Dan seterusnya, adalah logis untuk berkenalan dengan persamaan jenis lain. Baris berikutnya adalah persamaan linear, studi tujuan yang dimulai pada pelajaran aljabar di kelas 7.

Jelas bahwa pertama-tama Anda perlu menjelaskan apa itu persamaan linier, memberikan definisi persamaan linier, koefisiennya, menunjukkan bentuk umumnya. Kemudian Anda dapat mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan linier tergantung pada nilai koefisien, dan bagaimana akarnya ditemukan. Ini akan memungkinkan Anda untuk beralih ke pemecahan contoh, dan dengan demikian mengkonsolidasikan teori yang dipelajari. Pada artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membahas secara rinci semua poin teoretis dan praktis mengenai persamaan linier dan solusinya.

Katakanlah segera bahwa di sini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan linier dengan satu variabel, dan dalam artikel terpisah kita akan mempelajari prinsip-prinsip penyelesaian persamaan linear dua variabel.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan linier?

Definisi persamaan linier diberikan oleh bentuk notasinya. Selain itu, dalam buku teks matematika dan aljabar yang berbeda, rumusan definisi persamaan linier memiliki beberapa perbedaan yang tidak mempengaruhi esensi masalah.

Misalnya, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7 oleh Yu.N. Makarycheva dan lainnya, persamaan linier didefinisikan sebagai berikut:

Definisi.

Ketik persamaan kapak = b, di mana x adalah variabel, a dan b adalah beberapa angka, disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Mari kita berikan contoh persamaan linier yang sesuai dengan definisi bersuara. Misalnya, 5 x=10 adalah persamaan linier dengan satu variabel x , di sini koefisien a adalah 5 , dan angka b adalah 10 . Contoh lain: 2.3 y=0 juga merupakan persamaan linier, tetapi dengan variabel y , di mana a=−2.3 dan b=0 . Dan pada persamaan linear x=−2 dan x=3.33 a tidak ada secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan 1, sedangkan pada persamaan pertama b=−2 dan persamaan kedua - b=3.33 .

Dan setahun sebelumnya, dalam buku teks matematika oleh N. Ya. Vilenkin, persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui, selain persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang dapat direduksi menjadi bentuk ini dengan mentransfer suku dari satu bagian dari persamaan ke yang lain dengan tanda yang berlawanan, serta dengan mengurangi suku yang sama. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x=2 x+6 , dll. juga linier.

Pada gilirannya, definisi berikut diberikan dalam buku teks aljabar untuk 7 kelas oleh A. G. Mordkovich:

Definisi.

Persamaan linier dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk a x+b=0 , di mana a dan b adalah beberapa bilangan, yang disebut koefisien persamaan linier.

Misalnya, persamaan linier semacam ini adalah 2 x−12=0, di sini koefisien a sama dengan 2, dan b sama dengan 12, dan 0,2 y+4.6=0 dengan koefisien a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada saat yang sama, ada contoh persamaan linier yang bentuknya bukan a x+b=0 , tetapi a x=b , misalnya 3 x=12 .

Mari, agar kita tidak memiliki perbedaan di masa depan, di bawah persamaan linier dengan satu variabel x dan koefisien a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x+b=0 . Jenis persamaan linier ini tampaknya menjadi yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar gelar pertama. Dan semua persamaan lain yang ditunjukkan di atas, serta persamaan yang direduksi menjadi bentuk a x+b=0 dengan bantuan transformasi yang setara, akan disebut persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 adalah persamaan linier, dan 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, dst. adalah persamaan linier.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?

Sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana persamaan linear a x+b=0 diselesaikan. Dengan kata lain, inilah saatnya untuk mengetahui apakah persamaan linear memiliki akar, dan jika demikian, berapa banyak dan bagaimana menemukannya.

Kehadiran akar persamaan linier tergantung pada nilai koefisien a dan b. Dalam hal ini, persamaan linear a x+b=0 memiliki

• satu-satunya akar di a≠0 ,
• tidak memiliki akar untuk a=0 dan b≠0 ,
• memiliki banyak akar tak hingga untuk a=0 dan b=0 , dalam hal ini bilangan apa pun adalah akar persamaan linier.

Mari kita jelaskan bagaimana hasil ini diperoleh.

Kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan, adalah mungkin untuk berpindah dari persamaan asli ke persamaan yang setara, yaitu, ke persamaan dengan akar yang sama atau, seperti yang asli, tanpa akar. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan transformasi setara berikut:

• transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan,
• dan juga mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Jadi, dalam persamaan linier dengan satu variabel berbentuk a x+b=0, kita dapat memindahkan suku b dari ruas kiri ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan. Dalam hal ini, persamaan akan berbentuk a x = b.

Dan kemudian pembagian kedua bagian persamaan dengan angka a menunjukkan dirinya sendiri. Tetapi ada satu hal: angka a bisa sama dengan nol, dalam hal ini pembagian seperti itu tidak mungkin. Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita akan mengasumsikan bahwa angka a berbeda dari nol, dan kemudian mempertimbangkan kasus nol secara terpisah.

Jadi, ketika a tidak sama dengan nol, maka kita dapat membagi kedua bagian persamaan a x=−b dengan a , setelah itu diubah menjadi bentuk x=(−b): a , hasil ini dapat ditulis menggunakan a garis padat sebagai.

Jadi, untuk a≠0, persamaan linier a·x+b=0 ekuivalen dengan persamaan , dari mana akarnya terlihat.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa akar ini unik, yaitu, persamaan linier tidak memiliki akar lain. Ini memungkinkan Anda untuk melakukan metode sebaliknya.

Mari kita nyatakan akarnya sebagai x 1 . Misalkan ada akar lain dari persamaan linier, yang kita nyatakan x 2, dan x 2 x 1, yang karena definisi bilangan yang sama melalui selisih ekuivalen dengan kondisi x 1 x 2 0 . Karena x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan linear a x+b=0, maka persamaan numerik a x 1 +b=0 dan a x 2 +b=0 terjadi. Kita dapat mengurangkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan-persamaan ini, di mana sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukannya, kita memiliki a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , dari mana a (x 1 x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a (x 1 x 2)=0 . Dan persamaan ini tidak mungkin, karena keduanya a≠0 dan x 1 x 2 0. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, yang membuktikan keunikan akar persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0 .

Jadi kita telah memecahkan persamaan linear a x+b=0 dengan a≠0 . Hasil pertama yang diberikan pada awal subbagian ini dibenarkan. Ada dua lagi yang memenuhi syarat a=0 .

Untuk a=0 persamaan linear a·x+b=0 menjadi 0·x+b=0 . Dari persamaan ini dan sifat mengalikan bilangan dengan nol, dapat disimpulkan bahwa berapa pun bilangan yang kita ambil sebagai x, ketika kita mensubstitusikannya ke dalam persamaan 0 x+b=0, kita mendapatkan persamaan numerik b=0. Persamaan ini benar ketika b=0 , dan dalam kasus lain ketika b≠0 persamaan ini salah.

Oleh karena itu, dengan a=0 dan b=0, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier a x+b=0, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x memberikan persamaan numerik yang benar 0=0. Dan untuk a=0 dan b≠0, persamaan linear a x+b=0 tidak memiliki akar, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x menghasilkan persamaan numerik yang salah b=0.

Pembenaran di atas memungkinkan untuk membentuk urutan tindakan yang memungkinkan penyelesaian persamaan linier apa pun. Jadi, algoritma untuk memecahkan persamaan linear adalah:

• Pertama, dengan menulis persamaan linier, kita menemukan nilai koefisien a dan b.
• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, yaitu, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier ini.
• Jika a berbeda dari nol, maka
• koefisien b dipindahkan ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, sedangkan persamaan linier diubah menjadi bentuk a x=−b ,
• setelah itu kedua bagian persamaan yang dihasilkan dibagi dengan angka bukan nol a, yang memberikan akar persamaan linier asli yang diinginkan.

Algoritma tertulis adalah jawaban lengkap untuk pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan persamaan linier.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dikatakan bahwa algoritma serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b. Perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa ketika a≠0, kedua bagian persamaan langsung dibagi dengan angka ini, di sini b sudah berada di bagian persamaan yang diinginkan dan tidak perlu dipindahkan.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b, algoritma berikut digunakan:

• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan tersebut memiliki banyak akar tak terhingga, yang merupakan bilangan apa pun.
• Jika a=0 dan b≠0 , maka persamaan awal tidak memiliki akar.
• Jika a bukan nol, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan bilangan bukan nol a, dari mana akar persamaan yang sama dengan b / a ditemukan satu-satunya.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita lanjutkan untuk berlatih. Mari kita menganalisis bagaimana algoritma untuk memecahkan persamaan linier diterapkan. Mari kita sajikan solusi dari contoh tipikal yang sesuai dengan nilai koefisien persamaan linier yang berbeda.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0 x−0=0 .

Keputusan.

Dalam persamaan linier ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh karena itu, persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan ini.

Menjawab:

x adalah bilangan apa saja.

Contoh.

Apakah persamaan linear 0 x+2.7=0 memiliki solusi?

Keputusan.

Dalam hal ini, koefisien a sama dengan nol, dan koefisien b dari persamaan linier ini sama dengan 2,7, yaitu berbeda dari nol. Oleh karena itu, persamaan linier tidak memiliki akar.

Persamaan linear. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Persamaan linear.

Persamaan linier bukanlah topik yang paling sulit dalam matematika sekolah. Tetapi ada beberapa trik yang dapat membingungkan bahkan siswa yang terlatih. Haruskah kita mencari tahu?)

Persamaan linear biasanya didefinisikan sebagai persamaan bentuk:

kapak + b = 0 di mana a dan b- nomor apapun.

2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Disini a = 0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Disini a=12, b=1/2

Tidak ada yang rumit, kan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah bilangan apa saja"... Dan jika Anda memperhatikan, tetapi dengan sembrono memikirkannya?) Lagi pula, jika a=0, b=0(ada angka yang mungkin?), maka kita mendapatkan ekspresi lucu:

Tapi itu tidak semua! Jika, katakan, a=0, sebuah b=5, ternyata sesuatu yang sangat tidak masuk akal:

Apa yang meresahkan dan merusak kepercayaan diri dalam matematika, ya ...) Terutama dalam ujian. Tetapi dari ekspresi aneh ini, Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan anehnya, X ini sangat mudah ditemukan. Kita akan belajar bagaimana melakukannya. Dalam pelajaran ini.

Bagaimana mengenali persamaan linier dalam penampilan? Itu tergantung pada penampilan apa.) Triknya adalah bahwa persamaan linier disebut tidak hanya persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga setiap persamaan yang direduksi menjadi bentuk ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu berkurang atau tidak?)

Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan di mana hanya ada yang tidak diketahui di tingkat pertama, ya angka. Dan persamaannya tidak pecahan dibagi tidak dikenal , itu penting! Dan pembagian dengan nomor, atau pecahan numerik - itu saja! Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x di kotak, di kubus, dll., dan tidak ada x di penyebut, mis. Tidak pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya

tidak bisa disebut linier. Di sini x semuanya dalam derajat pertama, tetapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, dan persamaan kuadrat, dan apa pun yang Anda suka.

Ternyata tidak mungkin menemukan persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas, biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya, kan? Dalam tugas, persamaan dipesan memutuskan. Ini membuatku senang.)

Solusi persamaan linier. Contoh.

Seluruh solusi persamaan linier terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (sebanyak dua!) mendasari solusi semua persamaan matematika. Dengan kata lain, keputusan setiap Persamaan dimulai dengan transformasi yang sama ini. Dalam kasus persamaan linier, itu (solusi) pada transformasi ini berakhir dengan jawaban lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, kan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier.

Mari kita mulai dengan contoh paling sederhana. Tanpa jebakan. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut.

x - 3 = 2 - 4x

Ini adalah persamaan linier. Xs semuanya pangkat pertama, tidak ada pembagian dengan X. Tapi, sebenarnya, kami tidak peduli apa persamaannya. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan x di sisi kiri persamaan, semuanya tanpa x (angka) di sebelah kanan.

Untuk melakukan ini, Anda perlu mentransfer - 4x ke sisi kiri, dengan perubahan tanda, tentu saja, tapi - 3 - ke kanan. Ngomong-ngomong, ini transformasi persamaan pertama yang identik. Terkejut? Jadi, mereka tidak mengikuti tautan, tetapi sia-sia ...) Kami mendapatkan:

x + 4x = 2 + 3

Kami memberikan yang serupa, kami mempertimbangkan:

Apa yang kita butuhkan untuk benar-benar bahagia? Ya, sehingga ada X bersih di sebelah kiri! Lima menghalangi. Singkirkan lima dengan transformasi identik kedua persamaan. Yaitu, kami membagi kedua bagian persamaan dengan 5. Kami mendapatkan jawaban yang sudah jadi:

Sebuah contoh dasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak terlalu jelas mengapa saya mengingat transformasi identik di sini? OKE. Kami mengambil banteng dengan tanduk.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih mengesankan.

Sebagai contoh, inilah persamaan ini:

Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Bisa jadi. Langkah-langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Dan Anda bisa segera, dengan cara yang universal dan kuat. Kecuali, tentu saja, di gudang senjata Anda ada transformasi persamaan yang identik.

Saya mengajukan pertanyaan kunci kepada Anda: Apa yang paling Anda tidak suka tentang persamaan ini?

95 orang dari 100 akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Jadi kita langsung mulai dengan transformasi identik kedua. Apa yang Anda butuhkan untuk mengalikan pecahan di sebelah kiri agar penyebutnya benar-benar berkurang? Itu benar, 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua ruas dengan nomor yang sama. Bagaimana kita keluar? Mari kita kalikan kedua ruas dengan 12! Itu. ke penyebut yang sama. Kemudian tiga akan berkurang, dan empat. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Begini tampilan langkah pertama:

Memperluas tanda kurung:

Catatan! Pembilang (x+2) Saya mengambil dalam tanda kurung! Ini karena ketika mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan dengan keseluruhan, seluruhnya! Dan sekarang Anda dapat mengurangi pecahan dan mengurangi:

Membuka tanda kurung yang tersisa:

Bukan contoh, tetapi kesenangan murni!) Sekarang kita mengingat mantra dari tingkat yang lebih rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:

Berikut beberapa seperti:

Dan kami membagi kedua bagian dengan 25, mis. terapkan transformasi kedua lagi:

Itu saja. Menjawab: X=0,16

Perhatikan: untuk membawa persamaan awal yang membingungkan ke bentuk yang menyenangkan, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identik- terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian persamaan dengan nomor yang sama. Ini adalah cara universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Benar-benar ada. Itulah mengapa saya terus mengulangi transformasi identik ini sepanjang waktu.)

Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linier sederhana. Kami mengambil persamaan dan menyederhanakannya dengan bantuan transformasi identik sampai kami mendapatkan jawabannya. Masalah utama di sini adalah dalam perhitungan, dan bukan dalam prinsip solusi.

Tapi ... Ada kejutan seperti itu dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar yang bisa membuat mereka pingsan ...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Mari kita sebut mereka kasus khusus.

Kasus khusus dalam menyelesaikan persamaan linear.

Kejutan dulu.

Misalkan Anda menemukan persamaan dasar, seperti:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Sedikit bosan, kita pindahkan dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan ... Dengan perubahan tanda, semuanya chinar ... Kami mendapatkan:

2x-5x+3x=5-2-3

Kami percaya, dan ... astaga! Kita mendapatkan:

Dalam dirinya sendiri, kesetaraan ini tidak dapat ditolak. Nol benar-benar nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menulis dalam jawabannya, apa x sama dengan. Kalau tidak, solusinya tidak masuk hitungan, ya...) Jalan buntu?

Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan paling umum menyelamatkan. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Itu berarti, temukan semua nilai x yang, ketika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita persamaan yang benar.

Tapi kami memiliki persamaan yang benar sudah telah terjadi! 0=0, dimana sebenarnya?! Masih mencari tahu apa x ini diperoleh. Berapa nilai x yang dapat disubstitusikan menjadi asli persamaan jika x ini masih menyusut ke nol? Ayo?)

Ya!!! X bisa diganti setiap! Apa yang kamu inginkan. Setidaknya 5, setidaknya 0,05, setidaknya -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat memeriksanya.) Substitusikan nilai x apa pun ke dalam asli persamaan dan menghitung. Sepanjang waktu kebenaran murni akan diperoleh: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.

Inilah jawaban Anda: x adalah bilangan apa saja.

Jawabannya dapat ditulis dalam simbol matematika yang berbeda, esensinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.

Kejutan kedua.

Mari kita ambil persamaan linier dasar yang sama dan ubah hanya satu angka di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Setelah transformasi identik yang sama, kami mendapatkan sesuatu yang menarik:

Seperti ini. Memecahkan persamaan linier, mendapat persamaan yang aneh. Secara matematis, kita memiliki persamaan yang salah. Dan dalam istilah sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang cukup baik untuk solusi persamaan yang benar.)

Sekali lagi, kami berpikir berdasarkan aturan umum. Apa x, ketika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita benar persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada x seperti itu. Apa pun yang Anda ganti, semuanya akan berkurang, omong kosong akan tetap ada.)

Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.

Ini juga merupakan jawaban yang benar-benar valid. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering terjadi.

Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya Xs dalam proses penyelesaian persamaan (tidak hanya linier) tidak akan mengganggu Anda sama sekali. Masalahnya sudah akrab.)

Sekarang kita telah berurusan dengan semua jebakan dalam persamaan linier, masuk akal untuk menyelesaikannya.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Kementerian Pendidikan Umum dan Kejuruan Federasi Rusia

Institusi pendidikan kota

Gimnasium No.12

menulis

pada topik: Persamaan dan cara menyelesaikannya

Selesai: siswa kelas 10 "A"

Krutko Evgeny

Diperiksa: guru matematika Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Rencana................................................. ........................................................ . ............................... satu

Pendahuluan ................................................. . ................................................... .. ................................. 2

Bagian utama................................................ ........................................................ . ............... 3

Kesimpulan................................................. ........................................................ . ................ 25

Lampiran................................................. ........................................................ . ............... 26

Daftar referensi ................................................................... ................................................................... ... 29

Rencana.

Pengantar.

Referensi sejarah.

Persamaan. persamaan aljabar.

a) Definisi dasar.

b) Persamaan linier dan cara menyelesaikannya.

c) Persamaan kuadrat dan metode penyelesaiannya.

d) Persamaan dua suku, cara untuk menyelesaikannya.

e) Persamaan kubik dan metode penyelesaiannya.

f) Persamaan biquadratic dan metode penyelesaiannya.

g) Persamaan derajat keempat dan metode penyelesaiannya.

g) Persamaan derajat tinggi dan metode dari solusi.

h) Persamaan aljabar rasional dan metodenya

i) Persamaan irasional dan metode penyelesaiannya.

j) Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda.

nilai mutlak dan cara mengatasinya.

Persamaan transendental.

a) Persamaan eksponensial dan cara menyelesaikannya.

b) Persamaan logaritma dan cara menyelesaikannya.

pengantar

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah pendidikan umum adalah komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum orang modern. Hampir segala sesuatu yang mengelilingi orang modern semuanya terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Dan kemajuan terbaru dalam fisika, teknik dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, penyelesaian banyak masalah praktis direduksi menjadi pemecahan berbagai jenis persamaan yang perlu dipelajari untuk dipecahkan.

Karya ini merupakan upaya untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang dipelajari pada topik di atas. Materi sudah saya susun menurut tingkat kerumitannya, dimulai dari yang paling sederhana. Ini mencakup kedua jenis persamaan yang kita ketahui dari kursus aljabar sekolah, dan materi tambahan. Pada saat yang sama, saya mencoba menunjukkan jenis persamaan yang tidak dipelajari di kursus sekolah, tetapi pengetahuan yang mungkin diperlukan ketika memasuki lembaga pendidikan tinggi. Dalam pekerjaan saya, ketika memecahkan persamaan, saya tidak membatasi diri saya hanya pada solusi nyata, tetapi juga menunjukkan solusi yang kompleks, karena saya percaya bahwa jika tidak, persamaan tersebut tidak akan terpecahkan. Lagi pula, jika tidak ada akar real dalam persamaan, maka ini tidak berarti tidak ada solusi. Sayangnya, karena keterbatasan waktu, saya tidak dapat mempresentasikan semua materi yang saya miliki, namun dengan materi yang disajikan di sini pun, banyak pertanyaan yang mungkin muncul. Saya berharap bahwa pengetahuan saya cukup untuk menjawab sebagian besar pertanyaan. Jadi, saya akan menyajikan materi.

Matematika... mengungkapkan keteraturan

simetri dan kepastian,

dan ini adalah jenis kecantikan yang paling penting.

Aristoteles.

Referensi sejarah

Di masa-masa yang jauh itu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang kesetaraan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin belum ada koin atau dompet. Tetapi di sisi lain, ada tumpukan, serta pot, keranjang, yang sempurna untuk peran penyimpanan-tembolok yang berisi jumlah item yang tidak diketahui. "Kami mencari tumpukan, yang, bersama dengan dua pertiganya, setengah dan satu ketujuh, adalah 37 ...", juru tulis Mesir yang diajarkan Ahmes pada milenium II SM. Dalam masalah matematika kuno Mesopotamia, India, Cina, Yunani, jumlah yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, totalitas hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Ahli-ahli Taurat, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu berhitung, mengatasi tugas-tugas seperti itu dengan cukup berhasil.

Sumber-sumber yang telah sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa metode umum untuk memecahkan masalah dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus, tidak ada satu pun lempengan tanah liat yang memberikan penjelasan tentang teknik-teknik ini. Penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar jahat seperti: "Lihat!", "Lakukan!", "Anda menemukannya dengan benar." Dalam hal ini, pengecualian adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusi mereka.

Namun, karya cendekiawan Baghdad abad ke-9 menjadi manual pertama untuk memecahkan masalah yang menjadi dikenal luas. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari judul bahasa Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kitab Pemulihan dan Kontras") - seiring waktu berubah menjadi kata "aljabar", yang dikenal semua orang, dan karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak dalam pengembangan ilmu pemecahan persamaan.

persamaan. persamaan aljabar

Definisi dasar

Dalam aljabar, dua jenis persamaan dianggap - identitas dan persamaan.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua (diterima) nilai huruf ). Untuk menuliskan identitas beserta tandanya

tanda juga digunakan.

persamaan- ini adalah kesetaraan yang dipenuhi hanya untuk beberapa nilai huruf yang termasuk di dalamnya. Huruf-huruf yang termasuk dalam persamaan, sesuai dengan kondisi masalah, bisa tidak sama: beberapa dapat mengambil semua nilai yang diizinkan (disebut parameter atau koefisien persamaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf pertama dari alfabet Latin:

, , ... – atau huruf yang sama, dengan indeks: , , ... atau , , ...); orang lain yang nilainya dapat ditemukan disebut tidak dikenal(biasanya dilambangkan dengan huruf terakhir dari alfabet Latin: , , , ... - atau dengan huruf yang sama, dengan indeks: , , ... atau , , ...).

Secara umum persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

(, , ..., ).

Bergantung pada jumlah yang tidak diketahui, persamaan tersebut disebut persamaan dengan satu, dua, dll. yang tidak diketahui.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan Pelajaran:

Tutorial:

• Menggeneralisasikan pengetahuan tentang semua jenis persamaan, menekankan pentingnya semua metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan.
• Mengaktifkan hasil karya siswa melalui berbagai teknik di dalam kelas.
• Uji keterampilan teoritis dan praktis dalam memecahkan persamaan.
• Tunjukkan bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan beberapa cara

Mengembangkan:

• Meningkatkan minat siswa pada mata pelajaran melalui penggunaan TIK.
• Pembiasaan siswa dengan materi sejarah pada topik.
• Perkembangan aktivitas mental dalam menentukan jenis persamaan dan cara penyelesaiannya.

Pendidikan:

• Menumbuhkan kedisiplinan di dalam kelas.
• Perkembangan kemampuan untuk merasakan keindahan, dalam diri sendiri, pada orang lain dan di dunia sekitar.

Jenis pelajaran:

• Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Jenis pelajaran:

• Gabungan.

Bahan dan peralatan teknis:

• Komputer
• Layar
• Proyektor
• Disk dengan presentasi tema

Metode dan teknik:

• Menggunakan presentasi
• Percakapan frontal
• pekerjaan lisan
• Momen permainan
• Bekerja berpasangan
• Pekerjaan papan tulis
• Bekerja di notebook

Rencana belajar:

1. Momen organisasi (1 menit)
2. Menguraikan topik pelajaran (3 menit)
3. Presentasi topik dan tujuan pelajaran (1 menit)
4. Pemanasan teoretis (3 menit)
5. Wisata sejarah (3 menit)
6. Game "Hapus kelebihannya" (2 menit)
7. Karya kreatif (2 menit)
8. Tugas "Temukan kesalahannya" (2 menit)
9. Memecahkan satu persamaan dalam beberapa cara (pada slide) (3 menit)
10. Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan tulis) (24 menit)
11. Kerja mandiri berpasangan dengan penjelasan lebih lanjut (5 menit)
12. Pekerjaan rumah individu (1 menit)
13. Hasil dari pelajaran refleksi (1 menit)

Epigraf pelajaran:

“Belajar hanya bisa menyenangkan, untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.”
A. Prancis

Ringkasan pelajaran

bagian organisasi

Saya memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran, menandai mereka yang tidak hadir dalam pelajaran. Guys, penulis Prancis abad ke-19 A. France pernah berkata, “Belajar hanya bisa menyenangkan, untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.” Maka marilah kita ikuti nasehat penulis dalam pelajaran kita dan cernalah ilmu dengan penuh nafsu, karena akan bermanfaat dalam kehidupan kita.

Menguraikan topik pelajaran

Untuk beralih ke tugas yang lebih sulit, mari kita regangkan otak kita dengan tugas-tugas sederhana. Topik pelajaran kami dienkripsi, dengan menyelesaikan tugas lisan dan menemukan jawabannya, mengetahui bahwa setiap jawaban memiliki hurufnya sendiri, kami akan mengungkapkan topik pelajaran. Slide presentasi 3

Pesan tentang topik dan tujuan pelajaran

Anda sendiri yang menamai topik pelajaran hari ini

“Jenis Persamaan dan Cara Menyelesaikannya”. Slide presentasi 4

Tujuan: Mengingat dan menggeneralisasi semua jenis persamaan dan cara menyelesaikannya. Selesaikan satu persamaan dengan segala cara. Slide presentasi 5 Membaca pernyataan Einstein Slide presentasi 5

Pemanasan teoretis

Soal Presentasi slide 7

jawaban

1. Persamaan yang mengandung variabel yang dilambangkan dengan beberapa huruf.
2. Ini berarti menemukan semua akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akarnya.
3. Nilai variabel di mana persamaan menjadi kesetaraan sejati.
4. Setelah definisi ini, baca puisi tentang persamaan Presentasi slide 12,13,14

Jawaban atas 2 pertanyaan terakhir Slide presentasi 9,10,11

Penyimpangan sejarah

Catatan sejarah tentang “Siapa dan kapan menemukan persamaan” Slide presentasi 15

Bayangkan seorang ibu primitif bernama ... namun, dia mungkin bahkan tidak memiliki nama, mengambil 12 apel dari pohon untuk diberikan kepada masing-masing dari 4 anaknya. Dia mungkin tidak tahu bagaimana menghitung tidak hanya sampai 12, tetapi juga sampai empat, dan tentu saja tidak tahu bagaimana membagi 12 dengan 4. Dan dia membagi apel, mungkin seperti ini: pertama dia memberi setiap anak sebuah apel, lalu apel lagi, lalu lagi sendirian dan kemudian saya melihat tidak ada lagi apel dan anak-anak senang. Jika kita menuliskan tindakan ini dalam bahasa matematika modern, maka kita mendapatkan x4 = 12, yaitu, ibu memecahkan masalah menyusun persamaan. Tampaknya tidak mungkin untuk menjawab pertanyaan di atas. Masalah yang mengarah pada solusi persamaan telah diselesaikan oleh orang-orang berdasarkan akal sehat sejak mereka menjadi orang. Bahkan 3-4 ribu tahun sebelum zaman kita, orang Mesir dan Babilonia mampu menyelesaikan persamaan paling sederhana, yang bentuknya dan metode penyelesaiannya tidak mirip dengan yang modern. Orang Yunani mewarisi pengetahuan orang Mesir, dan melangkah lebih jauh. Keberhasilan terbesar dalam pengembangan doktrin persamaan dicapai oleh ilmuwan Yunani Diophantus (abad III), tentang siapa mereka menulis:

Dia memecahkan banyak masalah.
Dan diprediksi bau, dan mandi.
Sungguh, ilmunya luar biasa.

Kontribusi besar untuk solusi persamaan dibuat oleh matematikawan Asia Tengah Muhammad al Khorezmi (abad ke-9). Bukunya yang terkenal al-Khawarizmi dikhususkan untuk memecahkan persamaan. Ini disebut “Kitab al-jabr wal-muqabala”, yaitu “Kitab Pelengkap dan Pembanding”. Buku ini mulai dikenal orang Eropa, dan dari kata "al-jabr" dari judulnya muncul kata "aljabar" - nama salah satu bagian utama matematika. Di masa depan, banyak matematikawan berurusan dengan masalah persamaan. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk x2+in=0 dirumuskan oleh matematikawan Jerman Stiefel, yang hidup pada abad ke-15. Setelah karya-karya matematikawan Belanda Girard (abad XVI), serta Descartes dan Newton, metode solusi mengambil tampilan modern. Rumus yang menyatakan ketergantungan akar persamaan pada koefisiennya diperkenalkan oleh Vieta. François Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar untuk mempelajari berbagai masalah dalam matematika dan astronomi; secara khusus, ia memperkenalkan sebutan huruf untuk koefisien persamaan. Dan sekarang kita akan berkenalan dengan episode menarik dari hidupnya. Viet menerima ketenaran besar di bawah Raja Henry III, selama Perang Perancis-Spanyol. Para inkuisitor Spanyol menemukan naskah rahasia yang sangat kompleks, berkat itu orang-orang Spanyol berkorespondensi dengan musuh-musuh Henry III bahkan di Prancis sendiri.

Sia-sia Prancis mencoba menemukan kunci sandi, dan kemudian raja menoleh ke Vieta. Mereka mengatakan bahwa Viet menemukan kunci sandi dalam dua minggu kerja terus menerus, setelah itu, secara tak terduga untuk Spanyol, Prancis mulai memenangkan satu demi satu pertempuran. Karena yakin bahwa tidak mungkin untuk menguraikan sandi, orang-orang Spanyol menuduh Vieta memiliki hubungan dengan iblis dan menghukumnya untuk dibakar di tiang pancang. Untungnya, dia tidak diekstradisi ke Inkuisisi dan tercatat dalam sejarah sebagai ahli matematika yang hebat.

Game "Hapus kelebihannya"

Tujuan permainan orientasi dalam bentuk persamaan.

Kami diberi tiga kolom persamaan, di masing-masingnya, persamaan ditentukan oleh beberapa fitur, tetapi salah satunya berlebihan, tugas Anda adalah menemukan dan mengkarakterisasinya. Slide presentasi 16

karya kreatif

Tujuan dari tugas ini: Menyimak pemahaman anak berorientasi bicara matematis dalam bentuk persamaan.

Di layar Anda melihat 9 persamaan. Setiap persamaan memiliki nomornya sendiri, saya akan memberi nama jenis persamaan ini, dan Anda harus menemukan persamaan jenis ini, dan hanya memasukkan nomor di bawahnya, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan angka 9 digit Slide presentasi 17

1. Persamaan kuadrat tereduksi.
2. persamaan rasional pecahan
3. persamaan kubik
4. persamaan logaritma
5. Persamaan Linier
6. Persamaan kuadrat tidak lengkap
7. persamaan eksponensial
8. persamaan irasional
9. persamaan trigonometri

Tugas "Temukan kesalahannya"

Satu siswa memecahkan persamaan, tetapi seluruh kelas tertawa, dia membuat kesalahan dalam setiap persamaan, tugas Anda adalah menemukannya dan memperbaikinya. slide presentasi 18

Memecahkan satu persamaan dengan beberapa cara

Dan sekarang kita akan menyelesaikan satu persamaan dengan semua cara yang mungkin, untuk menghemat waktu dalam pelajaran, satu persamaan di layar. Sekarang Anda akan menyebutkan jenis persamaan ini, dan menjelaskan metode mana yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini. Slide Presentasi 19-27

Memecahkan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan tulis)

Kami melihat contohnya, sekarang mari kita selesaikan persamaan di papan tulis dengan semua cara yang mungkin.

X-2 - persamaan irasional

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan.

X2 +2x+4x-1-4=0

Kami memecahkan persamaan ini di papan tulis dengan 9 cara.

Kerja mandiri berpasangan, dilanjutkan dengan penjelasan di papan tulis

Dan sekarang Anda akan bekerja berpasangan, saya memberikan persamaan ke meja, tugas Anda adalah menentukan jenis persamaan, daftar semua cara untuk menyelesaikan persamaan ini, selesaikan 1-2 dengan cara yang paling rasional untuk Anda. (2 menit)

Tugas untuk bekerja berpasangan

Selesaikan Persamaan

Setelah pekerjaan mandiri berpasangan, satu perwakilan pergi ke papan tulis, menyajikan persamaannya, menyelesaikannya dengan satu cara

pekerjaan rumah individu(dapat dibedakan)

Selesaikan Persamaan

(tentukan jenis persamaan, selesaikan dengan segala cara pada lembar terpisah)

Ringkasan pelajaran refleksi.

Saya menyimpulkan pelajaran, menarik perhatian pada fakta bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan banyak cara, memberikan nilai, menyimpulkan siapa yang aktif dan siapa yang perlu lebih aktif. Saya membaca pernyataan Kalinin Slide Presentasi 28

Perhatikan baik-baik tujuan yang telah kita tetapkan untuk pelajaran hari ini:

• Menurut Anda apa yang telah kami lakukan?
• Apa yang tidak berjalan dengan baik?
• Apa yang terutama Anda sukai dan ingat?
• Hari ini saya belajar sesuatu yang baru...
• Pelajaran itu membantu saya ...
• Itu sulit bagiku...
• saya menikmati pelajarannya...

Literatur.

1. Dorofeev G.V. "Kumpulan tugas untuk melakukan ujian tertulis dalam matematika untuk kursus sekolah menengah" - M .: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Teka-teki matematika dan menyenangkan.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materi didaktik tentang aljabar dan analisis awal untuk kelas 10, kelas 11. M.: Pencerahan. 2002.