Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk sumber daya yang paling berguna untuk

Seringkali kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "sederhanakan ekspresi." Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:

"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu.

Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) angka biasa (ya, persetan dengan huruf-huruf itu).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu berurusan dengan pecahan dan memfaktorkan polinomial.

Karena itu, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Ayo ayo!)

Operasi Penyederhanaan Ekspresi Dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa yang serupa

Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka.

Serupa adalah suku-suku (monomial) dengan bagian huruf yang sama.

Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Bawa yang serupa- berarti menambahkan beberapa istilah serupa satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda.

Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya?

Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .

Sekarang coba ekspresi ini:

Agar tidak bingung, biarkan huruf yang berbeda menunjukkan objek yang berbeda.

Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja.

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien.

Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya bagian terpenting dalam menyederhanakan ekspresi.

Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan diperlukan menguraikan pd pengali, yaitu mewakili sebagai produk.

Terutama ini penting dalam pecahan: karena untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebut harus dinyatakan sebagai produk.

Anda telah melalui metode terperinci untuk memfaktorkan ekspresi dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari.

Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh (Anda perlu memfaktorkan)

Contoh:

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dihapus.

Contoh:

Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kesalahan tipikal dalam singkatan. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: mengurangi.

Yang "paling pintar" akan melakukan ini:

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu suku dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lain: .

Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu membagi pembilang dan penyebut dengan, lalu dengan:

Anda dapat langsung membagi dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah cara mudah untuk menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama".

Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor).

Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya sendiri, beberapa contoh:

Contoh:

Solusi:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa adalah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya.

Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Di sini, pertama-tama, kami mengubah pecahan campuran menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

Jawaban:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;

Kemudian kami menulis semua faktor umum satu kali;

dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut umum.

Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.

Jadi, secara berurutan:

1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:

2) menentukan faktor-faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh

sejauh

sejauh

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Ketika Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang Anda perlukan untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer".

Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang menjadi tempat Anda menguraikan angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Keputusan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Bagus! Kemudian:

Contoh lain:

Keputusan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?

Tidak, itu sama! Hanya alih-alih operasi aritmatika yang perlu dilakukan operasi aljabar, yaitu operasi yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Keputusan:

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya.

Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi.

Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir.

Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:

Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:

1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualian adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika mereka sekarang memiliki penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Jawaban:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
• Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan, dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Perkalian dan pembagian pecahan:
  ;

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Lampiran

Solusi dari semua jenis persamaan online ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari oleh siswa dan anak sekolah Memecahkan persamaan online. Persamaan online. Ada aljabar, parametrik, transendental, fungsional, diferensial dan jenis persamaan lainnya.Beberapa kelas persamaan memiliki solusi analitik, yang nyaman karena tidak hanya memberikan nilai akar yang tepat, tetapi memungkinkan Anda untuk menulis solusi dalam bentuk bentuk formula yang mungkin menyertakan parameter. Ekspresi analitik memungkinkan tidak hanya untuk menghitung akar, tetapi untuk menganalisis keberadaan dan jumlahnya tergantung pada nilai parameter, yang seringkali bahkan lebih penting untuk penggunaan praktis daripada nilai spesifik akar. Solusi persamaan online Persamaan online. Solusi persamaan adalah tugas untuk menemukan nilai-nilai argumen yang mencapai kesetaraan ini. Kondisi tambahan (bilangan bulat, nyata, dll.) Dapat dikenakan pada nilai yang mungkin dari argumen. Solusi persamaan online Persamaan online. Anda dapat menyelesaikan persamaan secara online secara instan dan dengan akurasi tinggi dari hasilnya. Argumen dari fungsi yang diberikan (kadang-kadang disebut "variabel") dalam kasus persamaan disebut "tidak diketahui". Nilai-nilai yang tidak diketahui yang persamaan ini dicapai disebut solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. Akar dikatakan memenuhi persamaan yang diberikan. Memecahkan persamaan online berarti menemukan himpunan semua solusinya (akar) atau membuktikan bahwa tidak ada akar. Solusi persamaan online Persamaan online. Setara atau setara disebut persamaan, himpunan akar-akarnya bertepatan. Setara juga dianggap persamaan yang tidak memiliki akar. Persamaan persamaan memiliki sifat simetri: jika satu persamaan setara dengan yang lain, maka persamaan kedua setara dengan yang pertama. Persamaan persamaan memiliki sifat transitivitas: jika satu persamaan setara dengan yang lain, dan yang kedua setara dengan yang ketiga, maka persamaan pertama setara dengan yang ketiga. Properti kesetaraan persamaan memungkinkan untuk melakukan transformasi dengan mereka, yang menjadi dasar metode untuk menyelesaikannya. Solusi persamaan online Persamaan online. Situs ini akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan secara online. Persamaan yang solusi analitiknya diketahui meliputi persamaan aljabar, tidak lebih tinggi dari derajat keempat: persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan kubik, dan persamaan derajat keempat. Persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi umumnya tidak memiliki solusi analitik, meskipun beberapa di antaranya dapat direduksi menjadi persamaan dengan derajat yang lebih rendah. Persamaan yang mencakup fungsi transendental disebut transendental. Di antara mereka, solusi analitik dikenal untuk beberapa persamaan trigonometri, karena nol dari fungsi trigonometri diketahui dengan baik. Dalam kasus umum, ketika solusi analitik tidak dapat ditemukan, metode numerik digunakan. Metode numerik tidak memberikan solusi yang tepat, tetapi hanya memungkinkan mempersempit interval di mana akar terletak pada nilai tertentu yang telah ditentukan. Memecahkan persamaan online.. Persamaan online.. Alih-alih persamaan online, kami akan menyajikan bagaimana ekspresi yang sama membentuk ketergantungan linier dan tidak hanya sepanjang garis singgung lurus, tetapi juga pada titik belok dari grafik. Metode ini sangat diperlukan setiap saat dalam mempelajari pokok bahasan. Sering terjadi bahwa solusi persamaan mendekati nilai akhir melalui bilangan tak hingga dan penulisan vektor. Penting untuk memeriksa data awal dan ini adalah inti dari tugas. Jika tidak, kondisi lokal diubah menjadi formula. Pembalikan garis lurus dari fungsi tertentu, yang akan dihitung oleh kalkulator persamaan tanpa banyak penundaan dalam eksekusi, akan diimbangi oleh hak istimewa ruang. Ini akan menjadi tentang kinerja siswa dalam lingkungan ilmiah. Namun, seperti semua hal di atas, ini akan membantu kami dalam proses menemukan, dan ketika Anda menyelesaikan persamaan sepenuhnya, maka simpan jawaban yang dihasilkan di ujung segmen garis lurus. Garis-garis dalam ruang berpotongan di suatu titik, dan titik ini disebut berpotongan dengan garis. Interval pada garis ditandai seperti yang diberikan sebelumnya. Postingan tertinggi tentang studi matematika akan dipublikasikan. Menetapkan nilai argumen dari permukaan yang ditentukan secara parametrik dan menyelesaikan persamaan secara online akan dapat menunjukkan prinsip-prinsip panggilan produktif ke suatu fungsi. Strip Möbius, atau disebut tak terhingga, terlihat seperti angka delapan. Ini adalah permukaan satu sisi, bukan dua sisi. Menurut prinsip yang diketahui semua orang, kita akan secara objektif menerima persamaan linier sebagai sebutan dasar sebagaimana adanya di bidang studi. Hanya dua nilai dari argumen yang diberikan secara berurutan yang dapat mengungkapkan arah vektor. Mengasumsikan bahwa solusi yang berbeda dari persamaan online lebih dari sekedar menyelesaikannya berarti memperoleh versi lengkap dari invarian pada output. Tanpa pendekatan terpadu, sulit bagi siswa untuk mempelajari materi ini. Seperti sebelumnya, untuk setiap kasus khusus, kalkulator persamaan online kami yang nyaman dan cerdas akan membantu semua orang di saat yang sulit, karena Anda hanya perlu menentukan parameter input dan sistem akan menghitung jawabannya sendiri. Sebelum kita mulai memasukkan data, kita memerlukan alat input, yang dapat dilakukan tanpa banyak kesulitan. Jumlah setiap skor respons akan menjadi persamaan kuadrat yang mengarah pada kesimpulan kami, tetapi ini tidak mudah dilakukan, karena mudah untuk membuktikan sebaliknya. Teori, karena kekhasannya, tidak didukung oleh pengetahuan praktis. Untuk melihat kalkulator pecahan pada tahap penerbitan jawaban bukanlah tugas yang mudah dalam matematika, karena alternatif penulisan angka pada himpunan meningkatkan pertumbuhan fungsi. Namun, tidak benar untuk tidak mengatakan tentang pelatihan siswa, jadi kami akan mengungkapkan masing-masing sebanyak yang perlu dilakukan. Persamaan kubik yang ditemukan sebelumnya akan menjadi milik domain definisi, dan berisi ruang nilai numerik, serta variabel simbolis. Setelah mempelajari atau menghafal teorema, siswa kami akan menunjukkan diri mereka hanya dari sisi terbaik, dan kami akan senang untuk mereka. Berbeda dengan himpunan persimpangan bidang, persamaan online kami dijelaskan oleh bidang gerak sepanjang perkalian dua dan tiga garis gabungan numerik. Himpunan dalam matematika tidak didefinisikan secara unik. Solusi terbaik, menurut siswa, adalah ekspresi tertulis yang diselesaikan sampai akhir. Seperti yang dikatakan dalam bahasa ilmiah, abstraksi ekspresi simbolik tidak termasuk dalam keadaan, tetapi solusi persamaan memberikan hasil yang tidak ambigu dalam semua kasus yang diketahui. Durasi sesi guru didasarkan pada kebutuhan dalam penawaran ini. Analisis menunjukkan perlunya semua teknik komputasi di banyak bidang, dan sangat jelas bahwa kalkulator persamaan adalah alat yang sangat diperlukan di tangan siswa yang berbakat. Pendekatan setia untuk studi matematika menentukan pentingnya pandangan dari arah yang berbeda. Anda ingin menetapkan salah satu teorema kunci dan menyelesaikan persamaan sedemikian rupa, tergantung pada jawabannya yang akan membutuhkan penerapan lebih lanjut. Analisis di area ini mendapatkan momentum. Mari kita mulai dari awal dan mendapatkan rumusnya. Setelah menembus tingkat kenaikan fungsi, garis singgung pada titik belok tentu akan mengarah pada fakta bahwa penyelesaian persamaan online akan menjadi salah satu aspek utama dalam membangun grafik yang sama dari argumen fungsi. Pendekatan amatir berhak diterapkan jika kondisi ini tidak bertentangan dengan kesimpulan siswa. Ini adalah subtugas yang menempatkan analisis kondisi matematika sebagai persamaan linier dalam domain yang ada dari definisi objek yang dibawa ke latar belakang. Offsetting ke arah ortogonalitas membatalkan keuntungan dari nilai mutlak tunggal. Modulo, menyelesaikan persamaan secara online memberikan jumlah solusi yang sama, jika Anda membuka tanda kurung terlebih dahulu dengan tanda plus, lalu dengan tanda minus. Dalam hal ini, ada dua kali lebih banyak solusi, dan hasilnya akan lebih akurat. Kalkulator persamaan online yang stabil dan benar adalah keberhasilan dalam mencapai tujuan yang diinginkan dalam tugas yang ditetapkan oleh guru. Tampaknya mungkin untuk memilih metode yang diperlukan karena perbedaan yang signifikan dalam pandangan para ilmuwan besar. Persamaan kuadrat yang dihasilkan menggambarkan kurva garis, yang disebut parabola, dan tandanya akan menentukan kecembungannya dalam sistem koordinat kuadrat. Dari persamaan kita memperoleh diskriminan dan akar-akarnya sendiri menurut teorema Vieta. Hal ini diperlukan untuk menyajikan ekspresi sebagai pecahan wajar atau tidak wajar dan menggunakan kalkulator pecahan pada tahap pertama. Bergantung pada ini, rencana untuk perhitungan kami selanjutnya akan dibentuk. Matematika dengan pendekatan teoritis berguna pada setiap tahap. Kami pasti akan menyajikan hasilnya sebagai persamaan kubik, karena kami akan menyembunyikan akarnya dalam ekspresi ini untuk menyederhanakan tugas mahasiswa di universitas. Metode apa pun baik jika cocok untuk analisis dangkal. Operasi aritmatika ekstra tidak akan menyebabkan kesalahan perhitungan. Tentukan jawabannya dengan ketelitian tertentu. Menggunakan solusi persamaan, mari kita hadapi itu - menemukan variabel independen dari fungsi yang diberikan tidak begitu mudah, terutama ketika mempelajari garis paralel di tak terhingga. Mengingat pengecualian, kebutuhannya sangat jelas. Perbedaan polaritas tidak ambigu. Dari pengalaman mengajar di institut, guru kami mempelajari pelajaran utama, di mana persamaan dipelajari secara online dalam arti matematika penuh. Ini tentang upaya yang lebih tinggi dan keterampilan khusus dalam penerapan teori. Untuk mendukung kesimpulan kami, orang tidak boleh melihat melalui prisma. Sampai baru-baru ini, diyakini bahwa himpunan tertutup tumbuh dengan cepat di atas area seperti itu, dan solusi persamaan hanya perlu diselidiki. Pada tahap pertama, kami tidak mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan, tetapi pendekatan ini lebih dibenarkan daripada sebelumnya. Tindakan ekstra dengan tanda kurung membenarkan beberapa kemajuan di sepanjang sumbu ordinat dan absis, yang tidak dapat diabaikan dengan mata telanjang. Ada titik belok dalam arti peningkatan proporsional yang luas dari suatu fungsi. Sekali lagi, kami akan membuktikan bagaimana kondisi yang diperlukan akan diterapkan pada seluruh interval penurunan satu atau lain posisi turun vektor. Di ruang terbatas, kami akan memilih variabel dari blok awal skrip kami. Sistem yang dibangun sebagai dasar pada tiga vektor bertanggung jawab atas tidak adanya momen gaya utama. Namun, kalkulator persamaan menyimpulkan dan membantu dalam menemukan semua istilah persamaan yang dibangun, baik di atas permukaan maupun di sepanjang garis paralel. Mari kita gambarkan sebuah lingkaran di sekitar titik awal. Dengan demikian, kita akan mulai bergerak ke atas di sepanjang garis bagian, dan garis singgung akan menggambarkan lingkaran di sepanjang panjangnya, sebagai hasilnya kita akan mendapatkan kurva, yang disebut involute. Omong-omong, mari kita bicara tentang kurva ini sedikit sejarah. Faktanya adalah bahwa secara historis dalam matematika tidak ada konsep matematika itu sendiri dalam arti yang murni seperti sekarang ini. Sebelumnya, semua ilmuwan terlibat dalam satu hal yang sama, yaitu sains. Kemudian, beberapa abad kemudian, ketika dunia ilmiah dipenuhi dengan sejumlah besar informasi, umat manusia tetap memilih banyak disiplin ilmu. Mereka masih tetap tidak berubah. Namun, setiap tahun, para ilmuwan di seluruh dunia mencoba membuktikan bahwa sains tidak terbatas, dan Anda tidak dapat memecahkan persamaan kecuali Anda memiliki pengetahuan tentang ilmu alam. Mungkin tidak mungkin untuk akhirnya mengakhirinya. Memikirkannya sama tidak bergunanya dengan menghangatkan udara di luar. Mari kita cari interval di mana argumen, dengan nilai positifnya, menentukan modulus nilai dalam arah yang meningkat tajam. Reaksi akan membantu untuk menemukan setidaknya tiga solusi, tetapi perlu untuk memeriksanya. Mari kita mulai dengan fakta bahwa kita perlu menyelesaikan persamaan secara online menggunakan layanan unik dari situs web kita. Mari masukkan kedua bagian persamaan yang diberikan, tekan tombol "SOLVE" dan dapatkan jawaban yang tepat hanya dalam beberapa detik. Dalam kasus khusus, kami akan mengambil buku tentang matematika dan memeriksa ulang jawaban kami, yaitu, kami hanya akan melihat jawabannya dan semuanya akan menjadi jelas. Proyek yang sama akan terbang pada paralelepiped redundan buatan. Ada jajaran genjang dengan sisi sejajarnya, dan itu menjelaskan banyak prinsip dan pendekatan untuk mempelajari hubungan spasial dari proses menaik akumulasi ruang hampa dalam formula bentuk alami. Persamaan linier ambigu menunjukkan ketergantungan variabel yang diinginkan pada solusi umum kita saat ini, dan itu perlu entah bagaimana menurunkan dan mengurangi pecahan yang tidak tepat menjadi kasus non-sepele. Kami menandai sepuluh titik pada garis lurus dan menggambar kurva melalui setiap titik dalam arah tertentu, dan dengan cembung ke atas. Tanpa banyak kesulitan, kalkulator persamaan kami akan menyajikan ekspresi dalam bentuk sedemikian rupa sehingga pemeriksaan validitas aturan akan terlihat jelas bahkan pada awal perekaman. Sistem representasi khusus stabilitas untuk matematikawan di tempat pertama, kecuali ditentukan lain oleh rumus. Kami akan menjawab ini dengan presentasi terperinci dari laporan tentang keadaan isomorfik dari sistem benda plastis dan solusi persamaan online akan menjelaskan pergerakan setiap titik material dalam sistem ini. Pada tingkat studi mendalam, perlu untuk mengklarifikasi secara rinci pertanyaan tentang inversi setidaknya pada lapisan ruang bawah. Dalam urutan menaik pada bagian diskontinuitas fungsi, kami akan menerapkan metode umum seorang peneliti yang sangat baik, omong-omong, rekan senegara kami, dan kami akan memberi tahu di bawah tentang perilaku pesawat. Karena karakteristik kuat dari fungsi yang diberikan secara analitis, kami hanya menggunakan kalkulator persamaan online untuk tujuan yang dimaksudkan dalam batas otoritas yang diturunkan. Berdebat lebih jauh, kami menghentikan ulasan kami tentang homogenitas persamaan itu sendiri, yaitu, sisi kanannya disamakan dengan nol. Sekali lagi, kami akan memverifikasi kebenaran keputusan kami dalam matematika. Untuk menghindari mendapatkan solusi yang sepele, kami akan membuat beberapa penyesuaian pada kondisi awal untuk masalah stabilitas kondisional sistem. Mari kita buat persamaan kuadrat, di mana kita menulis dua entri menggunakan rumus terkenal dan menemukan akar negatif. Jika satu akar melebihi akar kedua dan ketiga sebanyak lima unit, maka dengan membuat perubahan pada argumen utama, dengan demikian kami mendistorsi kondisi awal submasalah. Pada intinya, sesuatu yang tidak biasa dalam matematika selalu dapat dideskripsikan ke seperseratus terdekat dari bilangan positif. Kalkulator pecahan beberapa kali lebih unggul dari rekan-rekannya pada sumber daya serupa pada saat terbaik dari beban server. Pada permukaan vektor kecepatan yang tumbuh di sepanjang sumbu y, kami menggambar tujuh garis yang ditekuk dalam arah yang berlawanan satu sama lain. Kesamaan argumen fungsi yang ditetapkan memimpin penghitung saldo pemulihan. Dalam matematika, fenomena ini dapat direpresentasikan melalui persamaan kubik dengan koefisien imajiner, serta dalam kemajuan bipolar dari garis menurun. Titik kritis dari perbedaan suhu dalam banyak arti dan kemajuannya menggambarkan proses pemfaktoran fungsi pecahan yang kompleks. Jika Anda disuruh menyelesaikan persamaan, jangan terburu-buru melakukannya saat ini juga, pasti pertama-tama evaluasi seluruh rencana tindakan, dan baru kemudian ambil pendekatan yang tepat. Pasti akan ada manfaatnya. Kemudahan dalam bekerja sudah jelas, dan dalam matematika juga sama. Selesaikan persamaan secara online. Semua persamaan online adalah jenis catatan angka atau parameter tertentu dan variabel yang perlu didefinisikan. Hitung variabel ini, yaitu, temukan nilai atau interval spesifik dari serangkaian nilai yang akan dipenuhi identitasnya. Kondisi awal dan akhir secara langsung tergantung. Solusi umum persamaan, sebagai suatu peraturan, mencakup beberapa variabel dan konstanta, dengan menetapkan yang mana, kita akan memperoleh seluruh keluarga solusi untuk pernyataan masalah yang diberikan. Secara umum, ini membenarkan upaya yang diinvestasikan ke arah peningkatan fungsionalitas kubus spasial dengan sisi yang sama dengan 100 sentimeter. Anda dapat menerapkan teorema atau lemma pada setiap tahap menyusun jawaban. Situs secara bertahap mengeluarkan kalkulator persamaan, jika perlu, tunjukkan nilai terkecil pada interval penjumlahan produk apa pun. Dalam setengah kasus, bola seperti bola berongga tidak memenuhi persyaratan untuk menetapkan jawaban menengah ke tingkat yang lebih besar. Setidaknya pada sumbu y ke arah penurunan representasi vektor, proporsi ini niscaya akan lebih optimal dari ekspresi sebelumnya. Pada saat analisis titik penuh dilakukan pada fungsi linier, kita akan, pada kenyataannya, mengumpulkan semua bilangan kompleks dan ruang bidang bipolar kita. Dengan mengganti variabel ke dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda akan menyelesaikan persamaan secara bertahap dan memberikan jawaban paling detail dengan akurasi tinggi. Sekali lagi, memeriksa tindakan Anda dalam matematika akan menjadi bentuk yang baik di pihak siswa. Proporsi dalam rasio pecahan memperbaiki integritas hasil di semua bidang aktivitas penting dari vektor nol. Trivialitas dikonfirmasi pada akhir tindakan yang dilakukan. Dengan kumpulan tugas yang sederhana, siswa tidak akan mengalami kesulitan jika mereka menyelesaikan persamaan secara online dalam periode waktu sesingkat mungkin, tetapi jangan lupakan semua jenis aturan. Himpunan himpunan bagian berpotongan di area notasi konvergen. Dalam kasus yang berbeda, produk tidak salah memfaktorkan. Anda akan dibantu untuk menyelesaikan persamaan secara online di bagian pertama kami tentang dasar-dasar teknik matematika untuk bagian penting bagi siswa di universitas dan perguruan tinggi. Menjawab contoh tidak akan membuat kita menunggu selama beberapa hari, karena proses interaksi terbaik dari analisis vektor dengan pencarian solusi berurutan telah dipatenkan pada awal abad terakhir. Ternyata upaya untuk terhubung dengan tim di sekitarnya tidak sia-sia, ada hal lain yang jelas terlambat. Beberapa generasi kemudian, para ilmuwan di seluruh dunia digiring untuk meyakini bahwa matematika adalah ratunya ilmu pengetahuan. Apakah itu jawaban kiri atau jawaban yang benar, istilah lengkapnya harus ditulis dalam tiga baris, karena dalam kasus kami, kami hanya akan berbicara dengan jelas hanya tentang analisis vektor dari sifat-sifat matriks. Persamaan nonlinier dan linier, bersama dengan persamaan biquadratic, telah mengambil tempat khusus dalam buku kami tentang metode terbaik untuk menghitung lintasan gerak dalam ruang semua titik material dari sistem tertutup. Analisis linier dari produk skalar dari tiga vektor berturut-turut akan membantu kita mewujudkan ide tersebut. Di akhir setiap pengaturan, tugas menjadi lebih mudah dengan memperkenalkan pengecualian numerik yang dioptimalkan ke dalam konteks hamparan ruang numerik yang sedang dilakukan. Penilaian lain tidak akan menentang jawaban yang ditemukan dalam bentuk sembarang segitiga dalam lingkaran. Sudut antara dua vektor berisi persentase margin yang diperlukan, dan penyelesaian persamaan secara online sering kali mengungkapkan beberapa akar persamaan yang berlawanan dengan kondisi awal. Pengecualian memainkan peran katalis dalam seluruh proses yang tak terelakkan untuk menemukan solusi positif di bidang definisi fungsi. Jika tidak dikatakan bahwa Anda tidak dapat menggunakan komputer, maka kalkulator persamaan online tepat untuk tugas-tugas sulit Anda. Cukup dengan memasukkan data bersyarat Anda dalam format yang benar dan server kami akan mengeluarkan respons lengkap yang dihasilkan dalam waktu sesingkat mungkin. Fungsi eksponensial tumbuh jauh lebih cepat daripada fungsi linier. Ini dibuktikan dengan Talmud literatur perpustakaan yang cerdas. Akan melakukan perhitungan dalam pengertian umum, seperti yang akan dilakukan oleh persamaan kuadrat dengan tiga koefisien kompleks. Parabola di bagian atas setengah bidang mencirikan gerakan paralel bujursangkar di sepanjang sumbu titik. Di sini perlu disebutkan perbedaan potensial dalam ruang kerja tubuh. Sebagai imbalan untuk hasil yang kurang optimal, kalkulator pecahan kami berhak menempati posisi pertama dalam peringkat matematis dari tinjauan program fungsional di bagian belakang. Kemudahan penggunaan layanan ini akan dihargai oleh jutaan pengguna Internet. Jika Anda tidak tahu cara menggunakannya, kami akan dengan senang hati membantu Anda. Kami juga ingin menyoroti dan menyoroti persamaan kubik dari sejumlah tugas anak sekolah dasar, ketika Anda perlu dengan cepat menemukan akarnya dan memplot grafik fungsi pada bidang. Tingkat reproduksi tertinggi adalah salah satu masalah matematika paling sulit di institut, dan jumlah jam yang cukup dialokasikan untuk studinya. Seperti semua persamaan linier, persamaan kita tidak terkecuali untuk banyak aturan objektif, lihat dari sudut pandang yang berbeda, dan itu akan menjadi sederhana dan cukup untuk menetapkan kondisi awal. Interval kenaikan bertepatan dengan interval konveksitas fungsi. Solusi persamaan online. Studi teori didasarkan pada persamaan online dari berbagai bagian pada studi disiplin utama. Dalam kasus pendekatan seperti itu dalam masalah yang tidak pasti, sangat mudah untuk menyajikan solusi persamaan dalam bentuk yang telah ditentukan dan tidak hanya menarik kesimpulan, tetapi juga memprediksi hasil dari solusi positif tersebut. Layanan ini akan membantu kita mempelajari bidang studi dalam tradisi matematika terbaik, seperti yang biasa dilakukan di Timur. Pada saat-saat terbaik dari interval waktu, tugas serupa dikalikan dengan pengganda umum sepuluh kali. Dengan banyaknya perkalian beberapa variabel dalam kalkulator persamaan, itu mulai mengalikan dengan kualitas, dan bukan dengan variabel kuantitatif, nilai-nilai seperti massa atau berat badan. Untuk menghindari kasus ketidakseimbangan sistem material, sangat jelas bagi kita penurunan konverter tiga dimensi pada konvergensi sepele matriks matematika non-degenerasi. Selesaikan tugas dan selesaikan persamaan dalam koordinat yang diberikan, karena output tidak diketahui sebelumnya, serta semua variabel yang termasuk dalam waktu pasca-ruang tidak diketahui. Untuk waktu yang singkat, dorong faktor persekutuan keluar dari tanda kurung dan bagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari kedua bagian sebelumnya. Dari bawah subset angka tertutup yang dihasilkan, ekstrak secara mendetail tiga puluh tiga poin berturut-turut dalam waktu singkat. Sejauh mungkin bagi setiap siswa untuk memecahkan persamaan online dengan cara terbaik, melihat ke depan, katakanlah satu hal penting, tetapi kuncinya, tanpanya kita tidak akan mudah hidup di masa depan. Pada abad terakhir, ilmuwan besar itu memperhatikan sejumlah keteraturan dalam teori matematika. Dalam praktiknya, ternyata tidak sesuai dengan kesan yang diharapkan dari peristiwa tersebut. Namun, pada prinsipnya, solusi persamaan online ini membantu meningkatkan pemahaman dan persepsi tentang pendekatan holistik untuk studi dan konsolidasi praktis dari materi teoretis yang dicakup oleh siswa. Jauh lebih mudah untuk melakukan ini selama waktu belajar Anda.

=

Dengan bantuan bahasa apa pun, Anda dapat mengungkapkan informasi yang sama dalam kata dan frasa yang berbeda. Bahasa matematika tidak terkecuali. Tetapi ekspresi yang sama dapat ditulis secara setara dengan cara yang berbeda. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri lebih sederhana. Kita akan berbicara tentang penyederhanaan ekspresi dalam pelajaran ini.

Orang-orang berkomunikasi dalam bahasa yang berbeda. Bagi kami, perbandingan penting adalah pasangan "bahasa Rusia - bahasa matematika". Informasi yang sama dapat dilaporkan dalam bahasa yang berbeda. Tapi, selain itu, bisa diucapkan secara berbeda dalam satu bahasa.

Misalnya: "Peter berteman dengan Vasya", "Vasya berteman dengan Petya", "Peter dan Vasya berteman". Dikatakan berbeda, tetapi satu dan sama. Dengan salah satu dari frasa ini, kita akan memahami apa yang dipertaruhkan.

Mari kita lihat frasa ini: "Bocah Petya dan bocah Vasya adalah teman." Kami memahami apa yang dipertaruhkan. Namun, kami tidak suka bagaimana frasa ini terdengar. Tidak bisakah kita menyederhanakannya, mengatakan hal yang sama, tetapi lebih sederhana? "Laki-laki dan laki-laki" - Anda dapat mengatakan sekali: "Laki-laki Petya dan Vasya adalah teman."

"Laki-laki" ... Bukankah jelas dari nama mereka bahwa mereka bukan perempuan. Kami menghapus "anak laki-laki": "Petya dan Vasya adalah teman." Dan kata "teman" dapat diganti dengan "teman": "Petya dan Vasya adalah teman." Akibatnya, frasa pertama, panjang, jelek diganti dengan pernyataan setara yang lebih mudah diucapkan dan lebih mudah dipahami. Kami telah menyederhanakan frasa ini. Menyederhanakan berarti mengatakan lebih mudah, tetapi tidak kehilangan, tidak mengubah makna.

Hal yang sama terjadi dalam bahasa matematika. Hal yang sama bisa dikatakan berbeda. Apa artinya menyederhanakan ekspresi? Ini berarti bahwa untuk ekspresi asli ada banyak ekspresi yang setara, yaitu, yang memiliki arti yang sama. Dan dari sekian banyak ini, kita harus memilih yang paling sederhana, menurut pendapat kita, atau yang paling cocok untuk tujuan kita selanjutnya.

Misalnya, pertimbangkan ekspresi numerik. Ini akan setara dengan .

Ini juga akan setara dengan dua yang pertama: .

Ternyata kami telah menyederhanakan ekspresi kami dan menemukan ekspresi setara terpendek.

Untuk ekspresi numerik, Anda selalu perlu melakukan semua pekerjaan dan mendapatkan ekspresi yang setara sebagai satu angka.

Pertimbangkan contoh ekspresi literal . Jelas, itu akan lebih sederhana.

Saat menyederhanakan ekspresi literal, Anda harus melakukan semua tindakan yang mungkin.

Apakah selalu perlu untuk menyederhanakan ekspresi? Tidak, terkadang notasi yang setara tetapi lebih panjang akan lebih nyaman bagi kita.

Contoh: Kurangi angka dari angka.

Dimungkinkan untuk menghitung, tetapi jika angka pertama diwakili oleh notasi yang setara: , maka perhitungannya akan seketika: .

Artinya, ekspresi yang disederhanakan tidak selalu bermanfaat bagi kita untuk perhitungan lebih lanjut.

Namun demikian, sangat sering kita dihadapkan pada tugas yang hanya terdengar seperti "menyederhanakan ekspresi".

Sederhanakan ekspresi: .

Keputusan

1) Lakukan tindakan di kurung pertama dan kedua: .

2) Hitung produk: .

Jelas, ekspresi terakhir memiliki bentuk yang lebih sederhana daripada yang awal. Kami telah menyederhanakannya.

Untuk menyederhanakan ekspresi, itu harus diganti dengan yang setara (sama).

Untuk menentukan ekspresi yang setara, Anda harus:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk menyederhanakan perhitungan.

Sifat penjumlahan dan pengurangan:

1. Sifat komutatif penjumlahan: jumlah tidak berubah dari penataan ulang suku-sukunya.

2. Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama.

3. Sifat mengurangkan suatu bilangan dari suatu bilangan: untuk mengurangkan suatu bilangan, Anda dapat mengurangkan setiap suku satu per satu.

Sifat-sifat perkalian dan pembagian

1. Sifat komutatif perkalian: hasil kali tidak berubah dari permutasi faktor.

2. Sifat asosiatif: untuk mengalikan suatu bilangan dengan perkalian dua bilangan, pertama-tama Anda dapat mengalikannya dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

3. Sifat distributif perkalian: untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda perlu mengalikannya dengan setiap suku secara terpisah.

Mari kita lihat bagaimana kita sebenarnya melakukan perhitungan mental.

Menghitung:

Keputusan

1) Bayangkan bagaimana

2) Mari kita nyatakan pengali pertama sebagai jumlah suku bit dan lakukan perkalian:

3) Anda dapat membayangkan bagaimana dan melakukan perkalian:

4) Ganti faktor pertama dengan jumlah yang setara:

Hukum distributif juga dapat digunakan dalam arah yang berlawanan: .

Ikuti langkah ini:

1) 2)

Keputusan

1) Untuk kenyamanan, Anda dapat menggunakan hukum distribusi, gunakan saja dalam arah yang berlawanan - keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

2) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Penting untuk membeli linoleum di dapur dan lorong. Area dapur - lorong -. Ada tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapa harga masing-masing dari ketiga jenis linoleum tersebut? (Gbr. 1)

Beras. 1. Ilustrasi untuk kondisi masalah

Keputusan

Metode 1. Anda dapat secara terpisah menemukan berapa banyak uang yang diperlukan untuk membeli linoleum di dapur, dan kemudian menambahkannya ke lorong dan menambahkan karya yang dihasilkan.

Eksponen digunakan untuk memudahkan penulisan operasi perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda dapat menulis 4 5 (\displaystyle 4^(5))(penjelasan tentang transisi semacam itu diberikan di bagian pertama artikel ini). Powers memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan mudah ditambahkan dan dikurangkan, menghasilkan penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui ada dalam eksponen), baca.

Langkah

Memecahkan masalah sederhana dengan kekuatan

Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan eksponen secara manual, tulis ulang eksponen sebagai operasi perkalian, di mana basis eksponen dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, diberikan gelar 3 4 (\gaya tampilan 3^(4)). Dalam hal ini, basis derajat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri 4 kali: 3 3 3 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lainnya:

Pertama, kalikan dua angka pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua empat kali lipat pertama, lalu ganti dengan hasilnya. Seperti ini:

• 4 5 = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikutnya. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 4 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruslah mengalikan hasil perkalian dua angka pertama dengan angka berikutnya sampai Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam urutan. Metode ini berlaku untuk tingkat apa pun. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Periksa jawaban Anda dengan kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\gaya tampilan 3^(4))
   • 10 7 (\gaya tampilan 10^(7))

3. Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\gaya tampilan x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Praktis tidak mungkin menghitung derajat secara manual dengan eksponen besar (misalnya, derajat 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah mengatasi tugas ini. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -\u003e "Normal".

   • Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex). Dengan menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dipelajari).

   Penambahan, pengurangan, perkalian kekuatan

   1. Anda dapat menambah dan mengurangi kekuatan hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menambahkan kekuatan dengan basis dan eksponen yang sama, maka Anda dapat mengganti operasi penambahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ingatlah bahwa gelar 4 5 (\displaystyle 4^(5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dimana 1 +1 =2). Artinya, hitung jumlah derajat yang sama, lalu kalikan derajat tersebut dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingat bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lainnya:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam hal ini, Anda hanya perlu menambahkan indikator, tanpa mengubah basisnya. Dengan demikian, x 2 x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:

      Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponen dikalikan. Misalnya diberikan gelar. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Arti dari aturan ini adalah Anda melipatgandakan kekuatan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. Seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Karena basisnya sama, eksponennya cukup dijumlahkan: (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponen dengan eksponen negatif harus dikonversi ke pecahan (ke pangkat terbalik). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis pangkat ini ke dalam penyebut pecahan (masukkan 1 ke pembilangnya), dan buat eksponennya menjadi positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Berikut adalah contoh lainnya:

      Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi (basis tidak berubah). Operasi pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basisnya). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ingat bahwa pecahan adalah angka (pangkat, ekspresi) dengan eksponen negatif.

   4. Berikut adalah beberapa ekspresi untuk membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan masalah daya. Ungkapan di atas mencakup materi yang disajikan dalam bagian ini. Untuk melihat jawabannya, cukup sorot ruang kosong setelah tanda sama dengan.

      Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan

      1. Gelar dengan eksponen pecahan (misalnya, ) diubah menjadi operasi ekstraksi akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak masalah bilangan apa yang ada dalam penyebut pangkat pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) adalah akar keempat dari "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen tersebut dapat didekomposisi menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingat saja aturan untuk mengalikan kekuatan. Misalnya diberikan gelar. Ubah eksponen tersebut menjadi akar yang eksponennya sama dengan penyebut dari eksponen pecahan, lalu naikkan akar tersebut ke eksponen yang sama dengan pembilang dari eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingatlah itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung eksponen (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
      4. Ingat bahwa setiap nomor sama dengan dirinya sendiri dengan kekuatan pertama, misalnya, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, angka apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) dan 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Ketahuilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat seperti itu tidak memiliki solusi). Ketika Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan mendapatkan kesalahan. Tapi ingat bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan 1, misalnya, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Dalam matematika tingkat tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e adalah konstanta yang kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti kesetaraan ini dapat ditemukan di semua buku teks tentang matematika tingkat tinggi.

      Peringatan

      • Sebagai eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Oleh karena itu, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, sebenarnya bisa jadi itu benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot fungsi eksponensial apa pun, seperti 2 x .

Matematika-Kalkulator-Online v.1.0

Kalkulator melakukan operasi berikut: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, bekerja dengan desimal, mengekstrak akar, menaikkan pangkat, menghitung persentase, dan operasi lainnya.

Keputusan:

Cara menggunakan kalkulator matematika

Kunci	Penamaan	Penjelasan
5	angka 0-9	angka arab. Masukkan bilangan bulat alami, nol. Untuk mendapatkan bilangan bulat negatif, tekan tombol +/-
.	titik koma)	Pemisah desimal. Jika tidak ada angka sebelum titik (koma), kalkulator akan secara otomatis mengganti angka nol sebelum titik. Misalnya: .5 - 0.5 akan ditulis
+	tanda tambah	Penjumlahan bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
-	tanda kurang	Pengurangan bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
÷	tanda pembagian	Pembagian bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
X	tanda perkalian	Perkalian bilangan (bilangan bulat, desimal)
√	akar	Mengekstrak akar dari sebuah angka. Ketika Anda menekan tombol "root" lagi, root dihitung dari hasilnya. Misalnya: akar kuadrat dari 16 = 4; akar kuadrat dari 4 = 2
x2	mengkuadratkan	Mengkuadratkan angka. Ketika Anda menekan tombol "mengkuadratkan" lagi, hasilnya adalah kuadrat, misalnya: kotak 2 = 4; persegi 4 = 16
1/x	pecahan	Keluaran ke desimal. Di pembilang 1, di penyebut nomor input
%	persen	Dapatkan persentase angka. Untuk bekerja, Anda harus memasukkan: angka dari mana persentase akan dihitung, tanda (plus, minus, bagi, kalikan), berapa persen dalam bentuk numerik, tombol "%"
(	kurung terbuka	Tanda kurung terbuka untuk menetapkan prioritas evaluasi. Tanda kurung tertutup wajib diisi. Contoh: (2+3)*2=10
)	kurung tertutup	Tanda kurung tertutup untuk menetapkan prioritas evaluasi. Braket terbuka wajib
±	tambah kurang	Mengubah tanda menjadi sebaliknya
=	sama dengan	Menampilkan hasil penyelesaian. Juga, perhitungan menengah dan hasilnya ditampilkan di atas kalkulator di bidang "Solusi".
←	menghapus karakter	Menghapus karakter terakhir
Dengan	mengatur ulang	Tombol Atur ulang. Sepenuhnya mengatur ulang kalkulator ke "0"

Algoritma kalkulator online dengan contoh

Tambahan.

Penjumlahan bilangan asli ( 5 + 7 = 12 )

Penjumlahan bilangan asli dan negatif ( 5 + (-2) = 3 )

Menjumlahkan bilangan pecahan desimal ( 0.3 + 5.2 = 5.5 )

Pengurangan.

Pengurangan bilangan asli ( 7 - 5 = 2 )

Pengurangan seluruh bilangan asli dan negatif ( 5 - (-2) = 7 )

Pengurangan bilangan pecahan desimal ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

Perkalian.

Hasil kali bilangan asli ( 3 * 7 = 21 )

Hasil kali bilangan asli dan negatif ( 5 * (-3) = -15 )

Produk bilangan pecahan desimal ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

Divisi.

Pembagian bilangan asli seluruh ( 27 / 3 = 9 )

Pembagian seluruh bilangan asli dan negatif ( 15 / (-3) = -5 )

Pembagian bilangan pecahan desimal ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Mengekstrak akar dari sebuah angka.

Mengekstrak akar bilangan bulat ( root(9) = 3 )

Mengekstrak akar desimal ( root(2.5) = 1,58)

Mengekstrak akar dari jumlah angka ( root(56 + 25) = 9 )

Mengekstrak akar selisih bilangan ( root (32 - 7) = 5 )

Mengkuadratkan angka.

Mengkuadratkan bilangan bulat ( (3) 2 = 9 )

Mengkuadratkan desimal ( (2.2) 2 = 4.84 )

Ubah ke pecahan desimal.

Menghitung persentase angka

Naikkan 230 sebanyak 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264.5 )

Kurangi angka 510 sebanyak 35% ( 510 - 510 * 0.35 = 331.5 )

18% dari angka 140 adalah ( 140 * 0.18 = 25.2)