Teorema utama analisis

Teorema utama analisis atau rumus Newton-Leibniz memberikan hubungan antara dua operasi: mengambil integral tertentu dan menghitung antiturunan

Susunan kata

Perhatikan integral dari fungsi kamu = f(x) dalam bilangan konstan sebuah sampai dengan nomor x, yang akan kita anggap variabel. Kami menulis integral dalam bentuk berikut:

Integral jenis ini disebut integral dengan batas atas variabel. Dengan menggunakan teorema integral mean-in-definite, mudah untuk menunjukkan bahwa fungsi yang diberikan kontinu dan dapat diturunkan. Dan juga turunan dari fungsi ini di titik x sama dengan fungsi yang dapat diintegralkan itu sendiri. Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi kontinu memiliki antiturunan dalam bentuk kuadratur: . Dan karena kelas antiturunan dari fungsi f berbeda dengan konstanta, mudah untuk menunjukkan bahwa: integral tentu dari fungsi f sama dengan perbedaan antara nilai antiturunan di titik b dan a

Yayasan Wikimedia. 2010 .

• Pleiades
• 6174 (angka)

Lihat apa itu "Teorema Utama Analisis" di kamus lain:

Teorema Residu Fundamental- Teorema residu adalah alat yang ampuh untuk menghitung integral dari fungsi meromorfik pada kontur tertutup. Ini juga sering digunakan untuk menghitung integral nyata. Ini adalah generalisasi dari teorema integral Cauchy dan integral ... ... Wikipedia

Teorema dasar aljabar- menegaskan bahwa setiap polinomial tidak konstan (dari satu variabel) dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar di bidang bilangan kompleks. Rumusan ekivalen dari teorema adalah sebagai berikut: Bidang bilangan kompleks ... ... Wikipedia

teorema Newton- Rumus Newton Leibniz atau teorema utama analisis memberikan hubungan antara dua operasi: mengambil integral tertentu dan menghitung antiturunan. Jika kontinu pada suatu segmen dan setiap antiturunannya pada segmen ini, maka ia memiliki ... Wikipedia

rumus Newton-Leibniz

rumus Newton - Leibniz- Teorema analisis utama atau rumus Newton Leibniz memberikan hubungan antara dua operasi: mengambil integral tertentu dan menghitung Formulasi antiturunan Pertimbangkan integral dari fungsi y \u003d f (x) mulai dari bilangan konstan a hingga ... . .. Wikipedia

Integral- Integral tentu sebagai luas bangun Istilah ini memiliki arti lain, lihat Integral (disambiguasi). Integral dari suatu fungsi ... Wikipedia - untuk suatu fungsi, ini adalah kumpulan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu. Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval dan antiturunannya, yaitu di, maka ... Wikipedia

Suatu kali, ayah saya dan saya sedang mengemudi jauh dengan mobil. Dan ini adalah alasan bagus untuk percakapan yang cerdas.

Kita berbicara tentang "teorema dasar". Teorema dasar aritmatika adalah bahwa bilangan bulat apa pun dapat didekomposisi menjadi produk bilangan prima, dan dengan cara yang unik. Teorema dasar aljabar adalah bahwa polinomial memiliki akar sebanyak derajatnya (walaupun ada neraka dengan formulasi). Dan kemudian teorema utama analisis entah bagaimana terbang keluar dari kepalaku saat itu.

Ayah menyarankan bahwa teorema dasar analisis adalah teorema Newton-Leibniz. "Tentang apakah ini?" Saya bertanya. Ayah: "Saya tidak ingat kata-katanya yang tepat, tetapi sesuatu tentang fakta bahwa integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi."

Tunggu, bukankah itu menurut definisi?

Seperti biasa dengan teorema dasar ini, apa yang mereka katakan tampak jelas setelah Anda melewatinya. Tetapi pada kenyataannya, teorema utama yang memungkinkan kita untuk mempertimbangkan integrasi dan diferensiasi sebagai operasi terbalik. Penalaran anti-ilmiah yang mendalam akan melangkah lebih jauh, di mana setiap matematikawan akan menemukan 100.500 kesalahan formal, tetapi ini tidak penting sekarang.

Apa itu diferensiasi? Ini adalah saat kita menggambar garis singgung di setiap titik fungsi dan menemukan garis singgung sudut yang dilewatinya ke cakrawala, seperti ini:

Sekarang, jika setiap titik diberikan tangen yang ditemukan, maka fungsi baru akan diperoleh, yang disebut turunan. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa nomornya e turunan dari fungsi mantan adalah sama dengan mantan, yaitu, pada setiap titik, garis singgung sudut sama dengan nilai fungsi itu sendiri.

Apa itu integrasi? Ini adalah menemukan luas bangun di bawah kurva suatu fungsi yang dibatasi oleh beberapa batas vertikal sebuah dan b dan sumbu horizontal:

Jika Anda membagi dengan semakin banyak persegi panjang dan melihat batas jumlah area, maka Anda hanya mendapatkan luas dari gambar ini. Daerah ini disebut integral tertentu dari fungsi kamu = f(x) pada segmen [ sebuah; b] dan ditandai seperti ini:

Terus terang, sama sekali tidak jelas bahwa omong kosong tentang sudut dan omong kosong tentang area umumnya entah bagaimana terhubung.

Dan beginilah cara mereka terhubung. Turunan invers suatu fungsi disebut antiturunan. Antiturunan dari f(x) adalah fungsi seperti itu g(x) bahwa turunannya g´(x) = f(x). Misalnya fungsi kamu = x 2 + 8 turunan kamu = 2x. Jadi untuk fungsi kamu = x fungsi kamu = (x 2 / 2) + 4 adalah antiturunan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa ada jumlah tak terbatas dari fungsi seperti itu. Misalnya turunan dari fungsi kamu = x 2 + 28 juga kamu = 2x. Jadi untuk fungsi kamu = x fungsi ( x 2 / 2) + 14 juga merupakan antiturunan. Ini logis, karena turunannya adalah sudut di setiap titik, dan wajar jika itu tidak berubah tergantung pada ketinggian yang kita naikkan secara vertikal ke seluruh grafik fungsi secara keseluruhan. Jadi untuk fungsi x primitif adalah x 2/2 ditambah sebanyak yang Anda suka.

Jadi, ternyata, untuk menemukan luas gambar di bawah fungsi kamu = f(x) mulai dari sebuah sebelum b, Anda perlu mengambil nilai dari salah satu antiturunannya g(x) di titik-titik b dan sebuah dan kurangi satu dari yang lain:

Di Sini g- meskipun ada, tetapi masih semacam primitif, oleh karena itu, "sebanyak yang Anda suka" akan sama untuk itu, mereka akan dikurangkan satu sama lain dan tidak akan mempengaruhi hasilnya. Anda dapat mengambil beberapa fungsi sederhana seperti kamu = 2x, di mana area tanpa integral mudah dihitung dalam pikiran Anda dan diperiksa. Bekerja!

Rumus ini disebut teorema fundamental analisis atau teorema Newton-Leibniz. Jika terbukti, maka kita sudah dapat menyebut temuan integrasi antiturunan dan secara umum memperlakukan diferensiasi dan integrasi sebagai operasi yang saling terbalik.

§ 5. Teorema utama analisis

1. teorema utama. Konsep integrasi, dan sampai batas tertentu diferensiasi, dikembangkan dengan baik sebelum karya Newton dan Leibniz. Tapi itu mutlak diperlukan untuk membuat satu penemuan yang sangat sederhana untuk memberikan dorongan pada evolusi besar dari analisis matematis yang baru dibuat. Dua proses pembatas yang tampaknya tidak bersebelahan, digunakan satu untuk diferensiasi, yang lain untuk fungsi integrasi, ternyata berhubungan erat. Memang, mereka saling

				operasi terbalik,
				baik untuk operasi seperti
				penjumlahan dan pengurangan, pintar
				pemotongan dan pembagian. Beda-
				sosial dan integral
				angka adalah
				sesuatu yang bersatu.
				Pencapaian hebat dari New
				nada dan Leibniz adalah
				dalam hal itu untuk pertama kalinya mereka
Beras. 274. Ke dalam dimainkan sebagai fungsi atas				tapi dipahami dan digunakan
				teorema utama analisis ini
				di belakang. Tanpa ragu, mereka terbuka

dasi berbaring n tapi jalur langsungnya adalah perkembangan ilmiah, dan sama sekali tidak mengejutkan Hebatnya, perbedaannya Orang-orang ini datang secara independen dan hampir bersamaan ke pemahaman yang jelas tentang keadaan di atas.

