Persamaan logaritma sebuah persamaan disebut di mana yang tidak diketahui (x) dan ekspresi dengannya berada di bawah tanda fungsi logaritmik. Memecahkan persamaan logaritmik mengasumsikan bahwa Anda sudah akrab dengan dan .
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan yang paling sederhana adalah log a x = b, di mana a dan b adalah beberapa bilangan, x tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritmik adalah x = a b asalkan: a > 0, a 1.

Perlu dicatat bahwa jika x berada di suatu tempat di luar logaritma, misalnya log 2 x \u003d x-2, maka persamaan seperti itu sudah disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.

Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan di mana hanya angka yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x + 2 \u003d log 2 2. Di sini cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Tapi keberuntungan semacam itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.

Tapi pertama-tama, mari kita mulai dengan persamaan sederhana. Untuk menyelesaikannya, diinginkan untuk memiliki gagasan paling umum tentang logaritma.

Memecahkan persamaan logaritma sederhana

Ini termasuk persamaan seperti log 2 x \u003d log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x \u003d 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya diarahkan ke solusi persamaan aljabar biasa atau ke solusi persamaan logaritmik paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan paling sederhana, ini terjadi dalam satu gerakan, itulah sebabnya mereka disebut yang paling sederhana.

Metode penurunan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan atau batasan tertentu untuk jenis operasi ini:

• logaritma memiliki basis numerik yang sama
• logaritma di kedua bagian persamaan adalah bebas, yaitu tanpa koefisien dan berbagai macam ekspresi lainnya.

Katakanlah dalam persamaan log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak memungkinkan. Dalam contoh berikut, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Itu akan menjadi satu - masalah yang sama sekali berbeda!

Secara umum, Anda dapat menghapus logaritma hanya jika persamaan memiliki bentuk:

log a(...) = log a(...)

Benar-benar ekspresi apa pun dapat berada dalam tanda kurung, ini sama sekali tidak memengaruhi operasi potensiasi. Dan setelah penghapusan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Menerapkan potensiasi, kita mendapatkan:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan definisi logaritma, yaitu bahwa logaritma adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya untuk memperoleh suatu ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu (4x-1), kita peroleh:

Sekali lagi, kami mendapat jawaban yang bagus. Di sini kita melakukannya tanpa eliminasi logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan berapa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritmik kita log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Mari kita nyatakan angka 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9, karena 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Jadi kami melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting, karena solusi persamaan logaritma, bahkan yang paling mengerikan dan terpelintir, pada akhirnya selalu bermuara pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.

Dalam semua yang telah kita lakukan di atas, kita telah mengabaikan satu hal yang sangat penting, yang akan memainkan peran yang menentukan di masa depan. Faktanya adalah bahwa solusi dari setiap persamaan logaritmik, bahkan yang paling dasar, terdiri dari dua bagian yang setara. Yang pertama adalah solusi dari persamaan itu sendiri, yang kedua adalah bekerja dengan luas nilai yang dapat diterima (ODV). Itu baru bagian pertama yang kita kuasai. Dalam contoh di atas, ODD sama sekali tidak memengaruhi jawaban, jadi kami tidak mempertimbangkannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang sangat berhasil dipecahkan. Tapi tidak demikian. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar itu akan salah, karena ada penyergapan kecil di dalamnya, di mana siswa C dan siswa berprestasi langsung jatuh. Mari kita lihat lebih dekat.

Misalkan Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar, jika ada beberapa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kami menerapkan potensiasi, di sini diperbolehkan. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan kuadrat biasa.

Kami menemukan akar persamaan:

Ada dua akar.

Jawaban: 3 dan -1

Sekilas, semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan substitusikan ke persamaan aslinya.

Mari kita mulai dengan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Pengecekan berhasil, sekarang antrian x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ya, berhenti! Secara eksternal, semuanya sempurna. Satu saat - tidak ada logaritma dari angka negatif! Dan ini berarti bahwa akar x \u003d -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Dan karena itu jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya, yang kami lupakan.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa di bawah area nilai yang dapat diterima, nilai x seperti itu diterima yang diizinkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.

Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang benar-benar tepat, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotre - 50/50.

Bagaimana kita bisa tertangkap saat memecahkan contoh yang tampaknya mendasar? Dan inilah saat potensiasi. Logaritma hilang, dan dengan mereka semua keterbatasan.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya mengabaikan solusi persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan berkeliling!

Sebelum melanjutkan dengan solusi persamaan logaritmik, kita akan menuliskan ODZ-nya. Tetapi setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah menerima jawabannya, kami hanya membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami, dan menuliskan versi finalnya.

Sekarang mari kita putuskan bagaimana menulis ODZ. Untuk melakukan ini, kami dengan cermat memeriksa persamaan asli dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar dari derajat genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan, kita tidak tahu apa x sama dengan, tetapi kita tahu pasti bahwa x seperti itu, yang, ketika disubstitusikan, akan memberikan pembagian dengan 0 atau ekstraksi akar kuadrat dari bilangan negatif, adalah jelas tidak cocok untuk jawabannya. Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, tidak ada akar kuadrat juga, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Kami segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu > 0. Kondisi ini ditulis dalam bentuk ODZ:

Itu. kami belum menyelesaikan apa pun, tetapi kami telah menuliskan kondisi wajib untuk seluruh ekspresi sublogaritma. Tanda kurung kurawal berarti bahwa kondisi ini harus dipenuhi pada saat yang bersamaan.

ODZ ditulis, tetapi juga diperlukan untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan, yang akan kita lakukan. Kami mendapatkan jawaban x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai memecahkan persamaan logaritmik itu sendiri, yang kita lakukan di atas.

Setelah menerima jawaban x 1 \u003d 3 dan x 2 \u003d -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 \u003d 3 yang cocok untuk kami, dan kami menuliskannya sebagai jawaban akhir.

Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kami memecahkan persamaan logaritmik dalam 2 tahap. Yang pertama - kami memecahkan persamaan itu sendiri, yang kedua - kami memecahkan kondisi ODZ. Kedua tahap dilakukan secara independen satu sama lain dan hanya dibandingkan saat menulis jawabannya, mis. kami membuang semua yang tidak perlu dan menuliskan jawaban yang benar.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami sangat menyarankan menonton video:

Dalam video, contoh lain dari penyelesaian log. persamaan dan bekerja di luar metode interval dalam praktek.

Untuk hal ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma sampai semuanya. Jika sesuatu sesuai dengan keputusan log. persamaan tetap tidak jelas atau tidak dapat dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.

Catatan: Akademi Pendidikan Sosial (KSUE) siap menerima siswa baru.

Persiapan untuk ujian akhir dalam matematika mencakup bagian penting - "Logaritma". Tugas dari topik ini tentu terkandung dalam ujian. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa persamaan logaritmik menyebabkan kesulitan bagi banyak anak sekolah. Oleh karena itu, siswa dengan tingkat pelatihan yang berbeda harus memahami bagaimana menemukan jawaban yang benar dan dengan cepat mengatasinya.

Lulus ujian sertifikasi dengan sukses dengan bantuan portal pendidikan "Shkolkovo"!

Saat mempersiapkan ujian negara terpadu, lulusan sekolah menengah membutuhkan sumber terpercaya yang menyediakan informasi terlengkap dan akurat untuk penyelesaian masalah ujian yang berhasil. Namun, buku teks tidak selalu tersedia, dan mencari aturan dan formula yang diperlukan di Internet seringkali membutuhkan waktu.

Portal pendidikan "Shkolkovo" memungkinkan Anda mempersiapkan ujian di mana saja kapan saja. Situs kami menawarkan pendekatan yang paling nyaman untuk mengulang dan menguasai sejumlah besar informasi tentang logaritma, serta pada satu dan beberapa yang tidak diketahui. Mulailah dengan persamaan yang mudah. Jika Anda mengatasinya tanpa kesulitan, lanjutkan ke yang lebih sulit. Jika Anda mengalami masalah dalam memecahkan ketidaksetaraan tertentu, Anda dapat menambahkannya ke Favorit sehingga Anda dapat kembali lagi nanti.

Anda dapat menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas, mengulangi kasus dan metode khusus untuk menghitung akar persamaan logaritmik standar dengan melihat bagian "Referensi Teoretis". Guru "Shkolkovo" mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mempresentasikan semua materi yang diperlukan untuk pengiriman yang sukses dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Untuk mengatasi tugas dengan kompleksitas apa pun dengan mudah, di portal kami, Anda dapat membiasakan diri dengan solusi dari beberapa persamaan logaritmik yang umum. Untuk melakukan ini, buka bagian "Katalog". Kami telah menyajikan sejumlah besar contoh, termasuk yang memiliki persamaan tingkat profil Unified State Examination dalam matematika.

Siswa dari sekolah di seluruh Rusia dapat menggunakan portal kami. Untuk memulai, cukup mendaftar di sistem dan mulai selesaikan persamaan. Untuk mengkonsolidasikan hasil, kami menyarankan Anda untuk kembali ke situs web Shkolkovo setiap hari.

Petunjuk

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki angka e sebagai basis, maka ekspresinya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dinaikkan bilangan dasarnya untuk mendapatkan bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika suatu fungsi kompleks diberikan, maka turunan dari fungsi dalam dan turunan luar harus dikalikan. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi pada titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.

Sumber:

• turunan konstan

Jadi apa perbedaan antara persamaan irasional dan persamaan rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

Petunjuk

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua sisi persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menyingkirkan tanda itu. Secara teknis, metode ini tidak sulit, tetapi terkadang dapat menyebabkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit untuk dipecahkan; x=1. Tapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Substitusikan satuan dalam persamaan sebagai ganti nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak valid untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, dan oleh karena itu persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode kuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli.

Pertimbangkan satu lagi.
2x+vx-3=0
Tentu saja, persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti sebelumnya. senyawa transfer persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, ke sisi kanan dan kemudian menggunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Itu adalah persamaan kuadrat biasa. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari persamaan pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan membuat transformasi identik sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika paling sederhana, tugas akan diselesaikan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

Petunjuk

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkatan aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri yang pada dasarnya adalah identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua istilah sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali produk yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua, yaitu, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan Keduanya

Prinsip umum solusi

Ulangi dari buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda ketahui, solusi integral tertentu adalah fungsi yang turunannya akan menghasilkan integran. Fungsi ini disebut antiturunan. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.
Tentukan dengan bentuk integran dan integral tabel mana yang cocok dalam kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode substitusi variabel

Jika integran adalah fungsi trigonometri yang argumennya polinomial, maka coba gunakan metode perubahan variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan ekspresi ini, temukan diferensial baru di . Dengan demikian, Anda akan mendapatkan bentuk baru dari integral lama, dekat atau bahkan sesuai dengan salah satu tabel.

Solusi integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral tersebut, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. Hukum ini memungkinkan untuk berpindah dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga melalui divergensi dari medan vektor yang diberikan.

Substitusi limit integrasi

Setelah menemukan antiturunan, perlu untuk mensubstitusikan batas-batas integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan untuk antiturunan. Jika salah satu batas integrasi adalah tak hingga, maka ketika mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, perlu untuk pergi ke batas dan menemukan apa ekspresi cenderung.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, maka Anda harus menyatakan batas geometrik integrasi untuk memahami cara menghitung integral tersebut. Lagi pula, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas-batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.

Aljabar Kelas 11

Topik: "Metode penyelesaian persamaan logaritma"

Tujuan Pelajaran:

pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang berbagai cara menyelesaikan persamaan logaritmik, kemampuan untuk menerapkannya dalam setiap situasi tertentu dan memilih metode apa pun untuk menyelesaikannya;

mengembangkan: pengembangan keterampilan untuk mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan dalam situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; pembentukan keterampilan saling mengontrol dan mengendalikan diri;

pendidikan: pendidikan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, persepsi yang cermat tentang materi dalam pelajaran, keakuratan pencatatan.

Jenis pelajaran: pelajaran pengenalan dengan materi baru.

"Penemuan logaritma, dengan memperpendek pekerjaan astronom, telah memperpanjang hidupnya."
Matematikawan dan astronom Prancis P.S. Laplace

Selama kelas

I. Menetapkan tujuan pelajaran

Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritmik, tidak peduli seberapa rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang sama. Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini dalam pelajaran. Ada beberapa dari mereka. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma akan layak untuk Anda masing-masing.

Tulis di buku catatan Anda topik pelajaran: "Metode untuk menyelesaikan persamaan logaritmik." Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.

II. Memperbarui pengetahuan dasar

Mari bersiap-siap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya, Anda tidak dapat menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.

1) Untuk nilai x apa fungsi tersebut masuk akal:

(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diurutkan)

2) Apakah grafik fungsi cocok?

3) Tulis ulang persamaan menjadi persamaan logaritma:

4) Tulis angka-angka sebagai logaritma dengan basis 2:

5) Hitung:

6) Cobalah untuk mengembalikan atau melengkapi elemen yang hilang dalam persamaan ini.

AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru

Pernyataan tersebut ditampilkan di layar:

"Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika."
Matematikawan Polandia modern S. Koval

Coba rumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).

Mempertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:catatansebuahx = b(dimana a>0, a 1). Karena fungsi logaritmik meningkat (atau menurun) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semua nilai riil, maka dari akar teorema bahwa untuk setiap b, persamaan ini memiliki, dan terlebih lagi, hanya satu solusi, dan solusi positif.

Ingat definisi logaritma. (Logaritma dari bilangan x ke basis a adalah eksponen dimana basis a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan x). Ini segera mengikuti dari definisi logaritma bahwa sebuahdi adalah solusi seperti itu.

Tuliskan judulnya: Metode untuk memecahkan persamaan logaritma

1. Menurut definisi logaritma.

Ini adalah bagaimana persamaan bentuk sederhana diselesaikan.

Mempertimbangkan 514(a): Selesaikan persamaan

Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)

Keputusan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.

Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, oleh karena itu, akar asing tidak dapat muncul, dan tidak perlu diperiksa. Kondisi 2x - 4 > 0 tidak perlu ditulis dalam tugas ini.

2. Potensiasi(transisi dari logaritma dari ekspresi yang diberikan ke ekspresi ini sendiri).

Mempertimbangkan 519 (g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma dari dua ekspresi sama). Apa yang bisa dilakukan? (memperkuat).

Dalam hal ini, harus diperhitungkan bahwa solusi apa pun terkandung di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.

Solusi: ODZ:

X2+8>0 ketidaksamaan ekstra

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potensiasi persamaan aslinya

kita dapatkan persamaan x2+8= 8x+8

Kami menyelesaikannya: x2-8x=0

Jawaban: 0; delapan

Secara umum transisi ke sistem yang setara:

persamaan

(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan dapat diabaikan).

Pertanyaan ke kelas: Manakah dari tiga solusi ini yang paling Anda sukai? (Diskusi tentang metode).

Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.

3. Pengenalan variabel baru.

Mempertimbangkan 520 (g). .

Apa yang Anda perhatikan? (Ini adalah persamaan kuadrat untuk log3x) Ada saran? (Perkenalkan variabel baru)

Keputusan. ODZ: x > 0.

Membiarkan , maka persamaan akan mengambil bentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta:.

Mari kita kembali ke pengganti: atau .

Memecahkan persamaan logaritmik paling sederhana, kita mendapatkan:

Jawaban: 27;

4. Logaritma kedua ruas persamaan.

Selesaikan persamaan:.

Solusi: ODZ: x>0, ambil logaritma dari kedua sisi persamaan di basis 10:

Terapkan properti logaritma derajat:

(lgx + 3) lgx = 4

Misal lgx = y, maka (y + 3)y = 4

, (D > 0) akar-akarnya menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.

Mari kita kembali ke penggantian, kita mendapatkan: lgx = -4,; logx = 1, .

Jawaban: 0,0001; sepuluh.

5. Pengurangan menjadi satu basis.

523(c). Selesaikan persamaan:

Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.

6. Metode fungsional-grafis.

№ 509 (d). Selesaikan secara grafis persamaan: = 3 - x.

Bagaimana Anda mengusulkan untuk memecahkan? (Buat grafik dua fungsi y \u003d log2x dan y \u003d 3 - x berdasarkan titik dan cari absis dari titik potong grafik).

Lihat solusi Anda di slide.

Apakah ada cara untuk menghindari plot? . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsi y = f(x) meningkat dan lainnya y = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaan f(x)=g(x) memiliki paling banyak satu akar pada interval X.

Jika ada root, maka bisa ditebak.

Dalam kasus kami, fungsi meningkat untuk x>0, dan fungsi y \u003d 3 - x berkurang untuk semua nilai x, termasuk x>0, yang berarti bahwa persamaan tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa untuk x = 2, persamaan berubah menjadi persamaan sejati, karena .

“Penerapan metode yang benar dapat dipelajari,
hanya dengan menerapkannya pada berbagai contoh.
Sejarawan matematika Denmark G. G. Zeiten

SayaV. Pekerjaan Rumah

P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)

V. Menyimpulkan pelajaran

Metode apa untuk memecahkan persamaan logaritmik yang kita pertimbangkan dalam pelajaran ini?

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan melihat persamaan yang lebih kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari berguna.

Menampilkan slide terakhir:

“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa yang paling menyenangkan?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales

Saya ingin semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.

Dengan video ini, saya memulai serangkaian pelajaran panjang tentang persamaan logaritma. Sekarang Anda memiliki tiga contoh sekaligus, atas dasar itu kita akan belajar menyelesaikan tugas-tugas paling sederhana, yang disebut demikian - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan logaritma paling sederhana adalah sebagai berikut:

log a f(x) = b

Adalah penting bahwa variabel x hanya ada di dalam argumen, yaitu hanya dalam fungsi f(x). Dan angka a dan b hanyalah angka, dan tidak ada fungsi yang mengandung variabel x.

Metode solusi dasar

Ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Misalnya, sebagian besar guru di sekolah menyarankan cara ini: Segera nyatakan fungsi f ( x ) menggunakan rumus f( x ) = a b. Artinya, ketika Anda memenuhi konstruksi paling sederhana, Anda dapat segera melanjutkan ke solusi tanpa tindakan dan konstruksi tambahan.

Ya, tentu saja, keputusannya akan menjadi benar. Namun, masalah dengan rumus ini adalah kebanyakan siswa tidak mengerti, dari mana asalnya dan mengapa tepatnya kita menaikkan huruf a menjadi huruf b.

Akibatnya, saya sering mengamati kesalahan yang sangat menyinggung, ketika, misalnya, huruf-huruf ini dipertukarkan. Rumus ini harus dipahami atau dihafal, dan metode kedua menyebabkan kesalahan pada saat yang paling tidak tepat dan paling penting: dalam ujian, tes, dll.

Itulah sebabnya saya menyarankan kepada semua siswa saya untuk meninggalkan rumus sekolah standar dan menggunakan pendekatan kedua untuk menyelesaikan persamaan logaritmik, yang, seperti yang mungkin Anda tebak dari namanya, disebut bentuk kanonik.

Gagasan tentang bentuk kanonik itu sederhana. Mari kita lihat tugas kita lagi: di sebelah kiri kita memiliki log a , sedangkan huruf a berarti angka yang tepat, dan tidak ada fungsi yang mengandung variabel x. Oleh karena itu, surat ini tunduk pada semua batasan yang dikenakan pada basis logaritma. yaitu:

1 a > 0

Di sisi lain, dari persamaan yang sama, kita melihat bahwa logaritma harus sama dengan angka b, dan tidak ada batasan yang dikenakan pada huruf ini, karena dapat mengambil nilai apa pun - baik positif maupun negatif. Itu semua tergantung pada nilai apa yang diambil oleh fungsi f(x).

Dan di sini kita ingat aturan indah kita bahwa setiap bilangan b dapat direpresentasikan sebagai logaritma dalam basis a dari a pangkat b:

b = log a a b

Bagaimana cara mengingat rumus ini? Ya, sangat sederhana. Mari kita tulis konstruksi berikut:

b = b 1 = b log a a

Tentu saja, dalam hal ini, semua batasan yang kami tulis di awal muncul. Dan sekarang mari kita gunakan sifat dasar logaritma, dan masukkan faktor b sebagai pangkat dari a. Kita mendapatkan:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Akibatnya, persamaan asli akan ditulis ulang dalam bentuk berikut:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Itu saja. Fungsi baru tidak lagi berisi logaritma dan diselesaikan dengan teknik aljabar standar.

Tentu saja, seseorang sekarang akan keberatan: mengapa perlu membuat semacam formula kanonik sama sekali, mengapa melakukan dua langkah tambahan yang tidak perlu, jika mungkin untuk segera beralih dari konstruksi asli ke formula akhir? Ya, jika hanya karena sebagian besar siswa tidak mengerti dari mana rumus ini berasal dan, akibatnya, sering melakukan kesalahan saat menerapkannya.

Tetapi urutan tindakan seperti itu, yang terdiri dari tiga langkah, memungkinkan Anda untuk memecahkan persamaan logaritmik asli, bahkan jika Anda tidak mengerti dari mana rumus akhir itu berasal. Omong-omong, entri ini disebut rumus kanonik:

log a f(x) = log a a b

Kenyamanan bentuk kanonik juga terletak pada kenyataan bahwa itu dapat digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan logaritma yang sangat luas, dan bukan hanya yang paling sederhana yang sedang kita pertimbangkan hari ini.

Contoh solusi

Sekarang mari kita lihat contoh nyata. Jadi mari kita putuskan:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Mari kita tulis ulang seperti ini:

log 0,5 (3x 1) = log 0,5 0,5 3

Banyak siswa yang terburu-buru dan mencoba untuk segera menaikkan angka 0,5 ke pangkat yang kita peroleh dari soal awal. Dan memang, ketika Anda sudah terlatih dalam memecahkan masalah seperti itu, Anda bisa langsung melakukan langkah ini.

Namun, jika sekarang Anda baru mulai mempelajari topik ini, lebih baik tidak terburu-buru ke mana pun agar tidak membuat kesalahan yang menyinggung. Jadi kita memiliki bentuk kanonik. Kita punya:

3x - 1 = 0,5 -3

Ini bukan lagi persamaan logaritmik, tetapi persamaan linier terhadap variabel x. Untuk menyelesaikannya, pertama-tama mari kita berurusan dengan angka 0,5 pangkat 3. Perhatikan bahwa 0,5 adalah 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Ubah semua desimal menjadi pecahan saat Anda menyelesaikan persamaan logaritmik.

Kami menulis ulang dan mendapatkan:

3x 1 = 8
3x=9
x=3

Semua kami mendapat jawabannya. Tugas pertama diselesaikan.

Tugas kedua

Mari kita beralih ke tugas kedua:

Seperti yang Anda lihat, persamaan ini bukan lagi yang paling sederhana. Jika hanya karena perbedaannya di sebelah kiri, dan tidak ada satu logaritma dalam satu basis.

Karena itu, Anda harus entah bagaimana menyingkirkan perbedaan ini. Dalam hal ini, semuanya sangat sederhana. Mari kita lihat lebih dekat pangkalan: di sebelah kiri adalah nomor di bawah akar:

Rekomendasi umum: dalam semua persamaan logaritmik, cobalah untuk menghilangkan radikal, yaitu, dari entri dengan akar dan beralih ke fungsi pangkat, hanya karena eksponen dari kekuatan ini dengan mudah dikeluarkan dari tanda logaritma dan, akhirnya, seperti notasi sangat menyederhanakan dan mempercepat perhitungan. Mari kita tulis seperti ini:

Sekarang kita mengingat properti logaritma yang luar biasa: dari argumen, serta dari basis, Anda dapat mengambil derajat. Dalam kasus pangkalan, hal berikut terjadi:

log a k b = 1/k loga b

Dengan kata lain, bilangan yang berdiri pada derajat alas dimajukan dan sekaligus dibalik, yaitu menjadi kebalikan dari bilangan tersebut. Dalam kasus kami, ada derajat basa dengan indikator 1/2. Oleh karena itu, kita dapat mengambilnya sebagai 2/1. Kita mendapatkan:

5 2 log 5 x log 5 x = 18
10 log 5 x log 5 x = 18

Harap dicatat: Anda tidak boleh menghilangkan logaritma pada langkah ini. Pikirkan kembali matematika kelas 4-5 dan urutan operasinya: perkalian dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian penjumlahan dan pengurangan dilakukan. Dalam hal ini, kami mengurangi salah satu elemen yang sama dari 10 elemen:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sekarang persamaan kita terlihat seperti seharusnya. Ini adalah konstruksi paling sederhana, dan kami menyelesaikannya menggunakan bentuk kanonik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Itu saja. Masalah kedua terpecahkan.

Contoh ketiga

Mari kita beralih ke tugas ketiga:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Ingat rumus berikut:

log b = log 10 b

Jika karena alasan tertentu Anda bingung dengan menulis lg b , maka saat melakukan semua perhitungan, Anda cukup menulis log 10 b . Anda dapat bekerja dengan logaritma desimal dengan cara yang sama seperti yang lain: menghilangkan kekuatan, menambah, dan mewakili angka apa pun sebagai lg 10.

Justru sifat-sifat inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk memecahkan masalah, karena ini bukan yang paling sederhana yang kita tulis di awal pelajaran kita.

Pertama-tama, perhatikan bahwa faktor 2 sebelum lg 5 dapat dimasukkan dan menjadi pangkat dari basis 5. Selain itu, suku bebas 3 juga dapat direpresentasikan sebagai logaritma - ini sangat mudah diamati dari notasi kita.

Nilailah sendiri: angka apa pun dapat direpresentasikan sebagai log ke basis 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Mari kita tulis ulang masalah awal dengan mempertimbangkan perubahan yang diterima:

lg (x 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25.000

Di hadapan kita lagi-lagi bentuk kanonik, dan kita memperolehnya dengan melewati tahap transformasi, yaitu, persamaan logaritma paling sederhana tidak muncul di mana pun bersama kita.

Itulah yang saya bicarakan di awal pelajaran. Bentuk kanonik memungkinkan pemecahan kelas masalah yang lebih luas daripada rumus sekolah standar, yang diberikan oleh sebagian besar guru sekolah.

Itu saja, kami menghilangkan tanda logaritma desimal, dan kami mendapatkan konstruksi linier sederhana:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Semua! Masalah terpecahkan.

Catatan tentang ruang lingkup

Di sini saya ingin membuat pernyataan penting tentang domain definisi. Pasti sekarang ada siswa dan guru yang akan mengatakan: “Ketika kita menyelesaikan ekspresi dengan logaritma, perlu diingat bahwa argumen f(x) harus lebih besar dari nol!” Dalam hal ini, sebuah pertanyaan logis muncul: mengapa tidak satu pun dari masalah yang dipertimbangkan itu kita menuntut agar ketidaksetaraan ini dipenuhi?

Jangan khawatir. Tidak ada akar tambahan yang akan muncul dalam kasus ini. Dan ini adalah trik hebat lainnya yang memungkinkan Anda mempercepat solusi. Ketahuilah bahwa jika dalam masalah variabel x hanya muncul di satu tempat (atau lebih tepatnya, di satu-satunya argumen dari satu-satunya logaritma), dan tidak ada tempat lain dalam kasus kami yang melakukan variabel x, maka tulis domainnya tidak perlu karena akan berjalan secara otomatis.

Nilailah sendiri: dalam persamaan pertama, kita mendapatkan bahwa 3x - 1, yaitu, argumennya harus sama dengan 8. Ini secara otomatis berarti bahwa 3x - 1 akan lebih besar dari nol.

Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat menulis bahwa dalam kasus kedua, x harus sama dengan 5 2, yaitu pasti lebih besar dari nol. Dan dalam kasus ketiga, di mana x + 3 = 25.000, yaitu, sekali lagi, jelas lebih besar dari nol. Dengan kata lain, cakupannya otomatis, tetapi hanya jika x hanya muncul dalam argumen satu logaritma saja.

Itu saja yang perlu Anda ketahui untuk memecahkan masalah sederhana. Aturan ini saja, bersama dengan aturan transformasi, akan memungkinkan Anda untuk memecahkan kelas masalah yang sangat luas.

Tapi jujur ​​saja: untuk akhirnya memahami teknik ini, untuk mempelajari cara menerapkan bentuk kanonik dari persamaan logaritmik, tidak cukup hanya dengan menonton satu video pelajaran. Oleh karena itu, sekarang, unduh opsi untuk solusi independen yang dilampirkan pada tutorial video ini dan mulailah menyelesaikan setidaknya satu dari dua karya independen ini.

Ini akan membawa Anda hanya beberapa menit. Tetapi efek dari pelatihan tersebut akan jauh lebih tinggi dibandingkan jika Anda hanya menonton video tutorial ini.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda memahami persamaan logaritmik. Terapkan bentuk kanonik, sederhanakan ekspresi menggunakan aturan untuk bekerja dengan logaritma - dan Anda tidak akan takut dengan tugas apa pun. Dan hanya itu yang saya miliki untuk hari ini.

Pertimbangan ruang lingkup

Sekarang mari kita bicara tentang domain dari fungsi logaritma, serta bagaimana hal ini mempengaruhi solusi persamaan logaritma. Pertimbangkan konstruksi formulir

log a f(x) = b

Ekspresi seperti itu disebut yang paling sederhana - hanya memiliki satu fungsi, dan angka a dan b hanyalah angka, dan tidak ada fungsi yang bergantung pada variabel x. Ini diselesaikan dengan sangat sederhana. Anda hanya perlu menggunakan rumus:

b = log a a b

Rumus ini adalah salah satu properti kunci dari logaritma, dan ketika mengganti ke ekspresi asli kita, kita mendapatkan yang berikut:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Ini sudah menjadi formula yang akrab dari buku teks sekolah. Banyak siswa mungkin akan memiliki pertanyaan: karena fungsi f ( x ) dalam ekspresi aslinya berada di bawah tanda log, pembatasan berikut dikenakan padanya:

f(x) > 0

Pembatasan ini berlaku karena logaritma bilangan negatif tidak ada. Jadi, mungkin karena keterbatasan ini, Anda harus memperkenalkan cek untuk jawaban? Mungkin mereka perlu diganti di sumbernya?

Tidak, dalam persamaan logaritmik paling sederhana, pemeriksaan tambahan tidak diperlukan. Dan itulah kenapa. Lihatlah formula terakhir kami:

f(x) = a b

Faktanya adalah bahwa angka a dalam hal apa pun lebih besar dari 0 - persyaratan ini juga dikenakan oleh logaritma. Angka a adalah basisnya. Dalam hal ini, tidak ada batasan yang dikenakan pada nomor b. Tapi ini tidak masalah, karena tidak peduli berapa derajat kita menaikkan angka positif, kita akan tetap mendapatkan angka positif pada output. Dengan demikian, persyaratan f (x) > 0 terpenuhi secara otomatis.

Apa yang benar-benar layak untuk diperiksa adalah ruang lingkup fungsi di bawah tanda log. Mungkin ada desain yang cukup rumit, dan dalam proses penyelesaiannya, Anda harus mengikutinya. Mari kita lihat.

Tugas pertama:

Langkah pertama: ubah pecahan di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Kami menghilangkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan irasional yang biasa:

Dari akar yang diperoleh, hanya yang pertama yang cocok untuk kita, karena akar kedua kurang dari nol. Satu-satunya jawaban adalah nomor 9. Itu saja, masalahnya terpecahkan. Tidak ada pemeriksaan tambahan bahwa ekspresi di bawah tanda logaritma lebih besar dari 0 diperlukan, karena tidak hanya lebih besar dari 0, tetapi dengan kondisi persamaan itu sama dengan 2. Oleh karena itu, persyaratan "lebih besar dari nol" secara otomatis terpenuhi.

Mari kita beralih ke tugas kedua:

Semuanya sama di sini. Kami menulis ulang konstruksi, menggantikan rangkap tiga:

Kami menyingkirkan tanda-tanda logaritma dan mendapatkan persamaan irasional:

Kami kuadratkan kedua bagian, dengan mempertimbangkan batasan, dan kami mendapatkan:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan melalui diskriminan:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Tetapi x = 6 tidak cocok untuk kita, karena jika kita mensubstitusikan bilangan ini ke dalam pertidaksamaan kita, kita memperoleh:

−6 + 4 = −2 < 0

Dalam kasus kami, diharuskan lebih besar dari 0 atau, dalam kasus ekstrim, sama. Tapi x = 1 cocok untuk kita:

−1 + 4 = 3 > 0

Satu-satunya jawaban dalam kasus kami adalah x = 1. Itu semua solusinya. Mari kita kembali ke awal perhitungan kita.

Kesimpulan utama dari pelajaran ini adalah bahwa tidak diperlukan untuk memeriksa batas-batas suatu fungsi dalam persamaan logaritma yang paling sederhana. Karena dalam proses penyelesaian semua kendala dijalankan secara otomatis.

Namun, ini tidak berarti bahwa Anda dapat melupakan verifikasi sama sekali. Dalam proses mengerjakan persamaan logaritmik, persamaan itu mungkin berubah menjadi persamaan irasional, yang akan memiliki keterbatasan dan persyaratannya sendiri untuk ruas kanan, yang telah kita lihat hari ini dalam dua contoh berbeda.

Jangan ragu untuk memecahkan masalah seperti itu dan berhati-hatilah jika ada akar dalam argumen.

Persamaan logaritma dengan basis yang berbeda

Kami terus mempelajari persamaan logaritmik dan menganalisis dua trik yang lebih menarik yang dapat digunakan untuk memecahkan struktur yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita ingat bagaimana tugas paling sederhana diselesaikan:

log a f(x) = b

Dalam notasi ini, a dan b hanyalah angka, dan dalam fungsi f (x) variabel x harus ada, dan hanya di sana, yaitu, x harus hanya ada dalam argumen. Kami akan mengubah persamaan logaritmik tersebut menggunakan bentuk kanonik. Untuk ini, kami mencatat bahwa

b = log a a b

Dan a b hanyalah sebuah argumen. Mari kita tulis ulang ekspresi ini sebagai berikut:

log a f(x) = log a a b

Inilah yang ingin kita capai, sehingga baik di kiri maupun di kanan ada logaritma ke basis a. Dalam hal ini, kita dapat, secara kiasan, mencoret tanda-tanda log, dan dalam istilah matematika, kita dapat mengatakan bahwa kita cukup menyamakan argumen:

f(x) = a b

Hasilnya, kita mendapatkan ekspresi baru yang akan diselesaikan dengan lebih mudah. Mari kita terapkan aturan ini pada tugas kita hari ini.

Jadi desain pertama:

Pertama-tama, saya perhatikan bahwa ada pecahan di sebelah kanan, penyebutnya adalah log. Ketika Anda melihat ekspresi seperti ini, ada baiknya mengingat properti logaritma yang luar biasa:

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini berarti bahwa setiap logaritma dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis apa pun c. Tentu saja, 0< с ≠ 1.

Jadi: rumus ini memiliki satu kasus khusus yang bagus ketika variabel c sama dengan variabel b. Dalam hal ini, kami mendapatkan konstruksi formulir:

Konstruksi inilah yang kita amati dari tanda di sebelah kanan dalam persamaan kita. Mari kita ganti konstruksi ini dengan log a b , kita dapatkan:

Dengan kata lain, dibandingkan dengan tugas awal, kami telah menukar argumen dan basis logaritma. Sebagai gantinya, kami harus membalik pecahannya.

Kita ingat bahwa derajat apa pun dapat dikeluarkan dari pangkalan menurut aturan berikut:

Dengan kata lain, koefisien k, yang merupakan derajat basa, diambil sebagai pecahan terbalik. Mari kita keluarkan sebagai pecahan terbalik:

Faktor pecahan tidak dapat dibiarkan di depan, karena dalam kasus ini kita tidak akan dapat merepresentasikan entri ini sebagai bentuk kanonik (bagaimanapun, dalam bentuk kanonik, tidak ada faktor tambahan di depan logaritma kedua). Oleh karena itu, mari kita masukkan pecahan 1/4 dalam argumen sebagai kekuatan:

Sekarang kita menyamakan argumen yang basisnya sama (dan kami benar-benar memiliki basis yang sama), dan menulis:

x + 5 = 1

x = 4

Itu saja. Kami mendapat jawaban untuk persamaan logaritmik pertama. Perhatikan: dalam masalah awal, variabel x hanya muncul dalam satu log, dan itu ada dalam argumennya. Oleh karena itu, tidak perlu memeriksa domain, dan nomor kami x = 4 memang jawabannya.

Sekarang mari kita beralih ke ekspresi kedua:

log 56 = log 2 log 2 7 3 log (x + 4)

Di sini, selain logaritma biasa, kita harus bekerja dengan lg f (x). Bagaimana cara menyelesaikan persamaan seperti itu? Tampaknya bagi siswa yang tidak siap bahwa ini adalah semacam timah, tetapi sebenarnya semuanya diselesaikan secara mendasar.

Perhatikan baik-baik istilah lg 2 log 2 7. Apa yang bisa kita katakan tentangnya? Basis dan argumen log dan lg adalah sama, dan ini akan memberikan beberapa petunjuk. Mari kita ingat sekali lagi bagaimana derajat diambil dari bawah tanda logaritma:

log a b n = nlog a b

Dengan kata lain, berapakah pangkat dari bilangan b dalam argumen menjadi faktor di depan log itu sendiri. Mari kita terapkan rumus ini pada ekspresi lg 2 log 2 7. Jangan takut dengan lg 2 - ini adalah ekspresi yang paling umum. Anda dapat menulis ulang seperti ini:

Baginya, semua aturan yang berlaku untuk logaritma lain adalah valid. Secara khusus, faktor di depan dapat dimasukkan ke dalam kekuatan argumen. Mari menulis:

Sangat sering, siswa titik kosong tidak melihat tindakan ini, karena tidak baik memasukkan satu log di bawah tanda yang lain. Sebenarnya tidak ada unsur pidana dalam hal ini. Selain itu, kami mendapatkan rumus yang mudah dihitung jika Anda mengingat aturan penting:

Rumus ini dapat dianggap baik sebagai definisi maupun sebagai salah satu propertinya. Bagaimanapun, jika Anda mengonversi persamaan logaritmik, Anda harus mengetahui rumus ini dengan cara yang sama seperti representasi bilangan apa pun dalam bentuk log.

Kami kembali ke tugas kami. Kami menulis ulang dengan mempertimbangkan fakta bahwa suku pertama di sebelah kanan tanda sama dengan lg 7. Kami memiliki:

lg 56 = lg 7 3lg (x + 4)

Mari kita pindahkan lg 7 ke kiri, kita dapatkan:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Kami mengurangi ekspresi di sebelah kiri karena mereka memiliki basis yang sama:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Sekarang mari kita lihat lebih dekat persamaan yang kita dapatkan. Ini praktis bentuk kanonik, tetapi ada faktor 3 di sebelah kanan. Mari kita taruh di argumen lg yang benar:

lg 8 = lg (x + 4) 3

Di depan kita adalah bentuk kanonik dari persamaan logaritmik, jadi kita mencoret tanda lg dan menyamakan argumennya:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Itu saja! Kami telah memecahkan persamaan logaritmik kedua. Dalam hal ini, tidak ada pemeriksaan tambahan yang diperlukan, karena dalam masalah asli x hanya ada dalam satu argumen.

Mari saya rekap poin-poin kunci dari pelajaran ini.

Rumus utama yang dipelajari dalam semua pelajaran di halaman ini yang dikhususkan untuk memecahkan persamaan logaritmik adalah bentuk kanonik. Dan jangan terkecoh dengan kenyataan bahwa sebagian besar buku pelajaran sekolah mengajarkan Anda bagaimana memecahkan masalah semacam ini secara berbeda. Alat ini bekerja sangat efisien dan memungkinkan Anda untuk memecahkan kelas masalah yang jauh lebih luas daripada yang paling sederhana yang kita pelajari di awal pelajaran kita.

Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan logaritma, akan berguna untuk mengetahui sifat-sifat dasarnya. Yaitu:

1. Rumus untuk pindah ke satu pangkalan dan kasus khusus ketika kami membalik log (ini sangat berguna bagi kami di tugas pertama);
2. Rumus untuk membawa masuk dan mengeluarkan kekuatan dari bawah tanda logaritma. Disini banyak siswa yang terjebak dan tidak melihat secara langsung bahwa daya yang dikeluarkan dan dibawa masuk sendiri dapat berisi log f(x). Tidak ada yang salah dengan itu. Kami dapat memperkenalkan satu log sesuai dengan tanda yang lain dan pada saat yang sama menyederhanakan solusi masalah secara signifikan, yang kami amati dalam kasus kedua.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menambahkan bahwa tidak perlu memeriksa ruang lingkup dalam setiap kasus ini, karena di mana-mana variabel x hanya ada dalam satu tanda log, dan pada saat yang sama ada dalam argumennya. Akibatnya, semua persyaratan domain terpenuhi secara otomatis.

Masalah dengan basis variabel

Hari ini kita akan mempertimbangkan persamaan logaritmik, yang bagi banyak siswa tampaknya tidak standar, jika tidak sepenuhnya tidak dapat dipecahkan. Kita berbicara tentang ekspresi yang tidak didasarkan pada angka, tetapi pada variabel dan bahkan fungsi. Kami akan menyelesaikan konstruksi tersebut menggunakan teknik standar kami, yaitu melalui bentuk kanonik.

Untuk memulainya, mari kita ingat bagaimana masalah paling sederhana diselesaikan, yang didasarkan pada angka biasa. Jadi, konstruksi paling sederhana disebut

log a f(x) = b

Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, kita dapat menggunakan rumus berikut:

b = log a a b

Kami menulis ulang ekspresi asli kami dan mendapatkan:

log a f(x) = log a a b

Kemudian kita samakan argumennya, yaitu kita tuliskan:

f(x) = a b

Jadi, kami menyingkirkan tanda log dan menyelesaikan masalah yang biasa. Dalam hal ini, akar-akar yang diperoleh dalam solusi akan menjadi akar-akar persamaan logaritma asli. Selain itu, catatan, ketika kiri dan kanan berada pada logaritma yang sama dengan basis yang sama, disebut bentuk kanonik. Untuk catatan inilah kami akan mencoba mengurangi konstruksi hari ini. Jadi ayo pergi.

Tugas pertama:

log x 2 (2x 2 13x + 18) = 1

Ganti 1 dengan log x 2 (x 2) 1 . Tingkat yang kita amati dalam argumen, pada kenyataannya, nomor b , yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan. Jadi mari kita tulis ulang ekspresi kita. Kita mendapatkan:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Apa yang kita lihat? Di hadapan kita adalah bentuk kanonik dari persamaan logaritmik, sehingga kita dapat dengan aman menyamakan argumen. Kita mendapatkan:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Tetapi solusinya tidak berakhir di situ, karena persamaan ini tidak setara dengan yang asli. Bagaimanapun, konstruksi yang dihasilkan terdiri dari fungsi-fungsi yang didefinisikan pada seluruh garis bilangan, dan logaritma asli kami tidak ditentukan di mana-mana dan tidak selalu.

Oleh karena itu, kita harus menuliskan domain definisi secara terpisah. Biar tidak lebih bijak dan tulis dulu semua persyaratannya:

Pertama, argumen dari masing-masing logaritma harus lebih besar dari 0:

2x 2 13x + 18 > 0

x 2 > 0

Kedua, basis tidak hanya harus lebih besar dari 0, tetapi juga berbeda dari 1:

x 2 1

Akibatnya, kami mendapatkan sistem:

Tapi jangan khawatir: saat memproses persamaan logaritmik, sistem seperti itu bisa sangat disederhanakan.

Nilai sendiri: di satu sisi, kita diharuskan bahwa fungsi kuadrat lebih besar dari nol, dan di sisi lain, fungsi kuadrat ini disamakan dengan ekspresi linier tertentu, yang juga diharuskan lebih besar dari nol.

Dalam hal ini, jika kita mensyaratkan bahwa x 2 > 0, maka persyaratan 2x 2 13x + 18 > 0 juga akan terpenuhi secara otomatis.Oleh karena itu, kita dapat dengan aman mencoret pertidaksamaan yang mengandung fungsi kuadrat. Dengan demikian, jumlah ekspresi yang terdapat dalam sistem kami akan dikurangi menjadi tiga.

Tentu saja, kita juga dapat mencoret pertidaksamaan linier, yaitu mencoret x - 2 > 0 dan mensyaratkan bahwa 2x 2 - 13x + 18 > 0. Tetapi Anda harus mengakui bahwa menyelesaikan pertidaksamaan linier paling sederhana jauh lebih cepat dan mudah, daripada kuadrat, bahkan jika sebagai hasil dari pemecahan seluruh sistem ini kita mendapatkan akar yang sama.

Secara umum, cobalah untuk mengoptimalkan perhitungan bila memungkinkan. Dan dalam kasus persamaan logaritmik, coret pertidaksamaan yang paling sulit.

Mari kita tulis ulang sistem kita:

Berikut adalah sistem tiga ekspresi, dua di antaranya, pada kenyataannya, telah kami temukan. Mari kita tulis persamaan kuadrat secara terpisah dan selesaikan:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 7x + 10 = 0

Di hadapan kita adalah trinomial kuadrat tereduksi dan, oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus Vieta. Kita mendapatkan:

(x 5)(x 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Sekarang, kembali ke sistem kami, kami menemukan bahwa x = 2 tidak cocok untuk kami, karena kami diharuskan memiliki x lebih besar dari 2.

Tetapi x \u003d 5 cocok untuk kita: angka 5 lebih besar dari 2, dan pada saat yang sama 5 tidak sama dengan 3. Oleh karena itu, satu-satunya solusi untuk sistem ini adalah x \u003d 5.

Semuanya, tugas diselesaikan, termasuk dengan mempertimbangkan ODZ. Mari kita beralih ke persamaan kedua. Di sini kita menunggu perhitungan yang lebih menarik dan bermakna:

Langkah pertama: serta terakhir kali, kami membawa semua bisnis ini ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita dapat menulis angka 9 sebagai berikut:

Basis dengan root tidak dapat disentuh, tetapi lebih baik untuk mengubah argumen. Mari kita beralih dari akar ke pangkat dengan eksponen rasional. Mari menulis:

Biarkan saya tidak menulis ulang seluruh persamaan logaritma besar kita, tetapi langsung menyamakan argumennya:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Sebelum kita adalah trinomial kuadrat tereduksi lagi, kita akan menggunakan rumus Vieta dan menulis:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Jadi, kami mendapatkan akarnya, tetapi tidak ada yang menjamin kami bahwa mereka akan cocok dengan persamaan logaritmik asli. Lagi pula, tanda-tanda log memberlakukan batasan tambahan (di sini kita harus menuliskan sistemnya, tetapi karena kerumitan seluruh konstruksi, saya memutuskan untuk menghitung domain definisi secara terpisah).

Pertama-tama, ingat bahwa argumen harus lebih besar dari 0, yaitu:

Ini adalah persyaratan yang dikenakan oleh domain definisi.

Kami segera mencatat bahwa karena kami menyamakan dua ekspresi pertama dari sistem satu sama lain, kami dapat mencoret salah satunya. Mari kita coret yang pertama karena terlihat lebih mengancam daripada yang kedua.

Selain itu, perhatikan bahwa solusi dari pertidaksamaan kedua dan ketiga akan menjadi himpunan yang sama (kubus dari beberapa angka lebih besar dari nol, jika angka ini sendiri lebih besar dari nol; sama dengan akar tingkat ketiga - ketidaksetaraan ini adalah benar-benar mirip, jadi salah satunya bisa kita coret).

Tetapi dengan ketidaksetaraan ketiga, ini tidak akan berhasil. Mari kita singkirkan tanda radikal di sebelah kiri, yang untuknya kita naikkan kedua bagian menjadi kubus. Kita mendapatkan:

Jadi kami mendapatkan persyaratan berikut:

2 x > 3

Manakah dari akar kita: x 1 = -3 atau x 2 = -1 yang memenuhi persyaratan ini? Jelas, hanya x = 1, karena x = 3 tidak memenuhi pertidaksamaan pertama (karena pertidaksamaan kita ketat). Secara total, kembali ke masalah kita, kita mendapatkan satu akar: x = 1. Itu saja, masalah terpecahkan.

Sekali lagi, poin-poin penting dari tugas ini:

1. Jangan ragu untuk menerapkan dan menyelesaikan persamaan logaritmik menggunakan bentuk kanonik. Siswa yang membuat catatan seperti itu, dan tidak langsung beralih dari masalah awal ke konstruksi seperti log a f ( x ) = b , membuat kesalahan jauh lebih sedikit daripada mereka yang terburu-buru di suatu tempat, melewatkan langkah-langkah antara perhitungan;
2. Segera setelah basis variabel muncul dalam logaritma, masalahnya tidak lagi menjadi yang paling sederhana. Oleh karena itu, ketika menyelesaikannya, perlu mempertimbangkan domain definisi: argumen harus lebih besar dari nol, dan basis tidak hanya harus lebih besar dari 0, tetapi juga tidak boleh sama dengan 1.

Anda dapat memaksakan persyaratan terakhir pada jawaban akhir dengan cara yang berbeda. Misalnya, dimungkinkan untuk menyelesaikan seluruh sistem yang berisi semua persyaratan domain. Di sisi lain, Anda dapat menyelesaikan masalah itu sendiri terlebih dahulu, dan kemudian mengingat domain definisi, mengerjakannya secara terpisah dalam bentuk sistem dan menerapkannya ke akar yang diperoleh.

Cara mana yang harus dipilih saat menyelesaikan persamaan logaritmik tertentu terserah Anda. Bagaimanapun, jawabannya akan sama.