(walaupun paling sering sama).

YouTube ensiklopedis

• 1 / 5

  Posisi pusat massa (center of inertia) suatu sistem titik material dalam mekanika klasik ditentukan sebagai berikut:

  r → c = i m i r → i i m i , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)m_(i)(\vec (r))_ (i))(\sum \batas _(i)m_(i))),)

  di mana r → c (\displaystyle (\vec (r))_(c))- vektor radius pusat massa, r → i (\displaystyle (\vec(r))_(i))- vektor radius saya-titik sistem, m i (\displaystyle m_(i))- bobot saya-titik.

  Untuk kasus distribusi massa kontinu:

  r → c = 1 M V (r →) r → d V , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(1 \over M)\int \limits _(V)\rho ( (\vec (r)))(\vec (r))dV,) M = V (r →) d V , (\displaystyle M=\int \limits _(V)\rho ((\vec (r)))dV,)

  di mana M (\gaya tampilan M) adalah massa total sistem, V (\gaya tampilan V)- volume, (\displaystyle \rho )- kepadatan. Dengan demikian, pusat massa mencirikan distribusi massa di atas benda atau sistem partikel.

  Dapat ditunjukkan bahwa jika sistem tidak terdiri dari titik-titik material, tetapi dari benda-benda yang diperpanjang dengan massa M i (\displaystyle M_(i)), maka vektor jari-jari pusat massa sistem tersebut R c (\gaya tampilan R_(c)) terkait dengan vektor jari-jari pusat massa benda R c i (\displaystyle R_(ci)) perbandingan:

  R → c = i M i R → c i i M i . (\displaystyle (\vec (R))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)M_(i)(\vec (R))_(ci))(\sum \limits _( I MI))).)

  Dengan kata lain, dalam kasus benda-benda yang diperpanjang, suatu rumus adalah sah, yang dalam strukturnya bertepatan dengan yang digunakan untuk titik-titik material.

  Pusat massa bangun datar homogen

  Koordinat pusat massa bangun datar homogen dapat dihitung dengan rumus (konsekuensi dari teorema Pappa–Guldin):

  x s = V y 2 S (\displaystyle x_(s)=(\frac (V_(y))(2\pi S))) dan y s = V x 2 S (\displaystyle y_(s)=(\frac (V_(x))(2\pi S))), di mana V x , V y (\displaystyle V_(x),V_(y))- volume tubuh yang diperoleh dengan memutar gambar di sekitar sumbu yang sesuai, S (\gaya tampilan S) adalah luas gambar.

  Pusat Massa Keliling Angka Homogen

  Untuk menghindari kesalahan, perlu dipahami bahwa dalam SRT pusat massa tidak dicirikan oleh distribusi massa, tetapi oleh distribusi energi. Dalam kursus fisika teoretis oleh Landau dan Lifshitz, istilah "pusat inersia" lebih disukai. Dalam literatur Barat tentang partikel elementer, istilah "pusat massa" (bahasa Inggris center-of-mass) digunakan: kedua istilah tersebut setara.

  Kecepatan pusat massa dalam mekanika relativistik dapat ditemukan dengan rumus:

  v → c = c 2 i E i i p → i . (\displaystyle (\vec (v))_(c)=(\frac (c^(2))(\sum \limits _(i)E_(i)))\cdot \sum \limits _(i) (\vec(p))_(i).) berat massa P = m g tergantung pada parameter medan gravitasi g), dan, secara umum, bahkan terletak di luar batang.

  Dalam medan gravitasi seragam, pusat gravitasi selalu berimpit dengan pusat massa. Dalam masalah non-kosmik, medan gravitasi biasanya dapat dianggap konstan dalam volume benda, sehingga dalam praktiknya kedua pusat ini hampir bersamaan.

