Saat ini, salah satu keterampilan terpenting bagi spesialis mana pun adalah kemampuan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial - tidak ada satu tugas pun yang dapat dilakukan tanpa ini, apakah itu perhitungan parameter fisik apa pun atau pemodelan perubahan sebagai akibat dari kebijakan ekonomi makro yang diadopsi. Persamaan ini juga penting untuk sejumlah ilmu lain seperti kimia, biologi, kedokteran, dll. Di bawah ini kami akan memberikan contoh penggunaan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi, tetapi sebelum itu kami akan berbicara secara singkat tentang jenis-jenis persamaan utama.

Persamaan diferensial - jenis paling sederhana

Orang bijak mengatakan bahwa hukum alam semesta kita ditulis dalam bahasa matematika. Tentu saja, ada banyak contoh berbagai persamaan dalam aljabar, tetapi ini sebagian besar adalah contoh pendidikan yang tidak dapat diterapkan dalam praktik. Matematika yang sangat menarik dimulai ketika kita ingin menggambarkan proses yang terjadi dalam kehidupan nyata. Tetapi bagaimana mencerminkan faktor waktu, yang tunduk pada proses nyata - inflasi, output atau indikator demografis?

Ingat satu definisi penting dari kursus matematika mengenai turunan dari suatu fungsi. Turunan adalah laju perubahan fungsi, sehingga dapat membantu kita mencerminkan faktor waktu dalam persamaan.

Artinya, kami membuat persamaan dengan fungsi yang menggambarkan indikator yang kami minati dan menambahkan turunan dari fungsi ini ke persamaan. Ini adalah persamaan diferensial. Sekarang mari kita beralih ke yang paling sederhana jenis persamaan diferensial untuk boneka.

Persamaan diferensial paling sederhana memiliki bentuk $y'(x)=f(x)$, di mana $f(x)$ adalah suatu fungsi, dan $y'(x)$ adalah turunan atau laju perubahan dari fungsi yang diinginkan . Ini diselesaikan dengan integrasi biasa: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Jenis kedua yang paling sederhana disebut persamaan diferensial yang dapat dipisahkan. Persamaan tersebut terlihat seperti ini $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Dapat dilihat bahwa variabel terikat $y$ juga merupakan bagian dari fungsi yang dibangun. Persamaan diselesaikan dengan sangat sederhana - Anda perlu "memisahkan variabel", yaitu, bawa ke bentuk $y'(x)/g(y)=f(x)$ atau $dy/g(y)= f(x)dx$. Tetap integrasikan kedua bagian $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ini adalah solusi dari persamaan diferensial tipe yang dapat dipisahkan.

Jenis sederhana terakhir adalah persamaan diferensial linier orde satu. Bentuknya $y'+p(x)y=q(x)$. Di sini $p(x)$ dan $q(x)$ adalah beberapa fungsi, dan $y=y(x)$ adalah fungsi yang diinginkan. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, metode khusus telah digunakan (metode Lagrange untuk variasi konstanta arbitrer, metode substitusi Bernoulli).

Ada jenis persamaan yang lebih kompleks - persamaan urutan kedua, ketiga dan umumnya arbitrer, persamaan homogen dan tidak homogen, serta sistem persamaan diferensial. Untuk mengatasinya, Anda memerlukan persiapan awal dan pengalaman dalam memecahkan masalah yang lebih sederhana.

Yang sangat penting untuk fisika dan, yang mengejutkan, keuangan adalah apa yang disebut persamaan diferensial parsial. Ini berarti bahwa fungsi yang diinginkan tergantung pada beberapa variabel secara bersamaan. Misalnya, persamaan Black-Scholes dari bidang teknik keuangan menggambarkan nilai opsi (jenis sekuritas) tergantung pada hasil, jumlah pembayaran, serta waktu mulai dan akhir pembayaran. Memecahkan persamaan diferensial parsial cukup rumit, biasanya Anda perlu menggunakan program khusus seperti Matlab atau Maple.

Contoh penerapan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi

Kami memberikan, seperti yang dijanjikan, contoh sederhana untuk memecahkan persamaan diferensial. Mari kita atur tugas terlebih dahulu.

Untuk beberapa perusahaan, fungsi pendapatan marjinal dari penjualan produknya memiliki bentuk $MR=10-0.2q$. Di sini $MR$ adalah pendapatan marjinal perusahaan dan $q$ adalah outputnya. Kita perlu mencari total pendapatan.

Seperti yang dapat dilihat dari masalah, ini adalah contoh terapan dari ekonomi mikro. Banyak perusahaan dan perusahaan terus-menerus dihadapkan dengan perhitungan seperti itu dalam kegiatan mereka.

Mari kita ke keputusan. Seperti diketahui dari ekonomi mikro, pendapatan marjinal merupakan turunan dari total pendapatan, dan pendapatan adalah nol pada penjualan nol.

Dari sudut pandang matematis, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian persamaan diferensial $R’=10-0.2q$ dalam kondisi $R(0)=0$.

Kami mengintegrasikan persamaan, mengambil fungsi antiturunan dari kedua bagian, kami mendapatkan solusi umum: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Untuk mencari konstanta $C$, ingat kondisi $R(0)=0$. Pengganti: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Jadi C=0 dan fungsi pendapatan total kita menjadi $R(q)=10q-0.1q^2$. Masalah terpecahkan.

Contoh lain untuk berbagai jenis kendali jarak jauh dikumpulkan di halaman:

Lampiran

Memecahkan persamaan diferensial secara online di situs bagi siswa untuk mengkonsolidasikan materi yang telah mereka pelajari. Dan latih keterampilan praktis Anda. persamaan diferensial online. Difuras online, solusi matematika online. Langkah demi langkah solusi masalah matematika online. Orde, atau derajat, persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang termasuk di dalamnya. persamaan diferensial online. Proses penyelesaian persamaan diferensial disebut integrasi. Masalah integrasi persamaan diferensial dianggap terpecahkan jika temuan fungsi yang tidak diketahui dapat dibawa ke kuadratur, terlepas dari apakah integral yang dihasilkan dinyatakan dalam bentuk akhir dalam hal fungsi yang diketahui atau tidak. Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Semua persamaan diferensial dapat dibagi menjadi persamaan diferensial biasa (ODE), yang hanya mencakup fungsi (dan turunannya) dari satu argumen, dan persamaan diferensial parsial (PDE), di mana fungsi input bergantung pada banyak variabel. persamaan diferensial online. Ada juga persamaan diferensial stokastik (SDE) yang melibatkan proses acak. Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Tergantung pada kombinasi turunan, fungsi, variabel independen, persamaan diferensial dibagi menjadi linier dan non-linier, dengan koefisien konstan atau variabel, homogen atau non-homogen. Karena pentingnya aplikasi, persamaan diferensial parsial kuasilinear (linier sehubungan dengan turunan yang lebih tinggi) dipilih dalam kelas yang terpisah. Penyelesaian persamaan diferensial dibagi menjadi solusi umum dan solusi khusus. persamaan diferensial online. Solusi umum meliputi konstanta tak terdefinisi, dan untuk persamaan diferensial parsial, fungsi sembarang dari variabel independen yang dapat disempurnakan dari kondisi integrasi tambahan (kondisi awal untuk persamaan diferensial biasa, kondisi awal dan batas untuk persamaan diferensial parsial). Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Setelah menentukan bentuk fungsi konstan dan tak tentu ini, penyelesaiannya menjadi partikular. Pencarian solusi untuk persamaan diferensial biasa mengarah pada pembentukan kelas fungsi khusus - fungsi yang sering ditemui dalam aplikasi yang tidak dinyatakan dalam fungsi dasar yang diketahui. persamaan diferensial online. Properti mereka dipelajari secara rinci, tabel nilai disusun, interkoneksi ditentukan, dll. . Himpunan nomor enumerated dapat dieksplorasi. Jawaban terbaik untuk masalah yang diberikan. Bagaimana menemukan dalam pendekatan pertama vektor keluar ke daerah konvergensi tentang persamaan Diferensial tanpa mengklarifikasi batas atas yang ditemukan. Pilihannya jelas untuk meningkatkan fungsi matematika. Ada metode progresif di atas tingkat penelitian. Untuk menyelaraskan dengan kondisi awal masalah, solusi dari yang diferensial akan membantu untuk menemukan nilai terpilih yang bernilai tunggal. Mungkin dia bisa segera menentukan yang tidak diketahui. Seperti pada contoh sebelumnya yang menunjukkan solusi untuk masalah matematika, persamaan diferensial linier adalah jawaban untuk masalah tertentu dalam kerangka waktu tertentu. Pemeliharaan prosedur studi tidak ditentukan secara lokal. Ini akan menjadi contoh untuk setiap siswa dan solusi persamaan diferensial akan ditentukan oleh orang yang ditugaskan ke pelaksana yang bertanggung jawab dari setidaknya dua nilai. Ambil fungsi nilai umum pada segmen tertentu dan peringatkan di sepanjang sumbu mana akan ada celah. Setelah mempelajari persamaan diferensial secara online, adalah mungkin untuk menunjukkan dengan jelas betapa pentingnya hasilnya, jika diberikan dari kondisi awal. Memotong suatu wilayah dari definisi fungsi tidak mungkin, karena tidak ada definisi tugas secara lokal. Ditemukan dari sistem persamaan, jawabannya berisi variabel yang dapat dihitung dalam pengertian umum, tetapi secara alami akan mungkin untuk menyelesaikan persamaan diferensial online tanpa tindakan ini untuk menentukan kondisi tersebut. Dekat interval segmen, dapat dilihat bagaimana solusi persamaan diferensial online mampu memajukan hasil penelitian ke arah yang positif pada saat cutoff pengetahuan siswa. Yang terbaik tidak selalu diperoleh dengan pendekatan bisnis yang diterima secara umum. Pada tingkat 2x, seseorang dapat dengan berguna melihat semua persamaan diferensial linier alami yang diperlukan, tetapi kemampuan untuk menghitung nilai numerik akan mengarah pada peningkatan pengetahuan. Menurut teknik apa pun dalam matematika, ada persamaan diferensial yang disajikan dalam ekspresi yang pada dasarnya berbeda, seperti homogen atau kompleks. Setelah melakukan analisis umum dari studi fungsi, akan menjadi jelas bahwa solusi diferensial sebagai himpunan kemungkinan mewakili kesalahan yang jelas dalam nilai. Kebenaran di dalamnya terletak pada ruang di atas garis absis. Di suatu tempat dalam domain fungsi kompleks, pada titik tertentu dalam definisinya, persamaan diferensial linier akan dapat mewakili jawabannya dalam bentuk analitik. yaitu, secara umum, sebagai esensi. Tidak ada yang akan berubah saat mengubah variabel. Namun, perlu untuk mengintip jawabannya dengan minat khusus. Faktanya, kalkulator mengubah rasio pada akhirnya, yaitu, bagaimana solusi persamaan diferensial sebanding dengan nilai global ditunjukkan dalam solusi yang diinginkan. Dalam beberapa kasus, peringatan kesalahan massal tidak dapat dihindari. Persamaan diferensial online menerapkan gagasan umum masalah, tetapi pada akhirnya, Anda perlu menyediakan aspek positif dari produk silang sesegera mungkin. Dalam matematika, kasus kesalahan dalam teori bilangan tidak jarang terjadi. Pasti perlu diperiksa. Secara alami, lebih baik memberikan hak ini kepada para profesional di bidangnya dan merekalah yang akan membantu menyelesaikan persamaan diferensial secara online, karena pengalaman mereka luar biasa dan positif. Perbedaan pada permukaan gambar dan luas sedemikian rupa sehingga bukan solusi persamaan diferensial online yang memungkinkan Anda untuk melihat, tetapi himpunan objek yang tidak berpotongan sedemikian rupa sehingga garisnya sejajar dengan sumbu. Hasilnya, Anda bisa mendapatkan nilai dua kali lebih banyak. Menjadi implisit, gagasan kami tentang kebenaran notasi formal menyediakan persamaan diferensial linier baik di area tampilan maupun dalam kaitannya dengan perkiraan berlebihan yang disengaja dari kualitas hasil. Diskusi tentang topik yang menarik bagi semua siswa diterbitkan beberapa kali dalam ulasan. Sepanjang studi kuliah penuh, kami akan memusatkan perhatian kami pada persamaan diferensial dan bidang studi ilmu terkait, jika ini tidak bertentangan dengan kebenaran. Banyak tahapan yang bisa dihindari di awal perjalanan. Jika pemecahan perbedaan secara fundamental masih merupakan sesuatu yang baru bagi siswa, maka yang lama tidak dilupakan sama sekali, tetapi berkembang ke masa depan dengan tingkat perkembangan yang tinggi. Awalnya, kondisi untuk masalah dalam matematika berbeda, tetapi ini ditunjukkan dalam paragraf di sebelah kanan. Setelah berakhirnya waktu yang ditentukan oleh definisi, kemungkinan hasil dependen proporsional pada berbagai bidang gerak vektor tidak dikecualikan. Kasus sederhana seperti itu dikoreksi dengan cara yang sama seperti persamaan diferensial linier yang dijelaskan pada kalkulator dalam bentuk umum, sehingga akan lebih cepat dan offset perhitungan tidak akan mengarah pada pendapat yang salah. Hanya lima kasus yang disebutkan menurut teori dapat mendorong batas-batas dari apa yang terjadi. Solusi persamaan diferensial kami akan membantu menghitung secara manual nilai dalam bilangan yang sudah pada tahap pertama dekomposisi ruang fungsional. Di tempat yang tepat, perlu untuk menyajikan titik kontak dari empat garis dalam arti umum. Tetapi jika Anda harus memaksakan tugas, maka akan mudah untuk menyamakan kerumitannya. Data awal cukup untuk merancang kaki yang berdekatan dan persamaan diferensial online terlihat rata kiri dan permukaan satu sisi diarahkan ke vektor rotor. Di atas batas atas, nilai numerik dimungkinkan melebihi kondisi yang ditunjukkan. Dimungkinkan untuk memperhitungkan rumus matematika dan menyelesaikan persamaan diferensial secara online karena tiga tidak diketahui dalam nilai umum proporsi. Metode penghitungan lokal diakui valid. Sistem koordinat berbentuk persegi panjang dalam gerak relatif bidang. Solusi online umum dari persamaan diferensial memungkinkan untuk secara jelas menarik kesimpulan yang mendukung sapuan komputasi melalui definisi matriks pada seluruh garis lurus yang terletak di atas grafik fungsi yang ditentukan secara eksplisit. Solusinya terlihat melalui jika Anda menerapkan vektor gerak ke titik kontak dari tiga belahan. Silinder diperoleh dengan memutar persegi panjang di sekitar sisi dan persamaan diferensial linier dapat menunjukkan arah pergerakan titik sesuai dengan ekspresi yang diberikan dari hukum geraknya. Data awal benar dan masalah dalam matematika dapat dipertukarkan dalam satu kondisi sederhana. Namun, karena keadaan, mengingat kompleksitas submasalah pengaturan, persamaan diferensial menyederhanakan proses ruang numerik yang dihitung pada tingkat ruang tiga dimensi. Sangat mudah untuk membuktikan sebaliknya, tetapi dimungkinkan untuk menghindarinya, seperti pada contoh di atas. Dalam matematika yang lebih tinggi, poin-poin berikut diberikan: ketika masalah direduksi menjadi bentuk yang disederhanakan, upaya terbesar yang mungkin dilakukan siswa harus diperluas ke sana. Garis yang ditumpangkan satu sama lain jatuh ke dalam offset. Solusi diferensial pro masih melanjutkan keuntungan dari metode tersebut pada garis lengkung. Jika Anda mengenali pada awalnya bukan apa yang Anda butuhkan, maka rumus matematika akan membuat nilai baru dari ekspresi. Tujuannya adalah pendekatan optimal untuk menyelesaikan tugas-tugas yang ditetapkan oleh profesor. Anda tidak boleh berasumsi bahwa persamaan diferensial linier dalam bentuk yang disederhanakan akan melebihi hasil yang diharapkan. Kami menempatkan tiga vektor pada permukaan yang tersusun berhingga. ortogonal satu sama lain. Mari kita hitung produknya. Mari kita lakukan penambahan sejumlah besar simbol dan tulis semua variabel fungsi dari ekspresi yang dihasilkan. Ada proporsinya. Beberapa tindakan sebelum akhir perhitungan tidak akan memberikan jawaban yang jelas untuk solusi persamaan diferensial segera, tetapi hanya setelah waktu yang ditentukan telah berlalu di sepanjang sumbu ordinat. Di sebelah kiri titik diskontinuitas, yang diberikan secara implisit dari fungsi, kami menggambar sumbu ortogonal ke vektor peningkatan terbaik dan menempatkan persamaan diferensial online di sepanjang nilai batas terkecil dari batas bawah objek matematika. Mari tambahkan argumen tambahan di area istirahat fungsi. Di sebelah kanan titik-titik garis lengkung, rumus yang kami tulis untuk mereduksi menjadi penyebut yang sama akan membantu menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Satu-satunya pendekatan yang benar adalah pendekatan yang akan menjelaskan masalah yang belum terpecahkan dari teori ke praktik, dalam kasus umum dengan jelas. Garis-garis pada arah koordinat titik-titik yang diberikan tidak pernah menutup posisi ekstrim kuadrat, namun, solusi persamaan diferensial online akan membantu siswa dan kita, dan hanya pemula di bidang ini, untuk belajar matematika. Kita berbicara tentang kemungkinan mensubstitusi argumen nilai ke dalam semua subbaris signifikan dari satu bidang. Pada prinsipnya, seperti yang diharapkan, persamaan diferensial linier kami adalah sesuatu yang terisolasi dalam satu konsep makna tereduksi. Untuk membantu siswa, salah satu yang terbaik di antara layanan serupa adalah kalkulator. Ikuti semua kursus dan pilih yang terbaik untuk Anda.

=

Sering hanya mention persamaan diferensial membuat siswa tidak nyaman. Mengapa ini terjadi? Paling sering, karena ketika mempelajari dasar-dasar materi, kesenjangan pengetahuan muncul, yang karenanya studi lebih lanjut tentang difurs menjadi siksaan belaka. Tidak ada yang jelas apa yang harus dilakukan, bagaimana memutuskan di mana untuk memulai?

Namun, kami akan mencoba menunjukkan kepada Anda bahwa difur tidak sesulit kelihatannya.

Konsep dasar teori persamaan diferensial

Dari sekolah, kita tahu persamaan paling sederhana di mana kita perlu menemukan x yang tidak diketahui. Faktanya persamaan diferensial hanya sedikit berbeda dari mereka - bukan variabel X mereka perlu menemukan fungsi y(x) , yang akan mengubah persamaan menjadi identitas.

D persamaan diferensial sangat penting secara praktis. Ini bukan matematika abstrak yang tidak ada hubungannya dengan dunia di sekitar kita. Dengan bantuan persamaan diferensial, banyak proses alam nyata dijelaskan. Misalnya, getaran tali, gerakan osilator harmonik, melalui persamaan diferensial dalam masalah mekanika, temukan kecepatan dan percepatan benda. Juga DU banyak digunakan dalam biologi, kimia, ekonomi dan banyak ilmu lainnya.

persamaan diferensial (DU) adalah persamaan yang mengandung turunan dari fungsi y(x), fungsi itu sendiri, variabel bebas dan parameter lain dalam berbagai kombinasi.

Ada banyak jenis persamaan diferensial: persamaan diferensial biasa, linear dan non-linier, homogen dan non-homogen, persamaan diferensial orde pertama dan lebih tinggi, persamaan diferensial parsial, dan sebagainya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang mengubahnya menjadi identitas. Ada solusi umum dan khusus dari remote control.

Solusi umum persamaan diferensial adalah himpunan solusi umum yang mengubah persamaan menjadi identitas. Solusi khusus dari persamaan diferensial adalah solusi yang memenuhi kondisi tambahan yang ditentukan pada awalnya.

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh orde tertinggi dari turunan yang termasuk di dalamnya.

Persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu variabel bebas.

Pertimbangkan persamaan diferensial biasa paling sederhana dari orde pertama. Sepertinya:

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan hanya mengintegrasikan sisi kanannya.

Contoh persamaan tersebut:

Persamaan Variabel yang Dapat Dipisahkan

Secara umum, jenis persamaan ini terlihat seperti ini:

Berikut ini contohnya:

Memecahkan persamaan seperti itu, Anda perlu memisahkan variabel, membawanya ke bentuk:

Setelah itu tinggal mengintegrasikan kedua bagian tersebut dan mendapatkan solusi.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan tersebut mengambil bentuk:

Di sini p(x) dan q(x) adalah beberapa fungsi dari variabel bebas, dan y=y(x) adalah fungsi yang diinginkan. Berikut adalah contoh persamaan tersebut:

Memecahkan persamaan seperti itu, paling sering mereka menggunakan metode variasi konstanta arbitrer atau mewakili fungsi yang diinginkan sebagai produk dari dua fungsi lainnya y(x)=u(x)v(x).

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, diperlukan persiapan tertentu, dan akan sangat sulit untuk membawanya "dengan iseng".

Contoh penyelesaian DE dengan variabel yang dapat dipisahkan

Jadi kami telah mempertimbangkan jenis remote control yang paling sederhana. Sekarang mari kita lihat salah satunya. Biarkan itu menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Pertama, kami menulis ulang turunan dalam bentuk yang lebih dikenal:

Kemudian kami akan memisahkan variabel, yaitu, di satu bagian persamaan kami akan mengumpulkan semua "permainan", dan di bagian lain - "x":

Sekarang tinggal mengintegrasikan kedua bagian:

Kami mengintegrasikan dan mendapatkan solusi umum dari persamaan ini:

Tentu saja, memecahkan persamaan diferensial adalah sejenis seni. Anda harus dapat memahami jenis persamaan yang dimiliki, dan juga belajar untuk melihat transformasi apa yang perlu Anda buat dengannya untuk membawanya ke satu bentuk atau lainnya, belum lagi hanya kemampuan untuk membedakan dan mengintegrasikan. Dan dibutuhkan latihan (seperti semua hal) untuk berhasil memecahkan DE. Dan jika saat ini Anda tidak punya waktu untuk mencari tahu bagaimana persamaan diferensial diselesaikan atau masalah Cauchy meningkat seperti tulang di tenggorokan Anda atau Anda tidak tahu, hubungi penulis kami. Dalam waktu singkat, kami akan memberi Anda solusi yang sudah jadi dan terperinci, yang detailnya dapat Anda pahami kapan saja nyaman bagi Anda. Sementara itu, kami sarankan menonton video dengan topik "Cara menyelesaikan persamaan diferensial":

Artikel ini merupakan titik awal dalam kajian teori persamaan diferensial. Di sini dikumpulkan definisi dan konsep utama yang akan selalu muncul dalam teks. Untuk asimilasi dan pemahaman yang lebih baik, definisi diberikan dengan contoh.

Persamaan Diferensial (DE)- ini adalah persamaan yang mencakup fungsi yang tidak diketahui di bawah tanda turunan atau diferensial.

Jika fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari satu variabel, maka persamaan diferensial disebut biasa(disingkat ODE - persamaan diferensial biasa). Jika fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel, maka persamaan diferensial disebut persamaan diferensial parsial.

Orde maksimum dari turunan fungsi yang tidak diketahui yang termasuk dalam persamaan diferensial disebut orde persamaan diferensial.

Berikut adalah contoh ODE dari orde pertama, kedua dan kelima, masing-masing

Sebagai contoh persamaan diferensial parsial orde kedua, kami menyajikan

Selanjutnya, kita hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa dari orde ke-n dari bentuk atau , di mana (x, y) = 0 adalah fungsi yang tidak diketahui yang didefinisikan secara implisit (bila memungkinkan, kita akan menuliskannya dalam representasi eksplisit y = f(x) ).

Proses mencari solusi persamaan diferensial disebut integrasi persamaan diferensial.

Memecahkan Persamaan Diferensial adalah fungsi yang diberikan secara implisit (x, y) = 0 (dalam beberapa kasus, fungsi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam argumen x), yang mengubah persamaan diferensial menjadi identitas.

CATATAN.

Solusi dari persamaan diferensial selalu dicari pada interval X yang telah ditentukan sebelumnya.

Mengapa kita membicarakan ini secara terpisah? Ya, karena dalam kondisi banyak masalah interval X tidak disebutkan. Artinya, kondisi masalah biasanya dirumuskan sebagai berikut: “menemukan solusi untuk persamaan diferensial biasa ". Dalam hal ini, dipahami bahwa solusi harus dicari untuk semua x yang fungsi yang diinginkan y dan persamaan aslinya masuk akal.

Penyelesaian persamaan diferensial sering disebut sebagai integral persamaan diferensial.

Fungsi atau bisa disebut solusi persamaan diferensial.

Salah satu solusi persamaan diferensial adalah fungsi . Memang, dengan mensubstitusi fungsi ini ke dalam persamaan asli, kita memperoleh identitasnya . Sangat mudah untuk melihat bahwa solusi lain untuk ODE ini, misalnya, . Dengan demikian, persamaan diferensial dapat memiliki banyak solusi.

Solusi umum persamaan diferensial adalah himpunan solusi yang berisi semua solusi dari persamaan diferensial ini tanpa kecuali.

Penyelesaian umum persamaan diferensial disebut juga integral umum persamaan diferensial.

Mari kita kembali ke contoh. Solusi umum persamaan diferensial memiliki bentuk atau , di mana C adalah konstanta arbitrer. Di atas, kami menunjukkan dua solusi untuk ODE ini, yang diperoleh dari integral umum persamaan diferensial dengan mensubstitusi C = 0 dan C = 1, masing-masing.

Jika solusi persamaan diferensial memenuhi kondisi tambahan yang diberikan pada awalnya, maka itu disebut solusi khusus dari persamaan diferensial.

Solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi y(1)=1 adalah . Betulkah, dan .

Masalah utama dari teori persamaan diferensial adalah masalah Cauchy, masalah nilai batas dan masalah menemukan solusi umum persamaan diferensial pada sembarang interval X .

Masalah Cauchy adalah masalah menemukan solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi yang diberikan kondisi awal, di mana adalah angka.

masalah batas adalah masalah menemukan solusi khusus untuk persamaan diferensial orde kedua yang memenuhi kondisi tambahan pada titik batas x 0 dan x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, di mana f 0 dan f 1 diberi angka.

Masalah nilai batas sering disebut masalah nilai batas.

Persamaan diferensial biasa orde ke-n disebut linier, jika memiliki bentuk , dan koefisien adalah fungsi kontinu dari argumen x pada interval integrasi.

Entah sudah diselesaikan sehubungan dengan turunan, atau mereka dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan .

Solusi umum persamaan diferensial jenis pada interval X, yang diberikan, dapat ditemukan dengan mengambil integral dari kedua sisi persamaan ini.

Mendapatkan .

Jika kita melihat sifat-sifat integral tak tentu, kita menemukan solusi umum yang diinginkan:

y = F(x) + C,

di mana F(x)- salah satu antiturunan dari fungsi f(x) diantara X, sebuah Dengan adalah konstanta arbitrer.

Harap dicatat bahwa di sebagian besar tugas interval X tidak menunjukkan. Ini berarti bahwa solusi harus ditemukan untuk semua orang. x, yang dan fungsi yang diinginkan kamu, dan persamaan aslinya masuk akal.

Jika Anda perlu menghitung solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal y(x0) = y0, kemudian setelah menghitung integral umum y = F(x) + C, masih perlu untuk menentukan nilai konstanta C=C0 menggunakan kondisi awal. Artinya, konstanta C=C0 ditentukan dari persamaan F(x 0) + C = y 0, dan solusi khusus yang diinginkan dari persamaan diferensial akan berbentuk:

y = F(x) + C0.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Temukan solusi umum persamaan diferensial , periksa kebenaran hasilnya. Mari kita cari solusi khusus dari persamaan ini yang akan memenuhi kondisi awal .

Keputusan:

Setelah kita mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, kita mendapatkan:

.

Kami mengambil integral ini dengan metode integrasi dengan bagian:

Itu., adalah solusi umum dari persamaan diferensial.

Mari kita periksa untuk memastikan hasilnya benar. Untuk melakukan ini, kami mengganti solusi yang kami temukan ke dalam persamaan yang diberikan:

.

Yaitu, pada persamaan asli berubah menjadi identitas:

oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial ditentukan dengan benar.

Solusi yang kami temukan adalah solusi umum dari persamaan diferensial untuk setiap nilai nyata dari argumen x.

Tetap menghitung solusi tertentu dari ODE yang akan memenuhi kondisi awal . Dengan kata lain, perlu untuk menghitung nilai konstanta Dengan, di mana persamaan akan menjadi benar:

.

.

Kemudian, menggantikan C = 2 ke dalam solusi umum ODE, kami memperoleh solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

.

Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan setara jika f(x) tidak pergi ke nol untuk apapun x dari interval integrasi persamaan diferensial X.

Situasi mungkin terjadi ketika, untuk beberapa nilai argumen x ∈ X fungsi f(x) dan g(x) berubah menjadi nol secara bersamaan. Untuk nilai serupa x solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi apa pun kamu, yang didefinisikan di dalamnya, karena .

Jika untuk beberapa nilai argumen x ∈ X kondisi terpenuhi, yang berarti dalam hal ini ODE tidak memiliki solusi.

Untuk semua yang lain x dari interval X solusi umum persamaan diferensial ditentukan dari persamaan yang ditransformasikan.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1

Mari kita cari solusi umum dari ODE: .

Keputusan.

Dari sifat-sifat fungsi dasar dasar, jelas bahwa fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai argumen non-negatif, oleh karena itu, domain dari ekspresi log(x+3) ada jeda x > -3 . Oleh karena itu, persamaan diferensial yang diberikan masuk akal untuk x > -3 . Dengan nilai argumen ini, ekspresi x + 3 tidak hilang, jadi seseorang dapat menyelesaikan ODE sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian dengan x + 3.

Kita mendapatkan .

Selanjutnya, kami mengintegrasikan persamaan diferensial yang dihasilkan, diselesaikan sehubungan dengan turunan: . Untuk mengambil integral ini, kami menggunakan metode subsuming di bawah tanda diferensial.