Contoh pemecahan masalah pada topik "Variabel acak".

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan dalam lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD dimainkan. dan sepuluh kemenangan masing-masing $10. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya perolehan yang mungkin.

Keputusan. Kemungkinan nilai X: x 1 = 0; x 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, peluang menang adalah 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0,10 dan untuk kemenangan 50 c.u. -p 3 = 0,01. Dengan demikian:

	0,89	0,10	0,01

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Probabilitas bahwa pembeli telah membiasakan diri dengan iklan produk sebelumnya adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian kualitas iklan secara selektif dilakukan dengan polling kepada pembeli sebelum pembeli pertama yang mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi jumlah pembeli yang diwawancarai.

Keputusan. Menurut kondisi masalah p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat deret distribusi:

pi		0,24

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan peningkatan tegangan tunggal yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal selama lonjakan daya dalam jaringan.

Keputusan. Mempertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa dalam n tes, acara A akan muncul dengan tepat k sekali: , atau:

	q n					p n

PADA mari kembali ke tugas.

Kemungkinan nilai X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 - tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 - kegagalan satu elemen;

x 2 =2 - kegagalan dua elemen;

x 3 =3 - kegagalan semua elemen.

Karena, dengan syarat, p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diinginkan:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tugas 4. Diproduksi 5000 putaran. Probabilitas bahwa satu kartrid rusak . Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 3 kartrid yang rusak di seluruh batch?

Keputusan. Berlaku distribusi racun: distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa, diberikan sangat besar

banyaknya percobaan (percobaan masal), dimana peluang kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi k kali : , di mana .

Di sini n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Kami menemukan , maka probabilitas yang diinginkan: .

Tugas 5. Saat menembak sebelum pukulan pertama dengan kemungkinan mengenai p = 0,6 untuk satu tembakan, Anda perlu mencari probabilitas bahwa pukulan akan terjadi pada tembakan ketiga.

Keputusan. Mari kita terapkan distribusi geometrik: biarkan percobaan independen dilakukan, di mana setiap kejadian A memiliki probabilitas kemunculan p (dan non-kejadian q = 1 - p). Percobaan berakhir segera setelah peristiwa A terjadi.

Dalam kondisi seperti itu, peluang kejadian A akan terjadi pada uji ke-k ditentukan oleh rumus: . Di sini p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Oleh karena itu, .

Tugas 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan harapan matematisnya.

Keputusan. .

Perhatikan bahwa makna probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Tugas 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Keputusan. Di Sini .

Hukum distribusi kuadrat X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan derajat deviasi (hamburan) variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Tugas 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

			10m

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , m.

Tentang variabel acak X, dapat dikatakan salah satu - harapan matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau - ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m Formulasi kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil dari pengujian, nilai X akan mengambil nilai yang terkandung dalam interval .

Keputusan. Probabilitas bahwa X akan mengambil nilai dari interval yang diberikan sama dengan kenaikan fungsi integral dalam interval ini, yaitu . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu

.

Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat grafiknya.

Keputusan. Karena fungsi distribusi

untuk , kemudian

pada ;

pada ;

pada ;

pada ;

Bagan yang relevan:

Tugas 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: .

Cari peluang memukul X ke interval

Keputusan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.

Mari kita gunakan rumus: .

Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang diberikan oleh hukum distribusi:

	–5
	X2 : x2 . , di mana adalah fungsi Laplace. Nilai fungsi ini ditemukan menggunakan tabel. Dalam kasus kami: . Menurut tabel kami menemukan:, oleh karena itu:

Seperti diketahui, variabel acak disebut variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya - dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai yang terbatas atau tak terbatas (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan oleh tabel:

dimana >0, k = 0, 1, 2, … .

di) melalui fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari x, yaitu F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat diatur secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah, tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang mencerminkan fitur terpenting dari hukum distribusi. Bisa berupa angka yang memiliki arti "nilai rata-rata" dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata penyimpangan suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut karakteristik numerik dari variabel acak.

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :

• Harapan matematika (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x i p i.
  Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
• Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2) 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
  Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ
• Standar deviasi (deviasi standar) (X)=√D(X).

Contoh penyelesaian masalah dengan topik "Hukum distribusi variabel acak diskrit"

Tugas 1.

1000 tiket lotere telah dikeluarkan: 5 di antaranya memenangkan 500 rubel, 10 - 100 rubel, 20 - 50 rubel, 50 - 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Keputusan. Sesuai dengan kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100 dan 500.

Jumlah tiket tanpa kemenangan adalah 1000 - (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kami menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Kami menyajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Tentukan ekspektasi matematis dari X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buat poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotkan. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak diskrit.

Keputusan. 1. Variabel acak diskrit X=(jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 \u003d 3 (tiga elemen gagal).

Kegagalan elemen tidak tergantung satu sama lain, probabilitas kegagalan setiap elemen sama satu sama lain, oleh karena itu, ini berlaku rumus Bernoulli . Mengingat bahwa, dengan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kami menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Periksa: p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dengan demikian, hukum distribusi binomial X yang diinginkan memiliki bentuk:

Pada sumbu absis, kami memplot nilai yang mungkin x i, dan pada sumbu ordinat, probabilitas yang sesuai i . Mari kita buat titik M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Menghubungkan titik-titik ini dengan segmen garis, kami memperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

3. Tentukan fungsi distribusi F(x) = P(X

Untuk x 0 kita memiliki F(x) = P(X<0) = 0;
untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 menjadi F(x) = 1, karena peristiwa itu pasti.

Grafik fungsi F(x)

4. Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis (X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersi D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- simpangan baku (X) = D(X) = 0,27 0,52.

tugas layanan. Kalkulator online digunakan untuk membuat tabel distribusi variabel acak X - jumlah eksperimen yang dilakukan dan menghitung semua karakteristik deret: ekspektasi matematis, varians, dan standar deviasi. Laporan dengan keputusan dibuat dalam format Word. Contoh 1. Tiga koin dilempar. Peluang sebuah lambang jatuh dalam satu gulungan adalah 0,5. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah lambang yang jatuh.
Keputusan.
Peluang tidak ada lambang yang terlepas: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitas bahwa tiga lambang terlepas: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Hukum distribusi variabel acak X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Periksa: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Contoh #2. Probabilitas mengenai sasaran oleh satu penembak dengan satu tembakan untuk penembak pertama adalah 0,8, untuk penembak kedua - 0,85. Penembak melepaskan satu tembakan ke sasaran. Dengan asumsi memukul target untuk penembak individu sebagai peristiwa independen, temukan probabilitas peristiwa A - tepat satu pukulan pada target.
Keputusan.
Pertimbangkan acara A - satu pukulan tepat sasaran. Kemungkinan terjadinya peristiwa ini adalah sebagai berikut:

1. Pukulan penembak pertama, penembak kedua meleset: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Penembak pertama meleset, penembak kedua mengenai sasaran: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Penembak pertama dan kedua secara independen mengenai target: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Maka peluang kejadian A - tepat satu pukulan mengenai target, akan sama dengan: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

Kita dapat memilih hukum yang paling umum dari distribusi variabel acak diskrit:

• Hukum distribusi binomial
• hukum distribusi poisson
• Hukum distribusi geometrik
• Hukum distribusi hipergeometrik

Untuk distribusi variabel acak diskrit tertentu, perhitungan probabilitas nilainya, serta karakteristik numerik (harapan matematis, varians, dll.) dilakukan menurut "rumus" tertentu. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengetahui jenis distribusi ini dan sifat dasarnya.

1. Hukum distribusi binomial.

Variabel acak diskrit $X$ tunduk pada distribusi probabilitas binomial jika mengambil nilai $0,\ 1,\ 2,\ \titik ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Faktanya, variabel acak $X$ adalah jumlah kemunculan peristiwa $A$ dalam percobaan independen $n$. Hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \titik & n \\
\hline
p_i & P_n\kiri(0\kanan) & P_n\kiri(1\kanan) & \titik & P_n\kiri(n\kanan) \\
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasinya adalah $M\left(X\right)=np$, variansnya adalah $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Contoh . Ada dua anak dalam keluarga. Asumsikan peluang lahir anak laki-laki dan perempuan sama dengan $0,5$, tentukan hukum distribusi variabel acak $\xi $ - jumlah anak laki-laki dalam keluarga.

Biarkan variabel acak $\xi $ menjadi jumlah anak laki-laki dalam keluarga. Nilai yang dapat diambil oleh $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan dengan rumus $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, di mana $n =2$ - jumlah percobaan independen, $p=0.5$ - probabilitas terjadinya suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan $n$. Kita mendapatkan:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Maka hukum distribusi variabel acak $\xi $ adalah korespondensi antara nilai $0,\ 1,\ 2$ dan probabilitasnya, yaitu:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Jumlah probabilitas dalam hukum distribusi harus sama dengan $1$, yaitu $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = $1.

Ekspektasi $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varians $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, simpangan baku $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kira-kira $0.707.

2. Hukum distribusi Poisson.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai integer non-negatif $0,\ 1,\ 2,\ \titik ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Keunikan dari distribusi ini adalah, berdasarkan data eksperimen, kita menemukan estimasi $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, jika estimasi yang diperoleh saling berdekatan, maka kita memiliki alasan untuk menyatakan bahwa variabel acak tunduk pada hukum distribusi Poisson.

Contoh . Contoh variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi Poisson dapat berupa: jumlah mobil yang akan dilayani besok oleh pompa bensin; jumlah item cacat dalam produk yang diproduksi.

Contoh . Pabrik mengirim $500 produk ke pangkalan. Probabilitas kerusakan produk dalam perjalanan adalah $0,002$. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ sama dengan jumlah produk yang rusak; yang sama dengan $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Biarkan variabel acak diskrit $X$ menjadi jumlah item yang rusak. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum distribusi Poisson dengan parameter $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Probabilitas nilainya adalah $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Hukum distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi matematis dan variansnya sama satu sama lain dan sama dengan parameter $\lambda $, yaitu $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Hukum distribusi geometrik.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai natural $1,\ 2,\ \titik ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \titik $, maka kita katakan bahwa variabel acak $X$ tunduk pada hukum geometris distribusi probabilitas. Faktanya, distribusi geometrik tampaknya merupakan percobaan Bernoulli untuk keberhasilan pertama.

Contoh . Contoh variabel acak yang memiliki distribusi geometrik dapat berupa: jumlah tembakan sebelum pukulan pertama tepat mengenai sasaran; jumlah pengujian perangkat sebelum kegagalan pertama; jumlah lemparan koin sebelum kepala pertama ke atas, dan seterusnya.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang tunduk pada distribusi geometri berturut-turut adalah $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Contoh . Di jalan pergerakan ikan ke tempat pemijahan ada kunci $4$. Peluang seekor ikan melewati setiap gembok adalah $p=3/5$. Buat deret distribusi variabel acak $X$ - jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum pemberhentian pertama di gembok. Cari $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah pintu air yang dilewati ikan sebelum pemberhentian pertama di pintu air. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum geometris distribusi probabilitas. Nilai yang dapat diambil oleh variabel acak $X adalah: 1, 2, 3, 4. Probabilitas nilai-nilai ini dihitung dengan rumus: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, dimana: $ p=2/5$ - probabilitas ikan tertangkap melalui kunci, $q=1-p=3/5$ - probabilitas ikan melewati kunci, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ lebih(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ lebih (5))\cdot ((9)\lebih (25))=((18)\lebih (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\kiri(X_i\kanan) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Nilai yang diharapkan:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Penyebaran:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ kiri(1-2.176\kanan))^2+0,24\cdot (\kiri(2-2.176\kanan))^2+0,144\cdot (\kiri(3-2.176\kanan))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\kira-kira 1.377.$

Standar deviasi:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\kira-kira 1,173.$

4. Hukum distribusi hipergeometrik.

Jika ada objek $N$, di antaranya objek $m$ memiliki properti yang diberikan. Secara acak, tanpa pengembalian, objek $n$ diekstraksi, di antaranya ada objek $k$ yang memiliki properti tertentu. Distribusi hipergeometrik memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas bahwa objek $k$ secara tepat dalam sampel memiliki properti tertentu. Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah objek dalam sampel yang memiliki properti tertentu. Maka probabilitas nilai variabel acak $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Komentar. Fungsi statistik HYPERGEOMET dari Wizard Fungsi $f_x$ Excel memungkinkan Anda untuk menentukan probabilitas bahwa sejumlah percobaan akan berhasil.

$f_x\ke $ statistik$\ke$ HIPERGEOMET$\ke$ Oke. Akan muncul kotak dialog yang perlu Anda isi. Dalam grafik Number_of_successes_in_sample tentukan nilai $k$. ukuran sampel sama dengan $n$. Dalam grafik Number_of_successes_in_population tentukan nilai $m$. Ukuran populasi sama dengan $N$.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak diskrit $X$ yang tunduk pada hukum distribusi geometrik adalah $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\atas (N))\kanan)\kiri(1-((n)\atas (N))\kanan))\atas (N-1))$.

Contoh . Bagian kredit bank mempekerjakan 5 spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi dan 3 spesialis dengan pendidikan hukum yang lebih tinggi. Manajemen bank memutuskan untuk mengirim 3 spesialis untuk pelatihan lanjutan, memilih mereka secara acak.

a) Membuat rangkaian distribusi jumlah tenaga ahli dengan pendidikan keuangan tinggi yang dapat diarahkan ke pelatihan lanjutan;

b) Temukan karakteristik numerik dari distribusi ini.

Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi di antara tiga yang dipilih. Nilai yang dapat diambil oleh $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Variabel acak $X$ ini didistribusikan menurut distribusi hipergeometrik dengan parameter berikut: $N=8$ - ukuran populasi, $m=5$ - jumlah keberhasilan dalam populasi, $n=3$ - ukuran sampel, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka probabilitas $P\left(X=k\right)$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ lebih dari C_( N)^(n) ) $. Kita punya:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\kira-kira 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\kira-kira 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\kira-kira 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\kira-kira 0,179.$

Kemudian deret distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Mari kita hitung karakteristik numerik dari variabel acak $X$ menggunakan rumus umum distribusi hipergeometrik.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\kanan))\over (8-1))=((225)\over (448))\kira-kira 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\kira-kira 0.7085.$

HUKUM DISTRIBUSI DAN KARAKTERISTIK

NILAI RANDOM

Variabel acak, klasifikasinya dan metode deskripsinya.

Nilai acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mengambil satu atau lain nilai, tetapi tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, untuk variabel acak, hanya nilai yang dapat ditentukan, salah satunya akan diambil sebagai hasil dari eksperimen. Nilai-nilai ini akan disebut sebagai nilai yang mungkin dari variabel acak. Karena variabel acak secara kuantitatif mencirikan hasil acak dari suatu percobaan, itu dapat dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari peristiwa acak.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, misalnya, X..Y..Z, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sesuai.

Ada tiga jenis variabel acak:

diskrit; Kontinu; Campuran.

Diskrit variabel acak seperti itu disebut, jumlah nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung. Sebaliknya, himpunan dapat dihitung adalah himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor. Kata "diskrit" berasal dari bahasa Latin discretus, yang berarti "terputus-putus, terdiri dari bagian-bagian yang terpisah."

Contoh 1. Variabel acak diskrit adalah jumlah bagian X yang cacat dalam kumpulan nfl. Memang, nilai yang mungkin dari variabel acak ini adalah serangkaian bilangan bulat dari 0 hingga n.

Contoh 2. Variabel acak diskrit adalah jumlah tembakan sebelum pukulan pertama mengenai target. Di sini, seperti pada Contoh 1, nilai yang mungkin dapat diberi nomor, meskipun dalam kasus yang membatasi, nilai yang mungkin adalah jumlah yang sangat besar.

kontinu variabel acak disebut, nilai yang mungkin yang terus menerus mengisi interval tertentu dari sumbu numerik, kadang-kadang disebut interval keberadaan variabel acak ini. Jadi, pada setiap interval keberadaan yang terbatas, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu adalah besar tak terhingga.

Contoh 3. Variabel acak kontinu adalah konsumsi listrik di perusahaan selama sebulan.

Contoh 4. Variabel acak kontinu adalah kesalahan pengukuran tinggi badan menggunakan altimeter. Diketahui dari prinsip pengoperasian altimeter bahwa kesalahan terletak pada rentang 0 sampai 2 m, sehingga interval keberadaan variabel acak ini adalah interval dari 0 sampai 2 m.

Hukum distribusi variabel acak.

Variabel acak dianggap sepenuhnya ditentukan jika nilai yang mungkin ditunjukkan pada sumbu numerik dan hukum distribusi ditetapkan.

Hukum distribusi variabel acak disebut relasi yang menetapkan hubungan antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai.

Variabel acak dikatakan terdistribusi menurut hukum tertentu, atau tunduk pada hukum distribusi tertentu. Sejumlah probabilitas, fungsi distribusi, kepadatan probabilitas, fungsi karakteristik digunakan sebagai hukum distribusi.

Hukum distribusi memberikan deskripsi kemungkinan lengkap dari variabel acak. Menurut hukum distribusi, dimungkinkan untuk menilai sebelum pengalaman nilai mana yang mungkin dari variabel acak akan muncul lebih sering, dan mana yang lebih jarang.

Untuk variabel acak diskrit, hukum distribusi dapat diberikan dalam bentuk tabel, secara analitik (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel (matriks), yang mencantumkan dalam urutan menaik semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai, mis.

Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit. satu

Peristiwa X 1 , X 2 ,..., X n , terdiri dari fakta bahwa, sebagai hasil dari pengujian, variabel acak X akan mengambil nilai x 1 , x 2 ,... x n, masing-masing , tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena tabel mencantumkan semua nilai yang mungkin dari variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah peluangnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit

(Satuan ini entah bagaimana didistribusikan di antara nilai-nilai variabel acak, maka istilah "distribusi").

Deret distribusi dapat ditampilkan secara grafis jika nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai di sepanjang sumbu ordinat. Hubungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus, yang disebut poligon atau poligon distribusi probabilitas (Gbr. 1).

Contoh Lotre dimainkan: mobil senilai 5000 den. unit, 4 TV senilai 250 den. unit, 5 VCR senilai 200 sarang. unit Secara total, 1000 tiket dijual seharga 7 den. unit Buatlah hukum pembagian kemenangan bersih yang diterima oleh peserta lotere yang membeli satu tiket.

Keputusan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X - kemenangan bersih per tiket - adalah 0-7 = -7 sarang. unit (jika tiket tidak menang), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 sarang. unit (jika tiket memenangkan VCR, TV atau mobil, masing-masing). Mengingat bahwa dari 1000 tiket jumlah non-pemenang adalah 990, dan kemenangan yang ditunjukkan masing-masing adalah 5, 4 dan 1, dan menggunakan definisi klasik probabilitas, kita dapatkan.