Persamaan garis pada bidang.

Seperti diketahui, setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua koordinat dalam beberapa sistem koordinat. Sistem koordinat dapat berbeda tergantung pada pilihan basis dan asal.

Definisi. persamaan garis adalah hubungan y = f(x) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis ini.

Perhatikan bahwa persamaan garis dapat dinyatakan dalam cara parametrik, yaitu, setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter independen t.

Contoh tipikal adalah lintasan titik yang bergerak. Dalam hal ini, waktu berperan sebagai parameter.

Persamaan garis lurus pada bidang.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

Selain itu, konstanta A, B tidak sama dengan nol pada saat yang sama, yaitu. A 2 + B 2 0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus.

Bergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut dimungkinkan:

C \u003d 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal

A \u003d 0, B 0, C 0 (Oleh + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0, A 0, C 0 ( Ax + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Oy

B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy

A \u003d C \u003d 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, sebuah vektor dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A (1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C, kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan.

Kami mendapatkan: 3 - 2 + C \u003d 0, oleh karena itu C \u003d -1.

Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol.

Pada bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x \u003d x 1, jika x 1 \u003d x 2.

Pecahan
=k disebut faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ax + Vy + C = 0 menghasilkan bentuk:

dan menunjuk
, maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan paragraf yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan penetapan garis lurus melalui titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol ( 1 , 2), komponen-komponen yang memenuhi kondisi A 1 + B 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisi, koefisien harus memenuhi kondisi:

1A + (-1)B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C/A = 0.

di x = 1, y = 2 kita mendapatkan /A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C 0, maka, bagi dengan –C, kita dapatkan:
atau

, di mana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien sebuah adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu x, dan b- koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen-segmen.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ax + Wy + C = 0 dibagi dengan angka
, yang disebut faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcos + ysin - p = 0 –

persamaan normal garis lurus.

Tanda dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga< 0.

p adalah panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke garis lurus, dan adalah sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah positif sumbu Ox.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis 12x - 5y - 65 = 0. Untuk garis ini diperlukan berbagai jenis persamaan.

persamaan garis lurus ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi dengan 5)

persamaan normal garis lurus:

; cos = 13/12; sin = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus yang sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada sumbu koordinat. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm2.

Persamaan garis lurus memiliki bentuk:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 tidak sesuai dengan kondisi soal.

Total:
atau x + y - 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A (-2, -3) dan titik asal.

Persamaan garis lurus memiliki bentuk:
, di mana x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 .

Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisien A sebanding 1 =  A, B 1 =  B. Jika juga C 1 =  C, maka garis-garisnya berhimpitan.

Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu

tegak lurus terhadap garis ini.

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika sebuah titik M(x 0 , kamu 0 ), maka jarak ke garis Ax + Vy + C = 0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.

Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

.

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
; = /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Kami menemukan persamaan sisi AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b.

k = . maka y =
. Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini:
dimana b = 17. Jumlah:
.

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometri analitik dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang.

Persamaan garis lurus dalam ruang dengan titik dan

vektor arah.

Ambil garis sewenang-wenang dan vektor (m, n, p) sejajar dengan garis yang diberikan. vektor ditelepon vektor panduan lurus.

Mari kita ambil dua titik sewenang-wenang M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dan M(x, y, z) pada garis lurus.

z

M1

Mari kita nyatakan vektor jari-jari dari titik-titik ini sebagai dan , jelas bahwa - =
.

Karena vektor
dan kolinear, maka relasi tersebut benar
= t, di mana t adalah beberapa parameter.

Secara total, kita dapat menulis: = + t.

Karena persamaan ini dipenuhi oleh koordinat setiap titik pada garis, maka persamaan yang dihasilkan adalah persamaan parametrik garis lurus.

Persamaan vektor ini dapat direpresentasikan dalam bentuk koordinat:

Mengubah sistem ini dan menyamakan nilai parameter t, kami memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang:

.

Definisi. Kosinus arah langsung adalah cosinus arah dari vektor , yang dapat dihitung dengan rumus:

;

.

Dari sini kita peroleh: m: n: p = cos : cos : cos.

Bilangan m, n, p disebut faktor kemiringan lurus. Karena adalah vektor bukan nol, m, n dan p tidak bisa nol pada saat yang sama, tetapi satu atau dua dari angka-angka ini bisa nol. Dalam hal ini, dalam persamaan garis lurus, pembilang yang sesuai harus disamakan dengan nol.

Persamaan garis lurus dalam melewati ruang

melalui dua titik.

Jika dua titik sembarang M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) ditandai pada garis lurus dalam ruang, maka koordinat titik-titik tersebut harus memenuhi persamaan garis lurus yang diperoleh di atas:

.

Selain itu, untuk titik M 1 kita dapat menulis:

.

Memecahkan persamaan ini bersama-sama, kita mendapatkan:

.

Ini adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik dalam ruang.

Persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Persamaan garis lurus dapat dianggap sebagai persamaan garis perpotongan dua bidang.

Seperti dibahas di atas, sebuah pesawat dalam bentuk vektor dapat diberikan oleh persamaan:

+ D = 0, dimana

- pesawat biasa; - radius-vektor dari titik sewenang-wenang dari pesawat.

Pelajaran dari seri "Algoritma Geometris"

Halo pembaca yang budiman!

Hari ini kita akan mulai mempelajari algoritma yang berhubungan dengan geometri. Faktanya cukup banyak masalah olimpiade dalam ilmu komputer yang berhubungan dengan geometri komputasi, dan penyelesaiannya sering menimbulkan kesulitan.

Dalam beberapa pelajaran, kita akan mempertimbangkan sejumlah submasalah dasar yang menjadi dasar penyelesaian sebagian besar masalah geometri komputasi.

Dalam pelajaran ini, kita akan menulis sebuah program untuk mencari persamaan garis lurus melewati yang diberikan dua titik. Untuk memecahkan masalah geometri, kita memerlukan pengetahuan tentang geometri komputasi. Kami akan mencurahkan sebagian dari pelajaran untuk mengenal mereka.

Informasi dari geometri komputasi

Geometri komputasi adalah cabang ilmu komputer yang mempelajari algoritma untuk memecahkan masalah geometri.

Data awal untuk masalah tersebut dapat berupa kumpulan titik pada bidang, kumpulan segmen, poligon (diberikan, misalnya, dengan daftar simpulnya dalam urutan searah jarum jam), dll.

Hasilnya dapat berupa jawaban untuk beberapa pertanyaan (seperti apakah suatu titik termasuk segmen, apakah dua segmen berpotongan, ...), atau beberapa objek geometris (misalnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik-titik tertentu, luas poligon, dll.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri komputasi hanya pada bidang dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menerapkan metode komputasi geometri, perlu untuk menerjemahkan gambar geometris ke dalam bahasa angka. Kami berasumsi bahwa sistem koordinat Cartesian diberikan pada bidang, di mana arah rotasi berlawanan arah jarum jam disebut positif.

Sekarang objek geometris menerima ekspresi analitis. Jadi, untuk menetapkan titik, cukup tentukan koordinatnya: sepasang angka (x; y). Segmen dapat ditentukan dengan menentukan koordinat ujungnya, garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan koordinat pasangan titiknya.

Tetapi alat utama untuk memecahkan masalah adalah vektor. Oleh karena itu, izinkan saya mengingatkan Anda tentang beberapa informasi tentang mereka.

Segmen garis AB, yang memiliki titik TETAPI dianggap awal (titik aplikasi), dan titik PADA- ujungnya disebut vektor AB dan dilambangkan dengan , atau huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya sebuah .

Untuk menyatakan panjang vektor (yaitu, panjang segmen yang sesuai), kita akan menggunakan simbol modul (misalnya, ).

Vektor arbitrer akan memiliki koordinat yang sama dengan perbedaan antara koordinat yang sesuai dari ujung dan awalnya:

,

titik di sini A dan B memiliki koordinat masing-masing.

Untuk perhitungan, kita akan menggunakan konsep sudut berorientasi, yaitu, sudut yang memperhitungkan posisi relatif dari vektor.

Sudut berorientasi antara vektor sebuah dan b positif jika rotasi menjauhi vektor sebuah ke vektor b dilakukan dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) dan negatif dalam kasus lain. Lihat gbr.1a, gbr.1b. Juga dikatakan bahwa sepasang vektor sebuah dan b berorientasi positif (negatif).

Dengan demikian, nilai sudut berorientasi tergantung pada urutan pencacahan vektor dan dapat mengambil nilai dalam interval .

Banyak masalah geometri komputasi menggunakan konsep produk vektor (skew atau pseudoscalar).

Produk vektor dari vektor a dan b adalah produk dari panjang vektor-vektor ini dan sinus sudut di antara mereka:

.

Produk vektor dari vektor dalam koordinat:

Ekspresi di sebelah kanan adalah determinan orde kedua:

Berbeda dengan definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ini adalah skalar.

Tanda perkalian silang menentukan posisi vektor relatif satu sama lain:

sebuah dan b berorientasi positif.

Jika nilainya , maka pasangan vektor sebuah dan b berorientasi negatif.

Perkalian silang dari vektor-vektor tak nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut kolinear ( ). Ini berarti bahwa mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis paralel.

Mari kita pertimbangkan beberapa tugas sederhana yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus dengan koordinat dua titik.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik berbeda diberikan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik yang tidak bertepatan diberikan pada garis: dengan koordinat (x1;y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Dengan demikian, vektor dengan awal di titik dan akhir di titik memiliki koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) adalah sembarang titik pada garis kita, maka koordinat vektornya adalah (x-x1, y - y1).

Dengan bantuan perkalian silang, kondisi kolinearitas vektor dan dapat ditulis sebagai berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus dapat diberikan oleh persamaan bentuk (1).

Tugas 1. Koordinat dua titik diberikan. Tentukan representasinya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini, kami berkenalan dengan beberapa informasi dari geometri komputasi. Kami memecahkan masalah menemukan persamaan garis dengan koordinat dua titik.

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan menulis program untuk menemukan titik potong dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Ada banyak garis tak terhingga yang dapat ditarik melalui titik mana pun.

Melalui dua titik yang tidak bertepatan, hanya ada satu garis lurus.

Dua garis yang tidak bertepatan pada bidang berpotongan di satu titik, atau

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis lurus sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan Dengan Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, A 0, B 0- garis melewati titik asal

. A = 0, B 0, C 0 ( By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU

. B = C = 0, A 0- garis bertepatan dengan sumbu OU

. A = C = 0, B 0- garis bertepatan dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk tergantung pada yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Keputusan. Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C

kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M2 (x 2, y 2 , z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Keputusan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke formulir:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan titik yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus melalui suatu titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , 2), yang komponennya memenuhi kondisi

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Keputusan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,

koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk : Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x=1, y=2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, dibagi dengan -C, diperoleh:

atau dimana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik potong

lurus dengan poros Oh, sebuah b- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ah + Wu + C = 0 bagi dengan angka , yang disebut

faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.

R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis,

sebuah φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis lurus 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)

Persamaan garis lurus:

cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k1 = k2. Dua garis tegak lurus

jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Dalil.

Langsung Ah + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 \u003d A, B 1 \u003d B. Jika juga 1 \u003d, maka garis bertepatan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika poin diberikan M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ah + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- alas tegak lurus turun dari titik M untuk yang diberikan

langsung. Maka jarak antar titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus

garis yang diberikan. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu secara kolinear terhadap vektor arah.

Misalkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Titik sembarang terletak pada sebuah garis aku hanya jika vektor dan kolinear, yaitu, mereka memenuhi kondisi:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik garis.

angka m , n dan p adalah proyeksi dari vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan m , n dan p tidak boleh nol pada saat yang bersamaan. Tapi satu atau dua di antaranya mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, notasi berikut diperbolehkan:

,

yang berarti bahwa proyeksi vektor pada sumbu Oy dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbu Oy dan Ons, yaitu pesawat yOz .

Contoh 1 Buatlah persamaan garis lurus dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik perpotongan bidang ini dengan sumbu Ons .

Keputusan. Temukan titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons. Karena setiap titik pada sumbu Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi diberikan persamaan bidang x=y= 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor normal dapat berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus diberikan pesawat.

Sekarang kita tulis persamaan yang diinginkan dari garis lurus yang melalui titik A= (0; 0; 2) dalam arah vektor :

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak di atasnya dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan kanonik garis mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2 Tuliskan persamaan garis lurus di ruang angkasa yang melalui titik dan .

Keputusan. Kami menulis persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoretis:

.

Karena , maka garis yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oy .

Lurus sebagai garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik-titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier

Persamaan sistem disebut juga persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3 Tulis persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Keputusan. Untuk menulis persamaan kanonik garis lurus atau persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu menemukan koordinat dua titik pada garis lurus. Mereka dapat menjadi titik perpotongan garis lurus dengan dua bidang koordinat apa pun, misalnya yOz dan xOz .

Titik potong garis dengan bidang yOz memiliki absis x= 0 . Oleh karena itu, dengan asumsi dalam sistem persamaan ini x= 0 , kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mendefinisikan sebuah titik A(0; 2; 6) dari baris yang diinginkan. Dengan asumsi kemudian dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistem

Keputusannya x = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan sebuah titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah penyebut dibagi -2:

,

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis lurus pada bidang: pertimbangkan jenis persamaan seperti persamaan umum garis lurus. Mari kita definisikan sebuah teorema dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus dan bagaimana membuat transisi dari persamaan umum ke jenis persamaan garis lurus lainnya. Kami akan mengkonsolidasikan seluruh teori dengan ilustrasi dan memecahkan masalah praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y diberikan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan tingkat pertama, yang memiliki bentuk A x + B y + C \u003d 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin, kami akan membuktikannya masing-masing.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan sebuah garis pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0 . Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C \u003d 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, kita mendapatkan persamaan baru yang terlihat seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Setara dengan A x + B y + C = 0 .

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap arah vektor n → = (A, B) . Kita dapat berasumsi bahwa ini tidak benar, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Oleh karena itu, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 mendefinisikan beberapa garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan oleh karena itu persamaan setara A x + B y + C \u003d 0 mendefinisikan baris yang sama. Jadi kami telah membuktikan bagian pertama dari teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dapat diberikan oleh persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0 .

Mari kita atur garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A , B) .

Biarkan ada juga beberapa titik M (x , y) - titik mengambang dari garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A , B) dan M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) saling tegak lurus, dan hasil kali skalarnya nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan akhirnya dapatkan persamaan A x + B y + C = 0 .

Jadi, kami telah membuktikan bagian kedua dari teorema, dan kami telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan yang terlihat seperti A x + B y + C = 0 - Ini persamaan umum garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangO x y .

Berdasarkan teorema terbukti, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap dan persamaan umumnya terkait erat. Dengan kata lain, garis asli sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum garis lurus sesuai dengan garis lurus yang diberikan.

Bukti dari teorema ini juga menunjukkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0 .

Pertimbangkan contoh spesifik dari persamaan umum garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sesuai dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Vektor normal dari garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​. Gambarlah garis lurus yang diberikan dalam gambar.

Berikut ini juga dapat diperdebatkan: garis lurus yang kita lihat dalam gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik dari garis lurus yang diberikan sesuai dengan persamaan ini.

Kita dapat memperoleh persamaan · A x + · B y + · C = 0 dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis lurus umum dengan bilangan bukan nol . Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan umum asli, oleh karena itu, akan menggambarkan garis yang sama pada bidang.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum garis lurus- persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, di mana angka A, B, C bukan nol. Jika tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita menganalisis semua variasi persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus.

1. Ketika A \u003d 0, B 0, C 0, persamaan umumnya menjadi B y + C \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai nyata x, variabel y akan mengambil nilai - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, ketika A \u003d 0, B 0, mendefinisikan tempat kedudukan titik (x, y) yang koordinatnya sama dengan angka yang sama - C B .
2. Jika A \u003d 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umumnya menjadi y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan sumbu x O x .
3. Ketika A 0, B \u003d 0, C 0, kita mendapatkan persamaan umum yang tidak lengkap A x + C \u003d 0, mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.
4. Misalkan A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhirnya, ketika A 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y \u003d 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melewati titik asal. Memang, pasangan angka (0 , 0) sesuai dengan persamaan A x + B y = 0 , karena A · 0 + B · 0 = 0 .

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus di atas.

Contoh 1

Diketahui bahwa garis lurus yang diberikan sejajar dengan sumbu y dan melalui titik 2 7 , - 11 . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan bentuk A x + C \u003d 0, di mana A 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis, dan koordinat titik ini sesuai dengan kondisi persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0 , yaitu. persamaan benar:

A 2 7 + C = 0

Dimungkinkan untuk menentukan C darinya dengan memberi A beberapa nilai bukan nol, misalnya, A = 7 . Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 2 7 + C \u003d 0 C \u003d - 2. Kita mengetahui kedua koefisien A dan C, substitusikan ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, perlu untuk menuliskan persamaannya.

Keputusan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk memecahkan masalah. Kita lihat pada gambar bahwa garis yang diberikan sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0 , 3) ​​.

Garis lurus yang sejajar dengan absis ditentukan oleh persamaan umum yang tidak lengkap B y + = 0. Tentukan nilai B dan C . Koordinat titik (0, 3), karena suatu garis lurus melaluinya, akan memenuhi persamaan garis lurus B y + = 0, maka persamaan tersebut valid: · 3 + = 0. Mari kita atur B ke beberapa nilai selain nol. Katakanlah B \u003d 1, dalam hal ini, dari persamaan B · 3 + C \u003d 0 kita dapat menemukan C: C \u003d - 3. Dengan menggunakan nilai B dan C yang diketahui, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: y - 3 = 0 .

Persamaan umum garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang

Biarkan garis yang diberikan melalui titik M 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum lengkap garis lurus. Kami mendapatkan: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, persamaan ini setara dengan persamaan umum asli, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan memiliki a vektor normal n → \u003d (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus untuk koordinat vektor normal garis lurus yang diketahui dan koordinat titik tertentu dari garis lurus ini.

Contoh 3

Diberikan titik M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal memungkinkan kami memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa diselesaikan secara berbeda. Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk A x + B y + C = 0 . Vektor normal yang diberikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai koefisien A dan B , lalu:

A x + B y + C = 0 1 x - 2 y + C = 0 x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C, menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang diberikan oleh kondisi masalah, yang dilalui garis. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0 , yaitu. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Jadi C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0 .

Menjawab: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan - 3. Hal ini diperlukan untuk menentukan ordinat dari titik yang diberikan.

Keputusan

Mari kita atur penunjukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data awal menunjukkan bahwa x 0 \u003d - 3. Karena titik tersebut milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis ini. Maka persamaan berikut akan benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tentukan y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Transisi dari persamaan umum garis lurus ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada bidang. Pilihan jenis persamaan tergantung pada kondisi masalah; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk solusinya. Di sinilah keterampilan mengubah suatu persamaan menjadi persamaan jenis lain sangat berguna.

Pertama, pertimbangkan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jika A 0, maka kita pindahkan suku B y ke ruas kanan persamaan umum. Di sisi kiri, kami mengambil A dari tanda kurung. Hasilnya, kita mendapatkan: A x + C A = - B y .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai proporsi: x + C A - B = y A .

Jika B 0, kami hanya meninggalkan istilah A x di sisi kiri persamaan umum, kami mentransfer yang lain ke sisi kanan, kami mendapatkan: A x \u003d - B y - C. Kami mengeluarkan - B dari tanda kurung, lalu: A x \u003d - B y + C B.

Mari kita tulis ulang persamaan sebagai proporsi: x - B = y + C B A .

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan selama transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum dari garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Itu perlu dikonversi ke persamaan kanonik.

Keputusan

Kami menulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0 . Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami mengeluarkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum garis lurus menjadi persamaan parametrik, pertama, transisi ke bentuk kanonik dilakukan, dan kemudian transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0 . Tuliskan persamaan parametrik dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 2 x = 5 y + 1 5 x 5 = y + 1 5 2

Sekarang mari kita ambil kedua bagian dari persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan , maka:

x 5 = y + 1 5 2 = ⇔ x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Menjawab:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y = k x + b, tetapi hanya jika B 0. Untuk transisi di ruas kiri, kita tinggalkan suku B y , sisanya dipindahkan ke kanan. Kami mendapatkan: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan B , yang berbeda dari nol: y = - A B x - C B .

Contoh 7

Persamaan umum garis lurus diberikan: 2 x + 7 y = 0 . Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Keputusan

Mari kita lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritme:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

Menjawab: y = - 2 7 x .

Dari persamaan umum garis lurus, cukup dengan mendapatkan persamaan dalam bentuk segmen x a + y b \u003d 1. Untuk membuat transisi seperti itu, kami mentransfer angka C ke sisi kanan persamaan, membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan - dan, akhirnya, mentransfer koefisien untuk variabel x dan y ke penyebut:

A x + B y + C = 0 A x + B y = - C ⇔ A - C x + B - C y = 1 x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis lurus x - 7 y + 1 2 = 0 diubah menjadi persamaan garis lurus dalam segmen-segmen.

Keputusan

Mari pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2 .

Bagi dengan -1/2 kedua ruas persamaan: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi terbalik juga mudah: dari jenis persamaan lain ke persamaan umum.

Persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan dengan kemiringan dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b y - k x - b = 0 A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, pertama-tama transisi ke kanonik dilakukan, dan kemudian ke yang umum:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik dari garis lurus x = - 1 + 2 · y = 4 diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan parametrik ke kanonik:

x = - 1 + 2 y = 4 x = - 1 + 2 y = 4 + 0 ⇔ = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

Menjawab: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Hal ini diperlukan untuk melakukan transisi ke bentuk umum persamaan.

Keputusan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Membuat persamaan umum garis lurus

Di atas, kami mengatakan bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat yang diketahui dari vektor normal dan koordinat titik yang dilalui garis. Garis lurus tersebut didefinisikan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Di tempat yang sama kami menganalisis contoh yang sesuai.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks di mana, pertama, perlu untuk menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diketahui sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Juga dikenal adalah titik M 0 (4 , 1) yang melaluinya garis yang diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal memberi tahu kita bahwa garis-garis itu sejajar, sedangkan, sebagai vektor normal dari garis yang persamaannya perlu ditulis, kita ambil vektor pengarah garis n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk menyusun persamaan umum garis lurus:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberikan melalui titik asal tegak lurus terhadap garis x - 2 3 = y + 4 5 . Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Vektor normal dari garis yang diberikan akan menjadi vektor pengarah dari garis x - 2 3 = y + 4 5 .

Maka n → = (3 , 5) . Garis lurus melewati titik asal, mis. melalui titik O (0,0) . Mari kita buat persamaan umum dari garis lurus yang diberikan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter