Determinan sistem persamaan linear. Determinan dan sistem persamaan linear

  • Sistem m persamaan linier dengan n tidak dikenal.
    Memecahkan sistem persamaan linear adalah himpunan bilangan ( x 1 , x 2 , …, x n), dengan mensubstitusikan mana ke dalam setiap persamaan sistem, diperoleh persamaan yang benar.
    di mana a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n adalah koefisien sistem;
    b i , i = 1, …, m- anggota gratis;
    x j , j = 1, …, n- tidak dikenal.
    Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: A X = B,




    di mana ( A|B) adalah matriks utama sistem;
    A— matriks sistem yang diperluas;
    X— kolom yang tidak diketahui;
    B adalah kolom anggota bebas.
    Jika matriks B bukan matriks nol , maka sistem persamaan linier ini disebut tidak homogen.
    Jika matriks B= , maka sistem persamaan linear ini disebut homogen. Sistem homogen selalu memiliki solusi nol (sepele): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
    Sistem gabungan persamaan linier adalah sistem persamaan linear yang memiliki solusi.
    Sistem persamaan linier yang tidak konsisten adalah sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi.
    Sistem persamaan linier tertentu adalah sistem persamaan linear yang memiliki solusi unik.
    Sistem persamaan linier tak tentu adalah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi.
  • Sistem dari n persamaan linier dengan n yang tidak diketahui
    Jika jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan, maka matriksnya persegi. Determinan matriks disebut sebagai determinan utama sistem persamaan linier dan dilambangkan dengan simbol .
    Metode Cramer untuk memecahkan sistem n persamaan linier dengan n tidak dikenal.
    aturan Cramer.
    Jika determinan utama suatu sistem persamaan linier tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut konsisten dan terdefinisi, dan satu-satunya solusi dihitung dengan menggunakan rumus Cramer:
    dimana i adalah determinan yang diperoleh dari determinan utama sistem dengan mengganti saya kolom th ke kolom anggota bebas. .
  • Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui
    Teorema Kronecker-Cappelli.


    Agar sistem persamaan linier ini konsisten, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks sistem sama dengan peringkat matriks yang diperluas dari sistem, peringkat(Α) = peringkat(Α|B).
    Jika sebuah rang(Α) rang(Α|B), maka sistem jelas tidak memiliki solusi.
    Jika peringkat(Α) = peringkat(Α|B), maka dua kasus dimungkinkan:
    1) rang(Α) = n(untuk jumlah yang tidak diketahui) - solusinya unik dan dapat diperoleh dengan rumus Cramer;
    2) peringkat (Α)< n ada banyak sekali solusi.
  • Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear


    Mari kita buat matriks yang diperbesar ( A|B) dari sistem koefisien yang diberikan di sisi yang tidak diketahui dan sisi kanan.
    Metode Gaussian atau metode eliminasi yang tidak diketahui terdiri dari pengurangan matriks yang diperbesar ( A|B) dengan bantuan transformasi dasar pada baris-barisnya menjadi bentuk diagonal (ke bentuk segitiga atas). Kembali ke sistem persamaan, semua yang tidak diketahui ditentukan.
    Transformasi dasar pada string meliputi:
    1) menukar dua baris;
    2) mengalikan string dengan angka selain 0;
    3) menambahkan string lain dikalikan dengan angka arbitrer;
    4) membuang string nol.
    Matriks yang diperluas yang direduksi menjadi bentuk diagonal sesuai dengan sistem linier yang setara dengan yang diberikan, yang solusinya tidak menyebabkan kesulitan. .
  • Sistem persamaan linear homogen.
    Sistem homogen berbentuk :

    itu sesuai dengan persamaan matriks A X = 0.
    1) Sistem homogen selalu konsisten, karena r(A) = r(A|B), selalu ada solusi nol (0, 0, …, 0).
    2) Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r = r(A)< n , yang setara dengan = 0.
    3) Jika r< n , maka = 0, maka ada yang tidak diketahui bebas c 1 , c 2 , …, c n-r, sistem memiliki solusi nontrivial, dan jumlahnya tak terhingga.
    4) solusi umum X pada r< n dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
    X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
    dimana solusinya X 1 , X 2 , …, X n-r membentuk sistem dasar solusi.
    5) Solusi sistem fundamental dapat diperoleh dari solusi umum sistem homogen:

    ,
    jika kita mengasumsikan nilai parameter secara berurutan menjadi (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
    Dekomposisi solusi umum dalam hal sistem dasar solusi adalah catatan dari solusi umum sebagai kombinasi linier dari solusi milik sistem fundamental.
    Dalil. Agar sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa 0.
    Jadi, jika determinannya adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik.
    Jika 0, maka sistem persamaan linear homogen memiliki banyak solusi.
    Dalil. Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r(A)< n .
    Bukti:
    1) r tidak bisa lebih n(peringkat matriks tidak melebihi jumlah kolom atau baris);
    2) r< n , karena jika r=n, maka determinan utama sistem 0, dan, menurut rumus Cramer, ada solusi sepele yang unik x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, yang bertentangan dengan kondisi. Cara, r(A)< n .
    Konsekuensi. Agar sistem homogen n persamaan linier dengan n tidak diketahui memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa = 0.

Sebuah sistem persamaan aljabar linier N (SLAE) dengan tidak diketahui diberikan, koefisien yang adalah elemen dari matriks , dan anggota bebas adalah angka

Indeks pertama di sebelah koefisien menunjukkan di mana persamaan itu berada, dan yang kedua - di mana yang tidak diketahui itu berada.

Jika determinan matriks tidak sama dengan nol

maka sistem persamaan aljabar linier memiliki solusi yang unik.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier adalah suatu himpunan bilangan terurut , yang pada gilirannya setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar.

Jika ruas kanan semua persamaan sistem sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut disebut homogen. Dalam kasus ketika beberapa di antaranya bukan nol, tidak seragam

Jika sistem persamaan aljabar linier memiliki setidaknya satu solusi, maka itu disebut kompatibel, jika tidak, tidak kompatibel.

Jika solusi sistemnya unik, maka sistem persamaan linear tersebut disebut pasti. Dalam kasus ketika solusi dari sistem gabungan tidak unik, sistem persamaan disebut tak tentu.

Dua sistem persamaan linier disebut ekuivalen (atau setara) jika semua solusi dari satu sistem adalah solusi dari sistem kedua, dan sebaliknya. Sistem ekuivalen (atau ekuivalen) diperoleh dengan menggunakan transformasi ekuivalen.

Transformasi setara SLAE

1) penataan ulang persamaan;

2) perkalian (atau pembagian) persamaan dengan angka bukan nol;

3) menambahkan ke beberapa persamaan persamaan lain, dikalikan dengan angka bukan nol yang berubah-ubah.

Solusi SLAE dapat ditemukan dengan berbagai cara.

METODE CRAMER

Teorema Cramer. Jika determinan sistem persamaan aljabar linier dengan yang tidak diketahui adalah bukan nol, maka sistem ini memiliki solusi unik, yang ditemukan dengan rumus Cramer:

adalah determinan yang dibentuk dengan penggantian kolom ke-i dengan kolom anggota bebas.

Jika , dan setidaknya salah satunya bukan nol, maka SLAE tidak memiliki solusi. Jika , maka SLAE memiliki banyak solusi. Pertimbangkan contoh menggunakan metode Cramer.

—————————————————————

Sebuah sistem tiga persamaan linier dengan tiga tidak diketahui diberikan. Selesaikan sistem dengan metode Cramer

Temukan determinan matriks koefisien untuk yang tidak diketahui

Karena , maka sistem persamaan yang diberikan konsisten dan memiliki solusi yang unik. Mari kita hitung determinannya:

Menggunakan rumus Cramer, kami menemukan yang tidak diketahui

Jadi satu-satunya solusi untuk sistem.

Sebuah sistem empat persamaan aljabar linier diberikan. Selesaikan sistem dengan metode Cramer.

Mari kita cari determinan matriks koefisien untuk yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memperluasnya dengan baris pertama.

Temukan komponen determinan:

Substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam determinan

Determinan, oleh karena itu, sistem persamaan konsisten dan memiliki solusi yang unik. Kami menghitung determinan menggunakan rumus Cramer:

Mari kita perluas setiap determinan dengan kolom di mana ada lebih banyak nol.

Dengan rumus Cramer kita temukan

Solusi sistem

Contoh ini dapat diselesaikan dengan kalkulator matematika YukhymCALC. Sebuah fragmen dari program dan hasil perhitungan ditunjukkan di bawah ini.


——————————

METODE CRAMER

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= sepuluh

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Lihat materi:

(jkomentar pada)

Dalam kasus umum, aturan untuk menghitung determinan orde ke-th agak rumit. Untuk determinan orde kedua dan ketiga, ada cara rasional untuk menghitungnya.

Perhitungan determinan orde kedua

Untuk menghitung determinan matriks orde kedua, perlu untuk mengurangkan produk elemen-elemen diagonal sekunder dari produk elemen-elemen diagonal utama:

Contoh

Latihan. Hitung determinan orde dua

Keputusan.

Menjawab.

Metode untuk menghitung determinan orde ketiga

Ada aturan untuk menghitung determinan orde ketiga.

aturan segitiga

Secara skematis, aturan ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Hasilkali elemen-elemen pada determinan pertama yang dihubungkan oleh garis diambil dengan tanda tambah; demikian pula, untuk determinan kedua, produk yang sesuai diambil dengan tanda minus, yaitu.

Contoh

Latihan. Hitung determinan metode segitiga.

Keputusan.

Menjawab.

Aturan Sarrus

Di sebelah kanan determinan, dua kolom pertama ditambahkan dan produk dari elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal yang sejajar dengannya diambil dengan tanda plus; dan produk dari elemen-elemen diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda minus:

Contoh

Latihan. Hitung determinan menggunakan aturan Sarrus.

Keputusan.

Menjawab.

Ekspansi baris atau kolom determinan

Determinan sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris determinan dan komplemen aljabarnya.

Biasanya memilih baris/kolom di mana ada nol. Baris atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan ditunjukkan oleh panah.

Contoh

Latihan. Memperluas baris pertama, hitung determinannya

Keputusan.

Menjawab.

Metode ini memungkinkan perhitungan determinan direduksi menjadi perhitungan determinan orde yang lebih rendah.

Contoh

Latihan. Hitung determinan

Keputusan. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris-baris determinan: dari baris kedua kita kurangi empat yang pertama, dan dari baris ketiga baris pertama dikalikan tujuh, sebagai hasilnya, menurut sifat-sifat determinannya, kita memperoleh a determinan sama dengan yang diberikan.

Determinan adalah nol karena baris kedua dan ketiga sebanding.

Menjawab.

Untuk menghitung determinan dari orde keempat ke atas, baik ekspansi pada baris/kolom, atau pengurangan ke bentuk segitiga, atau menggunakan teorema Laplace digunakan.

Penguraian determinan dalam hal elemen baris atau kolom

Contoh

Latihan. Hitung determinan , menguraikannya dengan elemen-elemen dari beberapa baris atau beberapa kolom.

Keputusan. Mari kita lakukan transformasi dasar pada baris determinan dengan membuat nol sebanyak mungkin baik dalam satu baris atau dalam sebuah kolom. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari yang kedua, dan tiga pertiga dari yang keempat, kita mendapatkan:

Kami memperluas determinan yang dihasilkan dengan elemen-elemen kolom pertama:

Determinan orde ketiga yang dihasilkan juga diperluas oleh elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya memperoleh nol, misalnya, pada kolom pertama.

Untuk melakukan ini, kami mengurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan yang kedua dari yang ketiga:

Menjawab.

Komentar

Determinan terakhir dan kedua dari belakang tidak dapat dihitung, tetapi segera disimpulkan bahwa mereka sama dengan nol, karena mengandung baris proporsional.

Membawa determinan ke bentuk segitiga

Dengan bantuan transformasi dasar pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga, dan kemudian nilainya, menurut sifat-sifat determinan, sama dengan produk elemen-elemen pada diagonal utama.

Contoh

Latihan. Hitung determinan membawanya ke bentuk segitiga.

Keputusan. Pertama, kita membuat nol di kolom pertama di bawah diagonal utama.

4. Sifat determinan. Determinan hasil kali matriks.

Semua transformasi akan lebih mudah dilakukan jika elemennya sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar kolom pertama dan kedua dari determinan, yang, menurut sifat-sifat determinannya, akan menyebabkannya berubah tanda menjadi kebalikannya. :

Selanjutnya, kita mendapatkan nol di kolom kedua sebagai ganti elemen di bawah diagonal utama. Dan lagi, jika elemen diagonalnya sama dengan , maka perhitungannya akan lebih sederhana. Untuk melakukan ini, kami menukar baris kedua dan ketiga (dan pada saat yang sama mengubah tanda determinan yang berlawanan):

Menjawab.

teorema Laplace

Contoh

Latihan. Menggunakan teorema Laplace, hitung determinannya

Keputusan. Kami memilih dua baris dalam penentu urutan kelima ini - yang kedua dan ketiga, lalu kami dapatkan (kami menghilangkan istilah yang sama dengan nol):

Menjawab.

PERSAMAAN LINIER DAN PERTIMBANGAN I

31 Kasus ketika determinan utama dari sistem persamaan sama dengan nol, dan setidaknya satu determinan bantu berbeda dari nol

Dalil.Jika determinan utama sistem persamaan

(1)

sama dengan nol, dan setidaknya salah satu determinan bantu berbeda dari nol, maka sistem tidak konsisten.

Secara formal, pembuktian teorema ini tidak sulit diperoleh dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan (1) memiliki solusi ( x 0 , kamu 0). Padahal, seperti yang ditunjukkan pada paragraf sebelumnya,

Δ x 0 = Δ x , Δ kamu 0 = Δ kamu (2)

Tapi dengan syarat Δ = 0, dan setidaknya salah satu determinannya Δ x dan Δ kamu berbeda dari nol. Dengan demikian, persamaan (2) tidak dapat berlaku secara bersamaan. Teorema telah terbukti.

Namun, tampaknya menarik untuk menjelaskan secara lebih rinci mengapa sistem persamaan (1) tidak konsisten dalam kasus yang sedang dipertimbangkan.

berarti bahwa koefisien yang tidak diketahui dalam sistem persamaan (1) sebanding. Biarkan, misalnya,

sebuah 1 = kan 2 ,b 1 = kb 2 .

berarti koefisien pada dan suku bebas persamaan sistem (1) tidak proporsional. Sejauh b 1 = kb 2 , maka c 1 =/= kc 2 .

Oleh karena itu, sistem persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Dalam sistem ini, koefisien untuk yang tidak diketahui masing-masing proporsional, tetapi koefisien untuk pada (atau kapan X ) dan suku bebasnya tidak proporsional. Sistem seperti itu, tentu saja, tidak konsisten. Memang, jika dia punya solusi ( x 0 , kamu 0), maka persamaan numerik

k (sebuah 2 x 0 + b 2 kamu 0) = c 1

sebuah 2 x 0 + b 2 kamu 0 = c 2 .

Tetapi salah satu dari persamaan ini bertentangan dengan yang lain: bagaimanapun juga, c 1 =/= kc 2 .

Kami hanya mempertimbangkan kasus ketika Δ x =/= 0. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika Δ kamu =/= 0."

Teorema terbukti dapat dirumuskan dengan cara berikut.

Jika koefisien untuk yang tidak diketahui X dan pada dalam sistem persamaan (1) proporsional, dan koefisien untuk salah satu yang tidak diketahui ini dan suku bebasnya tidak proporsional, maka sistem persamaan ini tidak konsisten.

Mudah, misalnya, untuk memverifikasi bahwa masing-masing sistem ini tidak konsisten:

Metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

rumus Cramer

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan.

metode Cramer. Aplikasi untuk sistem persamaan linear

Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian; jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Determinan

diperoleh dengan mengganti koefisien pada variabel yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan suku bebas:

;

.

teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linear:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi dari sistem (2):

Tiga kasus dalam memecahkan sistem persamaan linear

Seperti yang terlihat dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

*

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem konsisten dan tak tentu)

**
,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya m persamaan linier dengan n variabel disebut tidak cocok jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem

.

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
—

pengenal sistem. Determinan yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:

Contoh 2

.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Ikuti kuis tentang Sistem Persamaan Linear

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili beberapa nomor, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menyebabkan masalah untuk menemukan sifat umum dari setiap fenomena dan objek. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel ada huruf. Tidak perlu jauh-jauh mencari contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk masalah yang sama, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 6 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

,

,

.

Dan akhirnya, sistem empat persamaan dengan empat yang tidak diketahui.

Contoh 7 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Perhatian! Metode untuk menghitung determinan orde keempat tidak akan dijelaskan di sini. Setelah itu - ke bagian situs yang sesuai. Tapi akan ada beberapa komentar. Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Sebuah komentar kecil. Pada determinan asal, unsur-unsur baris keempat dikurangi dengan unsur-unsur baris kedua, unsur-unsur baris keempat dikalikan 2 dikurangi dengan unsur-unsur baris ketiga, unsur-unsur baris pertama dikalikan 2 adalah dikurangi dari elemen baris keempat skema. Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Untuk transformasi determinan dengan yang keempat tidak diketahui, elemen baris keempat dikurangkan dari elemen baris pertama.

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (1; 1; -1; -1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Yang paling penuh perhatian mungkin memperhatikan bahwa artikel tersebut tidak memuat contoh penyelesaian sistem persamaan linier tak tentu. Dan semua karena tidak mungkin menyelesaikan sistem seperti itu dengan metode Cramer, kami hanya dapat menyatakan bahwa sistem tersebut tidak terbatas. Solusi dari sistem tersebut diberikan dengan metode Gauss.

Tidak punya waktu untuk mempelajari solusinya? Anda dapat memesan pekerjaan!

Bagian atas halaman

Ikuti kuis tentang Sistem Persamaan Linear

Lainnya dengan topik "Sistem persamaan dan pertidaksamaan"

Kalkulator - selesaikan sistem persamaan secara online

Implementasi terprogram dari metode Cramer di C++

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode substitusi dan metode penambahan

Solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss

Kondisi kompatibilitas sistem persamaan linier.

Teorema Kronecker-Capelli

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode matriks (inverse matrix)

Sistem pertidaksamaan linier dan himpunan titik cembung

Awal dari topik "Aljabar Linier"

Determinan

Pada artikel ini, kita akan berkenalan dengan konsep yang sangat penting dari bagian aljabar linier, yang disebut determinan.

Saya ingin segera mencatat poin penting: konsep determinan hanya berlaku untuk matriks persegi (jumlah baris = jumlah kolom), matriks lain tidak memilikinya.

Determinan matriks persegi(determinan) — karakteristik numerik dari matriks.

Penunjukan determinan: |A|, det A, ∆ A.

penentu Orde "n" disebut jumlah aljabar dari semua produk yang mungkin dari elemen-elemennya yang memenuhi persyaratan berikut:

1) Setiap produk tersebut mengandung tepat "n" elemen (yaitu, penentu urutan kedua adalah 2 elemen).

2) Di setiap produk, ada perwakilan dari setiap baris dan setiap kolom sebagai faktor.

3) Dua faktor dalam setiap produk tidak boleh termasuk dalam baris atau kolom yang sama.

Tanda hasil kali ditentukan oleh urutan pergantian nomor kolom, jika elemen-elemen dalam produk disusun dalam urutan nomor baris.

Perhatikan beberapa contoh mencari determinan matriks:

Untuk matriks orde pertama (mis.

Persamaan linear. Memecahkan sistem persamaan linier. metode Cramer.

hanya ada 1 elemen), determinannya sama dengan elemen ini:

2. Pertimbangkan matriks persegi orde kedua:

3. Perhatikan matriks bujur sangkar orde ketiga (3×3):

4. Dan sekarang perhatikan contoh dengan bilangan real:

Aturan segitiga.

Aturan segitiga adalah cara untuk menghitung determinan suatu matriks, yang melibatkan pencarian menurut skema berikut:

Seperti yang sudah Anda pahami, metode ini disebut aturan segitiga karena fakta bahwa elemen matriks yang dikalikan membentuk segitiga yang aneh.

Untuk memahami ini lebih baik, mari kita ambil contoh:

Dan sekarang perhatikan perhitungan determinan matriks dengan bilangan real menggunakan aturan segitiga:

Untuk mengkonsolidasikan materi yang dibahas, kami akan memecahkan contoh praktis lainnya:

Sifat-sifat determinan:

1. Jika elemen-elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinannya sama dengan nol.

2. Determinan akan berubah tanda jika ada 2 baris atau kolom yang ditukar. Mari kita lihat ini dengan contoh kecil:

3. Determinan matriks yang ditransposisikan sama dengan determinan matriks aslinya.

4. Determinan adalah nol jika elemen-elemen dari satu baris sama dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain (juga untuk kolom). Contoh paling sederhana dari sifat determinan ini adalah:

5. Determinan adalah nol jika 2 barisnya proporsional (juga untuk kolom). Contoh (baris 1 dan 2 proporsional):

6. Faktor persekutuan suatu baris (kolom) dapat dikeluarkan dari tanda determinannya.

7) Determinan tidak akan berubah jika elemen-elemen dari suatu baris (kolom) ditambahkan ke elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) yang lain, dikalikan dengan nilai yang sama. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh:

  • Penjumlahan minor dan aljabar
  • Penjumlahan dan pengurangan matriks dengan contoh
  • Tindakan dengan matriks
  • Konsep "matriks"

    • Dilihat: 57258

    Determinan (alias determinan (determinan)) hanya ditemukan pada matriks persegi. Determinan tidak lebih dari nilai yang menggabungkan semua elemen matriks, yang dipertahankan ketika mentranspos baris atau kolom. Itu dapat dilambangkan sebagai det(A), |A|, (A), , di mana A dapat berupa matriks dan huruf yang menunjukkannya. Anda dapat menemukannya dengan berbagai cara:

    Semua metode yang diusulkan di atas akan dianalisis pada matriks ukuran tiga atau lebih. Determinan matriks dua dimensi ditemukan menggunakan tiga operasi matematika dasar, oleh karena itu, menemukan determinan matriks dua dimensi tidak akan termasuk dalam salah satu metode. Yah, kecuali sebagai tambahan, tetapi lebih pada itu nanti.

    Tentukan determinan matriks 2x2:

    Untuk menemukan determinan matriks kita, kita harus mengurangkan perkalian bilangan-bilangan diagonal yang satu dari yang lain, yaitu

    Contoh mencari determinan matriks orde dua

    Dekomposisi baris/kolom

    Setiap baris atau kolom dalam matriks dipilih. Setiap angka pada baris yang dipilih dikalikan dengan (-1) i+j di mana (i,j adalah baris,nomor kolom dari angka itu) dan dikalikan dengan determinan orde kedua yang terdiri dari elemen yang tersisa setelah menghapus i - baris dan j - kolom. Mari kita lihat matriksnya

      1. Pilih baris/kolom

    Misalnya, ambil baris kedua.

    Catatan: Jika tidak secara eksplisit ditunjukkan dengan garis mana untuk menemukan determinan, pilihlah garis yang memiliki nol. Akan ada lebih sedikit perhitungan.

      1. Buat ekspresi

    Tidak sulit untuk menentukan bahwa tanda suatu bilangan berubah setiap waktu. Oleh karena itu, alih-alih unit, Anda dapat dipandu oleh tabel berikut:

      1. Mari kita ubah tanda nomor kita
      1. Mari kita cari determinan matriks kita
      1. Kami mempertimbangkan semuanya

    Solusinya dapat ditulis seperti ini:

    Contoh mencari determinan dengan ekspansi baris/kolom:

    Metode reduksi ke bentuk segitiga (menggunakan transformasi dasar)

    Determinan ditemukan dengan membawa matriks ke bentuk segitiga (bertingkat) dan mengalikan elemen-elemen pada diagonal utama

    Matriks segitiga adalah matriks yang elemen-elemen pada salah satu sisi diagonalnya sama dengan nol.

    Saat membangun matriks, ingat tiga aturan sederhana:

    1. Setiap kali senar dipertukarkan, determinannya berubah tanda menjadi kebalikannya.
    2. Saat mengalikan / membagi satu baris dengan angka bukan nol, itu harus dibagi (jika dikalikan) / dikalikan (jika dibagi) dengannya, atau lakukan tindakan ini dengan determinan yang dihasilkan.
    3. Saat menambahkan satu string dikalikan dengan angka ke string lain, determinannya tidak berubah (string yang dikalikan mengambil nilai aslinya).

    Mari kita coba untuk mendapatkan nol di kolom pertama, lalu di kolom kedua.

    Mari kita lihat matriks kami:

    Ta-a-ak. Untuk membuat perhitungan lebih menyenangkan, saya ingin memiliki nomor terdekat di atas. Anda dapat meninggalkannya, tetapi Anda tidak harus melakukannya. Oke, kita punya deuce di baris kedua, dan empat di baris pertama.

    Mari kita tukar dua baris ini.

    Kami bertukar garis, sekarang kami harus mengubah tanda satu garis, atau mengubah tanda determinan di akhir.

    Penentu. Menghitung determinan (hal. 2)

    Kami akan melakukannya nanti.

    Sekarang, untuk mendapatkan nol di baris pertama, kita kalikan baris pertama dengan 2.

    Kurangi baris pertama dari baris kedua.

    Menurut aturan ke-3 kami, kami mengembalikan string asli ke posisi awal.

    Sekarang mari kita buat nol di baris ke-3. Kita dapat mengalikan baris pertama dengan 1,5 dan mengurangkan dari yang ketiga, tetapi bekerja dengan pecahan membawa sedikit kesenangan. Oleh karena itu, mari kita cari angka di mana kedua string dapat dikurangi - ini adalah 6.

    Kalikan baris ke-3 dengan 2.

    Sekarang kita kalikan baris pertama dengan 3 dan kurangi dari baris ketiga.

    Mari kita kembalikan baris pertama kita.

    Jangan lupa bahwa kita mengalikan baris ke-3 dengan 2, sehingga kita akan membagi determinannya dengan 2.

    Ada satu kolom. Sekarang, untuk mendapatkan nol di detik - mari kita lupakan baris pertama - kita bekerja dengan baris ke-2. Kalikan baris kedua dengan -3 dan tambahkan ke baris ketiga.

    Jangan lupa untuk mengembalikan baris kedua.

    Jadi kami telah membangun matriks segitiga. Apa yang kita miliki? Dan tetap mengalikan angka pada diagonal utama, yang akan kita lakukan.

    Nah, tetap harus diingat bahwa kita harus membagi determinan kita dengan 2 dan mengubah tandanya.

    Aturan Sarrus (Aturan segitiga)

    Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks kuadrat orde ketiga.

    Determinan dihitung dengan menambahkan dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, mengalikan elemen-elemen diagonal matriks dan menjumlahkannya, dan mengurangkan jumlah diagonal yang berlawanan. Kurangi ungu dari diagonal oranye.

    Aturan segitiga sama, hanya gambarnya saja yang berbeda.

    Teorema Laplace lihat dekomposisi baris/kolom

    Beranda > Dokumen

    MATRIKS, DETERMINAN, SISTEM PERSAMAAN LINEAR

    DEFINISI MATRIKS. JENIS MATRIKSUkuran matriks m× n disebut totalitas M N bilangan yang disusun dalam tabel persegi panjang m garis dan n kolom. Tabel ini biasanya diapit oleh tanda kurung. Misalnya, matriks mungkin terlihat seperti:

    Untuk singkatnya, matriks dapat dilambangkan dengan huruf kapital tunggal, misalnya, TETAPI atau PADA.Secara umum, matriks ukuran m× n tulis seperti ini

    .

    Bilangan-bilangan yang menyusun suatu matriks disebut elemen matriks. Lebih mudah untuk memasok elemen matriks dengan dua indeks sebuah aku j: Yang pertama menunjukkan nomor baris dan yang kedua menunjukkan nomor kolom. Sebagai contoh, sebuah 23 - elemen ada di baris ke-2, kolom ke 3. Jika jumlah baris dalam matriks sama dengan jumlah kolom, maka matriks tersebut disebut kotak, dan jumlah baris atau kolomnya disebut dalam urutan matriks. Pada contoh di atas, matriks kedua adalah bujur sangkar - ordonya 3, dan matriks keempat - ordonya 1. Matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya disebut persegi panjang. Pada contoh ini adalah matriks pertama dan matriks ketiga, ada juga matriks yang hanya memiliki satu baris atau satu kolom, matriks yang hanya memiliki satu baris disebut matriks - baris(atau string), dan matriks yang hanya memiliki satu kolom, matriks - kolom.Matriks, semua elemen yang sama dengan nol, disebut batal dan dilambangkan dengan (0), atau cukup 0. Misalnya,

    .

    diagonal utama Matriks persegi adalah diagonal yang bergerak dari kiri atas ke sudut kanan bawah.

    Matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol disebut segitiga matriks.

    .

    Matriks bujur sangkar yang semua elemennya, kecuali yang mungkin berada pada diagonal utama, sama dengan nol, disebut diagonal matriks. Misalnya, atau .Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama dengan satu disebut lajang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Misalnya, matriks identitas orde ke-3 memiliki bentuk .TINDAKAN PADA MATRIKSPersamaan matriks. Dua matriks A dan B dikatakan sama jika memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian juga sama sebuah aku j = b aku j. Jadi jika dan , kemudian A=B, jika sebuah 11 = b 11 , sebuah 12 = b 12 , sebuah 21 = b 21 dan sebuah 22 = b 22 .transposisi. Pertimbangkan matriks arbitrer A dari m garis dan n kolom. Ini dapat dikaitkan dengan matriks berikut: B dari n garis dan m kolom, di mana setiap baris adalah kolom dari matriks A dengan nomor yang sama (maka setiap kolom adalah baris dari matriks A dengan nomor yang sama). Jadi jika , kemudian .Matriks ini B ditelepon dialihkan matriks A, dan transisi dari A ke Transposisi B.Dengan demikian, transposisi adalah kebalikan dari peran baris dan kolom dari matriks. Matriks ditransposisikan ke matriks A, biasanya dilambangkan A T.Koneksi antar matriks A dan transposisinya dapat ditulis sebagai . Sebagai contoh. Temukan matriks yang ditransposisikan ke matriks yang diberikan. Penambahan matriks. Biarkan matriks A dan B terdiri dari jumlah baris yang sama dan jumlah kolom yang sama, yaitu memiliki ukuran yang sama. Kemudian untuk menjumlahkan matriks A dan B perlu elemen matriks A tambahkan elemen matriks B berdiri di tempat yang sama. Jadi, jumlah dua matriks A dan B disebut matriks C, yang ditentukan oleh aturan, misalnya,

    Contoh. Tentukan jumlah matriks: Sangat mudah untuk memeriksa bahwa penjumlahan matriks memenuhi hukum berikut: komutatif A+B=B+A dan asosiatif ( A+B)+C=A+(B+C).Mengalikan matriks dengan angka. Untuk mengalikan matriks A per nomor k membutuhkan setiap elemen matriks A kalikan dengan angka tersebut. Jadi hasil kali matriks A per nomor k ada matriks baru, yang ditentukan oleh aturan atau .Untuk nomor berapa pun sebuah dan b dan matriks A dan B persamaan terpenuhi: Contoh. . Matriks C tidak dapat ditemukan, karena matriks A dan B memiliki ukuran yang berbeda. perkalian matriks. Operasi ini dilakukan sesuai dengan hukum khusus. Pertama-tama, kami mencatat bahwa ukuran faktor matriks harus konsisten. Anda hanya dapat mengalikan matriks yang jumlah kolom dari matriks pertama sama dengan jumlah baris dari matriks kedua (yaitu panjang baris pertama sama dengan tinggi kolom kedua). kerja matriks A bukan matriks B disebut matriks baru C=AB, yang unsur-unsurnya tersusun sebagai berikut:

    Jadi, misalnya, untuk mendapatkan produk (yaitu, dalam matriks C) elemen pada baris ke-1 dan ke-3 c 13 , Anda perlu mengambil baris ke-1 dalam matriks ke-1, kolom ke-3 pada matriks ke-2, dan kemudian mengalikan elemen baris dengan elemen kolom yang sesuai dan menambahkan produk yang dihasilkan. Dan elemen lain dari matriks produk diperoleh dengan menggunakan produk serupa dari baris matriks pertama dengan kolom matriks kedua.Dalam kasus umum, jika kita mengalikan matriks A = (a aku j ) ukuran m× n ke matriks B = (b aku j ) ukuran n× p, maka diperoleh matriks C ukuran m× p, yang elemen-elemennya dihitung sebagai berikut: elemen c aku j diperoleh sebagai hasil perkalian unsur-unsur saya baris ke-tiga dari matriks A pada elemen yang relevan j-kolom matriks B dan penjumlahannya Dari aturan ini dapat disimpulkan bahwa Anda selalu dapat mengalikan dua matriks persegi dengan orde yang sama, sebagai hasilnya kita mendapatkan matriks persegi dengan orde yang sama. Secara khusus, matriks persegi selalu dapat dikalikan dengan dirinya sendiri, mis. persegi Kasus penting lainnya adalah perkalian baris matriks dengan kolom matriks, dan lebar baris pertama harus sama dengan tinggi baris kedua, sebagai hasilnya kita mendapatkan matriks orde pertama (yaitu satu elemen ). Betulkah,

    .

    Contoh. Temukan elemen c 12 , c 23 dan c 21 matriks C.
      Temukan produk matriks.
    .
    Mencari AB dan VA. Mencari AB dan VA. , B A– tidak masuk akal Jadi, contoh sederhana ini menunjukkan bahwa matriks, secara umum, tidak bolak-balik satu sama lain, mis. A∙B ≠ B∙A . Oleh karena itu, ketika mengalikan matriks, seseorang harus hati-hati memantau urutan faktor-faktornya, dapat dibuktikan bahwa perkalian matriks mematuhi hukum asosiatif dan distributif, yaitu. (AB)C=A(BC) dan (A+B)C=AC+BC.Juga mudah untuk memeriksanya saat mengalikan matriks persegi A ke matriks identitas E dari orde yang sama, kita dapatkan kembali matriksnya A, lebih-lebih lagi AE=EA=A.Kita dapat mencatat fakta aneh berikut. Seperti diketahui, hasil kali 2 bilangan bukan nol tidak sama dengan 0. Untuk matriks, hal ini mungkin tidak terjadi; produk dari 2 matriks bukan-nol mungkin sama dengan matriks nol. Misalnya, jika , kemudian

    .

    KONSEP PENENTU Biarkan matriks orde kedua diberikan - matriks persegi yang terdiri dari dua baris dan dua kolom. Penentu orde kedua sesuai dengan matriks ini adalah jumlah yang diperoleh sebagai berikut: sebuah 11 sebuah 22 - sebuah 12 sebuah 21 .Penentu dilambangkan dengan simbol .Jadi, untuk menemukan determinan orde kedua, Anda perlu mengurangkan perkalian elemen-elemen di sepanjang diagonal kedua dari perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Contoh. Hitung determinan orde dua.

    Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan matriks orde ketiga dan determinan yang sesuai. Penentu orde ketiga, sesuai dengan matriks persegi yang diberikan dari orde ketiga, adalah angka yang dilambangkan dan diperoleh sebagai berikut:

    .

    Jadi, rumus ini memberikan perluasan determinan orde ketiga dalam hal elemen-elemen baris pertama sebuah 11 , sebuah 12 , sebuah 13 dan mereduksi perhitungan determinan orde ketiga menjadi kalkulasi determinan orde kedua. Contoh. Hitung determinan orde ketiga.
    . (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Demikian pula, kita dapat memperkenalkan konsep determinan keempat, kelima, dll. orde, diturunkan ordenya dengan ekspansi ke elemen baris ke-1, sedangkan tanda "+" dan "-" bergantian untuk suku. Jadi, tidak seperti matriks, yang merupakan tabel bilangan, determinannya adalah bilangan yang dengan cara tertentu menyelaraskan matriks.

    SIFAT-SIFAT PENENTU

    Bukti dilakukan dengan verifikasi, yaitu dengan membandingkan kedua bagian persamaan tertulis. Hitung determinan di kiri dan kanan:

      Ketika permutasi 2 baris atau kolom, determinan akan berubah tanda sebaliknya, menjaga nilai absolut, yaitu, misalnya,
    Bukti dilakukan dengan cara yang sama seperti pembuktian sifat 1 dengan membandingkan kedua bagian. Mari kita lakukan untuk determinan orde kedua.

    Untuk penentu tingkat ketiga, periksa diri Anda. Memang, jika kita mengatur ulang baris ke-2 dan ke-3 di sini, maka dengan properti 2 determinan ini harus berubah tanda, tetapi determinan itu sendiri tidak berubah dalam hal ini, yaitu. dapatkan | A| = –|A| atau | A| = 0. Bukti dilakukan dengan verifikasi, serta properti 1. (Secara Mandiri)

      Jika semua elemen dari setiap baris atau kolom determinan sama dengan nol, maka determinan itu sendiri sama dengan nol. (Bukti - verifikasi). Jika semua elemen dari setiap baris atau kolom determinan disajikan sebagai jumlah dari 2 suku, maka determinan dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari 2 determinan menurut rumus, misalnya,

    .

    Bukti- verifikasi, mirip dengan properti 1.
      Jika pada setiap baris (atau kolom) determinan kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, dikalikan dengan angka yang sama, maka determinan tidak akan mengubah nilainya. Sebagai contoh,
    . Mari kita buktikan persamaan ini menggunakan sifat-sifat determinan sebelumnya.
    Sifat-sifat determinan ini sering digunakan dalam perhitungan determinan dan dalam berbagai masalah. TAMBAHAN ALJABAR DAN MINOR Mari kita memiliki determinan orde ketiga: .Minor sesuai dengan elemen ini sebuah aku j determinan orde ketiga disebut determinan orde kedua yang diperoleh dari determinan yang diberikan dengan menghapus baris dan kolom di perpotongan tempat elemen tersebut berdiri, yaitu. saya-baris dan j-kolom. Anak di bawah umur yang sesuai dengan elemen tertentu sebuah aku j kami akan menunjukkan M aku j .Misalnya, minor M 12 sesuai dengan elemen sebuah 12 , akan ada penentu , yang diperoleh dengan menghapus baris ke-1 dan kolom ke-2 dari determinan yang diberikan. Dengan demikian, rumus yang menentukan determinan orde ketiga menunjukkan bahwa determinan ini sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris ke-1 dan yang bersesuaian anak di bawah umur; sedangkan minor sesuai dengan elemen sebuah 12 , diambil dengan tanda “–”, yaitu dapat ditulis bahwa
    Demikian pula, kita dapat memperkenalkan definisi minor untuk determinan orde kedua dan orde yang lebih tinggi.Mari kita perkenalkan satu konsep lagi. penjumlahan aljabar elemen sebuah aku j determinannya disebut minornya M aku j, dikalikan dengan (–1) i+j Pelengkap elemen aljabar sebuah aku j dilambangkan A aku j Dari definisi tersebut diperoleh bahwa hubungan antara komplemen aljabar suatu elemen dan minornya dinyatakan dengan persamaan A aku j= (-1) i+j M aku j . Sebagai contoh, Contoh. Diberikan penentu. Mencari A 13 , A 21 , A 32 .

    Sangat mudah untuk melihat bahwa menggunakan komplemen aljabar elemen, rumus (1) dapat ditulis sebagai: Menurut properti 2 dari determinan, kita memiliki: Mari kita perluas determinan yang diperoleh dengan elemen-elemen baris ke-1.

    .
    Dari sini karena determinan orde kedua dalam rumus (2) adalah minor dari unsur-unsurnya sebuah 21 , sebuah 22 , sebuah 23 . Jadi, , yaitu kita telah memperoleh penguraian determinan oleh elemen-elemen baris ke 2. Demikian pula, kita dapat memperoleh dekomposisi determinan oleh elemen-elemen baris ketiga. Dengan menggunakan sifat 1 determinan (pada transposisi), kita dapat menunjukkan bahwa pemuaian yang serupa juga berlaku untuk pemuaian pada elemen-elemen kolom, sehingga teorema berikut ini benar. Teorema (tentang perluasan determinan dalam baris atau kolom tertentu). Determinan sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen baris (atau kolom) dan komplemen aljabarnya Semua hal di atas berlaku untuk determinan sembarang orde yang lebih tinggi. Contoh.

      Hitung determinan menggunakan sifat-sifatnya. Sebelum menguraikan determinan atas elemen-elemen dari setiap baris, mereduksinya menjadi determinan orde ketiga, kita mengubahnya menggunakan properti 7, membuat semua elemen di setiap baris atau kolom, kecuali satu, sama dengan nol. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kolom ke-4 atau baris ke-4:

    MATRIKS TERBALIK

    Konsep matriks terbalik diperkenalkan hanya untuk matriks persegi.Jika sebuah A adalah matriks persegi, maka membalik untuk itu, matriks adalah matriks yang dilambangkan A -1 dan memenuhi kondisi. (Definisi ini diperkenalkan dengan analogi dengan perkalian angka) Teorema berikut ini benar: Dalil. Agar matriks persegi A memiliki invers, maka perlu dan cukup bahwa determinannya berbeda dari nol. Bukti:
      Membutuhkan. Biarkan untuk matriks A ada matriks terbalik A -1 . Mari kita tunjukkan bahwa | A| ≠ 0.
    Pertama-tama, kita perhatikan bahwa kita dapat membuktikan properti berikut dari determinan . Misalkan | A| = 0. Maka . Tapi di sisi lain . Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa | A| ≠ 0. Mari kita tunjukkan bahwa dalam hal ini matriks terbalik adalah matriks , di mana A aku j komplemen aljabar suatu unsur sebuah aku j. Ayo temukan AB=C. Perhatikan bahwa semua elemen diagonal dari matriks C akan sama dengan 1. Memang, misalnya,

    Demikian pula, dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen baris, seseorang dapat membuktikan bahwa c 22 = c 33 = 1. Selain itu, semua elemen di luar diagonal dari matriks C sama dengan nol. Sebagai contoh,
    Karena itu, AB=E. Demikian pula, seseorang dapat menunjukkan bahwa BA=E. Jadi B=A -1 Dengan demikian, teorema tersebut berisi cara untuk menemukan matriks invers.Jika kondisi teorema dipenuhi, maka matriks invers matriks ditemukan sebagai berikut

    ,

    di mana A aku j- penambahan aljabar elemen sebuah aku j matriks yang diberikan A.Jadi, untuk mencari matriks invers, Anda perlu: Demikian pula untuk matriks orde kedua, matriks berikut akan invers .Contoh. |A| = 2. Tentukan komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks A. Penyelidikan: . Demikian pula A∙A -1 =E. . Mari kita hitung | A| = 4. Maka . .

    SISTEM PERSAMAAN LINEAR

    Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk

    di mana sebuah aku j dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien sebuah aku j indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri. Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kita sebut matriks sistem.Angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis. Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam kasus ini, tiga situasi mungkin muncul: Sistem persamaan linier yang memiliki setidaknya satu solusi disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.Mari kita pertimbangkan cara menemukan solusi untuk sistem. METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

    Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas Ayo temukan produknya

    itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai atau lebih pendek A∙X=B.Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.Biarkan determinan matriks menjadi bukan nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A -1 , invers matriks A: . Sejauh A -1 A=E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X=A -1 B Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X=A -1 B.Contoh. Memecahkan sistem persamaan. Mari kita cari matriks invers ke matriks A. , Dengan demikian, x = 3, kamu = – 1.
    Jadi, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Kami menyatakan matriks yang diperlukan X dari persamaan yang diberikan. Mari kita cari matriksnya TETAPI -1 . Penyelidikan: Dari persamaan kita peroleh . Karena itu, ATURAN CRAMER Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:

    Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,

    ditelepon penentu sistem. Susun tiga determinan lagi sebagai berikut: ganti di determinan D berturut-turut 1, 2 dan 3 kolom dengan kolom anggota bebas

    Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut. Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

    Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen sebuah 11 , persamaan ke-2 - pada A 21 dan ke-3 - pada A 31 :

    Mari kita tambahkan persamaan ini:

    Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1

    Demikian pula, kita dapat menunjukkan itu dan . Akhirnya, mudah untuk melihat itu Dengan demikian, kita memperoleh persamaan: .Akibatnya, .Persamaan dan diturunkan serupa, dari mana pernyataan teorema berikut.Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem 0, maka sistem memiliki solusi unik dan dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel. Contoh. Memecahkan sistem persamaan
    Jadi, X=1, pada=2, z=3. Sistem memiliki solusi unik jika 0. . Jadi . METODE GAUSS Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

    .

    KOSTROMA CABANG UNIVERSITAS MILITER PERLINDUNGAN RCHB

    Departemen "Otomasi komando dan kontrol"

    Hanya untuk guru

    "Saya setuju"

    Kepala Departemen No. 9

    Kolonel YAKOVLEV A.B.

    "____" ______________ 2004

    Associate Professor A.I. Smirnova

    "PENENTU.

    SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR"

    KULIAH 2 / 1

    Dibahas pada pertemuan departemen No. 9

    "____" ___________ 2004

    Protokol No. ___________

    Kostroma, 2004.

    pengantar

    1. Determinan orde kedua dan ketiga.

    2. Sifat-sifat determinan. teorema dekomposisi.

    3. Teorema Cramer.

    Kesimpulan

    literatur

    1. V.E. Schneider et al., Kursus Singkat di Matematika Tinggi, Volume I, Ch. 2, butir 1.

    2. V.S. Shchipachev, Matematika Tinggi, bab 10, hal.2.

    PENGANTAR

    Kuliah ini membahas determinan orde kedua dan ketiga, sifat-sifatnya. Serta teorema Cramer, yang memungkinkan penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan determinan. Determinan juga digunakan kemudian dalam topik "Aljabar Vektor" saat menghitung perkalian silang dari vektor.

    pertanyaan studi pertama KUALIFIKASI KEDUA DAN KETIGA

    MEMESAN

    Perhatikan tabel empat bilangan berbentuk

    Angka-angka dalam tabel dilambangkan dengan huruf dengan dua indeks. Indeks pertama menunjukkan nomor baris, indeks kedua menunjukkan nomor kolom.

    DEFINISI 1. Penentu orde kedua ditelepon ekspresi jenis :

    (1)

    angka sebuah 11, …, sebuah 22 disebut elemen determinan.

    Diagonal yang dibentuk oleh elemen sebuah 11 ; sebuah 22 disebut utama, dan diagonal dibentuk oleh elemen sebuah 12 ; sebuah 21 - di samping.

    Dengan demikian, determinan orde kedua sama dengan selisih antara hasil kali elemen-elemen diagonal utama dan sekunder.

    Perhatikan bahwa jawabannya adalah angka.

    CONTOH. Menghitung:

    Pertimbangkan sekarang tabel sembilan angka yang ditulis dalam tiga baris dan tiga kolom:

    DEFINISI 2. Penentu orde ketiga disebut ekspresi bentuk :

    Elemen sebuah 11; sebuah 22 ; sebuah 33 - membentuk diagonal utama.

    angka sebuah 13; sebuah 22 ; sebuah 31 - membentuk diagonal samping.

    Mari kita gambarkan, secara skematis, bagaimana istilah dengan plus dan minus terbentuk:


    " + " " – "

    Ditambah termasuk: produk dari elemen pada diagonal utama, dua istilah lainnya adalah produk dari elemen yang terletak di simpul segitiga dengan alas sejajar dengan diagonal utama.

    Suku dengan minus dibentuk dengan cara yang sama terhadap diagonal sekunder.

    Aturan untuk menghitung determinan orde ketiga ini disebut

    Baik

    CONTOH. Hitung dengan aturan segitiga:


    KOMENTAR. Determinan disebut juga determinan.

    pertanyaan studi ke-2 SIFAT-SIFAT PENENTU.

    TEOREMA EKSPANSI

    Properti 1. Nilai determinan tidak akan berubah jika barisnya dipertukarkan dengan kolom yang sesuai.

    .

    Memperluas kedua determinan, kami yakin akan validitas kesetaraan.

    Properti 1 menetapkan persamaan baris dan kolom determinan. Oleh karena itu, semua sifat determinan selanjutnya akan dirumuskan untuk baris dan kolom.

    Properti 2. Ketika dua baris (atau kolom) dipertukarkan, determinan berubah tanda ke kebalikannya, mempertahankan nilai absolutnya .

    .

    Properti 3. Pengganda umum elemen baris (atau kolom)dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

    .

    Properti 4. Jika determinan memiliki dua baris (atau kolom) yang identik, maka determinannya sama dengan nol.

    Properti ini dapat dibuktikan dengan verifikasi langsung, atau properti 2 dapat digunakan.

    Tunjukkan determinan dengan D. Ketika dua baris pertama dan kedua yang identik dipertukarkan, itu tidak akan berubah, dan dengan properti kedua itu harus berubah tanda, yaitu.

    D = - DÞ 2 D = 0 D = 0.

    Properti 5. Jika semua elemen dari beberapa string (atau kolom)adalah nol, maka determinannya adalah nol.

    Properti ini dapat dianggap sebagai kasus khusus dari properti 3 dengan

    Properti 6. Jika elemen-elemen dari dua baris (atau kolom)determinannya proporsional, maka determinannya sama dengan nol.

    .

    Hal ini dapat dibuktikan dengan verifikasi langsung atau dengan menggunakan properti 3 dan 4.

    Properti 7. Nilai determinan tidak berubah jika elemen dari setiap baris (atau kolom) ditambahkan ke elemen yang sesuai dari baris (atau kolom) lain, dikalikan dengan angka yang sama.

    .

    Terbukti dengan verifikasi langsung.

    Penggunaan sifat-sifat ini dalam beberapa kasus dapat memudahkan proses penghitungan determinan, terutama orde ketiga.

    Untuk selanjutnya, kita memerlukan konsep pelengkap minor dan aljabar. Pertimbangkan konsep-konsep ini untuk mendefinisikan orde ketiga.

    DEFINISI 3. Minor suatu elemen tertentu dari determinan orde ketiga disebut determinan orde kedua yang diperoleh dari determinan tertentu dengan menghapus baris dan kolom pada perpotongan tempat elemen tersebut berdiri.

    Elemen minor sebuah saya j dilambangkan M saya j. Jadi untuk elemen sebuah 11 di bawah umur

    Itu diperoleh dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama dalam determinan orde ketiga.

    DEFINISI 4. Komplemen aljabar dari elemen determinan sebut saja minor dikalikan dengan (-1)k , di mana k - jumlah nomor baris dan kolom di persimpangan tempat elemen yang diberikan berada.

    Penambahan elemen aljabar sebuah saya j dilambangkan TETAPI saya j .

    Dengan demikian, TETAPI saya j =

    .

    Mari kita tuliskan komplemen aljabar untuk unsur-unsurnya sebuah 11 dan sebuah 12.

    . .

    Hal ini berguna untuk mengingat aturan: komplemen aljabar dari elemen determinan sama dengan minor bertandanya plus, jika jumlah baris dan nomor kolom tempat elemen tersebut berada, bahkan, dan dengan tanda minus jika jumlah ini aneh .

    Jawaban: Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.

    Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

    Determinan

    diperoleh dengan mengganti koefisien pada variabel yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan suku bebas:

    ;

    .

    Rumus Cramer untuk menemukan yang tidak diketahui:

    .

    Menemukan nilai dan hanya mungkin jika

    Kesimpulan ini mengikuti dari teorema berikut.

    teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

    Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan linear:

    Menurut teorema Cramer, kita memiliki:

    Jadi, solusi dari sistem (2):
    9.operasi pada himpunan. diagram Wina.

    Diagram Euler-Venn adalah representasi geometris dari himpunan. Konstruksi diagram terdiri dari gambar persegi panjang besar yang mewakili himpunan universal U, dan di dalamnya - lingkaran (atau beberapa gambar tertutup lainnya) yang mewakili himpunan. Angka-angka harus berpotongan dalam kasus paling umum yang diperlukan dalam masalah dan harus diberi label yang sesuai. Titik-titik yang terletak di dalam area yang berbeda dari diagram dapat dianggap sebagai elemen dari himpunan yang sesuai. Dengan diagram yang dibangun, dimungkinkan untuk menaungi area tertentu untuk menunjukkan set yang baru terbentuk.

    Operasi himpunan dianggap memperoleh himpunan baru dari yang sudah ada.

    Definisi. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang dimiliki oleh setidaknya satu dari himpunan A, B (Gbr. 1):

    Definisi. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen yang dimiliki secara bersamaan oleh himpunan A dan himpunan B (Gbr. 2):

    Definisi. Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua dan hanya elemen A yang tidak terdapat dalam B (Gbr. 3):

    Definisi. Selisih simetris dari himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen dari himpunan ini yang hanya dimiliki oleh himpunan A atau hanya himpunan B (Gbr. 4):

    11. tampilan (fungsi), domain definisi, gambar himpunan selama tampilan, himpunan nilai fungsi dan grafiknya.



    Jawaban: Pemetaan himpunan E ke himpunan F, atau fungsi yang didefinisikan pada E dengan nilai-nilai dalam F, adalah aturan, atau hukum f, yang menetapkan elemen tertentu untuk setiap elemen.

    Elemen disebut elemen independen, atau argumen dari fungsi f, elemen disebut nilai fungsi f, atau gambar; elemen tersebut disebut preimage dari elemen tersebut.

    Pemetaan (fungsi) biasanya dilambangkan dengan huruf f atau simbol , yang menunjukkan bahwa f memetakan himpunan E ke F. Notasi juga digunakan, yang menunjukkan bahwa elemen x bersesuaian dengan elemen f(x). Terkadang lebih mudah untuk mendefinisikan suatu fungsi melalui persamaan, yang berisi hukum korespondensi. Misalnya, Anda dapat mengatakan bahwa "fungsi f ditentukan oleh persamaan". Jika "y" adalah nama umum dari elemen himpunan F, yaitu, F = (y), maka pemetaannya ditulis sebagai persamaan y = f(x) dan kita katakan bahwa pemetaan ini diberikan secara eksplisit.

    2. Bayangan dan bayangan terbalik dari suatu himpunan di bawah pemetaan yang diberikan

    Biarkan pemetaan dan satu set diberikan.

    Himpunan elemen dari F, yang masing-masing merupakan bayangan dari setidaknya satu elemen dari D di bawah pemetaan f, disebut bayangan dari himpunan D dan dilambangkan dengan f(D).

    Jelas sekali, .

    Sekarang biarkan set diberikan.

    Himpunan elemen yang disebut bayangan terbalik dari himpunan Y di bawah pemetaan f dan dilambangkan dengan f -1 (Y).

    Jika kemudian . Jika untuk setiap himpunan f -1 (y) terdiri dari paling banyak satu elemen , maka f disebut pemetaan satu-satu dari E ke F. Namun, seseorang dapat mendefinisikan pemetaan satu-satu f dari suatu himpunan E ke F

    Tampilan disebut:

    Injektif (atau injeksi, atau pemetaan satu-ke-satu dari himpunan E ke F), jika , atau jika persamaan f(x) = y memiliki paling banyak satu solusi;

    Surjektif (atau surjeksi, atau peta himpunan E ke F) jika f(E) = F dan jika persamaan f(x) = y memiliki setidaknya satu solusi;

    Bijektif (atau bijeksi, atau pemetaan satu-satu dari himpunan E ke F) jika itu injektif dan surjektif, atau jika persamaan f(x) = y memiliki satu dan hanya satu solusi.

    3. Superposisi pemetaan. Pemetaan terbalik, parametrik, dan implisit

    1) Biarkan dan . Sejak , pemetaan g memberikan elemen tertentu untuk setiap elemen.

    Jadi, melalui aturan, masing-masing diberi elemen

    Dengan demikian, pemetaan baru (atau fungsi baru) didefinisikan, yang akan kita sebut komposisi pemetaan, atau superposisi pemetaan, atau pemetaan kompleks.

    2) Membiarkan menjadi pemetaan bijektif dan F = (y). Karena f bijektif, masing-masing sesuai dengan citra satuan x, yang dilambangkan dengan f -1 (y), dan sedemikian rupa sehingga f(x) = y. Dengan demikian, pemetaan terdefinisi, yang disebut invers dari pemetaan f, atau invers fungsi dari fungsi f.

    Jelas, pemetaan f terbalik dengan pemetaan f -1 . Oleh karena itu, pemetaan f dan f -1 disebut saling invers. Bagi mereka, hubungan

    dan setidaknya salah satu dari pemetaan ini, misalnya , adalah bijektif. Lalu ada pemetaan terbalik , dan karenanya .

    Pemetaan yang didefinisikan dengan cara ini dikatakan diberikan secara parametrik dengan bantuan pemetaan; di mana variabel dari disebut parameter.

    4) Biarkan pemetaan didefinisikan pada himpunan, di mana himpunan berisi elemen nol. Misalkan ada himpunan sedemikian rupa sehingga untuk setiap persamaan tetap memiliki solusi yang unik . Kemudian, pada himpunan E, seseorang dapat mendefinisikan pemetaan yang memberikan setiap nilai yang, untuk x yang ditentukan, adalah solusi untuk persamaan.

    Mengenai pemetaan yang ditentukan

    mereka mengatakan bahwa itu diberikan secara implisit melalui persamaan .

    5) Pemetaan tersebut disebut perpanjangan dari pemetaan , dan g adalah kontraksi dari pemetaan f jika dan .

    Pembatasan pemetaan ke himpunan kadang-kadang dilambangkan dengan simbol .

    6) Grafik tampilan adalah himpunan

    Sudah jelas itu.

    12. fungsi monoton. Fungsi terbalik, teorema keberadaan. Fungsi y=arcsinx y=arcos x x properti dan grafik.

    Jawaban: Fungsi monotonik adalah fungsi yang kenaikannya tidak berubah tanda, yaitu selalu non-negatif atau selalu non-positif. Jika, di samping itu, kenaikannya tidak sama dengan nol, maka fungsi tersebut disebut sangat monoton.

    Misalkan ada fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen , yang nilainya milik beberapa segmen . Jika sebuah

    lalu mereka mengatakan itu di segmen fungsi invers ke fungsi f(x) didefinisikan dan dinotasikan sebagai berikut: x=f (-1) (y).

    Perhatikan perbedaan antara definisi ini dan definisi segmen yang diisi. seluruh. Dalam definisi f (-1) (…) terdapat sebuah quantifier, yaitu. nilai x, yang menjamin kesetaraan y=f(x), harus unik, sedangkan dalam definisi segmen yang diisi kuantornya padat, yang berarti ada beberapa nilai x yang memenuhi persamaan y=f(x).

    Biasanya, berbicara tentang fungsi invers, ganti x dengan y dan y dengan x (x "y) dan tulis y \u003d f (-1) (x). Jelasnya, fungsi asal f(x) dan fungsi invers f (-1) (x) memenuhi relasi

    f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

    Grafik fungsi asal dan fungsi invers diperoleh satu sama lain dengan mencerminkan terhadap garis bagi kuadran pertama.

    Dalil. Biarkan fungsi f(x) didefinisikan, kontinu dan secara monoton meningkat (menurun) pada interval . Kemudian fungsi invers f (-1) (x) didefinisikan pada interval, yang juga kontinu dan secara monoton meningkat (menurun).

    Bukti.

    Mari kita buktikan teorema untuk kasus ketika f(x) benar-benar meningkat secara monoton.

    1. Adanya fungsi invers.

    Karena, menurut hipotesis teorema, f(x) kontinu, maka, menurut teorema sebelumnya, segmen terisi penuh. Ini berarti bahwa.

    Mari kita buktikan bahwa x adalah unik. Memang, jika kita mengambil x'>x, maka akan menjadi f(x')>f(x)=y dan oleh karena itu f(x')>y. Jika Anda mengambil x''

    2. Monotonisitas fungsi invers.

    Mari kita buat substitusi biasa x "y dan tulis y = f (-1) (x). Ini berarti bahwa x=f(y).

    Misalkan x 1 >x 2 . Kemudian:

    y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 = f(y 1)

    y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

    Apa hubungan antara y 1 dan y 2 ? Mari kita periksa opsinya.

    a) y 1 x 2 .

    b) y 1 \u003d y 2? Tapi kemudian f(y 1)=f(y 2) dan x 1 =x 2 , dan kami memiliki x 1 >x 2 .

    c) Satu-satunya pilihan yang tersisa adalah y 1 >y 2 , yaitu. Tetapi kemudian f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), dan ini berarti bahwa f (-1) (...) meningkat secara monoton.

    3. Kontinuitas fungsi invers.

    Karena nilai-nilai fungsi invers memenuhi segmen sepenuhnya, maka, menurut teorema sebelumnya, f (-1) (…) kontinu.<

    <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

    y = busur x y = busur x
    fungsi invers dari fungsi y = sin x, - / 2 x / 2 fungsi invers dari fungsi y = cos x, 0 x

    <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

    <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

    y = arctan x y = arcctg x
    fungsi invers dari fungsi y = tg x, - / 2< x < / 2 fungsi invers dari fungsi y = ctg x, 0< x <

    13.Fungsi komposisi. fungsi dasar. Fungsi y=arctg x , y = arcctg x, sifat dan grafiknya.

    Jawaban: Dalam matematika, komposisi fungsi (superposisi fungsi) adalah penerapan dari satu fungsi ke hasil yang lain.

    Komposisi fungsi G dan F biasanya dilambangkan dengan G∘F, yang berarti penerapan fungsi G pada hasil fungsi F.

    Misalkan F:X→Y dan G:F(X)⊂Y→Z adalah dua fungsi. Maka komposisinya adalah fungsi G∘F:X→Z yang didefinisikan oleh persamaan:

    (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

    Fungsi dasar - fungsi yang dapat diperoleh dengan menggunakan sejumlah terbatas operasi aritmatika dan komposisi dari fungsi dasar dasar berikut:

    • aljabar:
      • kekuatan;
      • rasional.
    • transenden:
      • eksponensial dan logaritmik;
      • trigonometri dan trigonometri terbalik.

    Setiap fungsi dasar dapat didefinisikan dengan rumus, yaitu, sekumpulan simbol dengan jumlah terbatas yang sesuai dengan operasi yang digunakan. Semua fungsi dasar kontinu pada domain definisinya.

    Kadang-kadang fungsi dasar dasar juga mencakup fungsi hiperbolik dan hiperbolik terbalik, meskipun mereka dapat dinyatakan dalam fungsi dasar dasar yang tercantum di atas.

    <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

    y > 0 untuk x R EKSTREMA: Tidak Tidak KESENJANGAN MONOTONITAS: meningkat pada x R berkurang pada x R

    ARTIKEL TERKAIT