Untuk merumuskan teorema utama secara tepat, kita pertimbangkan integral dari fungsi y = f(x) dalam rentang dari bilangan konstan a hingga bilangan x, yang akan kita anggap variabel. Agar tidak membingungkan batas atas integrasi x dengan variabel yang muncul di bawah tanda integral, kami menulis integral dalam bentuk berikut (lihat halaman 428):

F(x)=Z

sehingga menunjukkan niat kami untuk mempelajari integral sebagai fungsi F(x) dari batas atasnya (Gbr. 274). Fungsi ini F (x) adalah luas daerah di bawah kurva y = f(u) dari titik u = a ke titik u = x. Terkadang integral F(x) dengan batas atas variabel disebut "integral tak tentu".

Teorema utama analisis berbunyi sebagai berikut:

Turunan integral tak tentu (1) terhadap batas atas x sama dengan nilai fungsi f(u) di titik u = x:

F 0 (x) = f(x).

TEOREMA UTAMA ANALISIS

Dengan kata lain, proses integrasi yang mengarah dari fungsi f(x) ke fungsi F(x) "dihancurkan" oleh proses kebalikan dari diferensiasi yang diterapkan pada fungsi F(x).

Secara intuitif, pembuktian proposisi ini tidaklah sulit. Ini didasarkan pada interpretasi integral F(x) sebagai area, dan akan dikaburkan jika kita mencoba memplot fungsi F(x) dan menafsirkan turunan F0(x) sebagai kemiringan yang sesuai. Mengesampingkan interpretasi geometrik turunan yang telah ditetapkan sebelumnya, kita akan mempertahankan interpretasi geometrik integral F (x) sebagai luas, dan kita akan menjadi metode analitik untuk mendiferensiasikan fungsi F (x). Perbedaan

F (x1 ) F (x)

hanyalah area di bawah kurva y = f(u) antara batas u = x1 dan u = x (Gbr. 275), dan mudah dipahami bahwa nilai numerik area ini terletak di antara bilangan (x1 x )m dan (x1 x) M:

(x1 x)m 6 F (x1 ) F (x) 6 (x1 x)M,

di mana M dan m masing-masing adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi f(u) dalam interval dari u = x ke u = x1 . Memang, produk-produk ini memberikan area dua persegi panjang, yang satu berisi wilayah lengkung yang dipertimbangkan, dan yang lainnya terkandung di dalamnya.

Beras. 275. Pada bukti teorema utama

ini menyiratkan

m 6 F (x1 ) F (x) 6 M. x1 x

Mari kita asumsikan bahwa fungsi f(u) kontinu, sehingga karena x1 cenderung ke x, baik besaran M dan m cenderung ke nilai fungsi f(u) di titik u = x, yaitu ke nilai f(x). Dalam hal ini, seseorang dapat mempertimbangkan

468 ANALISIS MATEMATIKA Ch. VIII

terbukti bahwa
F 0 (x) = lim	F (x1 ) F (x)
x1→x	x1 x

Arti intuitif dari hasil ini adalah bahwa ketika bertambah, laju perubahan luas area di bawah kurva y = f(x) sama dengan tinggi kurva di x.

Dalam beberapa manual, isi dari teorema utama ini dikaburkan karena terminologi yang dipilih dengan buruk. Yaitu, banyak penulis pertama kali memperkenalkan konsep turunan, dan kemudian mendefinisikan "integral tak tentu" hanya sebagai hasil dari operasi invers terhadap diferensiasi: mereka mengatakan bahwa fungsi G(x) adalah integral tak tentu dari fungsi f (x) jika

G0 (x) = f(x).

Dengan demikian, cara penyajian ini secara langsung menghubungkan diferensiasi dengan kata “integral”. Baru kemudian konsep "integral pasti" diperkenalkan, diperlakukan sebagai luas atau sebagai limit dari barisan jumlah, dan tidak cukup ditekankan bahwa kata "integral" sekarang berarti sesuatu yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Dan sekarang ternyata hal terpenting yang terkandung dalam teori hanya diperoleh secara sembunyi-sembunyi - melalui pintu belakang, dan siswa mengalami kesulitan serius dalam upayanya untuk memahami esensi masalah. Kita lebih suka memanggil fungsi G(x) dimana G0 (x) = f(x) bukan “integral tak tentu”, tetapi antiturunan dari fungsi f(x). Maka teorema utama dapat dirumuskan sebagai berikut:

Fungsi F (x), yang merupakan integral dari fungsi f(x) dengan konstanta bawah dan batas atas variabel x, adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x).

Kami mengatakan "salah satu" fungsi antiturunan karena alasan bahwa jika G(x) adalah fungsi antiturunan dari f(x), maka segera jelas bahwa setiap fungsi dalam bentuk H(x) = G(x) + c (c - konstanta arbitrer) juga merupakan antiturunan, karena H0 (x) = G0 (x). Kebalikannya juga benar. Dua fungsi antiturunan G(x)

dan H(x) dapat berbeda satu sama lain hanya dengan suku yang konstan. Memang, perbedaan U(x) = G(x) H(x) memiliki U0 (x) = G0 (x) H0 (x) = f(x) f(x) = 0 sebagai turunan, yaitu. , Artinya, perbedaan ini konstan, karena jelas bahwa jika grafik suatu fungsi horizontal pada setiap titiknya, maka fungsi itu sendiri, yang diwakili oleh grafik, pastilah konstan.

Ini mengarah pada aturan yang sangat penting untuk menghitung integral antara a dan b - dengan asumsi bahwa kita mengetahui beberapa fungsi antiturunan G(x) dari fungsi f(x). Menurut utama kami

TEOREMA UTAMA ANALISIS

teorema, fungsi

ada juga fungsi antiturunan dari fungsi f(x). Jadi F(x) =

G(x) + c, di mana c adalah konstanta. Nilai konstanta ini akan ditentukan,

jika kita memperhitungkan bahwa F (a) = f(u) du = 0. Ini berarti:

0 = G(a) + c, jadi c = G(a). Maka integral tertentu antara a dan x memenuhi persamaan secara identik

F (x) = f(u) du = G(x) G(a);

mengganti x melalui b mengarah ke rumus

f(u) du = G(b) G(a),

terlepas dari fungsi antiturunan mana yang "diluncurkan". Dengan kata lain: untuk menghitung in-

integral f(x) dx, cukup untuk menemukan fungsi G(x) yang

swarm G0 (x) = f(x), lalu buat selisihnya G(b) G(a).

2. Aplikasi pertama. Integrasi fungsi xr , cos x, sin x. fungsi arctg x. Di sini tidak mungkin untuk memberikan gambaran lengkap tentang peran teorema utama, dan kami membatasi diri pada memberikan beberapa contoh ekspresif. Dalam masalah yang dihadapi dalam mekanika dan fisika atau dalam matematika itu sendiri, sangat sering diperlukan untuk menghitung nilai numerik dari beberapa integral tertentu. Upaya langsung untuk menemukan integral sebagai limit bisa jadi sangat sulit. Di sisi lain, seperti yang kita lihat di 3, setiap diferensiasi dilakukan dengan relatif mudah, dan tidak sulit untuk mengumpulkan sejumlah besar formula diferensiasi. Setiap rumus tersebut G0 (x) = f(x), sebaliknya, dapat dianggap sebagai rumus yang mendefinisikan fungsi antiturunan G(x) dari fungsi f(x).

Rumus (3) memungkinkan penggunaan fungsi antiturunan yang diketahui untuk menghitung integral dari fungsi f(x) dalam beberapa interval tertentu.

Jika kita, misalnya, ingin mencari integral dari pangkat x2, x3, atau xn secara umum, maka hal yang paling sederhana adalah melanjutkan seperti yang ditunjukkan pada 1. Dengan rumus diferensiasi pangkat, turunan dari xn adalah nxn−1.

470 ANALISIS MATEMATIKA Ch. VIII

jadi turunan dari fungsi

G(x) = nx
	1 (n 6= -1)

ada fungsi

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .

xn+1

Dalam hal ini, fungsi n + 1 adalah fungsi antiturunan

sehubungan dengan fungsi f(x) = xn , dan oleh karena itu kami segera mendapatkan rumus

x n dx = G(b) G(a) = b n+1 a n+1 . n + 1

Argumen ini jauh lebih sederhana daripada prosedur rumit untuk menghitung integral secara langsung sebagai limit jumlah.

Sebagai kasus yang lebih umum, kami menemukan di 3 bahwa untuk setiap s rasional, baik positif maupun negatif, turunan dari fungsi xs sama dengan sxs−1 , dan oleh karena itu, untuk s = r + 1, fungsi

x r+1

memiliki turunan f(x) = G0 (x) = xr (kita asumsikan bahwa r 6= 1,

x r+1

yaitu bahwa s 6 = 0). Jadi fungsi r + 1 adalah fungsi antiturunan, atau

"integral tak tentu" dari xr , dan kita mendapatkan (untuk positif a dan b dan untuk r 6= 1) rumus

xr dx =	b r+1 a r+1

Dalam rumus (4), kita harus mengasumsikan bahwa fungsi xr di bawah integral didefinisikan dan kontinu dalam interval integrasi, sehingga titik x = 0 harus dikeluarkan jika r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Jika kita menetapkan G(x) = cos x, maka kita memperoleh G0 (x) = sin x, dan karenanya muncul hubungan

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Demikian pula, jika G(x) = sin x, maka G0 (x) = cos x, dan karenanya

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

5 TEOREMA UTAMA ANALISIS 471

Hasil yang sangat menarik diperoleh dari rumus untuk membedakan fungsi arctg x:

	Karena fungsi arctg x adalah antiturunan terhadap fungsi
							1+x2

maka, berdasarkan rumus (3), kita dapat menulis

arctan b arctan 0 = Z 0	1 + x2dx.

Tapi arctan 0 = 0 (nilai nol dari garis singgung sesuai dengan nilai sudut nol). Jadi kita punya

arctg b = Z 0

1+x2

Secara khusus,

berarti

garis singgung,

1, cocok

pada 45◦, yang dalam ukuran radian sesuai dengan

menempatkan p . Jadi, kita

kita mendapatkan

hebat

1 + x2dx.

menunjukkan

bidang apa

jadwal

1 + x 2 mulai dari x = 0 hingga x =

1 sama dengan seperempat luas satuan

276. Area di bawah Cree

tidak ada lingkaran.

di dalam

3. Rumus

Leibniz

1+x2

petunjuk

untuk hal. Hasil Terbaru

dari yang terindah

rumus matematika yang ditemukan pada abad ke-17 - menjadi variabel tanda

ke deret Leibniz, yang memungkinkan penghitungan p:

4 p = 1 1 3 1 + 5 1 7 1 + 9 1 11 1 + . . .

+ simbol. . . harus dipahami dalam arti bahwa urutan "jumlah sebagian" berhingga diperoleh ketika sisi kanan

persamaan, hanya n istilah jumlah yang diambil, cenderung ke batas p di

peningkatan tak terbatas dari n.

ANALISIS MATEMATIKA

Untuk membuktikan rumus yang luar biasa ini, kita hanya perlu mengingat kembali rumus jumlah barisan geometri berhingga

1 qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1 ,

di mana "suku sisa" Rn dinyatakan dengan rumus

Rn = (−1)n x 2n 2 .

Persamaan (8) dapat diintegralkan dalam rentang dari 0 hingga 1. Mengikuti aturan a) dari 3, kita harus menjumlahkan integral dari masing-masing suku di ruas kanan. Berdasarkan (4) kita tahu bahwa

xm dx =

bm+1

am+1

khususnya, kita mendapatkan

xm dx =

dari mana, ke

1+x2

1 − 3 +

Dan akibatnya,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n 1 + Tn ,

p R0

1+x2

Tn = (

Menurut rumus (5), sisi kiri bentuk adalah

ly (9) adalah

perbedaan antara

dan jumlah pribadi

(−1)n−1

Sn = 1 -

Sn = Tn . Tetap membuktikan bahwa Tn cenderung nol sebagai

meningkat n. Kami memiliki ketidaksetaraan

x2n 6x2n .

1+x2

Mengingat rumus (13) 1, yang menetapkan pertidaksamaan

f(x) dx 6 g(x) dx untuk f(x) 6 g(x) dan a< b,

Konsep integrasi, dan sampai batas tertentu diferensiasi, dikembangkan dengan baik sebelum karya Newton dan Leibniz. Tapi itu mutlak diperlukan untuk membuat satu penemuan yang sangat sederhana untuk memberikan dorongan pada evolusi besar dari analisis matematis yang baru dibuat. Dua proses pembatas yang tampaknya tidak bersebelahan, digunakan satu untuk diferensiasi, yang lain untuk fungsi integrasi, ternyata berhubungan erat. Memang, mereka adalah operasi yang saling terbalik, seperti operasi seperti penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Kalkulus diferensial dan integral adalah satu hal.

Pencapaian besar Newton dan Leibniz adalah untuk pertama kalinya mereka dengan jelas menyadari dan menggunakan teorema dasar analisis ini. Tidak diragukan lagi, penemuan mereka terletak di jalur langsung perkembangan ilmiah alam, dan sama sekali tidak mengejutkan bahwa berbagai orang datang secara independen dan hampir bersamaan ke pemahaman yang jelas tentang keadaan di atas.

Beras. 274. Integral sebagai Fungsi dari Batas Atas

Untuk merumuskan teorema utama secara tepat, kami mempertimbangkan integral dari suatu fungsi mulai dari bilangan konstan a hingga bilangan x, yang akan kita pertimbangkan variabel. Agar tidak membingungkan batas atas integrasi x dengan variabel yang muncul di bawah tanda integral, kami menulis integral dalam bentuk berikut (lihat hal. 459):

sehingga menunjukkan niat kami untuk mempelajari integral sebagai fungsi dari batas atasnya (Gbr. 274). Fungsi ini adalah luas daerah di bawah kurva dari titik ke titik.Terkadang integral dengan batas atas variabel disebut "integral tak tentu".

Teorema utama analisis berbunyi sebagai berikut: Turunan integral tak tentu (1) terhadap batas atas x sama dengan nilai fungsi di titik

Dengan kata lain, proses integrasi yang mengarah dari fungsi ke fungsi “dihancurkan” oleh proses kebalikan dari diferensiasi yang diterapkan pada fungsi tersebut.

Beras. 275. Pada bukti teorema utama

Secara intuitif, pembuktian proposisi ini tidaklah sulit. Ini didasarkan pada interpretasi integral sebagai area, dan akan dikaburkan jika kita mencoba memplot fungsi dan menafsirkan turunannya sebagai kemiringan yang sesuai. Mengesampingkan interpretasi geometrik turunan yang telah ditetapkan sebelumnya, kita akan mempertahankan interpretasi geometrik integral sebagai area, dan kita akan menjadi metode analitik untuk mendiferensiasikan suatu fungsi. Perbedaan

hanya ada daerah di bawah kurva antara batas (Gbr. 275), dan tidak sulit untuk memahami bahwa nilai numerik dari daerah ini diapit di antara angka-angka

di mana (masing-masing, nilai fungsi terbesar dan terkecil dalam interval dari ke) Memang, produk ini memberikan luas dua persegi panjang, salah satunya berisi daerah lengkung yang dipertimbangkan, dan yang lainnya terkandung di dalamnya.

Ini menyiratkan:

Mari kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu, sehingga kedua kuantitas cenderung ke nilai fungsi

pada titik , yaitu, ke nilai Dalam hal ini, kita dapat menganggapnya terbukti bahwa

Arti intuitif dari hasil ini adalah bahwa ketika bertambah, laju perubahan luas area di bawah kurva sama dengan tinggi kurva di x.

Dalam beberapa manual, isi dari teorema utama ini dikaburkan karena terminologi yang dipilih dengan buruk. Yaitu, banyak penulis pertama kali memperkenalkan konsep turunan, dan kemudian mendefinisikan "integral tak tentu" hanya sebagai hasil dari operasi kebalikan dari diferensiasi: mereka mengatakan bahwa suatu fungsi adalah integral tak tentu dari suatu fungsi jika

Dengan demikian, cara penyajian ini secara langsung menghubungkan diferensiasi dengan kata “integral”. Baru kemudian konsep "integral pasti" diperkenalkan, diperlakukan sebagai luas atau sebagai limit dari barisan jumlah, dan tidak cukup ditekankan bahwa kata "integral" sekarang berarti sesuatu yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Dan sekarang ternyata hal terpenting yang terkandung dalam teori hanya diperoleh secara sembunyi-sembunyi - melalui pintu belakang, dan siswa mengalami kesulitan serius dalam upayanya untuk memahami esensi masalah. Kita lebih menyukai fungsi yang kita sebut bukan “integral tak tentu”, melainkan fungsi antiturunan dari suatu fungsi, maka teorema utama dapat dirumuskan sebagai berikut:

Fungsi yang merupakan integral dari suatu fungsi dengan konstanta bawah dan batas atas variabel x adalah salah satu fungsi antiturunan dari fungsi tersebut

Kami mengatakan "salah satu" fungsi antiturunan karena alasan bahwa jika adalah fungsi antiturunan dari maka segera jelas bahwa fungsi apa pun dari bentuk (c adalah konstanta arbitrer) juga merupakan antiturunan, karena pernyataan kebalikannya juga benar. Dua fungsi antiturunan dapat berbeda satu sama lain hanya dengan suku yang konstan. Memang, perbedaannya memiliki sebagai turunan yaitu. perbedaan ini konstan, karena jelas bahwa jika grafik fungsi di masing-masing

Konsep integrasi, dan sampai batas tertentu diferensiasi, dikembangkan dengan baik sebelum karya Newton dan Leibniz. Tapi itu mutlak diperlukan untuk membuat satu penemuan yang sangat sederhana untuk memberikan dorongan pada evolusi besar dari analisis matematis yang baru dibuat. Dua proses pembatas yang tampaknya saling tidak bersebelahan, digunakan satu untuk diferensiasi, yang lain untuk mengintegrasikan fungsi, ternyata terkait erat. Memang, mereka adalah operasi yang saling terbalik, seperti operasi seperti penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Kalkulus diferensial dan integral adalah satu hal.

Pencapaian besar Newton dan Leibniz adalah untuk pertama kalinya mereka dengan jelas mengenali dan menggunakan ini teorema utama analisis. Tidak diragukan lagi, penemuan mereka terletak di jalur langsung perkembangan ilmiah alam, dan sama sekali tidak mengejutkan bahwa berbagai orang datang secara independen dan hampir bersamaan ke pemahaman yang jelas tentang keadaan di atas.

Untuk merumuskan teorema utama dengan tepat, kami mempertimbangkan integral dari fungsi y=f(x) mulai dari angka konstan a ke angka x, yang akan kita anggap variabel. Agar tidak membingungkan batas atas integrasi x dengan variabel yang muncul di bawah tanda integral, kami menulis integral dalam bentuk berikut (lihat hal. 435):

sehingga menunjukkan niat kami untuk mempelajari integral sebagai fungsi F(x) dari batas atasnya (Gbr. 274). Fungsi ini F(x) adalah area di bawah kurva y=f(u) dari titik kamu = a ke titik u=x. Terkadang integral F(x) dengan batas atas variabel disebut "integral tak tentu".

Teorema utama analisis berbunyi sebagai berikut: Turunan integral tak tentu (1) terhadap batas atas x sama dengan nilai fungsi f (u) di titik u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Dengan kata lain, proses integrasi yang mengarah dari fungsi f(x) ke fungsi F(x) "dihancurkan" oleh proses kebalikan dari diferensiasi yang diterapkan pada fungsi F(x).

Secara intuitif, pembuktian proposisi ini tidaklah sulit. Ini didasarkan pada interpretasi integral F(x) sebagai area, dan akan dikaburkan jika kita mencoba memplot fungsi F(x) dan menafsirkan turunan F"(x) sebagai kemiringan yang sesuai. Kesampingkan yang sebelumnya interpretasi geometris yang ditetapkan dari turunan , kami akan menyimpan interpretasi geometris integral F (x) sebagai area, dan membedakan fungsi F (x) akan menjadi metode analitik.

F (x 1) - F (x)

hanya luas di bawah kurva y=f(u) antara batas u = x 1 dan u=x(Gbr. 275), dan mudah dipahami bahwa nilai numerik dari area ini diapit di antara angka-angka (x 1 - x)m dan (x 1 - x) M:

(x 1 - x)m≤F (x 1) - F (x) (x 1 - x) M,

dimana M dan m berturut-turut merupakan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi f(u) pada interval dari u = x sampai u = x 1 . Memang, produk-produk ini memberikan area dua persegi panjang, yang satu berisi wilayah lengkung yang dipertimbangkan, dan yang lainnya terkandung di dalamnya.

Ini menyiratkan:

Misalkan fungsi f (u) kontinu, sehingga x 1 cenderung ke x, besaran M dan m cenderung ke nilai fungsi f (u) di titik u \u003d x, yaitu ke nilai f(x). Dalam hal ini, dapat dianggap terbukti bahwa

Arti intuitif dari hasil ini adalah bahwa ketika laju perubahan di area di bawah kurva meningkat, y=f(x) sama dengan tinggi kurva di x.

Dalam beberapa manual, isi dari teorema utama ini dikaburkan oleh terminologi yang dipilih dengan buruk. Yaitu, banyak penulis pertama kali memperkenalkan konsep turunan, dan kemudian mendefinisikan "integral tak tentu" hanya sebagai hasil dari operasi invers terhadap diferensiasi: mereka mengatakan bahwa fungsi G (x) adalah integral tak tentu dari fungsi f (x) jika

G"(x) = f(x).

Dengan demikian, cara penyajian ini secara langsung menghubungkan diferensiasi dengan kata “integral”. Baru kemudian konsep "integral pasti" diperkenalkan, diperlakukan sebagai luas atau sebagai limit dari barisan jumlah, dan tidak cukup ditekankan bahwa kata "integral" sekarang berarti sesuatu yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Dan sekarang ternyata hal terpenting yang terkandung dalam teori hanya diperoleh secara sembunyi-sembunyi dari pintu belakang, dan siswa mengalami kesulitan serius dalam upayanya untuk memahami esensi masalah. Kami lebih suka fungsi G(x) yang G "(x) \u003d f (x), sebut bukan "integral tak tentu", tetapi fungsi antiturunan dari fungsi f(x). Maka teorema utama dapat dirumuskan sebagai berikut:

Fungsi F (x), yang merupakan integral dari fungsi f (x) dengan konstanta bawah dan batas atas variabel x, adalah salah satu antiturunan dari fungsi f (x).

Kami mengatakan "salah satu" fungsi antiturunan karena alasan bahwa jika G(x) adalah fungsi antiturunan dari f(x), maka segera jelas bahwa fungsi apa pun dalam bentuk H(x) = G(x) + c(c adalah konstanta arbitrer) juga merupakan antiturunan, karena H "(x) = G" (x). Kebalikannya juga benar. Dua fungsi antiturunan G(x) dan H(x) hanya dapat berbeda satu sama lain dengan suku yang konstan. Memang, perbedaannya U(x) = G(x) - H(x) memiliki sebagai turunan U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, yaitu perbedaan ini konstan, karena jelas bahwa jika grafik suatu fungsi horizontal pada setiap titiknya, maka fungsi itu sendiri, yang diwakili oleh grafik, pastilah konstan.