Dalam tugas B14 dari USE dalam matematika, Anda perlu menemukan nilai terkecil atau terbesar dari suatu fungsi dari satu variabel. Ini adalah masalah yang cukup sepele dari analisis matematis, dan karena alasan inilah setiap lulusan sekolah menengah dapat dan harus belajar bagaimana menyelesaikannya secara normal. Mari kita menganalisis beberapa contoh yang diselesaikan anak-anak sekolah pada pekerjaan diagnostik dalam matematika, yang berlangsung di Moskow pada 7 Desember 2011.

Tergantung pada interval di mana Anda ingin menemukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi, salah satu dari algoritma standar berikut digunakan untuk memecahkan masalah ini.

I. Algoritma untuk mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen:

• Menemukan turunan dari suatu fungsi.
• Pilih dari titik-titik yang dicurigai sebagai titik ekstrem yang termasuk dalam segmen tertentu dan domain fungsi.
• Hitung nilai fungsi(bukan turunan!) pada titik ini.
• Di antara nilai yang diperoleh, pilih yang terbesar atau terkecil, itu akan menjadi yang diinginkan.

Contoh 1 Tentukan nilai terkecil dari suatu fungsi
kamu = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 pada segmen .

Keputusan: kami bertindak sesuai dengan algoritma untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen:

• Ruang lingkup fungsi tidak terbatas: D(y) = R.
• Turunan dari fungsi tersebut adalah: kamu = 3x 2 – 36x+ 81. Cakupan turunan dari suatu fungsi juga tidak terbatas: D(y') = R.
• Nol turunan: kamu = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, jadi x 2 – 12x+ 27 = 0, dari mana x= 3 dan x= 9, interval kami hanya mencakup x= 9 (satu poin mencurigakan untuk ekstrem).
• Kami menemukan nilai fungsi pada titik yang mencurigakan dari ekstrem dan di tepi interval. Untuk memudahkan perhitungan, kami merepresentasikan fungsi dalam bentuk: kamu = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • kamu(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • kamu(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • kamu(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Jadi, dari nilai yang diperoleh, yang terkecil adalah 23. Jawaban: 23.

II. Algoritma untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi:

• Temukan ruang lingkup fungsi.
• Menemukan turunan dari suatu fungsi.
• Tentukan titik-titik yang mencurigakan dari suatu ekstrem (titik-titik di mana turunan fungsi menghilang, dan titik-titik di mana tidak ada turunan hingga dua sisi).
• Tandai titik-titik ini dan domain fungsi pada garis bilangan dan tentukan tanda-tandanya turunan(bukan fungsi!) pada interval yang dihasilkan.
• Tentukan nilai fungsi(bukan turunan!) pada titik minimum (titik di mana tanda turunan berubah dari minus ke plus), nilai terkecil dari nilai ini akan menjadi nilai fungsi terkecil. Jika tidak ada titik minimum, maka fungsi tersebut tidak memiliki nilai minimum.
• Tentukan nilai fungsi(bukan turunan!) pada titik maksimum (titik di mana tanda turunan berubah dari plus ke minus), nilai terbesar dari nilai ini akan menjadi nilai fungsi terbesar. Jika tidak ada titik maksimum, maka fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum.

Contoh 2 Carilah nilai terbesar dari fungsi tersebut.

Pada Juli 2020, NASA meluncurkan ekspedisi ke Mars. Pesawat ruang angkasa itu akan mengirimkan ke Mars sebuah pembawa elektronik dengan nama-nama semua anggota ekspedisi yang terdaftar.

Jika posting ini menyelesaikan masalah Anda atau Anda hanya menyukainya, bagikan tautannya dengan teman-teman Anda di jejaring sosial.

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag . Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, maka halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak perlu, karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika ke dalam halaman web Anda.

Malam Tahun Baru lagi... cuaca dingin dan kepingan salju di kaca jendela... Semua ini mendorong saya untuk menulis lagi tentang... fraktal, dan apa yang diketahui Wolfram Alpha tentangnya. Pada kesempatan kali ini, ada artikel menarik yang didalamnya terdapat contoh struktur fraktal dua dimensi. Di sini kita akan mempertimbangkan contoh yang lebih kompleks dari fraktal tiga dimensi.

Fraktal dapat direpresentasikan secara visual (digambarkan) sebagai sosok atau tubuh geometris (artinya keduanya adalah himpunan, dalam hal ini, sekumpulan titik), yang detailnya memiliki bentuk yang sama dengan sosok aslinya. Artinya, itu adalah struktur serupa diri, mengingat detailnya, ketika diperbesar, kita akan melihat bentuk yang sama seperti tanpa perbesaran. Sedangkan pada kasus bangun datar beraturan (bukan fraktal), bila diperbesar, akan terlihat detail yang bentuknya lebih sederhana dari bangun semula itu sendiri. Misalnya, pada perbesaran yang cukup tinggi, bagian dari elips tampak seperti segmen garis lurus. Ini tidak terjadi dengan fraktal: dengan peningkatan apa pun di dalamnya, kita akan kembali melihat bentuk kompleks yang sama, yang dengan setiap peningkatan akan berulang lagi dan lagi.

Benoit Mandelbrot, pendiri ilmu fraktal, dalam artikelnya Fractals and Art for Science menulis: "Fraktal adalah bentuk geometris yang detailnya sama kompleksnya dengan bentuk keseluruhannya. Artinya, jika bagian dari fraktal akan diperbesar ke ukuran keseluruhan, itu akan terlihat seperti keseluruhan, atau tepatnya, atau mungkin dengan sedikit deformasi.

Biarkan fungsinya y=f(X) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi pada segmen ini mencapai nilai maksimum dan minimum. Fungsi dapat mengambil nilai-nilai ini baik pada titik interior segmen [ a, b], atau pada batas segmen.

Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis fungsi dalam interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) hitung nilai fungsi di ujung segmen, yaitu untuk x=sebuah dan x = b;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen.

Menemukan titik kritis:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;

pada intinya x= 3 dan pada titik x= 0.

Penyelidikan fungsi kecembungan dan titik belok.

Fungsi kamu = f (x) ditelepon cembung diantara (sebuah, b) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada sembarang titik dari interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung) jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik transisi dimana kecembungan digantikan oleh kecekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma untuk mempelajari konveksitas dan titik belok:

1. Temukan titik kritis jenis kedua, yaitu titik di mana turunan kedua sama dengan nol atau tidak ada.

2. Letakkan titik-titik kritis pada garis bilangan, pecah menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsi tersebut cembung ke atas, jika, maka fungsi tersebut cembung ke bawah.

3. Jika pada saat melewati titik kritis jenis kedua berubah tanda dan pada titik ini turunan kedua sama dengan nol, maka titik tersebut merupakan absis dari titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot dari grafik suatu fungsi. Penyelidikan fungsi menjadi asimtot.

Definisi. Asimtot dari grafik suatu fungsi disebut lurus, yang memiliki sifat bahwa jarak dari sembarang titik grafik ke garis ini cenderung nol dengan penghilangan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Panggilan langsung asimtot vertikal grafik fungsi y = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

di mana adalah titik diskontinuitas fungsi, yaitu, tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - titik putus.

Definisi. Lurus y=A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi y = f(x) di , jika

Contoh.

x
kamu

Definisi. Lurus y=kx +b (k 0) disebut asimtot miring grafik fungsi y = f(x) dimana

Skema umum untuk mempelajari fungsi dan plot.

Algoritma penelitian fungsiy = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi D (kamu).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (dengan x= 0 dan di kamu = 0).

3. Selidiki fungsi genap dan ganjil ( kamu (‒ x) = kamu (x) ‒ keseimbangan; kamu(‒ x) = ‒ kamu (x) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot dari grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval kemonotonan fungsi tersebut.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Carilah interval kecembungan (concavity) dan titik belok dari grafik fungsi tersebut.

8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Selidiki fungsi dan plot grafiknya.

1) D (kamu) =

x= 4 - titik putus.

2) Kapan x = 0,

(0; – 5) – titik perpotongan dengan oy.

Pada kamu = 0,

3) kamu(‒ x)= fungsi umum (tidak genap maupun ganjil).

4) Kami menyelidiki asimtot.

a) vertikal

b) mendatar

c) temukan asimtot miring di mana

persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini, tidak diperlukan untuk mencari interval kemonotonan fungsi.

6)

Titik-titik kritis ini mempartisi seluruh domain fungsi pada interval (˗∞; 2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut:

				tidak ada tambahan.

Dapat dilihat dari tabel bahwa titik X= 2‒titik maksimum, pada titik X= 4‒ tidak ada ekstrem, X= 10 – poin minimum.

Substitusikan nilai (‒ 3) ke dalam persamaan:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Maksimum dari fungsi ini adalah

(– 2; – 4) – ekstrem maksimum.

Minimum dari fungsi ini adalah

(10; 20) adalah ekstrem minimum.

7) memeriksa kecembungan dan titik belok dari grafik fungsi

Konsep nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Konsep nilai terbesar dan terkecil erat kaitannya dengan konsep titik kritis suatu fungsi.

Definisi 1

$x_0$ disebut titik kritis dari fungsi $f(x)$ jika:

1) $x_0$ - titik internal domain definisi;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak ada.

Sekarang mari kita perkenalkan definisi nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Definisi 2

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ mencapai nilai maksimumnya jika terdapat sebuah titik $x_0\di X$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x\dalam X$ pertidaksamaan

Definisi 3

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ mencapai nilai minimumnya jika terdapat sebuah titik $x_0\di X$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x\dalam X$ pertidaksamaan

Teorema Weierstrass pada fungsi kontinu pada suatu interval

Mari kita pertama memperkenalkan konsep fungsi kontinu pada interval:

Definisi 4

Suatu fungsi $f\left(x\right)$ disebut kontinu pada suatu interval $$ jika fungsi tersebut kontinu pada setiap titik pada interval $(a,b)$, dan juga kontinu di sebelah kanan pada titik $x= a$ dan di sebelah kiri pada titik $x =b$.

Mari kita merumuskan teorema pada fungsi kontinu pada suatu interval.

Teorema 1

teorema Weierstrass

Fungsi $f\left(x\right)$, yang kontinu pada interval $$, mencapai nilai maksimum dan minimum pada interval ini, yaitu, ada titik $\alpha ,\beta \in $ seperti bahwa untuk semua $x\in $ ketidaksetaraan $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Interpretasi geometri dari teorema ditunjukkan pada Gambar 1.

Di sini fungsi $f(x)$ mencapai nilai minimumnya pada titik $x=\alpha $ mencapai nilai maksimumnya pada titik $x=\beta $.

Skema untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $f(x)$ pada segmen $$

1) Temukan turunan $f"(x)$;

2) Temukan titik di mana turunan $f"\left(x\right)=0$;

3) Temukan titik di mana turunan $f"(x)$ tidak ada;

4) Pilih dari poin yang diperoleh di paragraf 2 dan 3 poin yang termasuk dalam segmen $$;

5) Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh pada langkah 4, serta pada ujung segmen $$;

6) Pilih dari nilai yang diperoleh nilai terbesar dan terkecil.

Masalah untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen

Contoh 1

Cari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Keputusan.

1) $f"\left(x\kanan)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;

\ \ \

4) $2\di \kiri,\ 3\di $;

5) Nilai:

\ \ \ \

6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $33$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $1$. Dengan demikian, kita mendapatkan:

Menjawab:$maks=33,\ mnt=1$.

Contoh 2

Cari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Keputusan.

Solusinya akan dilakukan sesuai dengan skema di atas.

1) $f"\left(x\kanan)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ ada di semua titik domain definisi;

4) $-3\notin\left,\5\in $;

5) Nilai:

\ \ \

6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $225$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $50. Dengan demikian, kita mendapatkan:

Menjawab:$maks=225,\ min=50$.

Contoh 3

Cari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Keputusan.

Solusinya akan dilakukan sesuai dengan skema di atas.

1) $f"\kiri(x\kanan)=\frac(\kiri(2x-6\kanan)\kiri(x-1\kanan)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ tidak ada pada titik $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, namun 1 tidak termasuk dalam ruang lingkup;

5) Nilai:

\ \ \

6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $1$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $-8\frac(1)(3)$. Jadi, kita mendapatkan: \end(enumerate)

Menjawab:$maks=1,\ min==-8\frac(1)(3)$.

Gambar di bawah menunjukkan di mana fungsi dapat mencapai nilai terkecil dan terbesarnya. Pada gambar kiri, nilai terkecil dan terbesar ditetapkan pada titik minimum lokal dan maksimum fungsi. Pada gambar kanan - di ujung segmen.

Jika fungsi kamu = f(x) kontinu pada interval [ sebuah, b] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit dan nilai tertinggi . Ini, seperti yang telah disebutkan, dapat terjadi baik di titik ekstrim atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit dan nilai terbesar dari fungsi , kontinu pada segmen [ sebuah, b] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan titik kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.

Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x) pada segmen [ sebuah, b] . Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya terletak di [ sebuah, b] .

titik kritis disebut titik di mana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis. Dan, akhirnya, kita harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( f(sebuah) dan f(b) ). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada interval [sebuah, b] .

Masalah menemukan nilai terkecil dari fungsi .

Kami mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 2] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini. Samakan turunan dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan di titik , karena titik bukan milik segmen [-1, 2] . Nilai fungsi tersebut adalah sebagai berikut: , , . Berikut ini nilai fungsi terkecil(ditandai dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis .

Jika fungsi kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, tetapi titik batas segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai-nilai fungsi tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang digambarkan pada gambar di bawah ini kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak memiliki nilai terbesar.

Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terbatas), properti fungsi kontinu berikut ini berlaku.

Untuk memeriksa sendiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:

.

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis: . Itu milik interval [-1, 3] . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik .

Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Ada guru yang, pada topik menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberi siswa contoh yang lebih rumit dari yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya adalah polinomial atau pecahan, pembilangnya dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di kalangan guru ada pecinta membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.

Contoh 8. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan produk :

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada suatu titik dan pada suatu titik dan nilai terbesar sama dengan e² , pada titik .

Untuk memeriksa sendiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 9. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini:

Samakan turunan dengan nol:

Satu-satunya titik kritis milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , di titik dan nilai terbesar, sama dengan , pada titik .

Dalam masalah ekstrem yang diterapkan, menemukan nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai aturan, direduksi menjadi menemukan minimum (maksimum). Tetapi bukan minima atau maxima itu sendiri yang menjadi kepentingan praktis yang lebih besar, tetapi nilai-nilai argumen di mana mereka dicapai. Saat memecahkan masalah yang diterapkan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 10 Tangki dengan kapasitas 4, berbentuk paralelepiped dengan dasar persegi dan terbuka di bagian atas, harus dikalengkan. Berapa dimensi tangki agar dapat menutupinya dengan bahan paling sedikit?

Keputusan. Biarlah x- sisi dasar h- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus , mis. adalah fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kami menggunakan fakta bahwa , dari mana . Mengganti ekspresi yang ditemukan h ke dalam rumus untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan terdiferensiasi di mana-mana di ]0, +∞[ , dan

.

Kami menyamakan turunannya dengan nol () dan menemukan titik kritisnya. Selain itu, pada , turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh karena itu tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan kriteria cukup kedua. Mari kita cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Ini berarti bahwa ketika fungsi mencapai minimum . Karena ini minimum - satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, ini adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.

Untuk memeriksa sendiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan