Kuliah 3 FNP, turunan parsial, diferensial

Apa hal utama yang kita pelajari di kuliah terakhir?

Kami mempelajari apa fungsi dari beberapa variabel dengan argumen dari ruang Euclidean. Mempelajari apa batas dan kontinuitas untuk fungsi seperti itu

Apa yang akan kita pelajari dalam kuliah ini?

Melanjutkan studi FNP, kami akan mempelajari turunan parsial dan diferensial untuk fungsi-fungsi ini. Pelajari cara menulis persamaan bidang singgung dan normal ke permukaan.

Turunan parsial, FNP diferensial penuh. Hubungan antara diferensiabilitas suatu fungsi dan keberadaan turunan parsial

Untuk fungsi satu variabel nyata, setelah mempelajari topik "Batas" dan "Kontinuitas" (Pengantar Analisis Matematika), turunan dan diferensial fungsi dipelajari. Mari kita beralih ke pertimbangan pertanyaan serupa untuk fungsi beberapa variabel. Perhatikan bahwa jika semua argumen kecuali satu adalah tetap dalam FRR, maka FRR menghasilkan fungsi dari satu argumen, yang satu dapat mempertimbangkan kenaikan, diferensial, dan turunan. Kami akan menyebutnya kenaikan parsial, diferensial parsial, dan turunan parsial, masing-masing. Mari kita beralih ke definisi yang tepat.

Definisi 10. Biarkan fungsi variabel diberikan di mana - elemen ruang Euclidean dan peningkatan yang sesuai dari argumen , ,…, . Ketika nilai , disebut peningkatan parsial dari fungsi . Pertambahan total suatu fungsi adalah nilai dari .

Misalnya, untuk fungsi dua variabel , di mana adalah titik pada bidang dan , kenaikan yang sesuai dari argumen, kenaikan , akan menjadi pribadi. Dalam hal ini, nilainya adalah peningkatan penuh dari fungsi dua variabel.

Definisi 11. Turunan parsial dari suatu fungsi variabel oleh variabel adalah batas rasio kenaikan parsial suatu fungsi oleh variabel ini dengan kenaikan argumen yang sesuai ketika cenderung ke 0.

Kami menulis Definisi 11 sebagai rumus atau diperluas. (2) Untuk fungsi dua variabel, Definisi 11 dapat ditulis dalam bentuk rumus , . Dari sudut pandang praktis, definisi ini berarti bahwa ketika menghitung turunan parsial terhadap satu variabel, semua variabel lainnya adalah tetap dan kami menganggap fungsi ini sebagai fungsi dari satu variabel yang dipilih. Sehubungan dengan variabel ini, turunan biasa diambil.

Contoh 4. Untuk suatu fungsi , temukan turunan parsial dan titik di mana kedua turunan parsial adalah 0.

Keputusan . Kami menghitung turunan parsial , dan tulis sistem dalam bentuk Solusi dari sistem ini adalah dua titik dan .

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana konsep diferensial dapat digeneralisasikan ke FNP. Ingat bahwa suatu fungsi dari satu variabel disebut terdiferensiasi jika kenaikannya direpresentasikan sebagai: , sedangkan nilai adalah bagian utama dari kenaikan fungsi dan disebut diferensialnya. Nilai adalah fungsi dari , memiliki sifat yang , yaitu, adalah fungsi yang sangat kecil dibandingkan dengan . Suatu fungsi dari satu variabel dapat terdiferensialkan di suatu titik jika dan hanya jika fungsi tersebut memiliki turunan di titik tersebut. Selain itu, konstanta dan sama dengan turunan ini, yaitu, rumusnya valid untuk diferensial .

Jika kita mempertimbangkan peningkatan parsial FNP, maka hanya satu dari argumen yang berubah, dan peningkatan parsial ini dapat dianggap sebagai peningkatan fungsi satu variabel, yaitu, teori yang sama bekerja. Oleh karena itu, kondisi diferensiasi berlaku jika dan hanya jika ada turunan parsial, dalam hal ini diferensial parsial diberikan oleh .

