman!: petualangan pria yang luar biasa, yang diceritakannya kepada R. Layton. Burung kolibri, 2008.
6. O.M.Mizhevich. Dua Cara Mengatasi Paradoks dalam Teori Himpunan G. Kantor. Kajian Logis dan Filosofis, (3):279-299, 2005.
7. S.I. Masalova. FILSAFAT MATEMATIKA INTUISI. Buletin DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teori himpunan dengan kepemilikan diri (dasar dan beberapa aplikasi). Perm. negara un-t. – Perm, 2012.
9. S.N.Tronin. Ringkasan singkat kuliah pada disiplin "Filsafat Matematika". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Studi dalam teori himpunan dan logika non-klasik. Sains, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: karangan bunga tak berujung ini. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Pengantar logika matematika. Rumah penerbitan "Nauka", 1976.
13. YA. Bochvar. Pada pertanyaan tentang paradoks logika matematika dan teori himpunan. Koleksi Matematika, 57(3):369-384, 1944.

Deskripsi area subjek (pembuatan ontologinya) dimulai dengan pemilihan objek dan klasifikasinya, yang secara tradisional terdiri dari menyusun pohon kelas subkelas dan menetapkan individu ke dalamnya. Pada saat yang sama, istilah "kelas", sebenarnya, digunakan dalam arti "set": merujuk objek ke kelas dianggap memasukkannya sebagai elemen dalam set yang sesuai. Tujuan dari teks ini adalah untuk menunjukkan bahwa pendekatan terpadu untuk menggambarkan struktur area subjek adalah penyederhanaan yang kuat dan tidak memungkinkan untuk memperbaiki berbagai hubungan semantik objek.

Mari kita lihat tiga opsi untuk mengklasifikasikan individu Bug:

1. Hewan - anjing - husky - Bug.
2. Layanan - berkuda - Bug.
3. Kennel - tim anjing - Zhuchka.

Urutan pertama entitas bawahan dijelaskan dengan jelas dengan menentukan kelas dan subkelas: bug adalah individu dari kelas "suka", kelas "suka" adalah subkelas anjing, dan yang satu adalah subkelas dari kelas "hewan". . Dalam hal ini, kelas "binatang" diperlakukan sebagai himpunan semua hewan, dan kelas "suka" sebagai bagian dari himpunan "anjing". Namun, deskripsi seperti itu, terlepas dari kenyataan bahwa itu cukup jelas, bermakna tautologis, referensial: kita menyebut individu Bug a husky jika termasuk dalam set husky, dan set huskies itu sendiri didefinisikan sebagai totalitas semua individu husky - yaitu, dimasukkan dalam set nama duplikat yang bermakna. Selain itu, deskripsi kelas-set benar-benar habis oleh deskripsi individu yang termasuk dalam konsep mendefinisikan kelas. Perlu juga dicatat bahwa pengoperasian set kelas tersebut tidak bergantung pada jumlah elemen di dalamnya: husky Bug akan menjadi husky bahkan ketika ia tetap menjadi satu-satunya, husky terakhir di Bumi. Selain itu, kami dapat beroperasi dengan set kelas seperti itu bahkan tanpa adanya individu di dalamnya: kami dapat membangun ontologi dinosaurus yang sudah punah, memikirkan kelas yang hanya di masa depan akan menyertakan perangkat unik yang sedang dirancang, atau membangun model dari area subjek hewan mitos, pahlawan dongeng, meskipun pada saat yang sama kardinalitas semua set kelas akan sama dengan nol.

Jadi, jika kita berbicara tentang sisi konten dari klasifikasi yang dianalisis (hewan - anjing - husky - Bug), maka itu (sisi konten) tidak dapat diekspresikan dengan cara apa pun melalui hubungan himpunan dan himpunan bagian. Dalam hal ini, kita berurusan dengan konseptualisasi - pemilihan konsep dan membangun hubungan genus-spesies diantara mereka. Pada saat yang sama, jumlah sebenarnya dari elemen kelas konseptual, yaitu ruang lingkup konsep, tidak muncul dalam definisinya dan disebutkan (dan bahkan tidak bermakna) hanya ketika satu konsep ("seperti") jatuh. di bawah yang lain ("anjing"), yaitu, ketika sebagai sejenis genus. Ya, kita dapat menyatakan bahwa ruang lingkup konsep "anjing" lebih besar daripada ruang lingkup konsep "seperti", tetapi rasio numerik nyata dari himpunan ini tidak memiliki makna ontologis. Melebihi volume kelas dari volume subkelas dalam hubungan genus-spesies hanya mencerminkan fakta bahwa, menurut definisi genus, itu harus mencakup beberapa spesies - jika tidak, klasifikasi ini menjadi tidak berarti. Artinya, dalam klasifikasi konseptual genus-spesies, kami tertarik pada konten konsep - bagaimana tipe "anjing" berbeda dari tipe "kucing" (yang juga termasuk dalam konsep generik "hewan" untuk mereka), dan bukan bagaimana volume himpunan genus dan spesies terkait dan terlebih lagi volume konsep spesifik ("anjing" dan "kucing"). Dan untuk membedakan kelas konseptual dari set yang benar-benar dapat dihitung, akan lebih tepat untuk berbicara tentang jatuh di bawah konsep dan bukan tentang penyertaan ke dalam kelas/set. Jelas bahwa dalam notasi formal, pernyataan "milik konsep X" dan "merupakan elemen kelas X" mungkin terlihat sama, tetapi tidak memahami perbedaan esensial antara kedua deskripsi ini dapat menyebabkan kesalahan serius dalam konstruksi ontologi.

Pada varian kedua (layanan - mengemudi - Bug), kami juga tidak tertarik membandingkan konsep "mengemudi" dengan set apa pun: konten semantik dari pernyataan "Bug - mengemudi" tidak bergantung pada apakah itu satu-satunya mengemudi satu atau ada banyak dari mereka. Tampaknya di sini kita berurusan dengan hubungan genus-spesies: konsep "mengemudi" dapat dianggap sebagai spesies yang relatif terhadap konsep generik "layanan". Tetapi koneksi individu "Bug" dengan konsep "mengemudi" berbeda secara signifikan dari koneksi dengan konsep "seperti": yang kedua, konseptual, konsep itu tetap dan selalu melekat pada individu, dan yang pertama mencerminkan lokal. pada waktunya spesialisasi. Bug itu tidak dilahirkan sebagai pengendara, dan mungkin seiring bertambahnya usia, bug itu mungkin berhenti menjadi itu dan pindah ke kategori penjaga, dan di usia tua, secara umum, kehilangan "profesi" apa pun. Artinya, berbicara tentang spesialisasi, kita selalu dapat membedakan peristiwa perolehan dan kehilangan koneksi dengan konsep tertentu. Misalnya, Bug dapat diakui sebagai juara mutlak dari breed, dan kemudian kehilangan gelar ini, yang pada dasarnya tidak mungkin dengan konsep konseptual: Bug dari lahir sampai mati, yaitu, untuk seluruh periode waktu keberadaannya sebagai individu, adalah anjing dan husky. Jadi seseorang tetap menjadi konsep "manusia" sepanjang hidupnya, tetapi secara situasional (dari peristiwa ke peristiwa) dapat jatuh di bawah konsep khusus "anak sekolah", "siswa", "dokter", "suami", dll. Dan seperti yang sudah dicatat, hubungan dengan konsep-konsep ini tidak sedikit pun berarti penyertaan dalam himpunan tertentu (walaupun mungkin terlihat seperti ini) - penetapan konsep yang mengkhususkan selalu merupakan hasil dari hubungan khusus individu dengan individu lain: memasuki sekolah, universitas, memperoleh ijazah, mendaftarkan pernikahan, dll. Oleh karena itu, konsep spesialisasi juga bisa disebut relasional. Dari contoh di atas, perbedaan signifikan lainnya antara klasifikasi konseptual dan spesialisasi berikut: seorang individu dapat memiliki beberapa spesialisasi (kutu dapat menjadi anjing kereta luncur dan juara ras, seseorang adalah siswa dan suami), tetapi tidak dapat secara bersamaan masukkan lebih dari satu hierarki konseptual (kutu tidak bisa berupa anjing , dan kucing).

Dan hanya dalam versi ketiga dari deskripsi Zhuchka - sebagai milik kennel tertentu dan sebagai anggota tim tertentu yang menarik kereta luncur melintasi tundra - hanya perlu menyebutkan banyak orang. Hanya dalam kasus ini, kami memiliki hak untuk mengatakan bahwa individu adalah elemen dari himpunan konkret dengan jumlah elemen yang dapat dihitung, dan tidak termasuk dalam konsep, yang dapat direpresentasikan sebagai himpunan abstrak, yang secara kondisional menetapkan ruang lingkup konsep ini. Dan di sini penting bahwa seorang individu adalah bagian dari individu lain, awalnya didefinisikan sebagai satu set: kennel dan tim harus merupakan set anjing yang tidak kosong, dan jumlah elemen dari set ini harus disertakan dalam definisi mereka. sebagai individu. Artinya, dalam hal ini, kita harus berbicara tentang hubungan sebagian-keseluruhan: Bug adalah bagian dari kennel dan bagian dari tim. Selain itu, masuk atau tidaknya Bug ke tim tertentu mengubah konten (tim): jika kami memiliki tim-dua, maka setelah penghapusan Bug, tim berubah menjadi satu tim. Dalam kasus seperti itu, kita tidak hanya berurusan dengan himpunan yang dapat dihitung (anjing dalam kandang), tetapi dengan individu yang esensinya berubah ketika komposisi elemennya berubah, ditentukan oleh komposisi ini, yaitu, dengan sistem. Jika kennel hanyalah kelompok individu, dijelaskan melalui serangkaian elemen yang termasuk di dalamnya, maka tim adalah sebuah sistem, yang esensinya tergantung pada jumlah dan kekhususan bagian-bagiannya.

Akibatnya, ketika membangun ontologi area subjek, seseorang dapat memilih kumpulan objek nyata, yang didefinisikan secara tepat sebagai kumpulan sejumlah individu tertentu. Ini adalah: kelas di sekolah, barang dalam kotak di gudang, bagian dari blok perangkat elektronik, dll. Dan himpunan ini dapat menjadi himpunan bagian dari himpunan nyata lainnya yang dapat dihitung: semua siswa di sekolah, semua barang di gudang, semua bagian dari suatu perangkat. Ketika membedakan set ini, penting bahwa mereka (set ini) bertindak sebagai individu independen (tim, kumpulan barang, satu set bagian), atribut utamanya adalah jumlah elemen yang termasuk di dalamnya. Selain itu, perubahan atribut ini dapat menyebabkan perubahan status objek, misalnya, dengan peningkatan jumlah elemen, mengubah kuartet menjadi kuintet atau resimen menjadi brigade. Penting juga bahwa deskripsi objek-set ini, objek kompleks, tidak terbatas pada deskripsi individu yang termasuk di dalamnya, meskipun mungkin termasuk indikasi jenis yang terakhir (kuartet gesek, tim kuda). Dan hubungan seperti itu - bukan antara set abstrak, tetapi antara set yang merupakan individu, objek kompleks - lebih tepat digambarkan sebagai hubungan bagian-keseluruhan, dan bukan subkelas kelas.

Jadi, klasifikasi tradisional individu dengan menetapkan mereka ke kelas-set tertentu tidak dapat dianggap homogen. Perlu dibedakan antara (1) dimasukkannya individu sebagai bagian dalam objek yang kompleks (keseluruhan), kekhususan semantik yang tidak terbatas pada deskripsi elemen-elemennya. Pada saat yang sama (1.1.), objek-keseluruhan dapat dianggap hanya sebagai satu set bernama individu (bagian dalam paket, koleksi lukisan), yang, pada kenyataannya, hanya jumlah bagian yang penting. Benda-benda seperti itu bisa disebut kelompok (atau koleksi)). Juga (1.2.) suatu objek-keseluruhan dapat secara bermakna (dan tidak hanya secara kuantitatif) ditentukan oleh bagian-bagiannya dan, sebagai hasilnya, memiliki atribut yang tidak dimiliki bagian-bagiannya. Integritas seperti itu secara tradisional disebut sistem, dan bagian dari sistem - elemen. Pilihan kedua untuk menggambarkan objek dengan menetapkan mereka ke subclass adalah (2) jatuhnya individu di bawah konsep, yang hanya dapat secara formal, secara tautologis digambarkan sebagai penyertaan individu dalam himpunan yang kekuatannya sama dengan kekuatan konsep. Deskripsi konseptual individu, pada gilirannya, dapat diklasifikasikan menjadi (2.1) konseptual, secara global memperbaiki jenis individu, dan (2.2) khusus (relasional), secara lokal dalam ruang dan waktu (event-wise) menghubungkan individu dengan objek lain.

Alasan di atas, pertama-tama, menimbulkan pertanyaan tentang kecukupan dan kecukupan pendekatan tradisional untuk menggambarkan area subjek menggunakan klasifikasi berdasarkan teori himpunan. Dan kesimpulannya diusulkan: untuk memperbaiki seluruh variasi hubungan objek dalam ontologi, diperlukan alat klasifikasi yang lebih terdiferensiasi (kelompok, sistem, konsep konseptual dan spesialisasi). Formalisme teori himpunan hanya dapat digunakan sebagai penyederhanaan lokal untuk kebutuhan inferensi, dan bukan sebagai metode utama deskripsi.