Pertimbangkan serangkaian bilangan asli: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Jika kita mengganti setiap bilangan asli n dalam seri ini beberapa nomor sebuah n, mengikuti beberapa hukum, kami mendapatkan serangkaian angka baru:

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , , sebuah n –1 , sebuah n , ,

disingkat dan disebut urutan numerik. Nilai sebuah n disebut anggota umum dari barisan numerik. Biasanya urutan numerik diberikan oleh beberapa rumus sebuah n = f(n) yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan mana pun berdasarkan nomornya n; rumus ini disebut rumus istilah umum. Perhatikan bahwa tidak selalu mungkin untuk menentukan urutan numerik dengan rumus istilah umum; kadang-kadang urutan ditentukan dengan menggambarkan anggotanya.

Menurut definisi, barisan selalu mengandung jumlah elemen yang tidak terbatas: setiap dua elemen berbeda darinya berbeda setidaknya dalam jumlah mereka, yang jumlahnya tidak terbatas.

Barisan numerik adalah kasus khusus dari suatu fungsi. Barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli dan mengambil nilai dalam himpunan bilangan real, yaitu, fungsi dari bentuk f : N  R.

selanjutnya
ditelepon meningkat(memudar), jika untuk apapun n  N
Urutan seperti itu disebut sangat monoton.

Terkadang lebih mudah digunakan sebagai bilangan tidak semua bilangan asli, tetapi hanya beberapa di antaranya (misalnya, bilangan asli yang dimulai dari beberapa bilangan asli n 0). Untuk penomoran, juga dimungkinkan untuk menggunakan tidak hanya bilangan asli, tetapi juga bilangan lain, misalnya, n= 0, 1, 2, (di sini, nol ditambahkan ke himpunan bilangan asli sebagai bilangan lain). Dalam kasus seperti itu, dengan menentukan urutannya, tunjukkan nilai apa yang diambil oleh angka-angka itu. n.

Jika dalam beberapa urutan untuk any n  N
maka barisan tersebut disebut tidak berkurang(tidak meningkat). Urutan seperti itu disebut membosankan.

Contoh 1 . Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... adalah barisan bilangan asli dan memiliki suku yang sama sebuah n = n.

Contoh 2 . Barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ... adalah barisan bilangan genap dan memiliki suku yang sama sebuah n = 2n.

Contoh 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … adalah urutan numerik dari nilai perkiraan dengan akurasi yang meningkat.

Dalam contoh terakhir, tidak mungkin memberikan rumus untuk suku umum barisan tersebut.

Contoh 4 . Tulislah 5 suku pertama suatu barisan bilangan dengan suku umumnya
. Menghitung sebuah 1 diperlukan dalam rumus untuk istilah umum sebuah n alih-alih n ganti 1 untuk menghitung sebuah 2 2, dll. Maka kita memiliki:

Tes 6 . Anggota umum dari barisan 1, 2, 6, 24, 120, adalah:

1)

2)

3)

4)

Tes 7 .
adalah:

1)

2)

3)

4)

Tes 8 . Anggota Umum dari Urutan
adalah:

1)

2)

3)

4)

Batas Urutan Angka

Pertimbangkan barisan numerik yang suku umumnya mendekati bilangan tertentu TETAPI dengan bertambahnya nomor seri n. Dalam hal ini barisan bilangan dikatakan mempunyai limit. Konsep ini memiliki definisi yang lebih ketat.

Nomor TETAPI disebut limit barisan bilangan
:

(1)

jika untuk setiap > 0 ada angka seperti itu n 0 = n 0 (), tergantung pada , yang
pada n > n 0 .

Definisi ini berarti bahwa TETAPI ada limit suatu barisan bilangan jika suku umumnya mendekati tak terbatas TETAPI dengan bertambahnya n. Secara geometris, ini berarti bahwa untuk setiap > 0 seseorang dapat menemukan bilangan seperti itu n 0 , yang dimulai dari n > n 0, semua anggota barisan terletak di dalam interval ( TETAPI – , TETAPI+ ). Barisan yang memiliki limit disebut konvergen; sebaliknya - berbeda.

Barisan bilangan hanya dapat memiliki satu batas (terbatas atau tak terhingga) dari suatu tanda tertentu.

Contoh 5 . Urutan harmonik memiliki angka 0 sebagai batas. Memang, untuk setiap interval (–; +) sebagai angka N 0 dapat berupa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari . Kemudian untuk semua n > n 0 > kita punya

Contoh 6 . Barisan 2, 5, 2, 5, divergen. Memang, tidak ada interval yang panjangnya kurang dari, misalnya, satu, yang dapat memuat semua anggota barisan, mulai dari beberapa angka.

Urutannya disebut terbatas jika ada nomor seperti itu M, Apa
untuk semua n. Setiap barisan konvergen dibatasi. Setiap barisan monoton dan berbatas memiliki limit. Setiap barisan konvergen memiliki limit yang unik.

Contoh 7 . selanjutnya
semakin meningkat dan terbatas. Dia memiliki batas
=e.

Nomor e ditelepon bilangan euler dan kira-kira sama dengan 2,718 28.

Tes 9 . Barisan 1, 4, 9, 16, adalah:

1) konvergen;

2) divergen;

3) terbatas;

Tes 10 . selanjutnya
adalah:

1) konvergen;

2) divergen;

3) terbatas;

4) deret aritmatika;

5) deret geometri.

Tes 11 . selanjutnya tidak:

1) konvergen;

2) divergen;

3) terbatas;

4) harmonik.

Uji 12 . Batas barisan yang diberikan oleh istilah umum
setara.

Urutan numerik dan batasnya merupakan salah satu masalah matematika yang paling penting sepanjang sejarah keberadaan ilmu ini. Pengetahuan yang terus diperbarui, merumuskan teorema dan bukti baru - semua ini memungkinkan kita untuk mempertimbangkan konsep ini dari posisi baru dan di bawah yang berbeda

Barisan numerik, sesuai dengan salah satu definisi paling umum, adalah fungsi matematika, yang dasarnya adalah himpunan bilangan asli yang disusun menurut satu pola atau lainnya.

Ada beberapa opsi untuk membuat urutan angka.

Pertama, fungsi ini dapat ditentukan dengan apa yang disebut cara "eksplisit", ketika ada formula tertentu yang dengannya masing-masing anggotanya dapat ditentukan hanya dengan mensubstitusikan bilangan urut ke dalam barisan yang diberikan.

Metode kedua disebut "rekursif". Esensinya terletak pada kenyataan bahwa beberapa anggota pertama dari urutan numerik diberikan, serta formula rekursif khusus, yang dengannya, mengetahui anggota sebelumnya, Anda dapat menemukan yang berikutnya.

Akhirnya, cara paling umum untuk menentukan barisan adalah apa yang disebut ketika, tanpa banyak kesulitan, seseorang tidak hanya dapat mengidentifikasi satu atau beberapa suku lain di bawah nomor seri tertentu, tetapi juga, mengetahui beberapa suku berurutan, sampai pada rumus umum ini fungsi.

Urutan numerik dapat menurun atau meningkat. Dalam kasus pertama, setiap istilah berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya, dan yang kedua, sebaliknya, lebih besar.

Mempertimbangkan topik ini, tidak mungkin untuk tidak menyentuh masalah batas urutan. Limit suatu barisan adalah suatu bilangan jika untuk sembarang, termasuk untuk nilai yang sangat kecil, terdapat bilangan urut, setelah itu simpangan anggota barisan yang berurutan dari suatu titik tertentu dalam bentuk numerik menjadi kurang dari nilai yang ditentukan selama pembentukan fungsi ini.

Konsep limit barisan numerik secara aktif digunakan ketika melakukan perhitungan integral dan diferensial tertentu.

Barisan matematika memiliki serangkaian sifat yang agak menarik.

Pertama, setiap barisan numerik adalah contoh dari fungsi matematika, oleh karena itu, sifat-sifat yang merupakan karakteristik fungsi dapat diterapkan dengan aman ke barisan. Contoh paling mencolok dari sifat-sifat tersebut adalah ketentuan tentang deret aritmatika naik dan turun, yang disatukan oleh satu konsep umum - barisan monoton.

Kedua, ada kelompok barisan yang cukup besar yang tidak dapat diklasifikasikan sebagai naik atau turun - ini adalah barisan periodik. Dalam matematika, mereka dianggap sebagai fungsi-fungsi di mana ada yang disebut panjang periode, yaitu, dari momen tertentu (n), persamaan berikut mulai beroperasi y n \u003d y n + T, di mana T akan menjadi sangat panjang periodenya.

Buaian. popok. Menangis.
Kata. Melangkah. Dingin. Dokter.
berlarian. Mainan. Saudara laki-laki.
Halaman. Mengayun. TK.
Sekolah. Jus. Troika. Lima.
Bola. Melangkah. Gips. Tempat tidur.
Bertarung. Darah. Hidung patah.
Halaman. Teman-teman. Berpesta. Memaksa.
Lembaga. Musim semi. semak-semak.
Musim panas. Sidang. ekor.
Bir. Vodka. gin es.
Kopi. Sidang. Diploma.
Romantisme. Cinta. Bintang.
Lengan. bibir. Malam tanpa tidur.
Pernikahan. Ibu mertua. Ayah mertua. Perangkap.
Argumen. Klub. Teman-teman. Cangkir.
Rumah. Pekerjaan. Rumah. Keluarga.
Matahari. Musim panas. Salju. Musim dingin.
Putra. popok. Buaian.
Menekankan. Nyonya. Tempat tidur.
Bisnis. Uang. Rencana. rata-rata.
Set TV. Seri.
rumah pedesaan. Ceri. Timun Jepang.
Rambut abu-abu. Migrain. Kacamata.
cucu. popok. Buaian.
Menekankan. Tekanan. Tempat tidur.
Sebuah jantung. Ginjal. tulang. Dokter.
Pidato. Peti mati. Selamat tinggal. Menangis.

urutan kehidupan

URUTAN - (urutan), angka atau elemen diatur secara terorganisir. Barisan dapat berhingga (memiliki jumlah elemen terbatas) atau tak hingga, seperti barisan lengkap bilangan asli 1, 2, 3, 4 ….… …

Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Definisi:Urutan numerik disebut numerik, diberikan pada himpunan bilangan asli N. Untuk barisan numerik, biasanya sebagai ganti f(n) menulis sebuah dan menunjukkan urutan seperti ini: sebuah ). angka sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah,… ditelepon elemen urutan.

Biasanya urutan numerik ditentukan oleh pengaturan n elemen -th atau formula rekursif, yang menurutnya setiap elemen berikutnya ditentukan melalui yang sebelumnya. Cara deskriptif untuk menentukan urutan numerik juga dimungkinkan. Sebagai contoh:

• Semua anggota barisan adalah "1". Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

• Barisan tersebut terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik. Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

Dengan metode berulang, formula ditunjukkan yang memungkinkan Anda untuk mengekspresikan n anggota urutan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1-2 anggota awal dari urutan.

• kamu 1 = 3; y n =kamu n-1 + 4 , jika n = 2, 3, 4,…

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

• kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; y n =kamu n-2 + kamu n-1 , jika n = 3, 4,…

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Urutan dinyatakan dengan rumus rekursif y n =kamu n-1 + 4 juga dapat diberikan secara analitik: y n= y 1 +4*(n-1)

Periksa: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Di sini kita tidak perlu mengetahui anggota barisan sebelumnya untuk menghitung elemen ke-n, cukup dengan mengatur nomor dan nilai elemen pertama.

Seperti yang dapat kita lihat, cara menentukan barisan numerik ini sangat mirip dengan cara analitis untuk menentukan fungsi. Faktanya, barisan numerik adalah jenis khusus dari fungsi numerik, sehingga sejumlah sifat fungsi juga dapat dipertimbangkan untuk barisan.

Urutan angka adalah topik yang sangat menarik dan informatif. Topik ini ditemukan dalam tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat, yang ditawarkan kepada siswa oleh penulis materi didaktik, dalam tugas-tugas olimpiade matematika, ujian masuk ke lembaga pendidikan tinggi dan sebagainya. Dan jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut tentang berbagai jenis urutan angka, klik di sini. Nah, jika semuanya jelas dan sederhana untuk Anda, tetapi cobalah untuk menjawab.

Hovhannisyan Eva

Urutan numerik. Abstrak.

Unduh:

Pratinjau:

Institusi pendidikan anggaran kota
"Sekolah Menengah No. 31"
kota Barnaul

Urutan Nomor

abstrak

Pekerjaan telah selesai:
Oganesyan Eva,
MBOU siswa kelas 8 "Sekolah Menengah No. 31"
Pengawas:
Poleva Irina Alexandrovna,
guru matematika MBOU "Sekolah Menengah No. 31"

Barnaul - 2014

Pendahuluan………………………………………………………………………………2

Urutan numerik.……………………………………………….3

Cara untuk mengatur urutan numerik……………………….4

Perkembangan doktrin progresi………………………………………..5

Sifat barisan numerik………………………………………7

Deret Aritmatika……………………………………………………………………… ............... 9

Perkembangan geometris……………………………………………….10

Kesimpulan ………………………………………………………………… 11

Referensi………………………………………………………………11

pengantar

Tujuan abstrak ini– mempelajari konsep dasar yang berkaitan dengan barisan numerik, penerapannya dalam praktik.
Tugas:

1. Mempelajari aspek sejarah perkembangan doktrin progresi;
2. Pertimbangkan cara pengaturan dan sifat-sifat barisan numerik;
3. Pelajari tentang deret aritmatika dan geometrik.

Saat ini, barisan numerik dianggap sebagai kasus khusus dari suatu fungsi. Urutan numerik adalah fungsi dari argumen alami. Konsep barisan numerik muncul dan berkembang jauh sebelum teori fungsi diciptakan. Berikut adalah contoh urutan nomor tak terbatas yang dikenal di zaman kuno:

1, 2, 3, 4, 5, ... - urutan bilangan asli.

2, 4, 6, 8, 10,… - barisan bilangan genap.

1, 3, 5, 7, 9,… - urutan angka ganjil.

1, 4, 9, 16, 25,… - urutan kuadrat bilangan asli.

2, 3, 5, 7, 11… - barisan bilangan prima.

1, , 1/3, , 1/5,… - urutan kebalikan dari bilangan asli.

Jumlah anggota dari masing-masing deret ini tidak terbatas; lima urutan pertama meningkat secara monoton, yang terakhir menurun secara monoton. Semua barisan yang terdaftar, kecuali yang ke-5, diberikan karena fakta bahwa untuk masing-masing barisan tersebut diketahui istilah umum, yaitu aturan untuk memperoleh suku dengan angka berapa pun. Untuk barisan bilangan prima, istilah umum tidak diketahui, tetapi pada awal abad ke-3. SM e. ilmuwan Alexandria Eratosthenes menunjukkan metode (walaupun sangat rumit) untuk mendapatkan anggota ke-n. Metode ini disebut "saringan Eratosthenes".

Progresi - jenis urutan numerik tertentu - ditemukan di monumen milenium II SM. e.

Urutan Nomor

Ada berbagai definisi tentang urutan angka.

Urutan numerik – itu adalah urutan elemen ruang bilangan (Wikipedia).

Urutan numerik – ini adalah kumpulan angka bernomor.

Fungsi berbentuk y = f (x), xdisebut fungsi argumen natural atauurutan numerikdan menyatakan y = f(n) atau

, , , …, Notasi ().

Kami akan menulis angka genap positif dalam urutan menaik. Angka pertama adalah 2, yang kedua adalah 4, yang ketiga adalah 6, yang keempat adalah 8, dan seterusnya, sehingga kita mendapatkan urutannya: 2; 4; 6; delapan; sepuluh ….

Jelas, tempat kelima dalam urutan ini adalah angka 10, kesepuluh - 20, keseratus - 200. Secara umum, untuk setiap bilangan asli n, Anda dapat menentukan bilangan genap positif yang sesuai; itu sama dengan 2n.

Mari kita lihat urutan lainnya. Kami akan menulis dalam urutan menurun pecahan biasa dengan pembilang sama dengan 1:

; ; ; ; ; … .

Untuk sembarang bilangan asli n, kita dapat menentukan pecahan yang sesuai; itu sama dengan. Jadi, di tempat keenam seharusnya ada pecahan, pada tanggal tiga puluh - , pada seperseribu - pecahan .

Angka-angka yang membentuk barisan disebut yang pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. anggota urutan. Anggota suatu barisan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan subskrip yang menunjukkan nomor urut anggota tersebut. Sebagai contoh:, , dll. secara umum, suku barisan dengan angka n, atau, seperti yang mereka katakan, anggota ke-n dari barisan, dilambangkan. Barisan itu sendiri dilambangkan dengan (). Suatu barisan dapat berisi jumlah anggota yang tidak terbatas dan anggota yang berhingga. Dalam hal ini disebut final. Contoh: barisan bilangan dua angka.10; sebelas; 12; tigabelas; …; 98; 99

Metode untuk menentukan urutan numerik

Urutan dapat ditentukan dalam beberapa cara.

Biasanya urutannya lebih tepat diaturrumus suku ke-n umum, yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan mana pun, mengetahui nomornya. Dalam hal ini, urutan dikatakan diberikan secara analitis. Contoh: barisan suku genap positif= 2n.

Tugas: temukan rumus suku umum barisan tersebut (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Keputusan. Kami menulis setiap suku barisan dalam bentuk berikut:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Seperti yang Anda lihat, suku-suku barisan adalah produk dari pangkat dua dikalikan dengan bilangan ganjil berurutan, dan dua dipangkatkan dengan bilangan yang sama dengan jumlah elemen yang bersangkutan. Dengan demikian, kami menyimpulkan bahwa

Jawaban: rumus istilah umum:

Cara lain untuk menentukan urutan adalah dengan menentukan urutan menggunakanhubungan berulang. Rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dengan beberapa sampai yang sebelumnya (satu atau lebih), disebut berulang (dari kata Latin recurro - untuk kembali).

Dalam hal ini, satu atau beberapa elemen pertama dari urutan ditentukan, dan sisanya ditentukan menurut beberapa aturan.

Contoh barisan yang diberikan secara rekursif adalah barisan bilangan Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , di mana setiap bilangan berikutnya, mulai dari yang ketiga, adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya satuan: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 dan seterusnya. Urutan ini dapat diberikan secara rekursif:

N N, = 1.

Tugas: selanjutnyadiberikan oleh relasi perulangan+ , n N, = 4. Tuliskan beberapa suku pertama dari barisan ini.

Keputusan. Mari kita cari suku ketiga dari barisan yang diberikan:

+ =

Dll.

Ketika urutan ditentukan secara berulang, perhitungannya sangat rumit, karena untuk menemukan elemen dengan jumlah besar, perlu untuk menemukan semua anggota sebelumnya dari urutan yang ditentukan, misalnya, untuk menemukankita perlu menemukan semua 499 suku sebelumnya.

Cara deskriptifpenugasan urutan numerik terdiri dalam menjelaskan elemen apa yang dibangun dari urutan.

Contoh 1 . "Semua anggota barisan adalah 1." Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

Contoh 2. "Urutan terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik." Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

Juga, urutan numerik dapat diberikan oleh sederhanadaftar anggotanya.

Pengembangan doktrin progresi

Kata kemajuan berasal dari bahasa Latin (progressio), secara harfiah berarti "bergerak maju" (seperti kata "kemajuan") dan ditemukan untuk pertama kalinya oleh penulis Romawi Boethius (abad ke-5-6). , misalnya, barisan bilangan asli, kuadrat dan kubusnya. Pada akhir Abad Pertengahan dan awal zaman modern, istilah ini tidak lagi umum digunakan. Pada abad ke-17, misalnya, J. Gregory menggunakan istilah "deret" alih-alih deret, dan ahli matematika Inggris terkemuka lainnya, J. Wallis, menggunakan istilah "deret tak hingga" untuk deret tak hingga.

Saat ini, kami menganggap progresi sebagai kasus khusus dari urutan numerik.

Informasi teoretis yang berkaitan dengan progresi pertama kali ditemukan dalam dokumen-dokumen Yunani kuno yang telah sampai kepada kita.

Dalam Psammite, Archimedes untuk pertama kalinya membandingkan deret aritmatika dan geometrik:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progresi dianggap sebagai kelanjutan dari proporsi, itulah sebabnya julukan aritmatika dan geometris dipindahkan dari proporsi ke progresi.

Pandangan progresi ini diawetkan oleh banyak matematikawan abad ke-17 dan bahkan ke-18. Ini adalah bagaimana orang harus menjelaskan fakta bahwa simbol yang ditemukan di Barrow, dan kemudian di ilmuwan Inggris lainnya pada waktu itu untuk menunjukkan proporsi geometris yang berkelanjutan, mulai menunjukkan perkembangan geometris dalam buku teks bahasa Inggris dan Prancis pada abad ke-18. Dengan analogi, mereka mulai menunjuk perkembangan aritmatika.

Salah satu bukti Archimedes, yang dituangkan dalam karyanya "The Quadrature of the Parabola", pada dasarnya bermuara pada penjumlahan deret geometri yang semakin menurun.

Untuk memecahkan beberapa masalah dari geometri dan mekanika, Archimedes menurunkan rumus untuk jumlah kuadrat bilangan asli, meskipun itu digunakan sebelumnya.

1/6n(n+1)(2n+1)

Beberapa formula yang berkaitan dengan progresi diketahui oleh para ilmuwan Cina dan India. Jadi, Aryabhatta (abad V) mengetahui rumus untuk istilah umum, jumlah dari deret aritmatika, dll., Magavira (abad IX) menggunakan rumus: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) dan deret lain yang lebih kompleks. Namun, aturan untuk menemukan jumlah suku dari deret aritmatika arbitrer pertama kali ditemukan dalam Book of the Abacus (1202) oleh Leonardo dari Pisa. Dalam The Science of Numbers (1484), N. Shuke, seperti Archimedes, membandingkan deret aritmatika dengan deret geometri dan memberikan aturan umum untuk menjumlahkan deret geometri menurun yang sangat kecil. Rumus untuk menjumlahkan perkembangan yang semakin menurun diketahui oleh P. Fermat dan ahli matematika lainnya pada abad ke-17.

Masalah untuk deret aritmatika (dan geometris) juga ditemukan dalam traktat Cina kuno "Matematika dalam Sembilan Buku", yang, bagaimanapun, tidak berisi instruksi tentang penggunaan rumus penjumlahan apa pun.

Masalah progresi pertama yang datang kepada kita terkait dengan tuntutan kehidupan ekonomi dan praktik sosial, seperti pembagian hasil, pembagian warisan, dan sebagainya.

Dari satu tablet paku, kita dapat menyimpulkan bahwa, mengamati bulan dari bulan baru hingga bulan purnama, orang Babilonia sampai pada kesimpulan berikut: dalam lima hari pertama setelah bulan baru, peningkatan penerangan piringan bulan terjadi sesuai dengan hukum deret geometri dengan penyebut 2. Dalam tablet berikutnya yang lain, kita berbicara tentang penjumlahan deret ukur:

1+2+ +…+ . solusi dan jawaban S=512+(512-1), data di piring menunjukkan bahwa penulis menggunakan rumus.

Sn= +( -1), tetapi tidak ada yang tahu bagaimana dia mencapainya.

Penjumlahan deret geometri dan kompilasi masalah terkait yang tidak selalu memenuhi kebutuhan praktis dipraktikkan oleh banyak pecinta matematika sepanjang abad kuno dan pertengahan.

Properti Urutan Angka

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, dan oleh karena itu beberapa sifat fungsi (keterbatasan, monotonisitas) juga dipertimbangkan untuk barisan.

Urutan terbatas

Selanjutnya () disebut dibatasi dari atas, bahwa untuk sembarang bilangan n, M.

Selanjutnya () disebut dibatasi dari bawah, jika ada bilangan seperti itu m, bahwa untuk sembarang bilangan n, m.

Selanjutnya () disebut terbatas , jika dibatasi dari atas dan dibatasi dari bawah, yaitu terdapat bilangan seperti itu M0 , dimana untuk sembarang bilangan n , M.

Selanjutnya () disebut tak terbatas , jika ada bilangan seperti itu M0 bahwa terdapat suatu bilangan n sedemikian sehingga, M.

Tugas: jelajahi urutannya = untuk pembatasan.

Keputusan. Barisan yang diberikan terbatas, karena untuk sembarang bilangan asli n pertidaksamaan berikut berlaku:

0 1,

Artinya, barisan dibatasi dari bawah oleh nol, dan pada saat yang sama dibatasi dari atas oleh kesatuan, dan karena itu juga dibatasi.

Jawaban: urutannya terbatas - dari bawah nol, dan dari atas satu.

Urutan naik dan turun

Selanjutnya () disebut meningkat , jika setiap istilah lebih besar dari yang sebelumnya:

Misalnya 1, 3, 5, 7.....2n -1,... adalah barisan naik.

Selanjutnya () disebut menurun , jika setiap istilah kurang dari yang sebelumnya:

Misalnya, 1; adalah barisan menurun.

Urutan naik dan turun digabungkan dengan istilah umum -urutan monoton. Mari kita ambil beberapa contoh lagi.

1; - urutan ini tidak meningkat atau menurun (urutan nonmonotonic).

2n. Kita berbicara tentang urutan 2, 4, 8, 16, 32, ... - urutan yang meningkat.

Secara umum, jika a > 1, maka barisan= meningkat;

jika 0 = menurun.

Deret aritmatika

Barisan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan jumlah anggota sebelumnya dan nomor yang sama d, disebutderet aritmatika, dan bilangan d adalah selisih suatu barisan aritmatika.

Jadi, barisan aritmatika adalah barisan numerik

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; a dan d diberikan angka).

Contoh 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... adalah barisan aritmatika yang meningkat, di mana= 1, d = 2.

Contoh 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - deret aritmatika menurun, di mana= 20, d = –3.

Contoh 3. Perhatikan barisan bilangan asli yang, jika dibagi empat, memiliki sisa 1:1; 5; sembilan; tigabelas; 17; 21…

Setiap suku, mulai dari yang kedua, diperoleh dengan menambahkan angka 4 ke suku sebelumnya.Deret ini adalah contoh dari barisan aritmatika.

Sangat mudah untuk menemukan ekspresi (rumus) eksplisitmelalui n. Nilai elemen berikutnya meningkat d dibandingkan dengan elemen sebelumnya, sehingga nilai elemen n akan meningkat (n - 1)d dibandingkan dengan anggota pertama dari deret aritmatika, yaitu.

= + d (n – 1). Ini adalah rumus suku ke-n dari barisan aritmatika.

Ini rumus penjumlahannya n anggota barisan aritmatika.

Deret aritmatika dinamai karena di dalamnya setiap istilah, kecuali yang pertama, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang berdekatan dengannya - sebelumnya dan berikutnya, memang,

Kemajuan geometris

Barisan numerik, yang semua anggotanya bukan nol dan setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, diperoleh dari anggota sebelumnya dengan mengalikan dengan angka yang sama q, disebutderet geometri, dan bilangan q adalah penyebut barisan geometri. Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan (diberikan secara rekursif oleh relasi

B, = q (n = 2, 3, 4…; b dan q diberi nomor).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... - peningkatan deret geometri

2, q = 3.

Contoh 2. 2, -2, 2, -2, ... adalah barisan geometri= 2, q = -1.

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan bujur sangkar, mis.; ;…-

adalah barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan, dan penyebutnya adalah.

Rumus anggota ke-n dari barisan geometri adalah:

Rumus jumlah n anggota barisan geometri:

properti karakteristikbarisan geometri: barisan bilangan adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir untuk barisan berhingga), sama dengan hasil kali suku sebelumnya dan suku berikutnya,

Kesimpulan

Urutan numerik telah dipelajari oleh banyak ilmuwan selama berabad-abad.Masalah progresi pertama yang datang kepada kita terkait dengan tuntutan kehidupan ekonomi dan praktik sosial, seperti pembagian hasil, pembagian warisan, dan sebagainya. Mereka adalah salah satu konsep kunci matematika. Dalam pekerjaan saya, saya mencoba mencerminkan konsep dasar yang terkait dengan barisan numerik, cara mengaturnya, properti, dan mempertimbangkan beberapa di antaranya. Secara terpisah, progresi (aritmatika dan geometris) dipertimbangkan, dan konsep dasar yang terkait dengannya dijelaskan.

Bibliografi

1. A.G. Mordkovich, Aljabar, Kelas 10, buku teks, 2012
2. A.G. Mordkovich, Aljabar, kelas 9, buku teks, 2012
3. Panduan siswa yang hebat. Moskow, "Drofa", 2001
4. G.I. Glaser, Sejarah Matematika di Sekolah,

M.: Pencerahan, 1964.

1. "Matematika di sekolah", majalah, 2002.
2. Layanan online pendidikan Webmath.ru
3. Ensiklopedia online sains populer universal "Krugosvet"

Vida kamu= f(x), x HAI N, di mana N adalah himpunan bilangan asli (atau fungsi dari argumen alami), dilambangkan kamu=f(n) atau kamu 1 ,kamu 2 ,…, y n,…. Nilai kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3 ,… disebut masing-masing yang pertama, kedua, ketiga, ... anggota urutan.

Misalnya untuk fungsi kamu= n 2 dapat ditulis:

kamu 1 = 1 2 = 1;

kamu 2 = 2 2 = 4;

kamu 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode untuk mengatur urutan. Urutan dapat ditentukan dengan berbagai cara, di antaranya tiga yang sangat penting: analitis, deskriptif, dan berulang.

1. Suatu barisan diberikan secara analitik jika rumusnya diberikan n-anggota:

y n=f(n).

Contoh. y n= 2n- 1 – urutan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Deskriptif cara untuk menentukan urutan numerik adalah menjelaskan dari elemen apa urutan itu dibangun.

Contoh 1. "Semua anggota barisan sama dengan 1." Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

Contoh 2. "Urutan terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik." Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

3. Cara berulang untuk menentukan urutan adalah bahwa aturan ditunjukkan yang memungkinkan seseorang untuk menghitung n-anggota urutan, jika anggota sebelumnya diketahui. Nama metode berulang berasal dari kata Latin berulang- kembali. Paling sering, dalam kasus seperti itu, formula ditunjukkan yang memungkinkan ekspresi n anggota urutan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1-2 anggota awal dari urutan.

Contoh 1 kamu 1 = 3; y n = y n-1 + 4 jika n = 2, 3, 4,….

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

Dapat dilihat bahwa urutan yang diperoleh dalam contoh ini juga dapat ditentukan secara analitik: y n= 4n- 1.

Contoh 2 kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 jika n = 3, 4,….

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Urutan yang disusun dalam contoh ini dipelajari secara khusus dalam matematika karena memiliki sejumlah sifat dan aplikasi yang menarik. Ini disebut deret Fibonacci - setelah matematikawan Italia abad ke-13. Mendefinisikan barisan Fibonacci secara rekursif sangat mudah, tetapi secara analitis sangat sulit. n Bilangan Fibonacci ke-th dinyatakan dalam bilangan ordinalnya dengan rumus berikut.

Sekilas, rumus untuk n Bilangan Fibonacci tampaknya tidak masuk akal, karena rumus yang menentukan barisan bilangan asli saja mengandung akar kuadrat, tetapi Anda dapat memeriksa "secara manual" validitas rumus ini untuk beberapa bilangan pertama n.

Sifat-sifat barisan numerik.

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, sehingga sejumlah sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk barisan.

Definisi . Selanjutnya ( y n} Disebut meningkat jika masing-masing sukunya (kecuali yang pertama) lebih besar dari yang sebelumnya:

kamu 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definisi.Urutan ( y n} disebut menurun jika setiap sukunya (kecuali yang pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya:

kamu 1 > kamu 2 > kamu 3 > … > y n> y n +1 > … .

Urutan naik dan turun disatukan oleh istilah umum - urutan monoton.

Contoh 1 kamu 1 = 1; y n= n 2 adalah barisan yang meningkat.

Jadi, teorema berikut ini benar (sifat karakteristik dari deret aritmatika). Barisan numerik adalah aritmatika jika dan hanya jika masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama (dan terakhir dalam kasus barisan hingga), sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan berikutnya.

Contoh. Berapa nilainya? x nomor 3 x + 2, 5x– 4 dan 11 x+ 12 membentuk deret aritmatika berhingga?

Menurut properti karakteristik, ekspresi yang diberikan harus memenuhi relasi

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Memecahkan persamaan ini memberikan x= –5,5. Dengan nilai ini x ekspresi yang diberikan 3 x + 2, 5x– 4 dan 11 x+ 12 mengambil, masing-masing, nilai -14,5, –31,5, –48,5. Ini adalah deret aritmatika, perbedaannya adalah -17.

Kemajuan geometris.

Barisan numerik, yang semua anggotanya bukan nol dan setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, diperoleh dari anggota sebelumnya dengan mengalikan dengan angka yang sama q, disebut deret geometri, dan bilangan q- penyebut deret geometri.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan ( b n) diberikan secara rekursif oleh relasi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b dan q- nomor yang diberikan, b ≠ 0, q ≠ 0).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... - peningkatan deret geometri b = 2, q = 3.

Contoh 2. 2, -2, 2, -2, ... – deret geometri b= 2,q= –1.

Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … – deret geometri b= 8, q= 1.

Deret geometri adalah barisan naik jika b 1 > 0, q> 1, dan menurun jika b 1 > 0, 0q

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan bujur sangkar, mis.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… adalah barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan b 1 2 , dan penyebutnya adalah q 2 .

Rumus n- suku ke-empat suatu barisan geometri berbentuk

b n= b 1 q n– 1 .

Anda bisa mendapatkan rumus untuk jumlah suku deret geometri berhingga.

Biarkan ada deret geometri berhingga

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

biarlah S n - jumlah anggotanya, yaitu

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Diterima bahwa q No. 1. Untuk menentukan S n trik buatan diterapkan: beberapa transformasi geometris dari ekspresi dilakukan S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Dengan demikian, S n q= S n +b n q – b 1 dan karenanya

Ini adalah rumus dengan umma n anggota deret geometri untuk kasus ketika q≠ 1.

Pada q= 1 rumus tidak dapat diturunkan secara terpisah, jelas bahwa dalam kasus ini S n= sebuah 1 n.

Disebut deret geometri karena di dalamnya setiap suku, kecuali suku pertama, sama dengan rata-rata geometris suku sebelumnya dan suku berikutnya. Memang, sejak

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

karena itu, b n 2= b n– 1 bn+ 1 dan teorema berikut ini benar (sifat karakteristik deret geometri):

barisan numerik adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kasus barisan hingga), sama dengan produk dari suku sebelumnya dan berikutnya.

Batas urutan.

Biarkan ada urutan ( c n} = {1/n}. Urutan ini disebut harmonik, karena masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, adalah rata-rata harmonik antara anggota sebelumnya dan berikutnya. Rata-rata geometris angka sebuah dan b ada nomor

Jika tidak, barisan tersebut disebut divergen.

Berdasarkan definisi ini, seseorang dapat, misalnya, membuktikan keberadaan limit A=0 untuk barisan harmonik ( c n} = {1/n). Biarkan menjadi bilangan positif kecil sewenang-wenang. Kami mempertimbangkan perbedaannya

Apakah ada seperti itu? N itu untuk semua orang tidak N ketidaksetaraan 1 /N? Jika diambil sebagai N bilangan asli apa pun yang lebih besar dari 1/ε , maka untuk semua n N ketidaksetaraan 1 /n 1/N , Q.E.D.

Terkadang sangat sulit untuk membuktikan keberadaan limit untuk barisan tertentu. Urutan yang paling umum dipelajari dengan baik dan terdaftar dalam buku referensi. Ada teorema penting yang memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa barisan yang diberikan memiliki limit (dan bahkan menghitungnya) berdasarkan barisan yang sudah dipelajari.

Teorema 1. Jika suatu barisan memiliki limit, maka barisan tersebut terbatas.

Teorema 2. Jika suatu barisan monoton dan terbatas, maka barisan tersebut memiliki limit.

Teorema 3. Jika barisan ( sebuah} memiliki batas A, maka barisan ( bisa}, {sebuah+ c) dan (| sebuah|} memiliki batas cA, A +c, |A| masing-masing (di sini c adalah bilangan arbitrer).

Teorema 4. Jika barisan ( sebuah} dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan A dan B panci + qb n) memiliki batas pA+ qB.

Teorema 5. Jika barisan ( sebuah) dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan A dan B berturut-turut, maka barisan ( a n b n) memiliki batas AB.

Teorema 6. Jika barisan ( sebuah} dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan A dan B masing-masing, dan sebagai tambahan b n 0 dan B≠ 0, maka barisan ( a n / b n) memiliki batas A/B.

Anna Chugainova