Konsep bilangan positif dan negatif. Angka negatif

Chalina Irina

Presentasi tentang sejarah bilangan negatif.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Angka negatif Chalina Irina

Matematika - hidup! Kemuliaan, kemuliaan, kemuliaan! Jangan bernyanyi untuknya, Jangan berteriak bravo padanya. Dahulu kala ada 2 angka, Hidup, tidak berduka. Satu adalah minus, yang lain adalah plus, Kami berteman dengan riang. Tandanya berbeda dalam segala hal, Tapi Anda bisa menambahkan, Untuk menjumlahkan angkanya, Mana yang seharusnya. Ditambah dengan plus - kami mendapatkan plus, Plus dengan minus - akan ada minus. Nah, jika kita menambahkan (-20) (-8), maka pada akhirnya kita akan mendapatkan angka (-28).

Bilangan negatif Bilangan negatif adalah elemen dari himpunan bilangan negatif, yang (bersama dengan nol) muncul dalam matematika ketika himpunan bilangan asli diperluas. Tujuan dari ekstensi adalah untuk menyediakan operasi pengurangan untuk bilangan apa pun. Sebagai hasil dari ekspansi, diperoleh satu set (cincin) bilangan bulat, yang terdiri dari bilangan positif (alami), bilangan negatif, dan nol. Semua bilangan negatif, dan hanya mereka, yang kurang dari nol. Pada sumbu angka, angka negatif terletak di sebelah kiri nol. Bagi mereka, dan juga untuk bilangan positif, relasi urutan didefinisikan yang memungkinkan Anda untuk membandingkan satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya.

Referensi sejarah Sejarah mengatakan bahwa orang tidak bisa terbiasa dengan angka negatif untuk waktu yang lama. Angka-angka negatif tampaknya tidak dapat dipahami oleh mereka, mereka tidak digunakan, mereka hanya tidak melihat makna di dalamnya. Angka positif ditafsirkan sebagai "keuntungan", dan negatif - sebagai "utang", "kerugian". Di Mesir Kuno, Babilonia, dan Yunani Kuno, bilangan negatif tidak digunakan, dan jika akar persamaan negatif diperoleh (bila dikurangkan), bilangan tersebut ditolak karena tidak mungkin. Untuk pertama kalinya, angka negatif dilegalkan sebagian di Cina, dan kemudian (dari sekitar abad ke-7) di India, di mana angka-angka tersebut ditafsirkan sebagai utang (kekurangan), atau diakui sebagai tahap perantara yang berguna untuk menghitung hasil akhir yang positif. Tetapi tidak ada tanda + atau - di zaman kuno baik untuk angka atau tindakan. Benar, perkalian dan pembagian untuk bilangan negatif belum ditentukan. Orang Yunani juga tidak menggunakan tanda pada awalnya, sampai Diophantus dari Alexandria pada abad ke-3 mulai menggunakan tanda “-” ketika menyelesaikan persamaan linier. Tanda “+” muncul sebagai akibat dari tindakan yang berlawanan dengan tanda “-” dengan mencoret tanda minus. Itu sangat mirip dengan plus yang kita gunakan sekarang. Dia sudah tahu aturan tanda dan tahu cara mengalikan angka negatif. Namun, dia menganggapnya hanya sebagai nilai sementara.

Kegunaan dan legalitas angka negatif ditetapkan secara bertahap. Ahli matematika India Brahmagupta (abad ke-7) sudah menganggap mereka setara dengan yang positif. Di Eropa, pengakuan datang seribu tahun kemudian, dan bahkan kemudian untuk waktu yang lama angka negatif disebut "palsu", "imajiner" atau "absurd". Bahkan Pascal berpikir bahwa 0 4 = 0, karena tidak ada yang kurang dari tidak sama sekali. Bombelli dan Girard, sebaliknya, menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kurangnya sesuatu. Gema pada masa itu adalah kenyataan bahwa dalam aritmatika modern operasi pengurangan dan tanda bilangan negatif dilambangkan dengan simbol yang sama (minus), meskipun secara aljabar ini adalah konsep yang sama sekali berbeda. Pada abad ke-17, dengan munculnya geometri analitik, bilangan negatif menerima representasi geometris visual pada garis bilangan. Mulai saat ini muncul kesetaraan penuh mereka. Namun demikian, teori bilangan negatif masih dalam masa pertumbuhan untuk waktu yang lama. Misalnya, proporsi aneh 1: (-1) = (-1): 1 secara aktif dibahas - di dalamnya istilah pertama di sebelah kiri lebih besar dari yang kedua, dan di sebelah kanan - sebaliknya, dan ternyata yang lebih besar sama dengan yang lebih kecil ("paradoks Arnaud"). Juga tidak jelas apa arti perkalian bilangan negatif, dan mengapa perkalian bilangan negatif adalah positif; ada diskusi panas tentang topik ini. Teori bilangan negatif yang lengkap dan cukup ketat diciptakan hanya pada abad ke-19 oleh William Hamilton dan Hermann Grassmann.

Sifat-sifat Bilangan Negatif Bilangan negatif mengikuti aturan aljabar yang hampir sama dengan bilangan asli, tetapi memiliki beberapa kekhasan. Jika himpunan bilangan positif dibatasi di bawah, maka himpunan bilangan negatif dibatasi di atas. Saat mengalikan bilangan bulat, aturan tanda berlaku: produk angka dengan tanda berbeda adalah negatif, dengan yang sama - positif. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik. Misalnya, mengalikan pertidaksamaan 3 10. Saat membagi dengan sisa, hasil bagi dapat memiliki tanda apa pun, tetapi sisanya, menurut konvensi, selalu non-negatif (jika tidak, tidak didefinisikan secara unik). Untuk setiap bilangan asli (n) hanya ada satu dan hanya satu bilangan negatif, dilambangkan dengan (-n), yang melengkapi n ke nol: Kedua bilangan disebut saling berlawanan. Mengurangi bilangan bulat (a) dari bilangan bulat lain (b) sama dengan menjumlahkan b dengan lawan tanda a: (b)+ (-a)

Aturan Dasar Aturan 1. Jumlah dua angka negatif adalah angka negatif yang sama dengan jumlah modul dari angka-angka ini. Contoh - Jumlah angka (-3) dan (-8) sama dengan minus 11. Aturan 2. Hasil kali dua bilangan yang berbeda tandanya adalah bilangan negatif, yang modulusnya sama dengan perkalian modulus faktor-faktornya. Contoh - Produk dari minus tiga dan lima sama dengan minus lima belas, karena ketika mengalikan dua angka dengan tanda yang berbeda, angka negatif diperoleh, dan modulusnya sama dengan produk modulus faktor, yaitu tiga dan lima . Aturan 3. Untuk menandai angka negatif, perlu untuk melengkapi sinar koordinat dengan sinar yang berlawanan dengannya dan meletakkan koordinat yang sesuai di atasnya. Contoh. Angka-angka yang terletak di garis koordinat di sebelah kanan nol disebut positif, dan di sebelah kiri - negatif.

Modul bilangan negatif Jarak dari titik A(a) ke titik asal, mis. ke titik O(o), disebut modul bilangan a dan dinotasikan /a/ Modul bilangan negatif sama dengan bilangan di seberangnya. Modul, tidak melakukan apa pun dengan angka positif dan nol, menghilangkan tanda minus dari angka negatif. Modul ditunjukkan oleh garis vertikal, yang tertulis di kedua sisi nomor. Misalnya / -3 / = 3; / -2,3 / = 2,3; / -526/7 / = 526/7. Dari dua bilangan negatif, yang lebih besar adalah yang modulusnya lebih kecil, dan yang lebih kecil adalah yang modulusnya lebih besar. (Pada kesempatan ini, mereka biasanya bercanda bahwa angka negatif tidak seperti orang, sebaliknya)

Kesimpulan Angka-angka negatif adalah umum hari ini: mereka digunakan, misalnya, untuk mewakili suhu di bawah nol. Oleh karena itu, tampaknya mengejutkan bahwa beberapa abad yang lalu tidak ada interpretasi khusus dari angka negatif, dan angka negatif yang muncul dalam perhitungan disebut "imajiner". Angka negatif diperlukan tidak hanya saat mengukur suhu. Misalnya, jika suatu perusahaan menerima pendapatan 1 juta rubel, atau, sebaliknya, menderita kerugian 1 juta rubel, bagaimana ini harus tercermin dalam dokumen keuangan? Dalam kasus pertama, 1.000.000 rubel dicatat. atau + 1.000.000 rubel. Dan yang kedua, masing-masing, (- 1.000.000 rubel).

Terima kasih atas perhatian Anda! -

Bilangan asli, bilangan lawannya, dan bilangan 0 disebut bilangan bulat. bilangan positif(utuh dan pecahan), angka negatif(bilangan bulat dan pecahan) dan angka 0 membentuk grup angka rasional.

Angka rasional dilambangkan dengan huruf latin kapital R. Angka 0 mengacu pada bilangan rasional bilangan bulat. Kami berkenalan dengan bilangan positif alami dan pecahan sebelumnya. Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci bilangan negatif dalam komposisi bilangan rasional.

Bilangan negatif telah dikaitkan dengan kata "tugas" sejak zaman kuno, sementara nomor positif dapat dikaitkan dengan kata "ketersediaan" atau "penghasilan". Ini berarti bahwa bilangan bulat positif dan bilangan pecahan dalam perhitungan adalah apa yang kita miliki, dan bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan adalah apa yang merupakan hutang. Dengan demikian, hasil perhitungan adalah selisih antara jumlah yang tersedia dan hutang kita.

Bilangan bulat dan pecahan negatif ditulis dengan tanda minus ("-") di depan bilangan tersebut. Nilai numerik dari bilangan negatif adalah modulusnya. Masing-masing, nilai mutlak suatu bilangan adalah nilai suatu bilangan (baik positif maupun negatif) dengan tanda tambah. Nilai mutlak suatu bilangan ditulis sebagai berikut: |2|; |-2|.

Setiap bilangan rasional pada garis bilangan sesuai dengan satu titik. Pertimbangkan sumbu nomor (gambar di bawah), menunjukkan titik di atasnya HAI.

titik HAI letakkan angka 0 dalam korespondensi. Angka 0 berfungsi sebagai batas antara bilangan positif dan negatif: di sebelah kanan 0 - bilangan positif, yang nilainya bervariasi dari 0 hingga plus tak terhingga, dan di sebelah kiri 0 - angka negatif, yang nilainya juga bervariasi dari 0 hingga minus tak terhingga.

Aturan. Setiap angka di sebelah kanan sumbu angka lebih besar dari angka di sebelah kiri.

Berdasarkan aturan ini, bilangan positif bertambah dari kiri ke kanan, dan bilangan negatif berkurang dari kanan ke kiri (dalam hal ini, modulus bilangan negatif bertambah).

Sifat-sifat bilangan pada garis bilangan

Setiap angka positif dan 0 lebih besar dari angka negatif apa pun.

Setiap bilangan positif lebih besar dari 0. Setiap bilangan negatif kurang dari 0.

Setiap bilangan negatif lebih kecil dari bilangan positif. Bilangan positif atau negatif di sebelah kanan lebih besar dari bilangan positif atau negatif di sebelah kiri garis bilangan.

Definisi. Bilangan yang hanya berbeda tandanya disebut bilangan berlawanan.

Misalnya, angka 2 dan -2, 6 dan -6. -10 dan 10. Angka yang berlawanan terletak pada sumbu numerik dalam arah yang berlawanan dari titik O, tetapi pada jarak yang sama darinya.

Bilangan pecahan, yang merupakan pecahan biasa atau desimal dalam notasi, mengikuti aturan yang sama pada sumbu bilangan sebagai bilangan bulat. Dari dua pecahan, pecahan yang berdiri pada sumbu numerik di sebelah kanan lebih besar; pecahan negatif lebih kecil dari pecahan positif; setiap pecahan positif lebih besar dari 0; Setiap pecahan negatif kurang dari 0.

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

pengantar

Dunia angka sangat misterius dan menarik. Angka sangat penting di dunia kita. Saya ingin belajar sebanyak mungkin tentang asal usul angka, tentang maknanya dalam hidup kita. Bagaimana menerapkannya dan peran apa yang dimainkannya dalam hidup kita?

Tahun lalu dalam pelajaran matematika kami mulai mempelajari topik "Bilangan positif dan negatif". Saya punya pertanyaan, kapan angka negatif muncul, di negara mana, ilmuwan mana yang menangani masalah ini. Di Wikipedia, saya membaca bahwa bilangan negatif adalah elemen dari himpunan bilangan negatif, yang (bersama dengan nol) muncul dalam matematika ketika himpunan bilangan asli diperluas. Tujuan dari ekstensi adalah untuk menyediakan operasi pengurangan untuk bilangan apa pun. Sebagai hasil dari ekspansi, diperoleh satu set (cincin) bilangan bulat, yang terdiri dari bilangan positif (alami), bilangan negatif, dan nol.

Akibatnya, saya memutuskan untuk menyelidiki sejarah angka negatif.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari sejarah munculnya bilangan negatif dan bilangan positif.

Objek studi - bilangan negatif dan bilangan positif

Sejarah angka positif dan negatif

Orang tidak bisa terbiasa dengan angka negatif untuk waktu yang lama. Angka negatif tampaknya tidak dapat dipahami oleh mereka, mereka tidak digunakan, mereka tidak melihat banyak arti di dalamnya. Angka-angka ini muncul jauh lebih lambat daripada bilangan asli dan pecahan biasa.

Informasi pertama tentang bilangan negatif ditemukan di kalangan matematikawan Cina pada abad ke-2 SM. SM e. dan kemudian, hanya aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif yang diketahui; aturan perkalian dan pembagian tidak diterapkan.

Kuantitas positif dalam matematika Cina disebut "chen", negatif - "fu"; mereka digambarkan dalam berbagai warna: "chen" - merah, "fu" - hitam. Hal ini dapat dilihat dalam buku Arithmetic in Nine Chapters (Penulis Zhang Can). Metode representasi ini digunakan di Cina hingga pertengahan abad ke-12, sampai Li Ye mengusulkan notasi yang lebih nyaman untuk angka negatif - angka yang menggambarkan angka negatif dicoret dengan tanda hubung miring dari kanan ke kiri.

Hanya di abad ke-7 Matematikawan India mulai menggunakan bilangan negatif secara ekstensif, tetapi menganggapnya dengan sedikit ketidakpercayaan. Bhashara langsung menulis: "Orang tidak menyetujui angka negatif abstrak ...". Berikut adalah bagaimana ahli matematika India Brahmagupta menetapkan aturan penambahan dan pengurangan: “properti dan properti adalah properti, jumlah dari dua hutang adalah hutang; jumlah properti dan nol adalah properti; jumlah dua nol adalah nol ... Hutang, yang dikurangi dari nol, menjadi properti, dan properti menjadi utang. Jika perlu untuk mengambil properti dari hutang, dan hutang dari properti, maka mereka mengambil jumlahnya. "Jumlah dari dua properti adalah properti."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Orang India menyebut angka positif "dhana" atau "swa" (properti), dan yang negatif - "rina" atau "kshaya" (hutang). Ilmuwan India, yang mencoba menemukan contoh pengurangan semacam itu dalam kehidupan, datang untuk menafsirkannya dari sudut pandang perhitungan perdagangan. Jika pedagang memiliki 5000 r. dan membeli barang seharga 3000 rubel, ia memiliki 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jika dia memiliki 3.000 rubel dan membeli 5.000 rubel, maka dia tetap berhutang sebesar 2.000 rubel. Sesuai dengan ini, diyakini bahwa pengurangan 3000 - 5000 sedang dilakukan di sini, tetapi hasilnya adalah angka 2000 dengan titik di atas, yang berarti "dua ribu hutang." Penafsiran ini adalah artifisial, pedagang tidak pernah menemukan jumlah hutang dengan mengurangkan 3000 - 5000, tetapi selalu mengurangkan 5000 - 3000.

Beberapa saat kemudian, di India dan Cina kuno, mereka menebak alih-alih kata-kata "utang 10 yuan" untuk sekadar menulis "10 yuan", tetapi menggambar hieroglif ini dengan tinta hitam. Dan tanda "+" dan "-" di zaman kuno bukan untuk angka, atau untuk tindakan.

Orang Yunani juga tidak menggunakan tanda pada awalnya. Ilmuwan Yunani kuno Diophantus sama sekali tidak mengenali bilangan negatif, dan jika akar negatif diperoleh saat menyelesaikan persamaan, maka ia membuangnya sebagai "tidak dapat diakses". Dan Diophantus mencoba merumuskan masalah dan membuat persamaan sedemikian rupa untuk menghindari akar negatif, tetapi segera Diophantus dari Alexandria mulai menunjukkan pengurangan dengan tanda.

Aturan untuk menangani angka positif dan negatif diusulkan pada awal abad ke-3 di Mesir. Pengenalan kuantitas negatif pertama kali terjadi di Diophantus. Dia bahkan menggunakan karakter khusus untuk mereka. Pada saat yang sama, Diophantus menggunakan pergantian bicara seperti "Mari kita tambahkan negatif ke kedua sisi," dan bahkan merumuskan aturan tanda: "Sebuah negatif dikalikan dengan negatif memberikan positif, sedangkan negatif dikalikan dengan positif memberikan negatif.”

Di Eropa, angka negatif mulai digunakan dari abad ke-12-13, tetapi sampai abad ke-16. kebanyakan ilmuwan menganggapnya "salah", "imajiner" atau "tidak masuk akal", berbeda dengan angka positif - "benar". Angka positif juga diartikan sebagai "properti", dan angka negatif - sebagai "utang", "kekurangan". Bahkan matematikawan terkenal Blaise Pascal berpendapat bahwa 0 4 = 0, karena tidak ada yang kurang dari tidak sama sekali. Di Eropa, Leonardo Fibonacci dari Pisa cukup dekat dengan gagasan tentang kuantitas negatif pada awal abad ke-13. Dalam kompetisi dalam memecahkan masalah dengan matematikawan pengadilan Frederick II, Leonardo dari Pisa diminta untuk memecahkan masalah: itu diperlukan untuk menemukan ibukota beberapa orang. Fibonacci negatif. "Kasus ini," kata Fibonacci, "tidak mungkin, kecuali menerima bahwa seseorang tidak memiliki modal, tetapi utang." Namun, angka negatif secara eksplisit digunakan untuk pertama kalinya pada akhir abad ke-15 oleh ahli matematika Prancis Shuquet. Penulis risalah tulisan tangan tentang aritmatika dan aljabar, The Science of Numbers in Three Parts. Simbolisme Schücke mendekati simbol modern.

Karya matematikawan, fisikawan, dan filsuf Prancis René Descartes berkontribusi pada pengenalan bilangan negatif. Dia mengusulkan interpretasi geometris angka positif dan negatif - dia memperkenalkan garis koordinat. (1637).

Angka positif digambarkan pada sumbu angka dengan titik-titik yang terletak di sebelah kanan titik asal 0, angka negatif - ke kiri. Interpretasi geometris angka positif dan negatif berkontribusi pada pengenalan mereka.

Pada tahun 1544, matematikawan Jerman Michael Stiefel menganggap bilangan negatif untuk pertama kalinya sebagai bilangan yang kurang dari nol (yaitu "kurang dari tidak sama sekali"). Sejak saat itu, angka negatif tidak lagi dipandang sebagai hutang, tetapi dengan cara yang sama sekali baru. Stiefel sendiri menulis: "Nol adalah antara angka yang benar dan tidak masuk akal ..."

Hampir bersamaan dengan Stiefel, Bombelli Raffaele (sekitar 1530-1572), seorang matematikawan dan insinyur Italia yang menemukan kembali karya Diophantus, membela gagasan bilangan negatif.

Demikian pula, Girard menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kekurangan sesuatu.

Setiap fisikawan terus-menerus berurusan dengan angka: dia selalu mengukur sesuatu, menghitung, menghitung. Di mana-mana di korannya - angka, angka, dan angka. Jika Anda melihat lebih dekat pada catatan seorang fisikawan, Anda akan menemukan bahwa ketika menulis angka, ia sering menggunakan tanda "+" dan "-". (Misalnya: termometer, skala kedalaman dan tinggi)

Hanya pada awal abad XIX. teori bilangan negatif telah menyelesaikan perkembangannya, dan "bilangan absurd" telah menerima pengakuan universal.

Definisi konsep bilangan

Di dunia modern, seseorang terus-menerus menggunakan angka, bahkan tanpa memikirkan asal-usulnya. Tanpa pengetahuan tentang masa lalu, mustahil untuk memahami masa kini. Bilangan merupakan salah satu konsep dasar matematika. Konsep bilangan berkembang erat hubungannya dengan studi besaran; hubungan ini berlanjut hingga hari ini. Di semua cabang matematika modern, kita harus mempertimbangkan jumlah yang berbeda dan menggunakan angka. Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Setelah muncul kembali di masyarakat primitif dari kebutuhan berhitung, konsep bilangan berubah dan diperkaya dan berubah menjadi konsep matematika yang paling penting.

Ada banyak definisi untuk istilah "angka".

Definisi ilmiah pertama tentang bilangan diberikan oleh Euclid dalam Elements-nya, yang jelas-jelas diwarisi dari rekan senegaranya Eudoxus dari Cnidus (sekitar 408 - sekitar 355 SM): “Satuan adalah, yang dengannya setiap benda yang ada disebut satu. Bilangan adalah himpunan yang terdiri dari unit-unit. Inilah bagaimana konsep bilangan didefinisikan oleh ahli matematika Rusia Magnitsky dalam Arithmetic (1703). Bahkan sebelum Euclid, Aristoteles memberikan definisi berikut: "Angka adalah himpunan, yang diukur dengan bantuan unit." Dalam bukunya "Aritmatika Umum" (1707), fisikawan, mekanik, astronom, dan matematikawan Inggris Isaac Newton menulis: "Dengan angka yang kami maksud bukanlah sekumpulan unit, tetapi rasio abstrak dari beberapa kuantitas ke kuantitas lain yang sama. jenis, diambil sebagai satu kesatuan. Ada tiga jenis bilangan: bilangan bulat, pecahan, dan irasional. Bilangan bulat adalah yang diukur dengan satuan; pecahan - kelipatan dari unit, irasional - angka yang tidak sepadan dengan unit.

Matematikawan Mariupol S.F. Klyuykov juga berkontribusi pada definisi konsep bilangan: "Bilangan adalah model matematika dari dunia nyata, yang diciptakan oleh manusia untuk pengetahuannya." Dia juga memperkenalkan apa yang disebut "bilangan fungsional" ke dalam klasifikasi angka tradisional, yang berarti apa yang biasanya disebut fungsi di seluruh dunia.

Bilangan asli muncul saat menghitung benda. Saya belajar tentang ini di kelas 5 SD. Kemudian saya belajar bahwa kebutuhan manusia untuk mengukur besaran tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat. Setelah perluasan himpunan bilangan asli menjadi pecahan, menjadi mungkin untuk membagi bilangan bulat apa pun dengan bilangan bulat lain (dengan pengecualian pembagian dengan nol). Ada bilangan pecahan. Untuk mengurangi bilangan bulat dari bilangan bulat lain, ketika dikurangi lebih besar dari dikurangi, untuk waktu yang lama tampak mustahil. Yang menarik bagi saya adalah kenyataan bahwa untuk waktu yang lama banyak ahli matematika tidak mengenali angka negatif, percaya bahwa mereka tidak sesuai dengan fenomena nyata apa pun.

Asal usul kata "plus" dan "minus"

Istilah ini berasal dari kata plus - "lebih", minus - "kurang". Pada awalnya, tindakan dilambangkan dengan huruf pertama p; m. Banyak matematikawan disukai atau Munculnya tanda modern "+", "-" tidak sepenuhnya jelas. Tanda “+” kemungkinan berasal dari singkatan et, mis. "dan". Namun, itu mungkin muncul dari praktik perdagangan: takaran anggur yang dijual ditandai pada tong dengan "-", dan ketika stok dipulihkan, mereka dicoret, tanda "+" diperoleh.

Di Italia, rentenir, meminjamkan uang, di depan nama debitur jumlah utang dan tanda hubung, seperti minus kami, dan ketika debitur mengembalikan uang, mereka mencoretnya, seperti plus kami.

Tanda-tanda modern "+" muncul di Jerman pada dekade terakhir abad ke-15. dalam kitab Widmann, yang merupakan panduan untuk akun para pedagang (1489). Ceko Jan Widman sudah menulis "+" dan "-" untuk penjumlahan dan pengurangan.

Beberapa saat kemudian, sarjana Jerman Michel Stiefel menulis Aritmatika Lengkap, yang diterbitkan pada tahun 1544. Ini berisi entri seperti untuk angka: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Bilangan jenis pertama ia sebut "kurang dari tidak sama sekali" atau "lebih rendah daripada tidak sama sekali". Bilangan jenis kedua ini disebutnya “lebih dari tidak sama sekali” atau “lebih tinggi dari tidak sama sekali”. Tentu saja, Anda memahami nama-nama ini, karena "tidak ada" adalah 0.

Angka negatif di Mesir

Namun, terlepas dari keraguan seperti itu, aturan untuk menangani angka positif dan negatif sudah diusulkan pada abad ke-3 di Mesir. Pengenalan kuantitas negatif pertama kali terjadi di Diophantus. Dia bahkan menggunakan karakter khusus untuk mereka (sekarang kami menggunakan tanda minus untuk itu). Benar, para ilmuwan berpendapat apakah simbol Diophantus berarti angka negatif atau hanya operasi pengurangan, karena dalam Diophantus angka negatif tidak terjadi secara terpisah, tetapi hanya dalam bentuk perbedaan positif; dan dia menganggap hanya bilangan positif rasional sebagai jawaban dalam masalah. Tetapi pada saat yang sama, Diophantus menggunakan pergantian bicara seperti "Mari kita tambahkan negatif ke kedua sisi," dan bahkan merumuskan aturan tanda: "Negatif dikalikan negatif menghasilkan positif, sementara negatif dikalikan positif memberikan negatif" (yang sekarang biasanya dirumuskan: "Sebuah minus dengan minus memberikan plus, minus dengan plus memberikan minus").

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Angka negatif di Asia kuno

Kuantitas positif dalam matematika Cina disebut "chen", negatif - "fu"; mereka digambarkan dalam berbagai warna: "chen" - merah, "fu" - hitam. Metode representasi ini digunakan di Cina hingga pertengahan abad ke-12, sampai Li Ye mengusulkan notasi yang lebih nyaman untuk angka negatif - angka yang menggambarkan angka negatif dicoret dengan tanda hubung miring dari kanan ke kiri. Ilmuwan India, yang mencoba menemukan contoh pengurangan semacam itu dalam kehidupan, datang untuk menafsirkannya dari sudut pandang perhitungan perdagangan.

Jika pedagang memiliki 5000 r. dan membeli barang seharga 3000 rubel, ia memiliki 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jika dia memiliki 3.000 rubel dan membeli 5.000 rubel, maka dia tetap berhutang sebesar 2.000 rubel. Sesuai dengan ini, diyakini bahwa pengurangan 3000 - 5000 sedang dilakukan di sini, tetapi hasilnya adalah angka 2000 dengan titik di atas, yang berarti "dua ribu hutang."

Penafsiran ini bersifat artifisial, pedagang tidak pernah menemukan jumlah hutang dengan mengurangkan 3000 - 5000, tetapi selalu mengurangi 5000 - 3000. Selain itu, atas dasar ini dimungkinkan untuk menjelaskan dengan peregangan hanya aturan penambahan dan pengurangan "angka dengan titik", tetapi sama sekali tidak menjelaskan aturan perkalian atau pembagian.

Pada abad V-VI, angka negatif muncul dan tersebar sangat luas dalam matematika India. Di India, angka negatif digunakan secara sistematis dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan sekarang. Matematikawan India telah menggunakan bilangan negatif sejak abad ke-7. n. e.: Brahmagupta merumuskan aturan untuk operasi aritmatika dengan mereka. Dalam karyanya kita membaca: “harta dan harta adalah harta, jumlah dua utang adalah utang; jumlah properti dan nol adalah properti; jumlah dua nol adalah nol ... Hutang, yang dikurangi dari nol, menjadi properti, dan properti menjadi utang. Jika perlu untuk mengambil properti dari hutang, dan hutang dari properti, maka mereka mengambil jumlahnya.

Orang India menyebut angka positif "dhana" atau "swa" (properti), dan yang negatif - "rina" atau "kshaya" (hutang). Namun, di India ada masalah dengan pemahaman dan penerimaan angka negatif.

Angka negatif di Eropa

Matematikawan Eropa tidak menyetujuinya untuk waktu yang lama, karena interpretasi "hutang properti" menyebabkan kebingungan dan keraguan. Memang, bagaimana seseorang dapat "menambah" atau "mengurangi" properti dan utang, apa arti sebenarnya dari "perkalian" atau "pembagian" properti dengan utang? (G.I. Glazer, Sejarah matematika di sekolah kelas IV-VI. Moskow, Pendidikan, 1981)

Itulah sebabnya bilangan negatif memenangkan tempat mereka dalam matematika dengan susah payah. Di Eropa, Leonardo Fibonacci dari Pisa cukup dekat dengan gagasan tentang besaran negatif pada awal abad ke-13, tetapi matematikawan Prancis Shuquet pertama kali menggunakan angka negatif secara eksplisit pada akhir abad ke-15. Penulis risalah tulisan tangan tentang aritmatika dan aljabar, The Science of Numbers in Three Parts. Simbolisme Schuke mendekati modern (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Interpretasi modern dari angka negatif

Setelah itu, Stiefel mengabdikan karyanya sepenuhnya untuk matematika, di mana dia adalah seorang otodidak yang brilian. Salah satu yang pertama di Eropa setelah Nikola Shuke mulai beroperasi dengan angka negatif.

Matematikawan Prancis terkenal René Descartes dalam Geometri (1637) menjelaskan interpretasi geometris bilangan positif dan negatif; angka positif digambarkan pada sumbu angka dengan titik-titik yang terletak di sebelah kanan titik asal 0, negatif - ke kiri. Interpretasi geometris bilangan positif dan negatif mengarah pada pemahaman yang lebih jelas tentang sifat bilangan negatif dan berkontribusi pada pengenalannya.

Hampir bersamaan dengan Stiefel, R. Bombelli Raffaele (sekitar 1530-1572), seorang matematikawan dan insinyur Italia yang menemukan kembali karya Diophantus, membela gagasan bilangan negatif.

Bombelli dan Girard, sebaliknya, menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kurangnya sesuatu. Penunjukan modern angka positif dan negatif dengan tanda "+" dan "-" digunakan oleh ahli matematika Jerman Widman. Ungkapan "lebih rendah daripada tidak sama sekali" menunjukkan bahwa Stiefel dan beberapa orang lain secara mental membayangkan angka positif dan negatif sebagai titik pada skala vertikal (seperti skala termometer). Gagasan yang dikembangkan kemudian oleh matematikawan A. Girard tentang bilangan negatif sebagai titik pada garis lurus tertentu yang terletak di sisi lain dari nol dari yang positif ternyata menjadi penentu dalam memberikan angka-angka ini dengan hak kewarganegaraan, terutama sebagai akibat dari pengembangan metode koordinat oleh P. Fermat dan R. Descartes .

Kesimpulan

Dalam pekerjaan saya, saya menjelajahi sejarah angka negatif. Selama penelitian saya, saya menyimpulkan:

Ilmu pengetahuan modern menemukan jumlah yang sedemikian kompleks sehingga untuk studi mereka perlu menemukan jenis angka baru.

Saat memperkenalkan nomor baru, dua keadaan sangat penting:

a) aturan tindakan pada mereka harus sepenuhnya ditentukan dan tidak mengarah pada kontradiksi;

b) sistem bilangan baru harus berkontribusi pada solusi masalah baru, atau meningkatkan solusi yang sudah diketahui.

Sampai saat ini, ada tujuh tingkat generalisasi bilangan yang diterima secara umum: bilangan natural, rasional, real, kompleks, vektor, matriks, dan transfinit. Beberapa ilmuwan mengusulkan untuk mempertimbangkan fungsi sebagai bilangan fungsional dan memperluas derajat generalisasi bilangan menjadi dua belas tingkat.

Saya akan mencoba mempelajari semua rangkaian angka ini.

Lampiran

PUISI

"Penjumlahan bilangan negatif dan bilangan dengan tanda berbeda"

Jika Anda ingin melipat

Angka-angkanya negatif, tidak ada yang perlu disesalkan:

Kita perlu cepat mengetahui jumlah modul,

Kemudian ambil tanda minus dan tambahkan padanya.

Jika diberikan bilangan dengan tanda yang berbeda,

Untuk menemukan jumlah mereka, kita baik-baik saja di sana.

Modul yang lebih besar dengan cepat sangat dapat dipilih.

Dari itu kita kurangi yang lebih kecil.

Yang terpenting jangan lupa tandanya!

Yang mana yang akan Anda taruh? - kami ingin bertanya

Kami akan mengungkapkan rahasia kepada Anda, itu tidak mudah,

Tanda, di mana modulusnya lebih besar, tulis di jawabannya.

Aturan untuk menambahkan angka positif dan negatif

Tambahkan minus dengan minus,

Anda bisa mendapatkan minus.

Jika Anda menambahkan minus, plus,

Itu akan berubah menjadi memalukan?!

Pilih tanda nomornya

Apa yang lebih kuat, jangan menguap!

Singkirkan modul mereka

Ya, berdamailah dengan semua angka!

Aturan perkalian juga dapat diartikan sebagai berikut:

"Teman temanku adalah temanku": + + = + .

"Musuh dari musuhku adalah temanku": = +.

"Teman dari musuhku adalah musuhku": + = .

"Musuh temanku adalah musuhku": + = .

Tanda perkalian adalah titik, ia memiliki tiga tanda:

Cover dua dari mereka, yang ketiga akan memberikan jawabannya.

Sebagai contoh.

Bagaimana cara menentukan tanda hasil kali 2∙(-3)?

Mari kita tutup tanda plus dan minus dengan tangan kita. Ada tanda minusnya

Bibliografi

"Sejarah Dunia Kuno", Kelas 5. Kolpakov, Selunskaya.

"Sejarah Matematika di Zaman Kuno", E. Kolman.

“Buku Pegangan Siswa”. Rumah Penerbitan VES, St. Petersburg. 2003

Ensiklopedia Matematika Hebat. Yakusheva G.M. dan sebagainya.

Vigasin A.A., Goder G.I., "Sejarah Dunia Kuno", buku teks kelas 5, 2001

Wikipedia. Ensiklopedia Gratis.

Kemunculan dan Perkembangan Ilmu Matematika: Buku. Untuk guru. - M.: Pencerahan, 1987.

Gelfman E.G. "Bilangan positif dan negatif", buku teks matematika untuk kelas 6, 2001.

Kepala. ed. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "Sejarah matematika di sekolah", Moskow, "Prosveshchenie", 1981

Ensiklopedia anak-anak "Saya tahu dunia", Moskow, "Pencerahan", 1995.

Sejarah matematika di sekolah, kelas IV-VI. G.I. Glazer, Moskow, Pendidikan, 1981.

Moskow: Philol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Maligin K.A.

Kamus Ensiklopedis Matematika. M., Sov. ensiklopedia, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematika Kelas 6", Moskow, "Pencerahan", 1989

Buku pelajaran kelas 5. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M.. "Belajar Matematika", edisi pendidikan, 1994

MISALNYA. Gelfman et al., Angka positif dan negatif di teater Pinocchio. Buku ajar matematika kelas 6 sd. Edisi ke-3, dikoreksi, - Tomsk: Rumah Penerbitan Universitas Tomsk, 1998.

Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11. Matematika

Sebagai nomor khusus, ia tidak memiliki tanda.

Contoh penulisan angka: + 36 , 6 ; 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Angka terakhir tidak memiliki tanda dan karena itu positif.

Perhatikan bahwa plus dan minus menunjukkan tanda untuk angka, tetapi tidak untuk variabel literal atau ekspresi aljabar. Misalnya, dalam rumus t; a + b (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) simbol plus dan minus tidak menentukan tanda ekspresi yang didahului, tetapi tanda operasi aritmatika, sehingga tanda hasil bisa apa saja, itu ditentukan hanya setelah ekspresi dievaluasi.

Selain aritmatika, konsep tanda digunakan dalam cabang matematika lainnya, termasuk untuk objek matematika non-numerik (lihat di bawah). Konsep tanda juga penting dalam cabang-cabang fisika di mana kuantitas fisik dibagi menjadi dua kelas, yang secara kondisional disebut positif dan negatif - misalnya, muatan listrik, umpan balik positif dan negatif, berbagai gaya tarik dan tolak.

Tanda Nomor

Bilangan positif dan negatif

Nol tidak diberi tanda apa pun, yaitu + 0 (\gaya tampilan +0) dan 0 (\displaystyle -0) adalah bilangan yang sama dalam aritmatika. Dalam analisis matematis, makna simbol + 0 (\gaya tampilan +0) dan 0 (\displaystyle -0) dapat bervariasi, lihat itu Negatif dan positif nol ; dalam ilmu komputer, pengkodean komputer dari dua nol (tipe bilangan bulat) mungkin berbeda, lihat kode langsung.

Sehubungan dengan hal di atas, beberapa istilah yang lebih berguna diperkenalkan:

Nomor non-negatif jika lebih besar dari atau sama dengan nol.
Nomor tidak positif jika kurang dari atau sama dengan nol.
Angka positif bukan nol dan angka negatif bukan nol kadang-kadang (untuk menekankan bahwa mereka bukan nol) disebut "sangat positif" dan "sangat negatif".

Terminologi yang sama terkadang digunakan untuk fungsi nyata. Misalnya, fungsi tersebut disebut positif jika semua nilainya positif, non-negatif, jika semua nilainya bukan negatif, dll. Mereka juga mengatakan bahwa fungsinya positif/negatif pada interval definisi yang diberikan..

Untuk contoh penggunaan fungsi, lihat artikel Akar kuadrat#Bilangan kompleks .

Modulus (nilai absolut) dari suatu bilangan

Jika nomor x (\gaya tampilan x) jatuhkan tanda, nilai yang dihasilkan disebut modul atau nilai mutlak angka x (\gaya tampilan x), dilambangkan | x | . (\gaya tampilan |x|.) Contoh: | 3 | = 3; | 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Untuk sembarang bilangan real a , b (\gaya tampilan a,b) properti berikut berlaku.

Tanda objek non-numerik

Tanda sudut

Nilai sudut pada bidang dianggap positif jika diukur berlawanan arah jarum jam, jika tidak negatif. Dua kasus rotasi diklasifikasikan secara serupa:

rotasi pada bidang - misalnya, rotasi sebesar (–90°) searah jarum jam;
rotasi dalam ruang di sekitar sumbu berorientasi umumnya dianggap positif jika "aturan gimlet" dipenuhi, jika tidak dianggap negatif.

tanda arah

Dalam geometri analitik dan fisika, kemajuan di sepanjang garis lurus atau kurva tertentu sering dibagi secara kondisional menjadi positif dan negatif. Pembagian seperti itu mungkin tergantung pada rumusan masalah atau pada sistem koordinat yang dipilih. Misalnya, ketika menghitung panjang busur dari suatu kurva, seringkali lebih mudah untuk memberikan tanda minus pada panjang ini di salah satu dari dua arah yang mungkin.

Masuk komputasi

bit paling signifikan
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Untuk mewakili tanda bilangan bulat, kebanyakan komputer menggunakan

Sejarah angka negatif

Diketahui bahwa bilangan asli muncul saat menghitung benda. Kebutuhan manusia untuk mengukur besaran dan fakta bahwa hasil pengukuran tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat, menyebabkan perluasan himpunan bilangan asli. Angka nol dan pecahan diperkenalkan.

Proses perkembangan sejarah konsep bilangan tidak berhenti sampai di situ. Namun, dorongan pertama untuk memperluas konsep bilangan tidak selalu semata-mata kebutuhan praktis orang. Juga terjadi bahwa masalah matematika itu sendiri membutuhkan perluasan konsep bilangan. Inilah yang terjadi dengan munculnya angka negatif. Penyelesaian banyak masalah, terutama yang diselesaikan dengan bantuan persamaan, menghasilkan pengurangan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil. Ini membutuhkan pengenalan nomor baru.

Untuk pertama kalinya angka negatif muncul di Tiongkok kuno sekitar 2100 tahun yang lalu. Mereka juga tahu cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan positif dan negatif, aturan perkalian dan pembagian tidak diterapkan.

Pada abad II. SM e. Sarjana Cina Zhang Can menulis Aritmatika dalam Sembilan Bab. Dari isi buku tersebut jelas bahwa ini bukanlah sebuah karya yang sepenuhnya berdiri sendiri, melainkan merupakan revisi dari buku-buku lain yang ditulis jauh sebelum Zhang Can. Dalam buku ini, untuk pertama kalinya dalam sains, kuantitas negatif ditemukan. Mereka dipahami oleh mereka secara berbeda dari yang kita pahami dan terapkan. Dia tidak memiliki pemahaman yang lengkap dan jelas tentang sifat kuantitas negatif dan aturan untuk menanganinya. Dia memahami setiap angka negatif sebagai hutang, dan setiap angka positif sebagai properti. Dia melakukan operasi dengan angka negatif tidak dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan, tetapi menggunakan penalaran tentang tugas. Misalnya, jika kita menambahkan hutang lain ke satu hutang, maka hasilnya adalah hutang, bukan properti (t, yaitu, menurut kami (- x) + (- x) \u003d - 2x. Tanda minus tidak diketahui saat itu , oleh karena itu, untuk membedakan angka , menyatakan hutang, Zhan Can menulisnya dengan tinta yang berbeda dari angka yang menyatakan properti (positif).

Kuantitas positif dalam matematika Cina disebut "chen" dan digambarkan dengan warna merah, sedangkan kuantitas negatif disebut "fu" dan digambarkan dengan warna hitam. Metode representasi ini digunakan di Cina hingga pertengahan abad ke-12, sampai Li Ye mengusulkan notasi yang lebih nyaman untuk angka negatif - angka yang menggambarkan angka negatif dicoret dengan tanda hubung miring dari kanan ke kiri. Meskipun cendekiawan Cina menjelaskan kuantitas negatif sebagai utang dan kuantitas positif sebagai kekayaan, mereka tetap menghindari penggunaannya secara luas, karena angka-angka ini tampaknya tidak dapat dipahami, tindakan dengan mereka tidak jelas. Jika masalah mengarah pada solusi negatif, maka mereka mencoba mengganti kondisi (seperti orang Yunani), sehingga pada akhirnya akan diperoleh solusi positif.

Pada abad V-VI, angka negatif muncul dan tersebar sangat luas dalam matematika India. Untuk perhitungan, matematikawan pada waktu itu menggunakan papan hitung, di mana angka-angka digambarkan menggunakan tongkat hitung. Karena tidak ada tanda + dan - pada waktu itu, angka positif digambarkan dengan tongkat merah, sedangkan angka negatif berwarna hitam dengan tongkat dan disebut "utang" dan "kekurangan". Angka positif ditafsirkan sebagai "properti". Tidak seperti Cina, di India, aturan perkalian dan pembagian sudah dikenal. Di India, angka negatif digunakan secara sistematis dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan sekarang. Sudah dalam karya ahli matematika dan astronom India yang luar biasa Brahmagupta (598 - sekitar 660) kita membaca: “properti dan properti adalah properti, jumlah dua hutang adalah hutang; jumlah properti dan nol adalah properti; jumlah dua nol adalah nol ... Hutang, yang dikurangi dari nol, menjadi properti, dan properti menjadi utang. Jika perlu untuk mengambil properti dari hutang, dan hutang dari properti, maka mereka mengambil jumlahnya.

Matematikawan India menggunakan bilangan negatif saat menyelesaikan persamaan, dan pengurangan diganti dengan penjumlahan dengan bilangan yang sama berlawanannya.

Bersama dengan bilangan negatif, matematikawan India memperkenalkan konsep nol, yang memungkinkan mereka membuat sistem bilangan desimal. Tetapi untuk waktu yang lama, nol tidak dikenali sebagai angka, "nullus" dalam bahasa Latin - tidak ada, tidak adanya angka. Dan hanya setelah abad X, pada abad XVII, dengan diperkenalkannya sistem koordinat, nol menjadi angka.

Orang Yunani juga tidak menggunakan tanda pada awalnya. Ilmuwan Yunani kuno Diophantus sama sekali tidak mengenali angka negatif, dan jika akar negatif diperoleh saat menyelesaikan persamaan, maka ia membuangnya sebagai "tidak dapat diakses". Dan Diophantus mencoba merumuskan masalah dan membuat persamaan sedemikian rupa untuk menghindari akar negatif, tetapi segera Diophantus dari Alexandria mulai menunjukkan pengurangan dengan tanda.

Terlepas dari kenyataan bahwa angka negatif telah digunakan untuk waktu yang lama, mereka diperlakukan dengan ketidakpercayaan, mengingat mereka tidak sepenuhnya nyata, menafsirkannya sebagai hutang properti menyebabkan kebingungan: bagaimana seseorang dapat "menambah" dan "mengurangi" properti dan hutang?

Di Eropa, pengakuan datang seribu tahun kemudian. Pada awal abad ke-13, Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mendekati gagasan tentang kuantitas negatif, yang juga memperkenalkannya untuk menyelesaikan masalah keuangan dengan hutang dan sampai pada kesimpulan bahwa kuantitas negatif harus diambil dalam arti tertentu. berlawanan dengan yang positif. Pada tahun-tahun itu, apa yang disebut duel matematika dikembangkan. Dalam kompetisi dalam memecahkan masalah dengan matematikawan pengadilan Frederick II, Leonardo dari Pisa (Fibonacci) diminta untuk memecahkan masalah: itu diperlukan untuk menemukan ibukota beberapa orang. Fibonacci negatif. “Kasus ini,” kata Fibonacci, “tidak mungkin, kecuali untuk menerima bahwa seseorang tidak memiliki modal, tetapi hutang.”

Pada 1202, ia pertama kali menggunakan angka negatif untuk menghitung kerugiannya. Namun, angka negatif secara eksplisit digunakan untuk pertama kalinya pada akhir abad ke-15 oleh ahli matematika Prancis Shuquet.

Namun demikian, hingga abad ke-17, angka negatif "di dalam pena" dan untuk waktu yang lama disebut "salah", "imajiner" atau "absurd". Dan bahkan di abad ke-17, ahli matematika terkenal Blaise Pascal berpendapat bahwa 0-4 = 0 karena tidak ada bilangan yang bisa kurang dari tidak sama sekali, dan sampai abad ke-19, matematikawan sering membuang bilangan negatif dalam perhitungan mereka, menganggapnya tidak berarti. ...

Bombelli dan Girard, sebaliknya, menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kurangnya sesuatu. Gema pada masa itu adalah kenyataan bahwa dalam aritmatika modern operasi pengurangan dan tanda bilangan negatif dilambangkan dengan simbol yang sama (minus), meskipun secara aljabar ini adalah konsep yang sama sekali berbeda.

Di Italia, rentenir, meminjamkan uang, meletakkan jumlah utang dan tanda hubung di depan nama debitur, seperti minus kami, dan ketika debitur mengembalikan uang, mereka mencoretnya, seperti plus kami. Bisakah nilai plus dianggap sebagai minus yang dicoret!

Notasi modern untuk bilangan positif dan negatif dengan tanda

"+" dan "-" digunakan oleh matematikawan Jerman Widman.

Matematikawan Jerman Michael Stiefel dalam bukunya “Complete Arithmetic” (1544) untuk pertama kalinya memperkenalkan konsep bilangan negatif sebagai bilangan yang kurang dari nol (kurang dari tidak sama sekali). Ini adalah langkah maju yang sangat besar dalam membenarkan angka negatif. Dia memungkinkan untuk menganggap angka negatif bukan sebagai hutang, tetapi dengan cara yang sama sekali berbeda, dengan cara yang baru. Tapi Stiefel menyebut angka negatif itu absurd; tindakan dengan mereka, dalam kata-katanya, "juga tidak masuk akal, terbalik".

Setelah Stiefel, para ilmuwan menjadi lebih percaya diri dalam melakukan operasi dengan angka negatif.

Semakin, solusi negatif untuk masalah dipertahankan dan ditafsirkan.

Pada abad ke-17 Matematikawan besar Prancis René Descartes menyarankan agar bilangan negatif ditempatkan pada garis bilangan di sebelah kiri nol. Semuanya tampak begitu sederhana dan dapat dimengerti oleh kita sekarang, tetapi butuh delapan belas abad kerja pemikiran ilmiah dari ilmuwan Cina Zhang Can hingga Descartes untuk mencapai gagasan ini.

Dalam tulisan Descartes, bilangan negatif dikatakan telah mendapat interpretasi yang sebenarnya. Descartes dan para pengikutnya mengakui mereka setara dengan yang positif. Tetapi dalam operasi pada bilangan negatif, tidak semuanya jelas (misalnya, perkalian dengan mereka), sehingga banyak ilmuwan tidak ingin mengenali bilangan negatif sebagai bilangan real. Di antara para ilmuwan, perselisihan besar dan panjang pecah tentang esensi bilangan negatif, tentang apakah akan mengenali bilangan negatif sebagai bilangan real atau tidak. Perselisihan ini setelah Descartes berlanjut selama sekitar 200 tahun. Selama periode ini, matematika sebagai ilmu telah menerima perkembangan yang sangat besar, dan pada setiap langkah ada angka negatif di dalamnya. Matematika telah menjadi tidak terpikirkan, tidak mungkin tanpa angka negatif. Menjadi jelas bagi semakin banyak ilmuwan bahwa bilangan negatif adalah bilangan real, sama seperti bilangan real, benar-benar ada, seperti bilangan positif.

Dengan susah payah, angka negatif memenangkan tempat mereka dalam matematika. Tidak peduli seberapa keras para ilmuwan berusaha menghindarinya. Namun, mereka tidak selalu berhasil. Kehidupan menimbulkan tugas-tugas baru dan baru sebelum sains, dan semakin sering tugas-tugas ini mengarah pada solusi negatif di Cina, dan di India, dan di Eropa. Hanya pada awal abad XIX. teori bilangan negatif telah menyelesaikan perkembangannya, dan "bilangan absurd" telah menerima pengakuan universal.

Bagaimana angka positif dan bahkan lebih banyak negatif muncul dalam fisika?

Seorang fisikawan berurusan dengan berbagai besaran fisika yang menggambarkan berbagai sifat benda dan fenomena di sekitar kita. Ketinggian sebuah gedung, jarak dari sekolah ke rumah, massa dan suhu tubuh manusia, kecepatan mobil, volume kaleng, kuat arus listrik, indeks bias air, kekuatan ledakan nuklir, tegangan antar elektroda, lamanya pelajaran atau istirahat, muatan listrik bola logam merupakan contoh besaran fisis. Besaran fisika dapat diukur.

Seseorang seharusnya tidak berpikir bahwa karakteristik apa pun dari suatu objek atau fenomena alam dapat diukur dan, oleh karena itu, adalah kuantitas fisik. Ini tidak seperti itu sama sekali. Misalnya, kita berkata: “Betapa indahnya pegunungan di sekitarnya! Dan betapa indahnya danau di bawah sana! Dan betapa indahnya pohon cemara di atas batu itu! Tapi kita tidak bisa mengukur keindahan gunung, danau, atau pohon cemara yang sepi itu!" Ini berarti bahwa karakteristik seperti kecantikan bukanlah kuantitas fisik.

Pengukuran besaran fisis dilakukan dengan menggunakan alat ukur, seperti penggaris, jam, timbangan, dll.

Jadi, bilangan dalam fisika muncul sebagai hasil pengukuran besaran fisika, dan nilai numerik dari besaran fisika yang diperoleh sebagai hasil pengukuran tergantung: pada bagaimana besaran fisika ini didefinisikan; dari satuan ukuran yang digunakan.

Mari kita lihat skala termometer luar ruangan konvensional.

Ini memiliki bentuk yang ditunjukkan pada skala 1. Hanya angka positif yang ditandai di atasnya, dan oleh karena itu, ketika menunjukkan nilai numerik suhu, perlu untuk menjelaskan tambahan 20 derajat panas (di atas nol). Ini tidak nyaman bagi fisikawan - Anda tidak dapat mengganti kata ke dalam formula! Oleh karena itu, dalam fisika, skala dengan angka negatif digunakan.

Mari kita lihat peta fisik dunia. Area daratan di atasnya dicat dalam berbagai warna hijau dan coklat, dan laut dan samudera dicat dengan warna biru dan biru. Setiap warna memiliki ketinggian (untuk daratan) atau kedalamannya sendiri (untuk laut dan samudera). Skala kedalaman dan ketinggian digambar di peta, yang menunjukkan apa arti ketinggian (kedalaman) warna ini atau itu,

Dengan menggunakan skala seperti itu, cukup untuk menunjukkan angka tanpa kata-kata tambahan: angka positif sesuai dengan berbagai tempat di darat yang berada di atas permukaan laut; angka negatif sesuai dengan titik-titik di bawah permukaan laut.

Dalam skala ketinggian yang kami pertimbangkan, ketinggian permukaan air di Samudra Dunia dianggap nol. Skala ini digunakan dalam geodesi dan kartografi.

Sebaliknya, dalam kehidupan sehari-hari kita biasanya mengambil ketinggian permukaan bumi (di tempat kita berada) sebagai ketinggian nol.

3.1 Bagaimana tahun dihitung pada zaman kuno?

Ini berbeda di negara yang berbeda. Misalnya, di Mesir kuno, setiap kali raja baru mulai memerintah, penghitungan tahun dimulai lagi. Tahun pertama pemerintahan raja dianggap sebagai tahun pertama, tahun kedua - kedua, dan seterusnya. Ketika raja ini meninggal dan yang baru berkuasa, tahun pertama datang lagi, lalu yang kedua, yang ketiga. Hitungan tahun yang digunakan penduduk salah satu kota tertua di dunia, Roma, berbeda. Orang Romawi menganggap tahun pendirian kota mereka sebagai yang pertama, yang berikutnya - yang kedua, dan seterusnya.

Hitungan tahun yang kita gunakan muncul sejak lama dan dikaitkan dengan pemujaan Yesus Kristus, pendiri agama Kristen. Penghitungan tahun sejak kelahiran Yesus Kristus secara bertahap diadopsi di berbagai negara. Di negara kita, itu diperkenalkan oleh Tsar Peter the Great tiga ratus tahun yang lalu. Waktu dihitung dari Kelahiran Kristus, kita sebut ERA KITA (dan kita menulis NE untuk pendeknya). Era kita telah berlangsung selama dua ribu tahun.

Kesimpulan

Kebanyakan orang mengetahui bilangan negatif, tetapi ada juga yang representasi bilangan negatifnya salah.

Angka negatif paling umum dalam ilmu eksakta, matematika dan fisika.

Dalam fisika, angka negatif muncul sebagai hasil pengukuran, perhitungan besaran fisik. Angka negatif menunjukkan besarnya muatan listrik. Dalam ilmu lain, seperti geografi dan sejarah, angka negatif dapat diganti dengan kata-kata, misalnya, di bawah permukaan laut, dan dalam sejarah - 157 SM. e.

literatur

1. Ensiklopedia ilmiah yang hebat, 2005.

2. Vigasin A. A., buku teks "Sejarah dunia kuno", kelas 5, 2001

3. Vygovskaya V. V. "Pengembangan Pourochnye dalam Matematika: Kelas 6" - M.: VAKO, 2008

4. "Bilangan positif dan negatif", buku teks matematika untuk kelas 6, 2001.

5. Ensiklopedia anak-anak "Aku tahu dunia", Moskow, "Pencerahan", 1995.

6 .. "Belajar Matematika", edisi pendidikan, 1994

7. "Elemen historisisme dalam pengajaran matematika di sekolah menengah", Moskow, "Prosveshchenie", 1982

8. Nurk E. R., Telgmaa A. E. "Matematika Kelas 6", Moskow, "Pencerahan", 1989

9. "Sejarah matematika di sekolah", Moskow, "Prosveshchenie", 1981

Portal untuk siswa. Latihan mandiri