spline(Bahasa inggris) splines - bar, rail) - fungsi yang domain definisinya dibagi menjadi sejumlah segmen yang terbatas, di mana masing-masing spline bertepatan dengan beberapa fungsi aljabar. Derajat maksimum fungsi yang digunakan (biasanya polinomial) disebut derajat spline. Perbedaan antara derajat spline dan kehalusan garisnya (tidak adanya diskontinuitas pada koordinat, pada turunan pertama dan kedua) disebut cacat spline. Misalnya, garis putus-putus kontinu dari segmen garis adalah spline derajat 1 dan cacat 1 (pada titik persimpangan segmen spline, pemutusan turunan pertama - kehalusan dilanggar).
Splines memiliki banyak aplikasi, baik dalam teori matematika dan dalam berbagai aplikasi komputasi. Secara khusus, splines dari dua variabel secara intensif digunakan untuk mendefinisikan permukaan dalam berbagai sistem pemodelan komputer.
Dengan interpolasi spline ditunjukkan pada Gambar. 2.8, fungsi aslinya digantikan oleh segmen parabola kubik yang melewati empat titik nodal yang berdekatan. Koefisien parabola dihitung sehingga koordinat, serta turunan pertama dan kedua, bertepatan pada titik persimpangan fragmen spline (cacat spline sama dengan nol).
Garis yang digambarkan oleh fungsi spline tersebut menyerupai bentuk penggaris fleksibel yang dipasang pada titik-titik nodal.
Perhitungan spline biasanya mengarah pada penyelesaian sistem persamaan linier.
2.4. Perkiraan
Tugas pemrosesan dan pemodelan data yang tersebar luas adalah representasi totalitasnya oleh beberapa fungsi f(x). Tugas aproksimasi adalah untuk mendapatkan parameter fungsi ini, sehingga fungsi tersebut mendekati "awan" dari titik awal dengan kesalahan kuadrat rata-rata akar terkecil . Perkiraan biasanya didasarkan pada metode kuadrat terkecil.
2.4.1. Pendekatan polinomial
Polinomial - ekspresi bentuk: pada=sebuah 0 +sebuah 1 H X+sebuah 2 jam X 2 +...+sebuah n h x n
Di masing-masing n poin yang nilainya diketahui x saya dan kamu saya, kami menemukan jumlah deviasi kuadrat dari nilai yang dihitung dan diukur
Untuk menemukan pendekatan terbaik, perlu untuk menemukan minimum fungsi ini untuk variabel: sebuah tentang, sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n.
Keputusan: bedakan fungsinya f untuk masing-masing variabel tersebut dan samakan turunannya dengan nol. Setelah transformasi sederhana, kami memperoleh sistem persamaan linier. Dengan memecahkan sistem ini, seseorang dapat menemukan koefisien yang tidak diketahui dari polinomial sebuah tentang, sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n.
| Koefisien untuk yang tidak diketahui | Gratis | |||
| sebuah | ... | sebuah 2 | sebuah o | anggota |
| ... | ||||
| ... | ||||
| ... | ... | .... | ..... | .... |
| ... | N |
Contoh pendekatan data polinomial ditunjukkan pada gambar. 2.10.
Beras. 2.10 Pendekatan polinomial
2.4.2. Pendekatan linier
Kasus aproksimasi polinomial tertentu, tetapi juga paling populer adalah aproksimasi linier. Dengan pendekatan linier, fungsi kamu(x) menggambarkan segmen garis lurus dan memiliki bentuk kamu(x) = sebuah + bx (Gbr. 2.11).
Beras. 2.11. Pendekatan linier
2.4.3. Metode kuadrat terkecil untuk fungsi arbitrer
Fungsi kamu(x) dapat diwakili oleh fungsi terdiferensiasi arbitrer (Gbr. 2.12). Dalam praktiknya, tidak disarankan untuk menggunakan fungsi dengan kekuatan lebih tinggi dari 4-6 - kesalahan implementasi meningkat pesat.
Beras. 2.12. Perkiraan dengan fungsi arbitrer
2.5. Perataan data
Data sebagian besar eksperimen memiliki komponen acak (noisy), sehingga perlu dilakukan pemulusan data statistik.
Ini menghitung set Z =z 1 ,z 2 ,...z n nilai fungsi yang dihaluskan f(x,kamu), diberikan oleh set nilai argumen X =x 1 ,x 2 ,...x n dan kamu =kamu 1 ,kamu 2 ,...kamu n nilai fungsi yang sesuai.
Penghalusan fungsi, diberikan oleh tabel nilai pada titik-titik yang berjarak tidak sama, menggunakan polinomial tingkat pertama, dibangun menurut k (setidaknya tiga titik) ke titik berurutan dengan metode kuadrat terkecil (Gbr. 2.13).
Beras. 2.13. Perataan data
Pada k= 3 - untuk setiap tiga poin berturut-turut (x j -2 , kamu j-2),( x j -1 , kamu j -1), ( x j , kamu j) untuk j=3,...n urutan polinomial tingkat pertama dibangun W j ( x)=m j x+b j, memberikan pada titik-titik ini penyimpangan terkecil dari yang diberikan dalam arti kuadrat terkecil.
Definisi koefisien m j dan b j polinomial W j ( x) dihasilkan dengan metode kuadrat terkecil.
Nilai pemulusan yang diperlukan z j = W j ( x) = m j x + b j dihitung dengan rumus: 
2.6. Ekstrapolasi data (prediksi)
Saat mengekstrapolasi dari serangkaian titik yang diberikan, angka tertentu dihitung N poin berikutnya.
pada gambar. 2.14 garis putus-putus menunjukkan grafik fungsi yang menggambarkan posisi titik-titik yang diberikan, garis putus-putus menunjukkan prediksi (ekstrapolasi grafik).
Beras. 2.14. ekstrapolasi data
2.7. Diferensiasi numerik
Interpolasi geometris turunan pertama - itu sama dengan garis singgung kemiringan garis singgung.
Saat menghitung turunan dari fungsi yang diberikan oleh tabel, Anda perlu menentukan nilai fungsi kamu kiri dan kanan sama jaraknya dari nilai itu x , yang ingin kita hitung nilai turunannya, dan bagi perbedaannya dengan h (dalam praktiknya, ini turun ke perkiraan penentuan garis singgung kemiringan garis singgung, semakin kecil h , semakin akurat hasilnya (Gbr. 2.15):
Beras. 2.15. Diferensiasi numerik
.
Nilai 
dapat ditemukan dengan interpolasi.
2.8. Perhitungan integral tertentu
Interpretasi geometrik integral tertentu adalah luas bangun geometris yang dibentuk oleh grafik integran dan sumbu x pada interval.
Cara sederhana dan sekaligus baik adalah sebagai berikut: bagian integrasi dibagi menjadi beberapa interval kecil yang sama. Integral pada setiap interval kecil kira-kira dianggap sama dengan produk dari panjang interval dan nilai rata-rata integran pada awal dan akhir. Metode ini disebut metode trapesium , karena hasilnya seolah-olah dalam setiap interval kecil busur grafik diganti dengan busurnya, dan luas di bawah busur ini (nilai integral) diganti dengan luas trapesium yang dihasilkan dengan alas vertikal ( Gambar 2.16).
Beras. 2.16. Metode trapesium
Rumus yang sesuai terlihat seperti:
di mana untuk singkatnya dilambangkan .
Rumus yang lebih efisien dapat diperoleh jika kurva pada interval kecil diganti dengan parabola, yaitu. grafik ketergantungan kuadrat.
Mari kita bagi segmen integrasi dari x = sebuah
sebelum x= b
menjadi sejumlah interval yang sama. Batas interval: 
. Nyatakan panjang interval h
, jadi .
Rumus ini disebut rumus simpson . Keunggulan rumus Simpson dibandingkan dengan rumus trapesium terutama diucapkan dengan peningkatan angka n interval pemisahan. Dapat ditunjukkan bahwa dalam hal ini kesalahan rumus trapesium berkurang secara proporsional n 2 , dan kesalahan rumus Simpson berbanding terbalik dengan n 4 .
2.9. Solusi numerik persamaan diferensial
persamaan diferensial orde pertama: 
,
di mana kamu adalah fungsi yang tidak diketahui dari x .
Biasanya diasumsikan bahwa persamaan ini dapat dipecahkan sehubungan dengan turunannya, yaitu. seperti: 
. Untuk menyelesaikan persamaan, perlu untuk mengatur kondisi awal: x = x
0 dan kamu = kamu
0 .
Jika persamaan terlihat seperti dan kondisi awal diberikan x=x
0 dan kamu=kamu
0 , maka, substitusikan nilai x 0
dan kamu 0
ke dalam fungsi , kami menemukan nilai turunan di titik x
0: 
.
Nilai fungsi: , dimana D x - kenaikan kecil x .
Maka nilai fungsi kamu 1 = kamu(x 1) =
,
di mana x 1 = x 0+D x .
Sekarang, ambil poinnya ( x
1 ,kamu
1) untuk yang asli, Anda bisa mendapatkan poin dengan cara yang persis sama kamu 2 = kamu(x 2) =
, di mana x 2 = x 1+D x
. Dengan demikian, selangkah demi selangkah, Anda dapat menghitung nilai fungsi secara berurutan untuk berbagai x
.
Contoh persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan kereta dasar: 
, di mana -
gaya resultan spesifik, tergantung pada kecepatan.
Konstruksi kurva kecepatan kereta api sebagai fungsi dari jarak yang ditempuh didasarkan pada integrasi grafis atau analitik dari persamaan pergerakan kereta utama:
, dimana adalah gaya resultan spesifik. (satu)
Untuk integrasi grafis dari persamaan dasar pergerakan kereta api, sejumlah metode telah dikembangkan (metode Lipets, metode Uprein), yang didasarkan pada pendekatan kurva kecepatan dengan segmen garis singgung (Lipets) atau busur (Uprein). ).
Metode integrasi analitik biasanya dikaitkan dengan penggunaan Metode Euler dan atas dasar ini, sesuai dengan ketentuan yang diketahui dari matematika, dibuat kesimpulan tentang keakuratan konstruksi kurva .
Metode garis putus-putus Euler didasarkan pada gagasan untuk membangun solusi persamaan diferensial secara grafis. Metode ini secara bersamaan menyediakan cara untuk menemukan fungsi yang diinginkan dalam bentuk numerik (tabel).
Ide dari metode ini adalah bahwa pada interval kecil perubahan variabel independen, kurva integral dari persamaan diferensial digantikan oleh segmen garis lurus (singgung).
Dari sini , dan proses dapat diulang untuk interval, dll. Nomor h adalah langkah meja.
Rumus kerja untuk menentukan nilai kamu
menurut metode Euler memiliki bentuk 
, di mana
Kurva integral geometris digantikan oleh garis putus-putus yang disebut garis putus-putus Euler (Gbr. 2.17).
Metode Euler memiliki akurasi yang rendah, apalagi kesalahan setiap langkah baru, secara umum, meningkat secara sistematis. Dalam hal ini, metode yang paling dapat diterima untuk menilai akurasi adalah metode penghitungan ganda - dengan langkah h dan dengan langkah h/ 2. Kebetulan tempat desimal dalam hasil yang diperoleh dengan dua cara memberikan alasan alami untuk menganggapnya benar. Kesalahan metode proporsional h2 . Ada berbagai penyempurnaan metode Euler yang meningkatkan akurasinya sehingga kesalahan metode menjadi sebanding dengan jam 3 .
Beras. 2.17. Kurva integral dan poligonal Euler
pada gambar. 2.18 menunjukkan kurva kecepatan, dibangun sesuai dengan skema komputasi metode Euler.
Beras. 2.18. Skema yang diusulkan untuk membangun kurva kecepatan
Dalam hal ini, semua metode integrasi analitik dan grafis dari persamaan dasar pergerakan kereta api didasarkan pada implementasi skema komputasi lain.
pada gambar. 2.19 menunjukkan kurva kecepatan yang dibangun sesuai dengan algoritma yang benar-benar diimplementasikan.
Beras. 2.19. Skema sebenarnya dari plot kurva kecepatan
Seperti yang Anda lihat, konstruksinya hanya bertepatan pada langkah pertama, dan pada langkah berikutnya, prinsip-prinsip untuk membangun kurva berbeda. Kesalahan konstruksi aktual dalam kasus kedua tidak hanya lebih kecil dari yang pertama, tetapi juga memiliki kecenderungan yang jelas untuk semakin berkurang.