Berapakah diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel?

Definisi 12. Fungsi Variabel disebut terdiferensiasi pada suatu titik , jika kenaikannya direpresentasikan sebagai . Dalam hal ini, bagian utama dari kenaikan disebut diferensial FNP.

Jadi, diferensial FNP adalah nilai . Mari kita perjelas apa yang kita maksud dengan nilai , yang akan kita sebut sangat kecil dibandingkan dengan penambahan argumen . Ini adalah fungsi yang memiliki sifat bahwa jika semua kenaikan kecuali satu adalah 0, maka persamaannya . Pada dasarnya, ini berarti bahwa = = + +…+ .

Dan bagaimanakah hubungan syarat untuk diferensiasi FNP dan syarat adanya turunan parsial dari fungsi ini?

Teorema 1. Jika suatu fungsi variabel terdiferensialkan di suatu titik , maka ia memiliki turunan parsial terhadap semua variabel pada titik ini dan pada waktu yang sama .

Bukti. Kami menulis persamaan untuk dan dalam bentuk dan membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan oleh . Dalam persamaan yang dihasilkan, kami melewati batas di . Akibatnya, kami mendapatkan kesetaraan yang diperlukan . Teorema telah terbukti.

Konsekuensi. Diferensial suatu fungsi variabel dihitung dengan rumus . (3)

Dalam contoh 4, diferensial fungsi sama dengan . Perhatikan bahwa diferensial yang sama pada suatu titik sama dengan . Tetapi jika kita menghitungnya pada suatu titik dengan kenaikan , , maka diferensialnya akan sama dengan . Perhatikan bahwa , nilai eksak dari fungsi yang diberikan pada titik sama dengan , tetapi nilai yang sama, kira-kira dihitung menggunakan diferensial pertama, sama dengan . Kita melihat bahwa dengan mengganti kenaikan suatu fungsi dengan diferensialnya, kita dapat memperkirakan nilai-nilai fungsi tersebut.

Tetapi akankah suatu fungsi dari beberapa variabel terdiferensialkan pada suatu titik jika memiliki turunan parsial pada titik tersebut. Tidak seperti fungsi dari satu variabel, jawaban untuk pertanyaan ini adalah tidak. Rumusan yang tepat dari hubungan tersebut diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 2. Jika fungsi variabel di titik ada turunan parsial kontinu terhadap semua variabel, maka fungsi tersebut terdiferensialkan pada titik ini.

sebagai . Hanya satu variabel yang berubah di setiap braket, jadi kita bisa menerapkan rumus kenaikan hingga Lagrange di sana-sini. Inti dari rumus ini adalah bahwa untuk fungsi terdiferensiasi kontinu dari satu variabel, perbedaan antara nilai fungsi di dua titik sama dengan nilai turunan di beberapa titik perantara, dikalikan dengan jarak antara titik. Menerapkan rumus ini ke masing-masing tanda kurung, kita dapatkan . Karena kontinuitas turunan parsial, turunan pada titik dan turunan pada titik berbeda dari turunan dan pada titik dengan nilai dan cenderung 0 sebagai cenderung 0. Tapi kemudian dan, jelas, . Teorema telah terbukti. , dan koordinat Periksa apakah titik ini milik permukaan. Tuliskan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal permukaan di titik yang ditentukan.

Keputusan. Betulkah, . Kami telah menghitung dalam kuliah terakhir diferensial fungsi ini pada titik sembarang, pada titik tertentu itu sama dengan . Oleh karena itu, persamaan bidang singgung akan ditulis dalam bentuk atau , dan persamaan normal - dalam bentuk .

Setiap turunan parsial (lebih dari x dan oleh kamu) dari fungsi dua variabel adalah turunan biasa dari fungsi satu variabel dengan nilai tetap dari variabel lainnya:

(di mana kamu= konstan),

(di mana x= konstan).

Oleh karena itu, turunan parsial dihitung dari rumus dan aturan untuk menghitung turunan fungsi satu variabel, sambil mempertimbangkan variabel lainnya sebagai konstanta (konstanta).

Jika Anda tidak memerlukan analisis contoh dan teori minimum yang diperlukan untuk ini, tetapi Anda hanya membutuhkan solusi untuk masalah Anda, maka lanjutkan ke kalkulator turunan parsial online .

Jika sulit untuk fokus melacak di mana konstanta berada dalam fungsi, maka Anda dapat mengganti angka apa pun dalam solusi konsep contoh alih-alih variabel dengan nilai tetap - maka Anda dapat dengan cepat menghitung turunan parsial seperti biasa turunan dari fungsi satu variabel. Anda hanya perlu untuk tidak lupa mengembalikan konstanta (variabel dengan nilai tetap) ke tempatnya saat selesai.

Sifat turunan parsial yang dijelaskan di atas mengikuti definisi turunan parsial, yang dapat ditemukan dalam soal-soal ujian. Oleh karena itu, untuk mengenal definisi di bawah ini, Anda bisa membuka referensi teorinya.

Konsep kontinuitas suatu fungsi z= f(x, kamu) pada suatu titik didefinisikan mirip dengan konsep ini untuk fungsi satu variabel.

Fungsi z = f(x, kamu) disebut kontinu di suatu titik jika

Selisih (2) disebut kenaikan total fungsi z(diperoleh dengan menambah kedua argumen).

Biarkan fungsinya z= f(x, kamu) dan titik

Jika fungsi berubah z terjadi ketika hanya salah satu argumen yang berubah, misalnya, x, dengan nilai tetap dari argumen lain kamu, maka fungsinya akan bertambah

disebut kenaikan parsial fungsi f(x, kamu) pada x.

Mengingat perubahan fungsi z tergantung pada perubahan hanya satu argumen, kami benar-benar meneruskan ke fungsi satu variabel.

Jika ada batas yang terbatas

maka disebut turunan parsial dari fungsi tersebut f(x, kamu) dengan argumen x dan dilambangkan dengan salah satu simbol

(4)

Kenaikan parsial didefinisikan dengan cara yang sama z pada kamu:

dan turunan parsial f(x, kamu) pada kamu:

(6)

Contoh 1

Keputusan. Kami menemukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "x":

(kamu tetap);

Kami menemukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "y":

(x tetap).

Seperti yang Anda lihat, tidak masalah sejauh mana variabel yang ditetapkan: dalam kasus ini, hanya beberapa angka yang merupakan faktor (seperti dalam kasus turunan biasa) dengan variabel yang kita temukan parsial turunan. Jika variabel tetap tidak dikalikan dengan variabel yang berkaitan dengan turunan parsial yang kita temukan, maka konstanta kesepian ini, tidak peduli sejauh mana, seperti dalam kasus turunan biasa, menghilang.

Contoh 2 Diberikan sebuah fungsi

Temukan Derivatif Parsial

(oleh x) dan (oleh y) dan hitung nilainya pada titik TETAPI (1; 2).

Keputusan. di tetap kamu turunan dari suku pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi pangkat ( tabel fungsi turunan dari satu variabel):

.

di tetap x turunan dari istilah pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi eksponensial, dan yang kedua - sebagai turunan dari konstanta:

Sekarang kita menghitung nilai turunan parsial ini pada titik TETAPI (1; 2):

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Contoh 3 Temukan Turunan Parsial dari Fungsi

Keputusan. Dalam satu langkah kita menemukan

(kamu x, seolah-olah argumen sinus adalah 5 x: dengan cara yang sama, 5 muncul sebelum tanda fungsi);

(x adalah tetap dan dalam hal ini merupakan faktor di kamu).

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Turunan parsial dari fungsi tiga atau lebih variabel didefinisikan dengan cara yang sama.

Jika setiap himpunan nilai ( x; kamu; ...; t) variabel bebas dari himpunan D sesuai dengan satu nilai tertentu kamu dari banyak E, kemudian kamu disebut fungsi dari variabel x, kamu, ..., t dan menunjukkan kamu= f(x, kamu, ..., t).

Untuk fungsi tiga variabel atau lebih, tidak ada interpretasi geometrik.

Turunan parsial dari suatu fungsi beberapa variabel juga didefinisikan dan dihitung dengan asumsi bahwa hanya satu variabel bebas yang berubah, sedangkan yang lain tetap.

Contoh 4 Temukan Turunan Parsial dari Fungsi

.

Keputusan. kamu dan z tetap:

x dan z tetap:

x dan kamu tetap:

Temukan turunan parsial sendiri dan lihat solusinya

Contoh 5

Contoh 6 Menemukan turunan parsial dari suatu fungsi.

Turunan parsial suatu fungsi beberapa variabel memiliki persamaan makna mekanis sebagai turunan dari fungsi satu variabel, adalah tingkat di mana fungsi berubah relatif terhadap perubahan salah satu argumen.

Contoh 8 kuantitas aliran P penumpang kereta api dapat dinyatakan sebagai fungsi

di mana P- jumlah penumpang, N- jumlah penduduk dari titik yang sesuai, R- jarak antar titik

Turunan parsial dari suatu fungsi P pada R sama dengan

menunjukkan bahwa penurunan arus penumpang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara titik-titik yang bersesuaian untuk jumlah penduduk yang sama di titik-titik tersebut.

Turunan parsial P pada N sama dengan

menunjukkan bahwa peningkatan arus penumpang sebanding dengan dua kali jumlah penduduk permukiman dengan jarak yang sama antar titik.

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Diferensial penuh

Produk turunan parsial dan kenaikan variabel bebas yang bersesuaian disebut diferensial parsial. Diferensial parsial dilambangkan sebagai berikut:

Jumlah diferensial parsial atas semua variabel independen memberikan diferensial total. Untuk fungsi dua variabel bebas, diferensial total dinyatakan dengan persamaan

(7)

Contoh 9 Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi

Keputusan. Hasil penggunaan rumus (7):

Suatu fungsi yang memiliki diferensial total pada setiap titik dari suatu domain disebut terdiferensiasi dalam domain tersebut.

Temukan diferensial total Anda sendiri dan kemudian lihat solusinya

Seperti halnya fungsi satu variabel, diferensiasi suatu fungsi di daerah tertentu menyiratkan kontinuitasnya di daerah ini, tetapi tidak sebaliknya.

Mari kita rumuskan tanpa bukti kondisi yang cukup untuk diferensiasi suatu fungsi.

Dalil. Jika fungsi z= f(x, kamu) memiliki turunan parsial kontinu

pada suatu daerah tertentu, maka terdiferensialkan pada daerah tersebut dan diferensialnya dinyatakan dengan rumus (7).

Dapat ditunjukkan bahwa, seperti dalam kasus fungsi satu variabel, diferensial fungsi adalah bagian linier utama dari kenaikan fungsi, sehingga dalam kasus fungsi beberapa variabel, diferensial totalnya adalah utama, linier sehubungan dengan kenaikan variabel independen, bagian dari total kenaikan fungsi.

Untuk fungsi dua variabel, kenaikan total fungsi memiliki bentuk:

(8)

di mana dan sangat kecil untuk dan .

Turunan parsial dari pesanan yang lebih tinggi

Turunan dan fungsi parsial f(x, kamu) sendiri merupakan beberapa fungsi dari variabel yang sama dan, pada gilirannya, mungkin memiliki turunan terhadap variabel yang berbeda, yang disebut turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Biarkan fungsi didefinisikan dalam beberapa domain (terbuka) D poin
ruang dimensi, dan
adalah titik di daerah ini, yaitu
D.

Kenaikan sebagian dari suatu fungsi banyak variabel untuk setiap variabel disebut kenaikan yang akan diterima fungsi jika kita memberikan kenaikan pada variabel ini, dengan asumsi bahwa semua variabel lain memiliki nilai konstan.

Misalnya, kenaikan sebagian fungsi atas variabel akan

Turunan parsial terhadap variabel bebas pada intinya
dari fungsi disebut batas (jika ada) dari hubungan kenaikan parsial
berfungsi untuk menambah
variabel sambil berusaha
ke nol:

Turunan parsial dilambangkan dengan salah satu simbol:

;
.

Komentar. Indeks di bawah ini dalam notasi ini hanya menunjukkan dari variabel mana turunan diambil, dan tidak terkait dengan titik mana
turunan ini dihitung.

Perhitungan turunan parsial bukanlah hal yang baru dibandingkan dengan perhitungan turunan biasa, hanya perlu diingat bahwa ketika mendiferensiasikan suatu fungsi terhadap suatu variabel, semua variabel lainnya dianggap sebagai konstanta. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh.

Contoh 1Temukan Turunan Parsial dari Fungsi
.

Keputusan. Saat menghitung turunan parsial dari suatu fungsi
dengan argumen pertimbangkan fungsinya sebagai fungsi dari satu variabel saja , yaitu percaya itu memiliki nilai tetap. di tetap fungsi
adalah fungsi kekuatan argumen . Menurut rumus untuk membedakan fungsi daya, kita memperoleh:

Demikian pula, ketika menghitung turunan parsial kita asumsikan bahwa nilainya tetap , dan perhatikan fungsinya
sebagai fungsi eksponensial dari argumen . Hasilnya, kita mendapatkan:

Contoh 2. Htemukan turunan parsial dan fungsi
.

Keputusan. Saat menghitung turunan parsial terhadap fungsi yang diberikan kami akan mempertimbangkan sebagai fungsi dari satu variabel , dan ekspresi yang mengandung , akan menjadi faktor konstan, yaitu
bertindak sebagai faktor konstan dengan fungsi daya (
). Membedakan ekspresi ini sehubungan dengan , kita mendapatkan:

.

Sekarang, sebaliknya, fungsinya dianggap sebagai fungsi dari satu variabel , sedangkan ekspresi yang mengandung , bertindak sebagai koefisien
(
).Membedakan sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi trigonometri, kita mendapatkan:

Contoh 3 Hitung Turunan Parsial dari suatu Fungsi
pada intinya
.

Keputusan. Kami pertama-tama menemukan turunan parsial dari fungsi ini pada titik sewenang-wenang
domain definisinya. Saat menghitung turunan parsial terhadap percaya itu
bersifat permanen.

saat membedakan dengan akan permanen
:

dan ketika menghitung turunan parsial sehubungan dengan dan oleh , sama, akan konstan, masing-masing,
dan
, yaitu:

Sekarang kita menghitung nilai turunan ini pada titik
, mengganti nilai variabel tertentu ke dalam ekspresinya. Hasilnya, kita mendapatkan:

11. Diferensial parsial dan total suatu fungsi

Jika sekarang ke peningkatan pribadi
menerapkan teorema Lagrange pada kenaikan hingga sehubungan dengan variabel , kemudian, menghitung kontinu, kita memperoleh hubungan berikut:

di mana
,
adalah kuantitas yang sangat kecil.

Diferensial Parsial suatu Fungsi menurut variabel disebut bagian linier utama dari kenaikan parsial
, sama dengan produk turunan parsial terhadap variabel ini dan kenaikan variabel ini, dan dilambangkan

Jelas, diferensial parsial berbeda dari kenaikan parsial dengan orde yang lebih tinggi yang sangat kecil.

Peningkatan fungsi penuh banyak variabel disebut kenaikannya, yang akan diterimanya ketika kita memberikan kenaikan ke semua variabel bebas, mis.

dimana semua orang
, tergantung pada dan bersama-sama dengan mereka cenderung nol.

Di bawah diferensial variabel bebas setuju maksudnya sewenang-wenang kenaikan
dan beri label
. Dengan demikian, ekspresi diferensial parsial akan berbentuk:

Misalnya, diferensial parsial pada didefinisikan seperti ini:

.

diferensial penuh
fungsi dari banyak variabel disebut bagian linier utama dari total increment
sama dengan, yaitu jumlah semua diferensial parsialnya:

Jika fungsi
memiliki turunan parsial kontinu

pada intinya
, lalu dia terdiferensiasi pada suatu titik tertentu.

Untuk cukup kecil untuk fungsi terdiferensiasi
ada persamaan perkiraan

,

yang dapat digunakan untuk perhitungan perkiraan.

Contoh 4Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi
tiga variabel
.

Keputusan. Pertama-tama, kami menemukan turunan parsial:

Memperhatikan bahwa mereka kontinu untuk semua nilai
, kita menemukan:

Untuk diferensial fungsi beberapa variabel, semua teorema tentang sifat-sifat diferensial adalah benar, yang telah dibuktikan untuk kasus fungsi satu variabel, misalnya: jika dan adalah fungsi kontinu dari variabel
, yang memiliki turunan parsial kontinu terhadap semua variabel, dan dan adalah konstanta arbitrer, maka:

(6)

turunan pribadi fungsi z = f(x, y dengan variabel x turunan dari fungsi ini disebut pada nilai konstan dari variabel y, dilambangkan atau z "x.

turunan pribadi fungsi z = f(x, y) dengan variabel y disebut turunan terhadap y pada nilai konstan variabel y; itu dilambangkan atau z "y.

Turunan parsial dari suatu fungsi beberapa variabel terhadap satu variabel didefinisikan sebagai turunan dari fungsi ini terhadap variabel yang bersesuaian, asalkan variabel lainnya dianggap konstan.

diferensial penuh fungsi z = f(x, y) di suatu titik M(X, y) disebut ekspresi

,

Dimana dan dihitung pada titik M(x, y), dan dx = , dy = y.

Contoh 1

Hitunglah diferensial total dari fungsi tersebut.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 pada titik M (1; 2)

Keputusan:

1) Temukan turunan parsial:

2) Hitung nilai turunan parsial pada titik M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pertanyaan untuk pengendalian diri:

1. Apa yang disebut dengan antiturunan? Sebutkan sifat-sifat antiturunan!

2. Apa yang disebut integral tak tentu?

3. Sebutkan sifat-sifat integral tak tentu.

4. Buat daftar rumus integrasi dasar.

5. Metode integrasi apa yang Anda ketahui?

6. Apa inti dari rumus Newton-Leibniz?

7. Berikan definisi integral tertentu.

8. Apa inti dari menghitung integral tentu dengan metode substitusi?

9. Apa inti dari metode menghitung integral tertentu per bagian?

10. Fungsi apa yang disebut fungsi dua variabel? Bagaimana penunjukannya?

11. Fungsi apa yang disebut fungsi tiga variabel?

12. Himpunan apa yang disebut domain dari suatu fungsi?

13. Dengan bantuan pertidaksamaan apa seseorang dapat mendefinisikan daerah tertutup D pada sebuah bidang?

14. Apa yang disebut turunan parsial dari fungsi z \u003d f (x, y) terhadap variabel x? Bagaimana penunjukannya?

15. Apa yang disebut turunan parsial dari fungsi z \u003d f (x, y) terhadap variabel y? Bagaimana penunjukannya?

16. Ekspresi apa yang disebut diferensial total dari suatu fungsi?

Topik 1.2 Persamaan diferensial biasa.

Masalah yang mengarah ke persamaan diferensial. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Solusi umum dan pribadi. Persamaan diferensial homogen orde pertama. Persamaan linier homogen orde kedua dengan koefisien konstan.

Pelajaran praktis No. 7 "Menemukan solusi umum dan khusus untuk persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan" *

Pelajaran Praktikum No.8 "Persamaan Diferensial Linier dan Homogen"

Pelajaran praktis No. 9 "Penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien konstan" *

L4, bab 15, hlm. 243 - 256

Pedoman