Kursus ini menggunakan bahasa geometris, terdiri dari notasi dan simbol yang diadopsi dalam pelajaran matematika (khususnya, dalam pelajaran geometri baru di sekolah menengah).
Seluruh ragam sebutan dan simbol, serta hubungan di antara mereka, dapat dibagi menjadi dua kelompok:
grup I - sebutan figur geometris dan hubungan di antara mereka;
kelompok II penunjukan operasi logis, yang merupakan dasar sintaksis dari bahasa geometris.
Berikut ini adalah daftar lengkap simbol matematika yang digunakan dalam kursus ini. Perhatian khusus diberikan pada simbol yang digunakan untuk menunjukkan proyeksi bentuk geometris.
Grup I
GAMBAR GEOMETRIS YANG DITENTUKAN SIMBOL DAN HUBUNGAN ANTARANYA
A. Penunjukan bentuk geometris
1. Angka geometris dilambangkan - F.
2. Poin ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin atau angka Arab:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Garis-garis yang terletak secara sewenang-wenang dalam kaitannya dengan bidang proyeksi ditunjukkan dengan huruf kecil dari alfabet Latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Garis level ditunjukkan: h - horizontal; f- frontal.
Notasi berikut juga digunakan untuk garis lurus:
(AB) - garis lurus yang melewati titik A dan B;
[AB) - sinar dengan awal di titik A;
[AB] - segmen garis lurus yang dibatasi oleh titik A dan B.
4. Permukaan dilambangkan dengan huruf kecil dari alfabet Yunani:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Untuk menekankan cara permukaan didefinisikan, Anda harus menentukan elemen geometris yang mendefinisikannya, misalnya:
(a || b) - bidang ditentukan oleh garis sejajar a dan b;
(d 1 d 2 gα) - permukaan ditentukan oleh pemandu d 1 dan d 2 , generatrix g dan bidang paralelisme .
5. Sudut ditunjukkan:
ABC - sudut dengan puncak di titik B, serta °, °, ... , °, ...
6. Sudut: nilai (ukuran derajat) ditunjukkan oleh tanda, yang ditempatkan di atas sudut:
Nilai sudut ABC;
Nilai sudut .
Sudut siku-siku ditandai dengan bujur sangkar dengan titik di dalamnya
7. Jarak antara bangun geometris ditunjukkan oleh dua segmen vertikal - ||.
Sebagai contoh:
|AB| - jarak antara titik A dan B (panjang ruas AB);
|Aa| - jarak dari titik A ke garis a;
|Aα| - jarak dari titik A ke permukaan ;
|ab| - jarak antara garis a dan b;
|αβ| jarak antara permukaan dan .
8. Untuk bidang proyeksi, sebutan berikut diterima: 1 dan 2, di mana 1 adalah bidang proyeksi horizontal;
bidang proyeksi 2 -fyuntal.
Saat mengganti bidang proyeksi atau memperkenalkan bidang baru, yang terakhir menunjukkan 3, 4, dll.
9. Sumbu proyeksi dilambangkan: x, y, z, di mana x adalah sumbu x; y adalah sumbu y; z - menerapkan sumbu.
Garis konstan diagram Monge dilambangkan dengan k.
10. Proyeksi titik, garis, permukaan, gambar geometris apa pun ditunjukkan dengan huruf (atau angka) yang sama dengan aslinya, dengan tambahan superskrip yang sesuai dengan bidang proyeksi tempat mereka diperoleh:
A", B", C", D", ... , L", M", N", proyeksi horizontal titik; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proyeksi titik depan; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proyeksi garis horizontal; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proyeksi garis depan; ", ", ", ",...,",",ν",... proyeksi horizontal permukaan; ", ", ", ",...,ζ " ,η",ν",... proyeksi frontal permukaan.
11. Jejak bidang (permukaan) ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan horizontal atau frontal, dengan tambahan subskrip 0α, yang menekankan bahwa garis-garis ini terletak pada bidang proyeksi dan termasuk dalam bidang (permukaan) .
Jadi: h 0α - jejak horizontal bidang (permukaan) ;
f 0α - jejak frontal bidang (permukaan) .
12. Jejak garis lurus (garis) ditunjukkan dengan huruf kapital, yang diawali dengan kata yang menentukan nama (dalam transkripsi Latin) bidang proyeksi yang dilintasi garis tersebut, dengan subskrip yang menunjukkan milik garis.
Misalnya: H a - jejak horizontal garis lurus (garis) a;
F a - jejak frontal dari garis lurus (garis) a.
13. Barisan titik, garis (dari sembarang gambar) ditandai dengan subskrip 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;
1 , 2 , 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n dst.
Proyeksi bantu titik, yang diperoleh sebagai hasil transformasi untuk mendapatkan nilai sebenarnya dari sosok geometris, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan subskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0 , ...
Proyeksi aksonometrik
14. Proyeksi aksonometrik titik, garis, permukaan ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan alam dengan penambahan superskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0, b 0, c 0 , d 0 , ...
0 , 0 , 0 , 0 , ...
15. Proyeksi sekunder ditunjukkan dengan menambahkan superskrip 1:
A 10 , B 1 0, C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 10 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
1 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , ...
Untuk memudahkan pembacaan gambar dalam buku teks, beberapa warna digunakan dalam desain bahan ilustrasi, yang masing-masing memiliki arti semantik tertentu: garis hitam (titik) menunjukkan data awal; warna hijau digunakan untuk garis konstruksi grafis tambahan; garis merah (titik) menunjukkan hasil konstruksi atau elemen geometris yang harus mendapat perhatian khusus.
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Cocok | (AB) (CD) - garis lurus yang melalui titik A dan B, berimpit dengan garis yang melalui titik C dan D |
| 2 | ≅ | Kongruen | ABC≅∠MNK - sudut ABC kongruen dengan sudut MNK |
| 3 | ∼ | Serupa | ABS∼ΔMNK - segitiga ABC dan MNK sebangun |
| 4 | || | Paralel | ||β - bidang sejajar dengan bidang |
| 5 | ⊥ | Tegak lurus | a⊥b - garis a dan b tegak lurus |
| 6 | membastar | dengan d - garis c dan d berpotongan | |
| 7 | garis singgung | t l - garis t bersinggungan dengan garis l. - bidang bersinggungan dengan permukaan |
|
| 8 | → | Ditampilkan | F 1 → F 2 - gambar F 1 dipetakan ke gambar F 2 |
| 9 | S | pusat proyeksi. Jika pusat proyeksi bukan titik yang tepat, posisinya ditunjukkan oleh panah, menunjukkan arah proyeksi | - |
| 10 | s | Arah proyeksi | - |
| 11 | P | Proyeksi paralel | p s Proyeksi paralel - proyeksi paralel ke bidang dalam arah s |
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik | Contoh notasi simbolik dalam geometri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M N | Set | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Tetapkan elemen | - | - |
| 3 | { ... } | Terdiri dari... | F(A, B, C,...) | (A, B, C,...) - gambar terdiri dari titik A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Set kosong | L - - himpunan L kosong (tidak berisi elemen) | - |
| 5 | ∈ | Milik, adalah elemen | 2∈N (di mana N adalah himpunan bilangan asli) - angka 2 milik himpunan N | A a - titik A termasuk ke dalam garis a (titik A terletak pada garis a) |
| 6 | ⊂ | Termasuk, berisi | N⊂M - himpunan N adalah bagian (subset) dari himpunan M dari semua bilangan rasional | a⊂α - garis a milik bidang (dipahami dalam arti: himpunan titik-titik garis a adalah himpunan bagian dari titik-titik bidang ) |
| 7 | ∪ | Persatuan | C \u003d A U B - himpunan C adalah gabungan dari himpunan A dan B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = [BC] - garis putus-putus, ABCD adalah penyatuan segmen [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | persimpangan banyak | =К∩L - himpunan adalah perpotongan himpunan dan L (berisi elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan K dan himpunan L). M N = - perpotongan himpunan M dan N adalah himpunan kosong (kumpulan M dan N tidak memiliki elemen yang sama) | a = ∩ - garis a adalah perpotongan pesawat dan dan b = - garis a dan b tidak berpotongan (tidak memiliki poin yang sama) |
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | konjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "dan". Kalimat (p∧q) benar jika dan hanya jika p dan q keduanya benar | = ( K:K∈α∧K∈β) Perpotongan permukaan dan adalah himpunan titik (garis), terdiri dari semua itu dan hanya titik-titik K yang dimiliki oleh permukaan dan permukaan |
| 2 | ∨ | Disjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "atau". Kalimat (p∨q) benar ketika setidaknya salah satu kalimat p atau q benar (yaitu p atau q atau keduanya). | - |
| 3 | ⇒ | Implikasi adalah konsekuensi logis. Kalimat p⇒q artinya: "jika p, maka q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain. |
| 4 | ⇔ | Kalimat (p⇔q) dipahami dalam arti: "jika p, maka q; jika q, maka p" | l⊂α. Sebuah titik milik sebuah pesawat jika itu milik beberapa garis milik pesawat itu. Kebalikannya juga benar: jika suatu titik termasuk ke dalam suatu garis, milik pesawat, maka itu juga milik pesawat itu sendiri. |
| 5 | ∀ | Kuantifier umum berbunyi: untuk semua orang, untuk semua orang, untuk siapa saja. Ekspresi (x)P(x) berarti: "untuk setiap x: properti P(x)" | (ΔABC)( = 180°) Untuk sembarang segitiga (untuk sembarang), jumlah nilai sudutnya pada simpulnya adalah 180° |
| 6 | ∃ | Kuantifier eksistensial berbunyi: ada. Ekspresi (x)P(x) berarti: "ada x yang memiliki sifat P(x)" | (∀α)(∃a) Untuk sembarang bidang , terdapat garis a yang tidak termasuk bidang dan sejajar dengan bidang |
| 7 | ∃1 | Keunikan kuantor keberadaan, berbunyi: ada yang unik (-th, -th)... Ekspresi 1(x)(Px) berarti: "ada unik (hanya satu) x, memiliki properti Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Untuk setiap dua titik berbeda A dan B, terdapat garis unik a, melewati titik-titik tersebut. |
| 8 | (px) | Negasi dari pernyataan P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Jika garis a dan b berpotongan, maka tidak ada bidang a yang memuat garis tersebut |
| 9 | \ | Tanda negatif | - ruas [AB] tidak sama dengan ruas .a? b - garis a tidak sejajar dengan garis b |
Balagin Victor
Dengan penemuan aturan dan teorema matematika, para ilmuwan menemukan notasi matematika baru, tanda-tanda. Tanda matematika adalah simbol yang dirancang untuk merekam konsep matematika, kalimat dan perhitungan. Dalam matematika, simbol khusus digunakan untuk mempersingkat catatan dan mengungkapkan pernyataan dengan lebih akurat. Selain angka dan huruf dari berbagai alfabet (Latin, Yunani, Ibrani), bahasa matematika menggunakan banyak simbol khusus yang ditemukan selama beberapa abad terakhir.
Unduh:
Pratinjau:
SIMBOL MATEMATIKA.
Saya telah melakukan pekerjaan
siswa kelas 7
sekolah menengah GBOU No. 574
Balagin Victor
tahun ajaran 2012-2013
SIMBOL MATEMATIKA.
- pengantar
Kata matematika datang kepada kita dari bahasa Yunani kuno, di mana berarti "belajar", "memperoleh pengetahuan". Dan orang yang mengatakan: "Saya tidak butuh matematika, saya tidak akan menjadi ahli matematika" adalah salah. Setiap orang membutuhkan matematika. Mengungkap dunia angka yang menakjubkan di sekitar kita, itu mengajarkan kita untuk berpikir lebih jernih dan konsisten, mengembangkan pemikiran, perhatian, mendidik ketekunan dan kemauan. M.V. Lomonosov berkata: "Matematika mengatur pikiran." Singkatnya, matematika mengajarkan kita untuk belajar bagaimana memperoleh pengetahuan.
Matematika adalah ilmu pertama yang bisa dikuasai manusia. Kegiatan tertua adalah menghitung. Beberapa suku primitif menghitung jumlah benda menggunakan jari tangan dan kaki mereka. Lukisan batu, yang bertahan hingga zaman kita sejak Zaman Batu, menggambarkan angka 35 dalam bentuk 35 batang yang digambar berjajar. Kita dapat mengatakan bahwa 1 tongkat adalah simbol matematika pertama.
"Tulisan" matematika yang sekarang kita gunakan - dari notasi huruf yang tidak diketahui x, y, z hingga tanda integral - berkembang secara bertahap. Perkembangan simbolisme menyederhanakan pekerjaan dengan operasi matematika dan berkontribusi pada pengembangan matematika itu sendiri.
Dari "simbol" Yunani kuno (Yunani. simbolon - tanda, tanda, kata sandi, lambang) - tanda yang dikaitkan dengan objektivitas yang ditunjukkannya sedemikian rupa sehingga makna tanda dan subjeknya hanya diwakili oleh tanda itu sendiri dan diungkapkan hanya melalui interpretasinya.
Dengan penemuan aturan dan teorema matematika, para ilmuwan menemukan notasi matematika baru, tanda-tanda. Tanda matematika adalah simbol yang dirancang untuk merekam konsep matematika, kalimat dan perhitungan. Dalam matematika, simbol khusus digunakan untuk mempersingkat catatan dan mengungkapkan pernyataan dengan lebih akurat. Selain angka dan huruf dari berbagai alfabet (Latin, Yunani, Ibrani), bahasa matematika menggunakan banyak simbol khusus yang ditemukan selama beberapa abad terakhir.
2. Tanda penambahan, pengurangan
Sejarah notasi matematika dimulai dengan Paleolitik. Batu dan tulang dengan takik yang digunakan untuk menghitung tanggal kembali ke waktu ini. Contoh yang paling terkenal adalahtulang ishango. Tulang terkenal dari Ishango (Kongo), yang berasal dari sekitar 20 ribu tahun SM, membuktikan bahwa pada saat itu seseorang melakukan operasi matematika yang cukup rumit. Takik pada tulang digunakan untuk penambahan dan diterapkan secara berkelompok, melambangkan penambahan angka.
Mesir Kuno sudah memiliki sistem notasi yang jauh lebih maju. Misalnya, dipapirus ahmessebagai simbol untuk penambahan, gambar dua kaki berjalan maju dalam teks digunakan, dan untuk pengurangan - dua kaki berjalan mundur.Orang Yunani kuno menunjukkan penambahan dengan menulis berdampingan, tetapi dari waktu ke waktu mereka menggunakan simbol garis miring “/” untuk ini dan kurva semi-elips untuk pengurangan.
Simbol untuk operasi aritmatika penjumlahan (plus "+'') dan pengurangan (minus "-'') sangat umum sehingga kita hampir tidak pernah berpikir bahwa mereka tidak selalu ada. Asal usul simbol-simbol ini tidak jelas. Salah satu versinya adalah bahwa mereka sebelumnya digunakan dalam perdagangan sebagai tanda untung dan rugi.
Juga diyakini bahwa tanda kamiberasal dari salah satu bentuk kata “et”, yang dalam bahasa latin berarti “dan”. Ekspresi a+b ditulis dalam bahasa latin seperti ini: a et b . Lambat laun, karena sering digunakan, dari tanda " et "hanya tersisa" t ", yang, seiring waktu, berubah menjadi"+ ". Orang pertama yang mungkin menggunakan tanda itusebagai singkatan dari et, adalah astronom Nicole d'Orem (penulis The Book of the Sky and the World) pada pertengahan abad keempat belas.
Pada akhir abad ke-15, matematikawan Prancis Chiquet (1484) dan Pacioli Italia (1494) menggunakan “'' atau " '' (menunjukkan "plus") untuk penambahan dan "'' atau " '' (menunjukkan "minus") untuk pengurangan.
Notasi pengurangan lebih membingungkan, karena bukannya sederhana “” dalam buku-buku Jerman, Swiss, dan Belanda terkadang menggunakan simbol “÷” yang sekarang kita gunakan untuk menunjukkan pembagian. Beberapa buku abad ketujuh belas (misalnya, Descartes dan Mersenne) menggunakan dua titik "∙ '' atau tiga titik "∙ '' untuk menunjukkan pengurangan.
Penggunaan pertama dari tanda aljabar modern “” mengacu pada manuskrip Jerman tentang aljabar dari tahun 1481, yang ditemukan di perpustakaan Dresden. Dalam manuskrip Latin dari waktu yang sama (juga dari perpustakaan Dresden), ada dua karakter: "" dan " - " . Penggunaan sistematis dari tanda-tanda "” dan “-” untuk penjumlahan dan pengurangan terjadi padaJohann Widmann. Matematikawan Jerman Johann Widmann (1462-1498) adalah orang pertama yang menggunakan kedua tanda tersebut untuk menandai kehadiran dan ketidakhadiran siswa dalam kuliahnya. Benar, ada bukti bahwa ia "meminjam" tanda-tanda ini dari seorang profesor yang kurang dikenal di Universitas Leipzig. Pada 1489, di Leipzig, ia menerbitkan buku cetakan pertama (Aritmatika Mercantile - "Aritmatika Komersial"), di mana kedua tanda itu ada. dan , dalam karya "Sebuah akun cepat dan menyenangkan untuk semua pedagang" (c. 1490)
Sebagai keingintahuan sejarah, perlu dicatat bahwa bahkan setelah adopsi tandatidak semua orang menggunakan simbol ini. Widman sendiri memperkenalkannya sebagai salib Yunani(tanda yang kita gunakan sekarang) yang guratan horizontalnya terkadang sedikit lebih panjang dari guratan vertikal. Beberapa ahli matematika seperti Record, Harriot dan Descartes menggunakan tanda yang sama. Lainnya (misalnya Hume, Huygens, dan Fermat) menggunakan salib Latin "†", kadang-kadang ditempatkan secara horizontal, dengan palang di satu ujung atau yang lain. Akhirnya, beberapa (seperti Halley) menggunakan tampilan yang lebih dekoratif " ».
3. Tanda sama dengan
Tanda sama dengan dalam matematika dan ilmu pasti lainnya ditulis di antara dua ekspresi yang ukurannya identik. Diophantus adalah orang pertama yang menggunakan tanda sama dengan. Dia menunjukkan kesetaraan dengan huruf i (dari bahasa Yunani isos - sama). PADAmatematika kuno dan abad pertengahankesetaraan ditunjukkan secara verbal, misalnya, est egale, atau mereka menggunakan singkatan "ae" dari bahasa Latin aequalis - "sama". Bahasa lain juga menggunakan huruf pertama dari kata "sama", tetapi ini tidak diterima secara umum. Tanda sama dengan "=" diperkenalkan pada tahun 1557 oleh seorang dokter dan matematikawan Welsh.Robert Rekam(Recorde R., 1510-1558). Simbol II dalam beberapa kasus berfungsi sebagai simbol matematika untuk kesetaraan. Rekaman itu memperkenalkan simbol "='' dengan dua garis paralel horizontal yang identik, jauh lebih panjang daripada yang digunakan saat ini. Matematikawan Inggris Robert Record adalah orang pertama yang menggunakan simbol "kesetaraan", berdebat dengan kata-kata: "tidak ada dua benda yang bisa sama satu sama lain lebih dari dua segmen paralel." Tapi bahkan diabad XVIIRene Descartesmenggunakan singkatan "ae".François Viettanda sama dengan menunjukkan pengurangan. Untuk beberapa waktu, penyebaran simbol Rekam terhalang oleh fakta bahwa simbol yang sama digunakan untuk menunjukkan garis paralel; pada akhirnya, diputuskan untuk membuat simbol paralelisme vertikal. Tanda menerima distribusi hanya setelah karya Leibniz pada pergantian abad ke-17-18, yaitu, lebih dari 100 tahun setelah kematian orang yang pertama kali menggunakannya untuk ini.Rekor Roberta. Tidak ada kata-kata di batu nisannya - hanya tanda "sama" yang diukir.
Simbol terkait untuk perkiraan kesetaraan "≈" dan identitas "≡" masih sangat muda - yang pertama diperkenalkan pada tahun 1885 oleh Günther, yang kedua - pada tahun 1857Riemann
4. Tanda-tanda perkalian dan pembagian
Tanda perkalian dalam bentuk salib ("x") diperkenalkan oleh seorang pendeta-matematikawan AnglikanWilliam Otred di 1631. Sebelum dia, huruf M digunakan untuk tanda perkalian, meskipun sebutan lain diusulkan: simbol persegi panjang (erigon, ), tanda bintang ( Johann Rahn, ).
Nanti Leibnizmengganti salib dengan titik (akhirabad ke-17) agar tidak tertukar dengan hurufnya x ; sebelum dia, simbolisme seperti itu ditemukan diRegiomontana (abad ke 15) dan seorang ilmuwan InggrisThomas Harriot (1560-1621).
Untuk menunjukkan tindakan pembagianCabanglebih suka garis miring. Pembagian usus besar mulai menunjukkanLeibniz. Sebelum mereka, huruf D juga sering digunakan.fibonacci, fitur pecahan, yang juga digunakan dalam tulisan Arab, juga digunakan. Pembagian dalam bentuk tanda salib ("÷") diperkenalkan oleh seorang matematikawan SwissJohann Rahn(c. 1660)
5. Tanda persen.
Seperseratus dari keseluruhan, diambil sebagai satu kesatuan. Kata “persen” sendiri berasal dari bahasa latin “pro centum”, yang berarti “seratus”. Pada tahun 1685, Mathieu de la Porte's Manual of Commercial Arithmetic (1685) diterbitkan di Paris. Di satu tempat, itu tentang persentase, yang kemudian berarti "cto" (singkatan dari cento). Namun, penata huruf mengira bahwa "cto" untuk pecahan dan mengetik "%". Jadi karena salah ketik, tanda ini mulai digunakan.
6. Tanda tak terhingga
Simbol infinity saat ini "∞" telah mulai digunakanJohn Wallis pada tahun 1655. John Wallismenerbitkan sebuah risalah besar "The Arithmetic of the Infinite" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi di Curvilineorum Quadraturam, alias Difficiliora Matheseos Problemata), di mana dia memperkenalkan simbol yang dia temukanketakterbatasan. Masih belum diketahui mengapa dia memilih tanda khusus ini. Salah satu hipotesis paling otoritatif menghubungkan asal usul simbol ini dengan huruf Latin "M", yang digunakan orang Romawi untuk mewakili angka 1000.Simbol ketidakterbatasan disebut "lemniscus" (pita lat.) oleh ahli matematika Bernoulli sekitar empat puluh tahun kemudian.
Versi lain mengatakan bahwa gambar "delapan" menyampaikan properti utama dari konsep "tak terhingga": gerakan tanpa akhir . Di sepanjang garis angka 8, Anda dapat membuat gerakan tanpa akhir, seperti di trek sepeda. Agar tidak membingungkan tanda yang diperkenalkan dengan angka 8, matematikawan memutuskan untuk menempatkannya secara horizontal. Telah terjadi. Notasi ini telah menjadi standar untuk semua matematika, bukan hanya aljabar. Mengapa tak terhingga tidak dilambangkan dengan nol? Jawabannya jelas: tidak peduli bagaimana Anda mengubah angka 0, itu tidak akan berubah. Oleh karena itu, pilihan jatuh pada 8.
Pilihan lain adalah seekor ular melahap ekornya, yang, satu setengah ribu tahun SM di Mesir, melambangkan berbagai proses yang tidak memiliki awal dan akhir.
Banyak yang percaya bahwa strip Möbius adalah nenek moyang dari simbolketakterbatasan, karena simbol infinity dipatenkan setelah penemuan perangkat "strip Möbius" (dinamai setelah ahli matematika abad kesembilan belas Möbius). Strip Möbius - strip kertas yang melengkung dan terhubung di ujungnya, membentuk dua permukaan spasial. Namun, menurut informasi sejarah yang tersedia, simbol infinity mulai digunakan untuk mewakili infinity dua abad sebelum penemuan strip Möbius.
7. Tanda batu bara sebuah dan tegak lurus sti
Simbol " injeksi" dan " tegak lurus" datang dengan 1634matematikawan PrancisPierre Erigon. Simbol tegak lurusnya terbalik, menyerupai huruf T. Simbol sudut mengingatkan pada ikon, memberikannya bentuk modernWilliam Otred ().
8. Tanda paralelisme dan
Simbol " paralelisme» dikenal sejak zaman kuno, itu digunakanBangau dan Pappus dari Alexandria. Pada awalnya, simbol itu mirip dengan tanda sama dengan saat ini, tetapi dengan munculnya yang terakhir, untuk menghindari kebingungan, simbol diputar secara vertikal (Cabang(1677), Kersey (John Kersey ) dan matematikawan lain dari abad ke-17)
9. Pi
Notasi yang diterima secara umum untuk bilangan yang sama dengan rasio keliling lingkaran dengan diameternya (3.1415926535...) pertama kali dibentukWilliam Jones di 1706, mengambil huruf pertama dari kata Yunani -lingkaran dan - keliling, yang merupakan keliling lingkaran. Menyukai singkatan iniEuler, yang karya-karyanya menetapkan sebutan itu secara definitif.
10. Sinus dan kosinus
Penampilan sinus dan cosinus menarik.
Sinus dari bahasa Latin - sinus, rongga. Namun nama ini memiliki sejarah yang panjang. Matematikawan India maju jauh dalam trigonometri di wilayah abad ke-5. Kata "trigonometri" itu sendiri tidak ada, itu diperkenalkan oleh Georg Klugel pada tahun 1770.) Apa yang sekarang kita sebut sinus kira-kira sesuai dengan apa yang oleh orang India disebut ardha-jiya, diterjemahkan sebagai semi-tali busur (yaitu setengah akord). Untuk singkatnya, mereka hanya menyebutnya - jiya (tali busur). Ketika orang-orang Arab menerjemahkan karya-karya orang Hindu dari bahasa Sansekerta, mereka tidak menerjemahkan "string" ke dalam bahasa Arab, tetapi hanya menyalin kata dalam huruf Arab. Ternyata itu jebakan. Tetapi karena vokal pendek tidak ditunjukkan dalam penulisan suku kata Arab, j-b benar-benar tetap ada, yang mirip dengan kata Arab lainnya - jaib (depresi, sinus). Ketika Gerard dari Cremona menerjemahkan bahasa Arab ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12, ia menerjemahkan kata ini sebagai sinus, yang dalam bahasa Latin juga berarti sinus, pendalaman.
Kosinus muncul secara otomatis, karena orang Hindu menyebutnya koti-jiya, atau singkatnya ko-jiya. Koti adalah ujung busur yang melengkung dalam bahasa Sansekerta.Singkatan modern dan diperkenalkan William Oughtreddan diperbaiki dalam pekerjaan Euler.
Sebutan tangen/kotangen berasal dari kemudian (kata bahasa Inggris tangen berasal dari bahasa Latin tangere, menyentuh). Dan bahkan sampai sekarang tidak ada penunjukan terpadu - di beberapa negara sebutan tan lebih sering digunakan, di negara lain - tg
11. Singkatan "Apa yang diperlukan untuk membuktikan" (ch.t.d.)
Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Frasa Yunani berarti "apa yang harus dibuktikan", dan bahasa Latin - "apa yang harus ditunjukkan." Rumus ini mengakhiri setiap penalaran matematis dari matematikawan besar Yunani dari Yunani Kuno, Euclid (abad III SM). Diterjemahkan dari bahasa Latin - yang diperlukan untuk membuktikan. Dalam risalah ilmiah abad pertengahan, rumus ini sering ditulis dalam bentuk singkatan: QED.
12. Notasi matematika.
Simbol | Sejarah simbol |
Tanda plus dan minus tampaknya ditemukan di sekolah matematika Jerman "kossists" (yaitu, aljabar). Mereka digunakan dalam Aritmatika Johann Widmann yang diterbitkan pada tahun 1489. Sebelum ini, penambahan dilambangkan dengan huruf p (plus) atau kata Latin et (konjungsi "dan"), dan pengurangan - dengan huruf m (minus). Di Widman, simbol plus tidak hanya menggantikan penambahan, tetapi juga gabungan "dan". Asal usul simbol-simbol ini tidak jelas, tetapi kemungkinan besar mereka sebelumnya digunakan dalam perdagangan sebagai tanda untung dan rugi. Kedua simbol itu hampir seketika menjadi umum di Eropa - dengan pengecualian Italia. |
|
× ∙ | Tanda perkalian diperkenalkan pada tahun 1631 oleh William Ootred (Inggris) dalam bentuk salib miring. Sebelumnya, huruf M digunakan. Kemudian, Leibniz mengganti tanda silang dengan titik (akhir abad ke-17) agar tidak tertukar dengan huruf x; sebelum dia, simbolisme seperti itu ditemukan di Regiomontanus (abad XV) dan ilmuwan Inggris Thomas Harriot (1560-1621). |
/ : ÷ | Owtred lebih suka garis miring. Pembagian usus besar mulai menunjukkan Leibniz. Sebelum mereka, huruf D juga sering digunakan. Di Inggris dan Amerika Serikat, simbol (obelus), yang diusulkan oleh Johann Rahn dan John Pell pada pertengahan abad ke-17, tersebar luas. |
= | Tanda sama dengan diusulkan oleh Robert Record (1510-1558) pada tahun 1557. Dia menjelaskan bahwa tidak ada yang lebih setara di dunia daripada dua segmen paralel dengan panjang yang sama. Di benua Eropa, tanda sama dengan diperkenalkan oleh Leibniz. |
Tanda perbandingan diperkenalkan oleh Thomas Harriot dalam karyanya, yang diterbitkan secara anumerta pada tahun 1631. Di hadapannya, mereka menulis dengan kata-kata: lebih banyak, lebih sedikit. |
|
% | Simbol persen muncul pada pertengahan abad ke-17 di beberapa sumber sekaligus, asal-usulnya tidak jelas. Ada hipotesis bahwa itu muncul dari kesalahan komposer, yang mengetik singkatan cto (cento, keseratus) sebagai 0/0. Kemungkinan besar ini adalah lencana komersial kursif yang muncul sekitar 100 tahun sebelumnya. |
√ | Tanda akar pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Christoph Rudolph, dari sekolah Cossist, pada tahun 1525. Karakter ini berasal dari huruf pertama dari kata radix (root). Garis di atas ekspresi radikal pada awalnya tidak ada; itu kemudian diperkenalkan oleh Descartes untuk tujuan yang berbeda (bukan tanda kurung), dan fitur ini segera bergabung dengan tanda root. |
sebuah | Eksponen. Notasi modern untuk eksponen diperkenalkan oleh Descartes dalam bukunya Geometri (1637), meskipun hanya untuk pangkat alami yang lebih besar dari 2. Newton kemudian memperluas bentuk notasi ini menjadi eksponen negatif dan pecahan (1676). |
() | Tanda kurung muncul di Tartaglia (1556) untuk ekspresi radikal, tetapi sebagian besar matematikawan lebih suka menggarisbawahi ekspresi yang disorot daripada tanda kurung. Leibniz memperkenalkan tanda kurung ke dalam penggunaan umum. |
Tanda jumlah diperkenalkan oleh Euler pada tahun 1755. |
|
Tanda produk diperkenalkan oleh Gauss pada tahun 1812. |
|
saya | Huruf i sebagai kode untuk satuan imajiner:diusulkan oleh Euler (1777), yang mengambil huruf pertama dari kata imaginarius (imajiner) untuk ini. |
π | Penunjukan yang diterima secara umum untuk angka 3.14159 ... dibentuk oleh William Jones pada tahun 1706, mengambil huruf pertama dari kata Yunani - keliling dan - keliling, yaitu keliling lingkaran. |
Leibniz menurunkan notasi integral dari huruf pertama kata "Summa" (Summa). |
|
y" | Penunjukan singkat turunan dengan bilangan prima kembali ke Lagrange. |
Simbol batas muncul pada tahun 1787 bersama Simon Lhuillier (1750-1840). |
|
Simbol infinity ditemukan oleh Wallis, diterbitkan pada tahun 1655. |
13. Kesimpulan
Ilmu matematika diperlukan untuk masyarakat yang beradab. Matematika ditemukan dalam semua ilmu pengetahuan. Bahasa matematika bercampur dengan bahasa kimia dan fisika. Tapi kami masih memahaminya. Kita dapat mengatakan bahwa kita mulai mempelajari bahasa matematika bersama dengan bahasa ibu kita. Matematika telah menjadi bagian integral dari kehidupan kita. Berkat penemuan matematika di masa lalu, para ilmuwan menciptakan teknologi baru. Penemuan yang bertahan memungkinkan untuk memecahkan masalah matematika yang kompleks. Dan bahasa matematika kuno jelas bagi kita, dan penemuan menarik bagi kita. Berkat matematika, Archimedes, Plato, Newton menemukan hukum fisika. Kami mempelajarinya di sekolah. Dalam fisika juga, ada simbol, istilah yang melekat dalam ilmu fisika. Tetapi bahasa matematika tidak hilang di antara rumus-rumus fisik. Sebaliknya, rumus-rumus ini tidak dapat ditulis tanpa pengetahuan matematika. Melalui sejarah, pengetahuan dan fakta dilestarikan untuk generasi mendatang. Studi lebih lanjut tentang matematika diperlukan untuk penemuan-penemuan baru. Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com
Teks slide:
Simbol matematika Pekerjaan itu dilakukan oleh seorang siswa kelas 7 sekolah No. 574 Balagin Viktor
Simbol (simbol Yunani - tanda, tanda, kata sandi, lambang) adalah tanda yang dikaitkan dengan objektivitas yang ditunjuknya sehingga makna tanda dan subjeknya hanya diwakili oleh tanda itu sendiri dan terungkap hanya melalui interpretasinya. Tanda adalah konvensi matematika yang dirancang untuk merekam konsep matematika, kalimat dan perhitungan.
Tulang Ishango Bagian dari papirus Ahmes
+ Tanda plus dan minus. Penambahan dilambangkan dengan huruf p (plus) atau kata Latin et (konjungsi "dan"), dan pengurangan dengan huruf m (minus). Ekspresi a + b ditulis dalam bahasa Latin seperti ini: a et b.
notasi pengurangan. atau Rene Descartes Marin Mersenne
Sebuah halaman dari buku Johann Widmann. Pada 1489, Johann Widmann menerbitkan di Leipzig buku cetak pertama (Aritmatika Mercantile - "Aritmatika Komersial"), di mana tanda + dan - hadir.
Notasi tambahan. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Tanda sama dengan Diophantus adalah orang pertama yang menggunakan tanda sama dengan. Dia menunjukkan kesetaraan dengan huruf i (dari bahasa Yunani isos - sama).
Tanda sama dengan Diusulkan pada tahun 1557 oleh matematikawan Inggris Robert Record "Tidak ada dua benda yang bisa sama satu sama lain lebih dari dua segmen paralel." Di benua Eropa, tanda sama dengan diperkenalkan oleh Leibniz
× Tanda perkalian Diperkenalkan pada tahun 1631 oleh William Oughtred (Inggris) dalam bentuk salib miring. Leibniz mengganti salib dengan titik (akhir abad ke-17) agar tidak bingung dengan huruf x. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz
Persen. Matthieu de la Porte (1685). Seperseratus dari keseluruhan, diambil sebagai satu kesatuan. "persentase" - "pro centum", yang berarti - "seratus". "cto" (kependekan dari cento). Penata huruf mengira "cto" sebagai pecahan dan mengetik "%".
Ketakterbatasan. John Wallis John Wallis memperkenalkan simbol yang ditemukannya pada tahun 1655. Ular yang melahap ekornya melambangkan berbagai proses yang tidak memiliki awal dan akhir.
Simbol ketidakterbatasan mulai digunakan untuk mewakili ketidakterbatasan dua abad sebelum penemuan strip Möbius Strip Möbius adalah strip kertas yang melengkung dan terhubung di ujungnya untuk membentuk dua permukaan spasial. Agustus Ferdinand Möbius
Sudut dan Tegak Lurus. Simbol ditemukan pada tahun 1634 oleh matematikawan Prancis Pierre Erigon. Simbol sudut Erigon menyerupai ikon. Simbol tegak lurus telah dibalik, menyerupai huruf T . Tanda-tanda ini diberi bentuk modern oleh William Oughtred (1657).
Paralelisme. Simbol itu digunakan oleh Heron dari Alexandria dan Pappus dari Alexandria. Pada awalnya, simbol itu mirip dengan tanda sama dengan saat ini, tetapi dengan munculnya yang terakhir, simbol itu diputar secara vertikal untuk menghindari kebingungan. Bangau dari Alexandria
Pi. 3.1415926535... William Jones pada tahun 1706 - keliling dan - keliling, yaitu keliling lingkaran. Pengurangan ini menyenangkan Euler, yang karyanya memperbaiki penunjukan sepenuhnya. William Jones
sin Sinus dan cosinus cos Sinus (dari bahasa Latin) - sinus, rongga. koti-jiya, atau singkatnya ko-jiya. Koti - ujung busur yang melengkung Sebutan pendek modern diperkenalkan oleh William Otred dan diperbaiki dalam karya Euler. "arha-jiva" - di antara orang India - "setengah senar" Leonard Euler William Otred
Apa yang diperlukan untuk membuktikan (ch.t.d.) "Quod erat demonstrandum" QED. Rumus ini mengakhiri setiap penalaran matematis matematikawan besar Yunani Kuno, Euclid (abad III SM).
Kami memahami bahasa matematika kuno. Dalam fisika juga, ada simbol, istilah yang melekat dalam ilmu fisika. Tetapi bahasa matematika tidak hilang di antara rumus-rumus fisik. Sebaliknya, rumus-rumus ini tidak dapat ditulis tanpa pengetahuan matematika.
dari dua), 3 > 2 (tiga lebih besar dari dua), dll.Perkembangan simbolisme matematika erat kaitannya dengan perkembangan umum konsep dan metode matematika. Pertama Tanda-tanda matematika ada tanda-tanda untuk menggambarkan angka - angka, kemunculannya, tampaknya, mendahului penulisan. Sistem penomoran paling kuno - Babilonia dan Mesir - muncul sedini 3 1/2 milenium SM. e.
Pertama Tanda-tanda matematika karena nilai-nilai arbitrer muncul jauh kemudian (mulai dari abad ke-5-4 SM) di Yunani. Kuantitas (luas, volume, sudut) ditampilkan sebagai segmen, dan produk dari dua kuantitas homogen yang berubah-ubah - sebagai persegi panjang yang dibangun di atas segmen yang sesuai. dalam "Awal" Euclid (Abad ke-3 SM) kuantitas ditunjukkan oleh dua huruf - huruf awal dan akhir dari segmen yang sesuai, dan kadang-kadang bahkan satu. Pada Archimedes (abad ke-3 SM) metode yang terakhir menjadi umum. Penunjukan seperti itu mengandung kemungkinan untuk pengembangan kalkulus literal. Namun, dalam matematika kuno klasik, kalkulus literal tidak diciptakan.
Awal mula representasi huruf dan kalkulus muncul di akhir era Helenistik sebagai akibat dari pembebasan aljabar dari bentuk geometris. Diophantus (mungkin abad ke-3) menuliskan yang tidak diketahui ( X) dan derajatnya dengan tanda sebagai berikut:
[ - dari istilah Yunani dunamiV (dinamis - kekuatan), yang menunjukkan kuadrat yang tidak diketahui, - dari cuboV Yunani (k_ybos) - kubus]. Di sebelah kanan yang tidak diketahui atau derajatnya, Diophantus menulis koefisien, misalnya, 3x5 digambarkan
(dimana = 3). Saat menambahkan, Diophantus menghubungkan istilah satu sama lain, untuk pengurangan ia menggunakan tanda khusus; Diophantus dilambangkan kesetaraan dengan huruf i [dari bahasa Yunani isoV (isos) - sama]. Misalnya persamaan
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus akan menulisnya seperti ini:
(di sini
artinya satuan tidak memiliki pengali berupa pangkat yang tidak diketahui).
Beberapa abad kemudian, orang India memperkenalkan berbagai Tanda-tanda matematika untuk beberapa yang tidak diketahui (singkatan untuk nama warna yang menunjukkan tidak diketahui), kuadrat, akar kuadrat, angka yang dikurangi. Jadi persamaan
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Dalam rekaman Brahmagupta (Abad ke-7) akan terlihat seperti:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - dari yavat - tawat - tidak diketahui, va - dari varga - angka kuadrat, ru - dari rupa - koin rupee - anggota gratis, titik di atas angka berarti angka yang akan dikurangi).
Penciptaan simbolisme aljabar modern dimulai pada abad ke-14-17; itu ditentukan oleh keberhasilan aritmatika praktis dan studi persamaan. Di berbagai negara secara spontan muncul Tanda-tanda matematika untuk beberapa tindakan dan untuk kekuatan dari jumlah yang tidak diketahui. Berpuluh-puluh tahun dan bahkan berabad-abad berlalu sebelum satu atau lain simbol yang nyaman dikembangkan. Jadi, pada akhir 15 dan. N. Shuke dan saya. Pacioli tanda penjumlahan dan pengurangan yang digunakan
(dari lat. plus dan minus), matematikawan Jerman memperkenalkan + modern (mungkin singkatan dari lat. et) dan -. Kembali di abad ke-17 dapat menghitung sekitar sepuluh Tanda-tanda matematika untuk operasi perkalian.
berbeda dan Tanda-tanda matematika tidak diketahui dan derajatnya. Pada abad ke-16 - awal abad ke-17. lebih dari sepuluh notasi bersaing untuk kuadrat yang tidak diketahui saja, misalnya se(dari sensus - istilah Latin yang berfungsi sebagai terjemahan dari bahasa Yunani dunamiV, Q(dari kuadrat), , A (2), , Aii, A A, sebuah 2 dll. Jadi, persamaan
x 3 + 5 x = 12
matematikawan Italia G. Cardano (1545) akan memiliki bentuk:
dari matematikawan Jerman M. Stiefel (1544):
dari matematikawan Italia R. Bombelli (1572):
Matematikawan Prancis F. Vieta (1591):
dari ahli matematika Inggris T. Harriot (1631):
Pada abad ke-16 dan awal abad ke-17 tanda sama dengan dan tanda kurung mulai digunakan: persegi (R. Bombelli , 1550), bulat (N. Tartaglia, 1556), keriting (F. viet, 1593). Pada abad ke-16 bentuk modern mengambil notasi pecahan.
Sebuah langkah maju yang signifikan dalam pengembangan simbolisme matematika adalah pengenalan oleh Vieta (1591) Tanda-tanda matematika untuk konstanta arbitrer dalam bentuk konsonan kapital dari alfabet Latin B, D, yang memungkinkannya untuk pertama kalinya menuliskan persamaan aljabar dengan koefisien arbitrer dan beroperasi dengannya. Viet yang tidak diketahui menggambarkan vokal dalam huruf kapital A, E, ... Misalnya, rekaman Vieta
Dalam simbol kami terlihat seperti ini:
x 3 + 3bx = d.
Viet adalah pencipta rumus aljabar. R. Descartes (1637) memberi tanda-tanda aljabar tampilan modern, yang menunjukkan tidak diketahui dengan huruf terakhir lat. alfabet x, y, z, dan jumlah yang diberikan sewenang-wenang - dalam huruf awal a, b, c. Dia juga memiliki rekor gelar saat ini. Notasi Descartes memiliki keunggulan besar dibandingkan semua notasi sebelumnya. Karena itu, mereka segera menerima pengakuan universal.
Pengembangan lebih lanjut Tanda-tanda matematika terkait erat dengan penciptaan analisis yang sangat kecil, untuk pengembangan simbolisme yang dasarnya telah disiapkan untuk sebagian besar dalam aljabar.
Tanggal terjadinya beberapa tanda matematika
| tanda | berarti | Siapa yang memperkenalkan? | Saat diperkenalkan |
| Tanda-tanda objek individu | |||
| ¥ | ketakterbatasan | J. Wallis | 1655 |
| e | dasar logaritma natural | L. Euler | 1736 |
| p | perbandingan keliling dengan diameter | W. Jones L. Euler | 1706 |
| saya | akar kuadrat dari -1 | L. Euler | 1777 (dalam pers 1794) |
| saya j k | vektor satuan, ort | W. Hamilton | 1853 |
| P (a) | sudut paralelisme | N.I. Lobachevsky | 1835 |
| Tanda-tanda Objek Variabel | |||
| x,y,z | tidak diketahui atau variabel | R. Descartes | 1637 |
| r | vektor | O. Koshy | 1853 |
| Tanda-tanda operasi individu | |||
| + | tambahan | matematikawan Jerman | Akhir abad ke-15 |
| – | pengurangan |
||
| ´ | perkalian | W. Terkejut | 1631 |
| × | perkalian | G. Leibniz | 1698 |
| : | divisi | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | derajat | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | akar | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Catatan | logaritma | I. Kepler | 1624 |
| catatan | B. Cavalieri | 1632 |
|
| dosa | sinus | L. Euler | 1748 |
| karena | kosinus |
||
| tg | garis singgung | L. Euler | 1753 |
| busur dosa | arcsinus | J. Lagrange | 1772 |
SH | sinus hiperbolik | V. Riccati | 1757 |
Chu | kosinus hiperbolik |
||
| dx, dx, … | diferensial | G. Leibniz | 1675 (dalam pers 1684) |
d2x, d3x,… |
|||
| | integral | G. Leibniz | 1675 (dalam pers 1686) |
| | turunan | G. Leibniz | 1675 |
| x | turunan | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| kamu |
|||
| (x) |
|||
| Dx | perbedaan | L. Euler | 1755 |
| | turunan parsial | A. Legendre | 1786 |
| | integral tertentu | J. Fourier | 1819-22 |
| | jumlah | L. Euler | 1755 |
| P | kerja | K. Gauss | 1812 |
| ! | faktorial | K. Crump | 1808 |
| |x| | modul | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | membatasi | W.Hamilton, banyak matematikawan | 1853, awal abad ke-20 |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | fungsi zeta | B. Riemann | 1857 |
| G | fungsi gamma | A. Legendre | 1808 |
| PADA | fungsi beta | J. Binet | 1839 |
| D | delta (operator Laplace) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (operator Hamilton) | W. Hamilton | 1853 |
| Tanda-tanda operasi variabel | |||
| jx | fungsi | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Tanda-tanda hubungan individu | |||
| = | persamaan | R. Rekam | 1557 |
| > | lagi | T. Harriot | 1631 |
| < | lebih kecil |
||
| º | komparabilitas | K. Gauss | 1801 |
| | paralelisme | W. Terkejut | 1677 |
| ^ | sifat tegak lurus | P. Erigon | 1634 |
DAN. newton dalam metode fluks dan fasihnya (1666 dan tahun-tahun berikutnya) memperkenalkan tanda-tanda untuk fluks berurutan (turunan) besarnya (dalam bentuk
dan untuk kenaikan yang sangat kecil Hai. Agak lebih awal, J. Wallis (1655) mengusulkan tanda tak terhingga .
Pencipta simbolisme modern kalkulus diferensial dan integral adalah G. Leibniz. Dia, khususnya, termasuk yang saat ini digunakan Tanda-tanda matematika perbedaan
dx, d 2 x, d 3 x
dan integral
Sebuah jasa besar dalam menciptakan simbolisme matematika modern milik L. Euler. Dia memperkenalkan (1734) ke dalam penggunaan umum tanda pertama dari operasi variabel, yaitu tanda fungsi f(x) (dari lat. functio). Setelah pekerjaan Euler, tanda-tanda untuk banyak fungsi individu, seperti fungsi trigonometri, memperoleh karakter standar. Euler memiliki notasi untuk konstanta e(basis logaritma natural, 1736), p [mungkin dari perijereia Yunani (periphereia) - keliling, pinggiran, 1736], satuan imajiner
(dari imajiner Prancis - imajiner, 1777, diterbitkan pada 1794).
Pada abad ke-19 peran simbolisme semakin berkembang. Pada saat ini, tanda-tanda nilai mutlak |x| (KE. weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), penentu
(TETAPI. Cayley, 1841) dan lain-lain Banyak teori yang muncul pada abad ke-19, seperti Kalkulus Tensor, tidak dapat dikembangkan tanpa simbolisme yang sesuai.
Seiring dengan proses standardisasi yang ditentukan Tanda-tanda matematika dalam sastra modern orang sering dapat menemukan Tanda-tanda matematika digunakan oleh masing-masing penulis hanya dalam ruang lingkup penelitian ini.
Dari sudut pandang logika matematika, antara Tanda-tanda matematika kelompok utama berikut dapat diuraikan: A) tanda-tanda objek, B) tanda-tanda operasi, C) tanda-tanda hubungan. Misalnya, tanda 1, 2, 3, 4 menggambarkan angka, yaitu objek yang dipelajari oleh aritmatika. Tanda tambahan + dengan sendirinya tidak mewakili objek apa pun; itu menerima konten subjek ketika ditunjukkan nomor mana yang ditambahkan: notasi 1 + 3 menggambarkan angka 4. Tanda > (lebih besar dari) adalah tanda hubungan antar angka. Tanda relasi menerima konten yang cukup pasti ketika ditunjukkan di antara objek mana relasi itu dipertimbangkan. Untuk tiga kelompok utama di atas Tanda-tanda matematika berdampingan keempat: D) tanda bantu yang menetapkan urutan kombinasi tanda-tanda utama. Gagasan yang cukup tentang tanda-tanda tersebut diberikan oleh tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan.
Tanda-tanda masing-masing dari tiga kelompok A), B) dan C) terdiri dari dua jenis: 1) tanda-tanda individu dari objek, operasi dan hubungan yang terdefinisi dengan baik, 2) tanda-tanda umum dari objek "tidak berulang" atau "tidak diketahui" , operasi dan relasi.
Contoh tanda jenis pertama dapat berfungsi (lihat juga tabel):
A 1) Notasi bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; bilangan transendental e dan hal; satuan imajiner saya.
B 1) Tanda-tanda operasi aritmatika +, -, ·, ,:; ekstraksi akar, diferensiasi
tanda jumlah (penyatuan) dan hasil kali (persimpangan) himpunan; ini juga termasuk tanda-tanda fungsi individu sin, tg, log, dll.
1) Tanda persamaan dan pertidaksamaan =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Tanda jenis kedua menggambarkan objek, operasi, dan hubungan arbitrer dari kelas atau objek tertentu, operasi dan hubungan yang tunduk pada beberapa kondisi yang telah ditentukan sebelumnya. Misalnya, saat menulis identitas ( sebuah + b)(sebuah - b) = sebuah 2 -b 2 huruf sebuah dan b menunjukkan angka arbitrer; ketika mempelajari ketergantungan fungsional pada = X 2 huruf X dan y - angka arbitrer yang terkait dengan rasio tertentu; saat menyelesaikan persamaan
X menunjukkan angka apa pun yang memenuhi persamaan yang diberikan (sebagai hasil dari menyelesaikan persamaan ini, kita belajar bahwa hanya dua kemungkinan nilai +1 dan -1 yang sesuai dengan kondisi ini).
Dari sudut pandang logis, adalah sah untuk menyebut tanda-tanda umum seperti itu sebagai tanda-tanda variabel, seperti biasa dalam logika matematika, tanpa takut akan fakta bahwa "daerah perubahan" suatu variabel dapat berubah menjadi satu variabel. objek atau bahkan "kosong" (misalnya, dalam kasus persamaan tanpa solusi). Contoh lebih lanjut dari tanda-tanda tersebut adalah:
A 2) Penunjukan titik, garis, bidang dan bentuk geometris yang lebih kompleks dengan huruf dalam geometri.
B 2) Notasi f, , j untuk fungsi dan notasi kalkulus operator, jika satu huruf L gambarkan, misalnya, operator arbitrer dari formulir:
Notasi untuk "rasio variabel" kurang umum, dan hanya digunakan dalam logika matematika (lih. Aljabar logika ) dan dalam studi matematika yang relatif abstrak, kebanyakan aksiomatik.
Lit.: Cajori, Sejarah notasi matematika, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Artikel tentang kata Tanda-tanda matematika" dalam Great Soviet Encyclopedia telah dibaca 39767 kali
Ketakterbatasan.J. Wallis (1655).
Untuk pertama kalinya ditemukan dalam risalah matematikawan Inggris John Valis "On Conic Sections".
Dasar logaritma natural. L.Euler (1736).
Konstanta matematika, bilangan transendental. Nomor ini kadang-kadang disebut non-Perov untuk menghormati orang skotlandia ilmuwan Napier, penulis karya "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan" (1614). Untuk pertama kalinya, konstanta itu diam-diam hadir dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Konstanta yang sama pertama kali dihitung oleh ahli matematika Swiss Jacob Bernoulli dalam memecahkan masalah nilai batas pendapatan bunga.
2,71828182845904523...
Penggunaan pertama yang diketahui dari konstanta ini, di mana itu dilambangkan dengan huruf b, ditemukan dalam surat-surat Leibniz kepada Huygens, 1690-1691. surat e mulai menggunakan Euler pada tahun 1727, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah Mechanics, atau Science of Motion, Stated Analytically, 1736. Masing-masing, e biasa dipanggil bilangan euler. Mengapa surat itu dipilih? e, belum diketahui secara pasti. Mungkin ini karena fakta bahwa kata itu dimulai dengan itu eksponensial("eksponensial", "eksponensial"). Asumsi lain adalah bahwa huruf sebuah, b, c dan d sudah banyak digunakan untuk tujuan lain, dan e adalah surat "bebas" pertama.
Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Konstanta matematika, bilangan irasional. Angka "pi", nama lama adalah angka Ludolf. Seperti bilangan irasional lainnya, diwakili oleh pecahan desimal non-periodik tak terbatas:
=3.141592653589793...
Untuk pertama kalinya, penunjukan angka ini dengan huruf Yunani digunakan oleh matematikawan Inggris William Jones dalam buku A New Introduction to Mathematics, dan menjadi diterima secara umum setelah karya Leonhard Euler. Penunjukan ini berasal dari huruf awal kata Yunani - lingkaran, pinggiran dan - keliling. Johann Heinrich Lambert membuktikan irasionalitas pada 1761, dan Adrien Marie Legendre pada 1774 membuktikan irasionalitas 2 . Legendre dan Euler berasumsi bahwa bisa transendental, yaitu. tidak dapat memenuhi persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat, yang akhirnya dibuktikan pada tahun 1882 oleh Ferdinand von Lindemann.
satuan imajiner. L. Euler (1777, sedang dicetak - 1794).
Diketahui persamaan x 2 \u003d 1 memiliki dua akar: 1 dan -1 . Satuan imajiner adalah salah satu dari dua akar persamaan x 2 \u003d -1, dilambangkan dengan huruf latin saya, akar lain: -saya. Penunjukan ini diusulkan oleh Leonhard Euler, yang mengambil huruf pertama dari kata Latin untuk ini imajinasi(imajiner). Dia juga memperluas semua fungsi standar ke domain kompleks, yaitu. himpunan bilangan yang dapat direpresentasikan dalam bentuk a+ib, di mana sebuah dan b adalah bilangan real. Istilah "bilangan kompleks" diperkenalkan secara luas oleh matematikawan Jerman Carl Gauss pada tahun 1831, meskipun istilah tersebut sebelumnya telah digunakan dalam arti yang sama oleh matematikawan Prancis Lazar Carnot pada tahun 1803.
Vektor satuan. W.Hamilton (1853).
Vektor satuan sering dikaitkan dengan sumbu koordinat sistem koordinat (khususnya, dengan sumbu sistem koordinat Cartesian). Vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu X, dilambangkan saya, vektor satuan yang diarahkan sepanjang sumbu kamu, dilambangkan j, dan vektor satuan yang diarahkan sepanjang sumbu Z, dilambangkan k. Vektor saya, j, k disebut orts, mereka memiliki modul identitas. Istilah "ort" diperkenalkan oleh ahli matematika dan insinyur Inggris Oliver Heaviside (1892), dan notasi saya, j, k Matematikawan Irlandia William Hamilton.
Bagian bilangan bulat dari suatu bilangan, antie. K.Gauss (1808).
Bagian bilangan bulat dari bilangan [x] dari bilangan x adalah bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Jadi, =5, [-3,6]=-4. Fungsi [x] juga disebut "antier dari x". Simbol fungsi bagian bilangan bulat diperkenalkan oleh Carl Gauss pada tahun 1808. Beberapa matematikawan lebih suka menggunakan notasi E(x) yang diusulkan pada tahun 1798 oleh Legendre.
Sudut paralelisme. N.I. Lobachevsky (1835).
Di bidang Lobachevsky - sudut antara garisbmelewati titikHAIsejajar dengan garis lurussebuah, tidak mengandung titikHAI, dan tegak lurus dariHAI pada sebuah. α adalah panjang tegak lurus ini. Saat intinya dihapusHAI dari lurus sebuahsudut paralelisme berkurang dari 90° menjadi 0°. Lobachevsky memberikan rumus untuk sudut paralelismeP( α )=2arctg e - α /q , di mana q adalah beberapa konstanta yang terkait dengan kelengkungan ruang Lobachevsky.
Besaran yang tidak diketahui atau variabel. R. Descartes (1637).
Dalam matematika, variabel adalah besaran yang dicirikan oleh himpunan nilai yang dapat diambilnya. Ini dapat berarti baik kuantitas fisik nyata, sementara dianggap terpisah dari konteks fisiknya, dan beberapa kuantitas abstrak yang tidak memiliki analog di dunia nyata. Konsep variabel muncul pada abad ke-17. awalnya di bawah pengaruh tuntutan ilmu alam, yang membawa ke depan studi gerakan, proses, dan bukan hanya negara. Konsep ini membutuhkan bentuk-bentuk baru untuk ekspresinya. Aljabar literal dan geometri analitik René Descartes adalah bentuk baru. Untuk pertama kalinya, sistem koordinat persegi panjang dan notasi x,y diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam karyanya "Discourse on the method" pada tahun 1637. Pierre Fermat juga berkontribusi pada pengembangan metode koordinat, tetapi karyanya pertama kali diterbitkan setelah kematiannya. Descartes dan Fermat menggunakan metode koordinat hanya di pesawat. Metode koordinat untuk ruang tiga dimensi pertama kali diterapkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.
Vektor. O.Koshi (1853).
Sejak awal, vektor dipahami sebagai objek yang memiliki besar, arah, dan (opsional) titik aplikasi. Awal mula kalkulus vektor muncul bersama dengan model geometris bilangan kompleks di Gauss (1831). Operasi lanjutan pada vektor diterbitkan oleh Hamilton sebagai bagian dari kalkulus angka empatnya (komponen imajiner angka empat membentuk vektor). Hamilton menciptakan istilah vektor(dari kata Latin vektor, pembawa) dan menjelaskan beberapa operasi analisis vektor. Formalisme ini digunakan oleh Maxwell dalam karya-karyanya tentang elektromagnetisme, sehingga menarik perhatian para ilmuwan pada kalkulus baru. Elemen Gibbs dari Analisis Vektor (1880-an) segera menyusul, dan kemudian Heaviside (1903) memberikan analisis vektor tampilan modernnya. Tanda vektor sendiri diperkenalkan oleh matematikawan Perancis Augustin Louis Cauchy pada tahun 1853.
Penambahan, pengurangan. J.Widman (1489).
Tanda plus dan minus tampaknya ditemukan di sekolah matematika Jerman "kossists" (yaitu, aljabar). Mereka digunakan dalam buku teks Jan (Johannes) Widmann A Quick and Pleasant Count for All Merchants, diterbitkan pada 1489. Sebelum ini, penambahan dilambangkan dengan huruf p(dari bahasa Latin plus"lebih") atau kata Latin et(konjungsi "dan"), dan pengurangan - dengan huruf m(dari bahasa Latin minus"kurang, kurang"). Di Widman, simbol plus tidak hanya menggantikan penambahan, tetapi juga gabungan "dan". Asal usul simbol-simbol ini tidak jelas, tetapi kemungkinan besar mereka sebelumnya digunakan dalam perdagangan sebagai tanda untung dan rugi. Kedua simbol segera menjadi umum di Eropa - dengan pengecualian Italia, yang menggunakan sebutan lama selama sekitar satu abad.
Perkalian. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Tanda perkalian dalam bentuk salib miring diperkenalkan pada tahun 1631 oleh orang Inggris William Outred. Sebelum dia, surat yang paling umum digunakan M, meskipun sebutan lain juga diusulkan: simbol persegi panjang (matematikawan Prancis Erigon, 1634), tanda bintang (matematikawan Swiss Johann Rahn, 1659). Belakangan, Gottfried Wilhelm Leibniz mengganti tanda silang dengan titik (akhir abad ke-17), agar tidak tertukar dengan huruf x; sebelum dia, simbolisme seperti itu ditemukan oleh astronom dan matematikawan Jerman Regiomontanus (abad XV) dan ilmuwan Inggris Thomas Harriot (1560 -1621).
Divisi. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Outred menggunakan garis miring / sebagai tanda pembagian. Pembagian usus besar mulai menunjukkan Gottfried Leibniz. Sebelum mereka, surat itu juga sering digunakan D. Mulai dari Fibonacci, garis horizontal pecahan juga digunakan, yang digunakan oleh Heron, Diophantus dan dalam tulisan Arab. Di Inggris dan Amerika Serikat, simbol (obelus), yang diusulkan oleh Johann Rahn (mungkin dengan partisipasi John Pell) pada tahun 1659, menjadi tersebar luas. Sebuah upaya oleh Komite Nasional Amerika tentang Standar Matematika ( Komite Nasional Persyaratan Matematika) untuk menghapus obelus dari praktek (1923) tidak meyakinkan.
Persen. M. de la Porte (1685).
Seperseratus dari keseluruhan, diambil sebagai satu kesatuan. Kata “persen” sendiri berasal dari bahasa latin “pro centum”, yang berarti “seratus”. Pada tahun 1685, buku Manual of Commercial Arithmetic oleh Mathieu de la Porte diterbitkan di Paris. Di satu tempat, itu tentang persentase, yang kemudian berarti "cto" (singkatan dari cento). Namun, penata huruf mengira bahwa "cto" untuk pecahan dan mengetik "%". Jadi karena salah ketik, tanda ini mulai digunakan.
Derajat. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Notasi modern untuk eksponen diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya " geometri"(1637), namun, hanya untuk pangkat alami dengan eksponen lebih besar dari 2. Kemudian, Isaac Newton memperluas bentuk notasi ini menjadi eksponen negatif dan pecahan (1676), interpretasi yang telah diusulkan saat ini: ahli matematika Flemish dan insinyur Simon Stevin, matematikawan Inggris John Vallis dan matematikawan Prancis Albert Girard.
akar aritmatika n pangkat bilangan real sebuah 0, - bilangan non-negatif n-derajat yang sama dengan sebuah. Akar aritmatika dari derajat ke-2 disebut akar kuadrat dan dapat ditulis tanpa menunjukkan derajat: . Akar aritmatika derajat ke-3 disebut akar pangkat tiga. Matematikawan abad pertengahan (misalnya, Cardano) menunjukkan akar kuadrat dengan simbol R x (dari bahasa Latin Akar, akar). Penunjukan modern pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Christoph Rudolf, dari sekolah Cossist, pada tahun 1525. Simbol ini berasal dari huruf pertama bergaya dari kata yang sama akar. Garis di atas ekspresi radikal pada awalnya tidak ada; itu kemudian diperkenalkan oleh Descartes (1637) untuk tujuan yang berbeda (bukan tanda kurung), dan fitur ini segera bergabung dengan tanda akar. Akar pangkat tiga pada abad ke-16 ditetapkan sebagai berikut: R x .u.cu (dari lat. Radix universalis kubik). Albert Girard (1629) mulai menggunakan notasi biasa untuk akar derajat arbitrer. Format ini dibuat berkat Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.
Logaritma, Logaritma Desimal, Logaritma Alami. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Istilah "logaritma" milik matematikawan Skotlandia John Napier ( "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan", 1614); itu muncul dari kombinasi kata Yunani (kata, hubungan) dan (angka). Logaritma J. Napier adalah angka bantu untuk mengukur rasio dua angka. Definisi modern dari logaritma pertama kali diberikan oleh matematikawan Inggris William Gardiner (1742). Menurut definisi, logaritma suatu bilangan b dengan alasan sebuah (sebuah ≠ 1, a > 0) - eksponen m, yang nomornya harus dinaikkan sebuah(disebut basis logaritma) untuk mendapatkan b. Dilambangkan log a b. Jadi, m = log a b, jika a m = b.
Tabel logaritma desimal pertama diterbitkan pada tahun 1617 oleh profesor matematika Oxford Henry Briggs. Oleh karena itu, di luar negeri, logaritma desimal sering disebut brigs. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Pietro Mengoli (1659) dan Nicholas Mercator (1668), meskipun guru matematika London John Spidell menyusun tabel logaritma natural sejak 1619.
Sampai akhir abad ke-19, tidak ada notasi yang diterima secara umum untuk logaritma, basis sebuah ditunjukkan ke kiri dan di atas simbol catatan, lalu di atasnya. Pada akhirnya, ahli matematika sampai pada kesimpulan bahwa tempat yang paling nyaman untuk pangkalan adalah di bawah garis, setelah simbol catatan. Tanda logaritma - hasil pengurangan kata "logaritma" - terjadi dalam berbagai bentuk hampir bersamaan dengan munculnya tabel logaritma pertama, misalnya Catatan- I. Kepler (1624) dan G. Briggs (1631), catatan- B. Cavalieri (1632). Penamaan ln untuk logaritma natural diperkenalkan oleh matematikawan Jerman Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, kosinus, tangen, kotangen. W. Outred (pertengahan abad ke-17), I. Bernoulli (abad ke-18), L. Euler (1748, 1753).
Notasi singkatan untuk sinus dan kosinus diperkenalkan oleh William Outred pada pertengahan abad ke-17. Singkatan dari tangen dan cotangent: tg, ctg diperkenalkan oleh Johann Bernoulli pada abad ke-18, mereka menyebar luas di Jerman dan Rusia. Di negara lain, nama-nama fungsi ini digunakan. cokelat, dipan diusulkan oleh Albert Girard bahkan lebih awal, pada awal abad ke-17. Leonard Euler (1748, 1753) membawa teori fungsi trigonometri ke dalam bentuk modernnya, dan kami juga berutang padanya konsolidasi simbolisme nyata.Istilah "fungsi trigonometri" diperkenalkan oleh ahli matematika dan fisika Jerman Georg Simon Klugel pada tahun 1770.
Garis sinus matematikawan India awalnya disebut "arha jiva"("semi-string", yaitu, setengah dari akord), lalu kata "arka" dibuang dan garis sinus mulai disebut sederhana "jiwa". Penerjemah bahasa Arab tidak menerjemahkan kata "jiwa" kata bahasa arab "vatar", yang menunjukkan tali busur dan akord, dan ditranskripsikan dalam huruf Arab dan mulai memanggil garis sinus "jiba". Karena vokal pendek tidak ditunjukkan dalam bahasa Arab, dan panjang "dan" dalam kata "jiba" dilambangkan dengan cara yang sama dengan semivokal "y", orang-orang Arab mulai mengucapkan nama garis sinus "hinaan", yang secara harfiah berarti "berongga", "dada". Saat menerjemahkan karya Arab ke dalam bahasa Latin, penerjemah Eropa menerjemahkan kata "hinaan" kata latin sinus, memiliki arti yang sama.Istilah "singgung" (dari lat.garis singgung-touching) diperkenalkan oleh matematikawan Denmark Thomas Fincke dalam bukunya Geometry of the Round (1583).
Arcsin. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Fungsi trigonometri terbalik adalah fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri. Nama fungsi trigonometri terbalik dibentuk dari nama fungsi trigonometri yang sesuai dengan menambahkan awalan "busur" (dari lat. busur- busur).Fungsi trigonometri terbalik biasanya mencakup enam fungsi: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) dan arccosecan (arccosec). Untuk pertama kalinya, simbol khusus untuk fungsi trigonometri terbalik digunakan oleh Daniel Bernoulli (1729, 1736).Cara notasi fungsi trigonometri terbalik dengan awalan busur(dari lat. arcus, arc) muncul di matematikawan Austria Karl Scherfer dan memperoleh pijakan berkat matematikawan, astronom, dan mekanik Prancis Joseph Louis Lagrange. Itu dimaksudkan bahwa, misalnya, sinus biasa memungkinkan Anda menemukan akord yang menahannya di sepanjang busur lingkaran, dan fungsi kebalikannya memecahkan masalah yang berlawanan. Sampai akhir abad ke-19, sekolah matematika Inggris dan Jerman menawarkan notasi lain: sin -1 dan 1/sin, tetapi tidak banyak digunakan.
Sinus hiperbolik, kosinus hiperbolik. W. Riccati (1757).
Sejarawan menemukan penampilan pertama fungsi hiperbolik dalam tulisan matematikawan Inggris Abraham de Moivre (1707, 1722). Definisi modern dan studi terperinci tentang mereka dilakukan oleh Vincenzo Riccati Italia pada tahun 1757 dalam karya "Opusculorum", ia juga mengusulkan penunjukan mereka: SH,ch. Riccati melanjutkan dari pertimbangan hiperbola tunggal. Penemuan independen dan studi lebih lanjut tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik dilakukan oleh matematikawan, fisikawan, dan filsuf Jerman Johann Lambert (1768), yang menetapkan paralelisme yang luas antara rumus trigonometri biasa dan hiperbolik. N.I. Lobachevsky kemudian menggunakan paralelisme ini, mencoba membuktikan konsistensi geometri non-Euclidean, di mana trigonometri biasa diganti dengan hiperbolik.
Sama seperti sinus trigonometri dan kosinus adalah koordinat titik pada lingkaran koordinat, sinus hiperbolik dan kosinus adalah koordinat titik pada hiperbola. Fungsi hiperbolik dinyatakan dalam eksponen dan terkait erat dengan fungsi trigonometri: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Dengan analogi dengan fungsi trigonometri, tangen hiperbolik dan kotangen didefinisikan sebagai rasio hiperbolik sinus dan kosinus, kosinus dan sinus, masing-masing.
Diferensial. G. Leibniz (1675, dicetak 1684).
Bagian utama, linier dari kenaikan fungsi.Jika fungsi y=f(x) satu variabel x memiliki x=x0turunan, dan kenaikany \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)fungsi f(x) dapat direpresentasikan sebagaiy \u003d f "(x 0) x + R (Δx) , dimana anggota R sangat kecil dibandingkan denganx. Anggota pertamady=f"(x 0 )Δxdalam ekspansi ini disebut diferensial fungsi f(x) pada intinyax0. PADA karya Gottfried Leibniz, Jacob dan Johann Bernoulli word"perbedaan"digunakan dalam arti "kenaikan", I. Bernoulli dilambangkan melalui . G. Leibniz (1675, diterbitkan pada 1684) menggunakan notasi untuk "perbedaan kecil yang tak terhingga"d- huruf pertama dari kata"diferensial", dibentuk olehnya dari"perbedaan".
integral tak tentu. G. Leibniz (1675, dicetak 1686).
Kata "integral" pertama kali digunakan di media cetak oleh Jacob Bernoulli (1690). Mungkin istilah ini berasal dari bahasa Latin bilangan bulat- utuh. Menurut asumsi lain, dasarnya adalah kata Latin integral- memulihkan, memulihkan. Tanda digunakan untuk menunjukkan integral dalam matematika dan merupakan gambar bergaya dari huruf pertama dari kata Latin summa- jumlah. Ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Gottfried Leibniz, pendiri kalkulus diferensial dan integral, pada akhir abad ke-17. Salah satu pendiri kalkulus diferensial dan integral lainnya, Isaac Newton, tidak menawarkan simbolisme alternatif integral dalam karyanya, meskipun ia mencoba berbagai opsi: batang vertikal di atas fungsi atau simbol persegi yang berdiri di depan fungsi atau berbatasan itu. Integral tak tentu untuk suatu fungsi y=f(x) adalah kumpulan semua antiturunan dari fungsi yang diberikan.
integral tertentu. J. Fourier (1819-1822).
Integral tentu dari suatu fungsi f(x) dengan batas bawah sebuah dan batas atas b dapat didefinisikan sebagai perbedaan F(b) - F(a) = a b f(x)dx , di mana F(x)- beberapa fungsi antiturunan f(x) . integral tentu a b f(x)dx numerik sama dengan luas gambar yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x=a dan x=b dan grafik fungsi f(x). Matematikawan dan fisikawan Prancis Jean Baptiste Joseph Fourier mengusulkan desain integral tertentu dalam bentuk yang biasa kita gunakan pada awal abad ke-19.
Turunan. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Turunan - konsep dasar kalkulus diferensial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi f(x) ketika argumen berubah x . Ini didefinisikan sebagai batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumennya karena kenaikan argumen cenderung nol, jika ada batas seperti itu. Suatu fungsi yang memiliki turunan berhingga di suatu titik disebut terdiferensialkan di titik tersebut. Proses menghitung turunan disebut diferensiasi. Proses sebaliknya adalah integrasi. Dalam kalkulus diferensial klasik, turunan paling sering didefinisikan melalui konsep teori limit, namun, secara historis, teori limit muncul lebih lambat daripada kalkulus diferensial.
Istilah "turunan" diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1797; dy/dx— Gottfried Leibniz pada tahun 1675. Cara menentukan turunan terhadap waktu dengan titik di atas huruf berasal dari Newton (1691).Istilah Rusia "turunan dari suatu fungsi" pertama kali digunakan oleh seorang matematikawan RusiaVasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812).
Turunan swasta. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Untuk fungsi banyak variabel, turunan parsial didefinisikan - turunan sehubungan dengan salah satu argumen, dihitung dengan asumsi bahwa argumen yang tersisa adalah konstan. Notasi f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ kamu diperkenalkan oleh matematikawan Prancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1786; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ kamu- turunan parsial orde kedua - matematikawan Jerman Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Perbedaan, kenaikan. I. Bernoulli (akhir abad ke-17 - paruh pertama abad ke-18), L. Euler (1755).
Penunjukan kenaikan dengan huruf pertama kali digunakan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli. Simbol "delta" masuk ke dalam praktik umum setelah karya Leonhard Euler pada tahun 1755.
Jumlah. L.Euler (1755).
Jumlah adalah hasil penjumlahan nilai (bilangan, fungsi, vektor, matriks, dll). Untuk menyatakan jumlah n bilangan a 1, a 2, ..., a n, digunakan huruf Yunani "sigma" : a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = n 1 saya. Tanda untuk jumlah diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755.
Kerja. K.Gauss (1812).
Produk adalah hasil perkalian. Untuk menyatakan hasil kali n bilangan a 1, a 2, ..., a n, digunakan huruf Yunani "pi" : a 1 a 2 ... a n = n i=1 a i = n 1 a i . Misalnya, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Simbol untuk produk diperkenalkan oleh matematikawan Jerman Carl Gauss pada tahun 1812. Dalam literatur matematika Rusia, istilah "kerja" pertama kali ditemukan oleh Leonty Filippovich Magnitsky pada tahun 1703.
Faktorial. K.Krump (1808).
Faktorial dari suatu bilangan n (dilambangkan n!, diucapkan "en faktorial") adalah produk dari semua bilangan asli hingga dan termasuk n: n! = 1 2 3 ... n. Misalnya, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Menurut definisi, 0! = 1. Faktorial didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif. Faktorial suatu bilangan n sama dengan banyaknya permutasi dari n unsur. Misalnya, 3! = 6, memang,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Semua enam dan hanya enam permutasi dari tiga elemen.
Istilah "faktorial" diperkenalkan oleh matematikawan dan politisi Prancis Louis Francois Antoine Arbogast (1800), sebutan n! - Matematikawan Prancis Christian Kramp (1808).
Modul, nilai absolut. K.Weierstrass (1841).
Modul, nilai absolut dari bilangan real x - bilangan non-negatif yang didefinisikan sebagai berikut: |x| = x untuk x 0, dan |x| = -x untuk x 0. Misalnya, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modulus bilangan kompleks z = a + ib adalah bilangan real yang sama dengan (a 2 + b 2).
Diyakini bahwa istilah "modul" diusulkan untuk digunakan oleh matematikawan dan filsuf Inggris, mahasiswa Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz juga menggunakan fungsi ini, yang disebutnya "modul" dan dilambangkan: mol x. Notasi yang diterima secara umum untuk nilai absolut diperkenalkan pada tahun 1841 oleh matematikawan Jerman Karl Weierstrass. Untuk bilangan kompleks, konsep ini diperkenalkan oleh matematikawan Prancis Augustin Cauchy dan Jean Robert Argan pada awal abad ke-19. Pada tahun 1903, ilmuwan Austria Konrad Lorenz menggunakan simbolisme yang sama untuk panjang vektor.
Norma. E.Schmidt (1908).
Norma adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang vektor dan menggeneralisasi konsep panjang vektor atau modulus suatu bilangan. Tanda "norma" (dari kata Latin "norma" - "aturan", "contoh") diperkenalkan oleh ahli matematika Jerman Erhard Schmidt pada tahun 1908.
Membatasi. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), banyak matematikawan (sampai awal abad ke-20)
Batas - salah satu konsep dasar analisis matematika, yang berarti bahwa beberapa nilai variabel dalam proses perubahannya yang dipertimbangkan mendekati nilai konstan tertentu tanpa batas. Konsep limit digunakan secara intuitif sejak paruh kedua abad ke-17 oleh Isaac Newton, serta oleh matematikawan abad ke-18, seperti Leonhard Euler dan Joseph Louis Lagrange. Definisi ketat pertama dari limit barisan diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1816 dan Augustin Cauchy pada tahun 1821. Simbol lim (3 huruf pertama dari kata Latin limau - perbatasan) muncul pada tahun 1787 dengan matematikawan Swiss Simon Antoine Jean Lhuillier, tetapi penggunaannya belum menyerupai yang modern. Ekspresi lim dalam bentuk yang lebih akrab bagi kita pertama kali digunakan oleh matematikawan Irlandia William Hamilton pada tahun 1853.Weierstrass memperkenalkan penunjukan yang dekat dengan yang modern, tetapi alih-alih panah biasa, ia menggunakan tanda sama dengan. Panah muncul pada awal abad ke-20 dengan beberapa matematikawan sekaligus - misalnya, dengan matematikawan Inggris Godfried Hardy pada tahun 1908.
Fungsi Zeta, d Fungsi Riemann zeta. B. Riemann (1857).
Fungsi analitik dari variabel kompleks s = + it, untuk > 1, ditentukan oleh deret Dirichlet yang konvergen mutlak dan seragam:
(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Untuk > 1, representasi dalam bentuk produk Euler adalah valid:
(s) = p (1-p -s) -s ,
dimana produk diambil alih semua bilangan prima p. Fungsi zeta memainkan peran besar dalam teori bilangan.Sebagai fungsi dari variabel nyata, fungsi zeta diperkenalkan pada tahun 1737 (diterbitkan pada tahun 1744) oleh L. Euler, yang menunjukkan penguraiannya menjadi produk. Kemudian fungsi ini dipertimbangkan oleh matematikawan Jerman L. Dirichlet dan, terutama berhasil, oleh matematikawan dan mekanik Rusia P.L. Chebyshev dalam studi hukum distribusi bilangan prima. Namun, sifat paling mendalam dari fungsi zeta ditemukan kemudian, setelah karya matematikawan Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), di mana fungsi zeta dianggap sebagai fungsi dari variabel kompleks; dia juga memperkenalkan nama "fungsi zeta" dan notasi (s) pada tahun 1857.
Fungsi gamma, fungsi Euler . A.Legenda (1814).
Fungsi gamma adalah fungsi matematika yang memperluas gagasan faktorial ke bidang bilangan kompleks. Biasanya dilambangkan dengan (z). Fungsi-z pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1729; itu ditentukan oleh rumus:
(z) = limn→∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
Sejumlah besar integral, produk tak hingga, dan jumlah deret dinyatakan melalui fungsi-G. Banyak digunakan dalam teori bilangan analitik. Nama "Fungsi Gamma" dan notasi (z) diusulkan oleh matematikawan Prancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1814.
Fungsi beta, fungsi B, fungsi Euler B. J.Binet (1839).
Fungsi dari dua variabel p dan q, didefinisikan untuk p>0, q>0 dengan persamaan:
B(p, q) = 0 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Fungsi beta dapat dinyatakan dalam fungsi : (p, q) = (p)Г(q)/Г(p+q).Sama seperti fungsi gamma untuk bilangan bulat adalah generalisasi dari faktorial, fungsi beta, dalam arti tertentu, adalah generalisasi dari koefisien binomial.
Banyak properti dijelaskan menggunakan fungsi beta.partikel dasar berpartisipasi dalam interaksi yang kuat. Fitur ini diperhatikan oleh fisikawan teoretis ItaliaGabriele Veneziano pada tahun 1968. Itu dimulai teori string.
Nama "fungsi beta" dan notasi B(p, q) diperkenalkan pada tahun 1839 oleh ahli matematika, mekanik, dan astronom Prancis Jacques Philippe Marie Binet.
Operator Laplace, Laplacian. R. Murphy (1833).
Operator diferensial linier , yang berfungsi (x 1, x 2, ..., x n) dari n variabel x 1, x 2, ..., x n mengasosiasikan fungsi:
\u003d 2 / x 1 2 + 2 / x 2 2 + ... + 2 / x n 2.
Khususnya, untuk fungsi (x) dari satu variabel, operator Laplace bertepatan dengan operator turunan ke-2: = d 2 /dx 2 . Persamaan = 0 biasanya disebut persamaan Laplace; dari sinilah nama "operator Laplace" atau "Laplacian" berasal. Notasi diperkenalkan oleh fisikawan dan matematikawan Inggris Robert Murphy pada tahun 1833.
Operator Hamiltonian, operator nabla, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).
Operator diferensial vektor dari bentuk
= /∂x saya+ /∂y j+ /∂z k,
di mana saya, j, dan k- koordinat vektor. Melalui operator nabla, operasi dasar analisis vektor, serta operator Laplace, diekspresikan secara alami.
Pada tahun 1853, matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton memperkenalkan operator ini dan menciptakan simbol untuknya dalam bentuk huruf Yunani terbalik (delta). Di Hamilton, titik simbol menunjuk ke kiri; kemudian, dalam karya matematikawan dan fisikawan Skotlandia Peter Guthrie Tate, simbol memperoleh tampilan modern. Hamilton menyebut simbol ini dengan kata "atled" (kata "delta" dibaca terbalik). Belakangan, para sarjana Inggris, termasuk Oliver Heaviside, mulai menyebut simbol ini "nabla", setelah nama huruf dalam alfabet Fenisia, di mana simbol itu muncul. Asal usul huruf tersebut dikaitkan dengan alat musik seperti kecapi, (nabla) dalam bahasa Yunani kuno berarti "kecapi". Operator itu disebut operator Hamilton, atau operator nabla.
Fungsi. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Sebuah konsep matematika yang mencerminkan hubungan antara elemen himpunan. Kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi adalah "hukum", "aturan" yang menurutnya setiap elemen dari satu himpunan (disebut domain definisi) diberikan beberapa elemen dari himpunan lain (disebut domain nilai). Konsep matematika dari suatu fungsi mengungkapkan ide intuitif tentang bagaimana satu kuantitas sepenuhnya menentukan nilai kuantitas lain. Seringkali istilah "fungsi" berarti fungsi numerik; yaitu, fungsi yang menempatkan beberapa angka sejajar dengan yang lain. Untuk waktu yang lama, matematikawan memberikan argumen tanpa tanda kurung, misalnya, seperti ini - . Notasi ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli pada tahun 1718.Tanda kurung hanya digunakan jika ada banyak argumen, atau jika argumen adalah ekspresi yang kompleks. Gema waktu itu biasa dan sekarang merekamdosa x, lg xdll. Namun lambat laun penggunaan tanda kurung, f(x) , menjadi aturan umum. Dan kelebihan utama dalam hal ini adalah milik Leonhard Euler.
Persamaan. R. Rekam (1557).
Tanda sama dengan diusulkan oleh dokter dan matematikawan Welsh Robert Record pada tahun 1557; garis besar karakter jauh lebih panjang daripada yang sekarang, karena meniru gambar dua segmen paralel. Penulis menjelaskan bahwa tidak ada yang lebih setara di dunia daripada dua segmen paralel dengan panjang yang sama. Sebelum itu, dalam matematika kuno dan abad pertengahan, kesetaraan dilambangkan secara verbal (misalnya, est egal). Rene Descartes pada abad ke-17 mulai menggunakan (dari lat. seimbang), dan dia menggunakan tanda sama dengan modern untuk menunjukkan bahwa koefisiennya bisa negatif. François Viète menunjukkan pengurangan dengan tanda sama dengan. Simbol Rekor tidak langsung menyebar. Penyebaran simbol Rekam terhalang oleh fakta bahwa sejak zaman kuno simbol yang sama telah digunakan untuk menunjukkan paralelisme garis; pada akhirnya, diputuskan untuk membuat simbol paralelisme vertikal. Di benua Eropa, tanda "=" diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz hanya pada pergantian abad ke-17-18, yaitu, lebih dari 100 tahun setelah kematian Robert Record, yang pertama kali menggunakannya untuk ini.
Hampir sama, hampir sama. A. Gunther (1882).
Tanda " " diperkenalkan oleh matematikawan dan fisikawan Jerman Adam Wilhelm Sigmund Günther pada tahun 1882 sebagai simbol untuk hubungan "hampir sama".
Kurang lebih. T.Harriot (1631).
Kedua tanda ini mulai digunakan oleh astronom, matematikawan, etnografer, dan penerjemah Inggris Thomas Harriot pada tahun 1631, sebelum kata "lebih" dan "kurang" digunakan.
Keterbandingan. K.Gauss (1801).
Perbandingan - rasio antara dua bilangan bulat n dan m, yang berarti bahwa perbedaan n-m dari bilangan-bilangan ini dibagi dengan bilangan bulat a, yang disebut modulus perbandingan; ada tertulis: n≡m(mod a) dan berbunyi "angka n dan m sebanding dengan modulo a". Misalnya, 3≡11(mod 4) karena 3-11 habis dibagi 4; bilangan 3 dan 11 kongruen modulo 4. Perbandingan memiliki banyak sifat yang mirip dengan persamaan. Jadi, istilah di satu bagian dari perbandingan dapat ditransfer dengan tanda yang berlawanan ke bagian lain, dan perbandingan dengan modul yang sama dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, kedua bagian dari perbandingan dapat dikalikan dengan angka yang sama, dll. Sebagai contoh,
3≡9+2(mod 4) dan 3-2≡9(mod 4)
Pada saat yang sama benar perbandingan. Dan dari sepasang perbandingan yang benar 3≡11(mod 4) dan 1≡5(mod 4) kebenaran berikut ini:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3 1≡11 5(mod 4)
3 2 11 2 (mod 4)
3 23≡11 23(mod 4)
Dalam teori bilangan, metode untuk menyelesaikan berbagai perbandingan dipertimbangkan, mis. metode untuk menemukan bilangan bulat yang memenuhi perbandingan satu jenis atau lainnya. Perbandingan modulo pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Carl Gauss dalam bukunya tahun 1801, Arithmetical Investigations. Dia juga mengusulkan simbolisme didirikan dalam matematika untuk perbandingan.
Identitas. B. Riemann (1857).
Identitas - kesetaraan dua ekspresi analitis, berlaku untuk nilai apa pun yang dapat diterima dari huruf yang disertakan di dalamnya. Persamaan a+b = b+a berlaku untuk semua nilai numerik a dan b, dan karenanya merupakan identitas. Untuk mencatat identitas, dalam beberapa kasus, sejak tahun 1857, tanda "≡" telah digunakan (dibaca "identik sama"), yang pengarangnya dalam penggunaan ini adalah matematikawan Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Bisa ditulis a+b b+a.
Sifat tegak lurus. P.Erigon (1634).
Tegak lurus - pengaturan timbal balik dari dua garis lurus, bidang atau garis lurus dan bidang, di mana angka-angka ini membentuk sudut siku-siku. Tanda untuk menunjukkan tegak lurus diperkenalkan pada tahun 1634 oleh matematikawan dan astronom Prancis Pierre Erigon. Konsep tegak lurus memiliki sejumlah generalisasi, tetapi semuanya, sebagai suatu peraturan, disertai dengan tanda .
Paralelisme. W. Outred (1677 edisi anumerta).
Paralelisme - hubungan antara beberapa bentuk geometris; misalnya garis lurus. Didefinisikan secara berbeda tergantung pada geometri yang berbeda; misalnya, dalam geometri Euclid dan dalam geometri Lobachevsky. Tanda paralelisme telah dikenal sejak zaman kuno, digunakan oleh Heron dan Pappus dari Alexandria. Pada awalnya, simbol itu mirip dengan tanda sama dengan saat ini (hanya lebih diperluas), tetapi dengan munculnya yang terakhir, untuk menghindari kebingungan, simbol diputar secara vertikal ||. Itu muncul dalam bentuk ini untuk pertama kalinya dalam edisi anumerta karya matematikawan Inggris William Outred pada tahun 1677.
Persimpangan, persatuan. J.Peano (1888).
Perpotongan himpunan adalah himpunan yang berisi elemen-elemen itu dan hanya elemen-elemen yang secara bersamaan dimiliki oleh semua himpunan yang diberikan. Gabungan himpunan adalah himpunan yang memuat semua elemen dari himpunan aslinya. Persimpangan dan serikat juga disebut operasi pada set yang menetapkan set baru ke set tertentu sesuai dengan aturan di atas. Dilambangkan dan , masing-masing. Misalnya, jika
A= (♠ ) dan B= (♣ ),
Itu
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Berisi, berisi. E. Schroeder (1890).
Jika A dan B adalah dua himpunan dan tidak ada anggota di A yang bukan anggota B, maka dikatakan bahwa A termasuk dalam B. Ditulis A⊂B atau B⊃A (B berisi A). Sebagai contoh,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Simbol "berisi" dan "berisi" muncul pada tahun 1890 dengan ahli matematika dan logika Jerman Ernst Schroeder.
Afiliasi. J.Peano (1895).
Jika a adalah anggota himpunan A, tulis a∈A dan baca "a milik A". Jika a bukan anggota A, tulis a∉A dan baca "a bukan milik A". Awalnya, hubungan "terkandung" dan "milik" ("adalah elemen") tidak dibedakan, tetapi seiring waktu, konsep-konsep ini membutuhkan perbedaan. Tanda keanggotaan pertama kali digunakan oleh matematikawan Italia Giuseppe Peano pada tahun 1895. Simbol berasal dari huruf pertama kata Yunani - menjadi.
Kuantifier universal, kuantifier eksistensial. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kuantifier adalah nama umum untuk operasi logika yang menunjukkan area kebenaran suatu predikat (pernyataan matematis). Para filsuf telah lama memperhatikan operasi logis yang membatasi ruang lingkup kebenaran predikat, tetapi tidak memilihnya sebagai kelas operasi yang terpisah. Meskipun konstruksi kuantifier-logis banyak digunakan baik dalam pidato ilmiah dan sehari-hari, formalisasi mereka terjadi hanya pada tahun 1879, dalam buku ahli logika Jerman, matematikawan dan filsuf Friedrich Ludwig Gottlob Frege "The Calculus of Concepts". Notasi Frege tampak seperti konstruksi grafis yang rumit dan tidak diterima. Selanjutnya, banyak simbol yang lebih berhasil diusulkan, tetapi notasi untuk kuantifier eksistensial (baca "ada", "ada"), diusulkan oleh filsuf, ahli logika, dan matematikawan Amerika Charles Pierce pada tahun 1885, dan untuk kuantifier universal ( dibaca "any", "each", "any"), dibentuk oleh ahli matematika dan logika Jerman Gerhard Karl Erich Gentzen pada tahun 1935 dengan analogi dengan simbol quantifier eksistensial (huruf pertama terbalik dari kata bahasa Inggris Existence (eksistensi) dan Any ( setiap)). Misalnya, entri
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
berbunyi sebagai berikut: "untuk setiap >0 terdapat >0 sehingga untuk semua x tidak sama dengan x 0 dan memenuhi pertidaksamaan |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Set kosong. N. Bourbaki (1939).
Himpunan yang tidak mengandung unsur apapun. Tanda himpunan kosong diperkenalkan dalam buku-buku Nicolas Bourbaki pada tahun 1939. Bourbaki adalah nama samaran kolektif dari sekelompok matematikawan Prancis yang dibentuk pada tahun 1935. Salah satu anggota kelompok Bourbaki adalah Andre Weil, penulis simbol .
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Dalam matematika, pembuktian dipahami sebagai urutan penalaran berdasarkan aturan-aturan tertentu, yang menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu benar. Sejak Renaisans, akhir suatu pembuktian telah dilambangkan oleh para matematikawan sebagai "Q.E.D.", dari ungkapan Latin "Quod Erat Demonstrandum" - "Apa yang harus dibuktikan." Saat membuat sistem tata letak komputer pada tahun 1978, profesor ilmu komputer Amerika Donald Edwin Knuth menggunakan simbol: kotak yang diisi, yang disebut "simbol Halmos", dinamai ahli matematika Amerika asal Hongaria Paul Richard Halmos. Hari ini, penyelesaian bukti biasanya dilambangkan dengan Simbol Halmos. Sebagai alternatif, tanda lain digunakan: kotak kosong, segitiga siku-siku, // (dua garis miring), serta singkatan Rusia "ch.t.d.".
