Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap.
Tapi pertama-tama, mari kita ulangi persamaan yang disebut kuadrat. Persamaan berbentuk ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana x adalah variabel, dan koefisien a, b dan c adalah beberapa angka, dan a 0, disebut kotak. Seperti yang kita lihat, koefisien di x 2 tidak sama dengan nol, dan oleh karena itu koefisien di x atau suku bebas bisa sama dengan nol, dalam hal ini kita mendapatkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.
Ada tiga macam persamaan kuadrat tak lengkap::
1) Jika b \u003d 0, c 0, maka ax 2 + c \u003d 0;
2) Jika b 0, c \u003d 0, maka ax 2 + bx \u003d 0;
3) Jika b \u003d 0, c \u003d 0, maka ax 2 \u003d 0.
- Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan, kami mentransfer istilah bebas dari ke sisi kanan persamaan, kami mendapatkan
sumbu 2 = s. Karena a 0, maka kita membagi kedua bagian persamaan dengan a, lalu x 2 \u003d -c / a.
Jika /а > 0, maka persamaan memiliki dua akar
x = ±√(–c/a) .
Jika c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Mari kita coba memahami dengan contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.
Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 - 32 = 0.
Jawaban: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.
Jawaban: Persamaan tidak memiliki solusi.
- Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx \u003d 0, kami menguraikannya menjadi faktor-faktor, yaitu, kami mengambil x dari tanda kurung, kami mendapatkan x (ax + b) \u003d 0. Produknya nol jika setidaknya salah satu dari faktor adalah nol. Maka = 0 atau ах + b = 0. Memecahkan persamaan ах + b = 0, kita memperoleh ах = – b, dari mana = – b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx \u003d 0 selalu memiliki dua akar x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d - b / a. Lihat bagaimana solusi persamaan jenis ini terlihat pada diagram. 
Mari kita konsolidasikan pengetahuan kita pada contoh spesifik.
Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 - 12x = 0.
x(3x - 12) = 0
x \u003d 0 atau 3x - 12 \u003d 0
Jawaban: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Persamaan tipe ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat sederhana.
Jika ax 2 \u003d 0, maka x 2 \u003d 0. Persamaan memiliki dua akar yang sama x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.
Untuk kejelasan, perhatikan diagram. 
Saat memecahkan Contoh 4, kami akan memastikan bahwa persamaan jenis ini diselesaikan dengan sangat sederhana.
Contoh 4 Selesaikan persamaan 7x2 = 0.
Jawaban: x 1, 2 = 0.
Tidak selalu jelas persamaan kuadrat tidak lengkap seperti apa yang harus kita selesaikan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5 selesaikan persamaannya
Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama, yaitu dengan 30
Ayo potong
5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.
Mari kita buka tanda kurung
25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.
Berikut adalah serupa
Mari pindahkan 99 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tandanya menjadi kebalikannya
Jawaban: tidak ada akar.
Kami telah menganalisis bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang Anda tidak akan mengalami kesulitan dengan tugas-tugas seperti itu. Berhati-hatilah saat menentukan jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap, maka Anda akan berhasil.
Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, daftar untuk pelajaran saya, bersama-sama kita akan memecahkan masalah yang muncul.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.
Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika mungkin).
Selain itu, jawabannya ditampilkan tepat, bukan perkiraan.
Misalnya, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawabannya ditampilkan dalam bentuk ini:
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan polinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Aturan untuk memasukkan polinomial persegi
Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika memecahkan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Memutuskan
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap
Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
memiliki bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat.
Definisi.
persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).
Angka a, b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat. Angka a disebut koefisien pertama, angka b adalah koefisien kedua dan angka c adalah intersep.
Dalam setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, di mana \(a \neq 0 \), pangkat terbesar dari variabel x adalah persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.
Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sisi kirinya adalah polinomial derajat kedua.
Persamaan kuadrat di mana koefisien pada x 2 adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Misalnya, persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.
Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri dari tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, di mana \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Pertimbangkan solusi persamaan dari masing-masing jenis ini.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), suku bebasnya dipindahkan ke ruas kanan dan kedua bagian persamaan dibagi dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan tersebut memiliki dua akar.
Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan dapatkan persamaannya
\(x(ax+b)=0 \Panah kanan \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)
Oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu memiliki dua akar.
Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 \u003d 0 setara dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan karenanya memiliki satu akar 0.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat
Sekarang mari kita perhatikan bagaimana persamaan kuadrat diselesaikan di mana kedua koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.
Kami memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh rumus akar. Kemudian rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.
Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0
Membagi kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah kanan \)
Ekspresi akar disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - pembeda). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu
\(D = b^2-4ac\)
Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kami menulis ulang rumus untuk akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)
Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, tergantung pada nilai diskriminan, persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak ada akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini , disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, maka gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, maka tuliskan bahwa tidak ada akar.
teorema Vieta
Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 memiliki akar 2 dan 5. Jumlah akar adalah 7, dan produk adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua, diambil dengan berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang memiliki akar memiliki sifat ini.
Jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan suku bebas.
Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 memiliki sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Dalam masyarakat modern, kemampuan untuk mengoperasikan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna di banyak bidang kegiatan dan digunakan secara luas dalam praktik dalam perkembangan ilmiah dan teknis. Hal ini dapat dibuktikan dengan desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan bantuan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh dengan solusi persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan berkemah, di acara olahraga, di toko saat berbelanja dan dalam situasi umum lainnya.
Mari kita pecahkan ekspresi menjadi faktor komponen
Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum dari derajat variabel yang dikandung oleh ekspresi yang diberikan. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.
Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi ini, bagaimanapun bentuknya, selalu dapat dibawa ke bentuk ketika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga istilah. Diantaranya: ax 2 (yaitu, variabel kuadrat dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di sisi kanan sama dengan 0. Dalam kasus ketika polinomial seperti itu tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, dengan pengecualian ax 2, itu disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh pemecahan masalah seperti itu, di mana nilai variabel tidak sulit ditemukan, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.
Jika ekspresi terlihat seperti memiliki dua suku di sisi kanan ekspresi, lebih tepatnya ax 2 dan bx, paling mudah untuk menemukan x dengan mengurung variabel. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya direduksi menjadi menemukan variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya mengatakan bahwa produk dari dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya adalah nol.
Contoh
x=0 atau 8x - 3 = 0
Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.
Persamaan semacam ini dapat menggambarkan pergerakan benda di bawah aksi gravitasi, yang mulai bergerak dari titik tertentu, diambil sebagai asalnya. Di sini notasi matematika mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mengganti nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan sisi kanan ke 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat tubuh naik hingga saat jatuh, serta banyak kuantitas lainnya. Tapi kita akan membicarakan ini nanti.
Memfaktorkan Ekspresi
Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk memecahkan masalah ini dalam kasus yang lebih kompleks. Pertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat jenis ini.
X2 - 33x + 200 = 0
Trinomial persegi ini selesai. Pertama, kami mengubah ekspresi dan menguraikannya menjadi faktor. Ada dua di antaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.
Contoh dengan solusi persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini untuk menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya dari yang kedua, tetapi bahkan dari urutan ketiga dan keempat.
Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan ke dalam faktor dengan variabel, ada tiga di antaranya, yaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).
Akibatnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -satu; 3.
Mengekstrak akar kuadrat
Kasus lain dari persamaan orde kedua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang ditulis dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, istilah bebas dipindahkan ke sisi kanan, dan setelah itu, akar kuadrat diekstraksi dari kedua sisi persamaan. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung istilah c sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika sisi kanan ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi untuk persamaan kuadrat jenis ini harus dipertimbangkan.
Dalam hal ini, akar persamaan akan menjadi angka -4 dan 4.
Perhitungan luas tanah
Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa yang jauh itu sebagian besar disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling petak-petak tanah dengan akurasi terbesar.
Kita juga harus mempertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat yang disusun berdasarkan masalah semacam ini.
Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih dari lebarnya. Anda harus menemukan panjang, lebar, dan keliling situs, jika diketahui bahwa luasnya adalah 612 m 2.
Turun ke bisnis, pada awalnya kita akan membuat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan lebar bagian sebagai x, maka panjangnya akan menjadi (x + 16). Dari apa yang telah ditulis, luas ditentukan oleh ekspresi x (x + 16), yang, menurut kondisi masalah kita, adalah 612. Ini berarti bahwa x (x + 16) \u003d 612.
