Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tapi pertama-tama, mari kita ulangi persamaan yang disebut kuadrat. Persamaan berbentuk ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana x adalah variabel, dan koefisien a, b dan c adalah beberapa angka, dan a 0, disebut kotak. Seperti yang kita lihat, koefisien di x 2 tidak sama dengan nol, dan oleh karena itu koefisien di x atau suku bebas bisa sama dengan nol, dalam hal ini kita mendapatkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Ada tiga macam persamaan kuadrat tak lengkap::

1) Jika b \u003d 0, c 0, maka ax 2 + c \u003d 0;

2) Jika b 0, c \u003d 0, maka ax 2 + bx \u003d 0;

3) Jika b \u003d 0, c \u003d 0, maka ax 2 \u003d 0.

• Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kami mentransfer istilah bebas dari ke sisi kanan persamaan, kami mendapatkan

sumbu 2 = s. Karena a 0, maka kita membagi kedua bagian persamaan dengan a, lalu x 2 \u003d -c / a.

Jika /а > 0, maka persamaan memiliki dua akar

x = ±√(–c/a) .

Jika c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita coba memahami dengan contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 - 32 = 0.

Jawaban: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawaban: Persamaan tidak memiliki solusi.

• Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx \u003d 0, kami menguraikannya menjadi faktor-faktor, yaitu, kami mengambil x dari tanda kurung, kami mendapatkan x (ax + b) \u003d 0. Produknya nol jika setidaknya salah satu dari faktor adalah nol. Maka = 0 atau ах + b = 0. Memecahkan persamaan ах + b = 0, kita memperoleh ах = – b, dari mana = – b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx \u003d 0 selalu memiliki dua akar x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d - b / a. Lihat bagaimana solusi persamaan jenis ini terlihat pada diagram.

Mari kita konsolidasikan pengetahuan kita pada contoh spesifik.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 atau 3x - 12 \u003d 0

Jawaban: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Persamaan tipe ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat sederhana.

Jika ax 2 \u003d 0, maka x 2 \u003d 0. Persamaan memiliki dua akar yang sama x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Untuk kejelasan, perhatikan diagram.

Saat memecahkan Contoh 4, kami akan memastikan bahwa persamaan jenis ini diselesaikan dengan sangat sederhana.

Contoh 4 Selesaikan persamaan 7x2 = 0.

Jawaban: x 1, 2 = 0.

Tidak selalu jelas persamaan kuadrat tidak lengkap seperti apa yang harus kita selesaikan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5 selesaikan persamaannya

Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama, yaitu dengan 30

Ayo potong

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Mari kita buka tanda kurung

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Berikut adalah serupa

Mari pindahkan 99 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tandanya menjadi kebalikannya

Jawaban: tidak ada akar.

Kami telah menganalisis bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang Anda tidak akan mengalami kesulitan dengan tugas-tugas seperti itu. Berhati-hatilah saat menentukan jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap, maka Anda akan berhasil.

Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, daftar untuk pelajaran saya, kami akan memecahkan masalah bersama.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu absis. Jika parabola yang dijelaskan oleh fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x, persamaan tidak memiliki akar real. Jika parabola memotong sumbu x pada satu titik (puncak parabola), persamaan tersebut memiliki satu akar real (persamaan tersebut juga dikatakan memiliki dua akar yang bersesuaian). Jika parabola memotong sumbu x di dua titik, persamaan memiliki dua akar real.

Jika koefisien sebuah Jika positif, cabang parabola mengarah ke atas; jika negatif, cabang parabola mengarah ke bawah. Jika koefisien b positif, maka titik puncak parabola terletak di setengah bidang kiri, jika negatif - di setengah bidang kanan.

Turunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat diperoleh sebagai berikut:

sebuah x 2 + b x + c = 0
sebuah x 2 + b x=- c

Kalikan persamaan dengan 4 sebuah

4sebuah 2x2 + 4 ab x=-4 ac
4sebuah 2x2 + 4 ab x + b 2 = -4ac + b 2
(2sebuah x + b) 2 = b 2 -4ac
2sebuah x + b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Mencari akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dengan koefisien real dapat memiliki dari 0 hingga 2 akar real, tergantung pada nilai diskriminan D = b 2 − 4ac:

• untuk D > 0 ada dua akar, dan dihitung dengan rumus
• untuk D = 0, ada satu akar (dua akar yang sama atau bertepatan), multiplisitas 2:

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi dalam artikel ini akan memperkenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita pertimbangkan semuanya secara terperinci: esensi dan notasi persamaan kuadrat, menetapkan istilah terkait, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan rumus akar dan diskriminan, membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan tentu saja kami akan memberikan solusi visual dari contoh-contoh praktis.

Persamaan kuadrat, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, di mana x– variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, sedangkan sebuah tidak nol.

Seringkali, persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sebenarnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Mari kita beri contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Bilangan a , b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, sedangkan koefisien sebuah disebut yang pertama, atau senior, atau koefisien di x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien di x, sebuah c disebut anggota bebas.

Misalnya, dalam persamaan kuadrat 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koefisien tertinggi adalah 6 , koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, maka bentuk singkatan yang digunakan 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita juga memperjelas aspek ini: jika koefisien sebuah dan/atau b setara 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bagian eksplisit dalam menulis persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y + 7 = 0 koefisien senior adalah 1 dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Menurut nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibagi menjadi berkurang dan tidak berkurang.

Definisi 3

Persamaan kuadrat berkurang adalah persamaan kuadrat di mana koefisien terkemuka adalah 1 . Untuk nilai lain dari koefisien terkemuka, persamaan kuadrat tidak direduksi.

Berikut adalah beberapa contoh: persamaan kuadrat x 2 4 · x + 3 = 0 , x 2 x 4 5 = 0 dikurangi, di mana masing-masing koefisien utamanya adalah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadrat yang tidak direduksi, di mana koefisien pertama berbeda dari 1 .

Setiap persamaan kuadrat yang tidak tereduksi dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien pertama (transformasi ekuivalen). Persamaan yang ditransformasi akan memiliki akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan contoh spesifik akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x 7 = 0 . Hal ini diperlukan untuk mengubah persamaan asli menjadi bentuk tereduksi.

Keputusan

Menurut skema di atas, kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan koefisien utama 6 . Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperoleh.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya, kami menentukan bahwa sebuah 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 persis persegi, karena a = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus di mana koefisien b dan c sama dengan nol (yang mungkin, baik secara individu maupun bersama-sama), persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, di mana setidaknya salah satu koefisien b dan c(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat di mana semua koefisien numerik tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama yang persis seperti itu.

Untuk b = 0, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 dan c = 0 persamaan akan berbentuk ax2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung salah satu suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya sekaligus. Sebenarnya, fakta ini memberi nama untuk jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan 7 x 2 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 \u003d 0, 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , x 2 6 x = 0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut:

• ax2 = 0, koefisien sesuai dengan persamaan tersebut b = 0 dan c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan berturut-turut solusi dari setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan seperti itu sesuai dengan koefisien b dan c, sama dengan nol. persamaan ax2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x2 = 0, yang kita peroleh dengan membagi kedua ruas persamaan awal dengan bilangan sebuah, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah bahwa akar persamaan x2 = 0 adalah nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dijelaskan oleh sifat-sifat derajat: untuk bilangan apa pun p , tidak sama dengan nol, pertidaksamaan benar p2 > 0, yang berarti bahwa ketika p 0 persamaan p2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 = 0, ada akar unik x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akarnya adalah x=0, maka persamaan asli memiliki akar tunggal - nol.

Solusinya diringkas sebagai berikut:

3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusi persamaan a x 2 + c \u003d 0

Baris berikutnya adalah solusi persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c 0, yaitu, persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan suku dari satu sisi persamaan ke sisi yang lain, mengubah tanda ke sisi yang berlawanan dan membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang tidak sama dengan nol:

• menderita c ke sisi kanan, yang memberikan persamaan ax2 = c;
• bagi kedua ruas persamaan dengan sebuah, kita dapatkan sebagai hasilnya x = - c a .

Transformasi kami setara, masing-masing, persamaan yang dihasilkan juga setara dengan yang asli, dan fakta ini memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa nilai-nilainya? sebuah dan c tergantung pada nilai ekspresi - c a: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika a = 1 dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika a = -2 dan c=6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); itu tidak sama dengan nol karena c 0. Mari kita membahas lebih detail tentang situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi angka - c a, karena - c a 2 \u003d - c a. Mudah dipahami bahwa bilangan - - c a - juga merupakan akar dari persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - c a .

Persamaan tidak akan memiliki akar lain. Kita dapat mendemonstrasikan ini dengan menggunakan metode yang berlawanan. Pertama, mari kita atur notasi akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 dan x 1. Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 2 = - c a juga memiliki akar x2, yang berbeda dengan akarnya x 1 dan x 1. Kita tahu bahwa dengan mensubstitusi ke dalam persamaan, bukan x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi kesetaraan numerik yang adil.

Untuk x 1 dan x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan numerik, kita kurangi satu persamaan sejati dari suku lain dengan suku, yang akan memberi kita: x 1 2 x 2 2 = 0. Gunakan sifat-sifat operasi bilangan untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui hasil kali dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan adalah nol. Dari apa yang telah dikatakan, berikut ini x1 x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = x 1. Kontradiksi yang jelas muncul, karena pada awalnya disepakati bahwa akar persamaan x2 berbeda dari x 1 dan x 1. Jadi, kami telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain x = - c a dan x = - - c a .

Kami merangkum semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

• tidak akan memiliki akar di - c a< 0 ;
• akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a ketika - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0 . Solusinya perlu dicari.

Keputusan

Kami mentransfer istilah bebas ke sisi kanan persamaan, maka persamaan akan mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat angka dengan tanda minus, yang berarti: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Maka persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan x2 + 36 = 0.

Keputusan

Mari kita pindahkan 36 ke sisi kanan: x 2 = 36.
Mari kita bagi kedua bagian menjadi − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sisi kanan adalah angka positif, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak akarnya dan menulis hasil akhirnya: persamaan kuadrat yang tidak lengkap x2 + 36 = 0 memiliki dua akar x=6 atau x = -6.

Menjawab: x=6 atau x = -6.

Solusi persamaan a x 2 +b x=0

Mari kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadrat tidak lengkap, ketika c = 0. Untuk mencari solusi persamaan kuadrat yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kami menggunakan metode faktorisasi. Mari kita faktorkan polinomial, yang ada di sisi kiri persamaan, dengan mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung x. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap asli menjadi setara x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan himpunan persamaan x=0 dan ax + b = 0. persamaan ax + b = 0 linier, dan akarnya: x = b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan memiliki dua akar x=0 dan x = b a.

Mari kita gabungkan materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Solusi dari persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Keputusan

Mari kita keluarkan x di luar kurung dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara singkat, kami menulis solusi persamaan sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat, ada rumus akar:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, dimana D = b 2 4 a c adalah yang disebut diskriminan dari persamaan kuadrat.

Menulis x \u003d - b ± D 2 a pada dasarnya berarti bahwa x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus yang ditunjukkan diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Misalkan kita dihadapkan dengan tugas memecahkan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi ekuivalen:

• bagi kedua ruas persamaan dengan bilangan sebuah, berbeda dari nol, kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• pilih kotak penuh di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Setelah ini, persamaan akan berbentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sekarang dimungkinkan untuk memindahkan dua suku terakhir ke ruas kanan, mengubah tanda menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• akhirnya, kami mengubah ekspresi yang tertulis di sisi kanan persamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang ekivalen dengan persamaan awal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membahas solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (solusi persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk menarik kesimpulan mengenai akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaannya berbentuk x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya akar x = - b 2 · a jelas;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang benar adalah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang merupakan sama dengan x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yaitu. persamaan memiliki dua akar.

Dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa ada atau tidaknya akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan karenanya persamaan aslinya) bergantung pada tanda dari ekspresi b 2 - 4 a c 4 · a 2 tertulis di sisi kanan. Dan tanda dari ungkapan ini diberikan oleh tanda pembilangnya, (penyebutnya 4 a 2 akan selalu positif), yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c. Ekspresi ini b 2 4 a c nama diberikan - diskriminan dari persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai penunjukannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar nyata, dan, jika demikian, berapa banyak akar - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis ulang dengan menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rekap kesimpulannya:

Definisi 9

• pada D< 0 persamaan tidak memiliki akar real;
• pada D=0 persamaan memiliki akar tunggal x = - b 2 · a ;
• pada D > 0 persamaan memiliki dua akar: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar ini dapat ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan ketika kita membuka modul dan mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penalaran kita adalah turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 4 a c.

Rumus ini memungkinkan, ketika diskriminan lebih besar dari nol, untuk menentukan kedua akar real. Ketika diskriminan adalah nol, menerapkan kedua rumus akan memberikan akar yang sama sebagai satu-satunya solusi untuk persamaan kuadrat. Dalam kasus ketika diskriminan negatif, mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang akan membawa kita melampaui bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar real, tetapi sepasang akar konjugat kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya ini dilakukan ketika diperlukan untuk menemukan akar kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, pencarian biasanya tidak dimaksudkan untuk kompleks, tetapi untuk akar real dari persamaan kuadrat. Maka optimal, sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, tentukan dulu diskriminannya dan pastikan tidak negatif (jika tidak kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan kemudian lanjutkan untuk menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, diperlukan:

• sesuai dengan rumus D = b 2 4 a c cari nilai diskriminannya;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D = 0 temukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - b 2 · a ;
• untuk D > 0, tentukan dua akar real persamaan kuadrat dengan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa ketika diskriminan adalah nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a , itu akan memberikan hasil yang sama dengan rumus x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Kami menyajikan solusi dari contoh untuk berbagai nilai diskriminan.

Contoh 6

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Keputusan

Kami menulis koefisien numerik dari persamaan kuadrat: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = 6. Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, mis. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang dengannya kita substitusikan koefisien a , b dan c ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 4 a c = 2 2 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapatkan D > 0, yang berarti bahwa persamaan asli akan memiliki dua akar real.
Untuk menemukannya, kami menggunakan rumus akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, dengan mengganti nilai yang sesuai, kami mendapatkan: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan mengeluarkan faktor dari tanda akar, diikuti dengan pengurangan pecahan:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 4 x 2 + 28 x 49 = 0.

Keputusan

Mari kita tentukan diskriminannya: D = 28 2 4 (− 4) (− 49) = 784 784 = 0. Dengan nilai diskriminan ini, persamaan asli hanya akan memiliki satu akar, ditentukan oleh rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Menjawab: x = 3, 5.

Contoh 8

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Keputusan

Koefisien numerik dari persamaan ini adalah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk menemukan diskriminan: D = b 2 4 · a · c = 6 2 4 · 5 · 2 = 36 40 = 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Dalam kasus ketika tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar dengan melakukan operasi dengan bilangan kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Menjawab: tidak ada akar nyata; akar kompleksnya adalah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Dalam kurikulum sekolah, sebagai standar, tidak ada keharusan untuk mencari akar yang kompleks, oleh karena itu, jika diskriminan didefinisikan sebagai negatif dalam pengambilan keputusan, jawabannya segera dicatat bahwa tidak ada akar nyata.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 a (D = b 2 4 a c) memungkinkan untuk memperoleh rumus lain, lebih ringkas, memungkinkan Anda menemukan solusi untuk persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau dengan koefisien dari bentuk 2 a n, misalnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Misalkan kita dihadapkan pada tugas untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak sesuai dengan algoritma: kami menentukan diskriminan D = (2 n) 2 4 a c = 4 n 2 4 a c = 4 (n 2 a c) , dan kemudian menggunakan rumus akar:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c.

Biarkan ekspresi n 2 a c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dengan kata lain, D1 adalah seperempat dari diskriminan. Jelas, tanda D 1 sama dengan tanda D, yang berarti bahwa tanda D 1 juga dapat berfungsi sebagai indikator ada tidaknya akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, perlu:

• cari D 1 = n 2 a c ;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - n a ;
• untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 5 · x 2 6 · x 32 = 0.

Keputusan

Koefisien kedua dari persamaan yang diberikan dapat direpresentasikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat yang diberikan menjadi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x 32 = 0 , di mana a = 5 , n = 3 dan c = 32 .

Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 a c = (− 3) 2 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang dihasilkan adalah positif, yang berarti persamaan tersebut memiliki dua akar real. Kami mendefinisikannya dengan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini solusinya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih nyaman untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih sering, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua bagiannya dengan angka tertentu. Sebagai contoh, di atas kami telah menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, diperoleh dengan membagi kedua bagiannya dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan jika koefisien persamaan kuadrat bukan bilangan prima yang relatif. Kemudian, biasanya, kedua bagian persamaan dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan gcd dari nilai absolut koefisiennya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari kita bagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadrat yang setara 2 · x 2 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat, koefisien pecahan biasanya dihilangkan. Dalam hal ini, kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya, jika setiap bagian dari persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) \u003d 6, maka akan ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Akhirnya, kami mencatat bahwa hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat, mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, Anda dapat beralih ke versi yang disederhanakan 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat x = - b ± D 2 · a menyatakan akar persamaan dalam bentuk koefisien numeriknya. Berdasarkan rumus ini, kami memiliki kesempatan untuk mengatur ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya adalah koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 · x 2 7 · x + 22 = 0, dapat segera ditentukan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7 3 , dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 3 .

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

”, yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini, kita akan mengeksplorasi apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya.

Apa itu persamaan kuadrat?

Penting!

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi yang tidak diketahui berdiri.

Jika tingkat maksimum yang tidak diketahui berdiri adalah "2", maka Anda memiliki persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" dan "c" - angka yang diberikan.

• "a" - koefisien pertama atau senior;
• "b" - koefisien kedua;
• "c" adalah anggota gratis.

Untuk menemukan "a", "b" dan "c" Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Mari berlatih menentukan koefisien "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadrat.

5x2 - 14x + 17 = 0 7x 2 13x + 8 = 0 x 2 + x +

persamaan	Kemungkinan
a=5 b = 14 c = 17
a = 7 b = 13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = 8

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat

Tidak seperti persamaan linier, persamaan khusus digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. rumus mencari akar.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda perlu:

• bawa persamaan kuadrat ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0". Artinya, hanya "0" yang harus tetap berada di sisi kanan;
• gunakan rumus akar :

Mari kita gunakan contoh untuk mengetahui cara menerapkan rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Mari selesaikan persamaan kuadrat.

X 2 - 3x - 4 = 0

Persamaan "x 2 - 3x - 4 = 0" telah direduksi menjadi bentuk umum "ax 2 + bx + c = 0" dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkan rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Dengan bantuannya, persamaan kuadrat apa pun diselesaikan.

Dalam rumus "x 1; 2 \u003d" ekspresi root sering diganti
"b 2 4ac" ke huruf "D" dan disebut diskriminan. Konsep diskriminan dibahas secara lebih rinci dalam pelajaran "Apa itu diskriminan".

Perhatikan contoh lain dari persamaan kuadrat.

x 2 + 9 + x = 7x

Dalam bentuk ini, agak sulit untuk menentukan koefisien "a", "b", dan "c". Pertama-tama mari kita bawa persamaan ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 6x + 9 = 0

Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk akarnya.

X 1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6

2

x=3
Jawabannya: x = 3

Ada kalanya tidak ada akar dalam persamaan kuadrat. Situasi ini terjadi ketika angka negatif muncul dalam rumus di bawah akar.

Persamaan kuadrat, atau persamaan aljabar derajat ke-2 dengan satu yang tidak diketahui, umumnya ditulis sebagai berikut:

Ax 2 + bx + c = 0,

• a, b, c adalah koefisien yang diketahui, dengan a 0.
• x tidak diketahui.

3x2 + 8x - 5 = 0.

2. Jenis persamaan kuadrat

Membagi kedua ruas persamaan dengan sebuah, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi:

x 2 + px + q = 0,

• p = b/a
• q = c/a

Jika salah satu koefisien b, c atau keduanya sama dengan 0, maka persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

• x 2 +8x-5=0 adalah persamaan kuadrat tereduksi lengkap.
• 3x 2 -5=0 bukan persamaan kuadrat tak tereduksi lengkap.
• x 2 -8x=0 bukan persamaan kuadrat tereduksi lengkap.

Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk

X 2 \u003d m

yang paling sederhana dan paling penting, karena solusi dari setiap persamaan kuadrat diberikan padanya.

Tiga kasus yang mungkin:

• m = 0, x = 0
• m > 0, x = ±√‾m
• m< 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Penyelesaian persamaan kuadrat

Akar persamaan kuadrat lengkap yang tidak direduksi ditemukan dengan rumus

x \u003d (-b ± (b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± (1)) / 6

4. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat. diskriminatif.

Menurut rumus akar persamaan kuadrat, mungkin ada tiga kasus, ditentukan oleh ekspresi radikal (b 2 - 4ac). Ini disebut pembeda(membedakan).

Menyatakan diskriminan dengan huruf D, kita dapat menulis:

• D > 0, persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.
• D = 0, persamaan memiliki dua akar real yang sama.
• D< 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.

x \u003d (-b ± (b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± (7 2 - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± (1)) / 6

5. Rumus yang berguna dalam kehidupan

Seringkali ada masalah mengubah volume menjadi luas atau panjang, dan masalah kebalikannya adalah mengubah luas menjadi volume. Misalnya, papan dijual dalam kubus (meter kubik), dan kita perlu menghitung berapa luas dinding yang dapat dilapisi dengan papan yang terdapat dalam volume tertentu, lihat di bawah.