Tegak lurus ke tengah segmen
Definisi 1 . Tegak lurus ke tengah segmen disebut, garis lurus tegak lurus terhadap segmen ini dan melewati tengahnya (Gbr. 1).
Teorema 1. Setiap titik dari garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen adalah pada jarak yang sama dari ujung segmen ini.
Bukti . Perhatikan sebuah titik sembarang D yang terletak pada garis-bagi tegak lurus terhadap segmen AB (Gbr. 2), dan buktikan bahwa segitiga ADC dan BDC adalah sama.
Memang, segitiga-segitiga ini adalah segitiga siku-siku yang kaki-kakinya AC dan BC sama besar, sedangkan kaki-kakinya sama besar DC. Dari persamaan segitiga ADC dan BDC, persamaan segmen AD dan DB berikut. Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 (Terbalik dari Teorema 1). Jika suatu titik berada pada jarak yang sama dari ujung-ujung segmen, maka titik itu terletak pada garis bagi yang tegak lurus dengan segmen ini.
Bukti . Mari kita buktikan Teorema 2 dengan metode “dengan kontradiksi”. Untuk tujuan ini, anggaplah bahwa beberapa titik E berada pada jarak yang sama dari ujung-ujung segmen, tetapi tidak terletak pada garis-bagi tegak lurus segmen ini. Mari kita bawa asumsi ini ke kontradiksi. Mari kita perhatikan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang berlawanan dari garis-bagi yang tegak lurus (Gbr. 3). Dalam hal ini, segmen EA memotong garis-bagi tegak lurus di beberapa titik, yang akan kami tunjukkan dengan huruf D.
Mari kita buktikan bahwa segmen AE lebih panjang dari segmen EB. Betulkah,
Jadi, dalam kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang berlawanan dari garis-bagi yang tegak lurus, kita memperoleh kontradiksi.
Sekarang perhatikan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang sama dari garis-bagi yang tegak lurus (Gbr. 4). Mari kita buktikan bahwa segmen EB lebih panjang dari segmen AE. Betulkah,
Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi bukti Teorema 2
Lingkaran yang membatasi segitiga
Definisi 2 . Lingkaran yang mengelilingi segitiga, sebut lingkaran yang melalui ketiga simpul segitiga (Gbr. 5). Dalam hal ini segitiga disebut segitiga tertulis dalam lingkaran atau segitiga tertulis.
Sifat-sifat lingkaran yang dibatasi pada segitiga. teorema sinus
| Angka | Gambar | Properti |
| Tegak lurus tengah ke sisi segitiga |  |
berpotongan di satu titik
. |
 |
|
|
| Tengah dibatasi tentang segitiga lancip dari sebuah lingkaran | Pusat dijelaskan tentang sudut lancip dalam segi tiga. | |
| Tengah lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku |  | Pusat yang dijelaskan tentang persegi panjang
titik tengah hipotenusa
. |
| Tengah dibatasi tentang segitiga tumpul dari sebuah lingkaran |  | Pusat dijelaskan tentang tumpul lingkaran segitiga kebohongan di luar segi tiga. |
 |
|
|
| Kotak segi tiga |  | S = 2R 2 dosa A dosa B dosa C , |
| Jari-jari lingkaran yang dibatasi | Untuk sembarang segitiga, persamaannya benar: |
,| Garis tengah tegak lurus sisi-sisi segitiga |
Semua garis-bagi tegak lurus ditarik ke sisi segitiga sembarang, berpotongan di satu titik . |
| Lingkaran yang membatasi segitiga |
Segitiga apa pun dapat dibatasi oleh lingkaran. . Pusat lingkaran yang dibatasi tentang segitiga adalah titik di mana semua garis-bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi segitiga berpotongan. |
| Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga lancip |
Pusat dijelaskan tentang sudut lancip lingkaran segitiga kebohongan dalam segi tiga. |
| Pusat lingkaran yang dibatasi oleh segitiga siku-siku |
Pusat yang dijelaskan tentang persegi panjang lingkaran segitiga adalah titik tengah hipotenusa . |
| Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga tumpul |
Pusat dijelaskan tentang tumpul lingkaran segitiga kebohongan di luar segi tiga. |
Untuk setiap segitiga, persamaan adalah valid (teorema sinus):
di mana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi. |
| Luas segitiga |
Untuk sembarang segitiga, persamaannya benar: S = 2R 2 dosa A dosa B dosa C , di mana A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi. |
| Jari-jari lingkaran yang dibatasi |
Untuk sembarang segitiga, persamaannya benar: di mana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi. |
Bukti teorema tentang sifat-sifat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga
Teorema 3. Semua tegak lurus tengah yang ditarik ke sisi segitiga sembarang berpotongan di satu titik.
Bukti . Pertimbangkan dua garis bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi AC dan AB dari segitiga ABC , dan tunjukkan titik perpotongannya dengan huruf O (Gbr. 6).
Karena titik O terletak pada garis bagi tegak lurus terhadap segmen AC , maka, berdasarkan Teorema 1, persamaan berikut berlaku:
Karena titik O terletak pada garis bagi tegak lurus terhadap segmen AB , maka, berdasarkan Teorema 1, persamaan berikut berlaku:
Oleh karena itu, persamaannya benar:
dari mana, menggunakan Teorema 2, kita menyimpulkan bahwa titik O terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen BC. Jadi, ketiga garis bagi yang tegak lurus melewati titik yang sama, yang harus dibuktikan.
Konsekuensi. Segitiga apa pun dapat dibatasi oleh lingkaran. . Pusat lingkaran yang dibatasi tentang segitiga adalah titik di mana semua garis-bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi segitiga berpotongan.
Bukti . Mari kita perhatikan titik O, di mana semua garis-bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi segitiga ABC berpotongan (Gbr. 6).
Saat membuktikan Teorema 3, persamaan berikut diperoleh:
dari mana lingkaran yang berpusat di titik O dan jari-jari OA , OB , OC melewati ketiga simpul segitiga ABC , yang harus dibuktikan.
Segitiga adalah yang paling sederhana dari bentuk poligonal datar. Jika nilai setiap sudut pada simpulnya sama dengan 90 °, maka segitiga itu disebut siku-siku. Di dekat poligon seperti itu, diizinkan untuk menggambar lingkaran sedemikian rupa sehingga masing-masing dari 3 simpul memiliki satu titik yang sama dengan batasnya (lingkaran). Lingkaran ini akan disebut dibatasi, dan kehadiran sudut siku-siku sangat menyederhanakan tugas membangunnya.
Anda akan perlu
- Penggaris, kompas, kalkulator.
Petunjuk
1. Mulailah dengan menentukan jari-jari lingkaran yang ingin Anda gambar. Jika mungkin untuk mengukur panjang sisi-sisi segitiga, maka perhatikan sisi miringnya - sisi yang terletak di seberang sudut siku-siku. Ukur dan bagi nilai yang dihasilkan menjadi dua - ini akan menjadi jari-jari lingkaran yang dijelaskan di dekat segitiga siku-siku.
2. Jika panjang sisi miring tidak diketahui, tetapi ada panjang (a dan b) kedua kaki (2 sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku), maka cari jari-jari (R) menggunakan teorema Pythagoras. Oleh karena itu, parameter ini akan sama dengan setengah akar kuadrat yang diekstraksi dari jumlah kuadrat panjang kaki: R=?*?(a?+b?).
3. Jika panjang salah satu kaki saja (a) dan nilai sudut lancip yang berdekatan dengannya (?) diketahui, maka untuk menentukan jari-jari lingkaran berbatas (R), gunakan fungsi trigonometri - kosinus. Dalam segitiga siku-siku, itu menentukan rasio panjang sisi miring dan kaki ini. Hitung setengah hasil bagi dari panjang kaki dibagi dengan kosinus dari sudut yang terkenal: R=?*a/cos(?).
4. Jika, selain panjang salah satu kaki (a), nilai sudut lancip (?) yang terletak berlawanan diketahui, maka untuk menghitung jari-jari (R), gunakan fungsi trigonometri lain - sinus. Selain mengganti fungsi dan sisi, tidak ada yang akan berubah dalam rumus - bagi panjang kaki dengan sinus dari sudut lancip yang diketahui, dan bagi hasilnya menjadi dua: R =? * b / sin (?).
5. Setelah menemukan jari-jari dengan salah satu metode yang terdaftar, tentukan pusat lingkaran yang dijelaskan. Untuk melakukan ini, sisihkan nilai yang dihasilkan pada kompas dan atur ke sembarang titik segitiga. Tidak perlu menggambarkan lingkaran penuh, dengan mudah menyapu tempat berpotongan dengan sisi miring - titik ini akan menjadi pusat lingkaran. Begitulah kualitas segitiga siku-siku - pusat lingkaran terbatas di sekitarnya selalu terletak di tengah sisi terpanjangnya. Gambarlah lingkaran dengan jari-jari yang diplot pada kompas dengan pusat pada titik yang terdeteksi. Ini menyelesaikan pembangunan.
Kadang-kadang, di dekat poligon cembung, diperbolehkan menggambar lingkaran sedemikian rupa sehingga simpul dari semua sudut terletak di atasnya. Lingkaran seperti itu sehubungan dengan poligon harus disebut dibatasi. Dia Tengah tidak harus berada di dalam perimeter gambar yang tertulis, tetapi menggunakan sifat-sifat yang dijelaskan lingkaran, untuk mendeteksi titik ini, seperti biasa, tidak terlalu sulit.
Anda akan perlu
- Penggaris, pensil, busur derajat atau persegi, kompas.
Petunjuk
1. Jika poligon di sekitar yang perlu untuk menggambarkan lingkaran digambar di atas kertas, untuk menemukan Tengah dan lingkaran cukup dengan penggaris, pensil, dan busur derajat atau bujur sangkar. Ukur panjang masing-masing sisi gambar, tentukan bagian tengahnya dan letakkan titik bantu di tempat gambar ini. Dengan dukungan bujur sangkar atau busur derajat, gambarlah sebuah segmen yang tegak lurus terhadap sisi ini di dalam poligon hingga berpotongan dengan sisi yang berlawanan.
2. Lakukan operasi yang sama dengan sisi poligon lainnya. Perpotongan 2 segmen yang dibangun akan menjadi titik yang diinginkan. Ini mengikuti dari properti utama yang dijelaskan lingkaran- dia Tengah dalam poligon cembung dengan sejumlah sisi selalu terletak pada titik persimpangan dari garis-bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi-sisi ini.
3. Untuk poligon sejati, definisinya adalah Tengah tapi tertulis lingkaran bisa jauh lebih mudah. Katakanlah jika itu persegi, maka gambarlah dua diagonal - persimpangannya adalah Tengah ohm tertulis lingkaran. Dalam poligon positif dengan jumlah sisi genap, cukup untuk menggabungkan dua pasang sudut yang terletak berhadapan satu sama lain dengan segmen bantu - Tengah dijelaskan lingkaran harus bertepatan dengan titik perpotongannya. Dalam segitiga siku-siku, untuk menyelesaikan masalah, tentukan dengan mudah bagian tengah sisi terpanjang dari gambar - sisi miring.
4. Jika tidak diketahui dari kondisi apakah diperbolehkan dalam tesis untuk menggambar lingkaran berbatas untuk poligon tertentu, setelah menentukan titik yang diasumsikan Tengah dan dengan salah satu metode yang dijelaskan Anda dapat mengetahuinya. Sisihkan pada kompas jarak antara titik yang terdeteksi dan masing-masing simpul, atur kompas ke yang diperlukan Tengah lingkaran dan menggambar lingkaran - seluruh simpul harus terletak di sini lingkaran. Jika tidak demikian, maka salah satu sifat dasar tidak terpenuhi dan tidak mungkin untuk menggambarkan lingkaran di sekitar poligon tertentu.
Menurut definisi, dijelaskan lingkaran harus melewati semua simpul sudut poligon yang diberikan. Pada saat yang sama, idealnya tidak masalah apa jenis poligonnya - segitiga, persegi, persegi panjang, trapesium, atau yang lainnya. Juga tidak masalah apakah itu poligon benar atau salah. Hanya perlu untuk mempertimbangkan bahwa ada poligon di sekitarnya yang lingkaran mustahil untuk dideskripsikan. Itu selalu mungkin untuk dijelaskan lingkaran di sekitar segitiga. Sedangkan untuk segi empat, lingkaran diperbolehkan untuk menggambarkan tentang persegi atau persegi panjang atau trapesium sama kaki.
Anda akan perlu
- poligon yang diberikan
- Penggaris
- kotak
- Pensil
- Kompas
- Busur derajat
- Tabel sinus dan cosinus
- Representasi dan rumus matematika
- teori Pitagoras
- teorema sinus
- teorema kosinus
- Tanda-tanda kesamaan segitiga
Petunjuk
1. Bangun poligon dengan parameter yang diberikan dan tentukan apakah diizinkan untuk menggambarkan di sekitarnya lingkaran. Jika Anda diberikan segi empat, hitung jumlah sudut-sudutnya yang berlawanan. Masing-masing harus sama dengan 180 °.
2. Untuk menggambarkan lingkaran, Anda perlu menghitung radiusnya. Ingat di mana pusat lingkaran yang dibatasi terletak di berbagai poligon. Dalam sebuah segitiga, terletak di titik perpotongan semua ketinggian segitiga yang diberikan. Dalam bujur sangkar dan persegi panjang - di titik persimpangan diagonal, untuk trapesium - di titik persimpangan sumbu simetri ke garis yang menghubungkan titik tengah sisi, dan untuk poligon cembung lainnya - di titik persimpangan garis-bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisinya.
3. Hitung diameter lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi dan persegi panjang menggunakan teorema Pythagoras. Ini akan sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi-sisi persegi panjang. Untuk persegi dengan semua sisinya sama, diagonalnya sama dengan akar kuadrat dari dua kali kuadrat sisinya. Bagilah diameter dengan 2 untuk mendapatkan jari-jarinya.
4. Hitung jari-jari lingkaran yang dibatasi untuk segitiga. Dari kenyataan bahwa parameter segitiga diberikan dalam kondisi, hitung jari-jarinya menggunakan rumus R = a / (2 sinA), di mana a adalah salah satu sisi segitiga, ? adalah sudut yang berlawanan. Alih-alih sisi ini, diperbolehkan untuk mengambil sisi lain dan sudut yang berlawanan dengannya.
5. Hitung jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar trapesium. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) /2*(a+d+c) . Hitung nilai yang hilang. Tinggi dapat dihitung dengan menggunakan teorema sinus atau cosinus, dari fakta bahwa panjang sisi trapesium dan sudut diberikan dalam kondisi masalah. Mengetahui tinggi dan mempertimbangkan tanda-tanda kesamaan segitiga, menghitung diagonal. Nanti tinggal menghitung jari-jarinya menggunakan rumus di atas.
Video Terkait
Saran yang bermanfaat
Untuk menghitung jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar poligon lain, lakukan sejumlah konstruksi tambahan. Dapatkan lebih banyak angka primitif yang parameternya Anda kenal.
Tip 4: Cara menggambar segitiga siku-siku dari sudut lancip dan sisi miring
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki sudut 90°. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut sisi miring, dan sisi yang berhadapan dengan dua sudut lancip segitiga disebut kaki. Jika panjang sisi miring dan nilai salah satu sudut lancip diketahui, maka data ini cukup untuk membangun segitiga menggunakan setidaknya dua metode.
Anda akan perlu
- Lembaran kertas, pensil, penggaris, kompas, kalkulator.
Petunjuk
1. Metode 1 membutuhkan, selain pensil dan kertas, penggaris, busur derajat, dan persegi. Pertama, gambarkan sisi yang merupakan sisi miring - letakkan titik A, sisihkan panjang sisi miring yang diketahui darinya, letakkan titik C dan satukan titik-titiknya.
2. Pasang busur derajat ke segmen yang ditarik sedemikian rupa sehingga tanda nol bertepatan dengan titik A, ukur nilai sudut lancip yang digerakkan dan atur titik bantu. Gambarlah garis yang dimulai dari titik A dan melalui titik bantu.
3. Tempelkan bujur sangkar ke segmen AC sedemikian rupa sehingga sudut siku-siku dimulai dari titik C. Tandai titik potong garis yang ditarik pada langkah sebelumnya dengan huruf B dan gabungkan dengan titik C. Ini menyelesaikan konstruksi kanan segitiga dengan panjang sisi terkenal AC (sisi miring) dan sudut tajam di titik A akan selesai.
4. Metode lain, selain pensil dan kertas, akan membutuhkan penggaris, kompas, dan kalkulator. Mulailah dengan menghitung panjang kaki - mengetahui ukuran satu sudut lancip dan panjang sisi miring sudah cukup untuk ini.
5. Hitung panjang kaki itu (AB), yang terletak di seberang sudut yang nilainya diketahui (β) - itu akan sama dengan produk dari panjang sisi miring (AC) dan sinus dari sudut terkenal AB= AC*sin(β).
6. Tentukan panjang kaki lainnya (BC) - itu akan sama dengan produk dari panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang digerakkan BC=AC*cos(β).
7. Letakkan titik A, ukur panjang sisi miring darinya, letakkan titik C dan tarik garis di antara keduanya.
8. Sisihkan panjang kaki AB, yang dihitung pada langkah kelima, pada kompas dan gambar setengah lingkaran tambahan yang berpusat di titik A.
9. Sisihkan panjang kaki BC yang dihitung pada langkah keenam pada kompas dan gambar setengah lingkaran tambahan yang berpusat di titik C.
10. Tandai titik perpotongan dari 2 setengah lingkaran dengan huruf B dan gambar segmen antara titik A dan B, C dan B. Ini menyelesaikan konstruksi segitiga siku-siku.
Saran 5: Apa nama sisi segitiga siku-siku?
Orang-orang telah tertarik pada sifat-sifat yang menakjubkan dari segitiga siku-siku sejak zaman kuno. Banyak dari sifat-sifat ini dijelaskan oleh ilmuwan Yunani kuno Pythagoras. Di Yunani kuno, nama-nama sisi segitiga siku-siku juga muncul.
Segitiga manakah yang disebut segitiga siku-siku?
Ada beberapa jenis segitiga. Beberapa memiliki semua sudut tajam, yang lain memiliki satu tumpul dan dua tajam, dan yang lain memiliki dua tajam dan lurus. Menurut tanda ini, setiap jenis figur geometris ini menerima nama: sudut lancip, sudut tumpul dan persegi panjang. Artinya, segitiga disebut segitiga siku-siku, di mana salah satu sudutnya adalah 90 °. Ada definisi lain yang mirip dengan yang pertama. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang kedua sisinya tegak lurus.
Sisi miring dan kaki
Dalam segitiga lancip dan tumpul, ruas-ruas yang menghubungkan titik sudut disebut sisi primitif. Sisi-sisi segitiga siku-siku memiliki nama lain. Mereka yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa. Diterjemahkan dari bahasa Yunani, kata "hipotenusa" berarti "membentang", dan "kaki" - "tegak lurus".
Hubungan antara sisi miring dan kaki
Sisi-sisi segitiga siku-siku saling berhubungan dengan rasio tertentu, yang membuat perhitungan menjadi lebih mudah. Katakanlah, mengetahui dimensi kaki, adalah mungkin untuk menghitung panjang sisi miring. Rasio ini, atas nama matematikawan yang menemukannya, disebut teorema Pythagoras dan terlihat seperti ini: c2=a2+b2, di mana c adalah sisi miring, a dan b adalah kaki-kaki. Artinya, sisi miring akan sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki. Untuk menemukan masing-masing kaki, cukup dengan mengurangi kuadrat kaki lainnya dari kuadrat sisi miring dan mengekstrak akar kuadrat dari perbedaan yang dihasilkan.
Kaki yang bersebelahan dan berlawanan
Gambarlah segitiga siku-siku ACB. Huruf C digunakan untuk menyatakan titik sudut siku-siku, A dan B adalah titik sudut lancip. Sisi-sisi yang berhadapan dengan seluruh sudut dengan mudah disebut a, b dan c, sesuai dengan nama-nama sudut yang terletak di hadapannya. Pertimbangkan sudut A. Kaki a untuk itu akan berlawanan, kaki b - berdekatan. Rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring disebut sinus. Fungsi trigonometri ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus: sinA=a/c. Rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring disebut kosinus. Ini dihitung dengan rumus: cosA=b/c. Dengan demikian, mengetahui sudut dan salah satu sisinya, adalah mungkin untuk menghitung sisi lainnya menggunakan rumus ini. Kedua kaki juga dihubungkan oleh hubungan trigonometri. Perbandingan antara lawan dan lawan disebut tangen, dan perbandingan antara lawan disebut kotangen. Rasio ini dapat dinyatakan dengan rumus tgA=a/b atau ctgA=b/a.
Lingkaran luar segitiga siku-siku. Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan bukti satu "fakta matematika", yang banyak digunakan dalam memecahkan masalah dalam geometri. Dalam beberapa sumber, fakta ini disebut sebagai teorema, di sumber lain sebagai properti, ada formulasi yang berbeda, tetapi esensinya sama:
Segitiga apa pun yang dibangun di atas diameter lingkaran yang titik ketiganya terletak pada lingkaran ini adalah siku-siku!
Artinya, pola dalam pola geometris ini adalah, di mana pun Anda menempatkan titik sudut segitiga, sudut pada titik tersebut akan selalu siku-siku:
Ada banyak tugas dari mereka yang hadir dengan komposisi ujian dalam matematika, di mana properti ini digunakan.
Saya pikir bukti standar sangat membingungkan dan dipenuhi dengan simbol matematika, Anda akan menemukannya di buku teks. Kami akan mempertimbangkan sederhana dan intuitif. Saya menemukannya dalam satu esai indah yang disebut " matematika menangis Saya merekomendasikannya untuk dibaca oleh guru dan siswa.
Mari kita lihat beberapa poin teoretis terlebih dahulu:
Fitur jajaran genjang. Jajar genjang memiliki sisi yang berhadapan sama besar. Artinya, jika suatu segiempat memiliki kedua pasang sisi yang berhadapan sama besar, maka segi empat ini adalah jajar genjang.
Tanda persegi panjang. Persegi panjang adalah jajar genjang dan diagonal-diagonalnya sama. Artinya, jika diagonal jajar genjang sama, maka itu adalah persegi panjang.
* Sebuah persegi panjang adalah jajaran genjang, ini adalah kasus khusus.
Jadi mari kita mulai:
Ambil segitiga dan putar 180 0 relatif terhadap pusat lingkaran (balikkan). Kami mendapatkan segiempat tertulis dalam lingkaran:
Karena kita baru saja memutar segitiga, sisi yang berlawanan dari segi empat adalah sama, yang berarti itu adalah jajaran genjang. Karena segitiga diputar tepat 180 derajat, titik sudutnya berlawanan secara diametris dengan titik sudut segitiga "asli".
Ternyata diagonal-diagonal segiempat itu sama, jadi diameternya. Kami memiliki segiempat di mana sisi-sisi yang berlawanan sama dan diagonal-diagonalnya sama, oleh karena itu persegi panjang, dan semua sudutnya siku-siku.
Itu semua buktinya!
Anda juga dapat mempertimbangkan ini, juga sederhana dan dapat dimengerti:
Lihat lebih banyak bukti =>>
Dari titik C kami membuat segmen yang melewati pusat lingkaran, ujung yang lain terletak pada titik yang berlawanan dari lingkaran (titik D). Hubungkan titik D ke simpul A dan B:
Punya segi empat. Segitiga AOD sama dengan segitiga COB di dua sisi dan sudut di antara mereka:
Dari persamaan segitiga diketahui bahwa AD = CB.
Demikian pula, AC = DB.
Kita dapat menyimpulkan bahwa segi empat adalah jajar genjang. Selain itu, diagonalnya sama - AB awalnya diberikan sebagai diameter, CD juga merupakan diameter (melewati titik O).
Jadi, ACBD adalah persegi panjang, yang berarti bahwa semua sudutnya siku-siku. Terbukti!
Pendekatan penting lainnya yang memberi tahu kita dengan jelas dan "indah" bahwa sudut yang dipertanyakan selalu benar.
Melihat dan mengingat informasi tentang. Sekarang lihat sketsanya:
Sudut AOB tidak lain adalah sudut pusat berdasarkan busur ADB, dan itu sama dengan 180 derajat. Ya, AB adalah diameter lingkaran, tetapi tidak ada yang menghalangi kita untuk menganggap AOB sebagai sudut pusat (ini adalah sudut yang dikembangkan). Sudut ACB tertulis untuk itu, itu juga terletak pada busur yang sama pada ADB.
Dan kita tahu bahwa sudut yang tertulis sama dengan setengah sudut pusat, yaitu, tidak peduli bagaimana kita menempatkan titik C pada lingkaran, sudut ACB akan selalu sama dengan 90 derajat, yaitu benar.
Kesimpulan apa yang dapat ditarik sehubungan dengan pemecahan masalah, khususnya yang termasuk dalam ujian?
Jika kondisinya mengacu pada segitiga yang tertulis dalam lingkaran dan dibangun di atas diameter lingkaran ini, maka segitiga ini pasti segitiga siku-siku.
Jika dikatakan bahwa segitiga siku-siku tertulis dalam lingkaran, maka ini berarti bahwa sisi miringnya sama dengan diameternya (sama dengan itu) dan pusat sisi miring bertepatan dengan pusat lingkaran.
Itu saja. Semoga sukses untuk Anda!
Hormat kami, Alexander Krutitskikh.
Tingkat pertama
lingkaran yang dibatasi. Panduan Visual (2019)
Pertanyaan pertama yang mungkin muncul adalah: dijelaskan – seputar apa?
Sebenarnya, kadang-kadang itu terjadi di sekitar apa pun, dan kita akan berbicara tentang lingkaran yang dibatasi di sekitar (kadang-kadang mereka mengatakan "tentang") segitiga. Apa itu?
Dan sekarang, bayangkan, sebuah fakta menakjubkan terjadi:
Mengapa fakta ini luar biasa?
Tapi segitiga berbeda!
Dan untuk semua orang ada lingkaran yang akan berlalu melalui ketiga puncak, yaitu lingkaran yang dibatasi.
Bukti dari fakta yang menakjubkan ini dapat ditemukan di tingkat teori berikut, tetapi di sini kami hanya mencatat bahwa jika kita mengambil, misalnya, segi empat, maka tidak sama sekali untuk semua orang ada lingkaran yang melewati empat simpul. Di sini, katakanlah, jajar genjang adalah segi empat yang sangat baik, tetapi lingkaran yang melewati keempat simpulnya tidak!
Dan hanya ada untuk persegi panjang:
Sehat, dan setiap segitiga selalu memiliki lingkaran berbatasnya sendiri! Dan bahkan selalu cukup mudah untuk menemukan pusat lingkaran ini.
Apakah Anda tahu apa itu? tegak lurus tengah?
Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi jika kita mempertimbangkan sebanyak tiga garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga.
Ternyata (dan inilah tepatnya yang perlu dibuktikan, meskipun kami tidak akan melakukannya) bahwa Ketiga garis tegak lurus berpotongan di satu titik. Perhatikan gambar - ketiga garis tegak lurus median berpotongan di satu titik.
Apakah menurut Anda pusat lingkaran yang dibatasi selalu terletak di dalam segitiga? Bayangkan - tidak selalu!
Tapi jika sudut lancip, lalu - di dalam:
Apa yang harus dilakukan dengan segitiga siku-siku?
Dan dengan bonus tambahan:
Karena kita berbicara tentang jari-jari lingkaran yang dibatasi: apa yang sama dengan segitiga sewenang-wenang? Dan ada jawaban untuk pertanyaan ini: yang disebut.
Yaitu:
Dan tentu saja,
1. Keberadaan dan pusat lingkaran yang dibatasi
Di sini muncul pertanyaan: apakah lingkaran seperti itu ada untuk segitiga apa pun? Ternyata ya, untuk semua orang. Dan terlebih lagi, sekarang kita akan merumuskan teorema yang juga menjawab pertanyaan, di mana pusat lingkaran yang dibatasi.
Terlihat seperti ini:
Mari kumpulkan keberanian dan buktikan teorema ini. Jika Anda sudah membaca topik “”, mengetahui mengapa tiga garis bagi berpotongan pada satu titik, maka akan lebih mudah bagi Anda, tetapi jika Anda belum membacanya, jangan khawatir: sekarang kami akan mencari semuanya keluar.
Kami akan melakukan pembuktian menggunakan konsep tempat kedudukan titik (LPT).
Nah, misalnya, apakah himpunan bola merupakan "tempat geometris" dari benda-benda bulat? Tidak, tentu saja, karena ada semangka bulat. Tetapi apakah sekelompok orang, "tempat geometris", dapat berbicara? Tidak juga, karena ada bayi yang tidak bisa bicara. Dalam kehidupan, umumnya sulit untuk menemukan contoh "tempat titik-titik geometris" yang nyata. Geometri lebih mudah. Di sini, misalnya, hanya apa yang kita butuhkan:
Di sini, himpunan adalah garis bagi tegak lurus, dan properti "" adalah "berjarak sama (titik) dari ujung segmen."
Mari kita periksa? Jadi, Anda perlu memastikan dua hal:
- Setiap titik yang berjarak sama dari ujung segmen berada pada garis bagi yang tegak lurus dengannya.
Hubungkan dengan dan dengan Maka garis adalah median dan tinggi dalam. Jadi, - sama kaki, - kami memastikan bahwa setiap titik yang terletak pada garis bagi tegak lurus sama jauhnya dari titik dan.
Ambil - tengah dan hubungkan dan. Punya median. Tetapi - sama kaki dengan kondisi, tidak hanya median, tetapi juga tingginya, yaitu median tegak lurus. Artinya titik tersebut tepat terletak pada garis bagi yang tegak lurus.
Semuanya! Kami telah sepenuhnya memverifikasi fakta bahwa garis bagi tegak lurus suatu segmen adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung segmen.
Itu semua baik dan bagus, tetapi apakah kita lupa tentang lingkaran yang dibatasi? Tidak sama sekali, kami hanya mempersiapkan diri sebagai "jembatan untuk serangan".
Pertimbangkan sebuah segitiga. Mari kita menggambar dua garis tegak lurus median dan, katakanlah, ke segmen dan. Mereka akan berpotongan di beberapa titik, yang akan kami beri nama.
Dan sekarang, perhatian!
Titik terletak pada garis-bagi yang tegak lurus;
titik terletak pada garis bagi yang tegak lurus.
Dan itu berarti dan.
Beberapa hal mengikuti dari ini:
Pertama, titik harus terletak pada garis-bagi ketiga yang tegak lurus, ke segmen.
Artinya, garis-bagi yang tegak lurus juga harus melalui titik tersebut, dan ketiga garis-bagi yang tegak lurus berpotongan di satu titik.
Kedua: jika kita menggambar lingkaran dengan pusat pada suatu titik dan jari-jari, maka lingkaran ini juga akan melewati titik dan melalui titik, yaitu lingkaran yang dijelaskan. Jadi, sudah ada bahwa perpotongan dari tiga garis-bagi yang tegak lurus adalah pusat lingkaran yang dibatasi untuk segitiga apa pun.
Dan hal terakhir: tentang keunikan. Jelas (hampir) bahwa titik dapat diperoleh dengan cara yang unik, dan oleh karena itu lingkaran itu unik. Nah, "hampir" - kami akan menyerahkannya kepada Anda. Di sini kita telah membuktikan teorema. Anda bisa berteriak "Hore!".
Dan jika masalahnya adalah pertanyaan "cari jari-jari lingkaran yang dibatasi"? Atau sebaliknya, jari-jari diberikan, tetapi Anda ingin mencari yang lain? Apakah ada rumus yang menghubungkan jari-jari lingkaran yang dibatasi dengan elemen segitiga lainnya?
Perhatikan bahwa teorema sinus mengatakan bahwa untuk menemukan jari-jari lingkaran yang dibatasi, Anda memerlukan satu sisi (apa saja!) dan sudut yang berlawanan dengannya. Dan itu saja!
3. Pusat lingkaran - di dalam atau di luar
Dan sekarang pertanyaannya adalah: dapatkah pusat lingkaran yang dibatasi itu terletak di luar segitiga.
Jawab: Sebisa mungkin. Selain itu, ini selalu terjadi dalam segitiga tumpul.
Dan secara umum:
LINGKARAN. SINGKAT TENTANG UTAMA
1. Lingkaran yang dibatasi pada segitiga
Ini adalah lingkaran yang melewati ketiga simpul segitiga ini.
2. Keberadaan dan pusat lingkaran yang dibatasi
Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...
Untuk apa?
Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...
Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukan hal utama.
Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?
ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.
Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.
Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua opsi:
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - 999 gosok.
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Dalam kasus kedua kami akan memberimu simulator "6000 tugas dengan solusi dan jawaban, untuk setiap topik, untuk semua tingkat kerumitan." Sudah pasti cukup untuk membantu Anda memecahkan masalah tentang topik apa pun.
Sebenarnya, ini lebih dari sekadar simulator - keseluruhan program pelatihan. Jika diperlukan, Anda juga dapat menggunakannya secara GRATIS.
Akses ke semua teks dan program disediakan sepanjang masa situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.
"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