Alasan perbedaan ini mungkin adalah sebagai berikut.
Saat membangun kurva kecepatan, persamaan dasar pergerakan kereta direduksi menjadi bentuk
atau 2)
Persamaan ini berbeda dari Persamaan 1, yang sebenarnya dimaksudkan untuk metode Euler. Pada saat yang sama, turunan (garis singgung kemiringan garis singgung dalam interpretasi geometris) tidak dapat ditentukan pada awalnya, tetapi dihitung dengan memilih kenaikan satu-satunya variabel bebas. V . Ketergantungan fungsional dari besarnya turunan pada jalur S tidak termasuk dalam ruas kanan persamaan 2. Ini adalah konstanta yang bergantung pada penurunan kemiringan di bawah kereta api dan berubah hanya jika berubah, dengan mempertahankan semua karakteristik konstanta.
Hal yang sama berlaku untuk konstruksi kurva kecepatan dengan mengintegrasikan persamaan dasar pergerakan kereta api dari waktu ke waktu, ketika kenaikan lintasan juga dipilih sesuai dengan kenaikan kecepatan untuk interval waktu tertentu.
Persamaan dasar gerak kereta api hanya dapat diintegrasikan atas kecepatan, satu-satunya variabel bebas yang benar-benar termasuk di dalamnya, sedangkan metode Euler mengasumsikan integrasi atas lintasan.
Estimasi akurasi nyata dalam membangun kurva kecepatan termasuk dalam bidang penelitian statistik. Hampir semua data awal perhitungan traksi, kecuali data pada profil longitudinal dan rencana lintasan, adalah rata-rata.
Oleh karena itu, peningkatan akurasi perhitungan traksi harus dipahami sebagai pelepasan teknologi komputasi yang digunakan dari kesalahan, asumsi, dan penyederhanaannya sendiri untuk mendekati, jika tidak tepat, kemudian ke hasil yang diharapkan secara matematis.
Tingkat perkembangan teknologi komputer modern menghilangkan hampir semua batasan untuk meningkatkan akurasi perhitungan traksi dalam pengertian ini.
Keakuratan konstruksi kurva kecepatan secara signifikan tergantung pada langkah integrasi - tidak ada hambatan untuk mengurangi langkah sekarang.
Akurasi konstruksi dapat ditingkatkan dengan menerapkan algoritma dengan pengembalian, ketika, setelah menghitung kenaikan kecepatan sepanjang garis singgung, dibangun di awal interval, kenaikan sepanjang garis singgung di bagian tengahnya dihitung ulang dengan pengulangan sampai solusi numerik stabil.
Batas peningkatan akurasi kemungkinan adalah implementasi algoritma dengan pengembalian ketika menghitung ulang kenaikan kecepatan bukan dalam hal nilai yang dihasilkan pada kecepatan rata-rata 
, dan menurut tanda rata-rata dari resultan , di mana adalah kecepatan awal dan akhir pada interval.
Semua algoritma ini mudah diimplementasikan dalam kondisi modern.
Dari sudut pandang organisasi proses komputasi, pilihan yang paling menarik adalah penambahan waktu sebagai langkah integrasi. Dalam hal ini, dari sudut pandang akurasi dan kecepatan algoritme, peningkatan kecepatan dan, karenanya, jalur pada setiap langkah perhitungan dioptimalkan secara otomatis.
Pada kecepatan rendah, peningkatan jalur juga kecil, memberikan akurasi konstruksi yang tinggi. Saat kecepatan kereta meningkat, penambahan jalur meningkat, meningkatkan kecepatan konstruksi. Dalam hal ini, peningkatan kecepatan kecil dan mulai berkurang saat mendekati kecepatan tetap, sehingga menghilangkan masalah perubahan paksa dalam langkah integrasi pada kecepatan kereta yang berbeda.
pada gambar. 2.20 menunjukkan grafik pertambahan lintasan dan kecepatan yang diperoleh dengan membuat kurva dengan mengintegrasikan persamaan dasar pergerakan kereta api dalam waktu (min) secara analitis di lokasi dengan kereta yang dipercepat hingga kecepatan tetap.
Pendekatan inilah yang diimplementasikan dalam program terkenal perhitungan traksi "ERA-TEP" - program standar JSC Russian Railways (V.A. Anisimov, Universitas Transportasi Negeri Timur Jauh).
Beras. 2.20. Kurva kecepatan (a) dan plot peningkatan jalur dan kecepatan sebagai fungsi jarak yang ditempuh (b)
2.10. Pemodelan medan
Hasil akhir survei engineering-geodetic dan engineering-geological saat ini model medan digital .
Digital Terrain Model (DTM) adalah himpunan yang elemennya berupa informasi topografi dan geodesi tentang medan. Itu termasuk:
Informasi metrik - koordinat spasial geodetik dari titik-titik karakteristik relief dan situasi;
Informasi sintaksis untuk menggambarkan hubungan antara titik - batas bangunan, hutan, lahan pertanian, waduk, jalan, garis DAS dan pelimpah, arah lereng antara titik karakteristik di lereng, dll .;
Informasi semantik yang mencirikan sifat-sifat objek - parameter teknis struktur teknik, karakteristik geologis tanah, data pohon di hutan, dll.;
Informasi struktural yang menggambarkan hubungan antara objek yang berbeda - hubungan objek dengan set apa pun: titik terpisah dari jalur kereta api, bangunan dan struktur pemukiman, bangunan dan struktur industri terkait, dll .;
Informasi umum - nama situs, sistem koordinat dan ketinggian, tata nama.
DTM topografi mencirikan situasi dan medan. Ini terdiri dari model medan digital (DTM) dan model kontur medan (situasi) digital (DTM). Selain itu, DTM dapat dilengkapi dengan model rekayasa khusus (CMI).
Dalam praktik rekayasa, kombinasi model digital sering digunakan yang mencirikan situasi, relief, hidrologi, rekayasa-geologi, teknis, ekonomi, dan indikator lainnya. Model medan digital yang direkam pada media mesin, dalam struktur dan kode tertentu, adalah peta elektronik (Gbr. 2.21).
Beras. 2.21. Peta elektronik berdasarkan DSM yang diperoleh dari data pemindaian laser
Saat memecahkan masalah teknik dan geodesi di komputer, interpretasi matematis dari model digital digunakan. Mereka memanggilnya model medan matematika (MMM).
Desain berbantuan komputer berdasarkan DMM dan MMM mengurangi biaya tenaga dan waktu sepuluh kali lipat dibandingkan dengan penggunaan peta topografi kertas dan rencana untuk tujuan ini.
Data awal pembuatan model terrain digital adalah hasil survei topografi, data geologi dan hidrografi kawasan.
Model ketinggian digital medan (DTM) adalah array koordinat titik survei X ,kamu ,H .
Model bantuan matematika(DRM) menggabungkan model elevasi digital dan metode untuk mendekati titik survei dan menginterpolasi permukaan tanah di antaranya.
Ada sejumlah besar tipe DTM dan MTM, yang masing-masing berbeda dalam cara pendekatan relief yang dimodelkan oleh jaringan titik survei dan aturan untuk pendekatan titik survei dan interpolasi - urutan penghitungan ketinggian H titik yang diberikan oleh koordinat X,Y dalam kasus umum, yaitu, ketika titik yang diberikan tidak bertepatan dengan salah satu titik survei.
Interpolasi elevasi linier dan spline dimungkinkan.
Dengan menggunakan model elevasi digital, adalah mungkin untuk mendapatkan profil membujur bumi dalam arah yang ditentukan (Gbr. 2.22).
Beras. 2.22. Model elevasi digital dan profil membujur bumi dalam arah tertentu
Yang paling umum adalah model medan triangulasi ( TIMAH ) dengan interpolasi linier elevasi.
Inti dari model TIMAH dalam namanya - "Jaringan segitiga tidak beraturan" (dalam bahasa Inggris asli - Jaringan Tidak Beraturan Triangulasi ). Dalam ekspresi spasialnya, ini adalah jaringan segitiga dengan tanda ketinggian di node, yang memungkinkan kita untuk merepresentasikan permukaan yang disimulasikan sebagai permukaan multifaset (Gbr. 2.23).
Beras. 2.23. Contoh triangulasi
Tugas membangun model triangulasi pertama kali diajukan pada tahun 1934 dalam karya matematikawan Soviet B.N. Delaunay.
Untuk memahami metode triangulasi Delaunay, perlu diperkenalkan beberapa definisi.
Definisi 1. Graf planar disebut triangulasi, yang semua daerah dalamnya adalah segitiga (Gbr. 2.23).
Definisi 2. Masalah membangun triangulasi dari himpunan titik dua dimensi yang diberikan adalah masalah menghubungkan titik-titik tertentu dengan segmen yang tidak berpotongan sehingga sistem segitiga yang tidak berpotongan terbentuk. Tugas membangun triangulasi berdasarkan set poin awal adalah ambigu, mis. memiliki banyak solusi.
Definisi 3. Triangulasi disebut optimal jika jumlah panjang semua sisi minimal di antara semua kemungkinan triangulasi yang dibangun di atas titik awal yang sama (dalam hal ini, tidak ada titik triangulasi yang diberikan di dalam lingkaran yang dijelaskan di sekitar segitiga yang dibangun) ( Gambar 2.24).
Beras. 2.24. Triangulasi Delaunay
Semua sistem desain berbantuan komputer (CAD) yang dikenal saat ini mendukung fungsi pembuatan TIMAH .
2.11. Simulasi profil dan rencana memanjang selama rekonstruksi perkeretaapian
Selama operasi, di bawah pengaruh kereta api yang bergerak dan fenomena alam, sumbu rel kereta api kehilangan bentuk geometrisnya yang benar dalam denah dan profil longitudinal, yang mengarah pada penurunan dinamika lalu lintas kereta api, peningkatan keausan jalur kereta api. trek dan rolling stock. Secara berkala, dalam proses perbaikan dan rekonstruksi jalan, denah dan profil memanjang dibawa ke bentuk geometris yang benar, yang membutuhkan produksi perhitungan dan pemodelan data awal yang tepat.
Pada saat merekonstruksi perkeretaapian, data awal untuk perhitungan adalah hasil survey rel eksisting dalam denah dan profil membujur.
Model digital dari profil longitudinal (Gbr. 2.25) memungkinkan untuk menggunakan metode optimasi dan desain interaktif, untuk mendapatkan tanda kepala rel di antara titik survei. Absis selalu diambil sebagai sumbu jalan.
Beras. 2.25. Simulasi profil longitudinal rel kereta api
Tanda desain profil longitudinal dihitung dengan mempertimbangkan keberadaan kurva vertikal yang diatur pada jeda garis desain ketika perbedaan kemiringan elemen kawin mencapai nilai tertentu, lebih tepatnya, jika koreksi dari kurva vertikal melebihi 0,01 m dan perbedaan aljabar pada lereng 
, di mana R V- jari-jari kurva vertikal (Gbr. 2.26).
Beras. 2.26. Kurva vertikal, skema perhitungan
Secara umum, tanda desain ditentukan oleh algoritma berikut:
Tanda fraktur profil;
- kemiringan j
-elemen profil;
- perbedaan kemiringan, ;
jika 
, maka koreksi tidak diperkenalkan, jika tidak
- tandai pada titik desain tanpa memperhitungkan kurva vertikal;
tangen kurva vertikal;
jika koreksi tidak dimasukkan - titik terletak di luar kurva vertikal), jika tidak
- koreksi dari kurva vertikal;
jika sebaliknya
Melakukan perhitungan seperti itu dalam mode otomatis mengasumsikan adanya model digital dari profil longitudinal. Saat menghitung "secara manual", model seperti itu (skema perhitungan) juga dibuat secara implisit.
Pemodelan Rencana memungkinkan Anda menghitung parameter elemennya - kurva lurus, melingkar, dan transisi.
Model denah jalur eksisting dalam sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 2.27) mengasumsikan penggunaan model koordinat serupa dari denah jalur proyek (Gbr. 2.28). Bekerja dengan model seperti itu "secara manual" sangat memakan waktu sehingga pendekatan ini tidak digunakan sebelum munculnya komputer.
Beras. 2.27. Model koordinat rencana lintasan yang ada
Beras. 2.28. Model Koordinat Rencana Jalur Proyek
Untuk perhitungan (masif dan padat karya), model denah (jalur eksisting dan proyek) digunakan dalam sistem koordinat lengkung, di mana sumbu lintasan eksisting diambil sebagai sumbu absis.
Dua jenis model digunakan - diagram sudut dan plot kelengkungan (panah).
Penggunaan model-model ini (dengan mengorbankan beberapa asumsi dan penyederhanaan) memungkinkan Anda untuk menghitung parameter elemen rencana "secara manual", menggunakan, antara lain, metode analisis grafis yang sederhana dan nyaman.
Pada diagram sudut (Gbr. 2.29), sudut rotasi kurva diplot sepanjang sumbu y.
Pada garis lurus, sudutnya tetap,
Pada kurva melingkar - berubah secara linier,
Pada kurva transisi - perubahan sudut rotasi dengan beberapa asumsi dapat digambarkan dengan parabola persegi.
Beras. 2.29. diagram sudut
Untuk memberikan sumbu jalur bentuk geometris yang benar, perlu dilakukan pergeseran (pelurusan) sumbunya dengan jumlah tertentu yang ditentukan oleh perhitungan.
Saat menggunakan grafik sudut, jumlah pergeserannya adalah:
, di mana Ug
, U v
– sudut rotasi desain dan sumbu lintasan eksisting sebagai fungsi jarak dari awal survei (diagram sudut), S
- jarak dari awal survei ke titik yang dihitung.
Interpretasi grafis dari integral adalah luas. Jadi, - perbedaan antara bidang desain dan diagram sudut yang ada.
Pada kurva kelengkungan (panah) (Gbr. 2.30), kelengkungan jalur (panah lengkung) diplot sepanjang sumbu y. Kelengkungan adalah kebalikan dari jari-jari. Panah (Gbr. 2.31), f - jarak dari sumbu jalan ke tali busur dengan panjang tertentu sebuah , (biasanya 20 m). Grafik kelengkungan berbeda dari grafik panah di mana kelengkungan didefinisikan pada suatu titik, sedangkan panah didefinisikan pada akord. Perbedaan hanya tampak pada zona transisi dari garis lurus ke kurva transisi dan dari kurva transisi ke kurva melingkar.
Beras. 2.30. Grafik kelengkungan (panah)
Beras. 3.31. Pengukuran panah lentur
Jika panah diukur dalam milimeter, maka dengan sebuah = 20m: .
Untuk jalur desain yang sesuai dengan posisi geometris yang benar:
Pada garis lurus - kelengkungan (panah) sama dengan nol,
Pada kurva melingkar - kelengkungan (panah) konstan,
Pada kurva transisi - kelengkungan (panah) berubah secara linier.
Menggeser 
, di mana: kg
, Kv
adalah kelengkungan sumbu lintasan dalam desain dan posisi eksisting sebagai fungsi jarak dari awal daerah survei, s
; S
- jarak dari awal bagian ke titik yang dihitung.
Integral ganda dihitung dengan menjumlahkan area grafik kelengkungan (panah) dua kali.
3. METODE MATEMATIKA
3.1. Implementasi model numerik pada komputer
Menemukan solusi desain apa pun, terutama yang optimal, pasti membutuhkan pendekatan varian.
Penggunaan metode matematika memungkinkan kita untuk mengurangi jumlah opsi yang dibandingkan ke minimum yang diperlukan dan cukup, namun selalu besar, dan hanya penggunaan teknologi komputer yang memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah dalam waktu yang dapat diterima.
Faktor biaya waktu komputer adalah sangat penting ketika memilih metode untuk memecahkan masalah yang diterapkan tertentu. "Seseorang dapat berbicara tentang metode solusi yang efektif hanya jika itu benar-benar memecahkan masalah jenis ini di komputer nyata dalam waktu komputer nyata" .
Sesuai dengan ini, konsep metode dalam matematika komputasi berbeda dari yang tradisional, yaitu, dari representasinya sebagai urutan instruksi, yang eksekusinya pasti mengarah pada hasil yang diinginkan dalam jumlah langkah yang terbatas.
Biasanya mereka tidak berbicara tentang suatu metode, tetapi tentang pendekatan umum untuk memecahkan masalah tertentu, yang dapat diimplementasikan dalam kerangka berbagai skema komputasi (metode terapan numerik), di antaranya ada yang optimal, dan optimalitas ini selalu dipahami dalam arti minimum waktu komputer yang dihabiskan untuk perhitungan ( ceteris paribus).
Berbicara tentang "masalah desain khusus", perlu untuk secara ketat mendefinisikan karakteristik formalnya dalam kaitannya dengan, misalnya, pilihan variabel terkontrol, fungsi tujuan tugas, sistem pembatasan yang dikenakan pada variabel terkontrol.
Metode numerik belum dapat diprogram algoritma (yang terdiri dari operasi terpisah yang berjalan dalam urutan bernilai tunggal), memiliki awal yang pasti, serta akhir yang dapat dicapai setelah sejumlah langkah yang terbatas, dan oleh karena itu, pada prinsipnya, dapat direalisasikan oleh mesin.
Kriteria Pemilihan Metode. Untuk memecahkan masalah, biasanya ada sejumlah metode (pendekatan). Pilihan metode tertentu untuk solusi numerik dari suatu masalah dan transformasi akhirnya menjadi algoritma yang dapat diprogram selalu merupakan upaya optimasi, dan ketentuan awal dan persyaratan tambahan bertindak sebagai kondisi tambahan, yang paling penting adalah sebagai berikut:
Posisi awal:
Pernyataan masalah dan asumsi tentang pendekatan rasional untuk solusinya;
Informasi tambahan tentang data sumber (area numerik, jenis bahan numerik, dll.);
Karakteristik teknologi komputer (kecepatan, memori, dll);
Representasi data, presisi, pembulatan, dll.
Persyaratan:
Persyaratan khusus untuk data keluaran (misalnya, persyaratan untuk akurasi, keluaran hasil antara, keluaran grafik, termasuk yang interaktif, dll.);
Tingkat universalitas (apakah satu tugas harus diselesaikan, atau perangkat lunak universal diperlukan sehubungan dengan kumpulan data yang valid);
Minimisasi biaya (waktu perhitungan).
Kondisi ini sebagian saling tumpang tindih (kontradiksi) dan oleh karena itu, ketika mencoba untuk memuaskan mereka, mereka mencoba untuk mencapai optimum tertentu. Untuk melakukan ini, gunakan sejumlah aturan yang ditentukan oleh akal sehat dan pengalaman komputasi sebelumnya.
Dasar pemilihan metode adalah prinsip aplikasi langsung : Anda harus memilih, jika mungkin, metode yang menyelesaikan tugas dengan tepat, dan tidak mengarah ke solusi melalui beberapa subtugas. Solusi "anggun secara matematis" seringkali tidak terlihat dalam hal propagasi kesalahan dan stabilitas, secara numerik tidak menguntungkan.
Alasan paling penting untuk akumulasi kesalahan yang berlebihan adalah penggunaan perbedaan yang sering (mengakibatkan hilangnya angka penting) dan pembagian dengan nomor dari urutan yang tidak diketahui (mengakibatkan meluapnya bit grid) - ini harus dihindari oleh organisasi yang benar dari program.
3.2. fungsi sasaran. Pembatasan
Keputusan harus dibuat terus-menerus di semua bidang kegiatan. Dalam kasus di mana situasi di mana mereka diterima dapat diformalkan, akan sangat berguna untuk menggunakan peralatan matematika.
memungkinkan Anda untuk secara unik menentukan empat koefisien polinomial. Untuk polinomial derajat ke-5, kondisi persamaan turunan ke-2 di ujung segmen harus ditambahkan, dll. Dari apa yang telah dikatakan, harus jelas mengapa spline dibangun terutama dari polinomial derajat ganjil (dengan jumlah koefisien genap). Untuk polinomial derajat genap saat merakit sistem (3): oleh karena itu, untuk polinomial derajat ke-2, tidak mungkin untuk mencapai persamaan turunan ke-1 di titik persimpangan, dan untuk derajat ke-4 - turunan ke-2, dll. Untuk membuat spline dengan derajat genap, kondisi tambahan ditambahkan secara artifisial untuk membentuk sistem persamaan, mirip dengan (3). Jika turunan dari polinomial spline didefinisikan dengan cara yang sama seperti turunan yang sesuai dari fungsi interpolasi, spline disebut pertapa. Ada metode lokal untuk membangun splines Bessel dan Akimi, B - splines [
] . Pada dasarnya, ketika berbicara tentang splines, yang mereka maksud adalah splines yang dibangun dari polinomial aljabar. Ini adalah definisi yang diberikan di atas. Spline inilah yang paling banyak dipelajari. Namun, spline dapat terdiri dari fragmen fungsi dari kelas apa pun. PADA [
] konstruksi splines tersebut dipertimbangkan dan propertinya diselidiki. Pengarang [ siapa?] tidak memberikan definisi umum tentang spline yang dibangun. Jelas, untuk setiap kelas fungsi yang membentuk spline, definisi yang diberikan di awal artikel tidak sepenuhnya cocok. Misalnya, jika spline terdiri dari segmen eksponen, maka konsep cacat spline kehilangan maknanya. Meskipun jumlah turunan kontinu akan tetap menjadi karakteristik penting. Konstruksi spline yang fragmennya merupakan fungsi diskontinyu (fungsi rasional, fungsi Pade) agak di luar cakupan ide spline, karena salah satu keuntungan utama spline adalah kehalusannya. Jika konstruksi seperti itu diperpanjang secara sewenang-wenang, maka perbedaan antara splines dan fungsi kental akan terhapus. Manfaat lain dari splines adalah efisiensi komputasi. Komplikasi fragmen yang berlebihan secara signifikan mengurangi keuntungan splines dibandingkan fungsi klasik. Spline dicirikan oleh fitur-fitur berikut: spline terdiri dari fragmen - fungsi dari kelas yang sama, yang hanya berbeda dalam parameternya, kondisi tertentu dikenakan pada fragmen tetangga di titik persimpangan, yang direduksi menjadi kontinuitas nilai dan beberapa turunan pertama. Splines merupakan salah satu cabang matematika terapan yang berkembang secara intensif. Internet berisi bibliografi ekstensif pada splines (Spline bibliography database (SBD)). Seperti disebutkan di atas, ada sejumlah besar struktur yang disebut splines. Oleh karena itu, perlu untuk memperkenalkan klasifikasi tertentu ke dalam varietas ini, dengan tujuan menyoroti fitur-fitur yang memungkinkan Anda memilih spline yang cocok untuk masalah tertentu yang diterapkan. Penugasan splines. Secara sengaja, tiga kelompok utama splines dapat dibedakan: "spline interpolasi" atau "spline fungsional" - melewati tepat melalui titik-titik tertentu, "spline smoothing" - melewati titik-titik tertentu, dengan mempertimbangkan kesalahan dalam penentuannya; "spline korelasi" - melewati kumpulan poin korelasi dan menampilkan ketergantungan umumnya (tren, regresi). Interpolasi dan splines fungsional digunakan dalam tugas pemodelan geometris, misalnya, mengatur kontur lambung air dan pesawat. Spline smoothing paling sering digunakan untuk menggambarkan ketergantungan eksperimen fisik dengan kesalahan pengukuran yang diketahui. Spline korelasi digunakan sebagai grafik regresi non-linier, yang paling sederhana dapat dianggap sebagai deskripsi ketergantungan dengan langkah dan fungsi linier sepotong-sepotong (spline nol dan derajat pertama). Tampilan fragmen spline. Fakta bahwa spline terdiri dari fragmen dengan tipe yang sama adalah salah satu fitur utama yang membedakannya dari fungsi bagian lainnya. Namun, ada splines gabungan, yang terdiri dari fragmen splines yang berbeda. Spline paling terkenal - terdiri dari fragmen - adalah polinomial aljabar yang tidak lebih tinggi dari derajat tertentu. Biasanya, ini adalah polinomial kubik, atau polinomial dengan derajat ganjil: pertama, ketiga (kubik), derajat kelima. Derajat yang lebih tinggi jarang digunakan karena kerumitan perhitungan dan kerumitan yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Keuntungan utama mereka adalah kesederhanaan perhitungan dan analisis. Kerugiannya adalah relatif sedikit proses fisik nyata yang sesuai dengan ketergantungan ini. Spline eksponensial. Jika penggaris logam fleksibel yang dipasang pada simpul diregangkan, maka solusi persamaan diferensial tidak akan menjadi polinomial aljabar, tetapi eksponensial. Oleh karena itu, splines seperti itu juga disebut tegang. Eksponen menggambarkan banyak proses fisik dalam sistem dinamis. Kerugiannya adalah kompleksitas perhitungan. Dengan analogi mekanis dengan penggaris logam, yang merupakan model desain balok, diperoleh spline dengan kekakuan variabel, dijelaskan dalam karya Snigirev V.F. dan Pavlenko A.P. Awalnya, spline semacam itu disebut degenerasi atau logaritmik, karena solusi aslinya persamaan diferensial spline, yaitu fragmen spline akan memuat fungsi logaritma natural. Kekakuan di dalamnya dapat bertindak sebagai bobot, jika ditentukan sebelumnya, atau sebagai fungsi kontrol, yang ditemukan dari kondisi minimum untuk fungsi energi operator persamaan spline asli, yang mirip dengan energi potensial total dari deformasi penggaris (balok). Fungsi kekakuan memungkinkan Anda untuk mengontrol bentuk spline. Dalam kasus ketika fungsi kekakuan adalah fungsi kontrol, maka splines tersebut disebut splines dari kekakuan minimum. Trigonometri adalah splines, fragmen yang dijelaskan oleh polinomial trigonometri. Mereka memiliki ekspresi perhitungan yang cukup kompleks. Lebih dari lima puluh fragmen spline dari berbagai jenis dijelaskan dalam karya-karya B. A. Popov. Ada juga spline rasional dan spline Padé. Fitur mereka adalah kemungkinan memecah turunan pada fragmen, dengan kontinuitas pada node. M. Ansermet membangun spline fraksional, di mana fragmen ditentukan menggunakan fungsi gamma. Kebijaksanaan menggunakan fragmen jenis tertentu didasarkan pada kondisi spesifik masalah dan batasan implementasi. Sebagai aturan, persyaratan utama adalah untuk mencapai akurasi interpolasi yang diberikan dengan biaya waktu dan sumber daya yang dapat diterima untuk implementasi. Pilihan fragmen yang baik, yang sesuai dengan sifat proses, mengurangi waktu komputasi dan jumlah memori yang diperlukan. Jumlah fragmen. Jelas, jumlah minimum fragmen adalah satu. Definisi klasik dari spline membatasi jumlah fragmen ke jumlah tertentu pada segmen hingga. Namun, dimungkinkan untuk membangun splines dengan jumlah fragmen yang tidak terbatas, tetapi pada kenyataannya metode dan algoritma ini tidak memerlukan informasi tentang sejumlah fragmen tertentu. Splines ini diwakili oleh kardinal splines dieksplorasi oleh Schoenberg. Untuk membuat spline dengan jumlah fragmen yang tidak terbatas, spline lokal lebih cocok. Lebar Fragmen. Penting untuk memilih splines dengan lebar fragmen yang sama. Ini memungkinkan Anda menyederhanakan ekspresi perhitungan secara signifikan, mempercepat pengoperasian algoritme, dan mengurangi biaya implementasi. Penyederhanaan tertentu dapat dicapai dengan menggunakan fragmen dengan lebar ganda. Ada splines dengan fragmen lebar nol (De Boer). Hal ini menyebabkan banyaknya simpul dan kemungkinan pendekatan splines dengan fragmen tak terpisahkan dari fungsi diskontinu. Ekspresi perhitungan diperoleh sebagai hasil dari transisi batas. Splines juga dapat memiliki fragmen dengan lebar tak terbatas. Fragmen ini harus ekstrim. Terkadang ini memungkinkan untuk secara alami mengatur kondisi batas. Sebenarnya, lebar fragmen tergantung pada pilihan parameter - argumen fungsi spline, dan ini memerlukan pemecahan masalah parameterisasi terpisah. Pilihan ideal sebagai parameter adalah panjang dari fungsi interpolasi, yang tidak selalu diketahui, sehingga ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Metode parametrisasi yang paling umum adalah dengan akord. Kondisi untuk menggabungkan fragmen. Fitur penting lainnya yang membedakan splines. Ketika datang ke splines, sebagai suatu peraturan, fragmen dianggap bergabung dengan lancar. Artinya, kontinuitas nilai dan turunan pertama dipastikan. konsep cacat spline berhubungan dengan jumlah turunan kontinu yang dimiliki oleh suatu fragmen fungsi dari tipe tertentu dan jumlah turunan yang kontinuitasnya dijamin pada node. Eksponen, sinusoidal memiliki jumlah turunan yang tak terbatas. Bagi mereka, konsep ini tidak masuk akal. Oleh karena itu, lebih mudah untuk berbicara langsung tentang jumlah turunan yang kontinuitasnya dijamin pada simpul-simpul spline. Dalam praktiknya, kita berbicara tentang kontinuitas nilai dan turunan pertama, maksimum kedua. Kesenjangan antara turunan kedua dan yang lebih tinggi tidak terlihat secara visual, sehingga jarang diperhitungkan. Jelas bahwa turunan pertama pada titik persimpangan dapat ditentukan dengan cara yang berbeda. Yang paling umum adalah dua metode. Nilai turunan pertama dipilih untuk memastikan kontinuitas turunan kedua (spline kubik global dari cacat minimum). Turunan pertama sama dengan turunan pertama dari fungsi interpolasi (mungkin kira-kira) dalam splines Hermitian. Kondisi batas . Ada 4 jenis kondisi batas klasik dan sejumlah non-klasik. Jika splines memiliki jumlah fragmen yang terbatas, maka, secara alami, mereka tidak memiliki fragmen ekstrem di kiri dan kanan, jadi tidak ada yang bisa bergabung dengan node ekstrem. Satu-satunya pengecualian adalah splines periodik, yang memiliki perpanjangan alami (kondisi batas klasik tipe ke-3). Terkadang kondisi batas dengan turunan nol disebut alami, meskipun tidak ada alasan untuk menganggapnya lebih alami daripada yang lain, tetapi untuk spline kubik, kondisi batas alami (alami) adalah kasus khusus dari tipe ke-2 dari kondisi batas klasik yang mendefinisikan turunan kedua di tepi spline. Dalam hal ini, menyamakan turunan kedua dengan nol melepaskan tepi penggaris logam dari pembebanan dengan momen lentur, yang secara alami akan terjadi ketika diterapkan pada simpul tetap (diberikan) dalam ruang fisik. Pada tipe pertama kondisi batas klasik, turunan pertama (tangensial) ditetapkan pada tepi spline; pada tipe ke-2 - atur turunan kedua (kelengkungan); tipe ke-3 digunakan untuk interpolasi garis tertutup atau periodik dan terdiri dari penggabungan fragmen ekstrem dari spline; Tipe ke-4 digunakan ketika turunan pertama atau kedua tidak diketahui pada tepi spline dan terdiri dari penggabungan pasangan fragmen ekstrim yang berdekatan (1 dengan yang ke-2 dan yang terakhir dengan kedua dari belakang) dengan turunan ketiga, yang dalam praktiknya diwujudkan dalam menggambar pasangan melalui node tetangga fragmen ekstrim dari fungsi yang mirip dengan satu fragmen spline (untuk spline polinomial - polinomial dengan derajat yang sama dengan fragmen spline). Berbagai kombinasi kondisi batas digunakan, yang direduksi menjadi 4 jenis kondisi klasik ini. Jika kondisi batas tidak dapat direduksi menjadi empat jenis ini, seperti, misalnya, perubahan pada sepasang fragmen ekstrem yang berdekatan dari spline turunan ketiganya menurut hukum linier (affine), yang diusulkan dalam karya Snigirev V. F., maka kondisi seperti itu disebut versi non-klasik dari kondisi batas. Di bawah ini adalah beberapa varian yang direduksi menjadi kondisi batas klasik. Jika spline memiliki fragmen dengan lebar yang sama, fragmen yang hilang dengan lebar yang sama akan dihitung. Pilihan lain adalah mempertimbangkan fragmen yang hilang diperpanjang hingga tak terbatas. Keuntungan dari pendekatan ini adalah kemungkinan ekstrapolasi. Anda dapat menganggap lebar fragmen menjadi nol. Ekspresi terhitung diperoleh dengan transisi batas. Jika kita melihat kondisi batas dari sudut pandang pembentukan spline dari fungsi basis, maka mereka direduksi menjadi kelanjutan dari fungsi basis lokal yang sesuai. Lebar fragmen tetangga mempengaruhi bentuknya. Potongan sederhana sering menyebabkan osilasi dan peningkatan kesalahan di tepi. Kondisi batas penting dalam pemrosesan citra dan dalam masalah ekstrapolasi. Pembatasan tambahan. Mereka paling sering menyangkut turunan di node. Terkadang mereka mengikuti dari proses fisika. Kondisi: nilai tidak dapat dicabut, persamaan momen, luas, kondisi normalisasi. Kondisi tambahan terkadang menyederhanakan analisis properti spline, tetapi dapat secara serius memperumit biaya konstruksi dan implementasi. Grid titik interpolasi. Dapat secara signifikan mempengaruhi efisiensi perhitungan. Kasus grid seragam dan grid seragam, dengan jarak antara titik yang merupakan kelipatan dari jarak antara node spline, adalah penting. Menemukan kisi titik interpolasi (simpul interpolasi) adalah tugas parametrisasi, yang telah dibahas di bagian Lebar Fragmen. Sifat lokal dari fungsi dasar. Sebuah spline dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari splines dasar tertimbang. Lebar fungsi dasar ini sangat penting. Jadi, dalam splines global, splines dasar tidak nol pada seluruh segmen interpolasi. Meskipun perlu dicatat bahwa dengan akurasi tertentu (cukup untuk banyak perhitungan teknis), mereka dapat dianggap lokal. Untuk spline lokal, lebar fungsi basis kecil (empat fragmen untuk spline Hermitian kubik). Hal ini secara signifikan mempengaruhi efisiensi perhitungan dan biaya pelaksanaan. Formulir Presentasi. Fungsi yang mendefinisikan fragmen spline, sebagai suatu peraturan, bergantung pada banyak parameter yang mengubah bentuknya. Nilai parameter pada masing-masing fragmen bersifat individual. Parameter ini dapat menentukan spline tertentu. Untuk spline polinomial, ini adalah koefisien polinomial. Jadi, sebuah spline dapat diwakili oleh satu set parameter fungsi pada masing-masing fragmen. Sebut saja representasi ini per-fragmen. Representasi seperti itu bersifat ilustratif dan seringkali memiliki makna fisik yang jelas. Tapi jumlah parameternya berlebihan. Jadi, untuk spline kubik, Anda harus memiliki 4 * (r-1) parameter ( r adalah jumlah node spline). Representasi ini diperoleh sebagai hasil integrasi tak tentu dari sebuah fragmen dari persamaan diferensial spline asli dan disebut analog bentuk polinomial sepotong (pp-form) dengan analogi dengan spline polinomial. Untuk secara eksplisit menyatakan koefisien dalam bentuk nilai koordinat titik nodal yang sudah diketahui, dekomposisi bentuk polinomial sepotong-sepotong yang serupa menjadi fungsi dasar digunakan dengan mensubstitusikannya ke dalam kondisi batas Hermite (kondisi batas untuk fragmen spline , kondisi untuk interpolasi dan mengandalkan turunan). Hasilnya adalah bentuk dasar (B-shape) dari spline. Representasi spline ini jauh lebih ringkas dan dapat ditulis dalam bentuk fungsi dasar spline dalam bentuk: S (x) = j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\sum \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (x)))
Kurva dan permukaan yang ditemui dalam masalah praktis seringkali memiliki bentuk yang agak rumit, yang tidak memungkinkan spesifikasi analitik universal secara keseluruhan dengan bantuan fungsi dasar. Oleh karena itu, mereka dirakit dari fragmen halus yang relatif sederhana - segmen (kurva) atau potongan (permukaan), yang masing-masing dapat dijelaskan dengan cukup memuaskan menggunakan fungsi dasar dari satu atau dua variabel. Pada saat yang sama, sangat wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi halus yang digunakan untuk membangun sebagian kurva atau permukaan memiliki sifat yang serupa, misalnya, menjadi polinomial dengan derajat yang sama. Dan agar kurva atau permukaan yang dihasilkan cukup halus, perlu sangat berhati-hati pada sambungan fragmen yang sesuai. Derajat polinomial dipilih dari pertimbangan geometris sederhana dan, sebagai aturan, kecil. Untuk perubahan garis singgung yang mulus di sepanjang kurva gabungan, cukup untuk menggambarkan kurva penghubung menggunakan polinomial derajat ketiga, polinomial kubik. Koefisien polinomial tersebut selalu dapat dipilih sehingga kelengkungan kurva komposit yang sesuai adalah kontinu. Spline kubik yang muncul dalam memecahkan masalah satu dimensi dapat disesuaikan dengan pembentukan fragmen permukaan senyawa. Dan di sini, secara alami, muncul spline bikubik, dijelaskan oleh polinomial derajat ketiga di masing-masing dari dua variabel. Bekerja dengan splines seperti itu membutuhkan lebih banyak perhitungan. Tetapi proses yang terorganisir dengan baik akan memungkinkan mempertimbangkan kemampuan teknologi komputer yang terus berkembang secara maksimal. Fungsi Spline Biarkan pada segmen , yaitu, Keterangan. Indeks (t) dari angka a^ menunjukkan bahwa. bahwa himpunan koefisien yang dengannya fungsi S(x) ditentukan pada setiap segmen parsial D adalah miliknya sendiri. Pada setiap segmen D1, spline 5(x) adalah polinomial dengan derajat p dan ditentukan pada segmen ini dengan koefisien p + 1. Total segmen parsial - lalu. Oleh karena itu, untuk menentukan spline secara lengkap, perlu dicari (p + 1) kemudian bilangan Kondisi) berarti kontinuitas fungsi S(x) dan turunannya di semua simpul grid internal w. Jumlah simpul tersebut adalah m - 1. Jadi, untuk mencari koefisien semua polinomial, diperoleh kondisi (persamaan) p(m - 1). Untuk definisi lengkap dari spline, tidak ada cukup (kondisi (persamaan).Pilihan kondisi tambahan ditentukan oleh sifat masalah yang sedang dipertimbangkan, dan kadang-kadang hanya oleh keinginan pengguna. TEORI SPLINE Contoh solusi Paling sering, masalah interpolasi dan pemulusan dipertimbangkan, ketika diperlukan untuk membangun satu atau beberapa spline dari array titik yang diberikan pada bidang.Dalam masalah interpolasi, grafik spline diharuskan melewati titik, yang membebankan m + 1 kondisi tambahan (persamaan) pada koefisiennya. Kondisi p - 1 yang tersisa (persamaan) untuk konstruksi unik spline paling sering ditetapkan dalam bentuk nilai turunan bawah spline di ujung segmen yang dipertimbangkan [a, 6] - batas ( kondisi batas. Kemampuan untuk memilih kondisi batas yang berbeda memungkinkan Anda membangun splines dengan berbagai properti. Dalam masalah pemulusan, spline dibangun sehingga grafiknya melewati dekat titik (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m, dan tidak melalui titik tersebut. Ukuran kedekatan ini dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda, yang mengarah pada variasi yang signifikan dari spline perataan. Opsi yang dijelaskan untuk memilih saat membangun fungsi spline jauh dari melelahkan keragamannya. Dan jika awalnya hanya fungsi spline polinomial sepotong-sepotong yang dipertimbangkan, maka ketika cakupan aplikasinya diperluas, splines mulai muncul, "direkatkan" dari fungsi dasar lainnya juga. Interpolasi splines kubik Pernyataan masalah interpolasi Biarkan grid w diberikan pada interval [a, 6) Pertimbangkan satu set angka Masalah. Bangun fungsi yang mulus pada segmen (a, 6] dan mengambil nilai yang diberikan pada node grid o, yaitu "Dengan memaksakan kondisi tambahan pada fungsi yang sedang dibangun, seseorang dapat mencapai keunikan yang diperlukan. Dalam aplikasi, seringkali menjadi perlu untuk mendekati fungsi yang diberikan secara analitis melalui fungsi dengan properti yang cukup baik yang ditentukan.Misalnya, dalam kasus di mana perhitungan nilai fungsi yang diberikan f(x) pada interval titik [a, 6] dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan dan/atau fungsi yang diberikan /(x) tidak memiliki kelancaran yang diperlukan, akan lebih mudah untuk menggunakan fungsi lain yang akan mendekati fungsi yang diberikan dengan cukup baik dan akan tanpa kekurangannya.[a, 6] fungsi halus a(x) yang bertepatan pada node grid w dengan fungsi yang diberikan /(X). Definisi spline kubik interpolasi Sebuah spline kubik interpolasi S(x) pada mesh w adalah fungsi yang 1) pada setiap segmen adalah polinomial derajat ketiga, 2) terdiferensialkan dua kali pada segmen [a, b ], yaitu, termasuk kelas C2[ a, 6], dan 3) memenuhi kondisi Pada setiap segmen, spline S(x) adalah polinomial derajat tiga dan ditentukan pada segmen ini dengan empat koefisien. Banyaknya ruas adalah m. Artinya, untuk menentukan spline secara tuntas, perlu dicari bilangan 4m. Syaratnya adalah kontinuitas fungsi S (x) dan turunannya S "(x) dan 5" (x) di semua node grid internal w. Jumlah node tersebut adalah m - 1. Jadi, untuk menemukan koefisien dari semua polinomial, diperoleh 3 (m - 1) lebih banyak kondisi (persamaan). Bersama dengan kondisi (2), diperoleh kondisi (persamaan). Kondisi batas (boundary) Dua kondisi yang hilang ditentukan sebagai batasan pada nilai spline dan/atau turunannya pada ujung interval [a, 6]. Saat membangun spline kubik interpolasi, kondisi batas dari empat jenis berikut paling sering digunakan. A. Kondisi batas tipe 1. - pada akhir interval [a, b], nilai turunan pertama dari fungsi yang diinginkan diberikan. B. Kondisi batas tipe ke-2. - pada akhir interval (a, 6) nilai turunan kedua dari fungsi yang diinginkan ditetapkan. B. Kondisi batas tipe ke-3. disebut periodik. Adalah wajar untuk memenuhi persyaratan ini dalam kasus di mana fungsi interpolasi adalah periodik dengan periode T = b-a. D. Kondisi batas tipe ke-4. memerlukan komentar khusus. Komentar. Pada node sepsis internal, turunan ketiga dari fungsi S(x), secara umum, terputus-putus. Namun, jumlah diskontinuitas turunan ketiga dapat dikurangi dengan menggunakan kondisi tipe ke-4. Dalam hal ini, spline yang dibangun akan terdiferensiasi secara kontinu tiga kali pada interval Konstruksi spline kubik interpolasi Mari kita jelaskan metode untuk menghitung koefisien spline kubik, di mana jumlah kuantitas yang akan ditentukan adalah sama. Pada setiap interval, dicari fungsi spline interpolasi dalam bentuk berikut: Untuk kondisi batas tipe 1 dan 2, sistem ini memiliki bentuk berikut di mana Koefisien bergantung pada pilihan kondisi batas. Kondisi batas tipe ke-1: Kondisi batas tipe ke-2: Dalam kasus kondisi batas tipe ke-3, sistem untuk menentukan bilangan ditulis sebagai berikut. Untuk syarat batas tipe ke-4, sistem penentuan bilangan berbentuk: Matriks dari ketiga sistem aljabar linier adalah matriks dengan dominasi diagonal. Matriks-matriks ini tidak mengalami degenerasi, dan oleh karena itu masing-masing sistem ini memiliki solusi yang unik. Dalil. Sebuah spline kubik interpolasi yang memenuhi kondisi (2) dan kondisi batas dari salah satu dari empat jenis yang terdaftar ada dan unik. Jadi, membuat interpolasi spline kubik berarti mencari koefisiennya.Ketika koefisien spline ditemukan, nilai spline S(x) pada titik sembarang dari segmen [a, b] dapat ditemukan dengan menggunakan rumus ( 3). Namun, untuk perhitungan praktis, algoritma berikut untuk mencari besaran S(x) lebih cocok. Biarkan x 6 [x", Pertama, nilai A dan B dihitung sesuai dengan rumus dan kemudian nilai 5(x) ditemukan: Penggunaan algoritma ini secara signifikan mengurangi biaya komputasi untuk menentukan nilai. user Pilihan kondisi batas (boundary) dan node interpolasi memungkinkan sampai batas tertentu untuk mengontrol properti splines interpolasi. A. Pilihan kondisi batas (boundary). Pemilihan kondisi batas merupakan salah satu masalah utama dalam interpolasi fungsi. Ini memperoleh kepentingan khusus dalam kasus ketika perlu untuk memastikan akurasi yang tinggi dari aproksimasi fungsi f(x) oleh spline 5(g) di dekat ujung segmen [a, 6]. Nilai batas memiliki efek nyata pada perilaku spline 5(g) di dekat titik a dan b, dan efek ini dengan cepat melemah saat kita menjauh darinya. Pilihan kondisi batas sering ditentukan oleh ketersediaan informasi tambahan tentang perilaku fungsi f(x) yang didekati. Jika nilai turunan pertama f "(x) diketahui di ujung segmen (a, 6), maka wajar untuk menggunakan kondisi batas tipe 1. Jika nilai kedua turunan f”(x) diketahui pada ujung ruas [a,6], maka wajar menggunakan syarat batas tipe ke-2. Jika dimungkinkan untuk memilih antara kondisi batas tipe ke-1 dan ke-2, maka preferensi harus diberikan pada kondisi tipe ke-1. Jika f(x) adalah fungsi periodik, maka kita harus berhenti pada kondisi batas tipe ke-3. Jika tidak ada informasi tambahan tentang perilaku fungsi yang didekati, yang disebut kondisi batas alami sering digunakan.Namun, harus diingat bahwa dengan pilihan kondisi batas seperti itu, akurasi aproksimasi fungsi f (x) oleh spline S (x) di dekat ujung segmen (a, ft] menurun tajam. Terkadang, kondisi batas tipe 1 atau 2 digunakan, tetapi tidak dengan nilai pasti dari turunan yang sesuai, tetapi dengan aproksimasi perbedaannya. Keakuratan pendekatan ini rendah. Pengalaman praktis perhitungan menunjukkan bahwa dalam situasi yang dipertimbangkan, pilihan yang paling tepat adalah kondisi batas tipe ke-4. B. Pilihan node interpolasi. Jika turunan ketiga f""(x) dari fungsi mengalami diskontinuitas di beberapa titik segmen [a, b], maka untuk meningkatkan kualitas aproksimasi, titik-titik ini harus dimasukkan dalam jumlah simpul interpolasi. Jika turunan kedua /"(x) diskontinu, maka untuk menghindari osilasi spline di dekat titik diskontinuitas, harus diambil tindakan khusus. Biasanya, simpul interpolasi dipilih sehingga titik diskontinuitas turunan kedua masuk ke dalam interval \xif), sehingga dan dapat dipilih dengan eksperimen numerik (sering kali cukup untuk menetapkan a = 0,01). Ada seperangkat resep untuk mengatasi kesulitan yang muncul ketika turunan pertama f "(x) adalah terputus-putus. Sebagai salah satu yang paling sederhana, kita dapat mengusulkan ini: bagilah segmen aproksimasi menjadi interval-interval di mana turunannya kontinu, dan buat spline pada masing-masing interval ini. Pilihan fungsi interpolasi (plus dan minus) Pendekatan 1. Polinomial interpolasi Lagrange Menurut contoh solusi TEORI SPLINE array yang diberikan (Gbr. 3) polinomial interpolasi Lagrange ditentukan oleh rumus Dianjurkan untuk mempertimbangkan sifat-sifat polinomial interpolasi Lagrange dari dua posisi yang berlawanan, membahas keuntungan utama secara terpisah dari kerugian. Keuntungan utama dari pendekatan 1: 1) grafik polinomial interpolasi Lagrange melewati setiap titik array, 2) fungsi yang dibangun mudah dijelaskan (jumlah koefisien polinomial interpolasi Lagrange pada grid u akan ditentukan sama dengan m + 1), 3) fungsi yang dibangun memiliki turunan kontinu dari urutan apa pun, 4) diberikan array, polinomial interpolasi ditentukan secara unik. Kerugian utama dari pendekatan pertama: 1) derajat polinomial interpolasi Lagrange tergantung pada jumlah node grid, dan semakin besar angka ini, semakin tinggi derajat polinomial interpolasi