Di awal artikel ini, kami membahas konsep fungsi trigonometri. Tujuan utama dari tujuan mereka adalah untuk mempelajari dasar-dasar trigonometri dan mempelajari proses periodik. Dan kami menggambar lingkaran trigonometri karena suatu alasan, karena dalam banyak kasus fungsi trigonometri didefinisikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga atau segmen-segmen tertentu dalam lingkaran satuan. Saya juga menyebutkan betapa pentingnya trigonometri dalam kehidupan modern. Tetapi sains tidak berhenti, sebagai hasilnya, kita dapat secara signifikan memperluas ruang lingkup trigonometri dan mentransfer ketentuannya ke bilangan real, dan terkadang ke bilangan kompleks.

Rumus trigonometri ada beberapa jenis. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Hubungan fungsi trigonometri sudut yang sama

Di sini kita sampai pada pertimbangan konsep seperti identitas trigonometri dasar.

Identitas trigonometri adalah persamaan yang terdiri dari hubungan trigonometri dan berlaku untuk semua nilai sudut yang termasuk di dalamnya.

Pertimbangkan identitas trigonometri yang paling penting dan buktinya:

Identitas pertama mengikuti dari definisi tangen.

Ambil segitiga siku-siku dengan sudut lancip x di titik sudut A.



Untuk membuktikan identitas, perlu menggunakan teorema Pythagoras:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Sekarang kita bagi dengan (AB) 2 kedua bagian persamaan dan mengingat definisi sin dan cos dari sudut, kita mendapatkan identitas kedua:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Untuk membuktikan identitas ketiga dan keempat, kita menggunakan bukti sebelumnya.

Untuk melakukan ini, kami membagi kedua bagian dari identitas kedua dengan cos 2 x:

sin 2x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Berdasarkan identitas pertama tg x \u003d sin x / cos x kita mendapatkan yang ketiga:

1 + tg2x = 1/cos2x

Sekarang kita bagi identitas kedua dengan sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x tidak lain adalah 1/tg 2 x, sehingga diperoleh identitas keempat:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Saatnya untuk mengingat teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, yang mengatakan bahwa jumlah sudut segitiga \u003d 180 0. Ternyata di titik B segitiga ada sudut yang nilainya 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Ingat definisi untuk sin dan cos lagi dan kita mendapatkan identitas kelima dan keenam:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Sekarang mari kita lakukan hal berikut:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Seperti yang Anda lihat, semuanya dasar di sini.

Ada identitas lain yang digunakan dalam menyelesaikan identitas matematis, saya akan memberikannya sebagai referensi saja, karena semuanya berasal dari yang di atas.



2. Ekspresi fungsi trigonometri melalui satu sama lain

   (pilihan tanda di depan akar ditentukan oleh perempat lingkaran mana yang terletak di sudut?)







3. Berikut ini adalah rumus penjumlahan dan pengurangan sudut:



4. Rumus sudut ganda, rangkap tiga, dan setengah sudut.

   Saya perhatikan bahwa mereka semua mengikuti dari formula sebelumnya.

dosa 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

tg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

tg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Rumus untuk mengubah ekspresi trigonometri:

Permintaan "dosa" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya. Permintaan "detik" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya. "Sine" dialihkan ke sini; lihat juga arti lain ... Wikipedia

Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, cotangent Fungsi trigonometri adalah jenis fungsi dasar. Biasanya termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, cotangent Fungsi trigonometri adalah jenis fungsi dasar. Biasanya termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, cotangent Fungsi trigonometri adalah jenis fungsi dasar. Biasanya termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, cotangent Fungsi trigonometri adalah jenis fungsi dasar. Biasanya termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Pengukuran geodetik (abad XVII) ... Wikipedia

Dalam trigonometri, rumus garis singgung setengah sudut menghubungkan garis singgung setengah sudut dengan fungsi trigonometri sudut penuh: Berbagai variasi rumus ini adalah sebagai berikut ... Wikipedia

- (dari bahasa Yunani (segitiga) dan bahasa Yunani (mengukur), yaitu pengukuran segitiga) cabang matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan penerapannya pada geometri. Istilah ini pertama kali muncul pada tahun 1595 sebagai ... ... Wikipedia

- (Latin solutio triangulorum) istilah historis yang berarti solusi dari masalah trigonometri utama: menggunakan data yang diketahui tentang segitiga (sisi, sudut, dll.), temukan sisa karakteristiknya. Segitiga dapat ditemukan di ... ... Wikipedia

Buku

• Satu set meja. Aljabar dan awal analisis. Kelas 10. 17 tabel + metodologi, . Meja dicetak di atas karton poligrafik tebal berukuran 680 x 980 mm. Kit ini mencakup brosur dengan rekomendasi metodologis untuk guru. Album belajar 17 lembar.…
• Tabel integral dan rumus matematika lainnya, Dwight G.B.. Edisi kesepuluh dari buku referensi terkenal berisi tabel yang sangat rinci dari integral tak tentu dan integral tertentu, serta sejumlah besar rumus matematika lainnya: ekspansi deret, ...

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga benar-benar berhenti pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi jika kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita mendapatkan banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Ini seperti menemukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter akan memberikan hasil yang sama sekali berbeda.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana hal itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!

Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tg x` atau `ctg x`) disebut persamaan trigonometri, dan kami akan mempertimbangkan rumusnya lebih lanjut.

Persamaan paling sederhana adalah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, di mana `x` adalah sudut yang akan dicari, `a` adalah bilangan apa pun. Mari kita tulis rumus akar untuk masing-masingnya.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` tidak memiliki solusi.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Rumus akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kasus sinus, tidak ada solusi di antara bilangan real.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Rumus akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kasus khusus untuk sinus dan kosinus dalam grafik.

3. Persamaan `tg x=a`

Memiliki jumlah solusi tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Ini juga memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Rumus untuk akar persamaan trigonometri dalam tabel

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Rumus untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik:

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri

Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap:

• gunakan untuk mengubahnya menjadi yang paling sederhana;
• selesaikan persamaan sederhana yang dihasilkan menggunakan rumus di atas untuk akar dan tabel.

Mari kita pertimbangkan metode utama solusi menggunakan contoh.

metode aljabar.

Dalam metode ini, penggantian variabel dan substitusinya menjadi kesetaraan dilakukan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat pengganti: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, lalu `2y^2-3y+1=0`,

kami menemukan akarnya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kasus berikut:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawaban: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisasi.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Keputusan. Pindah ke kiri semua suku persamaan: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan sisi kiri:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawaban: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksi menjadi persamaan homogen

Pertama, Anda perlu membawa persamaan trigonometri ini ke salah satu dari dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen derajat pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen derajat kedua).

Kemudian bagi kedua bagian dengan `cos x \ne 0` untuk kasus pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` untuk yang kedua. Kami mendapatkan persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang harus diselesaikan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Keputusan. Mari kita tulis ruas kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` `sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ini adalah persamaan trigonometri homogen derajat kedua, membagi bagian kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita mendapatkan:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, sebagai hasilnya `t^2 + t - 2=0`. Akar persamaan ini adalah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Menjawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pergi ke Setengah Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Keputusan. Menerapkan rumus sudut ganda, hasilnya adalah: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Menerapkan metode aljabar yang dijelaskan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \di Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \di Z`.

Menjawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, di mana a,b,c adalah koefisien dan x adalah variabel, kita bagi kedua bagian dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(kuadrat (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(kuadrat (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(a^2 +b^2))`.

Koefisien di ruas kiri memiliki sifat sinus dan cosinus, yaitu jumlah kuadratnya sama dengan 1 dan modulusnya tidak lebih besar dari 1. Nyatakan sebagai berikut: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Keputusan. Membagi kedua ruas persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita memperoleh:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Menunjukkan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Karena `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut bantu. Kemudian kita tulis persamaan kita dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menerapkan rumus untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis persamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Menjawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri pecahan-rasional

Ini adalah persamaan dengan pecahan, di pembilang dan penyebutnya ada fungsi trigonometri.

Contoh. Memecahkan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Keputusan. Kalikan dan bagi ruas kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya, kita mendapatkan:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Mengingat bahwa penyebut tidak boleh nol, kita mendapatkan `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Samakan pembilang pecahan dengan nol: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \di Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Mengingat ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, solusinya adalah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \di Z`.

Menjawab. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan di hampir semua bidang geometri, fisika, dan teknik. Pelajaran dimulai di kelas 10, selalu ada tugas untuk ujian, jadi cobalah untuk mengingat semua rumus persamaan trigonometri - mereka pasti akan berguna untuk Anda!

Namun, Anda bahkan tidak perlu menghafalnya, yang utama adalah memahami esensinya, dan dapat menyimpulkan. Ini tidak sesulit kelihatannya. Buktikan sendiri dengan menonton videonya.