Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk a*x^2 +b*x+c=0, di mana a,b,c adalah bilangan real (riil) arbitrer, dan x adalah variabel. Dan bilangan a=0.

Bilangan a,b,c disebut koefisien. Angka a - disebut koefisien utama, angka b adalah koefisien di x, dan angka c disebut anggota bebas.

Memecahkan persamaan kuadrat

Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semua akarnya, atau menetapkan fakta bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar. Akar persamaan kuadrat a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 adalah nilai apa pun dari variabel x, sehingga trinomial kuadrat a * x ^ 2 + b * x + c menghilang. Kadang-kadang nilai x seperti itu disebut akar trinomial kuadrat.

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pertimbangkan salah satunya - yang paling serbaguna. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Rumus akar-akar persamaan kuadrat adalah a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), di mana D =b^2-4*a*c.

Rumus ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 dalam bentuk umum, dengan menyorot kuadrat binomial.

Dalam rumus akar persamaan kuadrat, persamaan D (b^2-4*a*c) disebut diskriminan dari persamaan kuadrat a*x^2 +b*x+c=0. Nama ini berasal dari bahasa Latin, diterjemahkan "pembeda". Tergantung pada nilai diskriminannya, persamaan kuadrat akan memiliki dua atau satu akar, atau tidak memiliki akar sama sekali.

Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jika diskriminan adalah nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar. (x=(-b/(2*a))

Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar.

Algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Berdasarkan hal di atas, kami merumuskan algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a*x^2 +b*x+c=0 menggunakan rumus:

1. Temukan nilai diskriminan menggunakan rumus D =b^2-4*a*c.

2. Bergantung pada nilai diskriminan, hitung akar-akarnya menggunakan rumus:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Algoritma ini bersifat universal dan cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Lengkap dan tidak lengkap, dikutip dan tidak dikutip.

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. - 2016. - No. 6.1. - S.17-20..04.2019).



Proyek kami didedikasikan untuk cara memecahkan persamaan kuadrat. Tujuan dari proyek ini: untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semua cara yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan pelajari cara menggunakannya sendiri dan perkenalkan teman sekelas pada metode ini.

Apa itu "persamaan kuadrat"?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana sebuah, b, c- beberapa angka ( sebuah 0), x- tidak dikenal.

Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

• a disebut koefisien pertama;
• b disebut koefisien kedua;
• c - anggota bebas.

Dan siapa yang pertama "menemukan" persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk memecahkan persamaan linear dan kuadrat sudah dikenal sejak 4000 tahun yang lalu di Babel Kuno. Tablet tanah liat Babilonia kuno yang ditemukan, bertanggal antara 1800 dan 1600 SM, adalah bukti paling awal dari studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk memecahkan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia dari sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid datang dengan metode solusi geometris yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi untuk persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar adalah seorang ilmuwan India. Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ax2 + bx = c, a>0

Dalam persamaan ini, koefisien bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.

Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: "Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang daripada kemuliaannya dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Dalam risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linear dan kuadrat diberikan. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:

1) “Persegi sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.

2) “Persegi sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.

3) "Akar sama dengan bilangan", yaitu ax2 = c.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari tipe pertama, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat memecahkan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat pada model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dijelaskan dalam “Book of the Abacus”, yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari buku ini dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropa abad 14-17. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat kerja Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lain, cara memecahkan persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Pertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Cara standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

1. Faktorisasi ruas kiri persamaan.
2. Metode seleksi persegi penuh.
3. Solusi persamaan kuadrat dengan rumus.
4. Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
5. Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita membahas lebih detail tentang solusi persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, cukup untuk menemukan dua bilangan sedemikian rupa sehingga produknya sama dengan suku bebas, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan.

Contoh.x 2 -5x+6=0

Anda perlu menemukan angka yang produknya 6 dan jumlahnya 5. Angka-angka ini akan menjadi 3 dan 2.

jawaban: x 1 = 2, x 2 =3.

Tetapi Anda dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama yang tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Kami mengambil koefisien pertama dan mengalikannya dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasilkalinya - 15, dan jumlahnya - 2. Angka-angka ini adalah 5 dan 3. Untuk menemukan akar-akar persamaan awal, kita bagi akar-akar yang diperoleh dengan koefisien pertama.

jawaban: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Penyelesaian persamaan dengan metode "transfer".

Pertimbangkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mengalikan kedua bagiannya dengan a, kita mendapatkan persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, dari mana x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, yang ekivalen dengan yang diberikan. Kami menemukan akarnya di 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" padanya, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang paling penting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita "transfer" koefisien 2 ke suku bebas dan dengan menggantinya kita mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Menurut teorema invers Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Biarkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 diberikan.

1. Jika a + b + c \u003d 0 (yaitu, jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 \u003d 1.

2. Jika a - b + c \u003d 0, atau b \u003d a + c, maka x 1 \u003d - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), maka x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), lalu x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. tetapi penggunaannya lebih rumit.

8. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Ini adalah metode lama dan saat ini terlupakan untuk memecahkan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk Pemecahan Persamaan z2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dengan koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Asumsi OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 kesamaan segitiga SAN dan CDF kita mendapatkan proporsi

dimana, setelah substitusi dan penyederhanaan, persamaan berikut: z 2 + pz + q = 0, dan surat z berarti label dari setiap titik pada skala melengkung.

Beras. 2 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8,0 dan z 2 = 1,0

Jawaban: 8.0; 1.0.

2) Memecahkan persamaan menggunakan nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam aslinya, masalah ini dirumuskan sebagai berikut: "Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39."

Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibangun di sisi-sisinya sehingga sisi lain masing-masing adalah 2,5, oleh karena itu, luas masing-masing adalah 2,5x. Angka yang dihasilkan kemudian ditambahkan ke persegi ABCD baru, melengkapi empat persegi yang sama di sudut-sudut, sisi masing-masing adalah 2,5, dan luasnya adalah 6,25

Beras. 3 Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4∙2,5x = 10x) dan empat persegi terlampir (6,25∙4 = 25), mis. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Mengganti x 2 + 10x dengan angka 39, kita mendapatkan bahwa S \u003d 39 + 25 \u003d 64, yang menyiratkan bahwa sisi persegi ABCD, yaitu. segmen AB \u003d 8. Untuk sisi x yang diinginkan dari bujur sangkar asli, kita dapatkan

10. Penyelesaian persamaan menggunakan teorema Bezout.

teorema Bezout. Sisanya setelah membagi polinomial P(x) dengan binomial x - sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = ).

Jika bilangan adalah akar dari polinomial P(x), maka polinomial ini habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

(x)= x²-4x+3, : ±1,±3, =1, 1-4+3=0. Bagi P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; jawaban: x1 = 2, x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional hanya diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, misalnya persamaan rasional pecahan, persamaan pangkat lebih tinggi, persamaan biquadratic, dan dalam persamaan trigonometri, eksponensial, dan logaritma sekolah menengah. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan dengan properti koefisien (7), karena mereka lebih mudah diakses untuk dipahami .

Literatur:

1. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
2. Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pencerahan, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Sebuah panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.

1. Temukan diskriminannya D sesuai rumus D= -4ac.

2.Jika D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Jika D=0, maka persamaan memiliki satu akar:

4. Jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar:

Sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kita 3 -10x+3=0,

dimana =3, b=-10 dan c=3.

Menemukan diskriminan:

D= -4*3*3=64

Karena D>0, maka persamaan ini memiliki dua akar. Kami menemukan mereka:

; .

Jadi, akar-akar polinomial f(x)=3 -10+3 akan menjadi nomor 3 dan .

Skema Horner

Skema Horner(atau aturan Horner, metode Horner) - algoritma untuk menghitung nilai polinomial, ditulis sebagai jumlah polinomial (monomial), untuk nilai variabel tertentu . Dia, pada gilirannya, membantu kita mengetahui apakah bilangan tersebut adalah akar dari polinomial yang diberikan atau tidak.

Pertama, pertimbangkan bagaimana polinomial dibagi f(x) menjadi binomial g(x).

Ini dapat ditulis sebagai berikut: f(x):g(x)=n(x), di mana f(x)- dividen, g(x)- pembagi n(x)- pribadi.

Tetapi dalam kasus ketika f(x) tidak habis dibagi g(x) ada notasi umum dari ekspresi

Di sini, derajat r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Pertimbangkan untuk membagi polinomial dengan binomial. Biarlah

,

Kita mendapatkan

Dimana r adalah bilangan karena derajat r harus lebih kecil dari derajat (x-c).

Mari berlipat ganda s(x) dan dapatkan

Jadi, ketika membagi dengan binomial, dimungkinkan untuk menentukan koefisien hasil bagi dari rumus yang diperoleh. Metode penentuan koefisien ini disebut skema Horner.

				...
	+			...
c				...	r

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh penerapan skema Horner.

Contoh. Lakukan pembagian polinomial f(x)= pada x+3.

Keputusan. Pada awalnya perlu untuk menulis x+3) sebagai ( x-(-3)), karena tepat -3 akan berpartisipasi dalam skema itu sendiri.Di baris atas kita akan menulis koefisien, di baris bawah - hasil dari tindakan.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Menemukan akar menurut skema Horner. Jenis akar

Menurut skema Horner, seseorang dapat menemukan akar bilangan bulat dari polinomial f(x). Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Contoh. Temukan semua akar bilangan bulat dari polinomial f(x)= , menggunakan skema Horner.

Keputusan. Koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat. Koefisien sebelum derajat tertinggi (dalam kasus kami sebelumnya) sama dengan satu. Oleh karena itu, kami akan mencari akar bilangan bulat dari polinomial di antara pembagi dari istilah bebas (kami memiliki 15), ini adalah angka:

Mari kita mulai dengan nomor 1.

Tabel 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Dari tabel yang dihasilkan dapat dilihat bahwa untuk =1 polinomial dari polinomial f(x)= , kita mendapatkan sisa r=192, bukan 0, yang berarti bahwa satuannya bukan akar. Oleh karena itu, kami melanjutkan pemeriksaan di = -1. Untuk melakukan ini, kami tidak akan membuat tabel baru, tetapi melanjutkan yang lama, dan mencoret data yang tidak lagi diperlukan.

Tabel nomor 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Seperti yang bisa kita lihat dari tabel, sel terakhir ternyata nol, yang berarti r=0. Karena itu? angka -1 adalah akar dari polinomial ini. Membagi polinomial polinomial kami f(x)= pada ()=x+1 kita mendapatkan polinomial

f(x)=(x+1)(),

koefisien yang kami ambil dari baris ketiga tabel No. 2.

Kami juga dapat membuat notasi yang setara

(x+1)(). Tandai dia (1)

Sekarang perlu untuk melanjutkan pencarian akar bilangan bulat, tetapi baru sekarang kita akan mencari akar polinomial. Kita akan mencari akar-akar ini di antara suku bebas polinomial, bilangan 45.

Mari kita periksa kembali angka -1.

Tabel #3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Jadi, bilangan -1 adalah akar dari polinomial tersebut, dapat ditulis sebagai

Dengan memperhatikan persamaan (2), kita dapat menulis persamaan (1) dalam bentuk berikut:

Sekarang kita mencari akar untuk polinomial, lagi-lagi di antara pembagi dari suku bebas. Mari kita periksa kembali angka -1.

Tabel No. 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Berdasarkan tabel tersebut, kita melihat bahwa bilangan -1 adalah akar dari polinomial.

Diberikan (3*), kita dapat menulis ulang persamaan (2*) sebagai:

Sekarang kita akan mencari root untuk . Sekali lagi kita melihat pembagi dari istilah bebas. Mari kita mulai mengecek kembali dengan angka -1.

Tabel nomor 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Kami mendapat sisa yang tidak sama dengan nol, yang berarti bahwa angka -1 bukan akar polinomial. Yuk cek nomor 1 selanjutnya.

Tabel No.6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

Dan kita lihat lagi tidak cocok, sisanya adalah r(x) = 24. Kita ambil bilangan baru.

Mari kita periksa nomor 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Nomor meja 7

r(x)= 0, ini berarti bahwa bilangan 3 adalah akar dari polinomial, kita dapat menulis polinomial ini sebagai:

=(x-3)( )

Mengingat ekspresi yang dihasilkan, kita dapat menulis persamaan (5) sebagai berikut:

(x-3)( ) (6)

Mari kita periksa sekarang untuk polinomial

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabel No.8

Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa angka 3 adalah akar dari polinomial . Sekarang mari kita tulis yang berikut ini:

Kami menulis kesetaraan (5*), dengan mempertimbangkan ekspresi yang dihasilkan, sebagai berikut:

(x-3)()= = .

Temukan akar untuk binomial di antara pembagi dari istilah bebas.

Mari kita ambil nomor 5

Tabel No. 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, jadi 5 adalah akar binomial.

Dengan demikian, kita dapat menulis

Solusi untuk contoh ini adalah tabel nomor 8.

Seperti dapat dilihat dari tabel, angka -1; 3; 5 adalah akar dari polinomial.

Sekarang mari kita langsung ke jenis akar.

1 adalah akar dari derajat ketiga, karena tanda kurung (x + 1) berada di derajat ketiga;

3- akar derajat kedua, tanda kurung (x-3) di derajat kedua;

5 adalah akar dari derajat pertama atau, dengan kata lain, sederhana.

Persamaan kuadrat sering muncul dalam sejumlah masalah matematika dan fisika, sehingga setiap siswa harus dapat menyelesaikannya. Artikel ini membahas secara rinci metode utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dan juga memberikan contoh penggunaannya.

Persamaan apa yang disebut kuadrat?

Pertama-tama, kami akan menjawab pertanyaan paragraf ini untuk lebih memahami apa yang akan dibahas dalam artikel. Jadi, persamaan kuadrat memiliki bentuk umum berikut: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, di mana a, b, c adalah beberapa angka, yang disebut koefisien. Di sini a≠0 adalah kondisi wajib, jika tidak, persamaan yang ditunjukkan akan berubah menjadi persamaan linier. Koefisien yang tersisa (b, c) benar-benar dapat mengambil nilai apa pun, termasuk nol. Jadi, ekspresi seperti a*x 2 =0, di mana b=0 dan c=0 atau c+a*x 2 =0, di mana b=0, atau b*x+a*x 2 =0, di mana c=0 - ini juga persamaan kuadrat, yang disebut tidak lengkap, karena di dalamnya baik koefisien linier b sama dengan nol, atau suku konstan c adalah nol, atau keduanya hilang.

Persamaan di mana a \u003d 1 disebut tereduksi, yaitu memiliki bentuk: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.

Solusi dari persamaan kuadrat adalah menemukan nilai x yang memenuhi persamaannya. Nilai-nilai ini disebut akar. Karena persamaan yang dibahas adalah ekspresi derajat kedua, ini berarti bahwa jumlah maksimum akarnya tidak boleh lebih dari dua.

Metode apa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang ada

Secara umum, ada 4 metode solusi. Nama-nama mereka tercantum di bawah ini:

1. Faktorisasi.
2. Lengkapi alun-alun.
3. Menggunakan rumus terkenal (melalui diskriminan).
4. Solusinya adalah geometris.

Seperti yang jelas dari daftar di atas, tiga metode pertama adalah aljabar, sehingga mereka digunakan lebih sering daripada yang terakhir, yang melibatkan plot grafik fungsi.

Ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Ini dapat dimasukkan ke 5 dalam daftar di atas, namun ini tidak dilakukan, karena teorema Vieta adalah konsekuensi sederhana dari metode ke-3.

Metode nomor 1. Faktorisasi

Ada nama yang bagus untuk metode ini dalam matematika persamaan kuadrat: faktorisasi. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: persamaan kuadrat harus disajikan sebagai produk dari dua istilah (ekspresi), yang harus sama dengan nol. Setelah representasi seperti itu, seseorang dapat menggunakan properti produk, yang akan sama dengan nol hanya jika satu atau lebih (semua) anggotanya adalah nol.

Sekarang perhatikan urutan tindakan spesifik yang perlu dilakukan untuk menemukan akar persamaan:

1. Pindahkan semua anggota ke satu bagian ekspresi (misalnya, ke kiri) sehingga hanya 0 yang tersisa di bagian lainnya (kanan).
2. Nyatakan jumlah suku dalam satu bagian persamaan sebagai produk dari dua persamaan linier.
3. Samakan setiap ekspresi linier menjadi nol dan selesaikan.

Seperti yang Anda lihat, algoritma faktorisasi cukup sederhana, namun, sebagian besar siswa mengalami kesulitan selama penerapan poin ke-2, jadi kami akan menjelaskannya secara lebih rinci.

Untuk menebak 2 ekspresi linier mana, ketika dikalikan satu sama lain, akan memberikan persamaan kuadrat yang diinginkan, Anda perlu mengingat dua aturan sederhana:

• Koefisien linier dari dua ekspresi linier, ketika dikalikan satu sama lain, harus memberikan koefisien pertama dari persamaan kuadrat, yaitu angka a.
• Suku-suku bebas dari ekspresi linier, ketika dikalikan, harus memberikan bilangan c dari persamaan yang diinginkan.

Setelah semua jumlah faktor dipilih, mereka harus dikalikan, dan jika mereka memberikan persamaan yang diinginkan, lanjutkan ke langkah 3 dalam algoritma di atas, jika tidak, faktor harus diubah, tetapi ini harus dilakukan agar aturan di atas selalu terpenuhi.

Contoh solusi faktorisasi

Kami akan menunjukkan dengan jelas bagaimana membuat algoritma untuk memecahkan persamaan kuadrat dan menemukan akar yang tidak diketahui. Biarkan ekspresi arbitrer diberikan, misalnya, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Mari kita beralih ke solusinya, mengamati urutan poin dari 1 hingga 3, yang ditetapkan dalam paragraf artikel sebelumnya.

Butir 1. Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri dan menyusunnya dalam barisan klasik untuk persamaan kuadrat. Kami memiliki persamaan berikut: 2*x+(-8)+x 2 =0.

Poin 2. Kami memecahnya menjadi produk persamaan linier. Karena a=1, dan c=-8, maka kita akan memilih, misalnya, produk seperti itu (x-2)*(x+4). Ini memenuhi aturan untuk menemukan faktor yang diharapkan yang ditetapkan dalam paragraf di atas. Jika kita membuka tanda kurung, kita mendapatkan: -8+2*x+x 2 , yaitu, kita mendapatkan ekspresi yang sama persis seperti di sisi kiri persamaan. Ini berarti bahwa kami menebak pengali dengan benar, dan kami dapat melanjutkan ke langkah ke-3 dari algoritma.

Butir 3. Kami menyamakan setiap faktor dengan nol, kami mendapatkan: x=-4 dan x=2.

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksa dengan mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli. Dalam hal ini, kita memiliki: 2*2+2 2 -8=0 dan 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Akar ditemukan dengan benar.

Jadi, dengan metode faktorisasi, kami menemukan bahwa persamaan yang diberikan memiliki dua akar yang berbeda: 2 dan -4.

Metode #2. Lengkapi kuadrat penuh

Dalam aljabar persamaan kuadrat, metode pengali tidak selalu dapat digunakan, karena dalam hal nilai pecahan dari koefisien persamaan kuadrat, kesulitan muncul dalam penerapan paragraf 2 dari algoritma.

Metode kuadrat penuh, pada gilirannya, bersifat universal dan dapat diterapkan pada persamaan kuadrat jenis apa pun. Esensinya adalah untuk melakukan operasi berikut:

1. Suku-suku persamaan yang memuat koefisien a dan b harus dipindahkan ke satu bagian persamaan, dan suku bebas c ke bagian lain.
2. Selanjutnya, bagian persamaan (kanan dan kiri) harus dibagi dengan koefisien a, yaitu persamaan tersebut harus disajikan dalam bentuk tereduksi (a=1).
3. Jumlah suku dengan koefisien a dan b direpresentasikan sebagai kuadrat dari persamaan linier. Karena a \u003d 1, maka koefisien linier akan sama dengan 1, sedangkan untuk suku bebas persamaan linier, maka itu harus sama dengan setengah koefisien linier dari persamaan kuadrat tereduksi. Setelah kuadrat dari ekspresi linier dibuat, perlu untuk menambahkan angka yang sesuai ke sisi kanan persamaan, di mana suku bebas berada, yang diperoleh dengan membuka kuadrat.
4. Ambil akar kuadrat dengan tanda "+" dan "-" dan selesaikan persamaan linier yang sudah diperoleh.

Algoritma yang dijelaskan mungkin pada pandangan pertama dianggap agak rumit, namun, dalam praktiknya lebih mudah diterapkan daripada metode faktorisasi.

Contoh penyelesaian menggunakan komplemen kuadrat penuh

Kami memberikan contoh persamaan kuadrat untuk melatih solusinya dengan metode yang dijelaskan dalam paragraf sebelumnya. Biarkan persamaan kuadrat -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Kita mulai menyelesaikannya, mengikuti algoritma yang dijelaskan di atas.

Butir 1. Kami menggunakan metode transfer ketika menyelesaikan persamaan kuadrat, kami mendapatkan: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.

Angka 2. Bentuk reduksi dari persamaan ini diperoleh dengan membagi dengan angka 5 dari masing-masing anggotanya (jika persamaan adalah kedua bagian dibagi atau dikalikan dengan angka yang sama, maka persamaan tersebut akan dipertahankan). Sebagai hasil dari transformasi, kita mendapatkan: x 2 - 6/5 * x = 2.

Butir 3. Setengah dari koefisien - 6/5 sama dengan -6/10 = -3/5, kami menggunakan angka ini untuk membuat persegi penuh, kami mendapatkan: (-3/5 + x) 2 . Kami memperluasnya dan suku bebas yang dihasilkan harus dikurangi dari sisi kiri persamaan untuk memenuhi bentuk asli persamaan kuadrat, yang setara dengan menambahkannya ke sisi kanan. Hasilnya, kita mendapatkan: (-3/5+x) 2 = 59/25.

Butir 4. Kami menghitung akar kuadrat dengan tanda positif dan negatif dan menemukan akarnya: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Dua akar yang ditemukan memiliki nilai sebagai berikut: x 1 = (√59+3)/5 dan x 1 = (3-√59)/5.

Karena perhitungan yang dilakukan terkait dengan akar, ada kemungkinan besar untuk membuat kesalahan. Oleh karena itu, disarankan untuk memeriksa kebenaran akar x 2 dan x 1 . Kami mendapatkan untuk x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Sekarang substitusikan x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Dengan demikian, kami telah menunjukkan bahwa akar-akar persamaan yang ditemukan adalah benar.

Metode nomor 3. Penerapan rumus terkenal

Metode penyelesaian persamaan kuadrat ini mungkin yang paling sederhana, karena terdiri dari mensubstitusikan koefisien ke dalam rumus yang diketahui. Untuk menggunakannya, Anda tidak perlu memikirkan menyusun algoritma solusi, cukup mengingat satu rumus saja. Hal ini ditunjukkan pada gambar di atas.

Dalam rumus ini, ekspresi akar (b 2 -4*a*c) disebut diskriminan (D). Dari nilainya tergantung pada akar apa yang diperoleh. 3 kasus yang mungkin:

• D>0, maka akar dua persamaan mempunyai persamaan real dan berbeda.
• D=0, maka diperoleh satu akar yang dapat dihitung dari ekspresi x = -b / (a ​​* 2).
• D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

Contoh penyelesaian melalui perhitungan diskriminan

Berikut adalah contoh persamaan kuadrat untuk berlatih menggunakan rumus di atas. Cari akar dari -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Pertama, hitung nilai diskriminannya, kita peroleh: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.

Sejak menerima D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Metode nomor 4. Menggunakan Grafik Fungsi

Ini juga disebut metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Harus dikatakan bahwa ini digunakan, sebagai suatu peraturan, bukan untuk kuantitatif, tetapi untuk analisis kualitatif dari persamaan yang dipertimbangkan.

Inti dari metode ini adalah untuk memplot fungsi kuadrat y = f(x), yang merupakan parabola. Kemudian, perlu untuk menentukan di titik mana sumbu absis (X) dari parabola berpotongan, mereka akan menjadi akar dari persamaan yang sesuai.

Untuk mengetahui apakah parabola akan memotong sumbu x, cukup mengetahui posisi minimum (maksimum) dan arah cabangnya (dapat bertambah atau berkurang). Ada dua sifat kurva ini yang perlu diingat:

• Jika a>0 - parabola cabang diarahkan ke atas, sebaliknya, jika a<0, то они идут вниз.
• Koordinat minimum (maksimum) parabola selalu x = -b/(2*a).

Misalnya, perlu untuk menentukan apakah persamaan -4*x+5*x 2 +10 = 0 memiliki akar Parabola yang sesuai akan diarahkan ke atas, karena a=5>0. Ekstremnya memiliki koordinat: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2. Karena kurva minimum terletak di atas sumbu x (y=9,2), kurva tersebut tidak memotong yang terakhir untuk nilai x apa pun. Artinya, persamaan yang diberikan tidak memiliki akar real.

teorema Vieta

Seperti disebutkan di atas, teorema ini merupakan konsekuensi dari metode No. 3, yang didasarkan pada penerapan rumus dengan diskriminan. Inti dari teorema Vieta adalah memungkinkan Anda untuk menghubungkan koefisien persamaan dan akarnya ke dalam persamaan. Kami mendapatkan persamaan yang sesuai.

Mari kita gunakan rumus untuk menghitung akar melalui diskriminan. Mari kita tambahkan dua akar, kita mendapatkan: x 1 + x 2 \u003d -b / a. Sekarang kita kalikan akarnya satu sama lain: x 1 * x 2, setelah serangkaian penyederhanaan, kita mendapatkan angka c / a.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan teorema Vieta, Anda dapat menggunakan dua persamaan yang diperoleh. Jika ketiga koefisien persamaan diketahui, maka akar-akarnya dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem yang sesuai dari kedua persamaan ini.

Contoh penggunaan teorema Vieta

Persamaan kuadrat perlu dibuat jika diketahui memiliki bentuk x 2 + c \u003d -b * x dan akarnya adalah 3 dan -4.

Karena dalam persamaan yang dipertimbangkan a \u003d 1, maka rumus Vieta akan terlihat seperti: x 2 + x 1 \u003d -b dan x 2 * x 1 \u003d c. Mengganti nilai akar yang diketahui, kita mendapatkan: b = 1 dan c = -12. Akibatnya, persamaan kuadrat yang dipulihkan akan terlihat seperti: x 2 -12 = -1*x. Anda dapat mengganti nilai akar ke dalamnya dan memastikan bahwa persamaan tersebut berlaku.

Aplikasi kebalikan dari teorema Vieta, yaitu, perhitungan akar sesuai dengan bentuk persamaan yang diketahui, memungkinkan Anda untuk dengan cepat (secara intuitif) menemukan solusi untuk bilangan bulat kecil a, b dan c.

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Kemampuan untuk menyelesaikannya sangat penting.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana koefisien a , b dan c adalah bilangan arbitrer, dan a 0.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian tertentu, kami mencatat bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

1. Tidak memiliki akar;
2. Mereka memiliki tepat satu akar;
3. Mereka memiliki dua akar yang berbeda.

Ini adalah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan linier, di mana akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - pembeda.

diskriminatif

Misalkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya adalah bilangan D = b 2 4ac .

Rumus ini harus diketahui dengan hati. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan, Anda dapat menentukan berapa banyak akar persamaan kuadrat. Yaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, ada tepat satu akar;
3. Jika D > 0, akan ada dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan sama sekali bukan tandanya, seperti yang dipikirkan banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contoh-contoh dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 6x + 9 = 0.

Kami menulis koefisien untuk persamaan pertama dan menemukan diskriminannya:
a = 1, b = 8, c = 12;
D = (−8) 2 4 1 12 = 64 48 = 16

Jadi, diskriminannya positif, sehingga persamaan memiliki dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir tetap:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 4 1 9 = 36 36 = 0.

Diskriminan sama dengan nol - akarnya adalah satu.

Perhatikan bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan - tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan tidak membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda "mengisi tangan Anda", setelah beberapa saat Anda tidak perlu lagi menulis semua koefisien. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini di suatu tempat setelah persamaan diselesaikan 50-70 - secara umum, tidak begitu banyak.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Rumus dasar untuk akar persamaan kuadrat

Ketika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu dari rumus ini - Anda mendapatkan angka yang sama, yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

persamaan pertama:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = 2; c = -3;
D = (−2) 2 4 1 (−3) = 16.

D > 0 persamaan memiliki dua akar. Mari temukan mereka:

Persamaan kedua:
15 2x x 2 = 0 a = 1; b = 2; c = 15;
D = (−2) 2 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 persamaan kembali memiliki dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 4 1 36 = 0.

D = 0 persamaan memiliki satu akar. Formula apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda tahu rumus dan bisa menghitung, tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi ketika koefisien negatif disubstitusikan ke dalam rumus. Di sini, sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat formula secara harfiah, lukis setiap langkah - dan singkirkan kesalahan segera.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat agak berbeda dari apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu suku hilang dalam persamaan ini. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak perlu menghitung diskriminan. Jadi mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu koefisien variabel x atau elemen bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit dimungkinkan ketika kedua koefisien ini sama dengan nol: b \u003d c \u003d 0. Dalam hal ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 \u003d 0. Jelas, persamaan seperti itu memiliki satu akar: x \u003d 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lain. Biarkan b \u003d 0, maka kita mendapatkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 + c \u003d 0. Mari kita ubah sedikit:

Karena akar kuadrat aritmatika hanya ada dari bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal jika (−c / a ) 0. Kesimpulan:

1. Jika persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 memenuhi pertidaksamaan (−c / a ) 0, akan ada dua akar. Rumus diberikan di atas;
2. Jika (−c / a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan - tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c / a ) 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, akan ada dua akar. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana elemen bebas sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup memfaktorkan polinomialnya:

Mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung

Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, kami akan menganalisis beberapa persamaan ini:

Tugas. Memecahkan persamaan kuadrat:

1. x2 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 9 = 0.

x 2 7x = 0 x (x 7) = 0 x 1 = 0; x2 = (−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. Tidak ada akar, karena kuadrat tidak boleh sama dengan bilangan negatif.

4x 2 9 = 0 4x 2 = 9 x 2 = 9/4 x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.