Metode interval dianggap sebagai metode universal untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Ini adalah cara termudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel. Dalam materi ini, kami akan mempertimbangkan semua aspek penggunaan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Untuk memfasilitasi asimilasi materi, kami akan mempertimbangkan sejumlah besar contoh dengan berbagai tingkat kerumitan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritma untuk menerapkan metode interval
Pertimbangkan algoritme untuk menerapkan metode interval dalam versi yang disesuaikan, yang cocok untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Dengan versi metode interval inilah siswa diperkenalkan dengan pelajaran aljabar. Mari kita tidak mempersulit tugas dan kita.
Mari kita beralih ke algoritma itu sendiri.
Kami memiliki trinomial persegi a x 2 + b x + c dari sisi kiri pertidaksamaan persegi. Kami menemukan nol dari trinomial ini.
Gambarlah garis koordinat dalam sistem koordinat. Kami menandai akar di atasnya. Untuk kenyamanan, kami dapat memperkenalkan cara yang berbeda untuk menunjuk poin untuk pertidaksamaan ketat dan tidak ketat. Mari kita setuju bahwa kita akan menandai koordinat dengan titik "kosong" saat menyelesaikan pertidaksamaan ketat, dan dengan titik biasa - titik tidak tegas. Dengan menandai titik, kami mendapatkan beberapa celah pada sumbu koordinat.
Jika pada langkah pertama kami menemukan nol, maka kami menentukan tanda-tanda nilai trinomial untuk setiap interval yang diperoleh. Jika kami tidak menerima nol, maka kami melakukan tindakan ini untuk seluruh garis bilangan. Kami menandai celah dengan tanda "+" atau "-".
Selain itu, kami akan memperkenalkan bayangan dalam kasus-kasus ketika kami menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda > atau dan< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Dengan menandai tanda-tanda nilai trinomial dan dengan menetas di atas segmen, kami memperoleh gambar geometris dari himpunan numerik tertentu, yang sebenarnya merupakan solusi untuk ketidaksetaraan. Kita hanya perlu menuliskan jawabannya.
Mari kita membahas lebih detail pada langkah ketiga dari algoritma, yang melibatkan penentuan tanda celah. Ada beberapa cara untuk mendefinisikan tanda. Mari kita pertimbangkan secara berurutan, dimulai dengan yang paling akurat, meskipun bukan yang tercepat. Metode ini melibatkan penghitungan nilai trinomial pada beberapa titik dari interval yang diperoleh.
Contoh 1
Misalnya, ambil trinomial x 2 + 4 · x 5 .
Akar dari trinomial 1 dan - 5 ini membagi sumbu koordinat menjadi tiga interval (− , 5) , (− 5 , 1) dan (1 , + ) .
Mari kita mulai dengan interval (1 , + ) . Untuk menyederhanakan tugas bagi diri kita sendiri, mari kita ambil x \u003d 2. Kami mendapatkan 2 2 + 4 2 5 = 7 .
7 adalah bilangan positif. Artinya, nilai trinomial bujur sangkar ini pada interval (1 , + ) adalah positif dan dapat dilambangkan dengan tanda “+”.
Untuk menentukan tanda interval (− 5 , 1) kita ambil x = 0 . Kami memiliki 0 2 + 4 0 5 = 5 . Kami menempatkan tanda "-" di atas interval.
Untuk interval (− ∞ , − 5) kita ambil x = 6 , kita dapatkan (− 6) 2 + 4 · (− 6) 5 = 7 . Kami menandai interval ini dengan tanda "+".
Jauh lebih cepat untuk menentukan tanda-tandanya, dengan mempertimbangkan fakta-fakta berikut.
Dengan diskriminan positif, trinomial persegi dengan dua akar memberikan pergantian tanda nilainya pada interval di mana sumbu numerik dibagi dengan akar trinomial ini. Ini berarti bahwa kita tidak perlu mendefinisikan tanda untuk setiap interval. Cukup melakukan perhitungan untuk satu dan meletakkan tanda untuk sisanya, dengan mempertimbangkan prinsip pergantian.
Jika diinginkan, Anda dapat melakukannya tanpa perhitungan sama sekali, menarik kesimpulan tentang tanda-tanda dari nilai koefisien terkemuka. Jika a > 0 , maka kita mendapatkan barisan karakter + , , + , dan jika a< 0 – то − , + , − .
Untuk trinomial kuadrat dengan satu akar, ketika diskriminan adalah nol, kita mendapatkan dua celah pada sumbu koordinat dengan tanda yang sama. Ini berarti bahwa kita menentukan tanda untuk salah satu interval dan menetapkan tanda yang sama untuk interval kedua.
Disini kami juga menerapkan metode penentuan tanda berdasarkan nilai koefisien a : jika a > 0 , maka akan menjadi + , + , dan jika a< 0 , то − , − .
Jika trinomial kuadrat tidak memiliki akar, maka tanda-tanda nilainya untuk seluruh garis koordinat bertepatan dengan tanda koefisien awal a dan tanda suku bebas c.
Misalnya, jika kita mengambil trinomial persegi - 4 x 2 - 7, ia tidak memiliki akar (diskriminannya negatif). Koefisien pada x 2 adalah angka negatif - 4, dan suku bebas - 7 juga negatif. Artinya pada interval (− , + ) nilainya negatif.
Pertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritma yang dibahas di atas.
Contoh 2
Selesaikan pertidaksamaan 8 · x 2 4 · x 1 0 .
Keputusan
Kami menggunakan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Untuk melakukannya, kita cari akar-akar trinomial kuadrat 8 · x 2 4 · x 1 . Karena koefisien di x genap, akan lebih mudah bagi kita untuk menghitung bukan diskriminan, tetapi bagian keempat dari diskriminan: D " = (− 2) 2 8 (− 1) = 12.
Diskriminan lebih besar dari nol. Ini memungkinkan kita menemukan dua akar trinomial kuadrat: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 dan x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Perhatikan nilai-nilai ini pada garis bilangan. Karena persamaannya tidak ketat, kami menggunakan titik-titik biasa pada grafik.
Sekarang, dengan menggunakan metode interval, kami menentukan tanda-tanda dari tiga interval yang diperoleh. Koefisien pada x 2 sama dengan 8, yaitu positif, oleh karena itu, urutan tandanya adalah + , , + .
Karena kami menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda , kami menggambar garis di atas celah dengan tanda plus: 
Mari kita tuliskan secara analitis himpunan numerik sesuai dengan gambar grafik yang diperoleh. Kita dapat melakukannya dengan dua cara:
Menjawab:(- ; 1 - 3 4 ] [ 1 + 3 4 , + ) atau x 1 - 3 4 , x 1 + 3 4 .
Contoh 3
Memecahkan pertidaksamaan kuadrat - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Keputusan
Pertama, mari kita cari akar trinomial kuadrat dari sisi kiri pertidaksamaan:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
Ini adalah ketidaksetaraan yang ketat, jadi kami menggunakan titik "kosong" pada grafik. Dengan koordinat 7 .
Sekarang kita perlu menentukan tanda-tanda pada interval yang diperoleh (− , 7) dan (7 , + ) . Karena diskriminan dari trinomial kuadrat sama dengan nol, dan koefisien terkemuka negatif, kami meletakkan tanda , :
Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan bertanda< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
Dalam hal ini, solusinya adalah kedua interval (− , 7), (7 , + ) .
Menjawab:(− ∞ , 7) (7 , + ) atau dalam notasi lain x 7 .
Contoh 4
Apakah pertidaksamaan kuadrat x 2 + x + 7< 0 решения?
Keputusan
Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat dari sisi kiri pertidaksamaan. Untuk melakukan ini, kami menemukan diskriminan: D = 1 2 4 1 7 = 1 28 = 27 . Diskriminan kurang dari nol, jadi tidak ada akar real.
Gambar grafik akan terlihat seperti garis bilangan tanpa tanda titik di atasnya.
Mari kita tentukan tanda dari nilai-nilai trinomial persegi. Di D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
Dalam hal ini, kita bisa menerapkan penetasan di atas celah dengan tanda “-”. Tapi kami tidak memiliki celah seperti itu. Jadi gambarnya terlihat seperti ini:
Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapat satu set kosong. Ini berarti bahwa pertidaksamaan kuadrat ini tidak memiliki solusi.
Menjawab: Tidak.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Telah diperlukan untuk membandingkan nilai dan kuantitas dalam memecahkan masalah praktis sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, kata-kata seperti lebih dan kurang, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll muncul, yang menunjukkan hasil membandingkan jumlah yang homogen.
Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan penghitungan benda, pengukuran dan perbandingan jumlah. Misalnya, matematikawan Yunani kuno tahu bahwa sisi segitiga apa pun lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan bahwa sisi segitiga yang lebih besar terletak di seberang sudut yang lebih besar. Archimedes, ketika menghitung keliling lingkaran, menemukan bahwa keliling lingkaran apa pun sama dengan tiga kali diameter dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameter, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh satu diameter.
Tulislah hubungan antara bilangan dan besaran secara simbolis dengan menggunakan tanda > dan b. Entri di mana dua angka dihubungkan oleh salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga bertemu dengan ketidaksetaraan numerik di kelas dasar. Anda tahu bahwa ketidaksetaraan mungkin atau mungkin tidak benar. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) adalah pertidaksamaan numerik yang valid, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik yang tidak valid.
Ketidaksetaraan yang mencakup yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk yang lain. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui, Anda dapat mengatur tugas: selesaikan pertidaksamaan. Masalah pemecahan ketidaksetaraan dalam praktek diajukan dan dipecahkan tidak kurang dari masalah pemecahan persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi direduksi menjadi studi dan solusi sistem pertidaksamaan linier. Di banyak cabang matematika, ketidaksetaraan lebih umum daripada persamaan.
Beberapa ketidaksetaraan berfungsi sebagai satu-satunya alat bantu untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya, akar persamaan.
Pertidaksamaan numerik
Anda dapat membandingkan bilangan bulat dan desimal. Mengetahui aturan untuk membandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar bagaimana membandingkan dua angka dengan menemukan tanda perbedaannya.
Perbandingan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan yang sebenarnya, dokter membandingkan suhu pasien dengan normal, turner membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus seperti itu, beberapa angka dibandingkan. Sebagai hasil dari membandingkan angka, ketidaksetaraan numerik muncul.
Definisi. Angka a lebih besar dari angka b jika selisih a-b positif. Angka a lebih kecil dari angka b jika selisih a-b negatif.
Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk setiap dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.
Dalil. Jika angka yang sama ditambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.
Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Konsekuensi. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat ditambahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan belajar bagaimana melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu Anda memecahkan masalah mengevaluasi dan membandingkan nilai ekspresi.
Ketika memecahkan berbagai masalah, sering kali perlu menambahkan atau mengalikan suku dengan suku bagian kiri dan kanan pertidaksamaan. Kadang-kadang dikatakan bahwa ketidaksetaraan ditambahkan atau dikalikan. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka dapat dikatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka dapat dikatakan luas persegi panjang tersebut kurang dari 65 cm2.
Dalam mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:
Dalil. Saat menjumlahkan pertidaksamaan bertanda sama, kita mendapatkan pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.
Dalil. Ketika mengalikan pertidaksamaan bertanda sama, yang bagian kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.
Pertidaksamaan dengan tanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c Berikut pertidaksamaan tegas > dan Pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu dan tidak kurang dari b.
Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tak tegas. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukan pertidaksamaan yang tegas.
Semua sifat pertidaksamaan ketat juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Selain itu, jika untuk pertidaksamaan ketat tanda > dianggap berlawanan, dan Anda tahu bahwa untuk menyelesaikan sejumlah masalah yang diterapkan, Anda harus membuat model matematika dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan belajar bahwa model matematika untuk menyelesaikan banyak masalah adalah pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara memeriksa apakah suatu bilangan merupakan solusi pertidaksamaan tertentu.
Pertidaksamaan bentuk
\(ax > b, \quad ax dimana a dan b diberi bilangan dan x tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.
Definisi. Penyelesaian dari pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan yang tidak diketahui tersebut, sehingga pertidaksamaan ini berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi.
Anda memecahkan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana. Demikian pula, ketika memecahkan pertidaksamaan, seseorang cenderung menguranginya dengan bantuan properti ke bentuk pertidaksamaan yang paling sederhana.
Penyelesaian pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel
Pertidaksamaan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \) disebut pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel.
Memecahkan ketidaksetaraan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai menemukan celah di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau nilai negatif Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) terletak di bidang koordinat: di mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah , apakah parabola memotong sumbu x dan jika itu memotongnya, maka di titik apa.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) temukan diskriminan dari trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dan cari tahu apakah trinomial tersebut memiliki akar-akar;
2) jika trinomial memiliki akar, maka tandai pada sumbu x dan secara skematis gambar parabola melalui titik-titik yang ditandai, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas di a > 0 atau ke bawah di 0 atau ke bawah di a 3) temukan celah pada sumbu x yang titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0 \)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan
\(ax^2+bx+c Solusi pertidaksamaan dengan metode interval
Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi adalah angka -2, 3, 5. Mereka membagi domain fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) dan \( (5; +\infty) \)
Mari kita cari tahu apa tanda-tanda fungsi ini di setiap interval yang ditunjukkan.
Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah produk dari tiga faktor. Tanda masing-masing faktor ini dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:
Secara umum, biarkan fungsi diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
di mana x adalah variabel, dan x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Di setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol fungsi, tanda fungsi dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.
Sifat ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama
Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.
Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.
Selesaikan pertidaksamaan:
\(x(0.5-x)(x+4) Jelas, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Kami memplot nol fungsi pada sumbu nyata dan menghitung tanda pada setiap interval:
Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.
Menjawab:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Pertidaksamaan persegi, contoh solusi"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 9
Buku teks elektronik "Geometri yang dapat dipahami" untuk kelas 7-9
Kompleks pendidikan 1C: "Geometri, Kelas 9"
Guys, kita sudah tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Pertidaksamaan kuadrat Pertidaksamaan seperti ini disebut:
$ax^2+bx+c>0$.
Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja, koefisien a, b, c adalah bilangan apa saja ($a≠0$).
Semua aturan yang kami definisikan untuk pertidaksamaan linier juga berfungsi di sini. Ulangi aturan ini sendiri!
Mari kita perkenalkan aturan penting lainnya:
Jika trinomial $ax^2+bx+c$ memiliki diskriminan negatif, maka jika kita mensubstitusi sembarang nilai x, tanda trinomial akan sama dengan tanda y dari koefisien a.
Contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
dapat diselesaikan dengan memplot grafik atau memplot interval. Mari kita lihat contoh solusi untuk ketidaksetaraan.Contoh.
1. Selesaikan pertidaksamaan: $x^2-2x-8
Keputusan:
Temukan akar persamaan $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ dan $x_2=-2$.
Mari kita plot persamaan kuadrat. Sumbu absis berpotongan di titik 4 dan -2. 2. Selesaikan pertidaksamaan: $5x-6 Keputusan: Mari kita buat grafik persamaan kuadrat, sumbu absis berpotongan di titik 2 dan 3. 3. Selesaikan pertidaksamaan: $2^2+2x+1≥0$. Keputusan: 4. Selesaikan pertidaksamaan: $x^2+x-2 Artikel ini berisi materi yang mencakup topik " penyelesaian pertidaksamaan kuadrat". Pertama, ditunjukkan apa pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel, bentuk umumnya diberikan. Dan kemudian dianalisis secara rinci bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Pendekatan utama untuk solusi ditunjukkan: metode grafis, metode interval, dan dengan menyorot kuadrat binomial di sisi kiri pertidaksamaan. Solusi dari contoh tipikal diberikan. Navigasi halaman. Tentu saja, sebelum berbicara tentang penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, seseorang harus memahami dengan jelas apa itu pertidaksamaan kuadrat. Dengan kata lain, Anda harus dapat membedakan pertidaksamaan kuadrat dari pertidaksamaan jenis lain berdasarkan jenis record. Definisi.
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan berbentuk a x 2 + b x + c<0
(вместо знака >bisa ada tanda pertidaksamaan lainnya , >, ), di mana a, b dan c adalah beberapa angka, dan a≠0, dan x adalah variabel (variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain). Mari kita segera beri nama lain untuk pertidaksamaan kuadrat - pertidaksamaan derajat kedua. Nama ini dijelaskan oleh fakta bahwa di sisi kiri pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». Anda juga kadang-kadang dapat mendengar bahwa pertidaksamaan kuadrat disebut pertidaksamaan kuadrat. Ini tidak sepenuhnya benar: definisi "kuadrat" mengacu pada fungsi yang diberikan oleh persamaan berbentuk y=a x 2 +b x+c . Jadi ada pertidaksamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, tetapi bukan pertidaksamaan kuadrat. Mari kita tunjukkan beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat: 5 x 2 3 x+1>0 , di sini a=5 , b=−3 dan c=1 ; 2,2 z 2 0,5 z−11≤0, koefisien pertidaksamaan kuadrat ini adalah a=−2.2 , b=−0.5 dan c=−11 ; , pada kasus ini Perhatikan bahwa dalam definisi pertidaksamaan kuadrat, koefisien a pada x 2 dianggap bukan nol. Hal ini dapat dimengerti, persamaan koefisien a ke nol sebenarnya akan “menghilangkan” kuadrat, dan kita akan berhadapan dengan pertidaksamaan linier berbentuk b x + c>0 tanpa kuadrat variabel. Tetapi koefisien b dan c bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersamaan. Berikut adalah contoh pertidaksamaan kuadrat tersebut: x 2 5≥0 , di sini koefisien b untuk variabel x sama dengan nol; 3 x 2 0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 dan b dan c adalah nol. Sekarang Anda mungkin bingung dengan pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Pada dasarnya, tiga metode utama digunakan untuk menyelesaikan: Mari kita segera membuat reservasi bahwa metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yang mulai kita pertimbangkan, tidak disebut grafis dalam buku teks sekolah aljabar. Namun, pada dasarnya, inilah dia. Terlebih lagi, kenalan pertama dengan cara grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan biasanya dimulai ketika muncul pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Cara grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ) adalah menganalisis grafik fungsi kuadrat y=a x 2 +b x+c untuk menemukan interval di mana fungsi yang ditentukan mengambil nilai negatif, positif, non-positif, atau non-negatif. Interval-interval ini merupakan solusi dari pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0 , masing-masing a x 2 +b x+c≤0 dan a x 2 +b x+c≥0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel, selain metode grafis, metode interval cukup nyaman, yang dengan sendirinya sangat serbaguna, dan cocok untuk menyelesaikan berbagai pertidaksamaan, bukan hanya pertidaksamaan kuadrat. Sisi teoretisnya terletak di luar kursus aljabar kelas 8, 9, ketika mereka belajar memecahkan pertidaksamaan kuadrat. Oleh karena itu, di sini kita tidak akan membahas pembenaran teoretis dari metode interval, tetapi akan fokus pada bagaimana pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuannya. Inti dari metode interval, dalam kaitannya dengan solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x + c<0
(≤, >, ), terdiri dalam menentukan tanda-tanda yang memiliki nilai trinomial persegi a x 2 + b x + c pada interval di mana sumbu koordinat dibagi dengan nol dari trinomial ini (jika ada). Celah dengan tanda minus merupakan solusi dari pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , dan ketika memecahkan pertidaksamaan tak-ketat, titik-titik yang bersesuaian dengan nol dari trinomial ditambahkan ke interval yang ditunjukkan. Anda dapat berkenalan dengan semua detail metode ini, algoritmenya, aturan untuk menempatkan tanda pada interval dan mempertimbangkan solusi yang sudah jadi untuk contoh tipikal dengan ilustrasi yang diberikan dengan mengacu pada materi artikel yang memecahkan pertidaksamaan kuadrat dengan interval metode. Selain metode grafis dan metode interval, ada pendekatan lain yang memungkinkan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dan kami datang ke salah satunya, yang didasarkan pada mengkuadratkan binomial di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat. Prinsip dari metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ini adalah dengan melakukan transformasi ekuivalen dari pertidaksamaan , yang memungkinkan seseorang untuk pergi ke solusi pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk (x−p) 2 Dan bagaimana transisi ke pertidaksamaan (x−p) 2 Dalam praktiknya, sangat sering kita harus berurusan dengan pertidaksamaan yang dapat direduksi dengan bantuan transformasi ekuivalen ke pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk a x 2 +b x + c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Mari kita mulai dengan contoh pertidaksamaan paling sederhana yang dapat direduksi menjadi pertidaksamaan kuadrat. Terkadang, untuk beralih ke pertidaksamaan kuadrat, cukup dengan mengatur ulang suku-suku dalam pertidaksamaan ini atau memindahkannya dari satu bagian ke bagian lain. Misalnya, jika kita memindahkan semua suku dari ruas kanan pertidaksamaan 5≤2 x−3 x 2 ke ruas kiri, maka kita mendapatkan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk yang ditentukan di atas 3 x 2 2 x+5≤0 . Contoh lain: menata ulang pertidaksamaan 5+0,6 x 2 x di ruas kiri<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. Di sekolah, dalam pelajaran aljabar, ketika mereka belajar memecahkan pertidaksamaan kuadrat, mereka secara bersamaan berurusan dengan: penyelesaian pertidaksamaan rasional, direduksi menjadi persegi. Solusinya melibatkan pemindahan semua suku ke ruas kiri dengan transformasi berikutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana ke bentuk a x 2 +b x + c dengan mengeksekusi . Pertimbangkan sebuah contoh. Contoh. Temukan satu set solusi untuk pertidaksamaan 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.ketidaksetaraan irasional Bibliografi. tingkat menengah Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat, kita perlu mengetahui apa itu fungsi kuadrat dan sifat-sifatnya. Pasti Anda bertanya-tanya mengapa fungsi kuadrat dibutuhkan sama sekali? Di mana grafiknya (parabola) dapat diterapkan? Ya, Anda hanya perlu melihat-lihat, dan Anda akan melihat bahwa setiap hari dalam kehidupan sehari-hari Anda menemuinya. Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana bola yang dilempar terbang dalam pendidikan jasmani? "Dalam busur"? Jawaban yang paling benar adalah "dalam parabola"! Dan sepanjang lintasan apa jet bergerak di air mancur? Ya, juga dalam parabola! Dan bagaimana peluru atau proyektil bisa terbang? Itu benar, juga dalam parabola! Dengan demikian, mengetahui sifat-sifat fungsi kuadrat, akan dimungkinkan untuk memecahkan banyak masalah praktis. Misalnya, pada sudut berapa bola harus dilempar untuk memberikan jangkauan terbesar? Atau di mana proyektil akan berakhir jika ditembakkan pada sudut tertentu? dll. Jadi, mari kita cari tahu. Sebagai contoh, . Apa yang setara di sini, dan? Yah, tentu saja, dan! Bagaimana jika, yaitu kurang dari nol? Nah, tentu saja kita “sedih”, yang artinya cabang-cabangnya akan mengarah ke bawah! Mari kita lihat grafiknya. Gambar ini menunjukkan grafik suatu fungsi. Sejak, yaitu kurang dari nol, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Selain itu, Anda mungkin telah memperhatikan bahwa cabang-cabang parabola ini berpotongan dengan sumbu, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki 2 akar, dan fungsinya mengambil nilai positif dan negatif! Pada awalnya, ketika kami memberikan definisi fungsi kuadrat, dikatakan bahwa dan adalah beberapa angka. Bisakah mereka sama dengan nol? Yah, tentu saja mereka bisa! Saya bahkan akan mengungkapkan rahasia yang lebih besar (yang sama sekali bukan rahasia, tetapi perlu disebutkan): tidak ada batasan yang dikenakan pada angka-angka ini (dan) sama sekali! Nah, mari kita lihat apa yang terjadi pada grafik jika dan sama dengan nol. Seperti yang Anda lihat, grafik fungsi yang dipertimbangkan (u) telah bergeser sehingga simpulnya sekarang berada di titik dengan koordinat, yaitu, di persimpangan sumbu dan, ini tidak mempengaruhi arah cabang. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa mereka bertanggung jawab atas "pergerakan" grafik parabola di sepanjang sistem koordinat. Grafik fungsi menyentuh sumbu di suatu titik. Jadi persamaan memiliki satu akar. Dengan demikian, fungsi mengambil nilai lebih besar dari atau sama dengan nol. Kami mengikuti logika yang sama dengan grafik fungsi. Menyentuh sumbu x di suatu titik. Jadi persamaan memiliki satu akar. Dengan demikian, fungsi mengambil nilai kurang dari atau sama dengan nol, yaitu. Jadi, untuk menentukan tanda suatu ekspresi, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari akar persamaannya. Ini akan sangat berguna bagi kami. Saat memecahkan pertidaksamaan seperti itu, kita akan membutuhkan kemampuan untuk menentukan di mana fungsi kuadrat lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan nol. Yaitu: Jika pertidaksamaan tidak ketat (dan), maka akar (koordinat perpotongan parabola dengan sumbu) dimasukkan dalam interval numerik yang diinginkan, dengan pertidaksamaan ketat mereka dikecualikan. Ini semua cukup formal, tetapi jangan putus asa dan takut! Sekarang mari kita lihat contoh, dan semuanya akan sesuai. Saat memecahkan ketidaksetaraan kuadrat, kami akan mematuhi algoritma di atas, dan kami pasti akan berhasil! Mengerti? Kemudian kencangkan ke depan! Contoh: Nah, apakah itu berhasil? Jika Anda mengalami kesulitan, maka pahami solusinya. Keputusan: Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaan adalah " ". Pertidaksamaannya tidak tegas, sehingga akar-akarnya termasuk dalam interval: Kami menulis persamaan kuadrat yang sesuai: Carilah akar-akar persamaan kuadrat ini: Kami secara skematis menandai akar yang diperoleh pada sumbu dan mengatur tanda-tanda: Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaan adalah " ". Ketidaksetaraan ketat, sehingga akar tidak termasuk dalam interval: Kami menulis persamaan kuadrat yang sesuai: Carilah akar-akar persamaan kuadrat ini: persamaan ini memiliki satu akar Kami secara skematis menandai akar yang diperoleh pada sumbu dan mengatur tanda-tanda: Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaan adalah " ". Untuk setiap fungsi mengambil nilai non-negatif. Karena ketidaksetaraan tidak ketat, jawabannya adalah Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai: Carilah akar-akar persamaan kuadrat ini: Secara skematis gambarlah grafik parabola dan tempatkan tanda-tandanya: Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaan adalah " ". Untuk sembarang, fungsi mengambil nilai positif, oleh karena itu, solusi pertidaksamaan akan menjadi interval: Sebelum berbicara tentang topik "pertidaksamaan kuadrat", mari kita ingat apa itu fungsi kuadrat dan apa grafiknya. Dengan kata lain, ini polinomial derajat dua. Grafik fungsi kuadrat adalah parabola (ingat apa itu?). Cabang-cabangnya diarahkan ke atas jika "a) fungsi hanya mengambil nilai positif untuk semua, dan di kedua () - hanya negatif: Dalam kasus ketika persamaan () memiliki tepat satu akar (misalnya, jika diskriminan adalah nol), ini berarti grafik menyentuh sumbu: Kemudian, mirip dengan kasus sebelumnya, untuk " . Jadi, bagaimanapun, kami baru-baru ini belajar untuk menentukan di mana fungsi kuadrat lebih besar dari nol, dan di mana lebih kecil: Jika pertidaksamaan kuadrat tidak tegas, maka akar-akarnya termasuk dalam interval numerik, jika tegas tidak. Jika hanya ada satu root, tidak apa-apa, akan ada tanda yang sama di mana-mana. Jika tidak ada akar, semuanya hanya bergantung pada koefisien: jika "25((x)^(2))-30x+9 Jawaban: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Tidak ada akar, jadi seluruh ekspresi di sisi kiri mengambil tanda koefisien sebelumnya: fungsi kuadrat adalah fungsi dari bentuk: Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Cabang-cabangnya diarahkan ke atas jika, dan ke bawah jika: Jenis pertidaksamaan persegi: Semua pertidaksamaan kuadrat direduksi menjadi empat jenis berikut: Algoritma solusi:
Trinomial persegi kami mengambil nilai kurang dari nol di mana grafik fungsi terletak di bawah sumbu x.
Melihat grafik fungsi, kita mendapatkan jawabannya: $x^2-2x-8 Jawaban: $-2
Mari kita ubah pertidaksamaan: $-x^2+5x-6 Bagi pertidaksamaan dengan minus satu. Jangan lupa ubah tandanya: $x^2-5x+6>0$.
Mari kita cari akar dari trinomial: $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Trinomial persegi kami mengambil nilai lebih besar dari nol di mana grafik fungsi terletak di atas sumbu x. Melihat grafik fungsi, kami mendapatkan jawabannya: $5x-6
Mari kita cari akar dari trinomial kita, untuk ini kita hitung diskriminannya: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminannya kurang dari nol. Mari kita gunakan aturan yang kita perkenalkan di awal. Tanda pertidaksamaan akan sama dengan tanda koefisien kuadrat. Dalam kasus kami, koefisiennya positif, yang berarti bahwa persamaan kami akan positif untuk setiap nilai x.
Jawaban: Untuk semua x, pertidaksamaan lebih besar dari nol.
Keputusan:
Mari kita cari akar-akar trinomial dan letakkan pada garis koordinat: $x_1=-2$ dan $x_2=1$. 
Jika $x>1$ dan $x Jika $x>-2$ dan $x Jawab: $x>-2$ dan $xMasalah untuk memecahkan pertidaksamaan kuadrat
Memecahkan ketidaksetaraan:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Apa itu pertidaksamaan kuadrat?
.Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?
Secara grafis
metode interval
Dengan mengisolasi kuadrat dari binomial
, ), di mana p dan q adalah beberapa bilangan.
, ) dan cara menyelesaikannya, materi artikel menjelaskan solusi pertidaksamaan kuadrat dengan menyoroti kuadrat binomial. Ada juga contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan cara ini dan ilustrasi grafik yang diperlukan diberikan.
Pertidaksamaan kuadrat
setara dengan pertidaksamaan kuadrat x 2 6 x−9<0
, а pertidaksamaan logaritma 
– pertidaksamaan x 2 +x−2≥0 .Pertidaksamaan persegi. Panduan Komprehensif (2019)
fungsi kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat
algoritma
Contoh:
1) Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai dengan pertidaksamaan (cukup ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan "=").
2) Temukan akar-akar persamaan ini.
3) Tandai akar pada sumbu dan tunjukkan secara skematis orientasi cabang parabola ("atas" atau "bawah")
4) Mari kita tempatkan pada sumbu tanda-tanda yang sesuai dengan tanda fungsi kuadrat: di mana parabola berada di atas sumbu, kita letakkan "", dan di mana lebih rendah - "".
5) Kami menulis interval (s) yang sesuai dengan "" atau "", tergantung pada tanda pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan tidak tegas, akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval; jika tidak tegas, akar-akarnya tidak disertakan.
KETIMPANGAN KOTAK. TINGKAT TENGAH
Fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah fungsi dari bentuk
KETIMPANGAN KOTAK. SINGKAT TENTANG UTAMA
algoritma
Contoh:
1) Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai dengan pertidaksamaan (cukup ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan "").
2) Temukan akar-akar persamaan ini.
3) Tandai akar pada sumbu dan tunjukkan secara skematis orientasi cabang parabola ("atas" atau "bawah")
4) Mari kita tempatkan pada sumbu tanda-tanda yang sesuai dengan tanda fungsi kuadrat: di mana parabola berada di atas sumbu, kita letakkan "", dan di mana lebih rendah - "".
5) Kami menulis interval (s) yang sesuai dengan (s) "" atau "", tergantung pada tanda pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan tidak tegas, akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval; jika pertidaksamaan tegas, akar-akarnya tidak dimasukkan.
