ANALISIS MATEMATIKA

Batas fungsi

Batas urutan dan fungsi. Teorema limit

bilangan konstan sebuah ditelepon batas urutan(x n ) jika untuk sembarang bilangan positif kecil e terdapat bilangan N sedemikian rupa sehingga semua nilai x n, dimana n>N memenuhi pertidaksamaan

x n - a< e. (1.1)

Tuliskan sebagai berikut: atau x n ® a.

Ketimpangan (1.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a- e< x n < a + e, (1.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari beberapa nomor n>N, terletak di dalam interval (a-e, a+e), yaitu. jatuh ke dalam e-neighborhood kecil mana pun sebuah.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari fungsi x n = f(n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Misalkan fungsi f(x) diberikan dan sebuah - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), mis. titik seperti itu, lingkungan mana pun yang berisi titik-titik himpunan D(f) yang berbeda dari sebuah. Dot sebuah mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan D(f).

Definisi 1. Konstanta bilangan A disebut batas fungsi f(x) pada x®a jika untuk setiap urutan (x n ) nilai argumen cenderung sebuah, barisan yang bersesuaian (f(x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut batas fungsi f(x) pada x®a jika, diberikan sembarang, bilangan positif kecil sembarang e, seseorang dapat menemukan d >0 (bergantung pada e) sedemikian rupa sehingga untuk semua x, berbaring di d-lingkungan nomor sebuah, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa e-d".

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x ® a memiliki limit yang sama dengan A, ini ditulis sebagai

F(x) = A.(1.3)

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu sebuah, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas, dan tuliskan sebagai:

F(x) = ( f(x) = - ).

Variabel (yaitu urutan atau fungsi) yang memiliki nol sebagai batasnya disebut sangat kecil.

Variabel yang memiliki limit tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk mencari limit dalam praktek, digunakan teorema berikut.

Teorema 1. Jika ada limit f(x)=A, g(x)=B, maka

(f(x)+(g(x)) = A + B, (1.4)

F(x) g(x) = AB, (1.5)

F(x)/g(x) = A/B (B 0). (1.6)

Komentar. Ekspresi bentuk 0/0, /¥, 0 × , - adalah tak tentu, misalnya, rasio dua kuantitas yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan batas semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian".

Teorema 2.(f(x)) a = ( f(x)) a , di mana a = const, (1.7)

itu. adalah mungkin untuk melewati batas di dasar derajat pada eksponen konstan, khususnya, ;

B f(x) =b A , di mana b = const, f(x)=A; (1.8)

Log c f(x) = log c f(x), di mana c = const. (1.9)

Teorema 3.= 1, = 1, a = konstan, a >0,

(1 + a) 1/ a = e, (1.11)

di mana e» 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (1.10) dan (1.11) disebut batas luar biasa pertama dan kedua.

Akibat wajar dari rumus (1.11) juga digunakan dalam praktik:

log c e, (1.12)

(a a - 1)/a = log a, (1.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (1.14)

secara khusus,

Jika x® a dan x > a, maka tulis x® a+0. Jika, khususnya, a=0, maka alih-alih simbol 0+0 tulis +0. Demikian pula, jika x®a dan, apalagi, x batas di sebelah kanan dan batas di sebelah kiri fungsi f(x) di titik a. Untuk keberadaan limit fungsi f(x) sebagai x®a, maka diperlukan dan cukup bahwa = .

Fungsi f(x) disebut kontinu pada suatu titik x 0 jika

Kondisi (1.15) dapat ditulis ulang sebagai:

yaitu, perjalanan ke limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (1.15) dilanggar, maka kita katakan bahwa pada x = xo fungsi f(x) memiliki celah. Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D(f), karena di salah satu tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi titik-titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut menerus di sebelah kanan pada suatu titik x jika

dan kontinu di sebelah kiri pada suatu titik x o jika

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o ekuivalen dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga , dan kedua, batas ini sama dengan f(x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki celah.

1. Jika ada dan tidak sama dengan f(x o), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) pada intinya xo punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika sama atau tidak ada, maka dikatakan bahwa dalam titik x o fungsi memiliki diskontinuitas jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x pada x® +0 memiliki limit yang sama dengan +¥, yang berarti bahwa pada titik x=0 memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari x) di titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu di setiap titik interval disebut kontinu di . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus menerus dari beberapa kuantitas mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, penggandaan bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya. I. Perelman, yang memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya e= . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada saat ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 sarang. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun 100 sarang. unit akan tumbuh sebesar 100 × 1,5 = 150, dan dalam enam bulan berikutnya - sebesar 150 × 1,5 = 225 (unit sarang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (unit den.). Kami akan meningkatkan jangka waktu untuk menambahkan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 sarang. unit setahun kemudian:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unit ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unit den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unit den.).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal bunga bergabung, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang sama dengan kira-kira 271. Modal ditempatkan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke ibukota setiap detik, karena

Contoh 1 Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Keputusan. Kita perlu membuktikan bahwa, berapa pun e>0 yang kita ambil, ada bilangan asli N untuk itu, sehingga untuk semua n > N pertidaksamaan ½ x n -1

Ambil sembarang e >0. Karena x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1/n 1/e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/e, N = E(1/e). Dengan demikian kami membuktikan bahwa x n = 1.

Contoh 2. Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum x n = .

Keputusan. Kami menerapkan teorema limit jumlah dan menemukan limit dari setiap suku. Karena n ®¥ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak hingga, dan kita tidak dapat langsung menerapkan teorema limit hasil bagi. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua n. Kemudian, dengan menerapkan teorema limit hasil bagi dan teorema limit jumlah, kita menemukan:

Contoh 3. xn = . Cari x n .

Keputusan. = .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas alas.

Contoh 4. Mencari ().

Keputusan. Teorema limit perbedaan tidak mungkin diterapkan, karena kita memiliki ketidakpastian dalam bentuk - . Mari kita ubah rumus istilah umum:

Contoh 5. Diberikan sebuah fungsi f(x)=2 1/x . Buktikan bahwa itu tidak ada.

Keputusan. Kami menggunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam bentuk barisan. Ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, mis. xn=0. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, 1/n =0, maka = 2 n = +¥. Ayo pilih sekarang sebagai x n barisan dengan suku yang sama x n = -1/n, juga cenderung nol. = 2 - n = 1/2 n = 0. Oleh karena itu, 2 1/x tidak ada.

Contoh 6. Buktikan dosa itu x tidak ada.

Keputusan. Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
x n = . Bagaimana barisan (f(x n)) = (sin x n ) berperilaku untuk x n ®¥ yang berbeda?

Jika x n = pn, maka sin x n = sin pn = 0 untuk semua n dan sinxn=0. Jika
x n \u003d 2pn + p / 2, lalu sin x n \u003d sin (2pn + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 untuk semua n dan karenanya sin x n = 1. Jadi sin x tidak ada.

Contoh 7 Mencari .

Keputusan. Kami memiliki: = 5 . Dilambangkan t = 5x. Untuk x®0 kami memiliki: t®0. Menerapkan rumus (3.10), kami memperoleh 5 .

Contoh 8. Hitung.

Keputusan. Mari kita nyatakan y=p-x. Kemudian, sebagai x®p, y®0, kami memiliki:

dosa 3x \u003d dosa 3 (p-y) \u003d dosa (3p-3y) \u003d dosa 3y.

dosa 4x \u003d dosa 4 (p-y) \u003d dosa (4p-4y) \u003d - dosa 4y.

Contoh 9. Mencari .

Keputusan. Dilambangkan arcsin x=t. Kemudian x=sin t dan untuk x®0 t®0. = .

Contoh 10. Temukan 1) ; 2) ; 3).

Keputusan.

1. Menerapkan Teorema 1 pada limit selisih dan produk, kita menemukan limit penyebutnya: .

Batas penyebut tidak sama dengan nol, oleh karena itu, menurut Teorema 1 pada batas hasil bagi, kita memperoleh: = .

2. Di sini pembilang dan penyebutnya cenderung nol, yaitu ada ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Teorema batas bagi hasil tidak dapat diterapkan secara langsung. Untuk "mengungkapkan ketidakpastian", kami mengubah fungsi ini. Membagi pembilang dan penyebut dengan x-2, kita memperoleh persamaan untuk x 2:

Karena (x + 1) 0, maka, dengan teorema limit hasil bagi, kita temukan

3. Pembilang dan penyebut dari x®¥ adalah fungsi yang sangat besar. Oleh karena itu, teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan secara langsung. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan x2 dan menerapkan teorema batas bagi hasil ke fungsi yang dihasilkan:

Contoh 11. Mencari .

Keputusan. Di sini pembilang dan penyebutnya cenderung nol: , x-9®0, mis. kami memiliki ketidakpastian bentuk.

Kami mengubah fungsi ini dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi , kami mendapatkan

Contoh 12. Mencari .

Keputusan. = .

6.2. Penerapan limit dalam perhitungan ekonomi

Bunga majemuk

Dalam perhitungan praktis, persentase diskrit terutama digunakan, yaitu. bunga yang masih harus dibayar untuk interval waktu tetap yang sama (tahun, setengah tahun, kuartal, dll.). Waktu adalah variabel diskrit. Dalam beberapa kasus, dalam pembuktian dan perhitungan yang terkait dengan proses berkelanjutan, perlu menggunakan persentase kontinu. Perhatikan rumus bunga majemuk:

S = P(1 + i) n . (1.16)

Di sini P adalah jumlah awal, i adalah tingkat bunga (sebagai pecahan desimal), S adalah jumlah yang terbentuk pada akhir masa pinjaman di akhir n tahun ke. Pertumbuhan bunga majemuk adalah proses yang berkembang secara eksponensial. Penambahan bunga yang masih harus dibayar ke jumlah yang menjadi dasar penentuannya sering disebut kapitalisasi bunga. Dalam praktik keuangan, mereka sering menghadapi masalah yang berlawanan dengan penentuan jumlah akumulasi: untuk jumlah tertentu S, yang harus dibayar setelah beberapa waktu. n, perlu untuk menentukan jumlah pinjaman yang diterima P. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa jumlah S diskon, dan persentase dalam bentuk selisih S - P disebut diskon. Nilai P yang ditemukan dengan mendiskontokan S disebut modern, atau diberikan, nilai S. Kami memiliki:

P = z P = = 0.

Jadi, dengan jangka waktu pembayaran yang sangat lama, nilai sekarang dari yang terakhir akan sangat tidak signifikan.

Dalam operasi keuangan dan kredit praktis, proses terus menerus untuk memperoleh jumlah moneter, yaitu, akrual selama periode waktu yang sangat kecil, jarang digunakan. Pertumbuhan berkelanjutan jauh lebih penting dalam analisis keuangan dan ekonomi kuantitatif dari objek dan fenomena industri dan ekonomi yang kompleks, misalnya, dalam pemilihan dan pembenaran keputusan investasi. Kebutuhan untuk menggunakan akrual berkelanjutan (atau persentase kontinu) ditentukan terutama oleh fakta bahwa banyak fenomena ekonomi bersifat kontinu, oleh karena itu, deskripsi analitis dalam bentuk proses berkelanjutan lebih memadai daripada berdasarkan yang diskrit. Kami menggeneralisasi rumus bunga majemuk untuk kasus ketika bunga dibebankan m sekali setahun:

S = P (1 + i/m) mn .

Jumlah akumulasi dalam proses diskrit ditemukan oleh rumus ini, di sini m- jumlah periode akrual dalam setahun, saya- tarif tahunan atau nominal. Lebih m, semakin pendek interval waktu antara saat perhitungan bunga. Dalam batas sebagai m ®¥ kita memiliki:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

Karena (1 + i/m) m = e i , maka `S = P e in .

Dengan peningkatan bunga yang terus-menerus, jenis suku bunga khusus digunakan - kekuatan pertumbuhan, yang mencirikan peningkatan relatif dalam jumlah akumulasi dalam periode waktu yang sangat kecil. Dengan kapitalisasi bunga terus-menerus, jumlah akrual sama dengan jumlah akhir, yang tergantung pada jumlah awal, periode akrual dan tingkat bunga nominal. Untuk membedakan antara suku bunga kontinu dan suku bunga diskrit, kita nyatakan yang pertama dengan d, kemudian `S = Pe .

Gaya pertumbuhan d adalah tingkat bunga nominal pada m®¥. Pengganda dihitung menggunakan komputer atau menurut tabel fungsi.

Aliran pembayaran. sewa keuangan

Kontrak, transaksi, komersial dan produksi dan operasi bisnis sering tidak memberikan pembayaran satu kali yang terpisah, tetapi untuk banyak pembayaran dan penerimaan yang didistribusikan dari waktu ke waktu. Elemen individu dari rangkaian seperti itu, dan terkadang rangkaian pembayaran secara keseluruhan, disebut aliran pembayaran. Anggota aliran pembayaran dapat berupa nilai positif (tanda terima) atau negatif (pembayaran). Aliran pembayaran, yang semua anggotanya bernilai positif, dan interval waktu antara dua pembayaran berturut-turut adalah konstan, disebut sewa keuangan. Anuitas dibagi menjadi tahunan dan R- mendesak, di mana R mencirikan jumlah pembayaran sepanjang tahun. Ini adalah sewa terpisah. Dalam praktik keuangan dan ekonomi, ada juga urutan pembayaran yang dilakukan begitu sering sehingga dalam praktiknya dapat dianggap berkelanjutan. Pembayaran tersebut dijelaskan oleh anuitas terus menerus.

Contoh 13 Misalkan pada akhir setiap tahun selama empat tahun, 1 juta rubel disimpan di bank, bunga diperoleh pada akhir tahun, tarifnya 5% per tahun. Dalam hal ini, angsuran pertama akan berubah menjadi jumlah 10 6 1,05 3 pada akhir periode anuitas, karena jumlah yang sesuai telah ada di akun selama 3 tahun, angsuran kedua akan meningkat menjadi 10 6 1,05 2 , karena telah di akun selama 2 tahun . Angsuran terakhir tidak membayar bunga. Jadi, pada akhir periode anuitas, kontribusi dengan bunga yang masih harus dibayar mewakili serangkaian angka: 10 6 1,05 3 ; 10 6 1,05 2 ; 10 6 1,05; 10 6. Nilai akumulasi pada akhir periode anuitas akan sama dengan jumlah anggota seri ini. Untuk meringkas apa yang telah dikatakan, kami memperoleh rumus yang sesuai untuk jumlah akumulasi anuitas tahunan. Menunjukkan: S - jumlah akumulasi anuitas, R - ukuran anggota anuitas,
i - tingkat bunga (fraksi desimal), n - jangka waktu anuitas (jumlah tahun). Anggota anuitas akan dikenakan bunga selama n - 1, n - 2,..., 2, 1 dan 0 tahun, dan akumulasi nilai anggota anuitas adalah

R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R.

Mari kita tulis ulang seri ini dalam urutan terbalik. Suatu barisan geometri dengan penyebut (1+i) dan suku pertama R. Mari kita cari jumlah suku-suku dari barisan tersebut. Didapatkan: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) =
= R´((1 + i) n - 1)/ i. Tunjukkan S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i dan akan menyebutnya faktor akumulasi sewa. Jika bunga dibebankan m setahun sekali, maka S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), di mana i adalah tingkat bunga nominal.

Nilai a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i disebut faktor pengurangan sewa. Koefisien reduksi anuitas pada n ®¥ menunjukkan berapa kali nilai sekarang dari anuitas lebih besar dari sukunya:

Sebuah; i \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i.

Contoh 14 Di bawah anuitas abadi dipahami sebagai urutan pembayaran, yang jumlah anggotanya tidak terbatas - dibayar untuk jumlah tahun yang tidak terbatas. Anuitas abadi bukanlah abstraksi murni - dalam praktiknya, ini adalah beberapa jenis pinjaman berikat, penilaian kemampuan dana pensiun untuk memenuhi kewajibannya. Berdasarkan
inti dari anuitas abadi, dapat diasumsikan bahwa jumlah akumulasinya
sama dengan nilai yang sangat besar, yang mudah dibuktikan dengan rumus:
R´((1 + i) n - 1)/ i ® sebagai n ® .

Koefisien reduksi untuk anuitas abadi a n; i ® 1/i, dimana A = R/i, yaitu nilai sekarang hanya bergantung pada nilai jangka waktu anuitas dan tingkat bunga yang diterima.

Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa melakukannya tanpanya. Pertama, anak-anak kecil diajari berhitung, lalu menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi, di sekolah menengah, penunjukan huruf mulai dimainkan, dan di yang lebih besar tidak bisa lagi dihilangkan.

Tetapi hari ini kita akan berbicara tentang apa yang menjadi dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut "batas urutan".

Apa itu barisan dan di mana batasnya?

Arti kata "urutan" tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah konstruksi sesuatu, di mana seseorang atau sesuatu berada dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika, misalnya, Anda melihat antrian ke toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang tiba-tiba meninggalkan antrian ini, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.

Kata "batas" juga mudah ditafsirkan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, batas barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung dimiliki oleh barisan bilangan. Mengapa berusaha dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki awal dan terlihat seperti ini:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Dengan kata sederhana, itu adalah serangkaian anggota dari beberapa set.

Bagaimana urutan nomor dibangun?

Contoh paling sederhana dari barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, urutan dibangun dari angka, dan setiap anggota berikutnya dari seri, sebut saja X, memiliki namanya sendiri. Sebagai contoh:

x 1 - anggota pertama dari urutan;

x 2 - anggota kedua dari urutan;

x 3 - anggota ketiga;

x n adalah anggota ke-n.

Dalam metode praktis, urutan diberikan oleh rumus umum di mana ada beberapa variabel. Sebagai contoh:

X n \u003d 3n, maka rangkaian angka itu sendiri akan terlihat seperti ini:

Perlu diingat bahwa dalam notasi umum barisan, Anda dapat menggunakan huruf Latin apa saja, dan bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dll.

Deret aritmatika sebagai bagian dari barisan

Sebelum mencari batas barisan, disarankan untuk mempelajari lebih dalam konsep barisan bilangan seperti itu, yang ditemui setiap orang ketika mereka berada di kelas menengah. Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku bertetangganya tetap.

Tugas: “Biarkan a 1 \u003d 15, dan langkah perkembangan seri angka d \u003d 4. Bangun 4 anggota pertama dari baris ini"

Solusi: a 1 = 15 (berdasarkan syarat) adalah anggota pertama dari deret (deret angka).

dan 2 = 15+4=19 adalah anggota kedua dari progresi.

dan 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 adalah suku ketiga.

dan 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 adalah suku keempat.

Namun, dengan metode ini sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, formula yang nyaman untuk latihan diturunkan: a n \u003d a 1 + d (n-1). Dalam hal ini, a 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Jenis urutan

Sebagian besar urutannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup. Ada dua jenis seri angka yang menarik. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n . Matematikawan sering menyebut urutan flasher ini. Mengapa? Mari kita periksa nomornya.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, dll. Dengan contoh ini, menjadi jelas bahwa angka dalam barisan dapat dengan mudah diulang.

urutan faktorial. Mudah ditebak bahwa ada faktorial dalam rumus yang mendefinisikan barisan. Misalnya: dan n = (n+1)!

Maka urutannya akan terlihat seperti ini:

dan 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

dan 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, dll.

Barisan yang diberikan oleh barisan aritmatika disebut menurun tak hingga jika pertidaksamaan -1 diamati untuk semua anggotanya

dan 3 \u003d - 1/8, dll.

Bahkan ada barisan yang terdiri dari angka yang sama. Jadi, dan n \u003d 6 terdiri dari jumlah enam yang tak terbatas.

Menentukan Batas Urutan

Batas barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka pantas mendapatkan desain kompeten mereka sendiri. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, pertimbangkan limit untuk fungsi linier secara rinci:

1. Semua batas disingkat sebagai lim.
2. Entri batas terdiri dari singkatan lim, beberapa variabel yang cenderung ke angka tertentu, nol atau tak terhingga, serta fungsi itu sendiri.

Sangat mudah untuk memahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: suatu bilangan tertentu, yang didekati oleh semua anggota barisan tersebut secara tak terhingga. Contoh sederhana: dan x = 4x+1. Kemudian urutannya sendiri akan terlihat seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dengan demikian, barisan ini akan meningkat tanpa batas, yang berarti batasnya sama dengan tak hingga sebagai x→∞, dan ini harus ditulis sebagai berikut:

Jika kita mengambil urutan yang sama, tetapi x cenderung ke 1, kita mendapatkan:

Dan rangkaian angka akan menjadi seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dll. Setiap kali Anda perlu mengganti angka lebih dan lebih dekat dengan satu (0,1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret tersebut dapat diketahui bahwa limit dari fungsi tersebut adalah lima.

Dari bagian ini, perlu diingat apa batas barisan numerik, definisi dan metode untuk menyelesaikan tugas-tugas sederhana.

Notasi umum untuk limit barisan

Setelah menganalisis batas urutan numerik, definisi dan contohnya, kita dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Secara mutlak semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Jadi, apa arti dari kumpulan huruf, modul, dan tanda ketidaksetaraan ini?

adalah quantifier universal, menggantikan frasa "untuk semua", "untuk semuanya", dll.

adalah kuantor keberadaan, dalam hal ini berarti ada beberapa nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah "sedemikian rupa". Dalam praktiknya, itu bisa berarti "sehingga", "seperti itu", dll.

Untuk mengkonsolidasikan materi, baca rumus dengan keras.

Ketidakpastian dan kepastian batas

Metode menemukan limit barisan, yang dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, tidak begitu rasional dalam praktiknya. Coba temukan batas untuk fungsi ini:

Jika kita mengganti nilai x yang berbeda (setiap kali bertambah: 10, 100, 1000, dst.), maka kita mendapatkan di pembilangnya, tetapi juga di penyebutnya. Ternyata pecahan yang agak aneh:

Tapi benarkah demikian? Menghitung limit barisan numerik dalam hal ini tampaknya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dengan syarat yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus-kasus seperti itu.

Pertama, mari kita cari derajat tertinggi dalam pembilang pecahan - ini adalah 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari derajat tertinggi dalam penyebutnya. Juga 1.

Bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel hingga derajat tertinggi. Dalam hal ini, kita membagi pecahan dengan x 1.

Selanjutnya, mari kita cari nilai yang cenderung dimiliki oleh setiap suku yang mengandung variabel. Dalam hal ini, pecahan dianggap. Sebagai x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat membuat makalah secara tertulis, ada baiknya membuat catatan kaki berikut:

Ekspresi berikut diperoleh:

Tentu saja, pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga cukup diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Apa itu lingkungan?

Mari kita asumsikan bahwa profesor memiliki urutan yang kompleks, diberikan, jelas, oleh formula yang tidak kurang kompleks. Profesor menemukan jawabannya, tetapi apakah itu cocok? Lagi pula, semua orang membuat kesalahan.

Auguste Cauchy menemukan cara yang bagus untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut operasi lingkungan.

Misalkan ada beberapa titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis nyata sama dengan ("epsilon"). Karena variabel terakhir adalah jarak, nilainya selalu positif.

Sekarang mari kita tentukan beberapa barisan x n dan misalkan anggota kesepuluh dari barisan (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana cara menulis fakta ini dalam bahasa matematika?

Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sekarang saatnya menjelaskan secara praktis rumus yang disebutkan di atas. Adalah adil untuk menyebut suatu bilangan sebagai titik akhir suatu barisan jika pertidaksamaan >0 berlaku untuk salah satu limitnya, dan seluruh lingkungan memiliki bilangan asli N, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan menjadi di dalam barisan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk memecahkan batas urutan, untuk membuktikan atau menyangkal jawaban yang siap.

teorema

Teorema tentang batas barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat yang mana, Anda dapat secara signifikan memfasilitasi proses pemecahan atau pembuktian:

1. Keunikan limit suatu barisan. Urutan apa pun hanya dapat memiliki satu batas atau tidak sama sekali. Contoh yang sama dengan antrian yang hanya dapat memiliki satu ujung.
2. Jika suatu barisan bilangan mempunyai limit, maka barisan bilangan tersebut dibatasi.
3. Batas jumlah (selisih, hasil kali) barisan sama dengan jumlah (selisih, hasil kali) dari batas-batasnya.
4. Batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batas jika dan hanya jika penyebutnya tidak hilang.

Bukti Urutan

Kadang-kadang diperlukan untuk memecahkan masalah invers, untuk membuktikan batas tertentu dari urutan numerik. Mari kita lihat sebuah contoh.

Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan oleh rumus sama dengan nol.

Menurut aturan di atas, untuk sembarang barisan pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Mari kita nyatakan n dalam istilah "epsilon" untuk menunjukkan keberadaan bilangan tertentu dan membuktikan keberadaan limit barisan.

Pada tahap ini, penting untuk diingat bahwa "epsilon" dan "en" adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Sekarang Anda dapat melanjutkan transformasi lebih lanjut menggunakan pengetahuan tentang ketidaksetaraan yang diperoleh di sekolah menengah.

Dari mana ternyata n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan "epsilon" dari titik a = 0, sebuah nilai ditemukan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan awal terpenuhi. Dari sini kita dapat dengan aman menyatakan bahwa bilangan a adalah limit dari barisan yang diberikan. Q.E.D.

Dengan metode yang mudah digunakan, Anda dapat membuktikan batas barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya kelihatannya pada pandangan pertama. Hal utama adalah jangan panik saat melihat tugas.

Atau mungkin dia tidak ada?

Keberadaan batas urutan tidak diperlukan dalam praktek. Sangat mudah untuk menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, flasher yang sama x n = (-1) n . jelas bahwa barisan yang hanya terdiri dari dua digit yang berulang secara siklis tidak dapat memiliki batas.

Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu angka, pecahan, yang dalam perhitungannya memiliki ketidakpastian urutan apa pun (0/0, /∞, /0, dll.). Namun, harus diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas suksesi.

urutan monoton

Di atas, kami mempertimbangkan beberapa contoh barisan, metode untuk menyelesaikannya, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya "urutan monoton".

Definisi: wajar untuk menyebut sembarang barisan naik secara monoton jika memenuhi pertidaksamaan ketat x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Selain kedua kondisi tersebut, juga terdapat ketidaksetaraan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n x n +1 (urutan tidak turun) dan x n x n +1 (urutan tidak naik).

Tetapi lebih mudah untuk memahami ini dengan contoh.

Barisan yang diberikan oleh rumus x n \u003d 2 + n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Ini adalah barisan yang naik secara monoton.

Dan jika kita mengambil x n \u003d 1 / n, maka kita mendapatkan deret: 1/3, , 1/5, dll. Ini adalah deret yang menurun secara monoton.

Batas barisan konvergen dan terbatas

Barisan berbatas adalah barisan yang memiliki limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang memiliki limit yang sangat kecil.

Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan.

Limit barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika Anda menggambar diagram urutan, maka pada titik tertentu itu akan, seolah-olah, bertemu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya - barisan konvergen.

Batas urutan monoton

Urutan seperti itu mungkin atau mungkin tidak memiliki batas. Pertama, berguna untuk memahami kapan itu, dari sini Anda bisa mulai saat membuktikan tidak adanya batas.

Di antara barisan monoton, konvergen dan divergen dibedakan. Konvergen - ini adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan memiliki batas nyata atau kompleks dalam himpunan ini. Divergen - barisan yang tidak memiliki batas dalam himpunannya (tidak nyata maupun kompleks).

Selain itu, barisan tersebut konvergen jika batas atas dan batas bawahnya konvergen dalam representasi geometrik.

Limit dari barisan konvergen dalam banyak kasus dapat sama dengan nol, karena setiap barisan infinitesimal memiliki limit yang diketahui (nol).

Apa pun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi jauh dari semua barisan berbatas konvergen.

Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Namun, hasil bagi juga dapat konvergen jika terdefinisi!

Berbagai tindakan dengan batasan

Batas urutan sama pentingnya (dalam banyak kasus) seperti angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dll. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan.

Pertama, seperti halnya angka dan angka, batas-batas barisan apa pun dapat ditambahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut adalah benar: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya.

Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali banyaknya barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batasnya, asalkan batasnya tidak sama dengan nol. Lagi pula, jika batas urutan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menjadi, yang tidak mungkin.

Properti Nilai Urutan

Tampaknya batas deret numerik telah dianalisis secara rinci, tetapi frasa seperti angka "kecil tak terhingga" dan "besar tak terhingga" disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut kecil tak terhingga, dan jika barisan tersebut sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai besar tak terhingga . Dan nilai-nilai seperti itu memiliki karakteristiknya sendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang memiliki nilai kecil atau besar yang berubah-ubah adalah sebagai berikut:

1. Jumlah dari sejumlah kuantitas kecil yang sewenang-wenang juga akan menjadi kuantitas kecil.
2. Jumlah dari sejumlah nilai besar akan menjadi nilai yang sangat besar.
3. Produk dari jumlah kecil yang sewenang-wenang adalah sangat kecil.
4. Produk dari bilangan besar yang sewenang-wenang adalah jumlah yang sangat besar.
5. Jika barisan asal cenderung bilangan tak hingga, maka kebalikannya akan sangat kecil dan cenderung nol.

Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhana. Tetapi batas urutan adalah topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan maksimal. Tentu saja, cukup dengan memahami esensi dari solusi dari ekspresi seperti itu. Mulai dari yang kecil, seiring waktu, Anda bisa mencapai ketinggian yang besar.

Teorema 1. Limit jumlah aljabar dua, tiga, dan umumnya sejumlah fungsi sama dengan jumlah aljabar limit fungsi-fungsi tersebut, yaitu

Bukti. Kami akan melakukan pembuktian untuk dua istilah, karena untuk sejumlah istilah dilakukan dengan cara yang sama. Biarkan .Lalu f(x)=b+α(x) dan g(x)=c+β(x), di mana α dan β adalah fungsi yang sangat kecil. Karena itu,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + (x)).

Sebagai b+c adalah konstanta, dan (x) + (x) adalah fungsi yang sangat kecil, maka

Contoh. Teorema 2. Batas hasil kali dua, tiga, dan secara umum sejumlah fungsi adalah sama dengan hasil kali batas fungsi-fungsi ini: Bukti. Biarlah. Karena itu, f(x)=b+α(x) dan g(x)=c+β(x) dan fg = (b + )(c + ) = bc + (bβ + cα + ).

Kerja SM adalah nilai konstan. Fungsi bβ + cα + berdasarkan sifat-sifat fungsi yang sangat kecil, ada kuantitas yang sangat kecil. Jadi

Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda limit:

Konsekuensi 2. Batas derajat sama dengan derajat batas: Contoh. Teorema 3. Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi-fungsi tersebut jika limit penyebutnya berbeda dengan nol, mis. Bukti. Biarlah. Karena itu, f(x)=b+α(x) dan g(x)=c+β(x), di mana α, β sangat kecil. Pertimbangkan hasil bagi

Pecahan adalah fungsi yang sangat kecil karena pembilangnya adalah fungsi yang sangat kecil dan penyebutnya memiliki limit c2 0.

Contoh.

3. Pertimbangkan. Pada x→1 pembilang pecahan cenderung 1, dan penyebut cenderung 0. Tapi karena, yaitu. adalah fungsi yang sangat kecil untuk x→ 1, maka

Teorema 4. Biarkan tiga fungsi diberikan f(x), u(x) dan v(x), memenuhi pertidaksamaan u (x)≤f(x)≤v(x). Jika fungsi kamu(x) dan v(x) memiliki batas yang sama x→a(atau x→), maka fungsi f(x) cenderung pada batas yang sama, yaitu jika

Teorema 5. Jika di x→a(atau x→) fungsi y=f(x) mengambil nilai non-negatif y≥0 dan cenderung ke batas b, maka batas ini tidak boleh negatif: b≥0.

Bukti. Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi. Mari kita berpura-pura itu b<0 , kemudian |y – b|≥|b| dan, oleh karena itu, modulus perbedaan tidak cenderung nol pada x→a. Tapi kemudian kamu tidak pergi ke batas b pada x→a, yang bertentangan dengan kondisi teorema.

Teorema 6. Jika dua fungsi f(x) dan g(x) untuk semua nilai argumen x memenuhi pertidaksamaan f(x)≥ g(x) dan memiliki batas , maka kita memiliki ketidaksetaraan b≥c.

Bukti. Menurut teorema f(x)-g(x) 0, Oleh karena itu, dengan Teorema 5 , atau .

6. Pengungkapan ketidakpastian (0/0), -∞

SAYA. Ketakpastian.

Saat menguraikan pembilang menjadi faktor, kami menggunakan aturan untuk membagi polinomial dengan polinomial dengan "sudut". Sejak nomor x=1 adalah akar dari polinomial x 3 – 6x2 + 11x– 6, maka saat membagi kita dapatkan

7. Batas urutan . Konsep logaritma natural.

BATAS LUAR BIASA KEDUA

Batas luar biasa kedua berfungsi untuk mengungkapkan ketidakpastian 1 dan terlihat seperti ini

Contoh:

logaritma dasar e (e- angka transendental kira-kira sama dengan 2,718281828 ...) disebut logaritma natural. Logaritma natural dari suatu bilangan x dilambangkan ln x. Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika, fisika dan perhitungan teknik.

Logaritma banyak digunakan

dasar, yang disebut alam. Logaritma natural dilambangkan dengan simbol

Konsep limit suatu fungsi.

Konsep kontinuitas suatu fungsi berhubungan langsung dengan konsep limit suatu fungsi.

Suatu bilangan A disebut limit dari suatu fungsi f di suatu titik a, yang merupakan limit dari himpunan E, jika untuk sembarang lingkungan V(A) dari titik A, terdapat suatu lingkungan yang tertusuk dari titik a sedemikian rupa sehingga bayangannya di bawah pemetaan f adalah himpunan bagian dari lingkungan tertentu V(A) dari titik A.

Limit fungsi f di titik a, yang merupakan limit himpunan E, dinotasikan sebagai berikut: atau , jika penyebutan himpunan E dapat dihilangkan.

Karena setiap tetangga dapat diasosiasikan dengan tetangga regulernya (simetris), definisi limit dapat dirumuskan dalam bahasa -δ dalam bentuk yang biasa digunakan dalam analisis matematis:

Limit fungsi di titik f di a, yang merupakan limit himpunan E, berhubungan langsung dengan limit barisan tersebut.

Kami akan mempertimbangkan semua kemungkinan barisan titik dari himpunan E yang memiliki titik a sebagai limitnya, dan barisan nilai fungsi yang sesuai pada titik-titik barisan tersebut. Jika limit fungsi fungsi f di titik a ada, maka limit ini akan menjadi limit dari setiap barisan.

Kebalikannya juga benar: jika semua barisan konvergen ke nilai yang sama, maka fungsi tersebut memiliki limit yang sama dengan nilai yang diberikan.

bilangan konstan sebuah ditelepon membatasi urutan(x n ) jika untuk sembarang bilangan positif kecilε > 0 ada sejumlah N sedemikian rupa sehingga semua nilai x n, dimana n>N memenuhi pertidaksamaan

|x n - a|< ε. (6.1)

Tulis sebagai berikut: atau x n → sebuah.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-, a + ), yaitu jatuh ke dalam sekecil apa punε -lingkungan intinya sebuah.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari fungsi x n = f(n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Misalkan fungsi f(x) diberikan dan sebuah - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), mis. titik seperti itu, lingkungan mana pun yang berisi titik-titik himpunan D(f) yang berbeda dari sebuah. Dot sebuah mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan D(f).

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika untuk setiap urutan (x n ) dari nilai argumen yang cenderung sebuah, barisan yang bersesuaian (f(x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika, diberikan bilangan positif kecil sewenang-wenang, seseorang dapat menemukan seperti itu>0 (tergantung pada), yang untuk semua x berbaring di-lingkungan dari suatu bilangan sebuah, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak pada-lingkungan dari nomor A, yaitu.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa - “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x →memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

. (6.3)

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu sebuah, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk mencari limit dalam praktek, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batas ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya, rasio dua jumlah yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan batas semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian".

Teorema 2. (6.7)

itu. adalah mungkin untuk melewati batas di dasar derajat pada eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Akibat wajar dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

jika x → a dan pada saat yang sama x > a, maka tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 yang ditulis adalah +0. Demikian pula, jika x→a dan pada saat yang sama x a-0. angka dan diberi nama yang sesuai. batas kanan dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya sebuah. Agar limit fungsi f(x) ada sebagai x→a perlu dan cukup untuk . Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

,

yaitu, perjalanan ke limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan bahwa pada x = xo fungsi f(x) Memiliki celah. Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D(f), karena di salah satu tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi titik-titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut menerus di sebelah kanan pada suatu titik x o jika batas

,

dan kontinu di sebelah kiri pada suatu titik x o jika batas

.

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o ekuivalen dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga , dan kedua, batas ini sama dengan f(x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki celah.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f(x o), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) pada intinya xo punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, maka kita katakan bahwa di titik x o fungsi memiliki jeda jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x di x→ +0 memiliki batas yang sama dengan +∞, maka, pada titik x=0 ia memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari x) di titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu di setiap titik interval disebut kontinu di . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus menerus dari beberapa kuantitas mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, penggandaan bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya. I. Perelman, yang memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada saat ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 sarang. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun 100 sarang. unit tumbuh hingga 100× 1,5 \u003d 150, dan setelah enam bulan lagi - pada 150× 1,5 \u003d 225 (unit sarang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 » 237 (unit sarang). Kami akan meningkatkan jangka waktu untuk menambahkan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 sarang. unit setahun kemudian:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unit ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unit den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unit den.).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal bunga bergabung, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang sama dengan kira-kira 271. Modal ditempatkan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Keputusan.Kita perlu membuktikan bahwa apapunε > 0 kita ambil, karena ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan|xn-1|< ε.

Ambil sembarang e > 0. Sejak ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan demikian kami membuktikan bahwa limit .

Contoh 3.2 . Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum .

Keputusan.Terapkan teorema jumlah limit dan temukan limit setiap suku. untuk n→ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat langsung diterapkan. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua n. Kemudian, dengan menerapkan teorema limit hasil bagi dan teorema limit jumlah, kita menemukan:

.

Contoh 3.3. . Mencari .

Keputusan. .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas alas.

Contoh 3.4 . Mencari ( ).

Keputusan.Tidak mungkin untuk menerapkan teorema limit perbedaan, karena kita memiliki ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus istilah umum:

.

Contoh 3.5 . Diberikan sebuah fungsi f(x)=2 1/x . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Kami menggunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam bentuk barisan. Ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, maka batasnya Ayo pilih sekarang sebagai x n barisan dengan suku yang sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6 . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana barisan (f(x n)) = (sin x n ) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n \u003d p n, maka sin x n \u003d sin p n = 0 untuk semua n dan batasi jika
xn=2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Dengan demikian tidak ada.

Widget untuk menghitung batas online

Di kotak atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang batasnya ingin Anda temukan. Di kotak bawah, masukkan angka yang cenderung x dan klik tombol Kalkulator, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika Anda mengklik Tampilkan langkah di sudut kanan atas di jendela hasil, Anda akan mendapatkan solusi terperinci.

Aturan masukan fungsi: kuadrat(x) - akar kuadrat, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: * perkalian, / pembagian, ^ eksponensial, bukan ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai kuadrat(tan(x/2)).

Pernyataan teorema utama dan sifat-sifat barisan numerik dengan batas diberikan. Berisi tentang definisi barisan dan limitnya. Operasi aritmatika dengan barisan, sifat-sifat yang berhubungan dengan pertidaksamaan, kriteria konvergensi, sifat-sifat barisan yang sangat kecil dan sangat besar dipertimbangkan.

urutan

Urutan numerik disebut hukum (aturan), yang menurutnya, setiap bilangan asli diberi nomor.
Bilangan tersebut disebut anggota atau elemen ke-n dari barisan tersebut.
Berikut ini, kita akan menganggap bahwa elemen-elemen dari barisan tersebut adalah bilangan real.

terbatas, jika ada sejumlah M sedemikian rupa sehingga untuk semua real n .

wajah atas barisan disebut bilangan terkecil yang membatasi barisan dari atas. Artinya, ini adalah nomor s yang untuk semua n dan untuk setiap , Ada elemen urutan yang melebihi s′ : .

muka bawah barisan menyebutkan bilangan terbesar yang membatasi barisan dari bawah. Artinya, ini adalah nomor i yang untuk semua n dan untuk setiap , Ada elemen urutan yang kurang dari i : .

Tepi atas juga disebut batas atas yang tepat, dan batas bawah batas bawah yang tepat. Konsep batas atas dan bawah berlaku tidak hanya untuk barisan, tetapi juga untuk semua himpunan bilangan real.

Menentukan Batas Urutan

Bilangan a disebut limit barisan, jika untuk sembarang bilangan positif terdapat bilangan asli N , tergantung pada , bahwa untuk semua bilangan asli pertidaksamaan
.
Limit suatu barisan dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di .

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit dapat ditulis sebagai berikut:
.

Interval terbuka (a - , a + ) disebut -tetangga dari titik a.

Barisan yang memiliki limit disebut barisan konvergen. Dikatakan juga bahwa urutannya konvergen untuk a. Barisan yang tidak memiliki limit disebut berbeda.

titik a bukan batas barisan, jika ada sedemikian rupa sehingga untuk setiap n alam ada m alami seperti itu >n, Apa
.
.
Ini berarti bahwa Anda dapat memilih lingkungan - dari titik a , yang di luarnya akan ada jumlah elemen barisan yang tak terhingga.

Sifat-sifat batas hingga barisan

Sifat dasar

Titik a adalah limit suatu barisan jika dan hanya jika di luar sembarang lingkungan dari titik ini adalah jumlah elemen terbatas barisan atau himpunan kosong.

Jika bilangan a bukan limit barisan tersebut , maka ada tetangga seperti itu dari titik a , di luarnya ada jumlah elemen urutan yang tak terbatas.

Teorema keunikan limit suatu barisan bilangan. Jika suatu barisan memiliki limit, maka barisan itu unik.

Jika suatu barisan memiliki limit berhingga, maka barisan tersebut terbatas.

Jika setiap elemen barisan sama dengan bilangan yang sama C : , maka barisan ini memiliki limit yang sama dengan bilangan C .

Jika urutannya tambahkan, jatuhkan, atau ubah m elemen pertama, maka ini tidak akan mempengaruhi konvergensinya.

Bukti sifat dasar diberikan pada halaman
Sifat dasar batas hingga barisan >>> .

Aritmatika dengan limit

Membiarkan ada batas terbatas dan urutan dan . Dan biarkan C menjadi konstanta, yaitu, angka yang diberikan. Kemudian
;
;
;
, jika .
Dalam kasus hasil bagi, diasumsikan bahwa untuk semua n .

Jika kemudian .

Bukti properti aritmatika diberikan pada halaman
Sifat aritmatika batas hingga barisan >>> .

Properti yang terkait dengan ketidaksetaraan

Jika elemen-elemen barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan, memenuhi pertidaksamaan , maka limit a dari barisan ini juga memenuhi pertidaksamaan .

Jika elemen-elemen barisan tersebut, mulai dari suatu bilangan tertentu, termasuk dalam interval tertutup (segmen) , maka limit a juga termasuk dalam interval ini: .

Jika dan dan elemen-elemen barisan, dimulai dari suatu bilangan, memenuhi pertidaksamaan , maka .

Jika dan, dimulai dari suatu bilangan, , maka .
Khususnya, jika, dimulai dari suatu bilangan, , maka
jika kemudian ;
jika kemudian .

Jika dan , maka .

Biarkan dan . Jika sebuah < b , maka ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n > Tidak ketidaksetaraan terpenuhi.

Bukti sifat-sifat yang berhubungan dengan pertidaksamaan diberikan pada halaman
Sifat batas barisan yang berhubungan dengan pertidaksamaan >>>.

Barisan tak hingga dan barisan tak terhingga

Barisan tak terhingga

selanjutnya disebut barisan sangat kecil jika limitnya nol:
.

Jumlah dan Selisih jumlah berhingga dari barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Produk dari barisan terbatas ke infinitesimal adalah barisan infinitesimal.

Produk dari bilangan terbatas barisan infinitesimal adalah barisan infinitesimal.

Agar barisan memiliki limit a , maka diperlukan dan cukup bahwa , Dimana adalah barisan yang sangat kecil.

Bukti sifat-sifat barisan sangat kecil diberikan pada halaman
Urutan yang sangat kecil - definisi dan properti >>> .

Urutan besar tak terhingga

selanjutnya disebut barisan tak hingga, jika untuk sembarang bilangan positif ada bilangan asli N , tergantung pada , bahwa untuk semua bilangan asli pertidaksamaan
.
Dalam hal ini, tulis
.
Atau di .
Mereka mengatakan itu cenderung tak terhingga.

Jika , dimulai dari suatu bilangan N , maka
.
Jika kemudian
.

Jika barisan-barisan itu besar tak terhingga, maka, mulai dari suatu bilangan N, suatu barisan terdefinisi kecil tak terhingga. Jika adalah barisan sangat kecil dengan elemen bukan nol, maka barisan tersebut besar tak hingga.

Jika barisan tersebut besar tak terhingga dan barisan tersebut berbatas, maka
.

Jika nilai absolut dari elemen barisan dibatasi dari bawah oleh bilangan positif (), dan sangat kecil dengan elemen bukan nol, maka
.

Secara rinci definisi barisan besar tak berhingga beserta contohnya diberikan pada halaman
Definisi dari barisan besar tak terhingga >>> .
Bukti untuk sifat-sifat barisan yang besar tak terhingga diberikan pada halaman
Properti dari barisan yang sangat besar >>> .

Kriteria Konvergensi Urutan

Urutan monoton

Urutannya disebut sangat meningkat, jika untuk semua n pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun barisan, pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Untuk tidak berkurang:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, urutan yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Urutan yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Urutannya disebut membosankan jika tidak berkurang atau tidak bertambah.

Barisan monotonik dibatasi paling sedikit satu sisinya oleh . Sebuah urutan non-menurun dibatasi dari bawah: . Sebuah urutan non-meningkat dibatasi dari atas: .

teorema Weierstrass. Agar barisan tak-turun (non-naik) memiliki limit berhingga, perlu dan cukup dibatasi dari atas (dari bawah). Di sini M adalah beberapa nomor.

Karena setiap barisan tak-turun (non-naik) dibatasi dari bawah (dari atas), teorema Weierstrass dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Agar barisan monoton memiliki limit berhingga, perlu dan cukup bahwa barisan tersebut terbatas: .

Urutan tak terbatas monoton memiliki limit tak hingga, sama untuk barisan tak turun dan tak naik.

Bukti teorema Weierstrass diberikan pada halaman
Teorema Weierstrass tentang limit barisan monoton >>> .

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan

Kondisi Cauchy. Suatu barisan memenuhi syarat Cauchy jika untuk sembarang ada bilangan asli sehingga untuk semua bilangan asli n dan m yang memenuhi syarat , pertidaksamaan
.
Barisan yang memenuhi kondisi Cauchy disebut juga urutan dasar.

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan. Agar barisan memiliki limit berhingga, perlu dan cukup agar memenuhi kondisi Cauchy.

Bukti Kriteria Konvergensi Cauchy diberikan pada halaman
Kriteria konvergensi Cauchy untuk barisan >>> .

Lanjutan

Teorema Bolzano-Weierstrass. Dari sembarang barisan berbatas, suatu barisan yang konvergen dapat dibedakan. Dan dari setiap urutan tak terbatas - sebuah suburutan besar tak terhingga konvergen ke atau ke .

Bukti teorema Bolzano-Weierstrass diberikan pada halaman
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Definisi, teorema, dan sifat-sifat turunan dan batas parsial dibahas di halaman
Barisan dan limit parsial barisan >>>.

Referensi:
cm. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
V.A. Zorich. Analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Pozniak. Dasar-dasar analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 2005.