dan, oleh karena itu, semakin banyak perhitungan yang diperlukan, 2 ) mengubah setidaknya satu titik dalam larik memerlukan penghitungan ulang lengkap koefisien polinomial interpolasi Lagrange, 3) menambahkan titik baru ke larik meningkatkan derajat polinomial interpolasi Lagrange sebesar satu dan bahkan mengarah ke penghitungan ulang lengkap koefisiennya , 4) dengan penyempurnaan mesh tak terbatas, derajat polinomial interpolasi Lagrange meningkat tanpa batas. Perilaku polinomial interpolasi Lagrange di bawah penyempurnaan mesh tak terbatas umumnya memerlukan perhatian khusus. Komentar A. Pendekatan fungsi kontinu dengan polinomial. Diketahui (Weierstrass, 1885) bahwa setiap fungsi kontinu (dan bahkan lebih mulus) pada suatu interval dapat didekati sebaik yang diinginkan pada interval ini dengan polinomial. Mari kita gambarkan fakta ini dalam bahasa rumus. Misalkan f(x) adalah fungsi kontinu pada segmen [a, 6]. Kemudian untuk setiap e > 0 terdapat polinomial n(x) sehingga untuk sembarang x dari interval [a, 6] pertidaksamaan akan dipenuhi (Gbr. 4) , ada banyak tak hingga. Pada segmen [a, 6] kami membuat kisi w. Jelas bahwa simpulnya, secara umum, tidak bertepatan dengan titik potong grafik polinomial Pn(x) dan fungsi f(x) (Gbr. 5). Oleh karena itu, untuk grid yang diambil, polinomial Pn(x) bukan polinomial interpolasi. Ketika suatu fungsi kontinu didekati oleh polinomial interpolasi Jla-graj, grafiknya tidak hanya harus dekat dengan grafik fungsi f(x) pada setiap titik segmen [a, b), tetapi dapat menyimpang dari fungsi ini sebanyak yang diinginkan. Mari kita beri dua contoh. Contoh 1 (Anak Tangga, 1901). Dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah node untuk suatu fungsi pada interval [-1, 1], persamaan batas terpenuhi (Gbr. 6) Contoh 2 (Berichtein, 1912). Barisan polinomial interpolasi Lagrange yang dibangun pada kisi-kisi seragam nm untuk fungsi kontinu /(x) = |x| pada segmen dengan peningkatan jumlah node m tidak cenderung ke fungsi f(x) (Gbr. 7). Pendekatan ke-2. Interpolasi linier sepotong-sepotong Jika kelancaran fungsi interpolasi ditinggalkan, rasio antara jumlah keuntungan dan jumlah kerugian dapat secara nyata berubah ke arah yang pertama. Mari kita membangun fungsi linier sepotong-sepotong dengan menghubungkan titik-titik (xit y,) secara berurutan dengan segmen garis lurus (Gbr. 8). Keuntungan utama dari pendekatan ke-2: 1) grafik fungsi linier sepotong-sepotong melewati setiap titik larik, 2) fungsi yang dibangun mudah dijelaskan (jumlah koefisien dari fungsi linier yang sesuai ditentukan untuk kisi ( 1) adalah 2m), 3) fungsi yang dibangun didefinisikan oleh array yang diberikan dengan jelas, 4) derajat polinomial yang digunakan untuk menggambarkan fungsi interpolasi tidak bergantung pada jumlah node grid (sama dengan 1), 5) mengubah satu titik dalam array membutuhkan perhitungan empat angka (koefisien dari dua tautan bujursangkar yang berasal dari titik baru), 6) menambahkan titik tambahan ke array membutuhkan perhitungan empat koefisien. Fungsi linier sepotong-sepotong berperilaku cukup baik saat memperbaiki kisi. i Kelemahan utama dari pendekatan ke-2 adalah bahwa pendekatan fungsi linier sepotong-sepotong tidak mulus: turunan pertama mengalami diskontinuitas pada node grid (telinga interpolasi). Pendekatan ke-3. Interpolasi spline Pendekatan yang diusulkan dapat digabungkan sehingga jumlah keuntungan yang terdaftar dari kedua pendekatan dipertahankan sambil mengurangi jumlah kerugian. Ini dapat dilakukan dengan membangun fungsi spline interpolasi halus derajat p. Keuntungan utama dari pendekatan ke-3: 1) grafik fungsi yang dibangun melewati setiap titik array, 2) fungsi yang dibangun relatif mudah untuk dijelaskan (jumlah koefisien dari polinomial yang sesuai untuk ditentukan untuk kisi ( 1) adalah 3) fungsi yang dibangun ditentukan secara unik oleh larik yang diberikan, 4) polinomial derajat tidak bergantung pada jumlah node kisi dan, oleh karena itu, tidak berubah dengan kenaikannya, 5) fungsi yang dibangun memiliki turunan kontinu ke atas dengan orde p - 1 inklusif, 6) fungsi yang dibangun memiliki sifat aproksimasi yang baik. Referensi singkat. Nama yang diusulkan - spline - tidak disengaja - fungsi polinomial halus sepotong-sepotong yang diperkenalkan oleh kami dan menggambar splines terkait erat. Pertimbangkan penggaris tipis yang fleksibel dan ideal yang melewati titik referensi larik yang terletak di bidang (x, y). Menurut hukum Bernoulli-Euler, persamaan linier dari penggaris melengkung memiliki bentuk Fungsi S(x), yang menggambarkan penggaris, adalah polinomial derajat ketiga antara masing-masing dan dua titik bertetangga dari larik (penopang) dan terdiferensiasi dua kali secara kontinu pada seluruh interval (a, 6). Komentar. 06 interpolasi fungsi kontinu Tidak seperti polinomial interpolasi Lagrange, urutan spline kubik interpolasi pada grid seragam selalu konvergen ke fungsi kontinu interpolasi, dan dengan peningkatan sifat diferensial dari fungsi ini, laju konvergensi meningkat. Contoh. Untuk suatu fungsi, spline kubik pada kisi dengan jumlah simpul m = 6 memberikan kesalahan aproksimasi dengan orde yang sama dengan polinomial interpolasi Ls(z), dan pada kisi dengan jumlah simpul m = 21, kesalahan ini sangat kecil sehingga pada skala gambar buku biasa tidak dapat ditampilkan (Gbr. 10) (polinomial interpolasi 1>2o(r) dalam hal ini memberikan kesalahan sekitar 10.000 W). Sifat-sifat spline kubik yang diinterpolasi A. Sifat-sifat pendekatan spline kubik. Sifat aproksimasi dari spline interpolasi bergantung pada kelancaran fungsi f(x) - semakin tinggi kehalusan fungsi interpolasi, semakin tinggi urutan aproksimasi, dan ketika kisi dihaluskan, semakin tinggi tingkat konvergensi. Jika fungsi interpolasi f(x) kontinu pada interval Jika fungsi interpolasi f(x) memiliki turunan pertama kontinu pada interval [a, 6], yaitu, spline interpolasi yang memenuhi kondisi batas dari 1 atau Tipe ketiga, maka untuk h kita miliki Dalam hal ini, tidak hanya spline yang konvergen ke fungsi interpolasi, tetapi juga turunan dari spline yang konvergen ke turunan dari fungsi ini. Jika spline S(x) mendekati fungsi f(x) pada segmen [a, b], dan turunan pertama dan kedua masing-masing mendekati fungsi B. Sifat ekstrem dari spline kubik. Interpolasi kubik spline memiliki properti lain yang berguna. Perhatikan contoh berikut. contoh. Bangun sebuah fungsi /(x) yang meminimalkan fungsional pada kelas fungsi dari ruang C2 yang grafiknya melewati titik-titik array x) yang memenuhi kondisi batas memberikan ekstrem (minimum) ke fungsional. Catatan 2. Menarik untuk dicatat bahwa interpolasi kubik spline memiliki sifat ekstrim yang dijelaskan di atas pada kelas fungsi yang sangat luas, yaitu pada kelas |0, 5]. 1.2. Menghaluskan spline kubik Pada perumusan masalah pemulusan Biarkan grid dan satu set angka diberikan. Sebenarnya, ini berarti bahwa suatu interval ditentukan untuk masing-masing, dan bilangan apa pun dari interval ini dapat diambil sebagai nilai y, . Lebih mudah untuk menafsirkan nilai y, misalnya, sebagai hasil pengukuran beberapa fungsi y(x) untuk nilai variabel x yang diberikan, yang mengandung kesalahan acak. Saat memecahkan masalah pemulihan fungsi dari nilai "eksperimental" seperti itu, hampir tidak disarankan untuk menggunakan interpolasi, karena fungsi interpolasi akan dengan patuh mereproduksi osilasi aneh yang disebabkan oleh komponen acak dalam larik (y,). Pendekatan yang lebih alami didasarkan pada prosedur pemulusan yang dirancang untuk mengurangi elemen keacakan sebagai hasil pengukuran. Biasanya dalam masalah seperti itu diperlukan untuk menemukan fungsi yang nilai untuk x = x, * = 0, 1, .... m, akan jatuh ke dalam interval yang sesuai dan yang, di samping itu, akan memiliki sifat yang cukup baik. Misalnya, ia akan memiliki turunan pertama dan kedua yang kontinu, atau grafiknya tidak akan terlalu melengkung, artinya, ia tidak akan memiliki osilasi yang kuat. Masalah semacam ini juga muncul ketika, menurut array (tepatnya) yang diberikan, diperlukan untuk membangun fungsi yang akan melewati titik-titik yang tidak diberikan, tetapi di dekat mereka dan, terlebih lagi, berubah dengan cukup lancar. Dengan kata lain, fungsi yang diinginkan memuluskan array yang diberikan, seolah-olah, dan tidak menginterpolasinya. Diberikan sebuah kisi w dan dua himpunan bilangan TEORI SPLINE Contoh penyelesaian Soal. Bangun fungsi mulus pada segmen [a, A] yang nilainya pada simpul kisi dan berbeda dari angka y dengan nilai yang diberikan. Masalah pemulusan yang dirumuskan adalah pemulihan fungsi halus yang diberikan dalam sebuah tabel. Jelas bahwa masalah seperti itu memiliki banyak solusi yang berbeda. Dengan memaksakan kondisi tambahan pada fungsi yang dibangun, kita dapat mencapai keunikan yang diperlukan. Definisi dari spline kubik penghalus Sebuah spline kubik smoothing S(x) pada mesh w adalah fungsi yang 1) pada masing-masing segmen adalah polinomial derajat ketiga, 2) terdiferensiasi dua kali pada segmen [a, 6 ], yaitu, milik kelas C2 [a , b], 3) memberikan minimum ke fungsional di mana diberikan nomor, 4) memenuhi kondisi batas salah satu dari tiga jenis yang ditunjukkan di bawah ini. Kondisi batas (boundary) Kondisi batas ditentukan sebagai batasan pada nilai spline dan turunannya pada node batas mesh w. A. Kondisi batas tipe 1. - pada akhir interval [a, b) nilai turunan pertama dari fungsi yang diinginkan diberikan. Kondisi batas tipe ke-2. - turunan kedua dari fungsi yang diinginkan pada ujung interval (a, b] sama dengan nol. C. Kondisi batas tipe ke-3 disebut periodik. Teorema. Cubic spline S (x), meminimalkan fungsional (4 ) dan memenuhi kondisi batas salah satu dari tiga tipe yang ditunjukkan, didefinisikan secara unik Definisi. Sebuah spline kubik yang meminimalkan fungsional J(f) dan memenuhi kondisi batas tipe-i disebut spline pemulusan tipe-i. segmen ini dengan empat koefisien.Total segmen - m.Jadi, untuk mendefinisikan spline sepenuhnya, Anda perlu menemukan angka 4m.Kondisi ini berarti kontinuitas fungsi 5(ar) dan semua turunan di semua simpul internal kisi o. "Jumlah node tersebut adalah m - 1 Jadi, untuk menemukan koefisien dari semua polinomial, 3(m - 1) kondisi (persamaan) diperoleh. dimana jumlah besaran yang akan ditentukan adalah 2m + 2. Pada setiap interval, dicari fungsi smoothing spline dalam bentuk berikut Mari kita gambarkan dulu bagaimana jumlah n* ditemukan. Untuk syarat batas tipe 1 dan 2, sistem persamaan linier untuk menentukan nilai Hi ditulis dalam bentuk berikut di mana adalah bilangan yang diketahui). Koefisien tergantung pada pilihan kondisi batas. Syarat batas tipe ke-1: Syarat batas tipe ke-2: Dalam hal syarat batas tipe ke-3, sistem untuk menentukan bilangan ditulis sebagai berikut: selain itu, semua koefisien dihitung dengan rumus (5) (jumlah dengan indeks k dan m + k dianggap sama dengan : Catatan penting*. Matriks sistem tidak merosot, dan oleh karena itu masing-masing sistem ini memiliki solusi yang unik. Jika angka n, - ditemukan, maka jumlahnya mudah ditentukan dengan rumus Jika semuanya dan spline pemulusan ternyata menjadi interpolasi. Ini berarti, khususnya, bahwa semakin tepat nilai yang diberikan, semakin kecil nilai praskala dari koefisien pembobotan yang sesuai. Sebaliknya, jika spline perlu melewati titik (x^, Yk), maka faktor bobot p\ yang bersesuaian dengannya harus sama dengan nol. Dalam perhitungan praktis, yang paling penting adalah pilihan nilai pi-Biarkan D, - kesalahan pengukuran nilai y,. Maka wajar jika spline pemulusan memenuhi kondisi atau, yang sama Dalam kasus yang paling sederhana, koefisien bobot pi dapat diberikan, misalnya, dalam bentuk - di mana c adalah konstanta yang cukup kecil. Namun, pilihan bobot p seperti itu, tidak memungkinkan penggunaan "koridor" karena kesalahan dalam nilai y, -. Algoritma yang lebih rasional, tetapi juga lebih memakan waktu untuk menentukan nilai p, - dapat terlihat sebagai berikut. Jika pada iterasi ke-f nilai ditemukan, maka diasumsikan di mana e adalah angka kecil, yang dipilih secara eksperimental dengan mempertimbangkan bit grid komputer, nilai D, dan akurasi menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Jika pada iterasi ke-fc di titik i, kondisi (6) dilanggar, maka rumus terakhir akan memastikan penurunan koefisien bobot yang sesuai p,. Jika kemudian pada iterasi berikutnya Tingkatkan p, mengarah pada penggunaan "koridor" (6) yang lebih lengkap dan, pada akhirnya, perubahan spline yang lebih lancar. Sedikit teori A. Pembuktian rumus untuk menghitung koefisien interpolasi kubik spline. Kami memperkenalkan notasi di mana m, adalah jumlah yang tidak diketahui. Jumlahnya sama dengan m + 1. Spline, ditulis dalam bentuk yang memenuhi kondisi interpolasi dan kontinu pada seluruh interval [a, b\: dengan memasukkan rumus, kita peroleh, masing-masing. turunan pertama kontinu pada interval [a, 6]: relasi pembeda (7) dan pengaturan, kita mendapatkan yang bersesuaian. sebenarnya. Mari kita tunjukkan bahwa bilangan m dapat dipilih sehingga fungsi spline (7) memiliki turunan kedua yang kontinu pada interval [a, 6]. Hitung turunan kedua spline pada interval: Pada titik x, - 0 (pada t = 1) kita miliki Hitung turunan kedua spline pada interval Pada titik yang kita miliki Dari kondisi kontinuitas turunan kedua di node jaringan internal a; kita memperoleh hubungan m - 1 di mana Menambahkan dua persamaan m - 1 ini lagi, yang timbul dari dan dari kondisi batas, kita memperoleh sistem persamaan aljabar linier m + 1 dengan m + I tidak diketahui miy i = 0, 1. ... , m. Sistem persamaan untuk menghitung nilai gw dalam kasus kondisi batas tipe ke-1 dan ke-2 memiliki bentuk dimana (kondisi batas tipe ke-1), (kondisi batas tipe ke-2). Untuk kondisi batas periodik (kondisi batas tipe ke-3), grid o; perpanjang satu node lagi dan asumsikan Kemudian sistem untuk menentukan nilai r* akan berbentuk kontinuitas pada node grid kedua dan (th - !). Kami memiliki Dari dua hubungan terakhir, kami memperoleh dua persamaan yang hilang yang sesuai dengan kondisi batas tipe ke-4: Tidak termasuk r0 yang tidak diketahui dari persamaan, dan pc yang tidak diketahui dari persamaan, sebagai hasilnya kami memperoleh sistem persamaan Perhatikan bahwa jumlah yang tidak diketahui dalam sistem ini sama dengan r - I. 6. Pembuktian rumus untuk menghitung efisiensi spline subic pemulusan. Kami memperkenalkan notasi di mana Zi dan nj masih jumlah yang tidak diketahui. Jumlahnya sama dengan 2m + 2. Fungsi spline yang ditulis dalam bentuk kontinu pada seluruh interval (a, 6]: dengan memasukkan rumus ini, kita peroleh, masing-masing. Mari kita tunjukkan bahwa bilangan z, dan n, dapat dipilih sehingga spline yang ditulis dalam bentuk ( 8), memiliki turunan pertama kontinu pada interval [a, 6] Hitung turunan pertama spline S(x) pada interval : Pada suatu titik, kita memiliki Dari kondisi kontinuitas turunan pertama spline pada simpul internal grid dan --> kita memperoleh relasi m - 1. Lebih mudah untuk menulis hubungan ini dalam bentuk matriks. relasi (8) dan setting, kita peroleh, berturut-turut, relasi matriks Yeshe olyu diperoleh dari kondisi minimum fungsional (4). Kami memiliki Dua persamaan matriks terakhir dapat dianggap sebagai sistem linier dari 2m + 2 persamaan aljabar linier dalam 2m + 2 tidak diketahui. Mengganti kolom r dalam persamaan pertama dengan ekspresi yang diperoleh dari relasi (9), kita sampai pada persamaan matriks TEORI SPLINE Contoh solusi untuk menentukan kolom M. Persamaan ini memiliki solusi unik karena fakta bahwa matriks A + 6HRH7 selalu nondegenerate. Menemukannya, kami dengan mudah mengidentifikasi Tuan Eamshine. Unsur-unsur matriks segitigamagolal A dan H ditentukan hanya oleh parameter kisi u (dengan langkah hi) dan tidak bergantung pada nilai yj. Ruang linier fungsi spline kubik Himpunan spline kubik yang dibangun pada segmen [a, 6) oleh node wcra + l adalah ruang linier berdimensi m + 3: 1) jumlah dua spline kubik yang dibangun oleh grid u > dan produk dari spline kubik , dibangun di atas kisi u>, nomor arbitrer yang lebih rahasia adalah spline kubik yang dibangun di atas kisi ini, 2) setiap spline kubik yang dibangun di atas kisi dan dari simpul sepenuhnya ditentukan oleh m + 1 oleh nilai nilai y "di node ini dan dua kondisi batas - hanya + 3 parameter. Memilih dalam ruang ini sebuah basis yang terdiri dari m + 3 splines independen linier, kita dapat menulis sebuah spline kubik arbitrer a(x) sebagai kombinasi linier dari mereka dengan cara yang unik. Komentar. Spesifikasi spline seperti itu banyak digunakan dalam praktik komputasi. Sangat nyaman adalah dasarnya, yang terdiri dari apa yang disebut spline B kubik (spline dasar, atau fundamental). Penggunaan D-spline dapat mengurangi kebutuhan memori komputer secara signifikan. L-spline. B-spline nol derajat, dibangun di atas garis bilangan di sepanjang kisi w, adalah fungsi garpu. B-spline derajat k ^ I, dibangun di atas garis bilangan di sepanjang kisi u, ditentukan oleh rumus rekursif detik di\7\x) derajat masing-masing ditunjukkan pada Gambar. 11 dan 12. B-spline derajat sembarang k dapat berbeda dari nol hanya pada segmen tertentu (didefinisikan oleh k + 2 node). Lebih mudah untuk nomor kubik B -splines sehingga spline B,-3* (n) berbeda dari nol pada segmen ir,-+2] Mari kita berikan rumus untuk spline kubik derajat ketiga untuk kasus grid seragam (dengan a langkah A). Kami memiliki dalam kasus lain. Plot khas B-spline kubik disajikan pada Gambar. 13. Fungsi a) terdiferensiasi dua kali secara kontinu pada segmen, yaitu, milik kelas C2 [a, "), c) bukan nol hanya pada empat segmen berturut-turut grid diperpanjang w * mo Hal ini diperlukan untuk membangun keluarga m + 3 kubik B-splines: Keluarga ini membentuk basis dalam ruang kubik splines pada segmen (a, b]. Jadi, sebuah spline kubik sewenang-wenang S(z) dibangun pada segmen |s, 6] dari grid o; dari +1 node, dapat direpresentasikan pada segmen ini sebagai kombinasi linier.Koefisien ft dari ekspansi ini secara unik ditentukan oleh kondisi masalah. ... Dalam kasus ketika nilai fungsi di simpul grid dan nilai turunan pertama fungsi di ujung grid "(masalah interpolasi dengan kondisi batas jenis pertama), koefisien ini dihitung dari sistem bentuk i dan &m+i berikut, kami memperoleh sistem linier dengan 5q yang tidak diketahui, ... , bm dan matriks tiga-diagonal.Kondisi memberikan diagonal dominasi dan, oleh karena itu, kemungkinan menggunakan metode sapuan untuk menyelesaikannya Masalah interpolasi Zmmchm* 2. Dibandingkan dengan algoritme yang dijelaskan dalam Bagian 1.1, penggunaan R-spline dalam masalah interpolasi * mengurangi jumlah informasi yang disimpan, yaitu, secara signifikan mengurangi kebutuhan memori komputer, meskipun ini mengarah pada peningkatan jumlah operasi . Konstruksi kurva spline menggunakan fungsi spline Di atas, array dipertimbangkan, titik-titiknya diberi nomor sehingga absisnya membentuk urutan yang meningkat secara ketat. Misalnya, kasus yang digambarkan pada Gambar. 14, ketika titik yang berbeda dari array memiliki absis yang sama, tidak diperbolehkan. Keadaan ini menentukan baik pilihan kelas kurva aproksimasi (lalu lintas fungsi) dan metode pembuatannya. Namun, metode yang diusulkan di atas memungkinkan untuk membangun kurva interpolasi yang cukup berhasil dalam kasus yang lebih umum, ketika penomoran titik array dan lokasinya pada bidang, sebagai suatu peraturan, tidak berhubungan (Gbr. 15). Selain itu, ketika mengajukan masalah membangun kurva interpolasi, kita dapat menganggap array yang diberikan menjadi nonplanar, yaitu, jelas bahwa untuk menyelesaikan masalah umum ini, perlu untuk secara signifikan memperluas kelas kurva yang dapat diterima, termasuk di dalamnya baik kurva tertutup, dan kurva yang memiliki titik potong sendiri, dan kurva spasial. Lebih mudah untuk menggambarkan kurva tersebut menggunakan persamaan parametrik Mari kita membutuhkan. selain itu, agar fungsi memiliki kelancaran yang cukup, misalnya, mereka termasuk dalam kelas C1 [a, /0] atau ke kelas Untuk menemukan persamaan parametrik dari kurva yang secara berurutan melewati semua titik array, lakukan sebagai berikut. langkah pertama. Pada segmen arbitrer (\displaystyle ), disebut spline polinomial memesan m (\gaya tampilan m) dengan simpul x j (a x 0<
.
.
.
<
x
n
≤
b)
{\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<...Klasifikasi spline
di mana B j (x) (\displaystyle (B_(j))(x))- fungsi spline dasar (biasanya lokal), a j (\displaystyle a_(j))- koefisien numerik yang menentukan bobot fungsi dasar dalam pembentukan spline, yang arti fisiknya adalah perpindahan umum (linier dan sudut) dari penggaris logam di simpul. Jumlah parameter yang mendefinisikan spline sama dengan jumlah node spline. Ada hubungan antara parameter fungsi pada fragmen dan koefisien spline polinomial, yang memungkinkan untuk menemukan yang lain dengan beberapa koefisien, meskipun rumusnya bisa sangat kompleks.
Transformasi bentuk polinomial sepotong-sepotong yang serupa dari representasi spline ke dalam bentuk dasar mengurangi urutan sistem persamaan aljabar linier untuk menemukan koefisien spline yang tidak diketahui, karena mereka sebagian dinyatakan dalam parameter yang sudah diketahui - koordinat titik yang diberikan ( node), yang secara signifikan dapat mengurangi biaya komputasi karena kemampuan untuk menerapkan metode solusi ekonomis, seperti metode sapuan aljabar atau varian dari metode Gaussian untuk matriks sparse (pita) dengan pilihan elemen utama kolom.
Konten koefisien spline. Seperti disebutkan dalam paragraf sebelumnya, isi dari parameter spline dalam representasi fragmen ditentukan oleh tipe fungsi. Dengan representasi polinomial, seseorang harus memilih kasus ketika koefisien memiliki arti fisik yang sama dengan data input. Artinya, koefisien adalah nilai spline pada node. Bentuk ini disebut Lagrange, dengan analogi polinomial Lagrange. Perlu dicatat bahwa spline dasar dari bentuk ini sama dengan satu di simpul pusat dan nol di semua yang lain.
