Sistem koordinat persegi panjang pada bidang diberikan oleh dua garis yang saling tegak lurus. Garis lurus disebut sumbu koordinat (atau sumbu koordinat). Titik perpotongan garis-garis ini disebut titik asal dan dilambangkan dengan huruf O.

Biasanya salah satu garis horizontal, yang lain vertikal. Garis horizontal disebut sebagai sumbu x (atau Ox) dan disebut sumbu absis, garis vertikal adalah sumbu y (Oy), disebut sumbu ordinat. Seluruh sistem koordinat dilambangkan dengan xOy.

Titik O membagi masing-masing sumbu menjadi dua sumbu, salah satunya dianggap positif (dilambangkan dengan panah), yang lain dianggap negatif.

Setiap titik F dari pesawat diberi sepasang angka (x;y) — koordinatnya.

Koordinat x disebut absis. Itu sama dengan Sapi yang diambil dengan tanda yang sesuai.

Koordinat y disebut ordinat dan sama dengan jarak dari titik F ke sumbu Oy (dengan tanda yang sesuai).

Jarak sumbu biasanya (tetapi tidak selalu) diukur dalam satuan panjang yang sama.

Titik di sebelah kanan sumbu y memiliki absis positif. Untuk titik-titik yang terletak di sebelah kiri sumbu y, absisnya negatif. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu Oy, koordinat x-nya sama dengan nol.

Titik dengan ordinat positif terletak di atas sumbu x, titik dengan ordinat negatif terletak di bawah. Jika suatu titik terletak pada sumbu x, maka koordinat y adalah nol.

Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian, yang disebut kuadran koordinat (atau sudut koordinat atau kuadran).

1 kuartal koordinat terletak di sudut kanan atas bidang koordinat xOy. Kedua koordinat titik yang terletak di kuarter I adalah positif.

Transisi dari satu kuartal ke kuartal lain dilakukan berlawanan arah jarum jam.

kuarter ke-2 terletak di pojok kiri atas. Titik yang terletak pada kuarter kedua memiliki absis negatif dan ordinat positif.

kuarter ketiga terletak di kuadran kiri bawah bidang xOy. Kedua koordinat titik-titik yang termasuk dalam sudut koordinat III adalah negatif.

Kuartal koordinat ke-4 adalah sudut kanan bawah bidang koordinat. Setiap titik dari kuartal IV memiliki koordinat pertama yang positif dan koordinat kedua yang negatif.

Contoh letak titik dalam sistem koordinat persegi panjang:

Matematika adalah ilmu yang agak kompleks. Mempelajarinya, seseorang tidak hanya harus memecahkan contoh dan masalah, tetapi juga bekerja dengan berbagai tokoh, dan bahkan pesawat. Salah satu yang paling banyak digunakan dalam matematika adalah sistem koordinat pada bidang. Anak-anak telah diajari cara bekerja dengan benar selama lebih dari satu tahun. Karena itu, penting untuk mengetahui apa itu dan bagaimana bekerja dengannya dengan benar.

Mari kita cari tahu apa sistem ini, tindakan apa yang dapat Anda lakukan dengannya, dan juga cari tahu karakteristik dan fitur utamanya.

Definisi konsep

Bidang koordinat adalah bidang di mana sistem koordinat tertentu didefinisikan. Bidang seperti itu didefinisikan oleh dua garis lurus yang berpotongan pada sudut siku-siku. Titik perpotongan garis-garis ini adalah titik asal koordinat. Setiap titik pada bidang koordinat diberikan oleh sepasang angka, yang disebut koordinat.

Dalam kursus matematika sekolah, siswa harus bekerja cukup dekat dengan sistem koordinat - membangun angka dan titik di atasnya, menentukan bidang mana yang termasuk dalam koordinat ini atau itu, dan juga menentukan koordinat titik dan menulis atau menamainya. Karena itu, mari kita bicara lebih detail tentang semua fitur koordinat. Tapi pertama-tama, mari kita sentuh sejarah penciptaan, dan kemudian kita akan berbicara tentang cara bekerja pada bidang koordinat.

Referensi sejarah

Gagasan tentang membuat sistem koordinat ada di zaman Ptolemy. Bahkan saat itu, para astronom dan matematikawan berpikir tentang bagaimana mempelajari cara mengatur posisi suatu titik pada sebuah bidang. Sayangnya, pada saat itu tidak ada sistem koordinat yang kita kenal, dan para ilmuwan harus menggunakan sistem lain.

Awalnya, mereka menetapkan titik dengan menentukan garis lintang dan garis bujur. Untuk waktu yang lama itu adalah salah satu cara yang paling sering digunakan untuk memetakan informasi ini atau itu. Tetapi pada tahun 1637, Rene Descartes menciptakan sistem koordinatnya sendiri, yang kemudian dinamai "Cartesian".

Sudah di akhir abad XVII. konsep "bidang koordinat" telah menjadi banyak digunakan dalam dunia matematika. Terlepas dari kenyataan bahwa beberapa abad telah berlalu sejak penciptaan sistem ini, itu masih banyak digunakan dalam matematika dan bahkan dalam kehidupan.

Contoh bidang koordinat

Sebelum berbicara tentang teori, kami akan memberikan beberapa contoh ilustrasi bidang koordinat sehingga Anda dapat membayangkannya. Sistem koordinat terutama digunakan dalam catur. Di papan tulis, setiap kotak memiliki koordinatnya sendiri - satu koordinat huruf, yang kedua - digital. Dengan bantuannya, Anda dapat menentukan posisi bagian tertentu di papan tulis.

Contoh paling mencolok kedua adalah game tercinta "Battleship". Ingat bagaimana, saat bermain, Anda memberi nama koordinat, misalnya, B3, sehingga menunjukkan dengan tepat ke mana Anda membidik. Pada saat yang sama, saat menempatkan kapal, Anda menetapkan titik pada bidang koordinat.

Sistem koordinat ini banyak digunakan tidak hanya dalam matematika, permainan logika, tetapi juga dalam urusan militer, astronomi, fisika, dan banyak ilmu lainnya.

sumbu koordinat

Seperti yang telah disebutkan, dua sumbu dibedakan dalam sistem koordinat. Mari kita bicara sedikit tentang mereka, karena mereka sangat penting.

Sumbu pertama - absis - horizontal. Dilambangkan sebagai ( Sapi). Sumbu kedua adalah ordinat, yang melalui titik acuan secara vertikal dan dilambangkan sebagai ( Oy). Kedua sumbu inilah yang membentuk sistem koordinat, membagi pesawat menjadi empat bagian. Titik asal terletak di titik perpotongan kedua sumbu ini dan mengambil nilai 0 . Hanya jika bidang tersebut dibentuk oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus dan mempunyai titik acuan, maka bidang tersebut merupakan bidang koordinat.

Perhatikan juga bahwa masing-masing sumbu memiliki arahnya sendiri. Biasanya, ketika membangun sistem koordinat, biasanya menunjukkan arah sumbu dalam bentuk panah. Selain itu, ketika membangun bidang koordinat, masing-masing sumbu ditandatangani.

perempat

Sekarang, katakanlah beberapa kata tentang konsep seperti seperempat bidang koordinat. Pesawat dibagi oleh dua sumbu menjadi empat perempat. Masing-masing memiliki nomor sendiri, sedangkan penomoran pesawat berlawanan arah jarum jam.

Masing-masing kuarter memiliki ciri khasnya masing-masing. Jadi, pada kuartal pertama, absis dan ordinatnya positif, pada kuartal kedua, absisnya negatif, ordinatnya positif, pada kuartal ketiga, absis dan ordinatnya negatif, pada keempat, absisnya positif, dan ordinatnya negatif.

Dengan mengingat fitur-fitur ini, Anda dapat dengan mudah menentukan bagian mana dari titik tertentu. Selain itu, informasi ini mungkin berguna bagi Anda jika harus melakukan perhitungan menggunakan sistem Cartesian.

Bekerja dengan bidang koordinat

Ketika kami menemukan konsep pesawat dan berbicara tentang tempat tinggalnya, kami dapat beralih ke masalah seperti bekerja dengan sistem ini, dan juga berbicara tentang cara meletakkan titik, koordinat angka di atasnya. Pada bidang koordinat, ini tidak sesulit kelihatannya pada pandangan pertama.

Pertama-tama, sistem itu sendiri dibangun, semua sebutan penting diterapkan padanya. Kemudian ada pekerjaan langsung dengan poin atau angka. Dalam hal ini, bahkan ketika membuat gambar, titik pertama kali diterapkan pada bidang, dan kemudian gambar sudah digambar.

Aturan untuk membangun pesawat

Jika Anda memutuskan untuk mulai menandai bentuk dan titik di atas kertas, Anda memerlukan bidang koordinat. Koordinat titik diplot di atasnya. Untuk membuat bidang koordinat, Anda hanya membutuhkan penggaris dan pena atau pensil. Pertama, absis horizontal digambar, lalu ordinat vertikal. Penting untuk diingat bahwa sumbu berpotongan di sudut kanan.

Item wajib berikutnya adalah menandai. Unit-segmen ditandai dan ditandatangani pada masing-masing sumbu di kedua arah. Hal ini dilakukan agar Anda kemudian dapat bekerja dengan pesawat dengan kenyamanan maksimal.

Menandai titik

Sekarang mari kita bicara tentang cara memplot koordinat titik pada bidang koordinat. Ini adalah dasar-dasar yang perlu Anda ketahui untuk berhasil menempatkan berbagai bentuk pada bidang, dan bahkan menandai persamaan.

Saat membangun titik, orang harus ingat bagaimana koordinatnya dicatat dengan benar. Jadi, biasanya menetapkan titik, dua angka ditulis dalam tanda kurung. Digit pertama menunjukkan koordinat titik di sepanjang sumbu absis, yang kedua - di sepanjang sumbu ordinat.

Intinya harus dibangun dengan cara ini. Tandai pada sumbu terlebih dahulu Sapi titik yang diberikan, lalu tandai titik pada sumbu Oy. Selanjutnya, gambar garis imajiner dari penunjukan ini dan temukan tempat persimpangannya - ini akan menjadi titik yang diberikan.

Yang harus Anda lakukan adalah menandainya dan menandatanganinya. Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana dan tidak memerlukan keterampilan khusus.

Menempatkan Bentuk

Sekarang mari kita beralih ke pertanyaan seperti konstruksi angka pada bidang koordinat. Untuk membangun angka apa pun pada bidang koordinat, Anda harus tahu cara menempatkan titik di atasnya. Jika Anda tahu cara melakukan ini, maka menempatkan sosok di pesawat tidak begitu sulit.

Pertama-tama, Anda akan membutuhkan koordinat titik-titik gambar. Pada merekalah kita akan menerapkan yang telah Anda pilih ke sistem koordinat kita Mari kita pertimbangkan untuk menggambar persegi panjang, segitiga dan lingkaran.

Mari kita mulai dengan persegi panjang. Menerapkannya cukup mudah. Pertama, empat titik diterapkan pada bidang, yang menunjukkan sudut-sudut persegi panjang. Kemudian semua titik secara berurutan terhubung satu sama lain.

Menggambar segitiga tidak berbeda. Satu-satunya hal adalah ia memiliki tiga sudut, yang berarti bahwa tiga titik diterapkan pada bidang, yang menunjukkan simpulnya.

Mengenai lingkaran, di sini Anda harus mengetahui koordinat dua titik. Titik pertama adalah pusat lingkaran, yang kedua adalah titik yang menunjukkan jari-jarinya. Kedua titik ini diplot pada sebuah bidang. Kemudian kompas diambil, jarak antara dua titik diukur. Titik kompas ditempatkan pada titik yang menunjukkan pusat, dan sebuah lingkaran dijelaskan.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit di sini, yang utama adalah selalu ada penggaris dan kompas.

Sekarang Anda tahu cara memplot koordinat bentuk. Pada bidang koordinat, ini tidak begitu sulit untuk dilakukan, seperti yang terlihat pada pandangan pertama.

temuan

Jadi, kami telah mempertimbangkan dengan Anda salah satu konsep paling menarik dan mendasar untuk matematika yang harus dihadapi setiap siswa.

Kami telah menemukan bahwa bidang koordinat adalah bidang yang dibentuk oleh perpotongan dua sumbu. Dengan bantuannya, Anda dapat mengatur koordinat titik, meletakkan bentuk di atasnya. Pesawat dibagi menjadi empat, yang masing-masing memiliki karakteristiknya sendiri.

Keterampilan utama yang harus dikembangkan saat bekerja dengan bidang koordinat adalah kemampuan untuk memplot titik-titik yang diberikan dengan benar. Untuk melakukan ini, Anda harus mengetahui lokasi sumbu yang benar, fitur perempat, serta aturan koordinat titik yang ditetapkan.

Kami berharap informasi yang kami berikan dapat diakses dan dipahami, dan juga bermanfaat bagi Anda dan membantu untuk lebih memahami topik ini.

"Fungsi Kelas 9" - Y \u003d x3. Fungsi dapat ditentukan menggunakan rumus, misalnya: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Fungsi dasar mencakup hampir semua fungsi yang terdapat dalam buku teks sekolah. Kepala guru Kryuchkova Tatyana Borisovna, matematika. Daftar isi: Lampiran 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Aplikasi4. Y \u003d 0,3x2. Lampiran 1.

"Sifat fungsi" - 0. 1. Definisi fungsi. 3. Lingkup nilai. y=0, x=0 6. Interval dari konstanta bertanda y > 0 pada (0; +). 5. Fungsi nol. Properti fungsi. 7. Interval kenaikan dan penurunan. y= x, n=2 2.Cakupan D(y)=. Besaran tersebut masing-masing disebut konstanta dan variabel. -p. T.y = f(x). -satu. Lebih jauh.

"Penelitian fungsi" - Dengan menggunakan skema penelitian fungsi, selesaikan tugas: hal 24; Nomor 296 (a; b), Nomor 299 (a; b). Pekerjaan verifikasi: Jawaban: D (f) = R, ganjil, meningkat. Lakukan secara lisan: Untuk fungsi f(x)=х3 tentukan D(f), paritas, naik, turun. Buktikan bahwa fungsi f(x)=x5+4x meningkat pada himpunan R. 2) Contoh studi fungsi.

"Peta koordinat" - Persamaan garis lurus di. Untuk membentuk kemampuan memecahkan masalah pada bidang koordinat. Garis koordinat, sudut koordinat. Tugas nomor 1. Aturan untuk membaca koordinat. kuarter koordinat. Bagaimana poin ditandai di pesawat. (2 jalan). Persamaan garis a. Rencana belajar. Koordinat titik yang terletak pada sumbu.

"Peningkatan fungsi" - Algoritma untuk menemukan titik ekstrem dari fungsi. Penyelesaian pertidaksamaan dilakukan secara analitik atau dengan metode interval. Kami menemukan f / (x) Kami menentukan titik kritis dari fungsi f(x), yaitu. titik dimana f / (x)=0 atau f / (x) tidak ada. Turunan. Isi. Tg(a)=k, faktor k-sentuh. Tabel turunan.

Total ada 19 presentasi dalam topik

Jika Anda menempatkan lingkaran nomor satuan pada bidang koordinat, maka Anda dapat menemukan koordinat untuk titik-titiknya. Lingkaran numerik diposisikan sedemikian rupa sehingga pusatnya bertepatan dengan asal bidang, yaitu, titik O (0; 0).

Biasanya, pada lingkaran nomor satuan, titik ditandai sesuai dengan titik asal pada lingkaran

• perempat - 0 atau 2π, /2, , (2π)/3,
• perempat tengah - /4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• kuarter ketiga - /6, /3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Pada bidang koordinat, dengan pengaturan lingkaran satuan di atas, orang dapat menemukan koordinat yang sesuai dengan titik-titik lingkaran ini.

Sangat mudah untuk menemukan koordinat ujung perempat. Di titik 0 lingkaran, koordinat x adalah 1, dan y adalah 0. Kita dapat menulis A (0) = A (1; 0).

Akhir kuartal pertama akan terletak pada sumbu y positif. Oleh karena itu, B (π/2) = B (0; 1).

Akhir kuarter kedua berada pada absis negatif: C (π) = C (-1; 0).

Akhir kuartal ketiga: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Tetapi bagaimana menemukan koordinat titik tengah perempat? Untuk melakukan ini, buat segitiga siku-siku. Sisi miringnya adalah segmen dari pusat lingkaran (atau titik asal) ke titik tengah seperempat lingkaran. Ini adalah jari-jari lingkaran. Karena lingkaran adalah satuan, maka sisi miringnya sama dengan 1. Selanjutnya, sebuah garis tegak lurus ditarik dari suatu titik pada lingkaran ke sembarang sumbu. Biarkan ke sumbu x. Ternyata segitiga siku-siku, yang panjang kakinya adalah koordinat x dan y dari titik lingkaran.

Seperempat lingkaran adalah 90º. Dan setengah seperempat adalah 45º. Karena sisi miring ditarik ke titik tengah seperempat, sudut antara sisi miring dan kaki yang keluar dari titik asal adalah 45º. Tetapi jumlah sudut dari setiap segitiga adalah 180º. Oleh karena itu, sudut antara sisi miring dan kaki lainnya juga tetap 45º. Ternyata segitiga siku-siku sama kaki.

Dari teorema Pythagoras kita peroleh persamaan x 2 + y 2 = 1 2 . Karena x = y dan 1 2 = 1, persamaan disederhanakan menjadi x 2 + x 2 = 1. Memecahkannya, kita mendapatkan x = 1 = 1/√2 = 2/2.

Jadi, koordinat titik M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; 2/2).

Dalam koordinat titik-titik titik tengah perempat lainnya, hanya tanda-tanda yang akan berubah, dan modul nilainya akan tetap sama, karena segitiga siku-siku hanya akan terbalik. Kita mendapatkan:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; 2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Saat menentukan koordinat bagian ketiga perempat lingkaran, segitiga siku-siku juga dibangun. Jika kita mengambil titik /6 dan menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu x, maka sudut antara sisi miring dan kaki yang terletak pada sumbu x adalah 30º. Diketahui bahwa kaki yang terletak berhadapan dengan sudut 30º sama dengan setengah sisi miring. Jadi kami telah menemukan koordinat y, itu sama dengan .

Mengetahui panjang sisi miring dan salah satu kaki, dengan teorema Pythagoras kita menemukan kaki lainnya:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - \u003d
x = 3/2

Jadi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ).

Untuk titik sepertiga kedua kuartal pertama (π / 3), lebih baik menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu terhadap sumbu y. Maka sudut di titik asal juga akan menjadi 30º. Di sini, koordinat x akan sama dengan , dan y, masing-masing, 3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; 3/2).

Untuk titik kuarter ketiga lainnya, tanda dan urutan nilai koordinat akan berubah. Semua titik yang lebih dekat dengan sumbu x akan memiliki nilai modulo koordinat x sama dengan 3/2. Titik-titik yang lebih dekat dengan sumbu y akan memiliki nilai modulo y sama dengan 3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; 3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; )
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)