Dalam masyarakat modern, kemampuan untuk mengoperasikan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna di banyak bidang kegiatan dan digunakan secara luas dalam praktik dalam perkembangan ilmiah dan teknis. Hal ini dapat dibuktikan dengan desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan bantuan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh dengan solusi persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan berkemah, di acara olahraga, di toko saat berbelanja dan dalam situasi umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi menjadi faktor komponen

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum dari derajat variabel yang dikandung oleh ekspresi yang diberikan. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.

Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi ini, bagaimanapun bentuknya, selalu dapat dibawa ke bentuk ketika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga istilah. Diantaranya: ax 2 (yaitu variabel kuadrat dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di sisi kanan sama dengan 0. Dalam kasus ketika polinomial seperti itu tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, dengan pengecualian ax 2, itu disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh dengan solusi dari masalah seperti itu, di mana nilai variabel tidak sulit ditemukan, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ekspresi terlihat seperti memiliki dua suku di sisi kanan ekspresi, lebih tepatnya ax 2 dan bx, paling mudah untuk menemukan x dengan mengurung variabel. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya direduksi menjadi menemukan variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya mengatakan bahwa produk dari dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya adalah nol.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan pergerakan benda di bawah aksi gravitasi, yang mulai bergerak dari titik tertentu, diambil sebagai asalnya. Di sini notasi matematika mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mengganti nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan sisi kanan ke 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat tubuh naik hingga saat jatuh, serta banyak kuantitas lainnya. Tapi kita akan membicarakan ini nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk memecahkan masalah ini dalam kasus yang lebih kompleks. Pertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat jenis ini.

X2 - 33x + 200 = 0

Trinomial persegi ini selesai. Pertama, kami mengubah ekspresi dan menguraikannya menjadi faktor. Ada dua di antaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh dengan solusi persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini untuk menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya dari yang kedua, tetapi bahkan dari urutan ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan ke dalam faktor dengan variabel, ada tiga di antaranya, yaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -satu; 3.

Mengekstrak akar kuadrat

Kasus lain dari persamaan orde kedua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang ditulis dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, istilah bebas dipindahkan ke sisi kanan, dan setelah itu, akar kuadrat diekstraksi dari kedua sisi persamaan. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung istilah c sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika sisi kanan ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi untuk persamaan kuadrat jenis ini harus dipertimbangkan.

Dalam hal ini, akar persamaan akan menjadi angka -4 dan 4.

Perhitungan luas tanah

Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa yang jauh itu sebagian besar disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling petak-petak tanah dengan akurasi terbesar.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat yang disusun berdasarkan masalah semacam ini.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih dari lebarnya. Anda harus menemukan panjang, lebar, dan keliling situs, jika diketahui bahwa luasnya adalah 612 m 2.

Turun ke bisnis, pada awalnya kita akan membuat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan lebar bagian sebagai x, maka panjangnya akan menjadi (x + 16). Dari apa yang telah ditulis, luas ditentukan oleh ekspresi x (x + 16), yang, menurut kondisi masalah kita, adalah 612. Ini berarti bahwa x (x + 16) \u003d 612.

Solusi persamaan kuadrat lengkap, dan ekspresi ini hanya itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kirinya masih mengandung dua faktor, hasil perkaliannya tidak sama dengan 0 sama sekali, jadi digunakan metode lain di sini.

diskriminatif

Pertama-tama, kami akan membuat transformasi yang diperlukan, maka tampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini berarti bahwa kami telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c= -612.

Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat melalui diskriminan. Di sini perhitungan yang diperlukan dibuat sesuai dengan skema: D = b 2 - 4ac. Nilai tambahan ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan nilai yang diinginkan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan jumlah opsi yang memungkinkan. Dalam kasus D>0, ada dua di antaranya; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan formulanya

Dalam kasus kami, diskriminannya adalah: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahwa masalah kami memiliki jawaban. Jika Anda tahu, solusi persamaan kuadrat harus dilanjutkan dengan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung akarnya.

Ini berarti bahwa dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Opsi kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran bidang tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, yang berarti bahwa x (yaitu, lebar bidang) adalah 18 m. Dari sini kami menghitung panjangnya: 18+16=34, dan keliling 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Contoh dan tugas

Kami melanjutkan studi tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi terperinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, buat transformasi, yaitu, kita mendapatkan bentuk persamaan, yang biasanya disebut persamaan standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Setelah menambahkan yang serupa, kami menentukan diskriminan: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Jadi persamaan kami akan memiliki dua akar. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus di atas, yang berarti bahwa yang pertama akan sama dengan 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kami akan mengungkapkan teka-teki dari jenis yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar x 2 - 4x + 5 = 1 di sini sama sekali? Untuk mendapatkan jawaban yang lengkap, kami membawa polinomial ke bentuk akrab yang sesuai dan menghitung diskriminan. Dalam contoh ini, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadrat, karena esensi masalahnya sama sekali tidak ada dalam hal ini. Dalam hal ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang berarti benar-benar tidak ada akar.

teorema Vieta

Lebih mudah untuk memecahkan persamaan kuadrat melalui rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diekstraksi dari nilai yang terakhir. Tapi ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Dinamai setelah seorang pria yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan memiliki karir yang cemerlang berkat bakat matematika dan koneksi di pengadilan. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan oleh orang Prancis yang terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa jumlah akar persamaan sama dengan -p=b/a, dan hasil kali mereka sesuai dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x2 + 21x - 54 = 0

Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresinya:

x 2 + 7x - 18 = 0

Menggunakan teorema Vieta, ini akan memberi kita yang berikut: jumlah akarnya adalah -7, dan produknya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah melakukan pemeriksaan, kita akan memastikan bahwa nilai variabel ini benar-benar sesuai dengan ekspresi.

Grafik dan Persamaan Parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat terkait erat. Contoh-contoh ini telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika sedikit lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Ketergantungan seperti itu, yang digambarkan dalam bentuk grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola memiliki simpul, yaitu titik dari mana cabang-cabangnya keluar. Jika a>0, mereka menjadi tinggi hingga tak terhingga, dan ketika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafik. Dan nilai variabel x adalah koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik dapat ditemukan dengan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b / 2a. Dan, dengan mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi asli, Anda dapat menemukan y 0, yaitu, koordinat kedua titik parabola yang termasuk dalam sumbu y.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh dengan solusi persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita pertimbangkan mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dari grafik parabola, Anda juga dapat menentukan akar-akarnya. Kebalikannya juga benar. Artinya, jika tidak mudah untuk mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan sisi kanan ekspresi menjadi 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x lebih mudah untuk diplot.

Dari sejarah

Dengan bantuan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, di masa lalu, tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bentuk geometris. Orang dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan muluk di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang disarankan oleh para ilmuwan modern, penduduk Babel termasuk yang pertama memecahkan persamaan kuadrat. Itu terjadi empat abad sebelum munculnya zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka pada dasarnya berbeda dari yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak tahu tentang keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh siswa mana pun di zaman kita.

Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babel, orang bijak dari India, Baudhayama, mengambil solusi persamaan kuadrat. Ini terjadi sekitar delapan abad sebelum munculnya zaman Kristus. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Cina juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian mereka digunakan dalam pekerjaan mereka oleh para ilmuwan hebat seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Diskriminan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun menggunakan rumus umum, yang memiliki bentuk berikut:

Rumus diskriminan tergantung pada derajat polinomial. Rumus di atas cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

Diskriminan memiliki sifat-sifat berikut yang perlu Anda ketahui:

* "D" adalah 0 ketika polinomial memiliki banyak akar (akar yang sama);

* "D" adalah polinomial simetris terhadap akar polinomial dan oleh karena itu merupakan polinomial dalam koefisiennya; selain itu, koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat, terlepas dari ekstensi di mana akar diambil.

Misalkan kita diberikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

1 persamaan

Menurut rumus yang kita miliki:

Karena \, maka persamaan memiliki 2 akar. Mari kita definisikan mereka:

Di mana saya dapat menyelesaikan persamaan melalui pemecah online diskriminan?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

Misalnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminannya adalah \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), itu akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminan dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan saat menyelesaikan. Juga, dengan nilai diskriminan, Anda dapat memahami seperti apa grafik itu (lihat di bawah).

Diskriminan dan akar persamaan

Nilai diskriminan menunjukkan jumlah persamaan kuadrat:
- jika \(D\) positif, persamaan akan memiliki dua akar;
- jika \(D\) sama dengan nol - hanya satu akar;
- jika \(D\) negatif, tidak ada akar.

Tidak perlu mempelajari ini, mudah untuk sampai pada kesimpulan seperti itu, hanya mengetahui bahwa dari diskriminan (yaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam rumus untuk menghitung akar persamaan: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Mari kita lihat setiap kasus secara lebih rinci .

Jika diskriminannya positif

Dalam hal ini, akarnya adalah suatu bilangan positif, yang berarti \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan berbeda nilainya, karena pada rumus pertama \(\sqrt(D) \) ditambahkan , dan yang kedua - dikurangi. Dan kami memiliki dua akar yang berbeda.

Contoh : Temukan akar-akar persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Keputusan :

Menjawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminan adalah nol

Dan berapa banyak akar jika diskriminannya nol? Mari kita bernalar.

Rumus akar terlihat seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminannya nol, maka akarnya juga nol. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Artinya, nilai akar persamaan akan cocok, karena penambahan atau pengurangan nol tidak mengubah apa pun.

Contoh : Cari akar persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Keputusan :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis koefisien:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Hitung diskriminan menggunakan rumus \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari akar persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Kami memiliki dua akar yang identik, jadi tidak masuk akal untuk menuliskannya secara terpisah - kami menuliskannya sebagai satu.

Menjawab : \(x=2\)

Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika mungkin).

Selain itu, jawabannya ditampilkan tepat, bukan perkiraan.
Misalnya, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawabannya ditampilkan dalam bentuk ini:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ sebagai ganti ini: \(x_1 = 0,247; \ segi empat x_2 = -0,05 \)

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah atas dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan polinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial persegi

Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika memecahkan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Memutuskan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Anda menonaktifkan JavaScript di browser Anda.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
memiliki bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat.

Definisi.
persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).

Angka a, b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat. Angka a disebut koefisien pertama, angka b adalah koefisien kedua dan angka c adalah intersep.

Dalam setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, di mana \(a \neq 0 \), pangkat terbesar dari variabel x adalah persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sisi kirinya adalah polinomial derajat kedua.

Persamaan kuadrat di mana koefisien pada x 2 adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Misalnya, persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.

Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri dari tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, di mana \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Pertimbangkan solusi persamaan dari masing-masing jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), suku bebasnya dipindahkan ke ruas kanan dan kedua bagian persamaan dibagi dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan dapatkan persamaannya
\(x(ax+b)=0 \Panah kanan \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)

Oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu memiliki dua akar.

Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 \u003d 0 setara dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan karenanya memiliki satu akar 0.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana persamaan kuadrat diselesaikan di mana kedua koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.

Kami memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh rumus akar. Kemudian rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0

Membagi kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah kanan \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Panah kanan \) \(\kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Panah kanan x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ekspresi akar disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - pembeda). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kami menulis ulang rumus untuk akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, tergantung pada nilai diskriminan, persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak ada akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini , disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, maka gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, maka tuliskan bahwa tidak ada akar.

teorema Vieta

Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 memiliki akar 2 dan 5. Jumlah akar adalah 7, dan produk adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua, diambil dengan berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang memiliki akar memiliki sifat ini.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 memiliki sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya di teks "KU". Teman-teman, tampaknya dalam matematika itu bisa lebih mudah daripada menyelesaikan persamaan seperti itu. Tetapi sesuatu mengatakan kepada saya bahwa banyak orang memiliki masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan yang diberikan Yandex per permintaan per bulan. Inilah yang terjadi, lihatlah:

Apa artinya? Ini berarti bahwa sekitar 70.000 orang per bulan mencari informasi ini, dan ini adalah musim panas, dan apa yang akan terjadi selama tahun ajaran - akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang telah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan ujian mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materi. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya atas permintaan ini; kedua, di artikel lain, ketika muncul ucapan “KU”, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda sedikit lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,bdan dengan angka arbitrer, dengan a≠0.

Dalam kursus sekolah, materi diberikan dalam bentuk berikut - pembagian persamaan menjadi tiga kelas dilakukan secara kondisional:

1. Memiliki dua akar.

2. * Hanya memiliki satu root.

3. Tidak memiliki akar. Perlu dicatat di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminan. Di bawah kata "mengerikan" ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

* Rumus-rumus ini harus diketahui dengan hati.

Anda dapat segera menuliskan dan memutuskan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Pada kesempatan ini, ketika diskriminan adalah nol, kursus sekolah mengatakan bahwa satu akar diperoleh, di sini sama dengan sembilan. Itu benar, itu, tapi...

Representasi ini agak salah. Sebenarnya, ada dua akar. Ya, ya, jangan heran, ternyata dua akar yang sama, dan untuk menjadi akurat secara matematis, maka dua akar harus ditulis dalam jawaban:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah, Anda dapat menulis dan mengatakan bahwa hanya ada satu akar.

Sekarang contoh berikut:

Seperti yang kita ketahui, akar dari bilangan negatif tidak diekstraksi, sehingga tidak ada solusi dalam kasus ini.

Itulah seluruh proses keputusan.

Fungsi kuadrat.

Berikut adalah bagaimana solusinya terlihat secara geometris. Ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel, kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari bentuk:

di mana x dan y adalah variabel

a, b, c diberi nomor, di mana a 0

Grafiknya berbentuk parabola:

Artinya, ternyata dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan "y" sama dengan nol, kita menemukan titik potong parabola dengan sumbu x. Mungkin ada dua dari titik ini (diskriminan positif), satu (diskriminan adalah nol) atau tidak sama sekali (diskriminan negatif). Lebih lanjut tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Pertimbangkan contoh:

Contoh 1: Putuskan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = -12

* Anda dapat langsung membagi ruas kiri dan kanan persamaan dengan 2, yaitu, sederhanakan. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapatkan x 1 \u003d 11 dan x 2 \u003d 11

Dalam jawabannya, diperbolehkan untuk menulis x = 11.

Jawab: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminan negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminan adalah negatif. Ada solusi!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan dalam kasus ketika diskriminan negatif diperoleh. Apakah Anda tahu sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran dan kebutuhan khusus mereka dalam matematika, ini adalah topik untuk artikel terpisah yang besar.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan dengan bentuk

z = a + bi

di mana a dan b adalah bilangan real, i adalah apa yang disebut unit imajiner.

a+bi adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Dapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Pertimbangkan kasus khusus, ini adalah ketika koefisien "b" atau "c" sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Mereka diselesaikan dengan mudah tanpa diskriminan.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Transformasikan, faktorkan:

*Produknya sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan koefisien besar.

sebuahx 2 + bx+ c=0 persamaan

sebuah + b+ c = 0, kemudian

— jika untuk koefisien persamaan sebuahx 2 + bx+ c=0 persamaan

sebuah+ dengan =b, kemudian

Sifat-sifat ini membantu memecahkan jenis persamaan tertentu.

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah koefisiennya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, jadi

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Persamaan sebuah+ dengan =b, cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0 koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

ax 2 + (a 2 +1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 - bx + c \u003d 0, koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 + 1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam persamaan ax 2 + bx - c = 0 koefisien "b" sama (a 2 – 1), dan koefisien “c” numerik sama dengan koefisien "a", maka akar-akarnya sama

ax 2 + (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 - bx - c \u003d 0, koefisien "b" sama dengan (a 2 - 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai ahli matematika Prancis terkenal Francois Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, seseorang dapat menyatakan jumlah dan produk dari akar-akar KU arbitrer dalam hal koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Singkatnya, angka 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat dengan segera secara lisan.

Teorema Vieta, apalagi. nyaman karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini sepanjang waktu.

METODE TRANSFER

Dengan metode ini, koefisien "a" dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" ke sana, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika sebuah sebuah± b+c 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menurut teorema Vieta dalam persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Akar persamaan yang diperoleh harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah:

Jika Anda melihat akar persamaan, maka hanya penyebut yang berbeda yang diperoleh, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien di x 2:

Akar kedua (dimodifikasi) 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita menggulung three of a kind, maka hasilnya kita bagi dengan 3, dan seterusnya.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi ur-yaitu dan ujian.

Saya akan mengatakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir, Anda perlu mengetahui rumus akar dan pembeda dengan hati. Banyak tugas yang merupakan bagian dari tugas USE turun ke penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk yang geometris).

Apa yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk persamaan bisa "implisit". Misalnya, entri berikut dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standar (agar tidak bingung saat menyelesaikannya).

2. Ingat bahwa x adalah nilai yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h, dan lainnya.