Ada seluruh kelompok tugas (termasuk dalam jenis pemeriksaan tugas) yang terkait dengan bidang koordinat. Ini adalah tugas mulai dari yang paling dasar yang diselesaikan secara lisan (menentukan ordinat atau absis suatu titik tertentu, atau titik tertentu yang simetris, dll.), diakhiri dengan tugas yang membutuhkan pengetahuan, pemahaman, dan keterampilan berkualitas tinggi (tugas terkait dengan kemiringan garis lurus).

Secara bertahap, kami akan mempertimbangkan semuanya. Pada artikel ini, kita akan mulai dengan dasar-dasarnya. Ini adalah tugas sederhana untuk menentukan: absis dan ordinat suatu titik, panjang segmen, titik tengah segmen, sinus atau kosinus sudut kemiringan garis lurus.Sebagian besar tugas ini tidak akan menarik. Tapi saya pikir perlu untuk menyatakannya.

Masalahnya, tidak semua orang pergi ke sekolah. Banyak orang lulus ujian 3-4 tahun atau lebih setelah lulus, dan mereka samar-samar mengingat apa itu absis dan ordinat. Kami juga akan menganalisis tugas lain yang terkait dengan bidang koordinat, jangan lewatkan, berlangganan pembaruan blog. Sekarang tidak sedikit teori.

Mari kita buat titik A pada bidang koordinat dengan koordinat x=6, y=3.

Mereka mengatakan bahwa absis titik A adalah enam, ordinat titik A adalah tiga.

Sederhananya, sumbu x adalah sumbu absis, sumbu y adalah sumbu y.

Artinya, absis adalah titik pada sumbu x di mana titik yang diberikan pada bidang koordinat diproyeksikan; Oordinat adalah titik pada sumbu y di mana titik tertentu diproyeksikan.

Panjang segmen pada bidang koordinat

Rumus untuk menentukan panjang segmen, jika koordinat ujungnya diketahui:

Seperti yang Anda lihat, panjang segmen adalah panjang sisi miring pada segitiga siku-siku dengan kaki sama dengan

X B - X A dan Y B - Y A

* * *

Bagian tengah potongan. Koordinat dia.

Rumus untuk mencari koordinat titik tengah segmen:

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Rumus persamaan garis lurus yang melalui dua titik adalah :

dimana (x 1; y 1) dan (x 2; y 2 ) koordinat titik-titik tertentu.

Mengganti nilai koordinat ke dalam rumus, itu direduksi menjadi bentuk:

y = kx + b, di mana k adalah kemiringan garis

Kita akan membutuhkan informasi ini ketika memecahkan kelompok masalah lain yang berhubungan dengan bidang koordinat. Akan ada artikel tentang ini, jangan sampai ketinggalan!

Apa lagi yang bisa ditambahkan?

Sudut kemiringan garis lurus (atau ruas) adalah sudut antara sumbu oX dan garis lurus ini, berkisar antara 0 hingga 180 derajat.

Mari kita pertimbangkan tugas.

Dari titik (6;8) tegak lurus diturunkan ke sumbu y. Carilah ordinat alas dari garis tegak lurus tersebut.

Dasar dari garis tegak lurus yang dijatuhkan ke sumbu y akan memiliki koordinat (0; 8). ordinatnya adalah delapan.

Jawaban: 8

Tentukan jarak dari suatu titik A dengan koordinat (6;8) terhadap sumbu y.

Jarak titik A ke sumbu y sama dengan absis titik A.

Jawaban: 6.

A(6;8) tentang sumbu Sapi.

Suatu titik yang simetris dengan titik A terhadap sumbu oX memiliki koordinat (6; - 8).

ordinatnya minus delapan.

Jawaban: - 8

Tentukan ordinat suatu titik yang simetris dengan suatu titik A(6;8) relatif terhadap asal.

Suatu titik yang simetris dengan titik A terhadap titik asal memiliki koordinat (- 6; - 8).

ordinatnya adalah -8.

Jawaban: -8

Tentukan absis titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebutHAI(0;0) dan A(6;8).

Untuk memecahkan masalah, perlu untuk menemukan koordinat tengah segmen. Koordinat ujung segmen kita adalah (0;0) dan (6;8).

Kami menghitung dengan rumus:

Punya (3;4). Absisnya tiga.

Jawaban: 3

* Absis bagian tengah ruas dapat ditentukan tanpa menghitung dengan rumus, dengan menyusun ruas ini pada bidang koordinat pada lembar di dalam sel. Bagian tengah segmen akan mudah ditentukan oleh sel.

Tentukan absis titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut A(6;8) dan B(–2;2).

Untuk memecahkan masalah, perlu untuk menemukan koordinat tengah segmen. Koordinat ujung segmen kita adalah (–2;2) dan (6;8).

Kami menghitung dengan rumus:

Punya (2;5). Absisnya ada dua.

Jawaban: 2

* Absis bagian tengah ruas dapat ditentukan tanpa menghitung dengan rumus, dengan menyusun ruas ini pada bidang koordinat pada lembar di dalam sel.

Tentukan panjang ruas yang menghubungkan titik (0;0) dan (6;8).

Panjang segmen pada koordinat yang diberikan dari ujungnya dihitung dengan rumus:

dalam kasus kami, kami memiliki O(0;0) dan A(6;8). Cara,

*Urutan koordinat saat mengurangkan tidak penting. Anda dapat mengurangi absis dan ordinat titik A dari absis dan ordinat titik O:

Jawaban: 10

Temukan kosinus kemiringan segmen yang menghubungkan titik-titik HAI(0;0) dan A(6;8), dengan sumbu x.

Sudut kemiringan suatu segmen adalah sudut antara segmen ini dan sumbu x.

Dari titik A kita turunkan garis tegak lurus terhadap sumbu x:

Artinya, sudut kemiringan segmen adalah sudutSAIpada segitiga siku-siku ABO.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah

rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring

Perlu menemukan sisi miringOA.

Menurut teorema Pythagoras:Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Jadi, cosinus sudut kemiringannya adalah 0,6

Jawaban: 0.6

Dari titik (6;8) sumbu tegak lurus sumbu absis diturunkan. Temukan absis dari alas tegak lurus.

Sebuah garis lurus ditarik melalui titik (6; 8), sejajar dengan sumbu x. Tentukan ordinat titik potongnya dengan sumbu OU.

Tentukan jarak dari suatu titik A dengan koordinat (6;8) terhadap sumbu x.

Tentukan jarak dari suatu titik A dengan koordinat (6;8) ke titik asal.

Panjangnya, sebagaimana telah dicatat, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Catatan: Rumus akan tetap benar jika koordinat yang sesuai diatur ulang: dan , tetapi opsi pertama lebih standar

Contoh 3

Keputusan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Untuk kejelasan, saya akan membuat gambar

Segmen garis - itu bukan vektor, dan Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun, tentu saja. Selain itu, jika Anda menyelesaikan gambar untuk skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawabannya dapat diperiksa dengan penggaris biasa dengan langsung mengukur panjang segmen.

Ya, solusinya singkat, tetapi ada beberapa poin penting di dalamnya yang ingin saya klarifikasi:

Pertama, dalam jawaban kami menetapkan dimensi: "unit". Kondisinya tidak mengatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh karena itu, formulasi umum akan menjadi solusi yang kompeten secara matematis: "unit" - disingkat "unit".

Kedua, mari kita ulangi materi sekolah, yang berguna tidak hanya untuk masalah yang dipertimbangkan:

perhatikan trik teknis penting – mengeluarkan pengganda dari bawah root. Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapatkan hasil dan gaya matematika yang baik melibatkan pengambilan faktor dari bawah akar (jika mungkin). Prosesnya terlihat seperti ini secara lebih rinci: . Tentu saja, meninggalkan jawaban dalam bentuk tidak akan menjadi kesalahan - tetapi jelas merupakan cacat dan argumen yang berat untuk nitpicking di pihak guru.

Berikut adalah kasus umum lainnya:

Seringkali jumlah yang cukup besar diperoleh di bawah root, misalnya. Bagaimana menjadi dalam kasus seperti itu? Pada kalkulator, kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi 4:. Ya, pisahkan seluruhnya, jadi: . Atau mungkin angkanya bisa dibagi 4 lagi? . Dengan demikian: . Digit terakhir dari angka itu ganjil, jadi membagi dengan 4 untuk ketiga kalinya jelas tidak mungkin. Mencoba untuk membagi dengan sembilan: . Hasil dari:
Siap.

Kesimpulan: jika di bawah root kami mendapatkan angka yang sama sekali tidak dapat diekstraksi, maka kami mencoba mengambil faktor dari bawah root - pada kalkulator kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dll.

Dalam menyelesaikan berbagai masalah, akar sering ditemukan, selalu mencoba untuk mengekstrak faktor dari bawah akar untuk menghindari skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan menyelesaikan solusi Anda sesuai dengan komentar guru.

Mari kita ulangi kuadrat dari akar dan kekuatan lain secara bersamaan:

Aturan untuk tindakan dengan derajat dalam bentuk umum dapat ditemukan di buku teks sekolah tentang aljabar, tetapi saya pikir semuanya atau hampir semuanya sudah jelas dari contoh yang diberikan.

Tugas untuk solusi independen dengan segmen di luar angkasa:

Contoh 4

Diberikan poin dan . Cari panjang segmennya.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Jika Anda menyentuh lembar buku catatan dengan pensil yang diasah dengan baik, jejak akan tetap ada yang memberikan gambaran tentang intinya. (Gbr. 3).

Kami menandai dua titik A dan B pada selembar kertas.Titik-titik ini dapat dihubungkan dengan berbagai garis ( gbr. 4). Dan bagaimana menghubungkan titik A dan B dengan garis terpendek? Ini dapat dilakukan dengan menggunakan penggaris ( gbr. 5). Garis yang dihasilkan disebut segmen.

Titik dan Garis - Contoh bentuk geometris.

Titik A dan B disebut ujung segmen.

Ada satu ruas yang ujungnya adalah titik A dan B. Oleh karena itu, ruas dilambangkan dengan menuliskan titik-titik yang menjadi ujungnya. Misalnya, segmen pada Gambar 5 ditunjuk dengan salah satu dari dua cara: AB atau BA. Baca: "segmen AB" atau "segmen BA".

Gambar 6 menunjukkan tiga segmen. Panjang ruas AB sama dengan 1 cm, terletak tepat tiga kali pada ruas MN, dan tepat 4 kali pada ruas EF. Kami akan mengatakan itu panjang segmen MN adalah 3 cm, dan panjang segmen EF adalah 4 cm.

Juga lazim untuk mengatakan: "segmen MN adalah 3 cm", "segmen EF adalah 4 cm". Mereka menulis: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Kami mengukur panjang segmen MN dan EF segmen tunggal, yang panjangnya 1 cm. Untuk mengukur segmen, Anda dapat memilih yang lain satuan panjang, misalnya: 1 mm, 1 dm, 1 km. Pada gambar 7, panjang segmen adalah 17 mm. Itu diukur dengan satu segmen, yang panjangnya 1 mm, menggunakan penggaris dengan pembagian. Juga, dengan menggunakan penggaris, Anda dapat membuat (menggambar) segmen dengan panjang tertentu (lihat gambar 7).

Umumnya, mengukur segmen berarti menghitung berapa banyak unit segmen yang muat di dalamnya.

Panjang segmen memiliki properti berikut.

Jika terdapat titik C pada ruas AB, maka panjang ruas AB sama dengan jumlah panjang ruas AC dan CB(Gbr. 8).

Mereka menulis: AB = AC + CB.

Gambar 9 menunjukkan dua segmen AB dan CD. Segmen ini akan bertepatan ketika ditumpangkan.

Dua segmen disebut sama jika mereka bertepatan ketika ditumpangkan.

Jadi ruas-ruas AB dan CD adalah sama. Mereka menulis: AB = CD.

Segmen yang sama memiliki panjang yang sama.

Dari dua segmen yang tidak sama, kami akan menganggap segmen yang lebih panjang lebih besar. Misalnya, pada Gambar 6, segmen EF lebih besar dari segmen MN.

Panjang ruas AB disebut jarak antara titik A dan B

Jika beberapa ruas disusun seperti pada Gambar 10, maka akan diperoleh bangun geometri yang disebut garis putus-putus. Perhatikan bahwa semua segmen pada Gambar 11 tidak membentuk garis putus-putus. Dipercayai bahwa segmen membentuk garis putus-putus jika ujung segmen pertama bertepatan dengan akhir segmen kedua, dan ujung lainnya dari segmen kedua bertepatan dengan akhir segmen ketiga, dll.

Titik A, B, C, D, E simpul polyline ABCDE, titik A dan E garis putus-putus berakhir, dan ruas-ruas AB, BC, CD, DE adalah link(lihat gambar 10).

Panjang garis putus-putus adalah jumlah dari panjang semua tautannya.

Gambar 12 menunjukkan dua garis putus-putus, yang ujung-ujungnya berhimpitan. Garis putus-putus seperti itu disebut tertutup.

Contoh 1 . Ruas BC lebih kecil 3 cm dari ruas AB yang panjangnya 8 cm (Gbr. 13). Hitunglah panjang ruas AC.

Keputusan. Kami memiliki: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Menggunakan properti panjang segmen, kita dapat menulis AC = AB + BC. Jadi AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Jawab: 13cm.

Contoh 2 . Diketahui MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Gbr. 14). Hitunglah panjang ruas NK.

Keputusan. Kami memiliki: MN = MP NP.

Jadi MN = 50 32 = 18 (cm).

Kami memiliki: NK = MK MN.

Jadi NK = 24 18 = 6 (cm).

Jawab: 6cm.

Panjang segmen dapat ditentukan dengan berbagai cara. Untuk mengetahui cara menemukan panjang segmen, cukup dengan memiliki penggaris atau mengetahui rumus khusus untuk menghitung.

Panjang garis dengan penggaris

Untuk melakukan ini, kami menerapkan penggaris dengan pembagian milimeter ke segmen yang dibangun di pesawat, dan titik awal harus sejajar dengan nol skala penggaris. Kemudian Anda harus menandai pada skala ini lokasi titik akhir segmen ini. Jumlah yang dihasilkan dari seluruh pembagian skala akan menjadi panjang segmen, dinyatakan dalam cm dan mm.

Metode koordinat bidang

Jika koordinat segmen (x1; y1) dan (x2; y2) diketahui, maka panjangnya harus dihitung sebagai berikut. Dari koordinat pada bidang titik kedua, koordinat titik pertama harus dikurangi. Hasilnya harus dua angka. Masing-masing dari angka-angka ini harus dikuadratkan, dan kemudian temukan jumlah kuadrat ini. Dari angka yang dihasilkan, akar kuadrat harus diekstraksi, yang akan menjadi jarak antara titik-titik. Karena titik-titik ini adalah ujung segmen, nilai ini akan menjadi panjangnya.

Pertimbangkan contoh bagaimana menemukan panjang segmen dengan koordinat. Ada koordinat dua titik (-1;2) dan (4;7). Ketika menemukan perbedaan koordinat titik-titik, kami memperoleh nilai-nilai berikut: x = 5, y = 5. Angka yang dihasilkan akan menjadi koordinat segmen. Kemudian kita kuadratkan setiap angka dan cari jumlah hasilnya, yaitu 50. Dari angka ini kita ekstrak akar kuadratnya. Hasilnya adalah: 5 akar dari 2. Ini adalah panjang segmen.

Metode koordinat dalam ruang

Untuk melakukan ini, pertimbangkan cara menemukan panjang vektor. Dialah yang akan menjadi segmen dalam ruang Euclidean. Ini ditemukan dengan cara yang hampir sama dengan panjang segmen di pesawat. Konstruksi vektor terjadi pada bidang yang berbeda. Bagaimana cara mencari panjang vektor?

1. Temukan koordinat vektor, untuk ini, dari koordinat titik akhirnya, Anda perlu mengurangi koordinat titik awalnya.
2. Setelah itu, Anda perlu mengkuadratkan setiap koordinat vektor.
3. Kemudian tambahkan kuadrat koordinatnya.
4. Untuk menemukan panjang vektor, Anda perlu mengambil akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinat.

Mari kita pertimbangkan algoritma perhitungan menggunakan contoh. Kita perlu mencari koordinat vektor AB. Titik A dan B memiliki koordinat sebagai berikut: A (1;6;3) dan B (3;-1;7). Awal vektor terletak di titik A, ujungnya terletak di titik B. Jadi, untuk mencari koordinatnya, perlu mengurangi koordinat titik A dari koordinat titik B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Sekarang kita kuadratkan setiap koordinat dan tambahkan: 4+49+16=69. Akhirnya, ekstrak akar kuadrat dari angka yang diberikan. Sulit untuk mengekstraknya, jadi kami menulis hasilnya dengan cara ini: panjang vektor sama dengan akar 69.

Jika tidak penting bagi Anda untuk menghitung sendiri panjang segmen dan vektor, tetapi Anda hanya membutuhkan hasilnya, maka Anda dapat menggunakan kalkulator online, misalnya yang ini.

Sekarang, setelah mempelajari metode ini dan mempertimbangkan contoh yang disajikan, Anda dapat dengan mudah menemukan panjang segmen dalam masalah apa pun.

Artikel di bawah ini akan membahas masalah menemukan koordinat tengah segmen dengan adanya koordinat titik ekstremnya sebagai data awal. Namun, sebelum melanjutkan ke studi masalah, kami memperkenalkan sejumlah definisi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Segmen garis- garis lurus yang menghubungkan dua titik sewenang-wenang, yang disebut ujung segmen. Sebagai contoh, biarkan ini menjadi titik A dan B dan, masing-masing, segmen A B .

Jika ruas A B diteruskan ke dua arah dari titik A dan B, kita akan mendapatkan garis lurus A B. Maka ruas A B adalah bagian dari garis lurus yang diperoleh yang dibatasi oleh titik A dan B . Segmen A B menyatukan titik-titik A dan B , yang merupakan ujung-ujungnya, serta himpunan titik-titik yang terletak di antaranya. Jika, misalnya, kita mengambil sembarang titik K yang terletak di antara titik A dan B , kita dapat mengatakan bahwa titik K terletak pada segmen A B .

Definisi 2

potong panjang adalah jarak antara ujung-ujung segmen pada skala tertentu (segmen satuan panjang). Kami menyatakan panjang segmen A B sebagai berikut: A B .

Definisi 3

titik tengah Titik pada ruas garis yang jaraknya sama dari ujung-ujungnya. Jika bagian tengah segmen A B dilambangkan dengan titik C, maka persamaannya akan benar: A C \u003d C B

Data awal: koordinat garis O x dan titik tidak serasi di atasnya: A dan B . Titik-titik ini sesuai dengan bilangan real x A dan x B . Titik C adalah titik tengah segmen A B: Anda perlu menentukan koordinat x C .

Karena titik C adalah titik tengah segmen A B, persamaan akan menjadi benar: | A C | = | C B | . Jarak antara titik ditentukan oleh modulus perbedaan antara koordinatnya, mis.

| A C | = | C B | x C - x A = x B - x C

Maka dua persamaan dimungkinkan: x C - x A = x B - x C dan x C - x A = - (x B - x C)

Dari persamaan pertama, kami memperoleh rumus untuk koordinat titik C: x C \u003d x A + x B 2 (setengah jumlah koordinat ujung segmen).

Dari persamaan kedua kita mendapatkan: x A = x B , yang tidak mungkin, karena dalam data asli - poin yang tidak cocok. Dengan demikian, rumus untuk menentukan koordinat titik tengah segmen A B dengan ujung A (x A) dan B(xB):

Rumus yang dihasilkan akan menjadi dasar untuk menentukan koordinat titik tengah segmen pada bidang atau ruang.

Data awal: sistem koordinat persegi panjang pada bidang O x y , dua titik acak yang tidak bertepatan dengan koordinat yang diberikan A x A , y A dan B x B , y B . Titik C adalah titik tengah ruas A B . Tentukan koordinat x C dan y C untuk titik C .

Mari kita ambil analisis kasus ketika titik A dan B tidak bertepatan dan tidak terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu. A x , A y ; B x , B y dan C x , C y - proyeksi titik A , B dan C pada sumbu koordinat (garis lurus O x dan O y).

Dengan konstruksi, garis A A x , B B x , C C x sejajar; garisnya juga sejajar satu sama lain. Bersama dengan ini, menurut teorema Thales, dari persamaan A C \u003d C B, persamaan mengikuti: A x C x \u003d C x B x dan A y C y \u003d C y B y, dan mereka, pada gilirannya, menunjukkan bahwa titik C x - tengah segmen A x B x, dan C y adalah tengah segmen A y B y. Dan kemudian, berdasarkan rumus yang diperoleh sebelumnya, kita mendapatkan:

x C = x A + x B 2 dan y C = y A + y B 2

Rumus yang sama dapat digunakan jika titik A dan B terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu. Kami tidak akan melakukan analisis terperinci dari kasus ini, kami akan mempertimbangkannya hanya secara grafis:

Meringkas semua hal di atas, koordinat tengah segmen A B pada bidang dengan koordinat ujungnya A (x A , y A) dan B(x B, y B) didefinisikan sebagai:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Data awal: sistem koordinat x y z dan dua titik sembarang dengan koordinat yang diberikan A (x A , y A , z A) dan B (x B , y B , z B) . Penting untuk menentukan koordinat titik C , yang merupakan tengah segmen A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z dan C x , C y , C z - proyeksi semua titik yang diberikan pada sumbu sistem koordinat.

Menurut teorema Thales, persamaan adalah benar: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Oleh karena itu, titik-titik C x , C y , C z masing-masing adalah titik tengah segmen A x B x , A y B y , A z B z. Kemudian, untuk menentukan koordinat tengah segmen dalam ruang, rumus berikut ini benar:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Rumus yang dihasilkan juga dapat diterapkan dalam kasus di mana titik A dan B terletak pada salah satu garis koordinat; pada garis lurus yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu; dalam satu bidang koordinat atau bidang yang tegak lurus terhadap salah satu bidang koordinat.

Menentukan koordinat tengah segmen melalui koordinat vektor jari-jari ujungnya

Rumus untuk menemukan koordinat tengah segmen juga dapat diturunkan sesuai dengan interpretasi aljabar vektor.

Data awal: sistem koordinat Kartesius persegi panjang O y , titik-titik dengan koordinat yang diberikan A (x A , y A) dan B (x B , x B) . Titik C adalah titik tengah ruas A B .

Menurut definisi geometris tindakan pada vektor, persamaan berikut akan benar: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Titik C dalam hal ini adalah titik potong diagonal jajar genjang yang dibangun berdasarkan vektor O A → dan O B → , yaitu. titik tengah diagonal Koordinat vektor jari-jari titik tersebut sama dengan koordinat titik tersebut, maka persamaannya adalah benar: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Mari kita lakukan beberapa operasi pada vektor dalam koordinat dan dapatkan:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Oleh karena itu, titik C memiliki koordinat:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Dengan analogi, rumus didefinisikan untuk menemukan koordinat titik tengah segmen dalam ruang:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Contoh pemecahan masalah untuk menemukan koordinat tengah segmen

Di antara tugas-tugas yang melibatkan penggunaan rumus yang diperoleh di atas, ada yang pertanyaannya langsung menghitung koordinat tengah segmen, dan yang melibatkan membawa kondisi yang diberikan ke pertanyaan ini: istilah "median" sering digunakan, tujuannya adalah untuk menemukan koordinat satu dari ujung segmen, serta masalah simetri, yang solusinya secara umum juga tidak akan menimbulkan kesulitan setelah mempelajari topik ini. Mari kita pertimbangkan contoh tipikal.

Contoh 1

Data awal: di pesawat - poin dengan koordinat yang diberikan A (- 7, 3) dan B (2, 4) . Kita perlu mencari koordinat titik tengah ruas A B.

Keputusan

Mari kita tunjukkan bagian tengah segmen A B dengan titik C . Koordinatnya akan ditentukan sebagai setengah jumlah koordinat ujung segmen, mis. titik A dan B

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Menjawab: koordinat tengah segmen A B - 5 2 , 7 2 .

Contoh 2

Data awal: koordinat segitiga A B C diketahui: A (- 1 , 0 , B (3 , 2) , C (9 , - 8 ). Kita perlu mencari panjang median A M.

Keputusan

1. Dengan kondisi masalah, A M adalah median, yang berarti bahwa M adalah titik tengah segmen B C . Pertama-tama, kami menemukan koordinat tengah segmen B C , mis. M poin:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Karena sekarang kita mengetahui koordinat kedua ujung median (titik A dan M), kita dapat menggunakan rumus untuk menentukan jarak antara titik dan menghitung panjang median A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Menjawab: 58

Contoh 3

Data awal: paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi. Koordinat titik C 1 (1 , 1 , 0) diberikan, dan titik M juga ditentukan, yang merupakan titik tengah diagonal B D 1 dan memiliki koordinat M (4 , 2 , - 4) . Diperlukan untuk menghitung koordinat titik A.

Keputusan

Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik, yang merupakan titik tengah dari semua diagonal. Berdasarkan pernyataan tersebut, kita dapat mengingat bahwa titik M yang diketahui oleh kondisi soal adalah bagian tengah ruas 1 . Berdasarkan rumus untuk mencari koordinat tengah segmen dalam ruang, kita menemukan koordinat titik A: x M = x A + x C 1 2 x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Menjawab: koordinat titik A (7, 3, - 8).

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter