Konsep akar ke-n dari bilangan real. Akar derajat ke-n: definisi, sebutan, contoh

Skrip pelajaran di kelas 11 dengan topik:

Akar ke-n dari bilangan real. »

Tujuan pelajaran: Pembentukan pada siswa dari pandangan holistik dari akar n-th derajat dan akar aritmatika derajat n, pembentukan keterampilan komputasi, keterampilan penggunaan sadar dan rasional dari sifat-sifat akar dalam memecahkan berbagai masalah yang mengandung radikal. Untuk memeriksa tingkat penguasaan pertanyaan topik oleh siswa.

Subjek:ciptakan kondisi yang bermakna dan organisasional untuk asimilasi materi pada topik " Ekspresi numerik dan alfabet » pada tingkat persepsi, pemahaman dan hafalan primer; untuk membentuk kemampuan untuk menerapkan informasi ini saat menghitung akar derajat ke-n dari bilangan real;

Metasubjek: mempromosikan pengembangan keterampilan komputasi; kemampuan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi, menarik kesimpulan;

Pribadi: untuk menumbuhkan kemampuan untuk mengungkapkan sudut pandang seseorang, mendengarkan jawaban orang lain, mengambil bagian dalam dialog, membentuk kemampuan untuk kerjasama yang positif.

Hasil yang direncanakan.

Subjek: dapat menerapkan sifat-sifat akar derajat ke-n dari bilangan real dalam proses situasi nyata saat menghitung akar, menyelesaikan persamaan.

Pribadi: untuk membentuk perhatian dan akurasi dalam perhitungan, sikap menuntut terhadap diri sendiri dan pekerjaan seseorang, untuk menumbuhkan rasa saling membantu.

Jenis pelajaran: pelajaran belajar dan konsolidasi utama pengetahuan baru

Motivasi kegiatan belajar:

Kebijaksanaan Timur mengatakan: "Anda bisa membawa kuda ke air, tetapi Anda tidak bisa membuatnya minum." Dan tidak mungkin memaksa seseorang untuk belajar dengan baik jika dia sendiri tidak berusaha untuk belajar lebih banyak, tidak memiliki keinginan untuk bekerja pada perkembangan mentalnya. Bagaimanapun, pengetahuan hanyalah pengetahuan ketika diperoleh dengan upaya pemikiran seseorang, dan bukan dengan ingatan saja.

Pelajaran kita akan diadakan di bawah moto: "Kita akan menaklukkan puncak apa pun jika kita berjuang untuk itu." Selama pelajaran, Anda dan saya perlu memiliki waktu untuk mengatasi beberapa puncak, dan Anda masing-masing harus mengerahkan semua upaya Anda untuk menaklukkan puncak ini.

“Hari ini kita memiliki pelajaran di mana kita harus berkenalan dengan konsep baru: “akar ke-n” dan belajar bagaimana menerapkan konsep ini pada transformasi berbagai ekspresi.

Tujuan Anda adalah untuk mengaktifkan pengetahuan yang ada berdasarkan berbagai bentuk pekerjaan, berkontribusi pada studi materi dan mendapatkan nilai bagus.
Kami mempelajari akar kuadrat dari bilangan real di kelas 8. Akar kuadrat terkait dengan fungsi tampilan kamu=x 2. Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menghitung akar kuadrat, dan properti apa yang dimilikinya?
a) survei individu:

ekspresi apa ini

apa itu akar kuadrat

apa itu akar kuadrat aritmatika

daftar sifat-sifat akar kuadrat

b) bekerja berpasangan: hitung.

2. Memperbarui pengetahuan dan menciptakan situasi masalah: Selesaikan persamaan x 4 =1. Bagaimana kita bisa menyelesaikannya? (Secara analitis dan grafis). Mari kita selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d x 4 garis lurus y \u003d 1 (Gbr. 164 a). Mereka berpotongan di dua titik: A (-1;1) dan B(1;1). Absis titik A dan B, mis. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, adalah akar dari persamaan x 4 \u003d 1.
Berdebat dengan cara yang sama, kami menemukan akar persamaan x 4 \u003d 16: Sekarang mari kita coba selesaikan persamaan x 4 \u003d 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 164 b. Jelas bahwa persamaan memiliki dua akar x 1 dan x 2, dan angka-angka ini, seperti dalam dua kasus sebelumnya, saling berlawanan. Tetapi untuk dua persamaan pertama, akarnya ditemukan tanpa kesulitan (mereka juga dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), dan ada masalah dengan persamaan x 4 \u003d 5: menurut gambar, kami tidak dapat menunjukkan nilainya \ u200b\u200bdari akar, tetapi kami hanya dapat menetapkan bahwa satu akar terletak di titik kiri -1, dan yang kedua - di sebelah kanan titik 1.

x 2 \u003d - (baca: "akar keempat dari lima").

Kami berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a 0. Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a 0, dan n adalah bilangan asli apa pun. Misalnya, memecahkan secara grafis persamaan x 5 \u003d 1, kami menemukan x \u003d 1 (Gbr. 165); menyelesaikan persamaan x 5 "= 7, kami menetapkan bahwa persamaan tersebut memiliki satu akar x 1, yang terletak pada sumbu x sedikit di sebelah kanan titik 1 (lihat Gambar 165). Untuk bilangan x 1, kami memperkenalkan notasi.

Definisi 1. Akar derajat ke-n dari bilangan non-negatif a (n = 2, 3.4, 5, ...) adalah bilangan non-negatif yang, jika dipangkatkan n, menghasilkan bilangan a.

Bilangan ini dilambangkan, bilangan a disebut bilangan akar, dan bilangan n adalah indeks akar.
Jika n = 2, maka mereka biasanya tidak mengatakan "akar pangkat dua", tetapi mengatakan ""akar kuadrat". Dalam hal ini, mereka tidak menulis. Ini adalah kasus khusus yang Anda pelajari secara khusus di kelas 8. mata kuliah aljabar kelas.

Jika n \u003d 3, maka alih-alih "akar derajat ketiga" mereka sering mengatakan "akar kubus". Kenalan pertama Anda dengan akar pangkat tiga juga terjadi di kursus aljabar kelas 8. Kami menggunakan akar pangkat tiga dalam kursus aljabar kelas 9.

Jadi, jika a 0, n= 2,3,4,5,…, maka 1) 0; 2) () n = a.

Secara umum, =b dan b n =a - hubungan yang sama antara bilangan non-negatif a dan b, tetapi yang kedua dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana (menggunakan simbol yang lebih sederhana) daripada yang pertama.

Operasi pencarian akar bilangan non-negatif biasanya disebut ekstraksi akar. Operasi ini adalah kebalikan dari menaikkan ke daya yang sesuai. Membandingkan:

Perhatikan lagi: hanya angka positif yang muncul di tabel, karena ini ditentukan dalam definisi 1. Dan meskipun, misalnya, (-6) 6 \u003d 36 adalah persamaan yang benar, beralihlah dari itu ke notasi menggunakan akar kuadrat, mis. menulis apa yang Anda tidak bisa. Menurut definisi - angka positif, jadi = 6 (dan bukan -6). Dengan cara yang sama, meskipun 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, melewati tanda-tanda akar, kita harus menulis \u003d 2 (dan pada saat yang sama -2).

Terkadang ungkapan itu disebut radikal (dari kata Latin gadix - "root"). Di Rusia, istilah radikal cukup sering digunakan, misalnya, "perubahan radikal" berarti "perubahan radikal". Ngomong-ngomong, penunjukan akarnya mengingatkan pada kata gadix: simbolnya adalah huruf bergaya r.

Operasi ekstraksi akar juga ditentukan untuk bilangan akar negatif, tetapi hanya dalam kasus eksponen akar ganjil. Dengan kata lain, persamaan (-2) 5 = -32 dapat ditulis ulang dalam bentuk ekuivalennya sebagai =-2. Di sini definisi berikut digunakan.

Definisi 2. Akar derajat ganjil n dari bilangan negatif a (n = 3,5, ...) adalah bilangan negatif yang jika dipangkatkan n menghasilkan bilangan a.

Angka ini, seperti dalam definisi 1, dilambangkan dengan , angka a adalah angka akar, angka n adalah indeks akar.
Jadi, jika a, n=,5,7,…, maka: 1) 0; 2) () n = a.

Jadi, akar genap masuk akal (yaitu, didefinisikan) hanya untuk ekspresi radikal non-negatif; akar ganjil masuk akal untuk ekspresi radikal apa pun.

5. Konsolidasi primer pengetahuan:

1. Hitung: No No 33.5; 33.6; 33,74 33,8 secara lisan a) ; b) ; di) ; G) .

d) Tidak seperti contoh sebelumnya, kami tidak dapat menentukan nilai pasti dari angka tersebut. Hanya jelas bahwa itu lebih besar dari 2, tetapi kurang dari 3, karena 2 4 \u003d 16 (ini kurang dari 17), dan 3 4 \u003d 81 (ini lebih dari 17). Perhatikan bahwa 24 jauh lebih dekat dengan 17 daripada 34, jadi ada alasan untuk menggunakan perkiraan tanda sama dengan:
2. Temukan nilai dari ekspresi berikut.

Letakkan huruf yang sesuai di sebelah contoh.

Sedikit informasi tentang ilmuwan besar. René Descartes (1596-1650) Bangsawan Prancis, matematikawan, filsuf, ahli fisiologi, pemikir. Rene Descartes meletakkan dasar-dasar geometri analitik, memperkenalkan sebutan huruf x 2 , y 3 . Semua orang tahu koordinat Cartesian yang mendefinisikan fungsi dari suatu variabel.

3 . Selesaikan persamaan: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Keputusan: a) Jika = -2, maka y = -8. Faktanya, kita harus pangkat tiga untuk kedua bagian dari persamaan yang diberikan. Kita peroleh: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Berdebat seperti pada contoh a), kita naikkan kedua ruas persamaan ke pangkat keempat. Kita peroleh: x=1.

c) Di sini tidak perlu dinaikkan ke pangkat keempat, persamaan ini tidak memiliki solusi. Mengapa? Karena, menurut definisi 1, akar pangkat genap adalah bilangan non-negatif.
Ada beberapa tugas untuk perhatian Anda. Ketika Anda menyelesaikan tugas-tugas ini, Anda akan mempelajari nama dan nama belakang ahli matematika yang hebat. Ilmuwan ini pada tahun 1637 adalah orang pertama yang memperkenalkan tanda akar.

6. Ayo istirahat.

Kelas mengangkat tangannya - ini adalah "waktu".

Kepala menoleh - itu "dua".

Tangan ke bawah, lihat ke depan - ini adalah "tiga".

Tangan diputar lebih lebar ke samping pada "empat",

Menekan mereka ke tangan Anda dengan kekuatan adalah "lima".

Semua orang perlu duduk - ini adalah "enam".

7. Pekerjaan mandiri:

opsi: 2 opsi:

b.3. b) 12 -6.

2. Selesaikan persamaan: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Pengulangan: Tentukan akar persamaan = - x. Jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, tulis akar yang lebih kecil dalam jawaban.

9. Refleksi: Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran? Apa yang menarik? Apa yang sulit?

X 4 =1 dan selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d x n garis lurus y \u003d 1 (Gbr. 164 a). Mereka berpotongan di dua titik:

Mereka adalah akar dari persamaan x 4 \u003d 1.
Berdebat dengan cara yang sama, kami menemukan akar persamaan x 4 \u003d 16:

Dan sekarang mari kita coba selesaikan persamaan x 4 \u003d 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 164 b. Jelas bahwa persamaan memiliki dua akar x 1 dan x 2, dan angka-angka ini, seperti dalam dua kasus sebelumnya, saling berlawanan. Tetapi untuk dua persamaan pertama akar ditemukan tanpa kesulitan (mereka dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), tetapi ada masalah dengan persamaan x 4 \u003d 5: sesuai dengan gambar, kami tidak menentukan nilai akar, tetapi kami hanya dapat tentukan bahwa satu akar terletak di sebelah kiri titik -1, dan yang kedua - di sebelah kanan titik 1.
Dapat dibuktikan (dengan cara yang hampir sama seperti yang dilakukan dalam buku teks Aljabar-8 untuk bilangan l / b) bahwa x 1 dan x 2 adalah bilangan irasional (yaitu, pecahan desimal non-periodik tak terhingga).

Setelah bertemu situasi seperti itu untuk pertama kalinya, matematikawan menyadari bahwa mereka harus menemukan cara untuk menggambarkannya dalam bahasa matematika. Mereka mempertimbangkan simbol baru yang mereka sebut akar derajat keempat, dan dengan bantuan simbol ini, akar persamaan x 4 \u003d 5 ditulis sebagai berikut: (baca: "akar keempat dari lima").

Catatan 1. Bandingkan argumen ini dengan argumen serupa di 17, 32 dan 38. Istilah baru dan notasi baru dalam matematika muncul ketika mereka diperlukan untuk menggambarkan matematika baru model. Ini adalah cerminan dari kekhasan bahasa matematika: fungsi utamanya bukan komunikatif - untuk komunikasi, tetapi pengorganisasian - untuk mengatur pekerjaan yang sukses dengan model matematika di berbagai bidang pengetahuan.

Kami berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a > 0. Dengan keberhasilan yang sama, kita juga dapat berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a > 0, dan n adalah bilangan asli apa pun. Misalnya, memecahkan secara grafis persamaan x 5 \u003d 1, kami menemukan x \u003d 1 (Gbr. 165); menyelesaikan persamaan x 5 "= 7, kami menetapkan bahwa persamaan memiliki satu akar xr, yang terletak pada sumbu x sedikit di sebelah kanan titik 1 (lihat Gambar. 165). Untuk bilangan xx, kami memperkenalkan notasi Hh .

Secara umum, memecahkan persamaan x n \u003d a, di mana a> 0, n e N, n> 1, kami memperoleh dua akar dalam kasus genap n: (Gbr. 164, c); dalam kasus n ganjil - satu akar (terbaca: "akar derajat ke-n dari angka a"). Memecahkan persamaan x p \u003d 0, kita mendapatkan satu-satunya akar x \u003d 0.

Catatan 2. Dalam bahasa matematika, seperti dalam bahasa biasa, istilah yang sama diterapkan pada konsep yang berbeda; jadi, dalam kalimat sebelumnya, kata "akar" digunakan dalam dua arti: sebagai akar persamaan (Anda telah lama terbiasa dengan interpretasi seperti itu) dan sebagai akar dari tingkat ke-l dari angka (baru penafsiran). Biasanya jelas dari konteks interpretasi istilah mana yang dimaksudkan.

Kami sekarang siap untuk memberikan definisi yang tepat.

Definisi 1. Akar ke-l dari bilangan non-negatif a (n = 2, 3.4, 5, ...) adalah bilangan non-negatif yang, jika dipangkatkan ke n, menghasilkan bilangan a.

Bilangan ini dilambangkan, bilangan a disebut bilangan akar, dan bilangan n adalah indeks akar.
Jika n \u003d 2, maka mereka biasanya tidak mengatakan "akar derajat kedua", tetapi mengatakan ""akar kuadrat". Dalam hal ini, jangan tulis Ini adalah kasus khusus yang Anda pelajari secara khusus di kursus aljabar kelas 8.

Secara umum, ini adalah model matematika yang sama (hubungan yang sama antara bilangan non-negatif a dan b), tetapi hanya yang kedua dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana (menggunakan simbol yang lebih sederhana) daripada yang pertama.

Operasi pencarian akar bilangan non-negatif biasanya disebut ekstraksi akar. Operasi ini adalah kebalikan dari menaikkan ke daya yang sesuai. Membandingkan:

Contoh 1 Menghitung:

Namun, nilai perkiraan yang lebih akurat dari angka tersebut dapat ditemukan menggunakan kalkulator yang berisi operasi ekstraksi akar, kira-kira sama dengan
Operasi ekstraksi akar juga ditentukan untuk bilangan akar negatif, tetapi hanya dalam kasus eksponen akar ganjil. Dengan kata lain, persamaan (-2)5 =-32 dapat ditulis ulang dalam bentuk yang setara sebagai . Di sini definisi berikut digunakan.

Definisi 2. Akar derajat ganjil l dari bilangan negatif a (n \u003d 3.5, ...) adalah bilangan negatif yang, jika dipangkatkan n, menghasilkan bilangan a.

Angka ini, seperti dalam definisi 1, dilambangkan dengan , angka a adalah angka akar, angka n adalah indeks akar.
Jadi,

Jadi, akar genap masuk akal (yaitu, didefinisikan) hanya untuk ekspresi radikal non-negatif; akar ganjil masuk akal untuk ekspresi radikal apa pun.
Contoh 2. Selesaikan Persamaan:

Keputusan: dan jika Faktanya, kita harus pangkat tiga untuk kedua bagian dari persamaan yang diberikan. Kita mendapatkan:

b) Berdebat seperti pada contoh a), kita naikkan kedua ruas persamaan ke pangkat keempat. Kita mendapatkan:

A.G. Aljabar Mordkovich Tingkat 10

Isi pelajaran ringkasan pelajaran mendukung bingkai pelajaran presentasi metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan ujian mandiri lokakarya, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah pertanyaan diskusi pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video, dan multimedia foto, gambar grafik, tabel, skema humor, anekdot, lelucon, komik perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Add-on abstrak chip artikel untuk lembar contekan yang ingin tahu, buku teks dasar dan glosarium tambahan istilah lainnya Memperbaiki buku pelajaran dan pelajaranmengoreksi kesalahan dalam buku teks memperbarui fragmen dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun rekomendasi metodologis dari program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Pelajaran dan presentasi tentang topik: "akar ke-n dari bilangan real"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Masalah aljabar dengan parameter, nilai 9–11
"Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa untuk kelas 10 dan 11"

Akar derajat n. Pengulangan masa lalu.

Teman-teman, topik pelajaran hari ini disebut "akar ke-n dari bilangan real".
Kami mempelajari akar kuadrat dari bilangan real di kelas 8. Akar kuadrat diasosiasikan dengan fungsi berbentuk $y=x^2$. Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menghitung akar kuadrat, dan properti apa yang dimilikinya? Ulangi topik ini sendiri.
Mari kita pertimbangkan fungsi dari bentuk $y=x^4$ dan plot grafiknya.

Sekarang selesaikan persamaan secara grafis: $x^4=16$.
Mari kita menggambar garis lurus $y=16$ pada grafik fungsi kita dan lihat di titik mana kedua grafik kita berpotongan.
Grafik fungsi dengan jelas menunjukkan bahwa kita memiliki dua solusi. Fungsi berpotongan di dua titik dengan koordinat (-2;16) dan (2;16). Absis dari titik kita adalah solusi dari persamaan kita: $x_1=-2$ dan $x_2=2$. Mencari akar persamaan $x^4=1$ juga mudah, tentu saja $x_1=-1$ dan $x_2=1$.
Bagaimana jika ada persamaan $x^4=7$.
Mari kita plot fungsi kita:
Grafik kami dengan jelas menunjukkan bahwa persamaan juga memiliki dua akar. Mereka simetris terhadap sumbu y, yaitu berlawanan. Tidak mungkin menemukan solusi eksak dari grafik fungsi. Kami hanya dapat mengatakan bahwa solusi kami modulo kurang dari 2 tetapi lebih besar dari 1. Kami juga dapat mengatakan bahwa akar kami adalah bilangan irasional.
Menghadapi masalah seperti itu, matematikawan harus menggambarkannya. Mereka memperkenalkan notasi baru: $\sqrt()$, yang mereka sebut sebagai akar keempat. Kemudian akar persamaan kita $x^4=7$ akan ditulis dalam bentuk ini: $x_1=-\sqrt(7)$ dan $x_2=\sqrt(7)$. Bunyinya seperti akar keempat dari tujuh.
Kami berbicara tentang persamaan bentuk $x^4=a$, di mana $a>0$ $(a=1,7,16)$. Kita dapat mempertimbangkan persamaan dalam bentuk: $x^n=a$, di mana $a>0$, n adalah bilangan asli apa pun.
Kita harus memperhatikan derajat di x, apakah derajatnya genap atau ganjil - jumlah solusi berubah. Mari kita lihat contoh spesifik. Mari selesaikan persamaan $x^5=8$. Mari kita buat grafik fungsi:
Grafik fungsi dengan jelas menunjukkan bahwa dalam kasus kami, kami hanya memiliki satu solusi. Solusinya biasanya dilambangkan sebagai $\sqrt(8)$. Memecahkan persamaan bentuk $x^5=a$ dan berjalan di sepanjang sumbu y, mudah dipahami bahwa persamaan ini akan selalu memiliki satu solusi. Dalam hal ini, nilai a bisa kurang dari nol.

Akar derajat n. Definisi

Definisi. Akar derajat ke-n ($n=2,3,4…$) dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif, ketika dipangkatkan ke n, diperoleh bilangan a.

Angka ini dilambangkan sebagai $\sqrt[n](a)$. Bilangan a disebut bilangan akar, n adalah indeks akar.

Akar derajat kedua dan ketiga masing-masing disebut akar kuadrat dan kubik. Kami mempelajarinya di kelas delapan dan sembilan.
Jika $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, maka:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Operasi mencari akar bilangan non-negatif disebut "ekstraksi akar".
Eksponen dan ekstraksi akar adalah ketergantungan yang sama:

Teman-teman, harap dicatat bahwa hanya angka positif yang disajikan dalam tabel. Dalam definisi, kami menetapkan bahwa akar hanya diambil dari bilangan non-negatif a. Selanjutnya, kami akan membuat klarifikasi ketika dimungkinkan untuk mengekstrak akar dari angka negatif a.

Akar derajat n. Contoh solusi

Menghitung:
a) $\sqrt(64)$.
Solusi: $\sqrt(64)=8$ sejak $8>0$ dan $8^2=64$.

B) $\sqrt(0.064)$.
Solusi: $\sqrt(0.064)=0.4$ sejak $0.4>0$ dan $0.4^3=0.064$.

C) $\sqrt(0)$.
Solusi: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Solusi: Dalam contoh ini, kita tidak dapat menemukan nilai eksaknya, bilangan kita irasional. Tetapi kita dapat mengatakan bahwa itu lebih besar dari 2 dan kurang dari 3, karena 2 pangkat 5 adalah 32, dan 3 pangkat 5 adalah 243. 34 terletak di antara angka-angka ini. Kita dapat menemukan nilai perkiraan menggunakan kalkulator yang dapat menghitung akar $\sqrt(34)≈2.02$ dengan akurasi seperseribu.
Dalam definisi kami, kami sepakat untuk menghitung akar derajat ke-n hanya dari bilangan positif. Di awal pelajaran, kami melihat contoh bahwa Anda dapat mengekstrak akar derajat ke-n dari angka negatif. Kami telah mempertimbangkan eksponen fungsi yang aneh dan sekarang mari kita membuat beberapa klarifikasi.

Definisi. Akar derajat ganjil n (n = 3,5,7,9 ...) dari bilangan negatif a adalah bilangan negatif, ketika dipangkatkan n, a diperoleh.

Sebutan yang digunakan biasanya sama.
Jika $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Akar genap masuk akal hanya untuk nomor akar positif, akar ganjil masuk akal untuk nomor akar apa pun.

Contoh.
a) Selesaikan persamaan: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Solusi: Jika $\sqrt(y)=-3$ maka $y=-27$. Artinya, kedua sisi persamaan kita harus pangkat tiga.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Selesaikan persamaan: $\sqrt(2x-1)=1$.
Naikkan kedua bagian ke kekuatan keempat:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

C) Selesaikan persamaan: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Penyelesaian: Menurut definisi kami, akar derajat genap hanya dapat diambil dari bilangan positif, dan kami diberikan negatif, maka tidak ada akar.

D) Selesaikan persamaan: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Solusi: Naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat kelima:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ dan $x_2=3$.

Tugas untuk solusi independen

1. Hitung:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0.0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Selesaikan persamaan:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

atau menggunakan rumus selisih kuadrat seperti ini:

(x 2 -4) * (x 2 +4) \u003d 0.

Produk dari dua faktor sama dengan nol jika setidaknya salah satu dari mereka sama dengan nol.

Ekspresi x 2 +4 tidak bisa sama dengan nol, oleh karena itu, hanya (x 2 -4)=0 yang tersisa.

Kami menyelesaikannya, kami mendapatkan dua jawaban.

Jawaban: x=-2 dan x=2.

Kami mendapatkan bahwa persamaan x 4 \u003d 16 hanya memiliki 2 akar real. Ini adalah akar pangkat empat dari angka 16. Selain itu, akar positif disebut akar aritmatika derajat ke-4 dari angka 16. Dan mereka menunjukkan 4√16. Yaitu 4√16=2.

Definisi

Akar aritmatika dari derajat alami n>=2 dari bilangan non-negatif a adalah beberapa bilangan non-negatif, ketika dipangkatkan ke n, diperoleh bilangan a.

Dapat dibuktikan bahwa untuk sebarang a non-negatif dan n natural, persamaan x n = a akan memiliki satu akar tunggal non-negatif. Akar inilah yang disebut akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan a.

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan a dilambangkan sebagai berikut n√a.

Angka a dalam hal ini disebut ekspresi akar.

Dalam kasus ketika n = 2, mereka tidak menulis deuce, tetapi hanya menulis a.

Akar aritmatika derajat kedua dan ketiga memiliki nama khusus mereka.

Akar aritmatika derajat kedua disebut akar kuadrat, dan akar aritmatika derajat ketiga disebut akar pangkat tiga.

Dengan hanya menggunakan definisi akar aritmatika, dapat dibuktikan bahwa n√a sama dengan b. Untuk melakukan ini, Anda perlu menunjukkan bahwa:

1. b lebih besar dari atau sama dengan nol.
2. b n = a.

Misalnya, 3√(64) = 4, karena 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

Konsekuensi dari definisi akar aritmatika.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

Misalnya, (5√2) 5 = 2.

Mengekstrak akar ke-n

Mengekstraksi akar derajat ke-n adalah tindakan yang dengannya akar derajat ke-n ditemukan. Mengambil akar ke-n adalah kebalikan dari menaikkan pangkat ke-n.

Pertimbangkan sebuah contoh.

Selesaikan persamaan x 3 = -27.

Mari kita tulis ulang persamaan ini sebagai (-x) 3 =27.

Kami menempatkan y \u003d -x, lalu y 3 \u003d 27. Persamaan ini memiliki satu akar positif y= 3√27 = 3.

Persamaan ini tidak memiliki akar negatif, karena y 3

Kami mendapatkan bahwa persamaan y 3 \u003d 27 hanya memiliki satu akar.

Kembali ke persamaan awal, kita menemukan bahwa persamaan tersebut juga hanya memiliki satu akar x=-y=-3.

Gelar akar n dari bilangan asli sebuah, di mana n- bilangan asli, bilangan real seperti itu disebut x, n yang kekuatannya sama dengan sebuah.

akar derajat n dari nomor sebuah ditunjukkan oleh simbol. Menurut definisi ini.

Menemukan akar n derajat dari antara sebuah disebut ekstraksi akar. Nomor sebuah disebut bilangan akar (ekspresi), n- indikator akar. Untuk ganjil n ada akarnya n kekuatan -th untuk setiap bilangan real sebuah. Bahkan n ada akarnya n-derajat hanya untuk bilangan non-negatif sebuah. Untuk menghilangkan ambiguitas root n derajat dari antara sebuah, konsep akar aritmatika diperkenalkan n derajat dari antara sebuah.

Konsep akar aritmatika derajat N

Jika n- bilangan asli lebih besar dari 1 , maka ada, dan hanya satu, bilangan non-negatif X, sehingga persamaan tersebut berlaku. Nomor ini X disebut akar aritmatika n pangkat dari bilangan non-negatif sebuah dan dilambangkan. Nomor sebuah disebut nomor akar n- indikator akar.

Jadi, menurut definisi, notasi , di mana , berarti, pertama, itu dan, kedua, itu, yaitu. .

Konsep derajat dengan eksponen rasional

Gelar dengan eksponen alami: let sebuah adalah bilangan real, dan n adalah bilangan asli lebih dari satu n-kekuatan suatu bilangan sebuah sebut pekerjaan n pengganda, yang masing-masing sama dengan sebuah, yaitu . Nomor sebuah- dasar gelar, n- eksponen. Eksponen dengan eksponen nol: menurut definisi, jika , maka . Kekuatan nol dari sebuah angka 0 tidak masuk akal. Daya dengan eksponen bilangan bulat negatif: menurut definisi, jika dan n adalah bilangan asli, maka . Derajat dengan eksponen pecahan: menurut definisi, jika dan n- bilangan asli, m adalah bilangan bulat, maka .

Operasi dengan akar.

Dalam semua rumus di bawah, simbol berarti akar aritmatika (ekspresi radikal adalah positif).

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio akar dividen dan pembagi:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika Anda meningkatkan derajat akar sebanyak n kali dan secara bersamaan menaikkan nomor akar ke pangkat ke-n, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak n kali dan pada saat yang sama mengekstrak akar derajat ke-n dari bilangan akar, maka nilai akar tidak akan berubah:

Perluasan konsep derajat. Sejauh ini, kami hanya mempertimbangkan derajat dengan indikator alami; tetapi operasi dengan pangkat dan akar juga dapat menghasilkan eksponen negatif, nol, dan pecahan. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Gelar dengan eksponen negatif. Pangkat beberapa bilangan dengan eksponen negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai pangkat yang dibagi dengan pangkat dari bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen negatif:

Sekarang rumus a m: a n \u003d a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m lebih besar dari n, tetapi juga untuk m kurang dari n.

CONTOH a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Jika kita ingin agar rumus a m: a n = a m - n valid untuk m = n , kita perlu mendefinisikan derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Derajat setiap bilangan bukan nol dengan eksponen nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.

Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar pangkat ke-n dari pangkat ke-m dari bilangan ini a:

Tentang ekspresi yang tidak masuk akal. Ada beberapa ekspresi seperti itu.

Kasus 1

Dimana a 0 tidak ada.

Memang, jika kita berasumsi bahwa x adalah bilangan tertentu, maka, sesuai dengan definisi operasi pembagian, kita memiliki: a = 0 · x, yaitu. a = 0, yang bertentangan dengan kondisi: a 0

Kasus 2

nomor apapun.

Memang, jika kita menganggap bahwa ekspresi ini sama dengan beberapa bilangan x, maka menurut definisi operasi pembagian, kita memiliki: 0 = 0 · x . Tetapi persamaan ini berlaku untuk sembarang bilangan x, yang harus dibuktikan.

Betulkah,

Solusi Pertimbangkan tiga kasus utama:

1) x = 0 - nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) untuk x > 0 kita peroleh: x / x = 1, mis. 1 = 1, maka x adalah bilangan apa saja; tetapi mengingat bahwa dalam kasus kita x > 0 , jawabannya adalah x > 0 ;

3) di x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

dalam hal ini tidak ada solusi. Jadi x > 0.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri