>> Ekstrem

Fungsi ekstrem

definisi ekstrem

Fungsi y = f(x) disebut meningkat (memudar) dalam selang waktu tertentu jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y \u003d f (x) pada segmen meningkat (menurun), maka turunannya pada segmen ini f " (x )> 0

(f"(x)< 0).

Dot x tentang ditelepon titik maksimum lokal (minimum) dari fungsi f (x ) jika ada lingkungan dari titik x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik ini adalah ekstrim.

titik ekstrim

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem . Jika titik x tentang adalah titik ekstrem dari fungsi f (x), maka salah satu f " (x o ) = 0, atau f(x o ) tidak ada. Titik-titik seperti itu disebut kritis, di mana fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Syarat pertama yang cukup. Biarlah x tentang - titik kritis. jika f" (x ) saat melewati titik x tentang ubah tanda plus menjadi minus, lalu di titik x o fungsi memiliki maksimum, jika tidak, ia memiliki minimum. Jika turunan tidak berubah tanda saat melewati titik kritis, maka pada titik x tentang tidak ada ekstrem.

Syarat cukup kedua. Misalkan fungsi f(x) memiliki
f" (x ) di sekitar titik x tentang dan turunan kedua di titik yang tepat x o. jika f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f(x). Jika = 0, maka seseorang harus menggunakan kondisi cukup pertama, atau melibatkan yang lebih tinggi.

Pada suatu segmen, fungsi y \u003d f (x) dapat mencapai nilai terkecil atau terbesar baik di titik kritis maupun di ujung segmen.

Contoh 3.22.

Keputusan. Sebagai f " (

Tugas untuk menemukan ekstrem dari suatu fungsi

Contoh 3.23. sebuah

Keputusan. x dan kamu kamu
0 ≤ x≤
> 0, sedangkan x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi persegi. unit).

Contoh 3.24. p

Keputusan. hal
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22.Tentukan ekstrem dari fungsi f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Keputusan. Sebagai f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem hanya dapat berada di titik ini poin. Karena ketika melewati titik x 1 \u003d 2, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik ini fungsinya maksimal. Ketika melewati titik x 2 \u003d 3, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, oleh karena itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsinya memiliki minimum. Menghitung nilai fungsi dalam poin
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita menemukan ekstrem dari fungsi: maksimum f (2) = 14 dan minimum f (3) = 13.

Contoh 3.23.Perlu untuk membangun area persegi panjang di dekat dinding batu sehingga dipagari dengan wire mesh di tiga sisi, dan berdampingan dengan dinding di sisi keempat. Untuk ini ada sebuah meter linier dari grid. Pada rasio aspek apa situs akan memiliki area terbesar?

Keputusan.Tunjukkan sisi situs melalui x dan kamu. Luas situs sama dengan S = xy. Biarlah kamu adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka, dengan syarat, persamaan 2x + y = a harus berlaku. Oleh karena itu y = a - 2x dan S = x (a - 2x), dimana
0 ≤ x≤ a /2 (panjang dan lebar pad tidak boleh negatif). S "= a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Sejauh x = a /4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunannya berubah ketika melewati titik ini. Untuk x a/4 S"> 0, sedangkan x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (persegi. unit). Karena S kontinu dan nilainya pada ujung S(0) dan S(a/2) sama dengan nol, maka nilai yang ditemukan akan menjadi nilai terbesar dari fungsi tersebut. Jadi, rasio aspek situs yang paling menguntungkan di bawah kondisi masalah yang diberikan adalah y = 2x.

Contoh 3.24.Diperlukan untuk membuat tangki silinder tertutup dengan kapasitas V=16 p 50 m 3. Berapa dimensi tangki (jari-jari R dan tinggi H) agar dapat menggunakan bahan paling sedikit untuk pembuatannya?

Keputusan.Luas permukaan total silinder adalah S = 2 p R(R+H). Diketahui volume tabung V = p R 2 N N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Jadi S(R) = 2 p (R2+16/R). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 untuk R 3 = 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam domain fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrim (minimum dan maksimum) dari fungsi.

Definisi. Dot x1 lingkup fungsi f(x) disebut titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisi. Dot x2 lingkup fungsi f(x) disebut titik minimum dari fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini kurang dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Dalam hal ini, fungsi dikatakan memiliki titik x2 minimum.

Katakanlah intinya x1 - titik maksimum fungsi f(x) . Kemudian pada interval hingga x1 fungsi meningkat, sehingga turunan dari fungsi tersebut lebih besar dari nol ( f "(x) > 0 ), dan dalam interval setelah x1 fungsinya turun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Mari kita juga berasumsi bahwa intinya x2 - titik minimum fungsi f(x) . Kemudian pada interval hingga x2 fungsi menurun dan turunan dari fungsi kurang dari nol ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fungsi naik dan turunan fungsi lebih besar dari nol ( f "(x) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya x2 turunan dari fungsi adalah nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika titik x0 - titik ekstrem dari fungsi f(x), maka pada titik ini turunan dari fungsi tersebut sama dengan nol ( f "(x) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik-titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan sebuah fungsi.

Pada intinya x= 0 turunan dari fungsi sama dengan nol, oleh karena itu, titik x= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti yang dapat dilihat pada grafik fungsi, itu meningkat di seluruh domain definisi, jadi intinya x= 0 bukan merupakan titik ekstrem dari fungsi ini.

Dengan demikian, kondisi bahwa turunan suatu fungsi pada suatu titik sama dengan nol atau tidak ada adalah kondisi yang diperlukan untuk ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan untuk memenuhi kondisi ini, tetapi fungsi tidak memiliki ekstrem pada titik yang sesuai. Jadi harus memiliki indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada ekstrem pada titik kritis tertentu dan yang mana - maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria pertama yang cukup untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis x0 f(x) , jika turunan fungsi berubah tanda ketika melewati titik ini, dan jika tanda berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimum .

Jika dekat titik x0 , ke kiri dan ke kanannya, turunannya mempertahankan tandanya, ini berarti bahwa fungsi hanya berkurang atau hanya meningkat di beberapa lingkungan titik x0 . Dalam hal ini, pada titik x0 tidak ada ekstrem.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem dari fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut: :

1. Menemukan turunan dari suatu fungsi.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi dalam interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik kritisnya adalah titik minimum.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2 Menemukan ekstrem dari suatu fungsi .

Keputusan. Mari kita cari turunan dari fungsi:

Samakan turunan dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk nilai apa pun dari "x" penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kita menyamakan pembilangnya dengan nol:

Punya satu titik kritis x= 3 . Kami menentukan tanda turunan dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam kisaran dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsi menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda plus, yaitu fungsi meningkat.

Artinya, titik x= 3 adalah titik minimum.

Tentukan nilai fungsi di titik minimum:

Dengan demikian, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0 ), dan merupakan titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis x0 adalah titik ekstrem dari fungsi f(x), jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( f ""(x) 0 ), apalagi jika turunan kedua lebih besar dari nol ( f ""(x) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika turunan kedua kurang dari nol ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada suatu titik x0 baik turunan pertama dan kedua menghilang, maka pada titik ini tidak mungkin untuk menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan bila turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, perlu juga menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem fungsi.

Sifat lokal dari ekstrem dari fungsi

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan Mei adalah fungsi penghasilan maksimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Tetapi pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa maksimum di antara nilai-nilai April-Mei-Juni kurang dari minimum September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi mungkin memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan dapat berubah menjadi fungsi minimum apa pun lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, orang tidak boleh berpikir bahwa fungsi maksimum dan minimum, masing-masing, adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi memiliki nilai terbesar hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang ia memiliki di semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperbaiki konsep titik ekstrem dari fungsi yang diberikan di atas dan memanggil titik minimum lokal titik minimum, dan titik maksimum - titik maksimum lokal.

Kami mencari ekstrem dari fungsi tersebut bersama-sama

Contoh 3

Penyelesaian Fungsi didefinisikan dan kontinu pada garis bilangan bulat. turunannya juga ada di seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, hanya yang , yaitu, berfungsi sebagai titik kritis. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masing dari mereka dan menemukan tanda turunan pada titik ini.

Untuk interval, titik referensi dapat : kita temukan . Mengambil titik dalam interval, kita mendapatkan , dan mengambil titik dalam interval, kita . Jadi, dalam interval dan , Dan dalam interval . Menurut tanda cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada titik tersebut (karena turunan mempertahankan tandanya dalam interval ), dan fungsi memiliki minimum pada titik tersebut (karena turunan berubah tanda dari minus ke plus saat melewati melalui titik ini). Temukan nilai yang sesuai dari fungsi: , dan . Dalam interval, fungsi menurun, karena dalam interval ini , dan dalam interval itu meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kami menemukan titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar dan , yaitu, dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi ditemukan. Menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat di awal contoh).

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Domain fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, mis. .

Untuk mempersingkat penelitian, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbu Oy dan studi hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunan dan titik kritis fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami pemutusan pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda ekstrem kedua yang cukup. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan kedua dan tentukan tandanya di : kita peroleh . Karena dan , maka adalah titik minimum dari fungsi tersebut, sedangkan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan x ke nol di sebelah kanan, dan x tetap positif; sama artinya aspirasi x ke nol di sebelah kiri, dan x tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita menemukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak memiliki titik potong dengan sumbu. Gambar ada di awal contoh.

Kami terus mencari ekstrem dari fungsi tersebut bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsi .

Keputusan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus berlaku, kita peroleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi:

Mari kita cari titik kritis dari fungsi tersebut.

Untuk suatu fungsi f(x) dari banyak variabel, titik x adalah vektor, f'(x) adalah vektor turunan pertama (gradien) dari fungsi f(x), f (x) adalah matriks simetris turunan parsial kedua (matriks Hesse Hessian) fungsi f(x).
Untuk fungsi beberapa variabel, kondisi optimalitas dirumuskan sebagai berikut.
Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas lokal. Misalkan f(x) terdiferensial di titik x * R n . Jika x * adalah titik ekstrem lokal, maka f'(x *) = 0.
Seperti sebelumnya, titik-titik yang merupakan solusi dari sistem persamaan disebut stasioner. Sifat dari titik stasioner x * berhubungan dengan ketegasan tanda dari matriks Hessian f′ (x).
Ketepatan tanda dari matriks A bergantung pada tanda-tanda bentuk kuadrat Q(α)=< α A, α >untuk semua bukan nol R n .
Di sini dan selanjutnya melalui produk skalar dari vektor x dan y dinotasikan. A-prioritas,

Suatu matriks A terdefinisi positif (non-negatif) jika Q(α)>0 (Q(α)≥0) untuk semua tak-nol R n ; negatif (nonpositif) pasti jika Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 untuk beberapa bukan nol R n dan Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Kondisi yang cukup untuk optimalitas lokal. Misal f(x) terdiferensialkan dua kali pada titik x * R n , dan f’(x *)=0 , mis. x * titik stasioner. Kemudian, jika matriks f (x *) positif (negatif) pasti, maka x * adalah titik minimum (maksimum) lokal; jika matriks f′′(x *) tak tentu, maka x * adalah titik pelana.
Jika matriks f′′(x *) definit tak-negatif (non-positif), maka untuk menentukan sifat titik stasioner x *, diperlukan studi turunan orde tinggi.
Untuk memeriksa ketegasan tanda dari suatu matriks, biasanya digunakan kriteria Sylvester. Menurut kriteria ini, matriks simetris A pasti positif jika dan hanya jika semua minor sudutnya positif. Dalam hal ini, sudut minor dari matriks A adalah determinan matriks yang dibangun dari elemen-elemen matriks A, berdiri di persimpangan baris dan kolom dengan angka yang sama (dan yang pertama). Untuk memeriksa matriks simetris A untuk kepastian negatif, kita harus memeriksa matriks (−A) untuk kepastian positif.
Jadi, algoritma untuk menentukan titik-titik ekstrem lokal dari suatu fungsi banyak variabel adalah sebagai berikut.
1. Temukan f′(x).
2. Sistem terpecahkan

Akibatnya, titik stasioner x i dihitung.
3. Temukan f′′(x), himpunan i=1.
4. Temukan f′′(x i)
5. Minor sudut dari matriks f′′(x i) dihitung. Jika tidak semua minor sudut bukan nol, maka untuk menentukan sifat stasioner titik x i, diperlukan studi turunan orde tinggi. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke langkah 6.
6. Tanda-tanda dari minor sudut f′′(x i) dianalisis. Jika f′′(x i) pasti positif, maka x i adalah titik minimum lokal. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke item 7.
7. Minor sudut dari matriks -f′′(x i) dihitung dan tanda-tandanya dianalisis.
Jika -f′′(x i) definit positif, maka f′′(x i) definit negatif dan x i adalah titik maksimum lokal.
Jika tidak, f′′(x i) tidak tentu dan x i adalah titik pelana.
8. Kondisi untuk menentukan sifat semua titik stasioner i=N diperiksa.
Jika memenuhi, maka perhitungan selesai.
Jika kondisi tidak terpenuhi, maka i=i+1 diasumsikan dan transisi ke langkah 4 dilakukan.

Contoh 1. Tentukan titik ekstrem lokal dari fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Karena semua minor sudut bukan nol, karakter x 2 ditentukan oleh f′′(x).
Karena matriks f′′(x 2) adalah pasti positif, x 2 adalah titik minimum lokal.
Jawaban: fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 memiliki minimum lokal di titik x = (5/3; 8/3).

Fungsi bertambah ke kenaikan argumen, yang cenderung nol. Untuk menemukannya, gunakan tabel turunan. Misalnya, turunan dari fungsi y = x3 akan sama dengan y’ = x2.

Samakan turunan ini dengan nol (dalam hal ini x2=0).

Temukan nilai dari variabel yang diberikan. Ini akan menjadi nilai yang turunan ini akan sama dengan 0. Untuk melakukan ini, gantikan angka arbitrer dalam ekspresi alih-alih x, di mana seluruh ekspresi akan menjadi nol. Sebagai contoh:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Terapkan nilai yang diperoleh pada garis koordinat dan hitung tanda turunan untuk masing-masing yang diperoleh. Titik ditandai pada garis koordinat, yang diambil sebagai titik asal. Untuk menghitung nilai dalam interval, gantikan nilai arbitrer yang sesuai dengan kriteria. Misalnya, untuk fungsi sebelumnya hingga interval -1, Anda dapat memilih nilai -2. Untuk -1 ke 1, Anda dapat memilih 0, dan untuk nilai yang lebih besar dari 1, pilih 2. Substitusikan angka-angka ini ke dalam turunan dan cari tahu tanda turunannya. Dalam hal ini, turunan dengan x = -2 akan sama dengan -0,24, mis. negatif dan akan ada tanda minus pada interval ini. Jika x=0, maka nilainya akan sama dengan 2, dan pada interval ini diberi tanda. Jika x=1, maka turunannya juga akan sama dengan -0,24 dan minus diletakkan.

Jika, ketika melewati suatu titik pada garis koordinat, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka ini adalah titik minimum, dan jika dari plus ke minus, maka ini adalah titik maksimum.

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Untuk mencari turunannya, ada layanan online yang menghitung nilai yang dibutuhkan dan menampilkan hasilnya. Di situs tersebut, Anda dapat menemukan turunan hingga 5 pesanan.

Sumber:

• Salah satu layanan untuk menghitung turunan
• titik maksimum fungsi

Titik maksimum fungsi bersama dengan titik minimum disebut titik ekstrem. Pada titik ini, fungsi mengubah perilakunya. Ekstrem ditentukan pada interval numerik terbatas dan selalu lokal.

Petunjuk

Proses mencari ekstrem lokal disebut fungsi dan dilakukan dengan menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Sebelum memulai eksplorasi, pastikan bahwa rentang nilai argumen yang ditentukan termasuk dalam nilai yang diizinkan. Misalnya, untuk fungsi F=1/x, nilai argumen x=0 tidak valid. Atau untuk fungsi Y=tg(x), argumen tidak boleh memiliki nilai x=90°.

Pastikan fungsi Y terdiferensialkan pada seluruh interval yang diberikan. Temukan turunan pertama Y". Jelas bahwa sebelum mencapai titik maksimum lokal, fungsi meningkat, dan ketika melewati maksimum, fungsi menjadi menurun. Turunan pertama dalam arti fisiknya mencirikan laju perubahan dari fungsi. Sementara fungsi meningkat, laju proses ini adalah nilai positif. Ketika melewati maksimum lokal, fungsi mulai menurun, dan laju proses perubahan fungsi menjadi negatif. Transisi laju perubahan fungsi melalui nol terjadi pada titik maksimum lokal.

Misalnya, fungsi Y \u003d -x² + x + 1 pada interval dari -1 hingga 1 memiliki turunan kontinu Y "\u003d -2x + 1. Pada x \u003d 1/2, turunannya adalah nol, dan ketika melewati titik ini, turunannya berubah tanda dari " +" menjadi "-". Turunan kedua dari fungsi Y "=-2. Buat grafik titik demi titik dari fungsi Y=-x²+x+1 dan periksa apakah titik dengan absis x=1/2 adalah maksimum lokal pada segmen tertentu dari sumbu numerik.

Definisi: Titik x0 disebut titik maksimum lokal (atau minimum) dari fungsi, jika di beberapa lingkungan dari titik x0 fungsi mengambil nilai terbesar (atau terkecil), yaitu. untuk semua dari beberapa lingkungan titik x0 kondisi f(x) f(x0) (atau f(x) f(x0)) terpenuhi.

Titik maksimum atau minimum lokal disatukan oleh nama umum - titik ekstrem lokal suatu fungsi.

Perhatikan bahwa pada titik ekstrem lokal, fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya hanya di beberapa wilayah lokal. Ada kasus ketika, menurut nilai maxуmin .

Kriteria yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem lokal suatu fungsi

Dalil . Jika fungsi kontinu y = f(x) memiliki ekstrem lokal pada titik x0, maka pada titik ini turunan pertama adalah nol atau tidak ada, mis. ekstrem lokal terjadi pada titik-titik kritis jenis pertama.

Pada titik ekstrem lokal, baik garis singgungnya sejajar dengan sumbu 0x, atau ada dua garis singgung (lihat gambar). Perhatikan bahwa titik kritis adalah kondisi yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk ekstrem lokal. Sebuah ekstrim lokal terjadi hanya pada titik kritis jenis pertama, tetapi tidak semua titik kritis memiliki ekstrim lokal.

Misalnya: parabola kubik y = x3, memiliki titik kritis x0=0, di mana turunannya y/(0)=0, tetapi titik kritis x0=0 bukanlah titik ekstrem, tetapi ada titik belok di dalamnya (lihat di bawah).

Kriteria yang cukup untuk keberadaan ekstrem lokal dari suatu fungsi

Dalil . Jika, ketika argumen melewati titik kritis jenis pertama, dari kiri ke kanan, turunan pertama y / (x)

perubahan tanda dari “+” menjadi “-”, maka fungsi kontinu y(x) memiliki maksimum lokal pada titik kritis ini;

berubah tanda dari “-” menjadi “+”, maka fungsi kontinu y(x) memiliki minimum lokal pada titik kritis ini

tidak berubah tanda, maka tidak ada ekstrim lokal pada titik kritis ini, ada titik belok.

Untuk maksimum lokal, luas fungsi naik (y/0) diganti dengan luas fungsi turun (y/0). Untuk minimum lokal, luas fungsi turun (y/0) diganti dengan luas fungsi naik (y/0).

Contoh: Selidiki fungsi y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 untuk monotonisitas, ekstrem, dan buat grafik fungsi tersebut.

Mari kita cari titik kritis jenis pertama dengan mendefinisikan turunan (y/) dan menyamakannya dengan nol: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Kami memecahkan trinomial persegi menggunakan diskriminan:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Mari kita bagi sumbu numerik dengan titik-titik kritis menjadi 3 daerah dan tentukan tanda-tanda turunan (y/) di dalamnya. Berdasarkan tanda-tanda ini, kami menemukan area monoton (kenaikan dan penurunan) fungsi, dan dengan mengubah tanda-tanda, kami menentukan titik-titik ekstrem lokal (maksimum dan minimum).

Hasil penelitian disajikan dalam bentuk tabel, yang darinya dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

• 1. Pada interval y /(-10) 0, fungsi meningkat secara monoton (tanda turunan y diperkirakan dari titik kontrol x = -10 yang diambil dalam interval ini);
• 2. Pada interval (-5; -1) y /(-2) 0, fungsi menurun secara monoton (tanda turunan y diperkirakan dari titik kontrol x = -2 yang diambil dalam interval ini);
• 3. Pada interval y /(0) 0, fungsi meningkat secara monoton (tanda turunan y diperkirakan dari titik kontrol x = 0 yang diambil dalam interval ini);
• 4. Saat melewati titik kritis x1k \u003d -5, turunan berubah tanda dari "+" menjadi "-", oleh karena itu titik ini adalah titik maksimum lokal
• (ymaks(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Ketika melewati titik kritis x2k \u003d -1, turunan berubah tanda dari "-" menjadi "+", oleh karena itu titik ini adalah titik minimum lokal
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Kami akan membangun grafik berdasarkan hasil penelitian dengan melibatkan perhitungan tambahan dari nilai-nilai fungsi pada titik kontrol:

kami membangun sistem koordinat persegi panjang Oxy;

menunjukkan koordinat titik maksimum (-5; 16) dan minimum (-1; -16);

untuk memperbaiki grafik, kami menghitung nilai fungsi pada titik kontrol, memilihnya di kiri dan kanan titik maksimum dan minimum dan di dalam interval tengah, misalnya: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) dan (0;-9) - titik kontrol yang dihitung, yang diplot untuk membuat grafik;

kami menunjukkan grafik dalam bentuk kurva dengan tonjolan ke atas pada titik maksimum dan tonjolan ke bawah pada titik minimum dan melewati titik kontrol yang dihitung.