Pelajaran ini akan mencakup informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ekspresi rasional. Topik ini merangkum topik yang telah kita pelajari selama ini. Transformasi ekspresi rasional meliputi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat pecahan aljabar, pengurangan, faktorisasi, dll. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan melihat apa itu ekspresi rasional, dan juga menganalisis contoh transformasinya .

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya

Definisi

ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, operasi aritmatika dan eksponensial.

Perhatikan contoh ekspresi rasional:

Kasus khusus dari ekspresi rasional:

derajat 1: ;

2. monomial: ;

3. pecahan: .

Transformasi Ekspresi Rasional merupakan penyederhanaan dari ekspresi rasional. Urutan operasi saat mengubah ekspresi rasional: pertama, ada tindakan dalam tanda kurung, lalu operasi perkalian (pembagian), dan kemudian operasi penambahan (pengurangan).

Mari kita perhatikan beberapa contoh tentang transformasi ekspresi rasional.

Contoh 1

Keputusan:

Mari kita selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Menjawab:

Contoh 2

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 3

Keputusan:

Menjawab: .

Catatan: mungkin, saat melihat contoh ini, sebuah ide muncul di benak Anda: kurangi pecahan sebelum direduksi menjadi penyebut yang sama. Memang, itu sepenuhnya benar: pertama, diinginkan untuk menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari kita coba selesaikan contoh yang sama dengan cara kedua.

Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata sangat mirip, tetapi solusinya ternyata agak lebih sederhana.

Dalam pelajaran ini, kita melihat ekspresi rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh spesifik dari transformasi ini.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar kelas 8. - M.: Pencerahan, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 8. - edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Transformasi ekspresi rasional. Contoh pemecahan masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Manual untuk buku teks Muravina G.K. Manual untuk buku teks Makarychev Yu.N.

Konsep ekspresi rasional

Konsep "pernyataan rasional" mirip dengan konsep "fraksi rasional". Ekspresi juga direpresentasikan sebagai pecahan. Hanya di pembilang kami bukan angka, tetapi berbagai jenis ekspresi. Paling sering ini adalah polinomial. Pecahan aljabar adalah ekspresi pecahan yang terdiri dari angka dan variabel.

Saat memecahkan banyak masalah di kelas dasar, setelah melakukan operasi aritmatika, kami menerima nilai numerik tertentu, paling sering pecahan. Sekarang, setelah melakukan operasi, kita akan menerima pecahan aljabar. Kawan, ingat: untuk mendapatkan jawaban yang benar, Anda perlu menyederhanakan ekspresi yang Anda gunakan untuk bekerja sebanyak mungkin. Seseorang harus mendapatkan gelar sekecil mungkin; ekspresi identik dalam pembilang dan penyebut harus dikurangi; dengan ekspresi yang dapat diciutkan, Anda harus melakukannya. Artinya, setelah melakukan serangkaian tindakan, kita harus mendapatkan pecahan aljabar yang paling sederhana.

Urutan operasi dengan ekspresi rasional

Prosedur untuk melakukan operasi dengan ekspresi rasional sama dengan operasi aritmatika. Pertama, operasi dalam tanda kurung dilakukan, kemudian perkalian dan pembagian, eksponensial, dan terakhir penjumlahan dan pengurangan.

Membuktikan suatu identitas berarti menunjukkan bahwa untuk semua nilai variabel, ruas kanan dan kirinya sama. Ada banyak contoh dengan bukti identitas.

Metode utama untuk memecahkan identitas adalah:

• Ubah sisi kiri menjadi kesetaraan dengan kanan.
• Ubah sisi kanan menjadi kesetaraan dengan kiri.
• Transformasikan sisi kiri dan kanan secara terpisah sampai diperoleh ekspresi yang sama.
• Sisi kanan dikurangi dari sisi kiri, dan hasilnya harus nol.

Transformasi ekspresi rasional. Contoh pemecahan masalah

Contoh 1
Buktikan identitasnya:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Keputusan.
Jelas, kita perlu mengubah sisi kiri.
Mari kita lakukan tanda kurung terlebih dahulu:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Penting untuk mencoba mengeluarkan pengganda umum secara maksimal.
2) Mari kita ubah ekspresi yang kita gunakan untuk membagi:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Lakukan operasi pembagian:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Lakukan operasi penjumlahan:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Bagian kanan dan kiri cocok. Jadi identitasnya terbukti.
Kawan, saat menyelesaikan contoh ini, kami membutuhkan pengetahuan tentang banyak rumus dan operasi. Kami melihat bahwa setelah transformasi, ekspresi besar berubah menjadi sangat kecil. Saat memecahkan hampir semua masalah, transformasi biasanya mengarah pada ekspresi sederhana.

Contoh 2
Sederhanakan ekspresi:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Keputusan.
Mari kita mulai dengan tanda kurung pertama.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Mari kita ubah tanda kurung kedua.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Ayo lakukan pembagian.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Jawaban: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Contoh 3
Ikuti langkah ini:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Keputusan.
Seperti biasa, mulailah dengan tanda kurung.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Sekarang mari kita lakukan pembagian.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Mari kita gunakan properti: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Mari kita lakukan operasi pengurangan.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Seperti yang kami katakan sebelumnya, pecahan perlu disederhanakan sebanyak mungkin.
Jawaban: $\frac(k)(k-4)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Buktikan identitasnya:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Sederhanakan ekspresi:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Ikuti langkah-langkahnya:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Pelajaran ini akan mencakup informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ekspresi rasional. Topik ini merangkum topik yang telah kita pelajari selama ini. Transformasi ekspresi rasional meliputi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat pecahan aljabar, pengurangan, faktorisasi, dll. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan melihat apa itu ekspresi rasional, dan juga menganalisis contoh transformasinya .

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya

Definisi

ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, operasi aritmatika dan eksponensial.

Perhatikan contoh ekspresi rasional:

Kasus khusus dari ekspresi rasional:

derajat 1: ;

2. monomial: ;

3. pecahan: .

Transformasi Ekspresi Rasional merupakan penyederhanaan dari ekspresi rasional. Urutan operasi saat mengubah ekspresi rasional: pertama, ada tindakan dalam tanda kurung, lalu operasi perkalian (pembagian), dan kemudian operasi penambahan (pengurangan).

Mari kita perhatikan beberapa contoh tentang transformasi ekspresi rasional.

Contoh 1

Keputusan:

Mari kita selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Menjawab:

Contoh 2

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 3

Keputusan:

Menjawab: .

Catatan: mungkin, saat melihat contoh ini, sebuah ide muncul di benak Anda: kurangi pecahan sebelum direduksi menjadi penyebut yang sama. Memang, itu sepenuhnya benar: pertama, diinginkan untuk menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari kita coba selesaikan contoh yang sama dengan cara kedua.

Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata sangat mirip, tetapi solusinya ternyata agak lebih sederhana.

Dalam pelajaran ini, kita melihat ekspresi rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh spesifik dari transformasi ini.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar kelas 8. - M.: Pencerahan, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 8. - edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

Ekspresi rasional dan pecahan adalah landasan dari keseluruhan kursus aljabar. Mereka yang belajar bagaimana bekerja dengan ekspresi seperti itu, menyederhanakannya dan memfaktorkannya, pada kenyataannya, akan dapat menyelesaikan masalah apa pun, karena transformasi ekspresi adalah bagian integral dari persamaan, ketidaksetaraan, dan bahkan masalah kata yang serius.

Dalam tutorial video ini, kita akan melihat cara menerapkan rumus perkalian yang disingkat dengan benar untuk menyederhanakan ekspresi dan pecahan rasional. Mari kita belajar melihat formula ini di mana, pada pandangan pertama, tidak ada apa-apa. Pada saat yang sama, kami mengulangi trik sederhana seperti memfaktorkan trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor melalui diskriminan.

Seperti yang mungkin sudah Anda tebak dari rumus di belakang saya, hari ini kita akan mempelajari rumus untuk perkalian yang disingkat, atau lebih tepatnya, bukan rumus itu sendiri, tetapi penerapannya untuk menyederhanakan dan mengurangi ekspresi rasional yang kompleks. Namun, sebelum beralih ke penyelesaian contoh, mari kita lihat lebih dekat rumus ini atau mengingatnya:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ adalah selisih kuadrat;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ adalah kuadrat dari jumlah;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ adalah selisih kuadrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \kanan)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \kanan)$ adalah jumlah kubus;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \kanan)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \kanan)$ adalah selisih kubus.

Saya juga ingin mencatat bahwa sistem pendidikan sekolah kami dirancang sedemikian rupa sehingga dengan studi topik ini, yaitu. ekspresi rasional, serta akar, modul, semua siswa memiliki masalah yang sama, yang sekarang akan saya jelaskan.

Faktanya adalah bahwa pada awal mempelajari rumus untuk perkalian yang disingkat dan, karenanya, tindakan untuk mengurangi pecahan (ini tentang kelas 8), guru mengatakan sesuatu seperti ini: “Jika ada sesuatu yang tidak jelas bagi Anda, maka jangan khawatir , kami akan kami akan kembali ke topik ini lebih dari sekali, di sekolah menengah pasti. Kami akan mencari tahu nanti." Nah, kemudian, pada pergantian kelas 9-10, guru yang sama menjelaskan kepada siswa yang sama yang masih belum tahu bagaimana menyelesaikan pecahan rasional, kira-kira seperti ini: “Di mana kamu dua tahun sebelumnya? Hal yang sama dipelajari dalam aljabar di kelas 8! Apa yang tidak bisa dimengerti di sini? Ini sangat jelas!"

Namun, untuk siswa biasa, penjelasan seperti itu sama sekali tidak mudah: mereka masih memiliki kekacauan di kepala mereka, jadi sekarang kita akan menganalisis dua contoh sederhana, atas dasar itu kita akan melihat bagaimana menyoroti ekspresi ini dalam masalah nyata, yang akan membawa kita ke rumus perkalian pendek dan bagaimana menerapkannya nanti untuk mengubah ekspresi rasional yang kompleks.

Pengurangan pecahan rasional sederhana

Tugas 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Hal pertama yang perlu kita pelajari adalah membedakan kuadrat eksak dan pangkat lebih tinggi dalam ekspresi aslinya, yang atas dasar itulah kita dapat menerapkan rumus. Mari kita lihat:

Mari kita tulis ulang ekspresi kita dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \kanan))^(2))-((\left(4x \kanan))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \kanan)\kiri(3 ((y)^(2))+4x \kanan))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Jawaban: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Tugas #2

Mari kita beralih ke tugas kedua:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Tidak ada yang perlu disederhanakan di sini, karena pembilangnya adalah konstanta, tetapi saya mengajukan masalah ini dengan tepat agar Anda mempelajari cara memfaktorkan polinomial yang berisi dua variabel. Jika alih-alih ada polinomial yang ditulis di bawah ini, bagaimana kita menguraikannya?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Mari selesaikan persamaan dan temukan $x$ yang dapat kita tempatkan sebagai pengganti titik:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[(((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[(((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Kita dapat menulis ulang trinomial sebagai berikut:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+6 \kanan)\]

Kami belajar cara bekerja dengan trinomial persegi - untuk ini kami harus merekam pelajaran video ini. Tetapi bagaimana jika, selain $x$ dan konstanta, ada juga $y$? Mari kita lihat mereka sebagai elemen lain dari koefisien, mis. Mari kita tulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[(((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[(((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Kami menulis dekomposisi konstruksi persegi kami:

\[\kiri(x-y \kanan)\kiri(x+6y \kanan)\]

Secara total, jika kita kembali ke ekspresi asli dan menulis ulang dengan mempertimbangkan perubahan, kita mendapatkan yang berikut:

\[\frac(8)(\kiri(x-y \kanan)\kiri(x+6y \kanan))\]

Apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Tidak ada, karena tidak dapat dikurangi, tidak dikalikan atau dibagi dengan apa pun. Namun, segera setelah pecahan ini menjadi bagian integral dari ekspresi yang lebih kompleks, ekspansi semacam itu akan berguna. Oleh karena itu, segera setelah Anda melihat trinomial persegi (apakah dibebani dengan parameter tambahan atau tidak), selalu coba untuk memfaktorkannya.

Nuansa solusi

Ingat aturan dasar untuk mengubah ekspresi rasional:

• Semua penyebut dan pembilang harus difaktorkan baik melalui rumus perkalian yang disingkat atau melalui diskriminan.
• Kita perlu bekerja sesuai dengan algoritme ini: ketika kita melihat dan mencoba menyorot rumus perkalian yang disingkat, maka, pertama-tama, kita mencoba menerjemahkan semuanya ke tingkat semaksimal mungkin. Setelah itu, kami mengambil derajat umum dari tanda kurung.
• Sangat sering akan ada ekspresi dengan parameter: variabel lain akan muncul sebagai koefisien. Kami menemukan mereka menggunakan rumus ekspansi kuadrat.

Jadi, segera setelah Anda melihat pecahan rasional, hal pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor-faktor (menjadi ekspresi linier), sementara kita menggunakan rumus perkalian berkurang atau diskriminan.

Mari kita lihat beberapa ekspresi rasional tersebut dan mencoba untuk memfaktorkannya.

Memecahkan Contoh yang Lebih Kompleks

Tugas 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Kami menulis ulang dan mencoba memperluas setiap istilah:

Mari kita tulis ulang seluruh ekspresi rasional kita dengan mengingat fakta-fakta ini:

\[\frac(((\left(2x \kanan))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-(\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\kiri(3th\kanan))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \kanan)))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \kanan)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3th+((\left(3y \right))^(2)) \kanan))=-1\]

Jawaban: $-1$.

Tugas #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Mari kita lihat semua pecahan.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\kiri(x-2 \kanan))^(2))\]

Mari kita tulis ulang seluruh struktur dengan mempertimbangkan perubahan:

\[\frac(3\kiri(1-2x \kanan))(2\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \kanan))(\kiri(2x-1 \kanan)\kiri(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \kiri(x-2 \kanan))\]

Jawaban: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuansa solusi

Jadi apa yang baru saja kita pelajari:

• Tidak setiap trinomial kuadrat difaktorkan, khususnya, ini berlaku untuk kuadrat tidak lengkap dari jumlah atau selisih, yang sangat sering ditemukan sebagai bagian dari jumlah atau selisih pangkat tiga.
• Konstanta, yaitu bilangan biasa yang tidak memiliki variabel juga dapat berperan sebagai unsur aktif dalam proses dekomposisi. Pertama, mereka dapat dikeluarkan dari tanda kurung, dan kedua, konstanta itu sendiri dapat direpresentasikan sebagai kekuatan.
• Sangat sering, setelah menguraikan semua elemen menjadi faktor, konstruksi yang berlawanan muncul. Anda perlu mengurangi pecahan ini dengan sangat hati-hati, karena ketika Anda mencoretnya baik dari atas atau dari bawah, faktor tambahan $-1$ muncul - inilah konsekuensi dari fakta bahwa mereka berlawanan.

Memecahkan masalah yang kompleks

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara terpisah.

pecahan pertama:

\[((\kiri(3a \kanan))^(3))-((\kiri(4b \kanan))^(3))=\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan)\]

Kita dapat menulis ulang seluruh pembilang dari pecahan kedua sebagai berikut:

\[((\left(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \kanan))^(2))\]

Sekarang mari kita lihat penyebutnya:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \kanan ))^(2))\]

Mari kita tulis ulang seluruh ekspresi rasional dengan mengingat fakta-fakta di atas:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \kanan))(\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kiri(b+2 \kanan))^(2)))( ((\left(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Jawaban: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuansa solusi

Seperti yang telah kita lihat sekali lagi, kuadrat tidak lengkap dari jumlah atau kuadrat tidak lengkap dari perbedaan, yang sering ditemukan dalam ekspresi rasional nyata, bagaimanapun, jangan takut pada mereka, karena setelah transformasi setiap elemen mereka hampir selalu dibatalkan. Selain itu, Anda tidak boleh takut dengan konstruksi besar dalam jawaban akhir - sangat mungkin bahwa ini bukan kesalahan Anda (terutama jika semuanya diperhitungkan), tetapi penulis menyusun jawaban seperti itu.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menganalisis satu contoh kompleks lagi, yang tidak lagi terkait langsung dengan pecahan rasional, tetapi berisi semua yang menanti Anda dalam ujian dan ujian nyata, yaitu: faktorisasi, pengurangan ke penyebut yang sama, pengurangan suku yang serupa. . Itulah yang akan kita lakukan sekarang.

Memecahkan masalah kompleks penyederhanaan dan transformasi ekspresi rasional

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Pertama, perhatikan dan perluas tanda kurung pertama: di dalamnya kita melihat tiga pecahan terpisah dengan penyebut yang berbeda, jadi hal pertama yang perlu kita lakukan adalah membawa ketiga pecahan ke penyebut yang sama, dan untuk ini, masing-masing harus difaktorkan:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan)\]

Mari kita tulis ulang seluruh struktur kita sebagai berikut:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((\kiri(x-2 \kanan))^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \kanan))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ini adalah hasil perhitungan dari kurung pertama.

Berurusan dengan kurung kedua:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \ Baik)\]

Mari kita tulis ulang braket kedua, dengan mempertimbangkan perubahan:

\[\frac(((x)^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))\]

Sekarang mari kita tulis seluruh konstruksi aslinya:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Jawaban: $\frac(1)(x+2)$.

Nuansa solusi

Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata cukup masuk akal. Namun, harap dicatat: sangat sering dengan perhitungan skala besar seperti itu, ketika satu-satunya variabel hanya penyebut, siswa lupa bahwa ini adalah penyebut dan itu harus di bagian bawah pecahan dan menulis ekspresi ini di pembilang - ini adalah kesalahan besar.

Selain itu, saya ingin menarik perhatian khusus Anda tentang bagaimana tugas-tugas tersebut diformalkan. Dalam perhitungan rumit apa pun, semua langkah dilakukan selangkah demi selangkah: pertama, kami menghitung braket pertama secara terpisah, kemudian braket kedua secara terpisah, dan hanya pada akhirnya kami menggabungkan semua bagian dan menghitung hasilnya. Jadi, kami mengasuransikan diri kami dari kesalahan bodoh, dengan hati-hati menuliskan semua perhitungan dan pada saat yang sama tidak membuang waktu ekstra, seperti yang terlihat pada pandangan pertama.