Dalam pelajaran ini, kami akan menjelaskan jenis-jenis simetri dalam ruang, berkenalan dengan konsep polihedron beraturan.

Seperti dalam planimetri, di ruang angkasa kita akan mempertimbangkan simetri terhadap suatu titik dan terhadap garis, tetapi selain itu, simetri terhadap bidang akan muncul.

Definisi.

Titik A dan disebut simetris terhadap titik O (pusat simetri), jika O adalah titik tengah ruas. Titik O simetris dengan dirinya sendiri.

Untuk mendapatkan titik yang simetris terhadap titik O untuk titik A tertentu, Anda perlu menggambar garis lurus melalui titik A dan O, menyisihkan segmen yang sama dengan OA dari titik O, dan mendapatkan titik yang diinginkan ( Gambar 1).

Beras. 1. Simetri terhadap suatu titik

Demikian pula, titik B dan simetris terhadap titik O, karena O adalah titik tengah segmen.

Jadi, hukum diberikan yang menurutnya setiap titik pesawat menuju ke titik lain dari pesawat, dan kami mengatakan bahwa setiap jarak dipertahankan, yaitu .

Pertimbangkan simetri sehubungan dengan garis dalam ruang.

Untuk mendapatkan titik simetris untuk titik A yang diberikan sehubungan dengan beberapa garis a, Anda perlu menurunkan tegak lurus dari titik A ke garis dan mengatur segmen yang sama di atasnya (Gambar 2).

Beras. 2. Simetri terhadap garis lurus dalam ruang

Definisi.

Titik A dan disebut simetris terhadap garis a (sumbu simetri) jika garis a melewati tengah-tengah segmen dan tegak lurus terhadapnya. Setiap titik garis simetris dengan dirinya sendiri.

Definisi.

Titik A dan disebut simetris terhadap bidang (bidang simetri) jika bidang melewati tengah segmen dan tegak lurus terhadapnya. Setiap titik bidang simetris dengan dirinya sendiri (Gambar 3).

Beras. 3. Simetri terhadap bidang

Beberapa bangun geometris mungkin memiliki pusat simetri, sumbu simetri, bidang simetri.

Definisi.

Titik O disebut pusat simetri suatu bangun jika setiap titik pada bangun tersebut simetris terhadap suatu titik pada bangun yang sama.

Misalnya, dalam jajar genjang dan jajar genjang, titik potong semua diagonal adalah pusat simetri. Mari kita ilustrasikan untuk parallelepiped.

Beras. 4. Pusat simetri paralelepiped

Jadi, dengan simetri tentang titik O di paralelepiped titik A menuju titik , titik B menuju titik, dll., dengan demikian, kotak masuk ke dalam dirinya sendiri.

Definisi.

Garis lurus disebut sumbu simetri suatu bangun jika setiap titik pada gambar simetris terhadap suatu titik pada bangun yang sama.

Misalnya, setiap diagonal belah ketupat adalah sumbu simetri untuk itu, sebuah belah ketupat berubah menjadi dirinya sendiri ketika simetris terhadap salah satu diagonal.

Pertimbangkan contoh dalam ruang - paralelepiped persegi panjang (tepi lateral tegak lurus dengan alasnya, persegi panjang yang sama di alasnya). Paralelepiped semacam itu memiliki sumbu simetri. Salah satunya melewati pusat simetri paralelepiped (titik persimpangan diagonal) dan pusat pangkalan atas dan bawah.

Definisi.

Suatu bidang disebut bidang simetri suatu bangun jika setiap titik pada bangun tersebut simetris terhadap suatu titik pada bangun yang sama.

Misalnya, balok memiliki bidang simetri. Salah satunya melewati bagian tengah tepi yang berlawanan dari pangkalan atas dan bawah (Gambar 5).

Beras. 5. Bidang simetri dari parallelepiped persegi panjang

Elemen simetri melekat pada polihedra biasa.

Definisi.

Suatu polihedron cembung disebut beraturan jika semua wajahnya adalah poligon beraturan yang sama, dan jumlah sisi yang sama konvergen pada setiap titik.

Dalil.

Tidak ada polihedron beraturan yang wajahnya n-gon beraturan untuk .

Bukti:

Pertimbangkan kasus ketika adalah segi enam biasa. Semua sudut interiornya sama:

Kemudian pada sudut internal akan lebih besar.

Pada setiap simpul polihedron, setidaknya tiga tepi bertemu, yang berarti bahwa setiap simpul memiliki setidaknya tiga sudut datar. Jumlah total mereka (dengan asumsi bahwa masing-masing lebih besar dari atau sama dengan ) lebih besar dari atau sama dengan . Ini bertentangan dengan pernyataan: dalam polihedron cembung, jumlah semua sudut bidang di setiap titik kurang dari .

Teorema telah terbukti.

Kubus (Gambar 6):

Beras. 6. Kubus

Kubus terdiri dari enam kotak; persegi adalah poligon biasa;

Setiap simpul adalah simpul dari tiga bujur sangkar, misalnya simpul A sekutu dengan wajah persegi ABCD, ;

Jumlah semua sudut bidang pada setiap simpul adalah , karena terdiri dari tiga sudut siku-siku. Ini kurang dari , yang memenuhi gagasan polihedron biasa;

Kubus memiliki pusat simetri - titik perpotongan diagonal;

Kubus memiliki sumbu simetri, misalnya garis lurus a dan b (Gambar 6), di mana garis lurus a melewati titik tengah sisi yang berlawanan, dan b melalui titik tengah sisi yang berlawanan;

Sebuah kubus memiliki bidang-bidang simetri, seperti bidang yang melalui garis a dan b.

2. Tetrahedron reguler (piramida segitiga beraturan, semua tepinya sama satu sama lain):

Beras. 7. Tetrahedron biasa

Sebuah tetrahedron biasa terdiri dari empat segitiga sama sisi;

Jumlah semua sudut bidang pada setiap simpul adalah , karena tetrahedron beraturan terdiri dari tiga sudut bidang di . Ini kurang dari , yang memenuhi gagasan polihedron biasa;

Tetrahedron beraturan memiliki sumbu simetri; mereka melewati titik tengah tepi yang berlawanan, misalnya, garis lurus MN. Selain itu, MN adalah jarak antara garis persilangan AB dan CD, MN tegak lurus sisi AB dan CD;

Sebuah tetrahedron biasa memiliki bidang simetri, masing-masing melewati tepi dan titik tengah tepi yang berlawanan (Gambar 7);

Sebuah tetrahedron biasa tidak memiliki pusat simetri.

3. segi delapan biasa:

Terdiri dari delapan segitiga sama sisi;

Empat tepi bertemu di setiap simpul;

Jumlah semua sudut bidang pada setiap simpul adalah , karena segi delapan beraturan terdiri dari empat sudut bidang sepanjang . Ini kurang dari , yang memenuhi konsep polihedron biasa.

4. Ikosahedron biasa:

Terdiri dari dua puluh segitiga sama sisi;

Lima tepi bertemu di setiap simpul;

Jumlah semua sudut bidang pada setiap simpul adalah , karena ikosahedron beraturan terdiri dari lima sudut bidang sepanjang . Ini kurang dari , yang memenuhi konsep polihedron biasa.

5. Dodecahedron biasa:

Terdiri dari dua belas segilima biasa;

Tiga tepi bertemu di setiap simpul;

Jumlah semua sudut bidang pada setiap titik sudut adalah . Ini kurang dari , yang memenuhi konsep polihedron biasa.

Jadi, kami mempertimbangkan jenis simetri dalam ruang dan memberikan definisi yang ketat. Kami juga mendefinisikan konsep polihedron biasa, yang mempertimbangkan contoh polihedra tersebut dan sifat-sifatnya.

