Osilasi harmonik adalah fenomena perubahan periodik sejumlah besaran, di mana ketergantungan pada argumen bersifat fungsi sinus atau kosinus. Misalnya, besaran yang berubah dalam waktu sebagai berikut berfluktuasi secara harmonis:

di mana x adalah nilai kuantitas yang berubah, t adalah waktu, parameter yang tersisa adalah konstan: A adalah amplitudo osilasi, adalah frekuensi siklik dari osilasi, adalah fase penuh dari osilasi, adalah fase awal dari osilasi.

Osilasi harmonik umum dalam bentuk diferensial

(Setiap solusi non-sepele dari persamaan diferensial ini adalah osilasi harmonik dengan frekuensi siklik)

Jenis getaran

Getaran bebas terjadi di bawah aksi gaya internal sistem setelah sistem dikeluarkan dari kesetimbangan. Agar osilasi bebas menjadi harmonik, sistem osilasi harus linier (dijelaskan oleh persamaan gerak linier), dan tidak boleh ada disipasi energi di dalamnya (yang terakhir akan menyebabkan redaman).

Osilasi paksa dilakukan di bawah pengaruh gaya periodik eksternal. Agar harmonik, cukup bahwa sistem osilasinya linier (dijelaskan oleh persamaan gerak linier), dan gaya eksternal itu sendiri berubah seiring waktu sebagai osilasi harmonik (yaitu, ketergantungan waktu dari gaya ini adalah sinusoidal) .

Persamaan getaran harmonik

memberikan ketergantungan nilai fluktuatif S pada waktu t; ini adalah persamaan osilasi harmonik bebas dalam bentuk eksplisit. Namun, persamaan osilasi biasanya dipahami sebagai catatan yang berbeda dari persamaan ini, dalam bentuk diferensial. Untuk kepastian, kita ambil persamaan (1) dalam bentuk

Bedakan dua kali terhadap waktu:

Dapat dilihat bahwa hubungan berikut berlaku:

yang disebut persamaan osilasi harmonik bebas (dalam bentuk diferensial). Persamaan (1) merupakan solusi dari persamaan diferensial (2). Karena persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde kedua, dua kondisi awal diperlukan untuk mendapatkan solusi lengkap (yaitu, untuk menentukan konstanta A dan yang termasuk dalam persamaan (1); misalnya, posisi dan kecepatan sistem osilasi pada t = 0.

Pendulum matematika adalah osilator, yang merupakan sistem mekanis yang terdiri dari titik material yang terletak pada benang yang tidak dapat diperpanjang tanpa bobot atau pada batang tanpa bobot dalam medan gaya gravitasi yang seragam. Periode eigenosilasi kecil dari bandul matematis dengan panjang l, ditangguhkan tanpa gerak dalam medan gravitasi seragam dengan percepatan jatuh bebas g, sama dengan

dan tidak bergantung pada amplitudo dan massa bandul.

Pendulum fisik adalah osilator, yang merupakan benda tegar yang berosilasi dalam medan gaya apa pun tentang titik yang bukan merupakan pusat massa benda ini, atau sumbu tetap yang tegak lurus terhadap arah gaya dan tidak melewati pusat massa tubuh ini.

Osilasi harmonik adalah osilasi di mana kuantitas fisik berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum harmonik (sinusoidal, kosinus). Persamaan getaran harmonik dapat ditulis sebagai berikut:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
atau
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - penyimpangan dari posisi keseimbangan pada waktu t
A - amplitudo osilasi, dimensi A sama dengan dimensi X
- frekuensi siklik, rad/s (radian per detik)
- fase awal, rad
t - waktu, s
T - periode osilasi, s
f - frekuensi osilasi, Hz (Hertz)
- konstanta kira-kira sama dengan 3,14, 2π=6,28

Periode osilasi, frekuensi dalam hertz dan frekuensi siklik dihubungkan oleh hubungan.
=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Untuk mengingat hubungan ini, Anda perlu memahami hal berikut.
Masing-masing parameter , f, T secara unik menentukan yang lain. Untuk menggambarkan osilasi, cukup menggunakan salah satu parameter ini.

Periode T adalah waktu satu fluktuasi, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk memplot grafik fluktuasi.
Frekuensi siklik - digunakan untuk menulis persamaan osilasi, memungkinkan Anda melakukan perhitungan matematis.
Frekuensi f - jumlah osilasi per satuan waktu, digunakan di mana-mana. Dalam hertz, kami mengukur frekuensi radio yang disetel, serta jangkauan ponsel. Frekuensi getaran senar diukur dalam hertz saat menyetel alat musik.

Ekspresi (ωt+φ) disebut fase osilasi, dan nilai disebut fase awal, karena sama dengan fase osilasi pada waktu t=0.

Fungsi sinus dan kosinus menjelaskan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Oleh karena itu, banyak yang tidak mengerti bagaimana fungsi-fungsi ini terkait dengan osilasi harmonik. Hubungan ini ditunjukkan oleh vektor yang berotasi seragam. Proyeksi vektor yang berputar seragam membuat osilasi harmonik.
Gambar di bawah ini menunjukkan contoh tiga getaran harmonik. Sama dalam frekuensi, tetapi berbeda dalam fase dan amplitudo.

fluktuasi disebut gerakan atau proses yang dicirikan oleh pengulangan tertentu dalam waktu. Proses osilasi tersebar luas di alam dan teknologi, misalnya, ayunan pendulum jam, arus listrik bolak-balik, dll. Ketika pendulum berosilasi, koordinat pusat massanya berubah, dalam hal arus bolak-balik, tegangan dan arus dalam rangkaian berfluktuasi. Sifat fisik osilasi dapat berbeda, oleh karena itu, osilasi mekanik, elektromagnetik, dll dibedakan.Namun, berbagai proses osilasi dijelaskan oleh karakteristik yang sama dan persamaan yang sama. Dari sini muncul kelayakan pendekatan terpadu untuk mempelajari getaran sifat fisik yang berbeda.

Fluktuasi disebut Gratis, jika mereka dibuat hanya di bawah pengaruh gaya internal yang bekerja di antara elemen-elemen sistem, setelah sistem dikeluarkan dari keseimbangan oleh gaya eksternal dan dibiarkan sendiri. Getaran gratis selalu getaran teredam karena kehilangan energi tidak dapat dihindari dalam sistem nyata. Dalam kasus ideal sistem tanpa kehilangan energi, osilasi bebas (terus menerus selama yang diinginkan) disebut memiliki.

Jenis osilasi bebas tak teredam yang paling sederhana adalah getaran harmonik - fluktuasi di mana nilai fluktuasi berubah dengan waktu sesuai dengan hukum sinus (cosinus). Osilasi yang dijumpai di alam dan teknologi seringkali memiliki sifat yang mendekati harmonik.

Getaran harmonik dijelaskan oleh persamaan yang disebut persamaan getaran harmonik:

di mana TETAPI- amplitudo fluktuasi, nilai maksimum dari nilai fluktuasi X; - frekuensi melingkar (siklus) dari osilasi alami; - fase awal osilasi pada saat tertentu t= 0; - fase osilasi pada saat waktu t. Fase osilasi menentukan nilai besaran osilasi pada waktu tertentu. Karena kosinus bervariasi dari +1 hingga -1, maka X dapat mengambil nilai dari + A sebelum - TETAPI.

Waktu T, dimana sistem menyelesaikan satu getaran lengkap, disebut periode osilasi. Selama T fase osilasi bertambah 2 π , yaitu

Di mana . (14.2)

Kebalikan dari periode osilasi

yaitu, jumlah osilasi lengkap per satuan waktu disebut frekuensi osilasi. Membandingkan (14.2) dan (14.3) kita peroleh

Satuan frekuensi adalah hertz (Hz): 1 Hz adalah frekuensi di mana satu getaran lengkap terjadi dalam 1 s.

Sistem di mana getaran bebas dapat terjadi disebut osilator . Sifat apa yang harus dimiliki sistem agar osilasi bebas terjadi di dalamnya? Sistem mekanik harus memiliki posisi kesetimbangan stabil, setelah keluar yang muncul mengembalikan gaya menuju keseimbangan. Posisi ini sesuai, seperti diketahui, dengan energi potensial minimum sistem. Mari kita pertimbangkan beberapa sistem osilasi yang memenuhi properti yang terdaftar.

Perubahan waktu menurut hukum sinusoidal:

di mana X- nilai kuantitas yang berfluktuasi pada saat itu t, TETAPI- amplitudo , ω - frekuensi melingkar, φ adalah fase awal osilasi, ( t + φ ) adalah fase total osilasi. Pada saat yang sama, nilai-nilai TETAPI, ω dan φ - permanen.

Untuk getaran mekanis dengan nilai berosilasi X adalah, khususnya, perpindahan dan kecepatan, untuk osilasi listrik - tegangan dan kekuatan arus.

Getaran harmonik menempati tempat khusus di antara semua jenis getaran, karena ini adalah satu-satunya jenis getaran yang bentuknya tidak terdistorsi ketika melewati media homogen apa pun, yaitu, gelombang yang merambat dari sumber getaran harmonik juga akan harmonik. Setiap getaran non-harmonik dapat direpresentasikan sebagai jumlah (integral) dari berbagai getaran harmonik (dalam bentuk spektrum getaran harmonik).

Transformasi energi selama getaran harmonik.

Dalam proses osilasi, ada transisi energi potensial wp menjadi kinetik apa dan sebaliknya. Pada posisi simpangan maksimum dari posisi kesetimbangan, energi potensial maksimum, energi kinetik nol. Saat kita kembali ke posisi setimbang, kecepatan benda yang berosilasi meningkat, dan dengan itu energi kinetik juga meningkat, mencapai maksimum dalam posisi setimbang. Energi potensial kemudian turun menjadi nol. Gerakan leher lebih lanjut terjadi dengan penurunan kecepatan, yang turun menjadi nol ketika defleksi mencapai maksimum kedua. Energi potensial di sini meningkat ke nilai awal (maksimum) (tanpa adanya gesekan). Dengan demikian, osilasi energi kinetik dan potensial terjadi dengan frekuensi ganda (dibandingkan dengan osilasi pendulum itu sendiri) dan berada dalam antifase (yaitu, ada pergeseran fase di antara mereka sama dengan π ). Energi getaran total W tetap tidak berubah. Untuk benda yang berosilasi di bawah aksi gaya elastis, itu sama dengan:

di mana v m- kecepatan maksimum tubuh (dalam posisi keseimbangan), x m = TETAPI- amplitudo.

Karena adanya gesekan dan hambatan medium, osilasi bebas meredam: energi dan amplitudonya berkurang seiring waktu. Oleh karena itu, dalam praktiknya, tidak bebas, tetapi osilasi paksa lebih sering digunakan.

fluktuasi disebut proses di mana sistem berulang kali melewati posisi kesetimbangan dengan frekuensi yang lebih besar atau lebih kecil.

Klasifikasi osilasi:

sebuah) secara alami (mekanik, elektromagnetik, fluktuasi konsentrasi, suhu, dll.);

b) memberitahukan (sederhana = harmonik; kompleks, yang merupakan penjumlahan dari getaran harmonik sederhana);

di) menurut derajat periodisitas = periodik (karakteristik sistem berulang setelah periode waktu (periode) yang ditentukan secara ketat) dan aperiodik;

G) dalam kaitannya dengan waktu (tidak teredam = amplitudo konstan; teredam = amplitudo menurun);

G) energi – bebas (input energi tunggal ke dalam sistem dari luar = dampak eksternal tunggal); pasokan energi paksa (berkali-kali (berkala) ke sistem dari luar = pengaruh eksternal berkala); osilasi sendiri (osilasi tak teredam yang timbul karena kemampuan sistem untuk mengatur aliran energi dari sumber konstan).

Kondisi untuk terjadinya osilasi.

a) Adanya sistem osilasi (pendulum pada suspensi, pendulum pegas, sirkuit osilasi, dll.);

b) Adanya sumber energi luar yang mampu membawa sistem keluar dari keseimbangan setidaknya satu kali;

c) Munculnya gaya pemulih kuasi-elastis dalam sistem (yaitu, gaya yang sebanding dengan perpindahan);

d) Adanya inersia (elemen inersia) dalam sistem.

Sebagai contoh ilustrasi, perhatikan pergerakan pendulum matematika. pendulum matematika disebut benda berukuran kecil, tergantung pada seutas benang tipis yang tidak dapat diperpanjang, yang massanya dapat diabaikan dibandingkan dengan massa benda. Dalam posisi setimbang, ketika bandul digantung pada garis tegak lurus, gaya gravitasi diseimbangkan oleh gaya tarik benang.
. Ketika bandul menyimpang dari posisi kesetimbangan dengan sudut tertentu α ada komponen tangensial gravitasi F=- mg dosa. Tanda minus dalam rumus ini berarti bahwa komponen tangensial diarahkan ke arah yang berlawanan dengan defleksi pendulum. Dia adalah kekuatan pemulih. Pada sudut kecil (orde 15-20 o), gaya ini sebanding dengan perpindahan pendulum, yaitu. adalah quasi-elastis, dan osilasi bandul adalah harmonik.

Ketika pendulum dibelokkan, ia naik ke ketinggian tertentu, yaitu. ia diberi sejumlah energi potensial ( E keringat = mgh). Ketika bandul bergerak ke posisi setimbang, terjadi transisi energi potensial menjadi energi kinetik. Pada saat bandul melewati posisi kesetimbangan, energi potensial sama dengan nol, dan energi kinetik maksimum. Karena adanya massa m(massa adalah kuantitas fisik yang menentukan sifat inersia dan gravitasi materi) bandul melewati posisi kesetimbangan dan menyimpang ke arah yang berlawanan. Dengan tidak adanya gesekan dalam sistem, bandul akan terus berosilasi tanpa batas.

Persamaan osilasi harmonik memiliki bentuk:

x(t) = x m karena(ω 0 t +φ 0 ),

di mana X- perpindahan tubuh dari posisi keseimbangan;

x m (TETAPI) adalah amplitudo osilasi, yaitu modulus perpindahan maksimum,

ω 0 - frekuensi osilasi siklik (atau melingkar),

t- waktu.

Nilai di bawah tanda cosinus φ = ω 0 t + 0 ditelepon fase getaran harmonik. Fase menentukan offset pada waktu tertentu t. Fase dinyatakan dalam satuan sudut (radian).

Pada t= 0 φ = φ 0 , Itu sebabnya φ 0 ditelepon tahap awal.

Periode waktu setelah keadaan tertentu dari sistem osilasi diulang disebut periode osilasi T.

Besaran fisis yang berbanding terbalik dengan periode getaran disebut frekuensi osilasi:
. Frekuensi osilasi ν menunjukkan berapa banyak getaran yang dibuat per satuan waktu. Satuan frekuensi - hertz (Hz) - unicycle per detik.

Frekuensi osilasi ν terkait dengan frekuensi siklik ω dan periode osilasi T rasio:
.

Artinya, frekuensi melingkar adalah jumlah getaran lengkap yang terjadi dalam 2π satuan waktu.

Secara grafis, osilasi harmonik dapat direpresentasikan sebagai ketergantungan X dari t dan metode diagram vektor.

Metode diagram vektor memungkinkan Anda untuk memvisualisasikan semua parameter yang termasuk dalam persamaan osilasi harmonik. Memang, jika vektor amplitudo TETAPI ditempatkan pada sudut φ ke poros X, lalu proyeksinya ke sumbu X akan sama dengan: x = Acos(φ ) . Injeksi φ dan ada fase awal. Jika vektor TETAPI diputar dengan kecepatan sudut 0 sama dengan frekuensi osilasi melingkar, maka proyeksi ujung vektor akan bergerak sepanjang sumbu X dan ambil nilai mulai dari -A sebelum +A, dan koordinat proyeksi ini akan berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum: x(t) = TETAPIkarena(ω 0 t+ φ) . Waktu yang diperlukan vektor amplitudo untuk membuat satu putaran penuh sama dengan periode T getaran harmonik. Jumlah putaran vektor per detik sama dengan frekuensi osilasi ν .