Pertimbangkan pesawat p dan garis yang memotongnya . Biarlah TETAPI adalah titik sembarang dalam ruang. Tarik garis melalui titik ini , sejajar dengan garis . Biarlah . Dot disebut proyeksi titik TETAPI ke pesawat p dalam desain paralel sepanjang garis tertentu . Pesawat terbang p , di mana titik-titik ruang diproyeksikan disebut bidang proyeksi.

p - bidang proyeksi;

- desain langsung; ;

; ; ;

Desain ortogonal adalah kasus khusus dari desain paralel. Proyeksi ortogonal adalah proyeksi sejajar yang garis proyeksinya tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Proyeksi ortogonal banyak digunakan dalam gambar teknik, di mana sebuah gambar diproyeksikan ke tiga bidang - horizontal dan dua vertikal.

Definisi: Proyeksi ortografis suatu titik M ke pesawat p disebut basis M 1 tegak lurus MM 1, diturunkan dari titik M ke pesawat p.

Penamaan: , , .

Definisi: Proyeksi ortografis dari gambar F ke pesawat p adalah himpunan semua titik pada bidang yang merupakan proyeksi ortogonal dari himpunan titik-titik pada gambar F ke pesawat p.

Desain ortogonal, sebagai kasus khusus desain paralel, memiliki sifat yang sama:

p - bidang proyeksi;

- desain langsung; ;

1) ;

2) , .

1. Proyeksi garis sejajar adalah sejajar.

LUAS PROYEKSI GAMBAR DATAR

Dalil: Luas proyeksi poligon datar pada bidang tertentu sama dengan luas proyeksi poligon dikalikan kosinus sudut antara bidang poligon dan bidang proyeksi.

Tahap 1: Gambar proyeksi adalah segitiga ABC, sisi AC terletak pada bidang proyeksi a (sejajar dengan bidang proyeksi a).

Diberikan:

Membuktikan:

Bukti:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Menurut teorema tiga tegak lurus;

D - tinggi; Dalam 1 D - tinggi;

5. - sudut linier dari sudut dihedral;

6. ; ; ; ;

Tahap 2: Gambar proyeksi adalah segitiga ABC, tidak ada sisi yang terletak pada bidang proyeksi a dan tidak sejajar dengannya.

Diberikan:

Membuktikan:

Bukti:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Tahap 1);

5. ; ; ;

(Tahap 1);

Tahap: Sosok yang dirancang adalah poligon arbitrer.

Bukti:

Poligon dibagi dengan diagonal-diagonal yang ditarik dari satu titik ke dalam sejumlah segitiga berhingga, yang masing-masing teoremanya benar. Oleh karena itu, teorema ini juga berlaku untuk jumlah luas semua segitiga yang bidang-bidangnya membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.

Komentar: Teorema yang dibuktikan berlaku untuk sembarang bangun datar yang dibatasi oleh kurva tertutup.

Latihan:

1. Temukan luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga beraturan dengan sisi a.

2. Hitunglah luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga sama kaki dengan sisi 10 cm dan alas 12 cm.

3. Tentukan luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga dengan sisi 9, 10 dan 17 cm.

4. Hitung luas trapesium yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi dengan sudut jika proyeksinya adalah trapesium sama kaki, alasnya lebih besar 44 cm, sisinya 17 cm dan diagonalnya adalah 39 cm.

5. Hitung luas proyeksi segi enam beraturan dengan sisi 8 cm, yang bidangnya miring ke bidang proyeksi membentuk sudut.

6. Sebuah belah ketupat dengan sisi 12 cm dan sudut lancip membentuk sudut dengan bidang tertentu. Hitung luas proyeksi belah ketupat pada bidang ini.

7. Sebuah belah ketupat dengan sisi 20 cm dan diagonal 32 cm membentuk sudut dengan bidang tertentu. Hitung luas proyeksi belah ketupat pada bidang ini.

8. Tonjolan kanopi pada bidang mendatar adalah persegi panjang dengan sisi dan . Hitunglah luas kanopi jika sisi-sisinya berbentuk persegi panjang yang miring terhadap bidang horizontal membentuk sudut , dan bagian tengah kanopi adalah bujur sangkar yang sejajar dengan bidang proyeksi.

11. Latihan tentang topik "Garis dan bidang di luar angkasa":

Sisi-sisi segitiga adalah 20 cm, 65 cm, 75 cm. Sebuah tegak lurus yang sama dengan 60 cm ditarik dari sudut sudut yang lebih besar dari segitiga ke bidangnya. Hitung jarak dari ujung-ujung tegak lurus ke sisi yang lebih besar dari segitiga.

2. Dari sebuah titik yang terpisah dari bidang pada jarak cm, dua titik miring ditarik, membentuk sudut dengan bidang sama dengan , dan di antara mereka - sudut siku-siku. Hitunglah jarak antara titik potong bidang miring tersebut.

3. Sisi segitiga beraturan adalah 12 cm. Titik M dipilih sehingga ruas-ruas yang menghubungkan titik M dengan semua titik sudut segitiga membentuk sudut dengan bidangnya. Tentukan jarak dari titik M ke titik sudut dan sisi segitiga.

4. Sebuah bidang ditarik melalui sisi bujur sangkar dengan sudut terhadap diagonal bujur sangkar. Temukan sudut di mana dua sisi persegi condong ke bidang.

5. Kaki segitiga siku-siku sama kaki miring terhadap bidang a yang melalui sisi miring membentuk sudut. Buktikan bahwa sudut antara bidang a dan bidang segitiga adalah .

6. Besar sudut dihedral antara bidang segitiga ABC dan DBC adalah . Tentukan AD jika AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Kontrol pertanyaan tentang topik "Garis dan bidang di luar angkasa"

1. Sebutkan konsep dasar stereometri. Merumuskan aksioma stereometri.

2. Buktikan konsekuensi dari aksioma.

3. Bagaimana posisi relatif dua garis dalam ruang? Definisi garis berpotongan, sejajar, berpotongan.

4. Buktikan kriteria garis berpotongan.

5. Bagaimana posisi relatif garis dan bidang? Jelaskan pengertian garis sejajar, berpotongan, dan bidang!

6. Buktikan tanda paralelisme garis lurus dan bidang.

7. Bagaimana posisi relatif kedua bidang tersebut?

8. Menentukan bidang-bidang sejajar. Buktikan kriteria untuk paralelisme dua bidang. Merumuskan teorema tentang bidang sejajar.

9. Tentukan sudut antar garis.

10. Buktikan tanda tegak lurus garis dan bidang.

11. Berikan definisi alas tegak lurus, alas miring, tonjolan miring pada bidang. Rumuskan sifat-sifat tegak lurus dan miring, diturunkan ke bidang dari satu titik.

12. Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang.

13. Buktikan teorema pada tiga tegak lurus.

14. Berikan definisi sudut dihedral, sudut linier dari sudut dihedral.

15. Buktikan tanda tegak lurus dua bidang.

16. Tentukan jarak antara dua titik yang berbeda.

17. Tentukan jarak dari titik ke garis.

18. Menentukan jarak dari suatu titik ke bidang.

19. Tentukan jarak antara garis lurus dan bidang yang sejajar dengannya.

20. Tentukan jarak antara bidang sejajar.

21. Tentukan jarak antara garis miring.

22. Menentukan proyeksi ortogonal suatu titik pada bidang.

23. Menentukan proyeksi ortogonal suatu bangun ke bidang.

24. Merumuskan sifat-sifat proyeksi pada suatu bidang.

25. Rumuskan dan buktikan teorema pada bidang proyeksi poligon datar.

Sudut antara bidang miring AB dan bidang DAC adalah 30* - ini adalah sudut BAC Sudut DAB adalah 45 (segitiga DAB adalah segitiga sama kaki persegi panjang), jadi DA=BDBA=DA*root(2) AC=AB* cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * root (2) * root (3) / 2 \u003d\u003d DA * root (6) / 2 dengan teorema tiga tegak lurus DC tegak lurus terhadap AD cos(CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= akar(2/3)sudut CAB = busur (2/3)

Tugas terkait:

Sisi AB belah ketupat ABCD adalah a, salah satu sudutnya 60 derajat. Sebuah bidang alfa ditarik melalui sisi AB pada jarak a/2 dari titik D.
a) tentukan jarak dari titik C ke bidang alfa.
b) tunjukkan pada gambar sudut linier dari sudut dihedral DABM. M milik alfa.
c) Tentukan sinus sudut antara bidang belah ketupat dan bidang alfa.

Sisi AB belah ketupat ABCD adalah a, salah satu sudutnya 60 derajat. Sebuah bidang alfa ditarik melalui sisi AB pada jarak a/2 dari titik D. a) tentukan jarak dari titik C ke bidang alfa. b) tunjukkan pada gambar sudut linier dari sudut dihedral DABM. M milik alfa. c) Tentukan sinus sudut antara bidang belah ketupat dan bidang alfa.

Sisi AB belah ketupat ABCD sama dengan a, dan salah satu sudutnya sama dengan 60°. Sebuah bidang alfa ditarik melalui sisi AB pada jarak a2 dari titik D.

a) Tentukan jarak dari titik C ke bidang alfa.

b) Tunjukkan pada gambar sudut linier dari sudut dihedral DABM, M milik bujur sangkar. alfa.

c) Tentukan sinus sudut antara bidang belah ketupat dan bidang alfa.

Seperti disebutkan di atas, proyeksi ortogonal adalah kasus khusus dari proyeksi paralel. Dalam proyeksi ortogonal, balok proyeksi tegak lurus terhadap bidang proyeksi.

Peralatan proyeksi semacam itu terdiri dari satu bidang proyeksi.

Untuk mendapatkan proyeksi ortogonal titik A, sebuah balok proyeksi harus ditarik melaluinya tegak lurus terhadap P1. Titik A1 disebut proyeksi ortogonal atau persegi panjang dari titik A.

Untuk mendapatkan proyeksi ortogonal A 1 B 1 segmen AB, di pesawat P 1, perlu melalui poin TETAPI dan PADA menggambar garis proyeksi tegak lurus terhadap P 1. Di persimpangan garis proyeksi dengan bidang P 1 dapatkan proyeksi ortogonal 1 dan DALAM 1 poin TETAPI dan PADA. Menghubungkan proyeksi ortogonal 1 dan DALAM 1 dapatkan proyeksi ortogonal A 1 B 1 segmen AB.

Semua sifat proyeksi paralel juga layak untuk proyeksi ortogonal. Namun, proyeksi ortogonal memiliki beberapa sifat lagi.

Sifat proyeksi ortografis:
1. Panjang suatu segmen sama dengan panjang proyeksinya dibagi dengan kosinus sudut kemiringan segmen tersebut terhadap bidang proyeksi.

Mari kita ambil garis lurus AB dan buat proyeksi ortogonalnya A 1 B 1 ke pesawat P 1. Jika Anda menggambar garis lurus SEBAGAI || A 1 B 1, maka dari segitiga ABC mengikuti itu |AC| : |AB| = cos a atau |AB| = |A 1 B 1 | : karena, karena | A 1 B 1 | = |AC|.

2. Selain itu, untuk proyeksi ortogonal, teorema proyeksi sudut siku-siku:

Dalil: Jika setidaknya satu sisi sudut siku-siku sejajar dengan bidang proyeksi, dan yang kedua tidak tegak lurus terhadapnya, maka sudut diproyeksikan ke bidang ini dalam ukuran penuh.

Bukti:

Diberikan sudut siku-siku ABC, yang, dengan syarat, memiliki garis lurus Matahari AB dan Matahari || bidang proyeksi P 1. Dengan konstruksi, lurus Matahari ke balok proyeksi BB 1. Oleh karena itu, garis lurus Matahari ke pesawat b (ABxBB1), karena itu adalah dua garis lurus yang berpotongan yang terletak di bidang ini. Menurut garis lurus B 1 C 1 || Matahari, begitu juga dengan pesawat b, yaitu, dan langsung A 1 B 1 pesawat ini. Jadi, sudut antara garis A 1 B 1 dan B 1 Dari 1 sama dengan 90 °, yang harus dibuktikan.

Proyeksi ortogonal memberikan kesederhanaan konstruksi geometris saat menentukan proyeksi ortogonal titik, serta kemampuan untuk menyimpan bentuk dan ukuran gambar yang diproyeksikan pada proyeksi. Keunggulan ini memberikan proyeksi ortogonal dengan aplikasi luas dalam gambar teknik.

Metode proyeksi yang dipertimbangkan memungkinkan kami untuk memecahkan masalah langsung geometri deskriptif, yaitu, untuk membuat gambar datar dari aslinya. Proyeksi ke satu bidang yang diperoleh dengan cara ini memberikan gambaran yang tidak lengkap tentang objek, bentuk dan posisinya di ruang angkasa, yaitu, gambar seperti itu tidak memiliki sifat reversibilitas.

Untuk mendapatkan gambar reversibel, mis. gambar yang memberikan gambaran lengkap tentang bentuk, ukuran dan posisi aslinya di ruang angkasa, gambar satu gambar dilengkapi. Tergantung pada add-on, ada berbagai jenis gambar.

1. Plot Monge atau proyeksi ortogonal. Inti dari metode proyeksi ortogonal (persegi panjang) adalah bahwa aslinya diproyeksikan secara ortogonal ke 2 atau 3 bidang proyeksi yang saling ortogonal, dan kemudian digabungkan dengan bidang gambar.
2. Gambar aksonometri. Inti dari gambar aksonometri adalah bahwa pada awalnya yang asli secara kaku terkait dengan sistem koordinat Cartesian OKSIZ, proyeksikan secara ortogonal ke salah satu bidang proyeksi OKSI, atau OXZ. Kemudian, dengan proyeksi paralel, proyeksi paralel dari struktur yang dihasilkan ditemukan: sumbu koordinat OKS, OY, OZ, proyeksi sekunder dan asli.
3. Menggambar perspektif. Saat membuat gambar perspektif, satu proyeksi ortogonal pertama kali dibuat, dan kemudian proyeksi pusat dari proyeksi ortogonal yang dibangun sebelumnya dan yang asli itu sendiri ditemukan pada bidang gambar.
4. Proyeksi dengan tanda numerik, dll. Untuk mendapatkan proyeksi dengan tanda numerik, aslinya diproyeksikan secara ortogonal ke bidang tingkat nol dan jarak dari titik aslinya ke bidang ini ditunjukkan.

Mari kita membahas lebih detail tentang studi proyeksi persegi panjang dan gambar aksonometrik.

Pelajaran geometri di kelas 10

Dalam pelajaran ini, Anda akan melanjutkan pelajaran Anda tentang garis dan bidang; Pelajari cara menemukan sudut antara garis dan bidang. Anda akan berkenalan dengan konsep proyeksi ortogonal pada bidang dan mempertimbangkan sifat-sifatnya. Pelajaran akan memberikan definisi jarak dari titik ke bidang dan dari titik ke garis, sudut antara garis dan bidang. Teorema tiga yang terkenal akan dibuktikan. tegak lurus.

Proyeksi ortogonal titik A ke bidang tertentu adalah proyeksi titik ke bidang ini sejajar dengan garis lurus tegak lurus bidang ini. Proyeksi ortogonal suatu gambar ke bidang p yang diberikan terdiri dari proyeksi ortogonal ke bidang p dari semua titik gambar ini.

Proyeksi ortogonal sering digunakan untuk menggambarkan benda-benda spasial pada suatu bidang, terutama dalam gambar teknik. Ini memberikan gambar yang lebih realistis daripada proyeksi paralel sewenang-wenang, terutama benda bulat.

Buatlah sebuah garis lurus melalui sebuah titik A yang bukan milik bidang p, tegak lurus bidang ini dan berpotongan di titik B. Kemudian ruas AB disebut tegak lurus yang diturunkan dari titik A ke bidang ini, dan titik tersebut B sendiri disebut alas tegak lurus ini. Setiap segmen AC, di mana C adalah titik sembarang dari bidang p, berbeda dari B, disebut miring ke bidang ini.

Perhatikan bahwa titik B dalam definisi ini adalah proyeksi ortogonal dari titik A, dan segmen AC adalah proyeksi ortogonal dari AB miring. Proyeksi ortografi memiliki semua sifat proyeksi paralel biasa, tetapi mereka juga memiliki sejumlah sifat baru.

Biarkan tegak lurus dan beberapa garis miring ditarik dari satu titik ke bidang. Maka pernyataan berikut ini benar.

1. Setiap miring lebih panjang dari proyeksi tegak lurus dan ortogonal dari miring ke bidang ini.

2. Obliques yang sama memiliki proyeksi ortogonal yang sama, dan sebaliknya, obliques yang memiliki proyeksi yang sama juga sama.

3. Satu miring lebih panjang dari yang lain jika dan hanya jika proyeksi ortogonal miring pertama lebih panjang dari proyeksi ortogonal miring kedua.