Bibliografi

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat dasar dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, Pdt. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit.
2. Sharygin I. F. Geometri. Kelas 10-11: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 hal.: sakit.
3. E.V. Potoskuev, L.I.Zvalich. Geometri. Kelas 10: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum dengan studi mendalam dan profil matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Edisi ke-6, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 hal.: sakit.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5kelas.net().

Pekerjaan rumah

1. Tentukan jumlah sumbu simetri balok;
2. menunjukkan jumlah sumbu simetri prisma pentagonal beraturan;
3. menunjukkan jumlah bidang simetri segi delapan;
4. membangun piramida yang memiliki semua elemen simetri.

- (definisi) benda geometris yang dibatasi pada semua sisi oleh poligon datar - wajah.

Contoh polihedra:

Sisi-sisi wajah disebut tepi, dan ujung-ujungnya disebut simpul. Menurut jumlah wajah, 4-hedron, 5-hedron, dll. dibedakan. Polihedron disebut cembung, jika semuanya terletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya. Polihedron disebut benar, jika wajahnya adalah poligon beraturan (yaitu, yang semua sisi dan sudutnya sama) dan semua sudut polihedral pada simpulnya sama. Ada lima jenis polihedra biasa: tetrahedron, kubus, oktahedron, dodecahedron, icosahedron.

polihedron dalam ruang tiga dimensi (konsep polihedron) - kumpulan poligon datar dalam jumlah terbatas sedemikian rupa sehingga

1) setiap sisi satu pada saat yang sama merupakan sisi yang lain (tetapi hanya satu), yang disebut berdekatan dengan yang pertama (di sisi ini);

2) dari salah satu poligon yang membentuk polihedron, Anda dapat mencapai salah satu dari mereka dengan pergi ke yang berdekatan, dan dari ini, pada gilirannya, ke yang berdekatan, dll.

Poligon ini disebut wajah, sisi mereka Tulang iga, dan simpulnya adalah puncak polihedron.

Titik sudut polihedron

Tepi polihedron

Sisi dari polihedron

Sebuah polihedron disebut cembung jika terletak di satu sisi bidang dari salah satu wajahnya.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa semua wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Permukaan polihedron cembung terdiri dari wajah-wajah yang terletak di bidang yang berbeda. Dalam hal ini, tepi polihedron adalah sisi poligon, simpul polihedron adalah simpul wajah, sudut datar polihedron adalah sudut poligon - wajah.

Suatu polihedron cembung yang semua simpulnya terletak pada dua bidang sejajar disebut berbentuk seperti prisma. Prisma, piramida, dan piramida terpotong adalah kasus khusus dari prismatoid. Semua sisi sisi prismatoid adalah segitiga atau segi empat, dan sisi segi empat adalah trapesium atau jajaran genjang.

Polihedra tidak hanya menempati tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga terjadi dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Belum lagi barang-barang rumah tangga yang dibuat secara artifisial dalam bentuk berbagai poligon, dimulai dengan kotak korek api dan diakhiri dengan elemen arsitektur, kristal berbentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramida (scheelite), segi delapan (berlian), dll.

Konsep polihedron, jenis polihedra dalam geometri

Geometri sebagai ilmu yang memuat bagian stereometri yang mempelajari sifat-sifat dan sifat-sifat benda tiga dimensi, yang sisi-sisinya dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh bidang-bidang terbatas (wajah), disebut "polihedra". Jenis polihedra mencakup lebih dari selusin perwakilan, berbeda dalam jumlah dan bentuk wajah.

Namun, semua polihedra memiliki sifat umum:

1. Semuanya memiliki 3 komponen integral: wajah (permukaan poligon), simpul (sudut yang terbentuk di persimpangan wajah), tepi (sisi gambar atau segmen yang terbentuk di persimpangan dua wajah ).
2. Setiap tepi poligon menghubungkan dua, dan hanya dua, wajah yang berdekatan satu sama lain.
3. Cembung berarti bahwa tubuh sepenuhnya terletak hanya di satu sisi bidang di mana salah satu wajah terletak. Aturan ini berlaku untuk semua permukaan polihedron. Angka-angka geometris seperti itu dalam stereometri disebut polihedra cembung. Pengecualian adalah polihedra berbentuk bintang, yang merupakan turunan dari padatan geometris polihedral biasa.

Polihedra dapat dibagi menjadi:

1. Jenis polihedra cembung, terdiri dari kelas-kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramida, paralelepiped), reguler (juga disebut padatan Platonis), semi-reguler (nama kedua - padatan Archimedean).
2. Polihedra tidak cembung (berbintang).

Prisma dan sifat-sifatnya

Stereometri sebagai cabang geometri mempelajari sifat-sifat bangun tiga dimensi, jenis polihedra (prisma adalah salah satunya). Prisma adalah benda geometris yang harus memiliki dua wajah yang benar-benar identik (mereka juga disebut alas) yang terletak pada bidang paralel, dan jumlah sisi ke-n dalam bentuk jajaran genjang. Pada gilirannya, prisma juga memiliki beberapa varietas, termasuk jenis polihedra seperti:

1. Sebuah paralelepiped terbentuk jika alasnya adalah jajar genjang - poligon dengan 2 pasang sudut berhadapan yang sama dan 2 pasang sisi berlawanan yang kongruen.
2. memiliki rusuk tegak lurus dengan alas.
3. ditandai dengan adanya sudut tidak siku-siku (selain 90) antara wajah dan alas.
4. Prisma beraturan dicirikan oleh alas dalam bentuk dengan wajah sisi yang sama.

Sifat-sifat utama prisma:

• Basis kongruen.
• Semua tepi prisma adalah sama dan sejajar satu sama lain.
• Semua sisi sisi berbentuk jajar genjang.

Piramida

Piramida adalah benda geometris, yang terdiri dari satu alas dan jumlah wajah segitiga ke-n, terhubung pada satu titik - titik. Perlu dicatat bahwa jika sisi sisi piramida harus diwakili oleh segitiga, maka di alasnya bisa ada poligon segitiga, atau segi empat, dan segi lima, dan seterusnya ad infinitum. Dalam hal ini, nama piramida akan sesuai dengan poligon di pangkalan. Misalnya, jika ada segitiga di dasar piramida - ini adalah segi empat - segi empat, dll.

Piramida adalah polihedra seperti kerucut. Jenis polihedra dari kelompok ini, selain yang tercantum di atas, juga termasuk perwakilan berikut:

1. memiliki poligon beraturan di alasnya, dan tingginya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya atau digambarkan di sekitarnya.
2. Piramida segi empat terbentuk jika salah satu sisi sisinya berpotongan dengan alasnya membentuk sudut siku-siku. Dalam hal ini, juga adil untuk menyebut tepi ini sebagai ketinggian piramida.

Sifat piramida:

• Jika semua tepi sisi piramida kongruen (dengan ketinggian yang sama), maka mereka semua berpotongan dengan alas pada sudut yang sama, dan di sekitar alas Anda dapat menggambar lingkaran dengan pusat yang bertepatan dengan proyeksi puncak piramida .
• Jika sebuah poligon beraturan terletak di dasar piramida, maka semua sisi sisinya kongruen, dan sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki.

Polihedron biasa: jenis dan sifat polihedral

Dalam stereometri, tempat khusus ditempati oleh benda-benda geometris dengan wajah yang benar-benar sama, di simpul-simpul di mana jumlah tepi yang sama terhubung. Padatan ini disebut padatan Platonis, atau polihedra biasa. Jenis polihedra dengan sifat seperti itu hanya memiliki lima angka:

1. Segi empat.
2. Pigur berenam segi.
3. Segi delapan.
4. Pigura berduabelas segi.
5. ikosahedron.

Polyhedra biasa berutang nama mereka kepada filsuf Yunani kuno Plato, yang menggambarkan benda-benda geometris ini dalam tulisannya dan menghubungkannya dengan unsur-unsur alam: bumi, air, api, udara. Kelima sosok itu dianugerahi kesamaan dengan struktur alam semesta. Menurutnya, atom-atom unsur alam bentuknya menyerupai jenis polihedra biasa. Karena sifatnya yang paling menarik - simetri, benda-benda geometris ini sangat menarik tidak hanya bagi matematikawan dan filsuf kuno, tetapi juga bagi arsitek, seniman, dan pematung sepanjang masa. Kehadiran hanya 5 jenis polihedra dengan simetri absolut dianggap sebagai penemuan mendasar, mereka bahkan dianugerahi hubungan dengan prinsip ilahi.

Hexahedron dan sifat-sifatnya

Dalam bentuk segi enam, para penerus Plato diasumsikan memiliki kesamaan dengan struktur atom-atom bumi. Tentu saja, pada saat ini, hipotesis ini telah sepenuhnya terbantahkan, yang, bagaimanapun, tidak menghalangi para tokoh untuk menarik pikiran tokoh-tokoh terkenal dengan estetika mereka di zaman modern.

Dalam geometri, segi enam, juga dikenal sebagai kubus, dianggap sebagai kasus khusus dari paralelepiped, yang, pada gilirannya, adalah sejenis prisma. Dengan demikian, sifat-sifat kubus dikaitkan dengan satu-satunya perbedaan adalah bahwa semua wajah dan sudut kubus sama satu sama lain. Properti berikut mengikuti dari ini:

1. Semua rusuk kubus kongruen dan terletak pada bidang sejajar terhadap satu sama lain.
2. Semua wajah adalah bujur sangkar yang kongruen (ada total 6 dalam kubus), salah satunya dapat diambil sebagai alas.
3. Semua sudut interhedral adalah 90.
4. Dari setiap simpul muncul jumlah rusuk yang sama, yaitu 3.
5. Kubus memiliki 9 yang semuanya berpotongan di titik perpotongan diagonal segi enam, yang disebut pusat simetri.

Segi empat

Tetrahedron adalah tetrahedron dengan wajah yang sama dalam bentuk segitiga, yang masing-masing simpulnya merupakan titik persimpangan tiga wajah.

Sifat-sifat tetrahedron biasa:

1. Semua wajah tetrahedron - dari sini semua wajah tetrahedron kongruen.
2. Karena alasnya diwakili oleh sosok geometris biasa, yaitu memiliki sisi yang sama, maka wajah tetrahedron bertemu pada sudut yang sama, yaitu, semua sudutnya sama.
3. Jumlah sudut datar pada setiap simpul adalah 180, karena semua sudut sama, maka setiap sudut dari segi empat beraturan adalah 60.
4. Masing-masing simpul diproyeksikan ke titik perpotongan ketinggian wajah yang berlawanan (orthocenter).

Octahedron dan sifat-sifatnya

Menggambarkan jenis polihedra biasa, orang tidak dapat gagal untuk mencatat objek seperti segi delapan, yang dapat direpresentasikan secara visual sebagai dua piramida reguler segi empat yang direkatkan dengan alas.

Sifat oktahedron:

1. Nama benda geometris itu sendiri menunjukkan jumlah wajahnya. Oktahedron terdiri dari 8 segitiga sama sisi yang kongruen, di masing-masing titik sudutnya bertemu dengan jumlah wajah yang sama, yaitu 4.
2. Karena semua permukaan oktahedron adalah sama, maka sudut antarmukanya, yang masing-masing sama dengan 60, dan jumlah sudut bidang dari salah satu simpul adalah 240.

Pigura berduabelas segi

Jika kita membayangkan bahwa semua wajah benda geometris adalah segi lima biasa, maka kita mendapatkan dodecahedron - sosok 12 poligon.

Sifat dodecahedron:

1. Tiga wajah berpotongan di setiap simpul.
2. Semua wajah adalah sama dan memiliki panjang tepi yang sama dan luas yang sama.
3. Dodecahedron memiliki 15 sumbu dan bidang simetri, dan salah satunya melewati puncak wajah dan tengah tepi yang berlawanan.

ikosahedron

Tidak kalah menarik dari dodecahedron, icosahedron adalah tubuh geometris tiga dimensi dengan 20 wajah yang sama. Di antara sifat-sifat dua puluh hedron biasa, berikut ini dapat dicatat:

1. Semua wajah ikosahedron adalah segitiga sama kaki.
2. Lima wajah bertemu di setiap titik polihedron, dan jumlah sudut yang berdekatan dari titik tersebut adalah 300.
3. Icosahedron, seperti dodecahedron, memiliki 15 sumbu dan bidang simetri yang melewati titik tengah wajah yang berlawanan.

Poligon setengah beraturan

Selain padatan Platonis, kelompok polihedra cembung juga termasuk padatan Archimedean, yaitu polihedra beraturan yang terpotong. Jenis-jenis polihedra dari kelompok ini memiliki sifat-sifat berikut:

1. Benda geometris memiliki wajah berpasangan yang sama dari beberapa jenis, misalnya, tetrahedron terpotong memiliki 8 wajah, seperti tetrahedron biasa, tetapi dalam kasus padatan Archimedean, 4 wajah akan berbentuk segitiga dan 4 akan menjadi heksagonal.
2. Semua sudut dari satu simpul kongruen.

Bintang polihedra

Perwakilan dari jenis benda geometris non-volumetrik adalah polihedra berbentuk bintang, yang permukaannya berpotongan satu sama lain. Mereka dapat dibentuk dengan menggabungkan dua benda tiga dimensi biasa atau dengan melanjutkan wajah mereka.

Jadi, polihedra berbintang seperti itu dikenal sebagai: bentuk-bentuk bintang dari segi delapan, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Ada topik khusus dalam geometri sekolah yang Anda nantikan, mengantisipasi pertemuan dengan materi yang sangat indah. Topik-topik ini termasuk "Polyhedra biasa".Di sini, tidak hanya dunia indah benda-benda geometris dengan sifat-sifat unik yang terbuka, tetapi juga hipotesis ilmiah yang menarik. Dan kemudian pelajaran geometri menjadi semacam studi aspek tak terduga dari mata pelajaran sekolah biasa.

Tak satu pun dari tubuh geometris yang memiliki kesempurnaan dan keindahan seperti polihedra biasa. "Polihedra biasa sangat sedikit," L. Carroll pernah menulis, "tetapi detasemen ini, yang jumlahnya sangat kecil, berhasil masuk ke kedalaman berbagai ilmu."

Berapa jumlah yang sangat kecil ini dan mengapa ada begitu banyak. Dan berapa banyak? Ternyata tepat lima - tidak lebih, tidak kurang. Ini dapat dikonfirmasi dengan membuka sudut polihedral cembung. Memang, untuk mendapatkan polihedron beraturan apa pun menurut definisinya, jumlah wajah yang sama harus berkumpul di setiap simpul, yang masing-masing merupakan poligon beraturan. Jumlah sudut bidang dari sudut polihedral harus kurang dari 360 o, jika tidak, permukaan polihedral tidak akan diperoleh. Melalui kemungkinan solusi bilangan bulat dari ketidaksetaraan: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Nama-nama polyhedra biasa berasal dari Yunani. Dalam terjemahan literal dari bahasa Yunani "tetrahedron", "oktahedron", "heksahedron", "dodecahedron", "ikosahedron" berarti: "tetrahedron", "oktahedron", "heksahedron". dodecahedron, dodecahedron. Buku ke-13 dari Euclid's Elements didedikasikan untuk tubuh yang indah ini. Mereka juga disebut tubuh Plato, karena. mereka menempati tempat penting dalam konsep filosofis Plato tentang struktur alam semesta. Empat polihedron dipersonifikasikan di dalamnya empat esensi atau "elemen". Tetrahedron melambangkan api, karena. bagian atasnya mengarah ke atas; icosahedron - air, karena dia yang paling "rampingan"; kubus - bumi, sebagai yang paling "stabil"; segi delapan - udara, sebagai yang paling "lapang". Polihedron kelima, dodecahedron, mewujudkan "segala sesuatu yang ada", melambangkan seluruh alam semesta, dan dianggap sebagai yang utama.

Orang Yunani kuno menganggap hubungan yang harmonis sebagai dasar alam semesta, oleh karena itu, empat elemen mereka dihubungkan dengan proporsi seperti itu: tanah/air=udara/api. Atom-atom dari "elemen" disetel oleh Plato dalam konsonan yang sempurna, seperti empat senar kecapi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa konsonan yang menyenangkan disebut konsonan. Harus dikatakan bahwa hubungan musik yang aneh dalam padatan Platonis adalah murni spekulatif dan tidak memiliki dasar geometris. Baik jumlah simpul padatan Platonis, maupun volume polihedra biasa, maupun jumlah tepi atau wajah tidak terhubung oleh hubungan ini.

Sehubungan dengan benda-benda ini, akan tepat untuk mengatakan bahwa sistem unsur pertama, yang mencakup empat unsur - tanah, air, udara dan api - dikanonisasi oleh Aristoteles. Unsur-unsur ini tetap menjadi empat landasan alam semesta selama berabad-abad. Sangat mungkin untuk mengidentifikasi mereka dengan empat keadaan materi yang kita kenal - padat, cair, gas, dan plasma.

Tempat penting ditempati oleh polyhedra biasa dalam sistem struktur dunia yang harmonis oleh I. Kepler. Semua keyakinan yang sama dalam harmoni, keindahan, dan struktur alam semesta yang teratur secara matematis membawa I. Kepler pada gagasan bahwa karena ada lima polihedra biasa, hanya enam planet yang sesuai dengan mereka. Menurutnya, bola-bola planet saling berhubungan oleh padatan Platonis yang tertulis di dalamnya. Karena untuk setiap polihedron beraturan pusat-pusat lingkaran bertulisan dan dibatasi bertepatan, seluruh model akan memiliki satu pusat, di mana Matahari akan berada.

Setelah melakukan pekerjaan komputasi yang sangat besar, pada tahun 1596 I. Kepler mempublikasikan hasil penemuannya dalam buku "The Secret of the Universe". Dia menuliskan sebuah kubus ke dalam bidang orbit Saturnus, ke dalam sebuah kubus - bidang Yupiter, ke dalam bidang Yupiter - sebuah tetrahedron, dan seterusnya secara berurutan masuk ke satu sama lain dengan bidang Mars - sebuah dodecahedron, bidang Bumi - sebuah icosahedron, bola Venus - sebuah oktahedron, bola Merkurius. Rahasia alam semesta tampaknya terbuka.

Hari ini aman untuk mengatakan bahwa jarak antara planet-planet tidak terkait dengan polihedra apa pun. Namun, ada kemungkinan bahwa tanpa "Rahasia Alam Semesta", "Harmoni Dunia" oleh I. Kepler, polihedra biasa tidak akan ada tiga hukum terkenal I. Kepler, yang memainkan peran penting dalam menggambarkan gerakan dari planet-planet.

Di mana lagi Anda bisa melihat tubuh menakjubkan ini? Dalam sebuah buku yang sangat indah karya ahli biologi Jerman pada awal abad kita, E. Haeckel, "The Beauty of Forms in Nature," seseorang dapat membaca baris-baris berikut: "Alam memelihara di dadanya sejumlah makhluk menakjubkan yang tak habis-habisnya sejauh ini. melampaui semua bentuk yang diciptakan oleh seni manusia dalam keindahan dan keragaman." Ciptaan alam dalam buku ini indah dan simetris. Ini adalah properti yang tak terpisahkan dari harmoni alam. Tetapi di sini Anda juga dapat melihat organisme uniseluler - feodarii, yang bentuknya secara akurat menyampaikan ikosahedron. Apa yang menyebabkan geometrisasi alami seperti itu? Mungkin karena semua polihedra dengan jumlah wajah yang sama, maka ikosahedronlah yang memiliki volume terbesar dan luas permukaan terkecil. Sifat geometris ini membantu mikroorganisme laut mengatasi tekanan kolom air.

Menarik juga bahwa ikosahedronlah yang ternyata menjadi pusat perhatian para ahli biologi dalam perselisihan mereka mengenai bentuk virus. Virus tidak bisa bulat sempurna, seperti yang diperkirakan sebelumnya. Untuk menetapkan bentuknya, mereka mengambil berbagai polihedra, mengarahkan cahaya ke arah mereka pada sudut yang sama dengan aliran atom ke virus. Ternyata hanya satu polihedron yang memberikan bayangan yang persis sama - ikosahedron. Sifat geometrisnya, yang disebutkan di atas, memungkinkan penyimpanan informasi genetik. Polyhedra biasa adalah angka yang paling menguntungkan. Dan alam mengambil keuntungan dari ini. Kristal dari beberapa zat yang kita kenal berbentuk polihedra biasa. Jadi, kubus tersebut berbentuk kristal natrium klorida NaCl, kristal tunggal aluminium-kalium tawas (KAlSO4) 2 12H2O berbentuk segi delapan, kristal pirit sulfida FeS berbentuk dodecahedron, antimon natrium sulfat adalah sebuah tetrahedron, boron adalah sebuah icosahedron. Polihedra biasa menentukan bentuk kisi kristal dari beberapa bahan kimia. Saya akan mengilustrasikan ide ini dengan masalah berikut.

Tugas. Model molekul metana CH4 memiliki bentuk tetrahedron biasa, dengan atom hidrogen di empat simpul dan atom karbon di tengah. Tentukan sudut ikatan antara dua ikatan CH.

Keputusan. Karena tetrahedron biasa memiliki enam tepi yang sama, maka dimungkinkan untuk memilih kubus sedemikian sehingga diagonal wajahnya adalah tepi tetrahedron biasa (Gbr. 2). Pusat kubus juga merupakan pusat tetrahedron, karena empat simpul tetrahedron juga merupakan simpul kubus, dan bola yang dijelaskan di sekitarnya secara unik ditentukan oleh empat titik yang tidak terletak pada bidang yang sama. Sudut j yang diinginkan antara dua ikatan CH sama dengan sudut AOS. Segitiga AOC adalah sama kaki. Oleh karena itu, di mana a adalah sisi kubus, d adalah panjang diagonal sisi muka atau tepi tetrahedron. Jadi, dari mana \u003d 54.73561 O dan j \u003d 109.47 O

Gagasan Pythagoras, Plato, I. Kepler tentang hubungan polihedra biasa dengan struktur dunia yang harmonis telah menemukan kelanjutannya di zaman kita dalam hipotesis ilmiah yang menarik, yang penulisnya (pada awal 80-an) adalah insinyur Moskow V. Makarov dan V. Morozov. Mereka percaya bahwa inti Bumi memiliki bentuk dan sifat kristal yang tumbuh yang mempengaruhi perkembangan semua proses alami yang terjadi di planet ini. Sinar kristal ini, atau lebih tepatnya, medan gayanya, menentukan struktur ikosahedron-dodecahedral Bumi (Gbr. 3), yang memanifestasikan dirinya dalam kenyataan bahwa proyeksi polihedra biasa yang tertulis di bola dunia muncul di kerak bumi: ikosahedron dan dodecahedron. 62 simpul dan titik tengah tepinya, yang disebut simpul oleh penulis, memiliki sejumlah properti khusus yang memungkinkan untuk menjelaskan beberapa fenomena yang tidak dapat dipahami.

Jika Anda meletakkan di dunia pusat budaya dan peradaban terbesar dan paling luar biasa di Dunia Kuno, Anda dapat melihat pola di lokasi mereka relatif terhadap kutub geografis dan khatulistiwa planet ini. Banyak deposit mineral membentang di sepanjang grid icosahedral-dodecahedral. Hal yang lebih menakjubkan terjadi di persimpangan tulang rusuk ini: inilah pusat budaya dan peradaban paling kuno: Peru, Mongolia Utara, Haiti, budaya Ob, dan lainnya. Pada titik-titik ini, ada tekanan atmosfer maksimum dan minimum, pusaran raksasa Samudra Dunia, di sini Loch Ness Skotlandia, Segitiga Bermuda. Studi lebih lanjut tentang Bumi, mungkin, akan menentukan sikap terhadap hipotesis ilmiah yang indah ini, di mana, tampaknya, polihedra biasa menempati tempat penting.

Jadi, ternyata ada tepat lima polihedra beraturan. Dan bagaimana menentukan jumlah tepi, wajah, simpul di dalamnya? Ini tidak sulit dilakukan untuk polihedra dengan sejumlah kecil tepi, tetapi bagaimana, misalnya, mendapatkan informasi seperti itu untuk ikosahedron? Matematikawan terkenal L. Euler memperoleh rumus +Г-Р=2, yang menghubungkan jumlah simpul /В/, wajah /Г/ dan tepi /Р/ dari setiap polihedron. Kesederhanaan rumus ini adalah tidak ada hubungannya dengan jarak atau sudut. Untuk menentukan jumlah tepi, simpul, dan wajah polihedron beraturan, pertama-tama kita menemukan angka k \u003d 2y - xy + 2x, di mana x adalah jumlah tepi yang dimiliki oleh satu wajah, y adalah jumlah wajah yang konvergen pada satu simpul. Untuk menemukan jumlah wajah, simpul, dan tepi polihedron beraturan, kami menggunakan rumus. Setelah itu, mudah untuk mengisi tabel yang memberikan informasi tentang elemen polihedra beraturan:

polihedron H W R

tetrahedron 4-4-6

segi enam 6-8-12

segi delapan 8-6-12

dodecahedron 12-20-30

ikosahedron 20-12-30

Dan satu pertanyaan lagi muncul sehubungan dengan polihedra biasa: apakah mungkin untuk mengisi ruang dengan mereka sehingga tidak ada celah di antara mereka? Itu muncul dengan analogi dengan poligon biasa, beberapa di antaranya dapat mengisi bidang. Ternyata Anda dapat mengisi ruang hanya dengan bantuan satu kubus polihedron biasa. Ruang juga bisa diisi dengan dodecahedron belah ketupat. Untuk memahami ini, Anda perlu memecahkan masalah.

Tugas. Dengan bantuan tujuh kubus yang membentuk "salib" spasial, bangunlah belah ketupat belah ketupat dan tunjukkan bahwa mereka dapat mengisi ruang.

Keputusan. Kubus dapat mengisi ruang. Pertimbangkan bagian dari kisi kubik yang ditunjukkan pada Gbr.4. Kami membiarkan kubus tengah tidak tersentuh, dan di setiap kubus "pembatas" kami menggambar bidang melalui keenam pasang sisi yang berlawanan. Dalam hal ini, kubus yang "dikelilingi" akan dibagi menjadi enam piramida yang sama dengan alas persegi dan tepi samping sama dengan setengah diagonal kubus. Piramida yang berdekatan dengan bentuk kubus yang tidak tersentuh bersama-sama dengan yang terakhir adalah dodecahedron belah ketupat. Dari sini jelas bahwa seluruh ruang dapat diisi dengan dodecahedron belah ketupat. Sebagai akibatnya, kita peroleh bahwa volume suatu belah ketupat sama dengan dua kali volume kubus yang rusuknya berimpit dengan diagonal yang lebih kecil dari permukaan segi empat.

Memecahkan masalah terakhir, kami sampai pada dodecahedron belah ketupat. Menariknya, sel-sel lebah, yang juga mengisi ruang tanpa celah, juga idealnya berbentuk geometris. Bagian atas sel lebah adalah bagian dari belah ketupat dodecahedron.

Jadi, polyhedra biasa mengungkapkan kepada kita upaya para ilmuwan untuk mendekati rahasia harmoni dunia dan menunjukkan daya tarik geometri yang tak tertahankan.

Beranda > Abstrak

MENTERI PENDIDIKAN

SEKOLAH MENENGAH 3

KARANGAN

dalam geometri

Subjek:

"Polihedral".

Dilakukan: siswa sekolah menengah MOU kelas 11-"b" No. 3 Alyabyeva Yulia. Diperiksa: guru matematika Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Zheleznovodsk

Rencana

I. Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Bagian teoretis

Sudut dihedral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sudut trihedral dan polihedral. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polihedron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Gambar prisma dan konstruksi bagian-bagiannya. . . . . 7 prisma langsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sembilan Paralelipiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sembilan Simetri sentral dari parallelepiped. . . . . . . . sepuluh parallelepiped persegi panjang. . . . . . . . . . . . . . . . . . sebelas

10. Simetri dari parallelepiped persegi panjang. . . . 12 11. Piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tigabelas 12. Konstruksi piramida dan bagian bidangnya. . . . . . tigabelas 13. Piramida terpotong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limabelas 14. Piramida yang benar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limabelas 15. Polihedra biasa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . enambelas AKU AKU AKU. Bagian praktis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Kesimpulan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sembilan belas V. Sastra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Saya Perkenalan

Ada topik khusus dalam geometri sekolah yang Anda nantikan, mengantisipasi pertemuan dengan materi yang sangat indah. Topik tersebut termasuk "Polyhedra". Di sini, tidak hanya dunia indah benda-benda geometris dengan sifat-sifat unik yang terbuka, tetapi juga hipotesis ilmiah yang menarik. Dan kemudian pelajaran geometri menjadi semacam studi aspek tak terduga dari mata pelajaran sekolah biasa. Tak satu pun dari tubuh geometris yang memiliki kesempurnaan dan keindahan seperti polihedra. "Ada sedikit polihedron," L. Carroll pernah menulis, "tetapi detasemen ini, yang jumlahnya sangat sedikit, berhasil masuk ke kedalaman berbagai ilmu."

II. Bagian teoretis.

1. Sudut dihedral sudut dihedral disebut sosok yang dibentuk oleh dua "setengah bidang dengan garis lurus umum yang membatasi mereka (Gbr. 1). Setengah bidang disebut wajah, dan garis yang membatasi mereka tepian sudut dihedral. Sebuah bidang yang tegak lurus pada tepi suatu sudut dihedral memotong wajahnya sepanjang dua setengah garis. Sudut yang dibentuk oleh setengah garis ini disebut linier. sudut sudut dihedral. Ukuran sudut dihedral diambil sebagai ukuran sudut linier yang sesuai. Semua sudut linier dari sudut dihedral digabungkan dengan terjemahan paralel, yang berarti mereka sama. Oleh karena itu, ukuran sudut dihedral tidak bergantung pada pilihan sudut linier. 2. Sudut trihedral dan polihedral Pertimbangkan tiga balok a, b, c, berasal dari titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama. sudut segitiga (abc) disebut bangun datar yang terdiri dari "tiga sudut datar" (ab),(bc) dan (ac) (Gbr. 2). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut segitiga, dan sisi-sisinya - Tulang iga simpul persekutuan dari sudut-sudut datar disebut puncak sudut segitiga. Sudut dihedral yang dibentuk oleh sisi-sisi sudut trihedral disebut sudut dihedral dari sudut trihedral. Konsep sudut polihedral didefinisikan dengan cara yang sama (Gbr. 3).

3. Polihedron

Dalam stereometri, sosok di ruang angkasa, yang disebut benda, dipelajari. Secara visual, tubuh (geometris) harus dibayangkan sebagai bagian dari ruang yang ditempati oleh tubuh fisik dan dibatasi oleh permukaan. Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar (Gbr. 4). Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron cembung disebut wajah. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul disebut simpul polihedron. Mari kita jelaskan apa yang dikatakan pada contoh kubus yang sudah dikenal (Gbr. 5). Kubus adalah polihedron cembung. Permukaannya terdiri dari enam kotak: ABCD, BEFC, .... Mereka adalah wajahnya. Sisi-sisi kubus adalah sisi-sisi persegi berikut: AB, BC, BE, .... Simpul kubus adalah simpul bujur sangkar: A, B, C, D, E, .... Kubus memiliki enam wajah, dua belas tepi dan delapan simpul. Polihedra paling sederhana - prisma dan piramida, yang akan menjadi objek utama penelitian kami - kami akan memberikan definisi seperti itu, yang pada dasarnya tidak menggunakan konsep tubuh. Mereka akan didefinisikan sebagai figur geometris dengan indikasi semua titik ruang milik mereka. Konsep tubuh geometris dan permukaannya dalam kasus umum akan diberikan nanti.

4. Prisma

Prisma adalah polihedron, yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak di bidang yang berbeda dan digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini (Gbr. 6). Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai disebut tepi lateral prisma. Karena terjemahan paralel adalah gerakan, dasar prisma adalah sama. Karena, selama transfer paralel, pesawat melewati bidang paralel (atau ke dalam dirinya sendiri), maka alas prisma terletak pada bidang paralel, ujung-ujungnya sejajar dan sama. Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan samping. Permukaan lateral terdiri dari jajaran genjang. Untuk masing-masing jajaran genjang ini, dua sisinya adalah sisi alas yang bersesuaian, dan dua lainnya adalah sisi sisi yang berdekatan. Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alasnya. Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut diagonal prisma. Prisma disebut n-gonal jika alasnya n-gon. Di masa depan, kami hanya akan mempertimbangkan prisma yang alasnya adalah poligon cembung. Prisma semacam itu adalah polihedra cembung. Gambar 6 menunjukkan prisma segi lima. Basisnya adalah segi lima. TETAPI 1 TETAPI 2 ...TETAPI 5 , TETAPI 1 ’ TETAPI" 2 ...TETAPI" 5 . XX"- segmen garis yang menghubungkan titik-titik yang sesuai dari pangkalan. Tepi lateral segmen prisma TETAPI 1 TETAPI" 2 , TETAPI 1 TETAPI" 2 , ..., TETAPI 5 TETAPI" 5 . Sisi samping prisma - jajaran genjang TETAPI 1 TETAPI 2 TETAPI" 2 TETAPI 1 , TETAPI 2 TETAPI 3 TETAPI ’ 3 TETAPI" 2 , ... .

5. Gambar prisma dan konstruksi bagian-bagiannya

Sesuai dengan aturan proyeksi paralel, gambar prisma dibangun sebagai berikut. Pertama, salah satu pangkalan dibangun R(Gbr. 7). Ini akan menjadi beberapa poligon datar. Kemudian dari simpul poligon R rusuk lateral prisma ditarik dalam bentuk segmen paralel dengan panjang yang sama. Ujung-ujung segmen ini terhubung, dan dasar prisma lainnya diperoleh. Tepi yang tidak terlihat digambar dengan garis putus-putus. Bagian-bagian prisma dengan bidang-bidang yang sejajar dengan sisi-sisinya adalah jajaran genjang. Secara khusus, bagian diagonal adalah jajaran genjang. Ini adalah bagian-bagian oleh bidang yang melewati dua sisi sisi yang tidak termasuk dalam wajah yang sama (Gbr. 8). Dalam praktiknya, khususnya, ketika memecahkan masalah, seringkali perlu untuk membangun bagian prisma dengan bidang yang melewati garis lurus tertentu. g pada bidang salah satu alas prisma. Garis seperti itu disebut Selanjutnya memotong bidang pada bidang alas. Untuk membangun bagian prisma, cukup dengan membangun segmen perpotongan bidang potong dengan wajah prisma. Mari kita tunjukkan bagaimana bagian seperti itu dibangun jika ada titik yang diketahui TETAPI pada permukaan prisma milik bagian (Gbr. 9). Jika titik ini TETAPI milik alas prisma yang lain, maka perpotongannya dengan bidang potong adalah segmen matahari, sejajar dengan bangun g dan mengandung titik yang diberikan TETAPI(Gbr. 9, a). Jika titik ini TETAPI merupakan bagian dari muka samping, maka perpotongan muka ini dengan bidang potong dibangun, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9, b. Yaitu: pertama-tama sebuah titik dibangun D, di mana bidang wajah memotong jejak yang diberikan g. Kemudian ditarik garis melalui titik-titik tersebut TETAPI dan D. Segmen garis matahari lurus IKLAN pada permukaan yang dipertimbangkan adalah perpotongan wajah ini dengan bidang potong. Jika wajah mengandung titik TETAPI, sejajar dengan jejak g, lalu bidang potong memotong wajah ini di sepanjang segmen matahari, melewati suatu titik TETAPI dan sejajar dengan garis g.

Garis berakhir matahari milik wajah tetangga. Oleh karena itu, dengan cara yang dijelaskan, adalah mungkin untuk membuat perpotongan dari permukaan-permukaan ini dengan bidang potong kita. Dan seterusnya Gambar 10 menunjukkan konstruksi bagian prisma segi empat oleh sebuah bidang yang melalui garis lurus sebuah pada bidang alas bawah prisma dan sebuah titik TETAPI di salah satu rusuk samping. 6. Prisma lurus Sebuah prisma disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring. Untuk prisma lurus, sisi-sisinya berbentuk persegi panjang. Saat menggambarkan prisma lurus pada gambar, rusuk samping biasanya digambar secara vertikal (Gbr. 11). Prisma siku-siku disebut beraturan jika alasnya adalah poligon beraturan. Permukaan lateral prisma (lebih tepatnya, luas permukaan lateral) adalah jumlah dari luas permukaan lateral. Total permukaan prisma sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya. Teorema 19.1. Permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling alas dan tinggi prisma, yaitu, panjang tepi lateral. Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang. Alas persegi panjang ini adalah sisi-sisi poligon yang terletak di dasar prisma, dan tingginya sama dengan panjang sisi-sisinya. Oleh karena itu, permukaan lateral prisma sama dengan

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l = pl,

di mana sebuah 1 ,..., sebuah n- panjang tepi alas, R - keliling alas prisma, dan 1 - panjang rusuk samping. Teorema telah terbukti. 7. Paralelepiped Jika alas prisma adalah jajar genjang, maka disebut jajar genjang. Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang. Pada Gambar 12, a, paralelepiped miring ditunjukkan, dan pada Gambar 12, b - paralelepiped lurus. Wajah dari parallelepiped yang tidak memiliki simpul yang sama disebut wajah yang berlawanan. TEOREMA 19.2. Sebuah parallelepiped memiliki wajah berlawanan yang sejajar dan sama. Bukti. Pertimbangkan beberapa dua wajah berlawanan dari parallelepiped, misalnya A1A2A"2A"1 dan A3A4A"4A"3. (Gbr. 13). Karena semua permukaan paralelepiped adalah jajar genjang, garis A1A2 sejajar dengan garis A4A3, dan garis A1A"1 sejajar dengan garis A4A4". Dari sini dapat disimpulkan bahwa bidang-bidang dari wajah-wajah yang dipertimbangkan adalah paralel. Dari kenyataan bahwa wajah paralelepiped adalah jajaran genjang, maka segmen A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 dan A2A3 sejajar dan sama. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa wajah A1A2A"2A"1 digabungkan dengan translasi paralel di sepanjang tepi A1A4. dengan wajah A3A4A "4A" 3. Jadi tepi ini sama. Paralelisme dan kesetaraan dari setiap wajah berlawanan lainnya dari paralelepiped terbukti sama. Teorema telah terbukti.
8. Simetri sentral dari parallelepiped Teorema 19.3. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua. Bukti. Pertimbangkan beberapa dua diagonal dari paralelepiped, misalnya, A 1 A "3 dan A 4 A" 2 (Gbr. 14). Karena segi empat A 1 A 2 A 3 A 4 dan A 2 A "2 A" 3 A 3 adalah jajar genjang dengan sisi yang sama A 2 A 3, maka sisi-sisinya A 1 A 4 dan A "2 A" 3 sejajar satu sama lain, yang berarti mereka terletak di bidang yang sama. Bidang ini memotong bidang-bidang permukaan yang berlawanan dari paralelepiped sepanjang garis paralel A 1 A" 2 dan A 4 A" 3 . Oleh karena itu, segiempat A 4 A 1 A "2 A" 3 adalah jajar genjang. Diagonal jajar genjang A 1 A "3 dan A 4 A" 2 adalah diagonal jajar genjang ini. Oleh karena itu, mereka berpotongan dan titik potong O dibagi dua. Demikian pula, dibuktikan bahwa diagonal A1A"3 dan A2A"4, serta diagonal A1A"3 dan A3A"1 berpotongan dan dipotong oleh titik potong. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa keempat diagonal dari parallelepiped berpotongan pada satu titik dan titik persimpangan dibagi dua. Teorema telah terbukti. Teorema 19.3 menyiratkan bahwa titik potong diagonal paralelepiped adalah pusat simetrinya. 9. Kotak persegi panjang Sebuah paralelepiped kanan yang alasnya adalah sebuah persegi panjang disebut parallelepiped persegi panjang. Semua permukaan balok adalah persegi panjang. Sebuah paralelepiped persegi panjang di mana semua sisinya sama disebut kubus. Panjang tepi tidak sejajar dari paralelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (pengukuran). Sebuah balok memiliki tiga dimensi. Teorema 19.4. Dalam sebuah balok, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya. Bukti. Pertimbangkan ABCDA"B"C"D" persegi panjang parallelepiped (Gbr. 15). Dari segitiga siku-siku AC "C, menurut teorema Pythagoras, kita mendapatkan:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Dari segitiga siku-siku ASV, dengan teorema Pythagoras, kita peroleh

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Oleh karena itu AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Tepi AB, BC dan CC" tidak sejajar, dan, oleh karena itu, panjangnya adalah dimensi linier dari paralelepiped. Teorema terbukti. 10. Simetri dari parallelepiped persegi panjang Sebuah parallelepiped persegi panjang, seperti parallelepiped lainnya, memiliki pusat simetri - titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Ia juga memiliki tiga bidang simetri yang melalui pusat simetri yang sejajar dengan wajah. Gambar 16 menunjukkan salah satu pesawat ini. Ini melewati titik tengah dari empat tepi paralel dari parallelepiped. Ujung-ujungnya adalah titik-titik simetris. Jika paralelepiped memiliki semua dimensi linier yang berbeda, maka ia tidak memiliki bidang simetri lain selain yang disebutkan. Jika paralelepiped memiliki dua dimensi linier yang sama, maka ia memiliki dua bidang simetri lagi. Ini adalah bidang-bidang penampang diagonal yang ditunjukkan pada Gambar 17. Jika paralelepiped memiliki semua dimensi linier yang sama, yaitu kubus, maka bidang penampang diagonalnya adalah bidang simetri. Jadi, kubus memiliki sembilan bidang simetri. 11. Piramida Piramida disebut polihedron, yang terdiri dari poligon datar - dasar piramida, titik tidak terletak pada bidang alas, - puncak piramida dan semua segmen yang menghubungkan bagian atas piramida dengan titik-titik alasnya (Gbr. 18). Segmen yang menghubungkan bagian atas piramida dengan bagian atas alas disebut rusuk samping. Permukaan piramida terdiri dari alas dan muka samping. Setiap sisi wajah adalah segitiga. Salah satu simpulnya adalah bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan adalah sisi dasar piramida. tinggi piramida, disebut tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya. Piramida disebut n-gonal jika alasnya adalah n-gon. Piramida segitiga disebut juga segi empat. Piramida yang ditunjukkan pada Gambar 18 memiliki alas - poligon A 1 A 2 ... A n, puncak piramida - S, tepi samping - SA 1, S A 2, ..., S A n, sisi muka - SA 1 A 2, SA 2 A 3 , ... . Berikut ini, kita hanya akan membahas piramida dengan poligon cembung di dasarnya. Piramida semacam itu adalah polihedra cembung. 12. Konstruksi piramida dan bagian bidangnya Sesuai dengan aturan proyeksi paralel, gambar piramida dibangun sebagai berikut. Pertama, fondasi dibangun. Ini akan menjadi beberapa poligon datar. Kemudian bagian atas piramida ditandai, yang dihubungkan oleh rusuk lateral ke bagian atas pangkalan. Gambar 18 menunjukkan gambar piramida segi lima. Bagian piramida menurut bidang yang melewati puncaknya adalah segitiga (Gbr. 19). Secara khusus, bagian diagonal adalah segitiga. Ini adalah bagian oleh bidang yang melewati dua sisi piramida yang tidak berdekatan (Gbr. 20). Bagian piramida oleh bidang dengan jejak tertentu g pada bidang alas dibangun dengan cara yang sama seperti bagian prisma. Untuk membangun bagian piramida dengan bidang, cukup untuk membuat persimpangan sisi-sisinya dengan bidang pemotongan. Jika pada permukaan yang tidak sejajar dengan lintasan g, diketahui beberapa titik A yang termasuk dalam penampang tersebut, maka perpotongan lintasan g dari bidang potong dengan bidang permukaan ini pertama kali dibangun - titik D pada Gambar 21. Titik D dihubungkan dengan titik A oleh sebuah garis lurus. Kemudian ruas garis yang termasuk ke dalam muka ini adalah perpotongan muka ini dengan bidang potong. Jika titik A terletak pada permukaan yang sejajar dengan garis g, maka bidang potong memotong permukaan ini sepanjang segmen yang sejajar dengan garis g. Pergi ke sisi yang berdekatan, mereka membangun persimpangannya dengan bidang pemotongan, dll. Akibatnya, bagian piramida yang diperlukan diperoleh.
Gambar 22 menunjukkan bagian piramida segi empat dengan bidang yang melewati sisi alas dan titik A pada salah satu sisi sisinya.

13. Piramida terpotong Teorema 19.5. Sebuah pesawat memotong piramida dan sejajar dengan dasarnya memotong piramida yang sama. Bukti. Biarkan S menjadi simpul piramida, A simpul alas, dan A "- titik perpotongan bidang garis potong dengan tepi lateral SA (Gbr. 23). Kami menjadikan piramida tersebut transformasi homotetis sehubungan dengan simpul S dengan koefisien homothety

Dengan homothety ini, bidang alas masuk ke bidang paralel yang melewati titik A ", yaitu ke bidang pemotongan, dan, akibatnya, seluruh piramida menjadi bagian yang dipotong oleh bidang ini. Karena homothety adalah kesamaan transformasi, bagian terpotong dari piramida adalah piramida, mirip dengan yang ini, teorema terbukti.

Berdasarkan Teorema 19.5, sebuah bidang yang sejajar dengan bidang dasar piramida dan berpotongan dengan tepi sisinya memotong piramida yang sama darinya. Bagian lainnya adalah polihedron, yang disebut piramida terpotong (Gbr. 24). Wajah-wajah piramida terpotong yang terletak di bidang paralel disebut pangkalan; sisa wajah disebut tepi samping. Basis piramida terpotong adalah poligon yang serupa (selain itu, homotetik), sisi-sisinya adalah trapesium. 14. Piramida yang benar Piramida disebut teratur jika alasnya adalah poligon beraturan, dan alas tingginya bertepatan dengan pusat poligon ini. Sumbu piramida beraturan adalah garis lurus yang memuat ketinggiannya. Jelas, tepi sisi piramida biasa sama; oleh karena itu, sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki. Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut apotema. Permukaan lateral piramida adalah jumlah dari luas permukaan lateralnya. TEOREMA 19.6. Permukaan lateral piramida biasa sama dengan produk setengah keliling alas dan apotema. Bukti. Jika sisi dasar sebuah, jumlah sisi P, maka permukaan lateral piramida sama dengan:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

Di mana SAYA- apotema, a p- keliling dasar piramida. Teorema telah terbukti. Piramida terpotong, yang diperoleh dari piramida biasa, juga disebut benar. Wajah lateral piramida terpotong biasa adalah trapesium sama kaki yang sama; tinggi badan mereka disebut apotema. 15. Polihedra biasa Sebuah polihedron cembung disebut beraturan jika wajahnya adalah poligon beraturan dengan jumlah sisi yang sama dan jumlah sisi yang sama bertemu di setiap titik polihedron.) Ada lima jenis polihedra cembung beraturan (Gbr. 25): tetrahedron beraturan (1), kubus (2), oktahedron (3), dodecahedron (4); ikosahedron (5). Sebuah tetrahedron biasa memiliki wajah yang segitiga biasa; tiga sisi bertemu di setiap titik. Tetrahedron adalah piramida segitiga dengan semua sisinya sama. Dalam kubus, semua wajah berbentuk persegi; tiga sisi bertemu di setiap titik. Kubus adalah persegi panjang paralelepiped dengan tepi yang sama. Wajah segi delapan adalah segitiga biasa, tetapi tidak seperti tetrahedron, empat tepi bertemu di setiap simpulnya. Wajah dodecahedron adalah segi lima biasa. Tiga sisi bertemu di setiap simpul. Wajah ikosahedron adalah segitiga biasa, tetapi tidak seperti tetrahedron dan oktahedron, lima sisi bertemu di setiap titik.

AKU AKU AKU. Bagian praktis.

Tugas 1. Dari titik A dan B yang terletak pada permukaan sudut dihedral, tegak lurus AA\ dan BB\ dijatuhkan ke tepi sudut. Temukan panjang segmen AB jika AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c dan sudut dihedral adalah a (Gbr. 26). Keputusan. Gambar garis A 1 C||BB 1 dan BC||A 1 B 1 . Segi empat A 1 B 1 BC adalah jajar genjang, yang berarti AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. Garis A 1 B 1 tegak lurus terhadap bidang segitiga AA 1 C, karena garis tersebut tegak lurus dengan dua garis pada bidang AA 1 dan CA 1. Oleh karena itu, garis BC yang sejajar dengannya juga tegak lurus terhadap bidang ini. Artinya segitiga ABC siku-siku dengan sudut siku-siku C. Menurut teorema kosinus, AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . Menurut teorema Pythagoras, AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos + c 2. Tugas 2. Sudut segitiga (abc) memiliki sudut dihedral pada rusuk yang bergaris lurus, sudut dihedral pada rusuk b sama dengan , dan sudut datar (bс) sama dengan (,</2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Keputusan. Mari kita turunkan dari sembarang titik A ke tepi a, tegak lurus AB ke tepi b dan tegak lurus AC ke tepi c (Gbr. 27). Menurut teorema tiga tegak lurus, CB adalah tegak lurus terhadap tepi b. Dari segitiga siku-siku OAB, OSV, AOC dan ABC diperoleh: BC/sin )=tg sin Tugas 3. Dalam sebuah prisma miring, sebuah bagian digambar yang tegak lurus dengan rusuk-rusuk samping dan memotong semua rusuk-rusuk samping. Temukan permukaan sisi prisma jika keliling bagian tersebut adalah p dan sisi-sisinya adalah l. Keputusan. Bidang bagian yang digambar membagi prisma menjadi dua bagian (Gbr. 28). Mari kita tundukkan salah satunya pada terjemahan paralel yang menggabungkan alas prisma. Dalam hal ini, kami memperoleh prisma lurus, di mana bagian prisma asli berfungsi sebagai alas, dan sisi-sisinya sama dengan l. Prisma ini memiliki permukaan sisi yang sama dengan yang asli. Jadi, permukaan sisi prisma asli sama dengan pl. Tugas 4. Tepi lateral piramida dibagi menjadi empat bagian yang sama dan bidang yang sejajar dengan alas ditarik melalui titik-titik pembagian. Luas alasnya adalah 400 cm2. Temukan luas bagian. Keputusan. Bagian-bagiannya seperti alas piramida dengan koefisien kesamaan , 2/4, dan . Luas bangun yang serupa dihubungkan sebagai kuadrat berdimensi linier. Jadi, perbandingan luas penampang dengan luas alas piramida adalah (¼) 2, (2/4) 2, dan (¾) 2. Oleh karena itu, luas penampang adalah 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Tugas 5. Buktikan bahwa permukaan lateral piramida terpotong beraturan sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema. Keputusan. Sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium dengan alas atas yang sama a, bawah b dan tinggi (apotema) l. Oleh karena itu, luas satu wajah sama dengan (a + b)l. Luas semua permukaan, yaitu permukaan samping, sama dengan (an + bn)l, di mana n adalah jumlah simpul di dasar piramida, an dan bn adalah keliling alas piramida. piramida.

IV. Kesimpulan

Berkat karya ini, saya merangkum dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh selama studi di kelas 11, berkenalan dengan aturan untuk melakukan karya kreatif, memperoleh pengetahuan baru dan mempraktikkannya. Saya ingin menyoroti 3 buku favorit saya: A.V. Pogorelov "Geometry", G. Yakusheva "Matematika - buku referensi anak sekolah", L.F. Pichurin "Di balik halaman buku teks geometri". Buku-buku ini telah membantu saya lebih dari yang lain. Saya ingin lebih sering menggunakan pengetahuan yang baru saya peroleh dalam praktik.

V. Sastra

1. A.V. Geometri Pogorelov. - M .: Pendidikan, 1992 2. G. Yakusheva "Matematika - panduan anak sekolah." M.: Slowo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev "Course of Mathematical Analysis" v.1, Moskow 1981 4. L.F. Pichurin "Di balik halaman buku teks geometri". - M.: Pendidikan, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometri".