1. Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium sama dengan setengah selisih alasnya
2. Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan ruas-ruas diagonalnya sampai titik potongnya adalah sebangun
3. Segitiga yang dibentuk oleh segmen diagonal trapesium, sisi-sisinya terletak di sisi trapesium - luas yang sama (memiliki luas yang sama)
4. Jika kita memperpanjang sisi trapesium ke arah alas yang lebih kecil, maka mereka akan berpotongan di satu titik dengan garis lurus yang menghubungkan titik tengah alas
5. Ruas yang menghubungkan alas trapesium, dan melalui titik perpotongan diagonal trapesium, dibagi dengan titik ini dalam proporsi yang sama dengan rasio panjang alas trapesium
6. Sebuah segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan ditarik melalui titik potong diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik ini, dan panjangnya sama dengan 2ab / (a ​​+ b), di mana a dan b adalah alas trapesium

Sifat-sifat segmen yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium

Hubungkan titik tengah diagonal trapesium ABCD, sebagai akibatnya kita akan memiliki segmen LM.
Ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium terletak di garis tengah trapesium.

Segmen ini sejajar dengan alas trapesium.

Panjang ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal trapesium sama dengan selisih setengah alasnya.

LM = (AD - SM)/2
atau
LM = (a-b)/2

Sifat-sifat segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal trapesium

Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan titik potong diagonal trapesium - mirip.
Segitiga BOC dan AOD serupa. Karena sudut BOC dan AOD adalah vertikal, maka keduanya sama besar.
Sudut OCB dan OAD adalah melintang internal yang terletak pada garis paralel AD dan BC (alas trapesium sejajar satu sama lain) dan garis potong AC, oleh karena itu, mereka sama.
Sudut OBC dan ODA adalah sama untuk alasan yang sama (internal cross-lying).

Karena ketiga sudut dari satu segitiga sama dengan sudut-sudut yang bersesuaian dengan segitiga lain, segitiga-segitiga ini sebangun.

Apa yang mengikuti dari ini?

Untuk menyelesaikan masalah dalam geometri, persamaan segitiga digunakan sebagai berikut. Jika kita mengetahui panjang dua elemen yang bersesuaian dari segitiga sebangun, maka kita menemukan koefisien kesamaan (kita membagi satu dengan yang lain). Dari mana panjang semua elemen lainnya terkait satu sama lain dengan nilai yang persis sama.

Sifat-sifat segitiga yang terletak pada sisi lateral dan diagonal trapesium

Perhatikan dua buah segitiga yang terletak pada sisi trapesium AB dan CD. Ini adalah segitiga AOB dan COD. Terlepas dari kenyataan bahwa ukuran masing-masing sisi segitiga ini bisa sangat berbeda, tetapi luas segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisinya dan titik potong diagonal trapesium adalah, yaitu segitiga-segitiga itu sama besar.

Jika sisi-sisi trapesium diperpanjang ke arah alas yang lebih kecil, maka titik potong sisi-sisinya adalah berimpit dengan garis lurus yang melalui titik tengah alas.

Jadi, trapesium apa pun dapat diperluas menjadi segitiga. Di mana:

• Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dengan titik sudut yang sama di titik perpotongan sisi yang diperpanjang adalah sama
• Garis lurus yang menghubungkan titik tengah alas trapesium, pada saat yang sama, adalah median segitiga yang dibangun

Sifat-sifat segmen yang menghubungkan alas trapesium

Jika Anda menggambar sebuah ruas yang ujung-ujungnya terletak pada alas trapesium, yang terletak pada titik potong diagonal trapesium (KN), maka perbandingan ruas-ruas penyusunnya dari sisi alas terhadap titik potong trapesium tersebut adalah diagonal (KO / ON) akan sama dengan rasio alas trapesium(SM/AD).

KO/ON=BC/AD

Properti ini mengikuti kesamaan segitiga yang sesuai (lihat di atas).

Sifat-sifat segmen yang sejajar dengan alas trapesium

Jika Anda menggambar segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan melewati titik potong diagonal trapesium, maka ia akan memiliki sifat-sifat berikut:

• Jarak prasetel (KM) membagi dua titik potong diagonal trapesium
• potong panjang, melalui titik potong diagonal trapesium dan sejajar dengan alasnya, sama dengan KM = 2ab/(a + b)

Rumus mencari diagonal trapesium

a, b- alas trapesium

c, d- sisi trapesium

d1 d2- diagonal trapesium

α β - sudut dengan alas trapesium yang lebih besar

Rumus mencari diagonal trapesium melalui alas, sisi, dan sudut pada alasnya

Kelompok rumus pertama (1-3) mencerminkan salah satu sifat utama diagonal trapesium:

1. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal trapesium sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya ditambah dua kali hasilkali alasnya. Sifat diagonal trapesium ini dapat dibuktikan sebagai teorema terpisah

2 . Rumus ini diperoleh dengan mentransformasikan rumus sebelumnya. Kuadrat diagonal kedua dilemparkan ke atas tanda sama dengan, setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari sisi kiri dan kanan ekspresi.

3 . Rumus untuk menemukan panjang diagonal trapesium ini mirip dengan yang sebelumnya, dengan perbedaan bahwa diagonal lain dibiarkan di sisi kiri ekspresi

Kelompok rumus berikutnya (4-5) memiliki arti yang serupa dan menyatakan hubungan yang serupa.

Kelompok rumus (6-7) memungkinkan Anda untuk menemukan diagonal trapesium jika Anda mengetahui alas trapesium yang lebih besar, satu sisi dan sudut di alasnya.

Rumus untuk menemukan diagonal trapesium dalam hal tinggi

Catatan. Dalam pelajaran ini, solusi masalah dalam geometri tentang trapesium diberikan. Jika Anda belum menemukan solusi untuk masalah geometri jenis yang Anda minati - ajukan pertanyaan di forum.

Tugas.
Diagonal-diagonal trapesium ABCD (AD | | BC) berpotongan di titik O. Tentukan panjang BC alas trapesium jika alas AD = 24 cm, panjang AO = 9 cm, panjang OS = 6 cm.

Keputusan.
Penyelesaian tugas ini secara mutlak identik dengan tugas-tugas sebelumnya dalam hal ideologi.

Segitiga AOD dan BOC serupa dalam tiga sudut - AOD dan BOC vertikal, dan sudut yang tersisa berpasangan sama, karena mereka dibentuk oleh perpotongan satu garis dan dua garis sejajar.

Karena segitiga-segitiga itu sebangun, maka semua dimensi geometrisnya berhubungan satu sama lain, karena dimensi geometris segmen AO dan OC diketahui oleh kita melalui kondisi soal. Yaitu

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24 / SM
SM = 24 * 6 / 9 = 16

Menjawab: 16 cm

Tugas .
Pada trapesium ABCD diketahui AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Temukan luas trapesium.

Keputusan .
Untuk mencari tinggi trapesium dari simpul alas B dan C yang lebih kecil, kita turunkan dua ketinggian ke alas yang lebih besar. Karena trapesium tidak sama, kami menyatakan panjang AM = a, panjang KD = b ( jangan bingung dengan simbol dalam rumus mencari luas trapesium). Karena alas trapesium sejajar dan kita telah menghilangkan dua ketinggian yang tegak lurus dengan alas yang lebih besar, maka MBCK adalah persegi panjang.

Cara
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Segitiga DBM dan ACK siku-siku, jadi sudut siku-sikunya dibentuk oleh ketinggian trapesium. Mari kita nyatakan tinggi trapesium sebagai h. Kemudian dengan teorema Pythagoras

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
dan
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Pertimbangkan bahwa a \u003d 16 - b, maka dalam persamaan pertama
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Substitusikan nilai kuadrat tinggi ke persamaan kedua, yang diperoleh dengan Teorema Pythagoras. Kita mendapatkan:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Jadi, KD = 12
Di mana
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Temukan luas trapesium menggunakan tinggi dan setengah jumlah alasnya
, di mana a b - alas trapesium, h - tinggi trapesium
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Menjawab: luas trapesium adalah 80 cm2.

Jika diagonal-diagonal pada trapesium sama kaki tegak lurus, materi teori berikut akan berguna untuk menyelesaikan masalah.

1. Jika diagonal-diagonalnya tegak lurus pada trapesium sama kaki, tinggi trapesium adalah setengah dari jumlah alasnya.

Mari kita tarik garis CF melalui titik C sejajar dengan BD dan perpanjang garis AD sampai memotong CF.

BCFD segi empat adalah jajar genjang (BC∥ DF sebagai alas trapesium, BD∥ CF menurut konstruksinya). Jadi CF=BD, DF=BC dan AF=AD+BC.

Segitiga ACF adalah siku-siku (jika sebuah garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya). Karena diagonal-diagonal pada trapesium sama kaki adalah sama, dan CF=BD, maka CF=AC, yaitu, segitiga ACF adalah segitiga sama kaki dengan alas AF. Oleh karena itu tinggi CN juga merupakan median. Dan karena median segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya, maka

yang dapat ditulis secara umum sebagai

di mana h adalah tinggi trapesium, a dan b adalah alasnya.

2. Jika pada trapesium sama kaki diagonal-diagonalnya tegak lurus, maka tingginya sama dengan garis tengah.

Karena garis tengah trapesium m sama dengan setengah jumlah alasnya, maka

3. Jika diagonal-diagonal pada trapesium sama kaki, maka luas trapesium sama dengan kuadrat tinggi trapesium (atau kuadrat dari jumlah setengah alasnya, atau kuadrat dari garis tengahnya ).

Karena luas trapesium ditemukan dengan rumus

dan tinggi, setengah jumlah alas dan garis tengah trapesium sama kaki dengan diagonal tegak lurus adalah sama satu sama lain:

4. Jika pada trapesium sama kaki diagonal-diagonalnya tegak lurus, maka kuadrat diagonalnya sama dengan setengah kuadrat jumlah alasnya, serta dua kali kuadrat tingginya dan dua kali kuadrat garis tengahnya.

Karena luas segiempat cembung dapat ditemukan melalui diagonal-diagonalnya dan sudut di antara mereka menggunakan rumus

Sekali lagi, segitiga Pythagoras :))) Jika sepotong diagonal besar dari alas besar ke titik persimpangan dilambangkan dengan x, maka dari kesamaan yang jelas dari segitiga siku-siku dengan sudut yang sama itu mengikuti x / 64 = 36 / x, maka x = 48; 48/64 = 3 / 4, jadi SEMUA segitiga siku-siku yang dibentuk oleh alas, diagonal, dan sisi yang tegak lurus alas adalah sebangun dengan segitiga dengan sisi 3,4,5. Satu-satunya pengecualian adalah segitiga yang dibentuk oleh potongan-potongan diagonal dan sisi miring, tetapi kami tidak tertarik padanya :). (Agar lebih jelas, persamaan yang dimaksud hanyalah fungsi trigonometri sudut yang BERNAMA LAIN :) kita sudah tahu garis singgung sudut antara diagonal besar dan alas besar, yaitu 3/4, jadi sinusnya adalah 3/5, dan kosinusnya adalah 4 /5 :)) Anda dapat langsung menulis

Jawaban. Alas bawah adalah 80, tinggi trapesium adalah 60, dan alas atas adalah 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Tugas terkait:

a kubus yang sama.

2. Alas prisma miring adalah segitiga sama sisi dengan sisi a; salah satu sisinya tegak lurus dengan bidang alasnya dan merupakan belah ketupat yang diagonalnya lebih kecil adalah c. Hitunglah volume prisma tersebut.

3. Pada prisma miring, alasnya adalah segitiga siku-siku, sisi miringnya sama dengan c, satu sudut lancip adalah 30, sisi sisinya sama dengan dan membentuk sudut 60 dengan bidang alasnya. prisma.

1. Tentukan sisi persegi jika diagonalnya 10 cm

2. Pada trapesium sama kaki, sudut tumpulnya 135 derajat lebih kecil dari alasnya 4 cm, dan tingginya 2 cm tentukan luas trapesium tersebut?

3. Tinggi trapesium 3 kali lebih tinggi dari salah satu alasnya, tetapi setengahnya lagi. Hitunglah alas trapesium dan tingginya jika luas trapesium adalah 168 cm kuadrat?

4. Pada segitiga ABC, sudut A = Dalam sudut = 75 derajat. Hitunglah BC jika luas segitiga adalah 36 cm kuadrat.

1. Pada trapesium ABCD dengan sisi AB dan CD, diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O

a) Bandingkan luas segitiga ABD dan ACD

b) Bandingkan luas segitiga ABO dan CDO

c) Buktikan bahwa OA*OB=OC*OD

2. Alas sebuah segitiga sama kaki berhubungan dengan sisi sebagai 4:3, dan tinggi yang ditarik ke alas adalah 30 cm. Temukan segmen di mana tinggi ini dibagi dengan garis bagi sudut di alas.

3. Garis AM -singgung lingkaran, tali AB-lingkaran ini. Buktikan bahwa sudut MAB diukur dengan setengah dari busur AB yang terletak di dalam sudut MAB.