SUDUT ANTARA BIDANG

Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua bidang yang kami maksud adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini. Jelas bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan atau . Jadi . Karena dan , kemudian

.

Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LANGSUNG DI RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.

PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.

Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.

Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa .

Vektor dan collinear, jadi ada angka seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor radius beberapa titik M berbaring pada garis lurus.

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Biarlah M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .

Jelas bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, oleh karena itu

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus secara parametrik.

Menunjukkan , karena itu x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.

Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, karena itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk

Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk

Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik dari garis lurus dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.

Demikian pula, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.

Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal dan . Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:

.

Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus ke bentuk kanonik.

Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:

Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat Oleh karena itu, vektor arah akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA KANAN

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

Pada artikel ini, kita akan membahas persamaan parametrik garis lurus pada bidang. Mari kita berikan contoh membangun persamaan parametrik garis lurus jika dua titik dari garis lurus ini diketahui atau jika satu titik dan vektor arah garis lurus ini diketahui. Mari kita sajikan metode untuk mengubah persamaan dalam bentuk parametrik menjadi bentuk kanonik dan umum.

Persamaan parametrik garis lurus L di pesawat diwakili oleh rumus berikut:

(1)

di mana x 1 , kamu 1 koordinat beberapa titik M 1 pada garis lurus L. vektor q={m, p) adalah vektor arah garis L, t adalah beberapa parameter.

Perhatikan bahwa ketika menulis persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik, vektor pengarah garis lurus tidak boleh berupa vektor nol, yaitu setidaknya satu koordinat vektor pengarah q harus berbeda dari nol.

Untuk membangun garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian yang diberikan oleh persamaan parametrik (1), cukup untuk mengatur parameter t dua nilai yang berbeda, hitung x dan kamu dan tarik garis lurus melalui titik-titik ini. Pada t=0 kita ada benarnya M 1 (x 1 , kamu 1) di t= 1, kita mendapatkan poin M 2 (x 1 +m, kamu 1 +p).

Untuk membuat persamaan parametrik garis lurus pada bidang L itu cukup untuk memiliki titik di garis L dan vektor arah garis, atau dua titik yang termasuk dalam garis L. Dalam kasus pertama, untuk membuat persamaan parametrik garis lurus, Anda perlu memasukkan koordinat titik dan vektor arah ke dalam persamaan (1). Dalam kasus kedua, Anda harus terlebih dahulu menemukan vektor arah garis q={m, p), menghitung perbedaan koordinat titik yang sesuai M 1 dan M 2: m=x 2 −x 1 , p=kamu 2 −kamu 1 (Gbr.1). Selanjutnya, mirip dengan kasus pertama, gantikan koordinat salah satu titik (tidak masalah yang mana) dan vektor arah q garis lurus pada (1).

Contoh 1. Sebuah garis melalui sebuah titik M=(3,−1) dan memiliki vektor arah q=(−3, 5). Buatlah persamaan parametrik dari garis lurus.

Keputusan. Untuk membuat persamaan parametrik garis lurus, kita substitusikan koordinat titik dan vektor arah ke dalam persamaan (1):

Mari kita sederhanakan persamaan yang dihasilkan:

Dari ekspresi (3), kita dapat menulis persamaan kanonik garis lurus pada bidang:

Bawa persamaan garis lurus ini ke bentuk kanonik.

Solusi: Nyatakan parameternya t melalui variabel x dan kamu:

(5)

Dari ekspresi (5), kita dapat menulis.

Menyamakan dalam persamaan kanonik garis lurus masing-masing pecahan ke beberapa parameter t:

Kami memperoleh persamaan yang menyatakan koordinat saat ini dari setiap titik garis lurus melalui parameter t.

dengan demikian, persamaan parametrik garis lurus memiliki bentuk:

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Biarkan dua titik M 1 (x1,y1,z1) dan M2 (x2,y2,z2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu diperoleh dengan cara yang sama seperti persamaan serupa pada bidang. Oleh karena itu, kami segera memberikan bentuk persamaan ini.

Garis lurus pada perpotongan dua bidang. Persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Jika kita mempertimbangkan dua bidang yang tidak sejajar, maka persimpangan mereka akan menjadi garis lurus.

Jika vektor normal dan non-kolinier.

Di bawah, ketika mempertimbangkan contoh, kami akan menunjukkan cara untuk mengubah persamaan garis lurus tersebut menjadi persamaan kanonik.

5.4 Sudut antara dua garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis.

Sudut antara dua garis lurus dalam ruang adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sembarang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis diberikan oleh persamaan kanonik mereka.

Untuk sudut antara dua garis lurus kita akan mengambil sudut antara vektor arah.

Dan

Kondisi tegak lurus dua garis lurus direduksi menjadi kondisi tegak lurus vektor arahnya dan , yaitu, menjadi sama dengan nol dari produk skalar: atau dalam bentuk koordinat: .

Kondisi paralelisme dua garis direduksi menjadi kondisi paralelisme vektor arahnya dan

5.5 Susunan bersama antara garis lurus dan bidang.

Biarkan persamaan garis lurus diberikan:

dan pesawat. Sudut antara garis dan bidang akan menjadi salah satu dari dua sudut berdekatan yang dibentuk oleh garis dan proyeksinya ke bidang (Gambar 5.5).

Gambar 5.5

Jika garis tegak lurus terhadap bidang, vektor pengarah dari garis dan vektor normal terhadap bidang adalah collinear. Dengan demikian, kondisi tegak lurus garis dan bidang direduksi menjadi kondisi vektor collinear

Dalam kasus paralelisme garis lurus dan bidang, vektor-vektornya yang ditunjukkan di atas saling tegak lurus. Oleh karena itu, kondisi paralelisme garis lurus dan bidang direduksi menjadi kondisi tegak lurus vektor; itu. produk titik mereka adalah nol atau dalam bentuk koordinat: .

Di bawah ini adalah contoh penyelesaian masalah yang berkaitan dengan topik Bab 5.

Contoh 1:

Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik A (1,2,4) tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan:

Keputusan:

Kami menggunakan persamaan bidang yang melewati titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Sebagai sebuah titik, kita ambil titik A (1,2,4), yang melaluinya pesawat melewati kondisi tersebut.

Mengetahui persamaan kanonik garis, kita mengetahui vektor yang sejajar dengan garis.

Karena kenyataan bahwa, dengan syarat, garis lurus tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, vektor arah dapat diambil sebagai vektor normal bidang.

Dengan demikian, kita memperoleh persamaan bidang dalam bentuk:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Contoh 2:

Temukan di pesawat 4x-7y+5z-20=0 titik P di mana OP membuat sudut yang sama dengan sumbu koordinat.

Keputusan:

Mari kita membuat gambar skema. (Gambar 5.6)

pada

Gambar 5.6

Titik kosong memiliki koordinat . Karena vektor membuat sudut yang sama dengan sumbu koordinat, cosinus arah vektor ini sama satu sama lain

Mari kita cari proyeksi vektornya:

maka arah cosinus vektor ini mudah ditemukan.

Dari persamaan arah cosinus persamaan berikut:

x p \u003d y p \u003d z p

karena titik P terletak pada bidang, mensubstitusikan koordinat titik ini ke persamaan bidang mengubahnya menjadi identitas.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Masing-masing: y r=10; z p=10.

Jadi, titik P yang diinginkan memiliki koordinat P (10; 10; 10)

Contoh 3:

Diberikan dua titik A (2, -1, -2) dan B (8, -7,5). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik B tegak lurus segmen AB.

Keputusan:

Untuk memecahkan masalah, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Sebagai titik, kami menggunakan titik B (8, -7.5), dan sebagai vektor tegak lurus bidang, vektor. Mari kita cari proyeksi vektornya:

maka kita dapatkan persamaan bidang dalam bentuk:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Contoh 4:

Tentukan persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu OY dan melalui titik K(1,-5,1) dan M(3,2,-2).

Keputusan:

Karena bidang sejajar dengan sumbu OY, kita akan menggunakan persamaan bidang yang tidak lengkap.

Ax+Cz+D=0

Karena fakta bahwa titik K dan M terletak pada bidang, kita memperoleh dua kondisi.

Mari kita nyatakan dari kondisi ini koefisien A dan C dalam bentuk D.

Kami mengganti koefisien yang ditemukan ke dalam persamaan bidang yang tidak lengkap:

karena , maka kita kurangi D:

Contoh 5:

Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Keputusan:

Mari kita gunakan persamaan bidang yang melalui 3 titik tertentu.

dengan mengganti koordinat titik M, K, R sebagai titik pertama, kedua dan ketiga, kita memperoleh:

memperluas determinan di sepanjang garis pertama.

Contoh 6:

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) dan tegak lurus bidang 3x+5y-7z-21=0

Keputusan:

Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.7)

Gambar 5.7

Kami menunjukkan bidang yang diberikan P 2 dan bidang yang diinginkan P 2. . Dari persamaan bidang 1 yang diberikan, kami menentukan proyeksi vektor yang tegak lurus terhadap bidang 1.

Vektor dapat dipindahkan ke bidang P 2 dengan translasi paralel, karena sesuai dengan kondisi masalah, bidang P 2 tegak lurus dengan bidang P 1, yang berarti bahwa vektor sejajar dengan bidang P 2 .

Mari kita cari proyeksi vektor yang terletak pada bidang 2:

sekarang kita memiliki dua vektor dan terletak di bidang R 2 . jelas vektor , sama dengan produk vektor vektor dan akan tegak lurus terhadap bidang R 2, karena tegak lurus dengan dan, oleh karena itu, vektor normalnya terhadap bidang R 2.

Vektor dan diberikan oleh proyeksi mereka, oleh karena itu:

Selanjutnya, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor. Sebagai titik, Anda dapat mengambil salah satu titik M 1 atau M 2, misalnya M 1 (8, -3.1); Sebagai vektor normal pada bidang 2 kita ambil .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Contoh 7:

Garis lurus didefinisikan oleh perpotongan dua bidang. Temukan persamaan kanonik dari garis tersebut.

Keputusan:

Kami memiliki persamaan dalam bentuk:

Perlu menemukan titik x 0, y 0, z 0) yang dilalui oleh garis lurus dan vektor arah.

Kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang. Sebagai contoh, z=1, maka kita mendapatkan sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui:

Jadi, kami telah menemukan sebuah titik yang terletak pada garis yang diinginkan (2,0,1).

Sebagai vektor pengarah dari garis lurus yang diinginkan, kita ambil perkalian silang dari vektor dan , yang merupakan vektor normal karena , yang berarti sejajar dengan garis yang diinginkan.

Dengan demikian, vektor arah garis lurus memiliki proyeksi . Menggunakan persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu yang sejajar dengan vektor tertentu:

Jadi persamaan kanonik yang diinginkan memiliki bentuk:

Contoh 8:

Tentukan koordinat titik potong garis dan bidang 2x+3y+3z-8=0

Keputusan:

Mari kita tulis persamaan garis lurus yang diberikan dalam bentuk parametrik.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

setiap titik dari garis lurus sesuai dengan satu nilai parameter t. Untuk menemukan parameter t sesuai dengan titik potong garis dan bidang, kita substitusikan ke persamaan bidang x, y, z melalui parameter t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

maka koordinat titik yang diinginkan

titik potong yang diinginkan memiliki koordinat (1;1;1).

Contoh 9:

Tentukan persamaan bidang yang melalui garis sejajar.

Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.9)

Gambar 5.9

Dari persamaan garis yang diberikan dan kami menentukan proyeksi vektor pengarah garis-garis ini. Kami menemukan proyeksi vektor yang terletak di bidang P, dan mengambil titik dan dari persamaan kanonik garis M 1 (1, -1,2) dan M 2 (0,1, -2).

Kuliah No.7

Bidang dan garis di luar angkasa

prof. Dymkov MP

1. Persamaan parametrik garis lurus

Misalkan sebuah titik M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) diberikan pada garis lurus dan vektor s = (l ,m ,n ) terletak di

garis ini (atau sejajar dengannya). Vektor s disebut juga panduan vektor lurus.

Kondisi ini secara unik mendefinisikan garis lurus dalam ruang. Ayo temukan dia

persamaan. Ambil titik sembarang M (x, y, z) pada garis. Jelas bahwa vektor

M 0 M (x x 0 , y y 0 , z z 0 ) dan s kolinear.

Oleh karena itu, M 0 M = t s adalah persamaan vektor garis lurus.

Dalam notasi koordinat, persamaan terakhir memiliki representasi parametrik berikut:

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

di mana t - "berjalan melalui"

selang (−∞ ,∞ ),

(karena titik M (x, y, z) harus

"melintasi"

seluruh baris).

2. Persamaan kanonik garis lurus

Dengan menghilangkan parameter t dari persamaan sebelumnya, kita peroleh

x x

y y

z z

T-

persamaan kanonik garis lurus.

3. Sudut antar garis. Kondisi " " dan " " dari dua baris

Biarkan dua baris diberikan

x xi

y yi

z−zi

saya = 1.2.

Definisi.

Sudut antara garis lurus L 1 dan L 2

sebut saja sudut mana saja dari

dua sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus, masing-masing, sejajar dengan yang diberikan dan melewati satu titik (yang mungkin memerlukan terjemahan paralel dari salah satu garis lurus).

Ini mengikuti dari definisi bahwa salah satu sudut sama dengan sudut antara

vektor arah garis

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [dan sudut kedua

maka akan sama dengan (π φ )]. Kemudian sudut ditentukan dari hubungan

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Garis lurus sejajar jika s dan s

kolinear

Garis tegak lurus terhadap s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Sudut antara garis dan bidang. Ketentuan « » dan « » langsung dan

pesawat terbang

Biarkan garis L diberikan oleh persamaan kanoniknya x l x 0 = y m y 0 = z n z 0 ,

dan bidang P dengan persamaan

Ax + By + Cz + D = 0.

Definisi. Sudut antara garis L

dan bidang p adalah sudut lancip antara garis L dan proyeksinya ke bidang.

Ini mengikuti dari definisi (dan gambar) bahwa sudut yang diinginkan adalah komplementer (sampai sudut siku-siku) dengan sudut antara vektor normal n (A , B ,C ) dan

vektor arah s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

dosa =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. diambil untuk mendapatkan sudut lancip).

Jika L , maka s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0					kondisi " ".
Jika L P , maka s kolinear dengan n
				C-	kondisi " ".
5. Titik potong garis dan bidang
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Mensubstitusikan ekspresi untuk x, y, z ke dalam persamaan bidang dan mentransformasikannya,
		t = Ax 0 + Oleh 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Sekarang, jika kita mengganti "t" yang ditemukan ke dalam persamaan parametrik garis lurus, maka kita akan menemukan titik persimpangan yang diinginkan

Kuliah No.8-9

Dasar-dasar analisis matematika

prof. Dymkov MP

Salah satu operasi utama dari analisis matematis adalah operasi lintasan ke batas, yang terjadi dalam kursus dalam berbagai bentuk. Kita mulai dengan bentuk operasi limit yang paling sederhana, berdasarkan konsep limit dari apa yang disebut barisan bilangan. Ini akan memudahkan pengenalan bentuk lain yang sangat penting dari bagian operasi limit, limit dari suatu fungsi. Berikut ini, konstruksi lintasan hingga batas akan digunakan dalam konstruksi kalkulus diferensial dan integral.



 Deret tak terhingga dan tak terhingga besar

 Hubungan antara barisan tak terhingga besar dan tak terhingga kecil.

 Sifat paling sederhana dari barisan sangat kecil

 Batas urutan.

 Sifat barisan konvergen

 Operasi aritmatika pada barisan konvergen

 Urutan monoton

 Kriteria Konvergensi Cauchy

 Angka e dan ilustrasi ekonominya.

 Penerapan limit dalam perhitungan ekonomi

§ 1. Barisan numerik dan sifat-sifat sederhana

1. Konsep barisan numerik. Operasi aritmatika pada barisan

Urutan angka adalah kumpulan angka yang tidak terbatas. Contoh urutan diketahui dari sekolah:

1) barisan semua anggota barisan aritmatika dan geometri tak terhingga;

2) barisan keliling reguler n-gon tertulis dalam lingkaran tertentu;

	3) urutan angka							mendekati angka

akan disebut urutan nomor (atau hanya urutan).

Bilangan terpisah x 3 , x 5 , x n disebut unsur atau anggota barisan (1). Simbol x n disebut anggota umum atau anggota ke-n dari barisan ini. Memberikan nilai n = 1, 2, … dalam istilah umum x n kita mendapatkan, masing-masing, yang pertama x 1 , yang kedua x 2 dan seterusnya. anggota.

Sebuah urutan dianggap diberikan (lihat Def.) jika metode untuk mendapatkan salah satu elemennya ditentukan. Seringkali suatu barisan diberikan oleh suatu rumus untuk suku umum barisan tersebut.

Untuk mempersingkat notasi, barisan (1) kadang-kadang ditulis sebagai:

(xn). Sebagai contoh,			berarti urutan 1,
( 1+ (− 1)n ) kita memiliki			0, 2, 0, 2, … .

Struktur istilah umum (rumusnya) bisa rumit. Sebagai contoh,

							n N
x n =					n-ganjil

Terkadang urutannya diberikan oleh apa yang disebut rumus berulang, yaitu rumus yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan berikutnya dari yang diketahui sebelumnya.

Contoh (bilangan Fibonacci). Misalkan x 1 = x 2 = 1 dan rumus berulang x n = x n 1 + x n − 2 untuk n = 3, 4, … diberikan. Kemudian kita memiliki urutan 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (angka Leonardo dari Pisa, dijuluki Fibonacci). Secara geometris, suatu barisan numerik dapat digambarkan pada suatu barisan numerik

sumbu berupa barisan titik-titik yang koordinatnya sama dengan yang bersesuaian

anggota yang sesuai dari urutan. Misalnya, ( x n ) = 1 n .

Kuliah 8-9 Dasar-dasar analisis matematika prof. Dymkov MP 66

Pertimbangkan bersama dengan barisan ( x n ) barisan lain ( y n ): y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definisi. Jumlah (selisih, produk, hasil bagi) dari barisan

nilai ( xn ) dan ( yn ) disebut barisan ( zn ) yang anggotanya adalah

dibentuk menurut

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Hasilkali barisan (xn) dan bilangan c R adalah barisan (cxn).

Definisi. Barisan ( xn ) disebut berbatas

dari atas (dari bawah), jika ada bilangan real M (m) sehingga setiap elemen dari barisan ini xn memenuhi pertidaksamaan

xn M (xn m) . Suatu barisan disebut terbatas jika dibatasi baik di atas maupun di bawah m xn M . Barisan xn disebut

tidak terbatas jika untuk bilangan positif A (besar sewenang-wenang) setidaknya ada satu elemen dari barisan xn , memenuhi

yang memberikan pertidaksamaan xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 x n 1.

( x n ) = ( n ) dibatasi dari bawah oleh 1, tetapi tidak terbatas.

( x n ) = ( n ) terbatas dari atas (–1), tetapi juga tidak terbatas.

Definisi. Barisan ( x n ) disebut kecil sekali,

jika untuk sembarang bilangan real positif (tidak peduli seberapa kecil itu diambil) terdapat bilangan N tergantung, secara umum, pada , (N = N (ε )) sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan x n< ε .

Contoh. ( x n ) = 1 n .

Definisi. Barisan ( xn ) disebut rasa sakit tak berujung-

shoy jika untuk bilangan real positif A (tidak peduli seberapa besar itu) ada bilangan N (N = N(A)) sedemikian rupa sehingga untuk semua n N

pertidaksamaan xn > A diperoleh.

Biarkan garis melalui titik M1 (x1, y1, z1) dan sejajar dengan vektor (m ,n, l). Mari kita tulis persamaan untuk garis ini.

Mari kita ambil titik sembarang M (x, y, z) pada garis ini dan cari hubungan antara x, y, z. Mari kita membangun sebuah vektor

Vektor-vektor tersebut kolinear.

- persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang.

44 Persamaan parametrik garis lurus

Karena persamaan ini dipenuhi oleh koordinat setiap titik pada garis, maka persamaan yang dihasilkan adalah persamaan parametrik garis.

Persamaan vektor ini dapat direpresentasikan dalam bentuk koordinat:

Mengubah sistem ini dan menyamakan nilai parameter t, kami memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang:

Definisi. Cosinus arah dari garis lurus adalah cosinus arah dari vektor, yang dapat dihitung dengan rumus:

Dari sini kita mendapatkan: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Bilangan m, n, p disebut kemiringan garis. Karena merupakan vektor bukan-nol, maka m, n dan p tidak dapat sama dengan nol pada saat yang bersamaan, tetapi satu atau dua dari angka-angka ini dapat sama dengan nol. Dalam hal ini, dalam persamaan garis lurus, pembilang yang sesuai harus disamakan dengan nol.

45 Persamaan garis lurus di ruang angkasa yang melalui dua titik berbeda yang diberikan.

Geometri analitik

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Biarkan M1(x1y1) dan M2(x2y2) diberikan pada bidang. Mari kita buat persamaan kanonik dari garis lurus yang melalui dua titik ini, sebagai vektor arah S kita ambil M1M2

troika.

Ini adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan (x1 y1) dan (x2, y2)

Sekarang mari kita beralih ke persamaan garis lurus dan bidang dalam ruang.

Geometri analitik dalam ruang 3 dimensi

Sama halnya dengan kasus dua dimensi, setiap persamaan derajat pertama terhadap tiga variabel x, y, z adalah persamaan bidang dalam ruang xyz. Persamaan kanonik bidang yang melalui titik M(x0,y0,z0) dan memiliki normal N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – yang manakah persamaan ini?

Nilai x-x0, y-y0 dan z-z0 adalah perbedaan antara koordinat titik saat ini dan titik tetap. Oleh karena itu, vektor a (x-x 0, y-y0, z-z0) adalah vektor yang terletak pada bidang yang dijelaskan, dan vektor N adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang, yang berarti mereka saling tegak lurus.

Maka produk skalar mereka harus sama dengan nol.

Dalam bentuk koordinat (N,a)=0 terlihat seperti ini:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

Dalam ruang, tiga kali lipat kanan dan kiri vektor dibedakan. Suatu rangkap tiga dari vektor-vektor non-sebidang a, b, c disebut benar jika, dari asal yang sama, lintasan dari ujung-ujung vektor a, b, c dalam urutan yang ditentukan tampaknya searah jarum jam. Jika tidak, a,b,c yang tersisa.

46 Sudut antar garis dalam ruang

Sudut antara garis lurus dalam ruang adalah salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sembarang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan. Karena, maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis setara dengan kondisi paralelisme dan tegak lurus vektor arahnya dan:

Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, mis. l1 sejajar dengan l2 jika dan hanya jika sejajar .

Dua garis tegak lurus jika dan hanya jika jumlah produk dari koefisien yang sesuai sama dengan nol: .

Tentukan persamaan garis yang melalui titik 1(1(1;2;3) yang sejajar dengan garis l1:

Karena garis l yang diinginkan sejajar dengan l1, maka sebagai vektor arah dari garis l yang diinginkan, kita dapat mengambil vektor arah garis l1.