Jika mengikuti definisi, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:

Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih SD.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	f(x) = C, C ∈ R	0 (ya, ya, nol!)
Derajat dengan eksponen rasional	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = sin x	karena x
Kosinus	f(x) = cos x	dosa x(dikurangi sinus)
Garis singgung	f(x) = tg x	1/co 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	1/sin2 x
logaritma natural	f(x) = log x	1/x
logaritma arbitrer	f(x) = log sebuah x	1/(x ln sebuah)
Fungsi eksponensial	f(x) = e x	e x(Tidak ada yang berubah)

Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan jumlah dan selisih

Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:

f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;

Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Turunan dari suatu produk

Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .

Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.

Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:

Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Cari turunan fungsi:

Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.

Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).

Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan penjelasan rinci dari setiap langkah.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.

Menjawab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena ( x 2+ln x).

Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.

Tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:

Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.

Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar:

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima, perbedaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:

Tampaknya bebas dari kesalahan:

1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.

2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan

3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).

4) Kami mengambil turunan dari kosinus.

6) Dan akhirnya, kami mengambil turunan dari sarang terdalam .

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.

Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.

Contoh 3

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?

Contoh 4

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - ​​logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu - ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya untuk kurung:

Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi benar-benar setara.

Contoh 5

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.

Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , dengan mengambil seluruh pembilangnya:

Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, maka ini tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya?

Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan menyingkirkan pecahan tiga tingkat:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingat" turunannya.

Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 7

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.

Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen perantara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

Bukti rumus untuk turunan dari fungsi kompleks diberikan. Kasus di mana fungsi kompleks tergantung pada satu atau dua variabel dipertimbangkan secara rinci. Generalisasi dibuat untuk kasus sejumlah variabel yang berubah-ubah.

Isi

Lihat juga: Contoh penerapan rumus turunan dari fungsi kompleks

Rumus dasar

Di sini kami menyajikan turunan dari rumus berikut untuk turunan dari fungsi kompleks.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.

Turunan dari fungsi kompleks dari satu variabel

Biarkan fungsi dari variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
di mana dan ada beberapa fungsi. Fungsi tersebut dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x . Fungsi tersebut dapat diturunkan untuk nilai variabel .
Maka fungsi kompleks (komposit) terdiferensialkan di titik x dan turunannya ditentukan dengan rumus:
(1) .

Rumus (1) juga dapat ditulis sebagai berikut:
;
.

Bukti

Mari kita perkenalkan notasi berikut.
;
.
Di sini ada fungsi variabel dan , ada fungsi variabel dan . Tetapi kami akan menghilangkan argumen dari fungsi-fungsi ini agar tidak mengacaukan perhitungan.

Karena fungsi dan terdiferensiasi di titik x dan , maka pada titik tersebut terdapat turunan dari fungsi-fungsi tersebut, yaitu limit-limit berikut:
;
.

Perhatikan fungsi berikut:
.
Untuk nilai tetap dari variabel u , adalah fungsi dari . Jelas bahwa
.
Kemudian
.

Karena fungsi tersebut merupakan fungsi yang dapat diturunkan di titik , maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Jadi
.
Kemudian
.

Sekarang kita temukan turunannya.

.

Formulanya sudah terbukti.

Konsekuensi

Jika fungsi variabel x dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari fungsi kompleks
,
maka turunannya ditentukan oleh rumus
.
Di sini , dan ada beberapa fungsi yang dapat dibedakan.

Untuk membuktikan rumus ini, kami menghitung turunan secara berurutan sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
Pertimbangkan fungsi kompleks
.
turunannya
.
Pertimbangkan fungsi aslinya
.
turunannya
.

Turunan dari fungsi kompleks dalam dua variabel

Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa variabel. Pertimbangkan dulu kasus fungsi kompleks dari dua variabel.

Biarkan fungsi tergantung pada variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari dua variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
adalah fungsi dari dua variabel, terdiferensiasi pada titik , . Kemudian fungsi kompleks didefinisikan di beberapa lingkungan titik dan memiliki turunan, yang ditentukan oleh rumus:
(2) .

Bukti

Karena fungsi dan terdiferensiasi di titik , mereka didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik ini, kontinu di titik, dan turunannya di titik ada, yang merupakan batasan berikut:
;
.
Di Sini
;
.
Karena kontinuitas fungsi-fungsi ini pada suatu titik, kami memiliki:
;
.

Karena fungsi terdiferensiasi pada titik , itu didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik ini, kontinu pada titik ini, dan kenaikannya dapat ditulis sebagai berikut:
(3) .
Di Sini

- peningkatan fungsi ketika argumennya bertambah dengan nilai dan ;
;

- turunan parsial dari fungsi terhadap variabel dan .
Untuk nilai tetap dari dan , dan ada fungsi dari variabel dan . Mereka cenderung nol sebagai dan :
;
.
Sejak dan , maka
;
.

Peningkatan fungsi:

. :
.
Pengganti (3):



.

Formulanya sudah terbukti.

Turunan dari fungsi kompleks dari beberapa variabel

Derivasi di atas mudah digeneralisasi untuk kasus ketika jumlah variabel dari fungsi kompleks lebih besar dari dua.

Misalnya, jika f adalah fungsi dari tiga variabel, kemudian
,
di mana
, dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
adalah fungsi terdiferensiasi, dalam tiga variabel, pada titik , , .
Kemudian, dari definisi diferensiasi fungsi , kami memiliki:
(4)
.
Karena, karena kontinuitas,
; ; ,
kemudian
;
;
.

Membagi (4) dengan dan melewati limit , kita peroleh:
.

Dan akhirnya, pertimbangkan kasus paling umum.
Biarkan fungsi dari variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari n variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
ada fungsi-fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
- fungsi terdiferensiasi dari n variabel pada suatu titik
, , ... , .
Kemudian
.

Lihat juga:

turunan kompleks. turunan logaritma.
Turunan dari fungsi eksponensial

Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Dalam pelajaran ini, kita akan mengkonsolidasikan materi yang dibahas, mempertimbangkan turunan yang lebih kompleks, dan juga berkenalan dengan trik dan trik baru untuk menemukan turunan, khususnya, dengan turunan logaritma.

Pembaca yang memiliki tingkat persiapan rendah harus merujuk ke artikel Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi yang akan memungkinkan Anda untuk meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, pahami dan selesaikan semua contoh yang telah saya berikan. Pelajaran ini secara logis adalah yang ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya, Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk tetap pada posisi “Di mana lagi? Ya, dan itu sudah cukup! ”, Karena semua contoh dan solusi diambil dari tes nyata dan sering ditemukan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan pengulangan. Pada pelajaran Turunan dari fungsi kompleks kami telah mempertimbangkan sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan bagian lain dari analisis matematika, Anda harus sering membedakan, dan tidak selalu nyaman (dan tidak selalu perlu) untuk melukis contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kami akan berlatih dalam penemuan turunan secara lisan. "Kandidat" yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Ketika mempelajari topik matan lain di masa depan, catatan terperinci seperti itu paling sering tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa dapat menemukan turunan serupa dengan autopilot. Mari kita bayangkan bahwa pada jam 3 pagi telepon berdering, dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apa turunan dari garis singgung dua x?". Ini harus diikuti dengan respons yang hampir seketika dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.

Contoh 1

Cari turunan berikut secara lisan, dalam satu langkah, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas, Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika dia belum ingat). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan untuk membaca kembali pelajaran Turunan dari fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima, perbedaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan ...

(1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan

(3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).

(4) Kami mengambil turunan dari kosinus.

(5) Kami mengambil turunan dari logaritma.

(6) Akhirnya, kami mengambil turunan dari nesting terdalam .

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.

Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.

Contoh 3

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?

Contoh 4

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - ​​logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu - ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya untuk kurung:

Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi benar-benar setara.

Contoh 5

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.

Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , dengan mengambil seluruh pembilangnya:

Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, maka ini tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya? Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan singkirkan pecahan tiga lantai:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingat" turunannya.

Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 7

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat melangkah jauh, menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama segera menjerumuskan Anda ke dalam kesedihan - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari tingkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Jadi sebelum cara mengambil turunan dari logaritma "mewah", sebelumnya disederhanakan menggunakan properti sekolah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku catatan latihan, salin rumus ini di sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, gambar ulang di selembar kertas, karena sisa contoh pelajaran akan berputar di sekitar rumus ini.

Solusinya sendiri dapat dirumuskan seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Kami menemukan turunannya:

Transformasi awal dari fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusi. Jadi, ketika logaritma yang sama diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk "memecahnya".

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 9

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh 10

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban di akhir pelajaran.

turunan logaritmik

Jika turunan dari logaritma adalah musik yang manis, maka muncul pertanyaan, apakah mungkin dalam beberapa kasus untuk mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh serupa yang baru-baru ini kami pertimbangkan. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda mendapatkan pecahan tiga lantai yang besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Tetapi dalam teori dan praktik ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritmik. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan "menggantung" mereka di kedua sisi:

Catatan : karena function dapat mengambil nilai negatif, maka, secara umum, Anda perlu menggunakan modul: , yang menghilang sebagai akibat dari diferensiasi. Namun, desain saat ini juga dapat diterima, di mana secara default kompleks nilai-nilai. Tetapi jika dengan semua ketelitian, maka dalam kedua kasus itu perlu untuk membuat reservasi itu.

Sekarang Anda perlu "mengurai" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian dengan stroke:

Turunan dari sisi kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda harus dapat menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita memiliki fungsi kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: "Mengapa, ada satu huruf "y" di bawah logaritma?".

Faktanya adalah "satu huruf y" ini - ADALAH FUNGSI DI SENDIRI(jika tidak terlalu jelas, lihat artikel Turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan "y" adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi majemuk :

Di sisi kiri, seolah-olah dengan sihir, kami memiliki turunan. Selanjutnya, menurut aturan proporsi, kami membuang "y" dari penyebut sisi kiri ke atas sisi kanan:

Dan sekarang kita ingat fungsi "permainan" macam apa yang kita bicarakan saat membedakan? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh desain contoh jenis ini di akhir pelajaran.

Dengan bantuan turunan logaritmik, dimungkinkan untuk menyelesaikan salah satu contoh No. 4-7, hal lain adalah bahwa fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritmik tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki dan derajat dan basis bergantung pada "x". Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda di buku teks atau kuliah apa pun:

Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi eksponensial?

Hal ini diperlukan untuk menggunakan teknik yang baru saja dipertimbangkan - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, derajat diambil dari bawah logaritma di sisi kanan:

Akibatnya, di sisi kanan kita memiliki produk dari dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar .

Kami menemukan turunannya, untuk ini kami melampirkan kedua bagian di bawah goresan:

Langkah selanjutnya mudah:

Akhirnya:

Jika beberapa transformasi tidak sepenuhnya jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh #11 dengan seksama.

Dalam tugas-tugas praktis, fungsi eksponensial akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dipertimbangkan.

Contoh 13

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritmik.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma dari x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat membedakan sebuah konstanta, seperti yang kita ingat, lebih baik segera menghilangkannya dari tanda turunannya agar tidak menghalangi; dan, tentu saja, terapkan aturan yang sudah dikenal :