Berapa nilai parameter satu akar persamaan?
lebih besar dari 1 dan yang lainnya kurang dari 1?
Perhatikan fungsi-
Objektif:
- Studi tentang semua fitur yang mungkin dari lokasi akar trinomial kuadrat relatif terhadap titik tertentu dan relatif terhadap segmen tertentu berdasarkan sifat-sifat fungsi kuadrat dan interpretasi grafis.
- Penerapan sifat-sifat yang dipelajari dalam memecahkan masalah non-standar dengan parameter.
Tugas:
- Mempelajari berbagai metode penyelesaian masalah berdasarkan studi lokasi akar-akar trinomial kuadrat dengan metode grafik.
- Perkuat semua fitur yang mungkin dari lokasi akar trinomial kuadrat, kembangkan rekomendasi teoretis untuk menyelesaikan masalah non-standar dengan parameter.
- Kuasai sejumlah keterampilan matematika teknis dan intelektual, pelajari cara menggunakannya dalam memecahkan masalah.
Hipotesa:
Penggunaan metode grafis dalam masalah non-tradisional dengan parameter menyederhanakan perhitungan matematis dan merupakan cara yang rasional untuk menyelesaikannya.
kemudian dan hanya kemudian:
1. Kedua akar lebih kecil dari A,
2. Akar-akar terletak pada sisi yang berlawanan dari bilangan A,
kemudian dan hanya kemudian:
- kemudian dan hanya kemudian:
kemudian dan hanya kemudian:
3. Kedua akar lebih besar dari bilangan A, yaitu
Temukan semua nilai parameter a yang memiliki satu akar persamaan
lebih besar dari 1 dan yang lainnya kurang dari 1.
Untuk apa nilai parameter persamaan
memiliki dua akar yang berbeda dari tanda yang sama?
-6
-2
3
sebuah
1. Kedua akar terletak di antara titik A dan B, mis.
kemudian dan hanya kemudian:
2. Akar terletak pada sisi yang berlawanan dari segmen
kemudian dan hanya kemudian:
3. Satu akar terletak di luar segmen, dan yang lainnya di atasnya, yaitu
kemudian dan hanya kemudian:
Jelajahi Persamaan
dengan jumlah akar tergantung pada parameter.
persamaan tidak memiliki solusi.
memiliki satu solusi.
Jelajahi Persamaan
dengan jumlah akar dalam
tergantung pada parameternya.
Jika satu akar terletak pada segmen, dan yang lain di sebelah kirinya.
Jika satu akar terletak pada segmen, dan yang lain di sebelah kanannya.
persamaan asli akan memiliki dua akar yang berbeda.
di bawah mana
Persamaan memiliki tiga akar yang berbeda.
Jawaban: kapan
di bawah mana
persamaan asli akan memiliki dua
akar yang berbeda.
Persamaan memiliki empat akar yang berbeda.
Alat yang paling ampuh untuk memecahkan masalah kompleks dengan parameter adalah teorema Vieta. Tetapi di sini Anda harus sangat memperhatikan kata-katanya.
Kedua teorema ini (langsung dan terbalik)
Dalil Vieta
Jika persamaan memiliki akar dan ; maka persamaan terpenuhi.
Ciri-ciri teorema:
Pertama
.
Teorema ini benar hanya untuk persamaan 
dan tidak benar untuk
Dalam kasus terakhir, Anda harus terlebih dahulu membagi kedua bagian persamaan dengan koefisien bukan-nol a pada x 2, dan kemudian menerapkan teorema Vieta.
Kedua. Untuk menggunakan hasil teorema, perlu memiliki fakta keberadaan akar persamaan, yaitu. jangan lupa untuk memaksakan kondisi D>0
Membalik
teorema Vieta
Jika ada bilangan arbitrer dan kemudian mereka adalah akar persamaan
Catatan yang sangat penting, memfasilitasi pemecahan masalah: teorema terbalik jaminan keberadaan akar dalam persamaan, yang memungkinkan Anda untuk tidak main-main dengan diskriminan. Secara otomatis non-negatif dalam kasus ini.
| Syarat akar | Kondisi ekuivalen pada koefisien a, b, c, dan diskriminan D | |
| Akar ada (dan berbeda) | ||
Akar ada dan sama  |  |
|
| Akar ada dan |  |
|
| Akar ada dan |  |
|
| Akar ada dan berbeda |  |
|
| Akar ada, satu akar nol dan yang lainnya >0 |  |
satu). Tetapkan pada nilai parameter persamaan apa
Tidak memiliki akar.
Jika persamaan tidak memiliki akar, maka diskriminan perlu dan cukup
memiliki akar positif yang berbeda.
Karena ada akar, maka jika keduanya positif, maka kita menggunakan rumus Vieta, maka untuk persamaan ini
⟹
Memiliki berbagai akar negatif
Memiliki akar tanda yang berbeda
Memiliki akar yang cocok
2). Berapa nilai parameternya sebuah kedua akar persamaan kuadrat 
akan positif?
Keputusan.
Karena persamaan yang diberikan adalah kuadrat, maka kedua akarnya (sama atau berbeda) akan positif jika diskriminan adalah non-negatif, dan jumlah dan produk akarnya positif, yaitu
Sebagai, 
dan dengan teorema Vieta,
Kemudian kita mendapatkan sistem ketidaksetaraan
3). Temukan semua nilai parameter sebuah 
bersifat non-positif.
Karena persamaan yang diberikan adalah kuadrat, maka . Kedua akarnya (sama atau berbeda) akan negatif atau sama dengan nol jika diskriminannya bukan negatif, jumlah akarnya negatif atau sama dengan nol, dan hasil kali akarnya bukan negatif, yaitu
dan dengan teorema Vieta
maka kita mendapatkan sistem ketidaksetaraan.
di mana
4) Berapa nilai parameternya? sebuah 
sama dengan 22,5?
Pertama, kami akan menawarkan "solusi", yang harus kami temui lebih dari sekali.
sejauh 
maka kita mendapatkan "Jawaban" Namun, dengan nilai yang ditemukan sebuah Persamaan awal tidak memiliki akar.
Dalam solusi ini, kami menemukan salah satu kesalahan "paling populer" yang terkait dengan penerapan teorema Vieta:
berbicara tentang akar tanpa terlebih dahulu mencari tahu apakah mereka ada atau tidak.
Jadi, dalam contoh ini, pertama-tama, perlu untuk menetapkan bahwa hanya jika persamaan asli memiliki akar. Hanya dengan begitu seseorang dapat beralih ke perhitungan di atas.
Jawaban: Seperti sebuah tidak ada.
5). Akar-akar persamaan sedemikian rupa sehingga 
Mendefinisikan
Keputusan. Menurut teorema Vieta 
Mari kita kuadratkan kedua bagian dari persamaan pertama Mengingat bahwa a yang kita dapatkan atau Pemeriksaan menunjukkan bahwa nilainya memenuhi persamaan asli.
Menjawab:
6) Berapa nilai parameternya? sebuah jumlah kuadrat akar-akar persamaan 
mengambil nilai terkecil:
Temukan diskriminan dari persamaan ini. Kami memiliki Di sini penting untuk tidak membuat kesimpulan yang salah bahwa persamaan memiliki dua akar untuk setiap sebuah. itu benar-benar memiliki dua akar untuk apa pun kecuali dapat diterima sebuah, yaitu di
Menggunakan teorema Vieta, kami menulis
Jadi, untuk mendapatkan jawaban, tinggal mencari nilai terkecil dari fungsi kuadrat 
di lokasi syuting 
Sejak pada 
dan di 
maka fungsi pada himpunan yang ditentukan mengambil nilai terkecil pada titik
Tugas untuk solusi independen
satu). Temukan semua nilai parameter sebuah, yang akar-akar persamaan kuadratnya
non-negatif
2). Hitung nilai ekspresi , di mana adalah akar persamaan 
3). Temukan semua nilai parameter sebuah, yang jumlah kuadrat dari akar-akar real dari persamaan 
lebih dari 6.
Menjawab: 
4) Berapa nilai parameter a yang dimiliki persamaan ax 2 -4x + a \u003d 0:
a) akar positif
b) akar negatif
Lokasi akar fungsi kuadrat relatif terhadap
poin yang diberikan.
Untuk masalah seperti itu, rumusan berikut adalah tipikal: untuk nilai parameter apa akar (hanya satu akar) lebih besar (kurang, tidak lebih, tidak kurang) dari angka A yang diberikan; akar terletak di antara angka A dan B; akar-akarnya tidak termasuk dalam interval dengan ujung-ujungnya di titik A dan B, dll.
Saat memecahkan masalah yang terkait dengan trinomial persegi
seringkali Anda harus menghadapi situasi standar berikut (yang akan kami rumuskan dalam bentuk "tanya jawab".
pertanyaan 1. Biarkan nomor diberikan (1) kedua akarnya dan lagi itu. ?
Menjawab. Koefisien trinomial persegi (7) harus memenuhi syarat
di mana - absis bagian atas parabola.
Validitas dari apa yang telah dikatakan mengikuti dari Gambar. 1, yang secara terpisah menyajikan kasus dan Perhatikan bahwa dua kondisi dan masih belum cukup untuk akar dan menjadi lebih besar. 1 garis putus-putus menunjukkan parabola yang memenuhi kedua syarat tersebut, tetapi akar-akarnya lebih kecil.Namun, jika kita menjumlahkan dua syarat yang ditunjukkan bahwa absis simpul parabola lebih besar, maka akar-akarnya akan lebih besar dari
Pertanyaan 2. Biarkan nomor diberikan Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) akarnya dan berbaring di sisi yang berlawanan itu. ?
Menjawab. koefisien trinomial kuadrat (1) harus memenuhi syarat
Validitas dari apa yang telah dikatakan mengikuti dari Gambar. 2, di mana kasus dan disajikan secara terpisah Perhatikan bahwa kondisi yang ditunjukkan menjamin keberadaan dua akar yang berbeda dan trinomial kuadrat (1).
pertanyaan 3. Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) akarnya dan berbeda dan hanya salah satunya terletak pada interval yang diberikan
Menjawab. Koefisien trinomial persegi (1) harus memenuhi syarat 
Pertanyaan 4. Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) himpunan akarnya tidak kosong dan semua akarnya dan terletak pada interval yang diberikan itu.
Menjawab. Koefisien trinomial kuadrat (1) harus memenuhi kondisi
Untuk mengatasi masalah seperti itu, akan berguna untuk bekerja dengan tabel di bawah ini.
Akar polinomial
.
Stukalova Nadezhda Vasilievna
Tempat kerja, posisi:
Sekolah menengah MBOU 15, guru matematika
Wilayah Tambov
Karakteristik pelajaran (kelas)
Tingkat pendidikan:
Pendidikan umum menengah (lengkap)
Target penonton:
Pelajar (siswa)
Target penonton:
Guru (guru)
Kelas:
Barang:
Aljabar
Barang:
Matematika
Tujuan pelajaran:
Jenis pelajaran:
Pelajaran gabungan
Siswa di kelas (penonton):
Buku teks dan tutorial yang digunakan:
A. G. Mordkovich, aljabar, kelas 9, buku teks, 2011
A. G. Mordkovich, aljabar, kelas 9, buku soal, 2011
S.A. Telyakovsky, aljabar kelas 9, buku teks, 2009
Literatur metodologi yang digunakan:
Miroshin, V.V. Memecahkan masalah dengan parameter: Teori dan praktik / V.V. Miroshin.- M.: Ujian, 2009.
L. V Kuznetsova Kumpulan tugas untuk ujian
Peralatan yang digunakan:
Komputer, proyektor film
Deskripsi Singkat:
Rencana pembelajaran: 1. Momen organisasi. 2. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan (ingat kondisi perlu dan cukup untuk lokasi akar trinomial kuadrat pada garis nyata). 3. Memecahkan masalah dengan parameter (bekerja dalam kelompok). 4. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi selanjutnya. 5. Menyimpulkan. 6. Pekerjaan rumah.
Ringkasan pelajaran
pada topik
"Lokasi akar-akar trinomial bujur sangkar
tergantung pada nilai parameter"
guru matematika Stukalova N.V. sekolah menengah MBOU 15
Michurinsk - kota sains Federasi Rusia 2011
Tujuan pelajaran:
Untuk mengembangkan keterampilan praktis siswa dalam menyelesaikan tugas dengan parameter;
Mempersiapkan siswa untuk keberhasilan lulus dari GIA dalam matematika;
Untuk mengembangkan penelitian dan kegiatan kognitif siswa;
Untuk membentuk minat dalam matematika;
Mengembangkan kemampuan matematika siswa.
Rencana belajar:
1. Momen organisasi.
2. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan (ingat kondisi perlu dan cukup untuk lokasi akar trinomial kuadrat pada garis nyata).
3. Memecahkan masalah dengan parameter (bekerja dalam kelompok).
4. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi selanjutnya.
5. Menyimpulkan.
6. Pekerjaan rumah.
Selama kelas.
1. Mengatur waktu.
Guru menginformasikan topik pelajaran, menetapkan tujuan dan sasaran untuk siswa, melaporkan rencana pelajaran.
Tugas dengan parameter menyebabkan kesulitan besar. Hal ini disebabkan fakta bahwa pemecahan masalah tersebut tidak hanya membutuhkan pengetahuan tentang sifat-sifat fungsi dan persamaan, kemampuan untuk melakukan transformasi aljabar, tetapi juga budaya logika yang tinggi dan teknik penelitian yang baik.
Pelajaran kami dikhususkan untuk memecahkan masalah tentang lokasi akar trinomial persegi pada garis nyata.
2. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan:
Ingat kembali kondisi yang diperlukan dan cukup untuk memenuhi berbagai persyaratan untuk lokasi akar persamaan kuadrat relatif terhadap titik atau interval yang diberikan.
Setelah siswa menjawab, slide dengan jawaban yang benar ditampilkan.
1. Lokasi akar di kedua sisi yang diberikan pada garis bilangan
poin.
kondisi x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Lokasi akar di kedua sisi segmen tertentu.
Agar akar-akar persamaan kuadrat di 0 memenuhi
kondisi x 1< m, х 2 < n, где m sistem ketidaksetaraan 3.
Lokasi akar di satu sisi yang diberikan pada garis bilangan
titik.
Agar akar-akar persamaan kuadrat di 0 memenuhi kondisi m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, itu perlu dan cukup untuk memenuhi sistem ketidaksetaraan Jika di sebelah kiri titik x = m, maka perlu dan cukup untuk melakukan sistem ketidaksetaraan 4. Kepemilikan akar-akar pada interval tertentu. interval (m;n), perlu dan cukup untuk menjalankan sistem ketidaksetaraan 5. Kepemilikan akar pada segmen tertentu. Agar akar-akar persamaan kuadrat untuk 0 menjadi milik interval , perlu dan cukup untuk menjalankan sistem ketidaksetaraan 3. Memecahkan masalah dengan parameter. Siswa dibagi menjadi 4 kelompok. Di setiap kelompok ada anak-anak yang lebih berhasil dalam aljabar. Setiap kelompok mulai memecahkan masalah yang sesuai dengan jumlah kelompoknya. Setelah membahas kemajuan penyelesaian masalah, satu perwakilan dari setiap kelompok pergi ke papan tulis dan menyusun solusi untuk masalah kelompoknya, dan menjelaskan solusinya (di papan lipat). Pada saat ini, teman-teman harus menyelesaikan masalah kelompok lain (Anda bisa mendapatkan saran dari guru). Tugas nomor 1. Berapa nilai parameternya sebuah satu akar persamaan (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 lebih besar dari 1, akar lainnya kurang dari 1? Keputusan. Grafik fungsi y \u003d f (x), di mana f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + + 11 - 3a, dengan a - 7/12 adalah parabola yang cabangnya untuk a > - 7/12 mengarah ke atas, untuk a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра sebuah memenuhi pertidaksamaan (12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Tugas #2. Temukan nilai parameter a yang akar persamaannya (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 lebih besar dari 1. Keputusan. Ketika a≠-1, persamaan yang diberikan adalah kuadrat dan D= -a(7a+16). Kami mendapatkan sistem , dari mana -16/7≤а≤ -1. Nilai parameter di mana akar persamaan ini untuk - 1 lebih besar dari 1 termasuk dalam interval [-16/7; -satu). Ketika a \u003d -1, persamaan yang diberikan memiliki bentuk 3x - 4 \u003d 0 dan satu-satunya akar Jawaban: [-16/7; -satu] Tugas #3. Berapa nilai parameter k akar persamaan (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0 termasuk dalam interval (0;1)? Keputusan. Untuk k≠2, nilai parameter yang diinginkan harus memenuhi sistem pertidaksamaan Dimana D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x dalam \u003d k / (k-2). Sistem ini tidak memiliki solusi. Untuk k = 2, persamaan yang diberikan memiliki bentuk -4x+1 = 0, satu-satunya akarnya x = , yang termasuk dalam interval (0;1). Tugas #4. Pada nilai a berapa kedua akar persamaan x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 terletak di segmen? Nilai yang diinginkan harus memenuhi sistem ketidaksetaraan di mana D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x dalam \u003d a. Satu-satunya solusi dari sistem adalah nilai, a = 4. 4.
Pekerjaan mandiri (kontrol - pelatihan). Siswa bekerja dalam kelompok, melakukan opsi yang sama, karena materinya sangat kompleks dan tidak semua orang bisa melakukannya. nomor 1. Pada nilai parameter apa kedua akar persamaan x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 termasuk dalam interval (-2; 4)? 2. Temukan semua nilai k yang memiliki satu akar persamaan (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 lebih kecil dari 1 dan akar lainnya lebih besar dari 2. Nomor 3. Berapakah nilai a bilangan 1 di antara akar-akar trinomial kuadrat x 2 + (a + 1) x - a 2? Di akhir waktu, jawaban ditampilkan. Pengecekan sendiri terhadap pekerjaan mandiri dilakukan. 5.
Ringkasan pelajaran. Selesaikan penawaran. "Hari ini di kelas..." "Aku ingat..." “Mau dicatat…”. Guru menganalisis seluruh pelajaran dan poin utamanya, mengevaluasi aktivitas setiap siswa dalam pelajaran. 6. Pekerjaan rumah (dari kumpulan tugas untuk mempersiapkan GIA di kelas 9, penulis L. V. Kuznetsova) Seringkali ada masalah dengan parameter yang diperlukan untuk menentukan lokasi akar trinomial persegi pada sumbu nyata. Berdasarkan ketentuan pokok dan notasi alinea sebelumnya, perhatikan hal-hal sebagai berikut: 1. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 3.1 dan 3.2. 2. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan sebuah titik m pada poros Sapi. Ketidaksamaan 3. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan titik m pada poros Sapi. Kemudian kedua kuda Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 5.1 dan 5.2. 4. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan intervalnya (m,
M)
Maka kedua akar trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang ditunjukkan jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi: Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 6.1 dan 6.2. 5. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana , adalah akar dan segmennya Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 7.1 dan 7.2. Contoh.Temukan semua nilai parametersebuah, untuk masing-masing akar persamaan Keputusan. Ini ditentukan dalam kondisi tugas. Bahwa persamaan memiliki dua akar, jadi . Situasi yang sedang dipertimbangkan dijelaskan oleh kasus 3 dan ditunjukkan pada Gambar 5.1. dan 5.2. Mari kita temukan, Mempertimbangkan semua ini, kami menulis himpunan dua sistem: Memecahkan dua sistem ini, kita mendapatkan . Menjawab. Untuk setiap nilai parameter sebuah dari celah, kedua akar persamaan lebih besar dari -2. Contoh.Berapa nilai parameternyasebuahketidaksamaan Keputusan. Jika himpunan X adalah solusi dari pertidaksamaan ini, maka kondisi masalah berarti bahwa interval Pertimbangkan semua kemungkinan nilai parameter sebuah. 1.Jika a=0, maka pertidaksamaan berbentuk 2.Jika Pertimbangkan kasus ketika Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan Jika sebuah Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan 3.Jika Menggabungkan semua nilai yang ditemukan sebuah, kita mendapatkan jawabannya. Menjawab. Untuk setiap nilai parameter dari interval Contoh.Untuk nilai parameter berapa himpunan nilai fungsi berisi interval Keputusan. 1. Jika a) di a = 1 fungsi akan berbentuk kamu =
2, dan himpunan nilainya terdiri dari satu titik 2 dan tidak mengandung segmen ; b) kapan a =-1 fungsi akan mengambil bentuk kamu = -2
x+2
. Kumpulan maknanya 2.Jika Himpunan nilai fungsi adalah interval 3. Jika Memecahkan sistem pertidaksamaan ini, kita peroleh Menggabungkan solusi, kita mendapatkan Menjawab. Pada 1. Tanpa menghitung akar persamaan kuadrat sebuah) 2. Temukan himpunan nilai fungsi sebuah) 3. Selesaikan persamaan sebuah) 4. Berapa nilai parameternya? sebuah kedua akar persamaan 5. Berapa nilai parameternya? sebuah ketidaksamaan berlaku untuk semua nilai x? 6. Berapa nilai parameternya? sebuah nilai fungsi terkecil Di segmen 7. Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan Saat ini, universalitas hukum probabilistik-statistik menjadi jelas, mereka telah menjadi dasar untuk menggambarkan gambaran ilmiah dunia. Fisika modern, kimia, biologi, demografi, linguistik, filsafat, seluruh kompleks ilmu sosial-ekonomi berkembang atas dasar statistik-probabilistik. Seorang anak dalam hidupnya sehari-hari menghadapi situasi probabilistik. Rentang masalah yang terkait dengan memahami hubungan antara konsep probabilitas dan keandalan, masalah memilih yang terbaik dari beberapa solusi, menilai tingkat risiko dan peluang keberhasilan - semua ini berada dalam lingkup kepentingan nyata formasi dan pengembangan diri individu. Semua hal di atas membuat anak perlu dibiasakan dengan pola statistik-probabilistik. Tujuan kursus: untuk memperkenalkan siswa dengan beberapa pola teoritis dan probabilistik dan metode statistik pengolahan data. Tujuan kursus Untuk memperkenalkan siswa dengan peralatan konseptual dasar teori probabilitas. Belajar menentukan peluang kejadian dalam skema tes klasik. Untuk memperkenalkan metode pemrosesan utama data statistik. Persyaratan untuk tingkat penguasaan konten kursus Sebagai hasil dari menguasai program kursus, siswa harus tahu: konsep dasar teori probabilitas: tes, hasil tes, ruang peristiwa dasar, peristiwa acak, pasti, tidak mungkin, peristiwa bersama dan tidak kompatibel; kondisi skema tes klasik dan penentuan probabilitas suatu peristiwa dalam skema tes klasik; menentukan frekuensi relatif terjadinya peristiwa dan probabilitas statistik; penentuan deret variasi dan karakteristik numerik utamanya. Selama kursus, siswa harus memperoleh keterampilan: menentukan semua kemungkinan hasil tes, kompatibilitas dan ketidakcocokan peristiwa; memecahkan masalah teoretis dan probabilistik untuk menghitung probabilitas dalam skema uji klasik; menghitung frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa; membuat distribusi statistik sampel dan menghitung karakteristik numeriknya. Program ini melibatkan pengembangan siswa keterampilan: penggunaan algoritme yang ada dan, jika perlu, pemrosesan kreatifnya dalam kondisi spesifik masalah; pemecahan masalah secara mandiri; digunakan dalam memecahkan masalah skema umum yang berisi definisi dan rumus dasar. Lingkup kursus:
kursus yang ditawarkan adalah 20 jam Topik Pelajaran Jumlah jam Konsep dasar teori probabilitas. Skema tes klasik. Penentuan probabilitas dalam skema uji klasik. Frekuensi itu mutlak dan relatif. Definisi statistik probabilitas. Populasi umum dan sampel. Distribusi statistik sampel. Karakteristik numerik dari distribusi statistik. Estimasi dan perkiraan statistik. Banyak orang menyukai matematika karena kebenarannya yang abadi: dua kali dua selalu empat, jumlah bilangan genap adalah genap, dan luas persegi panjang sama dengan produk dari sisi-sisi yang berdekatan. Dalam masalah apa pun yang Anda selesaikan di kelas matematika, semua orang mendapat jawaban yang sama - Anda hanya perlu tidak membuat kesalahan dalam penyelesaiannya. Kehidupan nyata tidak begitu sederhana dan tidak ambigu. Tidak mungkin untuk memprediksi hasil dari banyak fenomena sebelumnya, tidak peduli seberapa lengkap informasi yang kita miliki tentang mereka. Tidak mungkin, misalnya, untuk mengatakan dengan pasti sisi mana koin yang dilempar akan mendarat, kapan salju pertama akan turun tahun depan, atau berapa banyak orang di kota yang ingin menelepon dalam satu jam berikutnya. Peristiwa tak terduga seperti itu disebut acak. Namun, kasus ini juga memiliki hukumnya sendiri, yang mulai memanifestasikan dirinya dengan pengulangan berulang dari fenomena acak. Jika Anda melempar koin 1000 kali, maka "elang" akan jatuh sekitar separuh waktu, yang tidak dapat dikatakan tentang dua atau bahkan sepuluh kali lemparan. Perhatikan kata "kira-kira" - hukum tidak menyatakan bahwa jumlah "elang" akan tepat 500 atau jatuh antara 490 dan 510. Hukum tidak menyatakan apa pun secara pasti, tetapi memberikan tingkat kepastian tertentu bahwa beberapa acak peristiwa yang akan terjadi. . Keteraturan seperti itu dipelajari oleh cabang khusus matematika - teori probabilitas. Teori probabilitas terkait erat dengan kehidupan kita sehari-hari. Ini memberikan peluang luar biasa untuk menetapkan banyak hukum probabilistik secara empiris, berulang kali mengulangi eksperimen acak. Bahan untuk eksperimen ini paling sering berupa koin biasa, dadu, satu set kartu domino, roda roulette, dan bahkan setumpuk kartu. Masing-masing item ini, dengan satu atau lain cara, terhubung dengan permainan. Faktanya adalah bahwa kasus di sini muncul dalam bentuknya yang paling murni, dan masalah probabilistik pertama dikaitkan dengan penilaian peluang pemain untuk menang. Teori probabilitas modern telah bergerak jauh dari permainan peluang seperti geometri dari masalah pengelolaan lahan, tetapi alat peraga mereka masih merupakan sumber peluang yang paling sederhana dan paling dapat diandalkan. Dengan berlatih dengan roda roulette dan dadu, Anda akan belajar bagaimana menghitung probabilitas kejadian acak dalam situasi kehidupan nyata, yang akan memungkinkan Anda untuk menilai peluang Anda untuk sukses, menguji hipotesis, dan membuat keputusan tidak hanya dalam permainan dan lotere. Statistika matematika adalah cabang matematika yang mempelajari metode untuk mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mengolah hasil pengamatan fenomena acak massa untuk mengidentifikasi pola yang ada. Dalam arti tertentu, masalah statistik matematika berbanding terbalik dengan masalah teori probabilitas: hanya berurusan dengan nilai-nilai variabel acak yang diperoleh secara eksperimental, statistik bertujuan untuk mengajukan dan menguji hipotesis tentang distribusi variabel acak ini dan mengevaluasi parameter distribusi mereka. Seperti cabang matematika lainnya, teori probabilitas memiliki perangkat konseptualnya sendiri, yang digunakan dalam merumuskan definisi, membuktikan teorema, dan menurunkan rumus. Mari kita pertimbangkan konsep-konsep yang akan kita gunakan dalam penjelasan teori selanjutnya. Uji coba- implementasi serangkaian kondisi. Hasil tes (acara dasar)– hasil apa pun yang mungkin terjadi selama pengujian. Contoh. 1) Uji coba: Hasil tes: 1 - satu titik telah muncul di permukaan atas kubus; 2 – dua titik muncul di permukaan atas kubus; 3 – tiga poin muncul di permukaan atas kubus; 4 – empat titik muncul di permukaan atas kubus; 5 – lima poin muncul di permukaan atas kubus; 6 - enam poin muncul di permukaan atas kubus. Secara total, 6 hasil tes (atau 6 peristiwa dasar) dimungkinkan. 2) Uji coba: siswa tersebut mengikuti ujian. Hasil tes: 1 - siswa menerima deuce; 2 - siswa menerima tiga; 3 - siswa menerima empat; 4 - siswa menerima lima. Secara total, 4 hasil tes (atau 4 peristiwa dasar) dimungkinkan. Komentar.
Notasi adalah notasi standar untuk peristiwa dasar, berikut ini kita akan menggunakan notasi ini. Kami akan memanggil hasil tes ini sama mungkin jika hasil uji coba memiliki peluang yang sama untuk muncul. Ruang acara dasar- himpunan semua kejadian dasar (hasil tes) yang mungkin muncul selama tes. Dalam contoh yang kami pertimbangkan di atas, ruang peristiwa dasar dari tes ini sebenarnya dijelaskan. Komentar. Jumlah titik dalam ruang kejadian dasar (PES), mis. jumlah peristiwa dasar akan dilambangkan dengan huruf n. Mari kita pertimbangkan konsep utama, yang akan kita gunakan berikut ini. Definisi 1.1.Sebuah event adalah kumpulan dari sejumlah poin TEC. Di masa depan, kami akan menunjukkan peristiwa dalam huruf Latin kapital: A, B, C. Definisi 1.2.Peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian disebut peristiwa acak. Dengan membeli tiket lotre, kita mungkin menang atau tidak; dalam pemilihan berikutnya, partai yang berkuasa mungkin menang atau tidak; dalam pelajaran Anda mungkin dipanggil ke dewan, atau mereka mungkin tidak dipanggil, dll. Ini semua adalah contoh kejadian acak yang, dalam kondisi yang sama, mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian. Komentar. Setiap peristiwa dasar juga merupakan peristiwa acak. Definisi 1.3.Suatu peristiwa yang terjadi untuk setiap hasil percobaan disebut peristiwa tertentu. Definisi 1.4.Suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi di bawah hasil tes apa pun disebut peristiwa yang tidak mungkin. Contoh. 1) Uji coba: sebuah dadu dilempar. Acara A: jumlah poin genap jatuh di bagian atas dadu; Acara B: di sisi atas dadu, sejumlah poin jatuh, kelipatan 3; Acara C: 7 poin jatuh di bagian atas dadu; Acara D: jumlah poin kurang dari 7 jatuh di muka atas dadu. Acara TETAPI dan PADA mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian, jadi ini adalah peristiwa acak. Peristiwa Dengan tidak pernah bisa terjadi, jadi itu adalah peristiwa yang mustahil. Peristiwa D terjadi dengan hasil tes apa pun, maka ini adalah peristiwa yang dapat diandalkan. Kami mengatakan bahwa peristiwa acak di bawah kondisi yang sama mungkin atau mungkin tidak terjadi. Pada saat yang sama, beberapa peristiwa acak memiliki lebih banyak peluang untuk terjadi (yang berarti lebih mungkin - lebih dekat ke dapat diandalkan), sementara yang lain memiliki lebih sedikit peluang (lebih kecil kemungkinannya - lebih dekat ke tidak mungkin). Oleh karena itu, sebagai pendekatan pertama, probabilitas dapat didefinisikan sebagai tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jelas bahwa peristiwa yang lebih mungkin akan terjadi lebih sering daripada yang kurang mungkin. Jadi Anda dapat membandingkan probabilitas dengan frekuensi kejadian yang terjadi. Mari kita coba menempatkan kejadian berikut pada skala probabilitas khusus dalam urutan peningkatan probabilitas kemunculannya. Acara A: tahun depan salju pertama di Khabarovsk akan turun pada hari Minggu; Acara B: sandwich yang jatuh dari meja jatuh dengan sisi mentega ke bawah; Acara C: saat melempar dadu, 6 poin akan rontok; Acara D: saat melempar dadu, jumlah poin akan jatuh; Acara E: saat melempar dadu, 7 poin jatuh; Acara F: Ketika sebuah dadu dilempar, akan muncul sejumlah angka yang kurang dari 7. Jadi, pada titik awal skala kami, kami akan menempatkan peristiwa yang tidak mungkin, karena tingkat kemungkinan kemunculannya (probabilitas) hampir sama dengan 0. Dengan demikian, ini akan menjadi peristiwa E. Pada titik akhir skala kami, kami menempatkan acara yang andal - F. Semua peristiwa lain adalah acak, mari kita coba mengaturnya dalam skala sesuai dengan peningkatan derajat kemunculannya. Untuk melakukan ini, kita harus mencari tahu mana yang lebih kecil kemungkinannya dan mana yang lebih mungkin. Mari kita mulai dengan acaranya D: Saat kita melempar dadu, masing-masing dari 6 wajah memiliki peluang yang sama untuk menjadi yang teratas. Jumlah poin genap - di tiga sisi kubus, di tiga lainnya - ganjil. Jadi tepat setengah dari kemungkinan (3 dari 6) bahwa peristiwa itu D akan terjadi. Oleh karena itu, kami menempatkan acara D di tengah skala kami. Pada acara tersebut Dengan hanya satu kesempatan dalam 6 saat acara telah D- tiga peluang dari 6 (seperti yang kami temukan). Jadi Dengan kemungkinan kecil dan akan ditempatkan pada skala di sebelah kiri acara D. Peristiwa TETAPI bahkan lebih kecil kemungkinannya daripada Dengan, karena ada 7 hari dalam seminggu dan di salah satu hari tersebut salju pertama dapat turun dengan peluang yang sama, jadi kejadiannya adalah TETAPI satu kesempatan dalam 7. Acara TETAPI, dengan demikian, akan ditempatkan lebih ke kiri daripada acara Dengan. Hal tersulit untuk ditempatkan pada skala adalah sebuah acara PADA. Di sini tidak mungkin untuk menghitung peluang secara akurat, tetapi Anda dapat meminta pengalaman hidup untuk membantu: sandwich jatuh ke lantai dengan mentega lebih sering (bahkan ada "hukum sandwich"), jadi acaranya PADA jauh lebih mungkin daripada D, jadi pada skala kita letakkan di sebelah kanan dari D. Dengan demikian, kita mendapatkan skala: E A C D B F tidak mungkin acak pasti Skala probabilitas yang dibangun tidak cukup nyata - tidak memiliki tanda numerik, divisi. Kita dihadapkan pada tugas belajar bagaimana menghitung derajat kemungkinan terjadinya (probabilitas) suatu kejadian. Persamaan kuadrat dengan parameter (Pengembangan metodologi untuk siswa kelas 9-11) guru matematika kategori kualifikasi tertinggi, Wakil Direktur UVR Megion 2013 Kata pengantar https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Penerapan teorema Vieta Karya ilmiah memecahkan masalah dengan parameter dan khususnya memecahkan persamaan kuadrat dengan parameter adalah kuliah pengantar karya riset mahasiswa. Di USE dalam matematika (sering kali tugas C5), GIA (tugas bagian 2) dan pada ujian masuk, ada dua jenis tugas dengan parameter. Pertama: "Untuk setiap nilai parameter, temukan semua solusi untuk beberapa persamaan atau pertidaksamaan." Kedua: "Temukan semua nilai parameter, yang masing-masingnya dipenuhi beberapa kondisi untuk persamaan atau ketidaksetaraan yang diberikan." Dengan demikian, jawaban dalam dua jenis masalah ini pada dasarnya berbeda. Dalam jawaban untuk masalah tipe pertama, semua nilai parameter yang mungkin terdaftar, dan solusi untuk persamaan ditulis untuk masing-masing nilai ini. Dalam jawaban untuk masalah tipe kedua, semua nilai parameter ditunjukkan di mana kondisi yang ditentukan dalam masalah terpenuhi. Seperti yang Anda ketahui, sangat sedikit perhatian yang diberikan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter di sekolah. Oleh karena itu, pemecahan masalah dengan parameter selalu menyebabkan kesulitan besar bagi siswa; sulit untuk mengharapkan bahwa siswa yang pelatihannya tidak termasuk "terapi parametrik" akan berhasil mengatasi tugas-tugas seperti itu dalam suasana ujian yang sulit, oleh karena itu, siswa harus mempersiapkan secara khusus untuk "pertemuan dengan parameter". Banyak siswa menganggap parameter sebagai angka "biasa". Memang, dalam beberapa masalah parameter dapat dianggap sebagai nilai konstan, tetapi nilai konstan ini mengambil nilai yang tidak diketahui. Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan masalah untuk semua kemungkinan nilai konstanta ini. Dalam masalah lain, mungkin lebih mudah untuk secara artifisial mendeklarasikan salah satu yang tidak diketahui sebagai parameter. Tugas dengan parameter memiliki nilai diagnostik dan prognostik - dengan bantuan tugas dengan parameter, Anda dapat memeriksa pengetahuan bagian utama matematika sekolah, tingkat pemikiran matematis dan logis, keterampilan awal kegiatan penelitian, dan yang paling penting, menjanjikan peluang untuk berhasil menguasai mata kuliah matematika dari universitas tertentu. Analisis opsi USE dalam matematika dan ujian masuk ke berbagai universitas menunjukkan bahwa sebagian besar tugas yang diusulkan dengan parameter terkait dengan lokasi akar trinomial kuadrat. Menjadi yang utama dalam kursus matematika sekolah, fungsi kuadrat membentuk kelas masalah yang luas dengan parameter, beragam dalam bentuk dan konten, tetapi disatukan oleh ide yang sama - sifat-sifat fungsi kuadrat adalah dasar untuk solusinya. Saat memecahkan masalah seperti itu, disarankan untuk bekerja dengan tiga jenis model: 1. model verbal - deskripsi verbal tugas; 2. model geometris - sketsa grafik fungsi kuadrat; 3. model analitis - sistem ketidaksetaraan, yang menggambarkan model geometris. Manual berisi teorema tentang lokasi akar trinomial kuadrat (kondisi yang diperlukan dan cukup untuk lokasi akar fungsi kuadrat relatif terhadap titik yang diberikan), penerapan teorema Vieta untuk solusi persamaan kuadrat dengan parameter. Solusi rinci dari 15 masalah dengan rekomendasi metodis diberikan. Tujuan dari manual ini adalah untuk membantu lulusan dan guru matematika dalam mempersiapkan kelulusan Ujian Negara Terpadu dan GIA dalam matematika, dan ujian masuk ke universitas dalam bentuk tes atau dalam bentuk tradisional. https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - terletak di sebelah kanan garis x = n (kondisi xb>n) ; 3. parabola berpotongan dengan garis x = n di sebuah titik yang terletak di setengah bidang atas untuk a>0 dan di sebuah titik yang terletak di setengah bidang bawah untuk a<0 (условие a∙f(n) >0). Teorema 10. Persamaan kuadrat x2 + p1x + q1 = 0 dan x2 + p2x + q2 = 0, yang diskriminannya nonnegatif memiliki setidaknya satu akar yang sama jika dan hanya jika (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2). Bukti. Misalkan f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, dan bilangan x1, x2 adalah akar-akar persamaan f1(x) = 0. Agar persamaan f1(x ) = 0 dan f2( x) = 0 memiliki setidaknya satu akar yang sama, perlu dan cukup bahwa f1(x)∙f2(x) = 0, yaitu, bahwa (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Kami mewakili persamaan terakhir dalam bentuk (x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0. Karena x12 + p1x1 + q1 = 0 dan x22 + p1x2 + q1 = 0, kita peroleh ((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, mis. (p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0. Dengan teorema Vieta x1 +x2 = - p1 dan x1x2 =q1; karena itu, (p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, atau (q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) = (p2 – p1)(q2p1 – p2q1), yang harus dibuktikan. https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src="> Persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 1) memiliki dua akar real positif jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi secara bersamaan: 2) memiliki dua akar negatif real jika dan hanya jika kondisi terpenuhi secara bersamaan: 3) memiliki dua akar real dari tanda yang berbeda jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi secara bersamaan: 4) memiliki dua akar real bertanda sama jika Keterangan 1. Jika koefisien di X 2 berisi parameter, perlu untuk menganalisis kasus ketika menghilang. Catatan 2. Jika diskriminan persamaan kuadrat adalah kuadrat sempurna, maka pertama-tama akan lebih mudah untuk menemukan ekspresi eksplisit untuk akar-akarnya. Catatan 3. Jika suatu persamaan yang memuat beberapa hal yang tidak diketahui berbentuk kuadrat terhadap salah satunya, maka kunci untuk memecahkan masalah sering kali adalah mempelajari diskriminannya. Kami menyajikan skema untuk mempelajari masalah yang terkait dengan lokasi akar trinomial persegif(x) =
kapak2
+
bx +
c:
1. Studi kasus a = o (jika koefisien pertama tergantung pada parameter). 2. Mencari diskriminan D pada kasus a≠0. 3. Jika D adalah kuadrat penuh dari beberapa ekspresi, maka cari akar x1, x2 dan subordinat kondisi masalah. 4..png" width="13" height="22 src="> 3. Contoh pemecahan masalah untuk mempersiapkan GIA dan Unified State Examination dalam matematika Contoh 1 Selesaikan persamaan ( sebuah - 2)x 2 – 2kapak + 2sebuah – 3 = 0. Keputusan.
Pertimbangkan dua kasus: a = 2 dan a 2. dalam kasus pertama, persamaan aslinya berbentuk - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src="> Untuk a \u003d 1 atau a \u003d 6, diskriminannya adalah nol dan persamaan kuadrat memiliki satu akar: , yaitu, untuk a \u003d 1 kita mendapatkan akarnya Pada 1< sebuah < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">persamaan tidak memiliki akar; untuk a = 1 persamaan memiliki satu akar X= -1; pada Contoh 2 Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan ( sebuah - 2)X 2 + (4 – 2sebuah)X+ 3 = 0 memiliki akar yang unik? Keputusan
. Jika sebuah sebuah= 2, maka persamaan menjadi linier∙ X+ 3 = 0; yang tidak memiliki akar. Jika sebuah sebuah 2, maka persamaan tersebut kuadratik dan memiliki akar tunggal dengan diskriminan nol D. D= 0 at sebuah 1 = 2 dan sebuah 2 = 5. Artinya sebuah= 2 dikecualikan, karena bertentangan dengan kondisi bahwa persamaan aslinya adalah kuadrat. Menjawab
: sebuah = 5. 4.
(sebuah - 1)X 2 + (2sebuah + 3)X + sebuah+ 2 = 0 memiliki akar-akar yang bertanda sama? Keputusan.
Karena, sesuai dengan kondisi masalah, persamaan yang dipertimbangkan adalah kuadrat, itu berarti bahwa sebuah 1. Jelas, kondisi masalah juga menyiratkan adanya akar persamaan kuadrat, yang berarti bahwa diskriminan adalah non-negatif D = (2sebuah + 3)2 – 4(sebuah - 1)(sebuah + 2) = 8sebuah + 17. Karena, dengan syarat, akar-akarnya harus bertanda sama, maka X 1∙X 2 > 0, mis..png" width="149" height="21 src=">. Sesuai dengan ketentuan D 0 dan sebuah 1 kita mendapatkan https://pandia.ru/text/800/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">. Contoh 3 Temukan semua nilai a yang persamaan x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 memiliki dua akar positif. Keputusan.
Dari teorema Vieta, agar kedua akar x1 dan x2 persamaan ini bernilai positif, diskriminan trinomial kuadrat x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) harus non- negatif, dan hasil kali x1 x2 dan jumlah x1 + x2 adalah positif. Kami mendapatkan itu semua memuaskan sistem Dan hanya merekalah solusi dari masalah tersebut. Sistem ini setara dengan sistem Penyelesaiannya, dan dengan demikian masalahnya sendiri, adalah semua bilangan dari interval )
4. Lokasi akar trinomial persegi tergantung pada parameter
dan titik m pada poros Sapi. Kemudian kedua kuda 
trinomial persegi 
akan sangat kurang m 
atau 
berlaku hanya jika dan hanya jika bilangan
sebuah dan 
memiliki tanda yang berbeda, yaitu 
(Gbr. 4.1 dan 4.2.)
trinomial persegi akan benar-benar lebih besar m jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi:
atau 
atau 
.
Segmen terletak pada interval 
jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi:
lebih dari -2.
,
atau 
dilakukan untuk apa saja 
?
harus dalam set X, yaitu
.
, dan penyelesaiannya adalah interval 
. Dalam hal ini, kondisi terpenuhi dan a=0 adalah solusi untuk masalah tersebut.
, maka grafik sisi kanan pertidaksamaan adalah trinomial persegi, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas. Penyelesaian pertidaksamaan bergantung pada tanda .
. Kemudian, agar pertidaksamaan berlaku untuk semua, diperlukan akar-akar trinomial kuadrat lebih kecil dari -1, yaitu:
atau 
.
, maka parabola terletak di atas sumbu HAIx, dan solusi pertidaksamaan akan berupa bilangan apa pun dari himpunan bilangan real, termasuk interval . Ayo temukan yang seperti itu sebuah dari kondisi:
atau 
.
, lalu di 
solusi pertidaksamaan adalah interval , yang tidak dapat menyertakan interval , dan jika 
ketidaksetaraan ini tidak memiliki solusi.
ketidaksetaraan berlaku untuk setiap .
?
, kemudian
berisi segmen, jadi a =-1 adalah solusi untuk masalah tersebut.
, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, fungsi mengambil nilai terkecil di titik parabola 
:
, 
.
, yang berisi segmen 
jika kondisi berikut terpenuhi:
.
, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, fungsi mengambil nilai terbesar di titik parabola 
. Himpunan nilai fungsi adalah interval 
, yang berisi segmen jika kondisi berikut terpenuhi: 
.
.
himpunan nilai fungsi berisi segmen .Tugas untuk solusi independen
, mencari
, b) 
, di) 
, b) 
, di) 
, G) 
, b) 
terletak pada interval (-5, 4)?
adalah -1?
memiliki akar?Karpova Irina Viktorovna
PROGRAM DAN MATERI PENDIDIKAN KURSUS PILIHAN matematika untuk siswa kelas 8-9 "Elemen teori probabilitas dan statistik matematika"
Catatan penjelasan
Perencanaan tematik
teks manual
1. Peristiwa acak. Bagaimana cara membandingkan peristiwa?
https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">
;
;
;
, dan untuk a = 6 - akarnya.
persamaan memiliki dua akar 
; pada sebuah= 2 persamaan memiliki akar tunggal ; pada sebuah= 6 persamaan memiliki akar tunggal .