Solusi persamaan kuadrat lengkap, dan ekspresi ini hanya itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kirinya masih mengandung dua faktor, hasil perkaliannya sama sekali tidak sama dengan 0, jadi digunakan metode lain di sini.
diskriminatif
Pertama-tama, kami akan membuat transformasi yang diperlukan, maka tampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini berarti bahwa kami telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c= -612.
Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat melalui diskriminan. Di sini perhitungan yang diperlukan dibuat sesuai dengan skema: D = b 2 - 4ac. Nilai tambahan ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan nilai yang diinginkan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan jumlah opsi yang memungkinkan. Dalam kasus D>0, ada dua di antaranya; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tentang akar dan formulanya
Dalam kasus kami, diskriminannya adalah: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahwa masalah kami memiliki jawaban. Jika Anda tahu, solusi persamaan kuadrat harus dilanjutkan dengan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung akarnya.
Ini berarti bahwa dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Opsi kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran bidang tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, yang berarti bahwa x (yaitu, lebar bidang) adalah 18 m. Dari sini kami menghitung panjangnya: 18+16=34, dan keliling 2(34+ 18) = 104 (m 2).
Contoh dan tugas
Kami melanjutkan studi tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi terperinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, buat transformasi, yaitu, kita mendapatkan bentuk persamaan, yang biasanya disebut persamaan standar, dan menyamakannya dengan nol.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Setelah menambahkan yang serupa, kami menentukan diskriminan: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Jadi persamaan kami akan memiliki dua akar. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus di atas, yang berarti bahwa yang pertama akan sama dengan 4/3, dan yang kedua 1.
2) Sekarang kami akan mengungkapkan teka-teki dari jenis yang berbeda.
Mari kita cari tahu apakah ada akar x 2 - 4x + 5 = 1 di sini? Untuk mendapatkan jawaban yang lengkap, kami membawa polinomial ke bentuk akrab yang sesuai dan menghitung diskriminan. Dalam contoh ini, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadrat, karena esensi masalahnya sama sekali tidak ada dalam hal ini. Dalam hal ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang berarti benar-benar tidak ada akar.
teorema Vieta
Lebih mudah untuk memecahkan persamaan kuadrat melalui rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diekstraksi dari nilai yang terakhir. Tapi ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Dinamai setelah seorang pria yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan memiliki karir yang cemerlang berkat bakat matematika dan koneksi di pengadilan. Potretnya bisa dilihat di artikel.
Pola yang diperhatikan oleh orang Prancis yang terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa jumlah akar persamaan sama dengan -p=b/a, dan hasil kali mereka sesuai dengan q=c/a.
Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.
3x2 + 21x - 54 = 0
Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresinya:
x 2 + 7x - 18 = 0
Menggunakan teorema Vieta, ini akan memberi kita yang berikut: jumlah akarnya adalah -7, dan produknya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah melakukan pengecekan, kita akan memastikan bahwa nilai-nilai variabel tersebut benar-benar sesuai dengan ekspresi.
Grafik dan Persamaan Parabola
Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat terkait erat. Contoh-contoh ini telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika sedikit lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Ketergantungan seperti itu, yang digambarkan dalam bentuk grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Setiap parabola memiliki simpul, yaitu titik dari mana cabang-cabangnya keluar. Jika a>0, mereka menjadi tinggi hingga tak terhingga, dan ketika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafik. Dan nilai variabel x adalah koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik dapat ditemukan dengan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b / 2a. Dan, dengan memasukkan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi asli, Anda dapat menemukan y 0, yaitu, koordinat kedua titik parabola yang termasuk dalam sumbu y.
Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis
Ada banyak contoh dengan solusi persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita pertimbangkan mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Dari grafik parabola, Anda juga dapat menentukan akar-akarnya. Kebalikannya juga benar. Artinya, jika tidak mudah untuk mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan ruas kanan dari ekspresi menjadi 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x lebih mudah untuk diplot.
Dari sejarah
Dengan bantuan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, di masa lalu, tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bentuk geometris. Orang dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan muluk di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.
Seperti yang disarankan oleh para ilmuwan modern, penduduk Babel termasuk yang pertama memecahkan persamaan kuadrat. Itu terjadi empat abad sebelum munculnya zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka pada dasarnya berbeda dari yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak tahu tentang keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh siswa mana pun di zaman kita.
Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babel, orang bijak dari India, Baudhayama, mengambil solusi persamaan kuadrat. Ini terjadi sekitar delapan abad sebelum munculnya zaman Kristus. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Cina juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian mereka digunakan dalam pekerjaan mereka oleh para ilmuwan hebat seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.
Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. - 2016. - No. 6.1. - S.17-20..02.2019).
Proyek kami didedikasikan untuk cara memecahkan persamaan kuadrat. Tujuan dari proyek ini: untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semua cara yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan pelajari cara menggunakannya sendiri dan perkenalkan teman sekelas pada metode ini.
Apa itu "persamaan kuadrat"?
Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana sebuah, b, c- beberapa angka ( sebuah 0), x- tidak dikenal.
Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.
- a disebut koefisien pertama;
- b disebut koefisien kedua;
- c - anggota bebas.
Dan siapa yang pertama "menemukan" persamaan kuadrat?
Beberapa teknik aljabar untuk memecahkan persamaan linear dan kuadrat telah dikenal sejak 4000 tahun yang lalu di Babel Kuno. Tablet tanah liat Babilonia kuno yang ditemukan, bertanggal antara 1800 dan 1600 SM, adalah bukti paling awal dari studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk memecahkan jenis persamaan kuadrat tertentu.
Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri.
Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.
Matematikawan Babilonia dari sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid datang dengan metode solusi geometris yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar adalah seorang ilmuwan India. Brahmagupta(India, abad ke-7 M).
Brahmagupta menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:
ax2 + bx = c, a>0
Dalam persamaan ini, koefisien bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.
Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: "Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang daripada kemuliaannya dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.
Dalam risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linear dan kuadrat diberikan. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:
1) “Persegi sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.
2) “Persegi sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.
3) "Akar sama dengan bilangan", yaitu ax2 = c.
4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.
5) “Kuadrat dan akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 + bx = c.
6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.
Bagi Al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan tersebut adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa itu murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari jenis pertama, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat memecahkan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.
Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat pada model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dijelaskan dalam “Book of the Abacus”, yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif.
Buku ini berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari buku ini dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropa abad 14-17. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.
Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat kerja Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lain, cara memecahkan persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.
Pertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Cara standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:
- Faktorisasi ruas kiri persamaan.
- Metode seleksi persegi penuh.
- Solusi persamaan kuadrat dengan rumus.
- Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
- Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta.
Mari kita membahas lebih detail tentang solusi persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi menggunakan teorema Vieta.
Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, cukup untuk menemukan dua bilangan sedemikian rupa sehingga produknya sama dengan suku bebas, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan.
Contoh.x 2 -5x+6=0
Anda perlu menemukan angka yang produknya 6 dan jumlahnya 5. Angka-angka ini adalah 3 dan 2.
jawaban: x 1 = 2, x 2 =3.
Tetapi Anda dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama yang tidak sama dengan satu.
Contoh.3x 2 +2x-5=0
Kami mengambil koefisien pertama dan mengalikannya dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0
Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasilkalinya - 15, dan jumlahnya - 2. Angka-angka ini adalah 5 dan 3. Untuk menemukan akar-akar persamaan awal, kita bagi akar-akar yang diperoleh dengan koefisien pertama.
jawaban: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Penyelesaian persamaan dengan metode "transfer".
Pertimbangkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.
Mengalikan kedua bagiannya dengan a, kita mendapatkan persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Misalkan ax = y, dari mana x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, yang ekivalen dengan yang diberikan. Kami menemukan akarnya di 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.
Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.
Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" padanya, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang paling penting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.
Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.
Mari kita "transfer" koefisien 2 ke suku bebas dan dengan menggantinya kita mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.
Menurut teorema invers Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.
7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.
Biarkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 diberikan.
1. Jika a + b + c \u003d 0 (yaitu, jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 \u003d 1.
2. Jika a - b + c \u003d 0, atau b \u003d a + c, maka x 1 \u003d - 1.
Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Karena a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), maka x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.
jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0
Karena a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), lalu x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. tetapi penggunaannya lebih rumit.
8. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.
Gambar 1. Nomogram
Ini adalah metode lama dan saat ini terlupakan untuk memecahkan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
Tabel XXII. Nomogram untuk Pemecahan Persamaan z2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dengan koefisiennya.
Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus (Gbr. 1):
Asumsi OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 kesamaan segitiga SAN dan CDF kita mendapatkan proporsi
dimana, setelah substitusi dan penyederhanaan, persamaan berikut: z 2 + pz + q = 0, dan surat z berarti label dari setiap titik pada skala melengkung.
Beras. 2 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram
Contoh.
1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8,0 dan z 2 = 1,0
Jawaban: 8.0; 1.0.
2) Memecahkan persamaan menggunakan nomogram
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.
Jawaban: 4; 0,5.
9. Metode geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Contoh.X 2 + 10x = 39.
Dalam aslinya, masalah ini dirumuskan sebagai berikut: "Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39."
Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibangun di sisi-sisinya sehingga sisi lain masing-masing adalah 2,5, oleh karena itu, luas masing-masing adalah 2,5x. Angka yang dihasilkan kemudian ditambahkan ke persegi ABCD baru, melengkapi empat persegi yang sama di sudut-sudut, sisi masing-masing adalah 2,5, dan luasnya adalah 6,25
Beras. 3 Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39
Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4∙2,5x = 10x) dan empat persegi terlampir (6,25∙4 = 25), mis. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Mengganti x 2 + 10x dengan angka 39, kita mendapatkan bahwa S \u003d 39 + 25 \u003d 64, yang menyiratkan bahwa sisi persegi ABCD, yaitu. segmen AB \u003d 8. Untuk sisi x yang diinginkan dari bujur sangkar asli, kita dapatkan
10. Penyelesaian persamaan menggunakan teorema Bezout.
teorema Bezout. Sisanya setelah membagi polinomial P(x) dengan binomial x - sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = ).
Jika bilangan adalah akar dari polinomial P(x), maka polinomial ini habis dibagi x -α tanpa sisa.
Contoh.x²-4x+3=0
(x)= x²-4x+3, : ±1,±3, =1, 1-4+3=0. Bagi P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; jawaban: x1 = 2, x2 =3.
Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional hanya diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, misalnya persamaan rasional pecahan, persamaan pangkat lebih tinggi, persamaan biquadratic, dan dalam persamaan trigonometri, eksponensial, dan logaritma sekolah menengah. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan dengan properti koefisien (7), karena mereka lebih mudah diakses untuk dipahami .
Literatur:
- Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
- Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pencerahan, 2015
- https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Sebuah panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.
Hanya. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama
perlu untuk membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:
Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama. Yang penting benar
tentukan semua koefisien sebuah, b dan c.
Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat.
Ekspresi di bawah tanda akar disebut pembeda . Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kita
menggunakan hanya a, b dan c. Itu. peluang dari persamaan kuadrat. Cukup masukkan dengan hati-hati
nilai-nilai a, b dan c ke dalam rumus ini dan menghitung. Ganti dengan milik mereka tanda-tanda!
Misalnya, dalam persamaan:
sebuah =1; b = 3; c = -4.
Ganti nilainya dan tulis:
Contoh hampir terpecahkan:
Ini adalah jawabannya.
Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan dengan. Sebaliknya, dengan substitusi
nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini rumus terperinci menyimpan
dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dengan perhitungan, lakukanlah!
Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:
Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1
Kami melukis semuanya dengan detail, hati-hati, tanpa melewatkan apa pun dengan semua tanda dan tanda kurung:
Seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya seperti ini:
Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan.
Resepsi pertama. Jangan malas dulu menyelesaikan persamaan kuadrat membawanya ke bentuk standar.
Apa artinya ini?
Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:
Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c.
Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:
Singkirkan minusnya. Bagaimana? Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:
Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh.
Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.
Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Oleh teorema Vieta.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, mis. jika koefisien
x2+bx+c=0,
kemudianx 1 x 2 = c
x1 +x2 =−b
Untuk persamaan kuadrat lengkap di mana a≠1:
x 2 +bx+c=0,
membagi seluruh persamaan dengan sebuah:
→ 
→
di mana x 1 dan x 2 - akar persamaan.
Penerimaan ketiga. Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Berkembang biak
persamaan untuk penyebut yang sama.
Kesimpulan. Tip Praktis:
1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.
2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan semuanya
persamaan untuk -1.
3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan yang sesuai
faktor.
4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan
