Artikel ini berisi informasi dasar tentang bilangan asli. Pertama, definisi bilangan real diberikan dan contoh diberikan. Posisi bilangan real pada garis koordinat ditunjukkan berikutnya. Dan sebagai kesimpulan, dianalisis bagaimana bilangan real diberikan dalam bentuk ekspresi numerik.
Navigasi halaman.
Pengertian dan contoh bilangan real
Bilangan nyata sebagai ekspresi
Dari definisi bilangan real, jelaslah bahwa bilangan real adalah:
- bilangan asli apa pun;
- bilangan bulat apa saja;
- pecahan biasa apa pun (baik positif maupun negatif);
- nomor campuran apa pun;
- pecahan desimal apa pun (positif, negatif, hingga, periodik tak hingga, non-periodik tak hingga).
Tetapi sangat sering bilangan real dapat dilihat dalam bentuk , dll. Selain itu, jumlah, selisih, produk, dan hasil bagi bilangan real juga bilangan real (lihat operasi dengan bilangan real). Misalnya, ini adalah bilangan real.
Dan jika Anda melangkah lebih jauh, maka dari bilangan real menggunakan tanda aritmatika, tanda akar, derajat, logaritma, fungsi trigonometri, dll. anda dapat membuat semua jenis ekspresi numerik, yang nilainya juga akan menjadi bilangan real. Misalnya, nilai ekspresi 
dan 
adalah bilangan real.
Sebagai penutup artikel ini, kami mencatat bahwa langkah selanjutnya dalam memperluas konsep bilangan adalah transisi dari bilangan real ke bilangan kompleks.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).
Hak Cipta oleh siswa pintar
Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
Ulangan SMP
Integral
Turunan
Volume tubuh
Padat revolusi
Metode koordinat dalam ruang
Sistem koordinat persegi panjang. Hubungan antara koordinat vektor dan koordinat titik. Masalah paling sederhana dalam koordinat. Produk skalar dari vektor.
Konsep silinder. Luas permukaan silinder. Konsep kerucut.
Luas permukaan kerucut. Bola dan bola. Area bola. Saling mengatur bola dan bidang.
Konsep volume. Volume paralelepiped persegi panjang. Volume prisma lurus, silinder. Volume piramida dan kerucut. Volume bola.
Bagian III. Awal dari analisis matematika
Turunan. Turunan dari fungsi daya. Aturan diferensiasi. Turunan dari beberapa fungsi dasar. Arti geometris turunan.
Penerapan turunan untuk studi fungsi Fungsi naik dan turun. Ekstrim dari fungsi. Penerapan turunan untuk merencanakan grafik. Nilai terbesar, terkecil dari fungsi.
Primitif. Aturan untuk menemukan primitif. Luas trapesium lengkung dan integralnya. Perhitungan integral. Perhitungan luas menggunakan integral.
Tugas pelatihan untuk ujian
Bagian I. Aljabar
Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Angka muncul dalam masyarakat primitif sehubungan dengan kebutuhan orang untuk menghitung benda. Seiring waktu, dengan perkembangan ilmu pengetahuan, bilangan telah menjadi konsep matematika yang paling penting.
Untuk memecahkan masalah dan membuktikan berbagai teorema, Anda perlu memahami apa itu jenis bilangan. Jenis utama bilangan meliputi: bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real.
Bilangan asli adalah bilangan yang diperoleh dengan penghitungan alami benda, atau lebih tepatnya, dengan penomorannya ("pertama", "kedua", "ketiga" ...). Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf Latin N (Anda dapat mengingatnya, berdasarkan kata bahasa Inggris natural). Kita dapat mengatakan bahwa N =(1,2,3,....)
Dengan melengkapi bilangan asli dengan nol dan bilangan negatif (yaitu, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli), himpunan bilangan asli diperluas ke himpunan bilangan bulat.
Integer adalah bilangan dari himpunan (0, 1, -1, 2, -2, ....). Himpunan ini terdiri dari tiga bagian - bilangan asli, bilangan bulat negatif (kebalikan dari bilangan asli) dan angka 0 (nol). Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Latin Z. Kita dapat mengatakan bahwa Z=(1,2,3,....). Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli.
Ada bilangan rasional yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan desimal hingga, misalnya. Jika, misalnya, Anda mencoba menulis angka sebagai pecahan desimal menggunakan algoritma sudut pembagian yang terkenal, Anda mendapatkan pecahan desimal tak terbatas. Desimal tak hingga disebut berkala, mengulang nomor 3 - dia Titik. Pecahan periodik secara singkat ditulis sebagai berikut: 0, (3); berbunyi: "Nol bilangan bulat dan tiga dalam periode."
Secara umum, pecahan periodik adalah pecahan desimal tak terbatas, di mana, mulai dari tempat desimal tertentu, digit yang sama atau beberapa digit diulang - periode pecahan.
Misalnya, desimal adalah periodik dengan periode 56; berbunyi "23 bilangan bulat, 14 perseratus dan 56 pada periode tersebut."
Jadi, setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik tak hingga.
Pernyataan sebaliknya juga benar: setiap pecahan desimal periodik tak terbatas adalah bilangan rasional, karena dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana bilangan bulat, adalah bilangan asli.
Bilangan nyata (real) adalah bilangan yang digunakan untuk mengukur besaran kontinu. Himpunan bilangan real dilambangkan dengan huruf latin R. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang diperoleh dengan melakukan berbagai operasi pada bilangan rasional (misalnya, mengekstrak akar, menghitung logaritma), tetapi tidak rasional pada saat yang bersamaan. Contoh bilangan irasional adalah .
Setiap bilangan real dapat ditampilkan pada garis bilangan:
Untuk himpunan bilangan di atas, pernyataan berikut benar: himpunan bilangan asli termasuk himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat termasuk himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan rasional termasuk himpunan himpunan bilangan real. Pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan lingkaran Euler.
Latihan untuk memecahkan diri sendiri
Jika bilangan tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan tak tereduksi $$\frac(p)(q)$$, maka disebut irasional.
Bilangan irasional ditulis sebagai pecahan desimal non-periodik tak terhingga.
Fakta adanya bilangan irasional akan ditunjukkan dengan sebuah contoh.
Contoh 1.4.1. Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2.
Keputusan. Misalkan ada pecahan $$\frac(p)(q)$$ yang tidak dapat direduksi sedemikian rupa sehingga $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
atau $$p^(2)=2q^(2)$$. Oleh karena itu $$p^(2)$$ adalah kelipatan 2, dan karenanya p adalah kelipatan 2. Jika tidak, jika p tidak habis dibagi 2, yaitu, $$p=2k-1$$, maka $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ juga tidak habis dibagi 2. Oleh karena itu, $ $ p=2k$$ $$\Panah Kanan$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Panah Kanan$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Panah kanan$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Karena $$q^(2)$$ adalah kelipatan 2, maka q juga kelipatan 2, mis. $$q=2jt$$.
Jadi, angka p dan q memiliki faktor persekutuan - angka 2, yang berarti bahwa pecahan $$\frac(p)(q)$$ berkurang.
Kontradiksi ini berarti bahwa asumsi yang dibuat salah, sehingga pernyataan terbukti.
Himpunan bilangan rasional dan irasional disebut himpunan bilangan real.
Dalam himpunan bilangan real, operasi penjumlahan dan perkalian diperkenalkan secara aksiomatis: setiap dua bilangan real a dan b diberi bilangan $$a+b$$ dan produk $$a\cdot b$$.
Selain itu, hubungan "lebih besar dari", "kurang dari" dan kesetaraan diperkenalkan di set ini:
$$a>b$$ jika dan hanya jika a - b adalah bilangan positif;
$$a
Mari kita daftar sifat-sifat utama pertidaksamaan numerik.
1. Jika $$a>b$$ dan $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Jika $$a>b$$ dan $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Jika $$a>b$$ dan $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. Jika a, b, c, d adalah bilangan positif sehingga $$a>b$$ dan $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Konsekuensi. Jika a dan b bilangan positif dan $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Jika $$a>b$$ dan $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Jika $$a>0$$, $$b>0$$ dan $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
Interpretasi geometris bilangan real.
Mari kita ambil garis lurus aku, lihat gambar. 1.4.1, dan perbaiki titik O di atasnya - titik asal.
Titik O membagi garis menjadi dua bagian - sinar. Sinar yang diarahkan ke kanan disebut sinar positif, dan sinar yang diarahkan ke kiri disebut sinar negatif. Pada garis lurus, kami menandai segmen yang diambil sebagai satuan panjang, mis. masukkan skala.
Beras. 1.4.1. Interpretasi geometris bilangan real.
Garis lurus dengan asal yang dipilih, arah dan skala positif disebut garis bilangan.
Setiap titik dari garis bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan real menurut aturan berikut:
- titik O akan diberikan nol;
– setiap titik N pada sinar positif diberi angka positif a, di mana a adalah panjang segmen ON ;
– setiap titik M pada sinar negatif diberi angka negatif b, di mana $$b=-\left | OM \kanan |$$ (panjang segmen OM, diambil dengan tanda minus).
Dengan demikian, korespondensi satu-satu dibuat antara himpunan semua titik dari garis bilangan real dan himpunan bilangan real, yaitu :
1) setiap titik pada garis bilangan diberi satu dan hanya satu bilangan real;
2) poin yang berbeda diberikan nomor yang berbeda;
3) tidak ada satu pun bilangan real yang tidak bersesuaian dengan titik mana pun pada garis bilangan.
Contoh 1.4.2. Pada garis bilangan, tandai titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Keputusan. 1) Untuk menandai bilangan pecahan $$\frac(12)(7)$$, Anda perlu membuat titik yang sesuai dengan $$\frac(12)(7)$$.
Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi segmen dengan panjang 1 menjadi 7 bagian yang sama. Kami memecahkan masalah ini dengan cara ini.
Kami menggambar sinar sewenang-wenang dari t.O dan menyisihkan 7 segmen yang sama pada sinar ini. Mendapatkan
segmen OA, dan dari titik A kita tarik garis lurus ke perpotongan dengan 1.
Beras. 1.4.2. Pembagian segmen tunggal menjadi 7 bagian yang sama.
Garis lurus yang ditarik sejajar dengan garis lurus A1 melalui ujung segmen yang diberhentikan membagi segmen unit panjang menjadi 7 bagian yang sama (Gbr. 1.4.2). Hal ini memungkinkan untuk membangun sebuah titik yang mewakili angka $$1\frac(5)(7)$$ (Gbr.1.4.3).
Beras. 1.4.3. Titik pada sumbu angka yang sesuai dengan angka $$1\frac(5)(7)$$.
2) Angka $$\sqrt(2)$$ dapat diperoleh seperti ini. Kami membangun segitiga siku-siku dengan kaki satuan. Maka panjang sisi miringnya adalah $$\sqrt(2)$$; segmen ini disisihkan dari O pada garis bilangan (Gbr. 1.4.4).
3) Untuk membangun sebuah titik yang jauh dari PO pada jarak $$\sqrt(3)$$ (ke kanan), perlu untuk membangun segitiga siku-siku dengan panjang kaki 1 dan $$\sqrt(2) $$. Kemudian sisi miringnya memiliki panjang $$\sqrt(2)$$, yang memungkinkan Anda untuk menentukan titik yang diinginkan pada sumbu nyata.
Untuk bilangan real, konsep modul (atau nilai absolut) didefinisikan.
Beras. 1.4.4. Titik pada sumbu angka yang sesuai dengan angka $$\sqrt(2)$$.
Modulus bilangan real a disebut:
adalah bilangan itu sendiri, jika sebuah adalah bilangan positif;
- nol jika sebuah- nol;
– -sebuah, jika sebuah- angka negatif.
Nilai mutlak suatu bilangan sebuah dilambangkan dengan $$\left | a \kanan |$$.
Definisi modul (atau nilai absolut) dapat ditulis sebagai:
| $$\kiri | a \kanan |=\kiri\(\begin(matriks)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
Secara geometris, modul bilangan a berarti jarak pada garis bilangan dari titik asal O ke titik yang sesuai dengan bilangan tersebut. sebuah.
Kami mencatat beberapa properti modul.
1. Untuk nomor berapa pun sebuah persamaan $$\left | a \kanan |=\kiri | -a \kanan |$$.
2. Untuk bilangan apa saja sebuah dan b persamaan itu benar
$$\kiri | ab \kanan |=\kiri | a \kanan |\cdot \kiri | b \kanan |$$; $$\kiri | \frac(a)(b) \kanan |=\frac(\kiri | a \kanan |)(\kiri | b \kanan |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\kiri | a \kanan |^(2)=a^(2)$$.
3. Untuk nomor berapa pun sebuah pertidaksamaan $$\left | a \kanan |\geq 0$$.
4. Untuk nomor berapa pun sebuah pertidaksamaan $$-\left | a\kanan |\leq a\leq \kiri | a \kanan |$$.
5. Untuk bilangan apa saja sebuah dan b ketidaksetaraan
$$\kiri | a+b \kanan |\leq \kiri | a \kanan |+\kiri | b \kanan |$$
Perhatikan himpunan bilangan berikut.
Jika $$a
2) interval (a; b) adalah himpunan semua bilangan real α
, untuk masing-masing bernilai benar: $$a<\alpha
Demikian pula, Anda dapat memasukkan setengah interval.
Dalam beberapa kasus, seseorang berbicara tentang "celah", yang berarti dengan ini baik sinar, atau segmen, atau interval, atau setengah interval.
Sekelompok R semua bilangan real dilambangkan sebagai berikut: $$(-\infty; \infty)$$.
Untuk setiap bilangan real a, kami memperkenalkan konsep derajat dengan eksponen alami n, yaitu
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ dan $$a^(1)=a$$.
Biarlah sebuah adalah sembarang angka bukan nol, maka menurut definisi $$a^(0)=1$$.
Kekuatan nol dari nol tidak ditentukan.
Biarlah sebuah- sembarang angka bukan nol, m adalah bilangan bulat apa saja. Maka angka $$a^(m)$$ ditentukan dengan aturan:
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$
di mana saya disebut derajat dengan eksponen bilangan bulat.
Sebelum mendefinisikan konsep derajat dengan eksponen rasional, kami memperkenalkan konsep akar aritmatika.
Derajat akar aritmatika n (n N, n > 2) bilangan non-negatif sebuah disebut bilangan non-negatif b seperti yang b n = a. Nomor b dilambangkan sebagai $$b\sqrt[n](a)$$.
Sifat-sifat akar aritmatika ( a > 0, b > 0, n, m, k- bilangan bulat.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\left | a \kanan |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\left | a \kanan |$$ |
Biarlah sebuah< 0
, sebuah n adalah bilangan asli lebih besar dari 1. Jika n adalah bilangan genap, maka persamaannya b n = a tidak berlaku untuk nilai nyata apa pun b. Ini berarti bahwa dalam bidang bilangan real tidak mungkin untuk menentukan akar derajat genap dari bilangan negatif. Jika n adalah bilangan ganjil, maka hanya ada satu bilangan real b seperti yang b n = a. Bilangan ini dilambangkan n a dan disebut akar ganjil dari bilangan negatif.
Menggunakan definisi menaikkan ke pangkat bilangan bulat dan definisi akar aritmatika, kami memberikan definisi derajat dengan eksponen rasional.
Biarlah sebuah adalah bilangan positif dan $$r=\frac(p)(q)$$ adalah bilangan rasional, dan q- bilangan asli.
nomor positif
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
disebut pangkat dari a dengan eksponen r dan dilambangkan sebagai
$$b=a^(r)$$, atau $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, di sini $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
Pertimbangkan sifat dasar derajat dengan eksponen rasional.
Biarlah sebuah dan b sembarang bilangan positif, r 1 dan r 2 sembarang bilangan rasional. Maka sifat-sifat berikut ini benar:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. Jika $$a>1$$ dan $$r_(1)>0\Panah kanan a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. Jika $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Panah Kanan 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. Jika $$a>1$$ dan $$r_(1)>r_(2)\Panah kanan a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. Jika $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Panah kanan a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
Konsep derajat bilangan positif digeneralisasikan untuk setiap eksponen nyata α
.
Menentukan derajat bilangan positif a dengan pangkat nyata α
.
1. Jika $$\alpha > 0$$ dan
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Panah kanan a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matriks)\kanan.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, di mana p dan q- bilangan asli $$\Panah kanan a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α adalah bilangan irasional, maka
a) jika a > 1, maka sebuah- angka lebih besar dari r i dan kurang dari sebuah r k, di mana r saya α
dengan kekurangan rk- setiap pendekatan rasional dari suatu bilangan α
Berlebihan;
b) jika 0< sebuah< 1, то sebuah- angka yang lebih besar dari sebuah r k dan kurang dari sebuah r saya;
c) jika sebuah= 1, maka a = 1.
2. Jika $$\alpha=0$$, maka a = 1.
3. Jika $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
Nomor sebuah disebut derajat, angka a adalah dasar derajat, angka α
- eksponen.
Perpangkatan dari bilangan positif dengan eksponen real memiliki sifat yang sama dengan pangkat dengan eksponen rasional.
Contoh 1.4.3. Hitung $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
Keputusan. Mari kita gunakan properti root:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
Menjawab. 6.
Contoh 1.4.4. Hitung $$6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
Tetapi apakah pecahan ini selalu periodik? Jawaban atas pertanyaan ini adalah negatif: ada segmen yang panjangnya tidak dapat dinyatakan dengan pecahan periodik tak hingga (yaitu, bilangan rasional positif) dengan satuan panjang yang dipilih. Ini adalah penemuan paling penting dalam matematika, yang diikuti bahwa bilangan rasional tidak cukup untuk mengukur panjang segmen.
Jika satuan panjang adalah panjang sisi sebuah persegi, maka panjang diagonal persegi tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional positif.
Dari pernyataan ini dapat disimpulkan bahwa ada segmen yang panjangnya tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan positif (dengan satuan panjang yang dipilih), atau, dengan kata lain, ditulis sebagai pecahan periodik tak hingga. Ini berarti bahwa pecahan desimal tak terbatas yang diperoleh dengan mengukur panjang segmen bisa menjadi non-periodik.
Diyakini bahwa pecahan desimal non-periodik tak terbatas adalah rekor angka baru - bilangan irasional positif. Karena konsep bilangan dan notasinya sering diidentifikasi, mereka mengatakan bahwa pecahan desimal periodik tak terbatas adalah bilangan irasional positif.
Himpunan bilangan irasional positif dilambangkan dengan simbol J+.
Gabungan dua himpunan bilangan: rasional positif dan irasional positif disebut himpunan bilangan real positif dan dilambangkan dengan simbol R+.
Setiap bilangan real positif dapat diwakili oleh pecahan desimal tak terbatas - periodik (jika rasional) atau non-periodik (jika irasional).
Tindakan pada bilangan real positif direduksi menjadi tindakan pada bilangan rasional positif. Dalam hal ini, untuk setiap bilangan real positif, nilai perkiraannya diperkenalkan dalam hal kekurangan dan kelebihan.
Biarkan dua bilangan real positif diberikan sebuah dan b, sebuah dan bn- menurut perkiraan mereka dalam hal kekurangan, a¢n dan b¢n adalah perkiraan mereka berlebihan.
Jumlah bilangan real sebuah dan b sebuah+ b n memenuhi ketidaksetaraan sebuah+ bn ≤ sebuah + b< a¢n + bun.
Hasil kali bilangan real sebuah dan b bilangan real seperti itu disebut sebuah× b, yang untuk alam apa pun n memenuhi ketidaksetaraan sebuah× bn ≤
sebuah b
Selisih bilangan real positif sebuah dan b bilangan real seperti itu disebut dengan, Apa sebuah= b + c.
Hasil bagi bilangan real positif sebuah dan b bilangan real seperti itu disebut dengan, Apa sebuah= b × s.
Gabungan himpunan bilangan real positif dengan himpunan bilangan real negatif dan nol adalah himpunan R dari semua bilangan real.
Perbandingan bilangan real dan operasinya dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui dari kursus matematika sekolah.
Soal 60. Temukan tiga tempat desimal pertama dari jumlah 0,333… + 1,57079…
Keputusan. Mari kita ambil pendekatan desimal dari istilah dengan empat tempat desimal:
0,3333 < 0,3333… < 0,3334
1,5707 < 1,57079… < 1,5708.
Jumlahkan: 1,9040 0,333… + 1,57079…< 1,9042.
Oleh karena itu, 0,333… + 1,57079…= 1,904…
Tugas 61. Temukan dua tempat desimal pertama dari produk a x b, jika sebuah= 1.703604… dan b = 2,04537…
Keputusan. Kami mengambil perkiraan desimal dari angka-angka ini dengan tiga tempat desimal:
1,703 < sebuah <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:
1,703 × 2,045 a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.
Dengan demikian, a x b= 3,48…
Latihan untuk pekerjaan mandiri
1. Tuliskan aproksimasi desimal dari bilangan irasional = 3,1415 ... dalam hal kekurangan dan kelebihan dengan ketelitian:
a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.
2. Temukan tiga tempat desimal pertama dari jumlah tersebut sebuah+ b, jika:
sebuah) sebuah = 2,34871…, b= 5.63724…; b) sebuah = , b= ; di) sebuah = ; b= ; G) sebuah = ; b = .