Koefisien interpolasi dan splines fungsional selalu berisi nilai-nilai koordinat titik-titik yang diberikan, yang mengikuti dari kondisi interpolasi. Dan juga, tergantung pada kondisi untuk mengandalkan turunan, mereka mengandung nilai turunan yang sesuai pada batas fragmen spline (pada titik nodal). Sebagai aturan, saat menulis kondisi seperti itu, fragmen spline pada batasnya didasarkan pada turunan pertama atau kedua. Fragmen spline yang bertumpu pada turunan pertama dengan jelas mencerminkan makna fisik, karena turunan pertama (tangensial) adalah perpindahan sudut (rotasi) penggaris logam relatif terhadap sumbu transversal. Mengandalkan turunan kedua dari spline digunakan untuk menyederhanakan bentuk ekspresi perhitungan untuk mengurangi kesalahan ketika ditulis ulang secara manual, namun, dalam beberapa kasus, penggunaan ekspresi tersebut dalam kondisi tambahan apa pun dapat menghasilkan solusi yang sepele.
Spline khusus. Dalam beberapa kasus, fungsi dianggap dekat dengan batas antara splines dan fungsi biasa, serta fungsi splines dan lumpy. Misalnya, ini adalah splines yang terdiri dari dua fragmen. Mereka memiliki versi konstruksi yang disederhanakan, tetapi perhatian khusus harus diberikan pada kondisi batas.
Spline khusus termasuk spline normalisasi ortogonal multidimensi yang menggambarkan model nonlinier dari neuron buatan (model spline Khakimov). digunakan untuk memodelkan ketergantungan suatu fungsi pada sekumpulan argumen ganda.
Lihat juga
Catatan
Splines (Spline - fungsi polinomial piecewise) adalah objek geometris dua dimensi yang sepenuhnya independen dan dapat berfungsi sebagai dasar untuk membangun benda tiga dimensi yang lebih kompleks. Secara eksternal, splines adalah berbagai garis, bentuk garis ditentukan oleh jenis simpul yang dilaluinya. Splines dapat berupa bentuk geometris paling sederhana: persegi panjang, bintang, elips, dll., atau polyline atau kurva kompleks, serta kontur karakter teks.
Elemen utama dari splines adalah simpul (Vertex) dan segmen (Segmen). Simpul disebut titik yang terletak di spline, sedangkan simpul pertama, yang menunjukkan awal spline, ditandai dengan kotak putih. Segmen umumnya dipahami sebagai bagian dari garis spline yang dibatasi oleh dua simpul yang berdekatan - segmen dapat berupa segmen lurus atau melengkung. Vertikal spline berbeda dalam jenisnya, yang menentukan derajat kelengkungan segmen spline yang berdekatan dengan simpul ini. Secara total, empat jenis simpul dibedakan (Gbr. 1):
Pojok (Sudut) - bagian atas di mana spline memiliki jeda, dan segmen yang berdampingan dengannya tidak memiliki kelengkungan.
Halus (Dihaluskan) - titik di mana kurva spline digambar dengan tikungan halus, dan kelengkungan segmen yang berdekatan dengan titik sama di kedua sisi.
Bezier (Bezier) - simpul yang menyerupai simpul halus dan berbeda darinya dalam kemampuan untuk mengontrol tingkat kelengkungan kedua segmen. Yang terakhir ini dilakukan karena adanya vektor tangen di simpul, dibatasi di ujungnya oleh penanda dalam bentuk kotak hijau dan disebut pegangan Bezier. Dengan menggerakkan pegangan Bezier, Anda dapat mengubah arah masuk dan keluarnya segmen spline, dan dengan mengubah jarak dari gagang ke vertex, Anda dapat mengontrol derajat kelengkungan segmen spline. Vertikal jenis ini memiliki pegangan Bezier yang terhubung satu sama lain, dan menggerakkan salah satunya secara otomatis menyebabkan yang kedua bergerak.
Bezier Corner (Angular Bezier) - simpul yang memiliki vektor tangen yang memungkinkan Anda untuk mengontrol derajat kelengkungan segmen, namun, tidak seperti simpul Bezier Corner, vektor tangen di Bezier Corner simpul tidak terhubung satu sama lain dan pergerakan satu penanda tidak bergantung pada pergerakan penanda lainnya.
Segmen juga berbeda jenisnya: Kurva (Curve) atau Garis (Garis). Dengan memilih jenis Curve, Anda bisa mendapatkan segmen melengkung jika simpulnya halus atau memiliki tipe Bezier, sedangkan dalam kasus simpul sudut, bahkan jika tipe Kurva diatur, segmennya akan tetap linier. Memilih tipe Line menyebabkan tipe vertex diabaikan, menyebabkan segmen tipe ini selalu terlihat linier.
Pembahasan interpolasi di atas menunjukkan bahwa peningkatan akurasi aproksimasi fungsi halus dengan meningkatkan derajat polinomial interpolasi adalah mungkin (lihat Teorema 11.8), tetapi dikaitkan dengan peningkatan yang signifikan dalam kompleksitas komputasi. Selain itu, penggunaan polinomial derajat tinggi memerlukan tindakan pencegahan khusus bahkan ketika memilih bentuk notasinya, dan perhitungan disertai dengan akumulasi kesalahan pembulatan.
Oleh karena itu, dalam praktiknya, interpolasi polinomial sepotong-sepotong menggunakan polinomial derajat rendah lebih disukai. Namun, metode aproksimasi ini memiliki kelemahan: pada titik "persimpangan" dua polinomial tetangga, turunannya, sebagai suatu peraturan, memiliki diskontinuitas (lihat Contoh 11.12). Seringkali keadaan ini tidak memainkan peran penting. Pada saat yang sama, sering kali diperlukan bahwa fungsi aproksimasi harus mulus, dan kemudian interpolasi polinomial sepotong-sepotong yang paling sederhana menjadi tidak dapat diterima.
Kebutuhan alami untuk fungsi aproksimasi yang akan menggabungkan kesederhanaan lokal dari polinomial derajat rendah dan kehalusan global pada seluruh interval menyebabkan munculnya pada tahun 1946 yang disebut fungsi spline atau splines - fungsi polinomial piecewise halus yang dibangun dengan cara khusus . Setelah mendapatkan popularitas di tahun 60-an sebagai sarana interpolasi kurva kompleks, splines kini telah menjadi bagian penting dari berbagai metode komputasi dan telah menemukan aplikasi luas dalam memecahkan berbagai masalah ilmiah, teknis dan rekayasa.
Mari kita berikan definisi yang ketat dari spline. Biarkan segmen dibagi dengan titik-titik menjadi segmen parsial.Spline derajat adalah fungsi yang memiliki sifat-sifat berikut:
1) fungsi kontinu pada interval bersama dengan semua turunannya hingga suatu orde tertentu
2) pada setiap interval parsial, fungsinya bertepatan dengan beberapa polinomial aljabar derajat
Selisih antara derajat spline dan orde tertinggi dari turunan kontinu pada segmen disebut cacat spline.
Contoh paling sederhana dari spline diberikan oleh linear piecewise kontinu
fungsi (Gbr. 11.8), yang merupakan spline derajat pertama (linear spline) dengan cacat sama dengan satu. Memang, fungsi itu sendiri (turunan nol) kontinu pada interval. Pada saat yang sama, pada setiap segmen parsial itu bertepatan dengan beberapa polinomial derajat pertama.
Yang paling banyak digunakan dalam praktik adalah splines tingkat ketiga (spline kubik) dengan cacat sama dengan 1 atau 2. Spline tersebut pada masing-masing segmen parsial bertepatan dengan polinomial kubik:
dan memiliki setidaknya satu turunan kontinu pada interval
Istilah "spline" berasal dari kata bahasa Inggris (penggaris fleksibel, batang) - nama perangkat yang digunakan oleh juru gambar untuk menggambar kurva halus melalui titik-titik tertentu. Jika Anda meletakkan penggaris baja fleksibel di tepi dan, menekuk, memperbaiki posisinya pada titik-titik nodal (Gbr. 11.9), maka Anda mendapatkan analog mekanis dari spline kubik. Memang, dari perjalanan kekuatan bahan diketahui bahwa persamaan keseimbangan bebas profil penggaris adalah sebagai berikut: Oleh karena itu, dalam interval antara dua simpul yang berdekatan adalah polinomial derajat ketiga. Pada saat yang sama, tidak adanya kekusutan pada penggaris menunjukkan kontinuitas garis singgung grafik fungsi dan kelengkungan, yaitu turunan
2. Interpolasi spline.
Biarkan suatu fungsi diberikan oleh tabel nilainya Sebuah spline disebut interpolasi jika untuk semua Nilai disebut kemiringan spline pada suatu titik
Perhatikan bahwa pada suatu segmen, spline kubik interpolasi ditentukan secara unik dengan menetapkan nilai, pada kenyataannya, rumus berikut mengikuti persamaan (11,31):
Metode interpolasi yang berbeda dengan spline kubik berbeda satu sama lain dalam cara mereka memilih lereng.Mari kita bahas beberapa di antaranya.
3. Spline lokal.
Jika pada titik x, nilai turunan diketahui, maka wajar untuk menempatkan semua Kemudian, pada setiap segmen parsial, sesuai dengan rumus (11.64), spline ditentukan secara unik oleh nilai ( itulah sebabnya disebut spline lokal). Perhatikan bahwa itu bertepatan dengan polinomial interpolasi Hermite kubik (11,31) untuk segmen
Ketimpangan (11,33) menghasilkan perkiraan berikut untuk kesalahan interpolasi oleh spline kubik lokal:
di mana Ashach adalah panjang maksimum segmen parsial.
Perhatikan bahwa untuk spline yang dibangun dengan cara ini, hanya fungsi dan turunan pertamanya (53) yang dapat dijamin kontinu pada interval, mis. cacatnya adalah 2.
Ada cara lain untuk memilih koefisien a, yang mengarah ke splines lokal (polinomial Bessel kubik, metode Akima, dll.).
4. Metode global untuk membangun splines kubik.
Agar spline memiliki turunan kedua yang kontinu pada segmen, perlu untuk memilih lereng a, sehingga pada titik x, "persimpangan" polinomial, nilai turunan keduanya bertepatan:
Menggunakan rumus (11.64), kami menemukan nilai
Dari rumus serupa tertulis
Jadi, persamaan (11,66) mengarah ke sistem persamaan berikut sehubungan dengan koefisien
Perhatikan bahwa sistem persamaan ini underdetermined, karena jumlah persamaan sistem (sama dengan kurang dari jumlah yang tidak diketahui (sama dengan) Pilihan dua persamaan yang tersisa biasanya dikaitkan dengan beberapa kondisi tambahan yang dikenakan pada spline di titik batas (kondisi batas) Mari kita tunjukkan beberapa kondisi batas yang paling terkenal .
1°. Jika nilai turunan pertama diketahui pada titik batas, maka wajar untuk menempatkan
Melengkapi sistem (11.69) dengan persamaan (11.70), kita sampai pada sistem persamaan dengan matriks tridiagonal, yang mudah diselesaikan dengan metode sapuan (lihat Bab 5). Spline yang dihasilkan disebut spline kubik fundamental.
2°. Jika nilai turunan kedua diketahui pada titik batas, maka kondisi batas dapat dikenakan pada spline, yang mengarah ke persamaan berikut:
(cukup dalam persamaan (11,68) untuk mengambil persamaan
3°. Dengan asumsi dalam persamaan apakah kondisi ini terpenuhi untuk fungsi interpolasi), kita sampai pada sistem persamaan yang mendefinisikan apa yang disebut spline kubik alami.
4°. Seringkali tidak ada informasi tambahan tentang nilai turunan di ujung segmen. Salah satu pendekatan yang digunakan dalam situasi ini adalah dengan menggunakan kondisi "tidak ada simpul". Pilihan kemiringan dibuat sedemikian rupa sehingga kondisi berikut terpenuhi untuk spline yang dihasilkan.Untuk melakukan ini, cukup mensyaratkan bahwa turunan ketiga yang sesuai bertepatan pada titik-titik:
Persamaan aljabar setara terlihat seperti ini:
Fungsi aproksimasi yang sama dapat diperoleh dengan cara yang sedikit berbeda. Mari kita kurangi jumlah segmen parsial dengan menggabungkan segmen berpasangan.Hal ini sesuai dengan pemisahan segmen dengan titik di mana untuk dan membangun spline interpolasi yang sesuai.
5 °. Jika fungsi periodik dengan periode sama dengan o maka sistem (11-69) harus dilengkapi dengan kondisi