  Untuk alasan yang sama, konsep Pusat gravitasi dan Pusat gravitasi bertepatan ketika istilah-istilah ini digunakan dalam geometri, statika, dan bidang serupa, di mana penerapannya dalam perbandingan dengan fisika dapat disebut metaforis dan di mana situasi kesetaraan mereka diasumsikan secara implisit (karena tidak ada medan gravitasi nyata, maka memperhitungkannya ketidakhomogenan tidak masuk akal). Dalam penggunaan ini, kedua istilah tersebut secara tradisional identik, dan seringkali yang kedua lebih disukai hanya karena lebih tua.

  Pusat gravitasi(atau Pusat massa) dari benda tertentu disebut titik yang memiliki sifat bahwa jika benda digantung dari titik ini, maka ia akan mempertahankan posisinya.

  Di bawah ini kami mempertimbangkan masalah 2D dan 3D yang terkait dengan pencarian berbagai pusat massa, terutama dari sudut pandang geometri komputasi.

  Dalam solusi yang dibahas di bawah ini, ada dua utama fakta. Yang pertama adalah bahwa pusat massa sistem titik material sama dengan rata-rata koordinatnya, diambil dengan koefisien yang sebanding dengan massanya. Fakta kedua adalah bahwa jika kita mengetahui pusat massa dari dua angka yang tidak berpotongan, maka pusat massa gabungan mereka akan terletak pada segmen yang menghubungkan kedua pusat ini, dan itu akan membaginya dalam rasio yang sama dengan massa angka kedua berhubungan dengan massa yang pertama.

  Kasus dua dimensi: poligon

  Sebenarnya, ketika berbicara tentang pusat massa dari bangun dua dimensi, salah satu dari tiga berikut dapat dimaksudkan: tugas:

  • Pusat massa sistem titik - mis. seluruh massa terkonsentrasi hanya pada simpul poligon.
  • Pusat massa bingkai - mis. massa poligon terkonsentrasi pada kelilingnya.
  • Pusat massa sosok padat - mis. massa poligon didistribusikan ke seluruh areanya.

  Masing-masing masalah ini memiliki solusi independen, dan akan dibahas di bawah ini secara terpisah.

  Sistem titik pusat massa

  Ini adalah yang paling sederhana dari tiga masalah, dan solusinya adalah rumus fisika terkenal untuk pusat massa sistem titik material:

  di mana massa titik, adalah vektor jari-jarinya (menentukan posisinya relatif terhadap titik asal), dan merupakan vektor jari-jari pusat massa yang diinginkan.

  Khususnya, jika semua titik memiliki massa yang sama, maka koordinat pusat massanya adalah rata-rata koordinat titik. Untuk segi tiga titik ini disebut pusat dan bertepatan dengan titik potong median:

  

  Untuk bukti dari rumus-rumus ini, cukup untuk mengingat bahwa keseimbangan tercapai pada titik di mana jumlah momen semua gaya sama dengan nol. Dalam hal ini, ini berubah menjadi kondisi untuk jumlah vektor jari-jari semua titik relatif terhadap titik, dikalikan dengan massa titik-titik yang sesuai, sama dengan nol:

  

  dan, mengungkapkan dari sini , kami memperoleh rumus yang diperlukan.

  Pusat gravitasi bingkai

  Tetapi kemudian setiap sisi poligon dapat diganti dengan satu titik - bagian tengah segmen ini (karena pusat massa segmen homogen adalah bagian tengah segmen ini), dengan massa yang sama dengan panjang segmen ini.

  Sekarang kami telah menerima masalah tentang sistem poin material, dan menerapkan solusi dari paragraf sebelumnya untuk itu, kami menemukan:

  

  di mana adalah titik tengah sisi th poligon, adalah panjang sisi th, adalah keliling, mis. jumlah panjang sisi-sisinya.

  Untuk segi tiga seseorang dapat menunjukkan pernyataan berikut: titik ini adalah titik potong garis potong segitiga yang dibentuk oleh titik tengah sisi-sisi segitiga semula. (untuk menunjukkan ini, kita harus menggunakan rumus di atas, dan kemudian perhatikan bahwa garis-bagi membagi sisi-sisi segitiga yang dihasilkan dalam rasio yang sama dengan pusat massa sisi-sisi ini).

  Pusat massa bangun datar

  Kami percaya bahwa massa terdistribusi secara merata di atas gambar, yaitu. massa jenis pada setiap titik pada gambar sama dengan bilangan yang sama.

  Kasus segitiga

  Dikatakan bahwa untuk segitiga jawabannya masih sama pusat, yaitu titik yang dibentuk oleh mean aritmatika dari koordinat simpul:

  

  Kasus Segitiga: Bukti

  Di sini kami memberikan bukti dasar yang tidak menggunakan teori integral.

  Bukti geometris murni yang pertama diberikan oleh Archimedes, tetapi sangat kompleks, dengan sejumlah besar konstruksi geometris. Bukti yang diberikan di sini diambil dari artikel oleh Apostol, Mnatsakanian "Menemukan Centroid dengan Cara Mudah".

  Bukti bermuara untuk menunjukkan bahwa pusat massa segitiga terletak pada salah satu median; mengulangi proses ini dua kali lagi, dengan demikian kami menunjukkan bahwa pusat massa terletak pada titik perpotongan median, yang merupakan pusat massa.

  Mari kita bagi segitiga ini menjadi empat, menghubungkan titik tengah sisi-sisinya, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

  

  Empat segitiga yang dihasilkan mirip dengan segitiga dengan koefisien .

  Segitiga No. 1 dan No. 2 bersama-sama membentuk jajar genjang, yang pusat massanya terletak pada titik perpotongan diagonal-diagonalnya (karena ini adalah sosok simetris terhadap kedua diagonal, yang berarti bahwa pusat massanya harus terletak pada masing-masing dari dua diagonal). Titik tersebut berada di tengah-tengah sisi persekutuan segitiga No. 1 dan No. 2, dan juga terletak pada median segitiga:

  

  Sekarang biarkan vektor menjadi vektor yang ditarik dari titik ke pusat massa segitiga No. 1, dan biarkan vektor menjadi vektor yang ditarik dari ke titik (yang, ingat, adalah titik tengah sisi di mana ia terletak) :

  

  Tujuan kami adalah untuk menunjukkan bahwa vektor dan collinear.

  Dilambangkan dengan dan titik-titik yang merupakan pusat massa segitiga No. 3 dan No. 4. Kemudian, jelas, pusat massa agregat kedua segitiga ini akan menjadi titik , yang merupakan titik tengah segmen . Selain itu, vektor dari titik ke titik sama dengan vektor .

  Pusat massa segitiga yang diinginkan terletak di tengah segmen yang menghubungkan titik-titik dan (karena kita telah membagi segitiga menjadi dua bagian dengan luas yang sama: No. 1-No. 2 dan No. 3-No. 4):

  

  Jadi, vektor dari titik ke titik pusat adalah . Di sisi lain, karena segitiga No. 1 mirip dengan segitiga dengan koefisien , maka vektor yang sama sama dengan . Dari sini kita mendapatkan persamaan:

  

  dari mana kita menemukan:

  Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa vektor dan adalah collinear, yang berarti bahwa centroid yang diinginkan terletak pada median yang berasal dari vertex .

  Selain itu, sepanjang jalan, kami membuktikan bahwa centroid membagi setiap median sehubungan dengan , dihitung dari atas.

  Kasus poligon

  Sekarang mari kita beralih ke kasus umum - yaitu. ke acara itu poligon. Baginya, alasan seperti itu tidak lagi berlaku, jadi kami mengurangi masalah menjadi segitiga: yaitu, kami membagi poligon menjadi segitiga (yaitu, membuat segitiga), menemukan pusat massa setiap segitiga, dan kemudian menemukan pusat massa pusat massa segitiga yang dihasilkan.

  Rumus akhirnya adalah sebagai berikut:

  

  di mana adalah pusat segitiga -th dalam triangulasi poligon yang diberikan, adalah luas segitiga -th dari triangulasi, adalah luas seluruh poligon.

  Triangulasi poligon cembung adalah tugas sepele: untuk ini, misalnya, kita dapat mengambil segitiga , Dimana .

  Kasus poligon: cara alternatif

  Di sisi lain, penerapan rumus di atas sangat tidak nyaman untuk poligon tidak cembung, karena melakukan triangulasi bukanlah tugas yang mudah. Tetapi untuk poligon seperti itu, Anda dapat menemukan pendekatan yang lebih sederhana. Yaitu, mari kita menggambar analogi dengan bagaimana Anda dapat menemukan area poligon arbitrer: titik arbitrer dipilih, dan kemudian area tanda segitiga yang dibentuk oleh titik ini dan titik poligon dijumlahkan: . Teknik serupa dapat digunakan untuk menemukan pusat massa: hanya sekarang kita akan menjumlahkan pusat massa segitiga yang diambil dengan koefisien yang sebanding dengan luasnya, mis. rumus akhir dari pusat massa adalah:

  

  di mana adalah titik arbitrer, adalah titik poligon, adalah pusat segitiga , adalah area tanda segitiga ini, adalah area tanda seluruh poligon (yaitu ).

  Kasing 3D: Polihedra

  Sama halnya dengan kasus dua dimensi, dalam 3D kita dapat membicarakan empat kemungkinan pernyataan masalah sekaligus:

  • Pusat massa sistem titik - simpul polihedron.
  • Pusat massa bingkai adalah tepi polihedron.
  • Pusat massa permukaan - mis. massa didistribusikan di atas luas permukaan polihedron.
  • Pusat massa polihedron padat - mis. massa didistribusikan ke seluruh polihedron.

  Sistem titik pusat massa

  Seperti dalam kasus 2D, kita dapat menerapkan rumus fisik dan mendapatkan hasil yang sama:

  yang, dalam kasus massa yang sama, berubah menjadi rata-rata aritmatika dari koordinat semua titik.

  Pusat massa bingkai polihedron

  Sama halnya dengan kasus dua dimensi, kita cukup mengganti setiap tepi polihedron dengan titik material yang terletak di tengah tepi ini, dan dengan massa yang sama dengan panjang tepi ini. Setelah menerima masalah titik material, kita dapat dengan mudah menemukan solusinya sebagai jumlah tertimbang dari koordinat titik-titik ini.

  Pusat massa permukaan polihedron

  Setiap permukaan permukaan polihedron adalah sosok dua dimensi, yang pusat massanya dapat kita temukan. Menemukan pusat massa ini dan mengganti setiap wajah dengan pusat massanya, kita mendapatkan masalah dengan titik material, yang sudah mudah dipecahkan.

  Pusat massa polihedron padat

  Kasus tetrahedron

  Seperti dalam kasus dua dimensi, pertama-tama kita memecahkan masalah yang paling sederhana - masalah untuk tetrahedron.

  Dinyatakan bahwa pusat massa tetrahedron bertepatan dengan titik perpotongan median (median dari tetrahedron adalah segmen yang ditarik dari titik puncaknya ke pusat massa dari sisi yang berlawanan; dengan demikian, median dari tetrahedron melewati titik dan melalui titik perpotongan median dari wajah segitiga).

  Kenapa gitu? Alasan yang mirip dengan kasus dua dimensi adalah benar di sini: jika kita memotong sebuah tetrahedron menjadi dua tetrahedra menggunakan bidang yang melewati titik dari tetrahedron dan beberapa median dari sisi yang berlawanan, maka kedua tetrahedron yang dihasilkan akan memiliki volume yang sama (karena wajah segitiga akan dibagi dengan median menjadi dua segitiga dengan luas yang sama, dan tinggi dari dua tetrahedra tidak berubah). Mengulangi alasan ini beberapa kali, kita mendapatkan bahwa pusat massa terletak di titik persimpangan median tetrahedron.

  Titik ini - titik perpotongan median tetrahedron - disebut pusat. Dapat ditunjukkan bahwa ia sebenarnya memiliki koordinat yang sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat titik-titik tetrahedron:

  

  (ini dapat disimpulkan dari fakta bahwa centroid membagi median sehubungan dengan )

  Jadi, tidak ada perbedaan mendasar antara kasus tetrahedron dan segitiga: titik yang sama dengan rata-rata aritmatika dari simpul adalah pusat massa dalam dua rumusan masalah sekaligus: keduanya ketika massa hanya di simpul , dan ketika massa didistribusikan di seluruh area / volume. Faktanya, hasil ini digeneralisasikan ke dimensi yang berubah-ubah: pusat massa dari sembarang simpleks(simpleks) adalah rata-rata aritmatika dari koordinat titik-titiknya.

  Kasus polihedron sewenang-wenang

  Sekarang mari kita beralih ke kasus umum, kasus polihedron arbitrer.

  Sekali lagi, seperti dalam kasus dua dimensi, kami mengurangi masalah ini menjadi yang sudah diselesaikan: kami membagi polihedron menjadi tetrahedra (yaitu, kami membuat tetrahedron), temukan pusat massa masing-masing, dan dapatkan jawaban akhir untuk masalah dalam bentuk jumlah tertimbang dari pusat-pusat yang ditemukan wt.

  Definisi

  Ketika mempertimbangkan sistem partikel, seringkali lebih mudah untuk menemukan titik yang mencirikan posisi dan pergerakan sistem yang dipertimbangkan secara keseluruhan. Poin seperti itu adalah Pusat gravitasi.

  Jika kita memiliki dua partikel dengan massa yang sama, maka titik tersebut berada di tengah-tengahnya.

  Koordinat pusat massa

  Mari kita asumsikan bahwa dua titik material yang memiliki massa $m_1$ dan $m_2$ terletak pada sumbu x dan memiliki koordinat $x_1$ dan $x_2$. Jarak ($\Delta x$) antara partikel-partikel ini adalah:

  \[\Delta x=x_2-x_1\kiri(1\kanan).\]

  Definisi

  Titik C (Gbr. 1), yang membagi jarak antara partikel-partikel ini menjadi segmen-segmen yang berbanding terbalik dengan massa partikel, disebut Pusat massa sistem partikel ini.

  Sesuai dengan definisi untuk Gambar 1, kami memiliki:

  \[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\kiri(2\kanan).\]

  di mana $x_c$ adalah koordinat pusat massa, maka kita mendapatkan:

  Dari rumus (4) kita peroleh:

  Ekspresi (5) mudah digeneralisasi untuk satu set poin material, yang terletak sewenang-wenang. Dalam hal ini, absis pusat massa sama dengan:

  Demikian pula, ekspresi untuk ordinat ($y_c$) dari pusat massa dan aplikasinya ($z_c$) diperoleh:

  \ \

  Rumus (6-8) bertepatan dengan ekspresi yang menentukan pusat gravitasi tubuh. Dalam hal dimensi tubuh kecil dibandingkan dengan jarak ke pusat Bumi, pusat gravitasi dianggap bertepatan dengan pusat massa tubuh. Dalam kebanyakan masalah, pusat gravitasi bertepatan dengan pusat massa tubuh.

  Jika posisi N titik material sistem diberikan dalam bentuk vektor, maka jari-jari - vektor yang menentukan posisi pusat massa ditemukan sebagai:

  \[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\kiri(9\kanan).\]

  Pusat gerakan massa

  Ekspresi untuk pusat kecepatan massa ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) adalah:

  \[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\kanan),\]

  di mana $\overline(P)$ adalah momentum total sistem partikel; $M$ adalah massa sistem. Ekspresi (10) berlaku untuk gerakan dengan kecepatan yang jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya.

  Jika sistem partikel tertutup, maka jumlah momentum bagian-bagiannya tidak berubah. Oleh karena itu, kecepatan pusat massa adalah nilai konstan. Mereka mengatakan bahwa pusat massa sistem tertutup bergerak dengan inersia, yaitu, dalam garis lurus dan seragam, dan gerakan ini tidak tergantung pada gerakan bagian-bagian penyusun sistem. Dalam sistem tertutup, gaya-gaya dalam dapat bekerja; sebagai akibat dari aksinya, bagian-bagian dari sistem dapat mengalami percepatan. Tapi ini tidak mempengaruhi pergerakan pusat massa. Di bawah aksi gaya internal, kecepatan pusat massa tidak berubah.

  Contoh masalah dengan solusi

  Contoh 1

  Latihan. Tuliskan koordinat pusat massa sistem tiga bola yang terletak di simpul dan pusat segitiga sama sisi, yang sisinya sama dengan $b\ (m)$ (Gbr. 2).

  

  Keputusan. Untuk memecahkan masalah, kami menggunakan ekspresi yang menentukan koordinat pusat massa:

  \ \

  Dari Gambar 2 kita melihat bahwa absis dari titik-titik:

  \[\left\( \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ x_2=\frac(b)( 2);; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2);; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b.\end(array) \kanan.\kiri(2.3\kanan ).\]

  Maka absis massa pusat sama dengan:

  Mari kita cari ordinat titik-titiknya.

  \[ \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2);; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6);; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(array)\left(2.4\right).\]

  Untuk mencari ordinat $y_2$, mari kita hitung tinggi segitiga sama sisi:

  Kami menemukan ordinat $y_3$, mengingat bahwa median dalam segitiga sama sisi dibagi dengan titik potong dengan rasio 2:1 dari atas, kami mendapatkan:

  Hitung ordinat pusat massa:

  Menjawab.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m

  Contoh 2

  Latihan. Tuliskan hukum gerak pusat massa.

  Keputusan. Hukum perubahan momentum sistem partikel adalah hukum gerak pusat massa. Dari rumus:

  \[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\right)\]

  untuk massa konstan $M$, dengan membedakan kedua bagian ekspresi (2.1), kita memperoleh:

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\left(2.2\right).\]

  Persamaan (2.2) berarti bahwa laju perubahan momentum sistem sama dengan produk massa sistem dan percepatan pusat massanya. Sebagai

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\right),)\]

  Sesuai dengan persamaan (2.4), kita menemukan bahwa pusat massa sistem bergerak dengan cara yang sama seperti satu titik material bermassa M akan bergerak jika pusat massa itu dikenai gaya yang sama dengan jumlah semua gaya luar yang bekerja pada partikel yang termasuk dalam sistem yang dipertimbangkan. Jika $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ maka pusat massa bergerak lurus dan beraturan.

  Konsep integral dapat diterapkan secara luas dalam kehidupan. Integral digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Tugas utama yang dihitung menggunakan integral adalah tugas untuk:

  1. Menemukan volume tubuh

  2. Menemukan pusat massa tubuh.

  Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci. Di sini dan di bawah, untuk menyatakan integral tertentu dari beberapa fungsi f(x), dengan batas integrasi dari a ke b, kita akan menggunakan notasi berikut a b f(x).

  Menemukan volume tubuh

  Perhatikan gambar berikut. Misalkan ada suatu benda yang volumenya sama dengan V. Ada juga garis lurus sehingga jika kita mengambil bidang tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus ini, luas penampang S benda ini oleh bidang ini akan diketahui.

  Setiap bidang tersebut akan tegak lurus terhadap sumbu x, dan karena itu akan berpotongan di beberapa titik x. Artinya, setiap titik x dari segmen akan diberi nomor S (x) - luas penampang tubuh, bidang yang melewati titik ini.

  Ternyata beberapa fungsi S(x) akan diberikan pada segmen tersebut. Jika fungsi ini kontinu pada segmen ini, maka rumus berikut akan berlaku:

  V = a b S(x)dx.

  Bukti pernyataan ini berada di luar cakupan kurikulum sekolah.

  Menghitung pusat massa suatu benda

  Pusat massa paling sering digunakan dalam fisika. Misalnya, ada tubuh yang bergerak dengan kecepatan berapa pun. Tetapi tidak nyaman untuk mempertimbangkan benda besar, dan karena itu dalam fisika benda ini dianggap sebagai pergerakan suatu titik, dengan asumsi bahwa titik ini memiliki massa yang sama dengan seluruh tubuh.

  Dan tugas menghitung pusat massa tubuh adalah yang utama dalam hal ini. Karena benda itu besar, dan titik mana yang harus diambil sebagai pusat massa? Mungkin yang di tengah tubuh? Atau mungkin titik terdekat ke ujung tombak? Di sinilah integrasi masuk.

  Dua aturan berikut digunakan untuk menemukan pusat massa:

  1. Koordinat x' dari pusat massa beberapa sistem titik material A1, A2,A3, … An dengan massa m1, m2, m3, … mn, masing-masing, terletak pada garis lurus di titik-titik dengan koordinat x1, x2, x3, … xn ditemukan dengan rumus berikut:

  x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

  2. Saat menghitung koordinat pusat massa, setiap bagian dari gambar yang dipertimbangkan dapat diganti dengan titik material, sambil menempatkannya di pusat massa dari bagian gambar yang terpisah ini, dan massa dapat dianggap sama dengan massa bagian gambar ini.

  Misalnya, jika massa densitas p(x) didistribusikan sepanjang batang - segmen sumbu Ox, di mana p(x) adalah fungsi kontinu, maka koordinat pusat massa x' akan sama dengan.

  Benda apa pun dapat dianggap sebagai kumpulan titik material, yang, misalnya, dapat dianggap sebagai molekul. Biarkan tubuh terdiri dari n titik material dengan massa m1, m2, ...mn.

  pusat massa tubuh, terdiri dari n titik material, disebut titik (dalam arti geometris), vektor jari-jarinya ditentukan oleh rumus:

  Di sini R1 adalah vektor jari-jari titik bernomor i (i = 1, 2, ... n).

  Definisi ini terlihat tidak biasa, tetapi sebenarnya itu memberikan posisi pusat massa, yang kita punya ide intuitifnya. Misalnya, pusat massa batang akan berada di tengahnya. Jumlah massa semua titik yang termasuk dalam penyebut rumus di atas disebut massa benda. berat badan ditelepon jumlah massa semua titiknya: m = m1 + m2 + ... + mn .

  

  Pada benda homogen simetris, CM selalu terletak pada pusat simetri atau terletak pada sumbu simetri jika bangun tersebut tidak memiliki pusat simetri. Pusat massa dapat ditempatkan baik di dalam tubuh (cakram, bujur sangkar, segitiga) dan di luarnya (cincin, bingkai, bujur sangkar).

  Untuk seseorang, posisi CM tergantung pada postur yang diadopsi. Dalam banyak olahraga, komponen penting dari kesuksesan adalah kemampuan untuk menjaga keseimbangan. Jadi, dalam senam, akrobat

  sejumlah besar elemen akan mencakup berbagai jenis keseimbangan. Kemampuan menjaga keseimbangan penting dalam figure skating, dalam skating, dimana support memiliki area yang sangat kecil.

  Kondisi kesetimbangan untuk benda yang diam adalah persamaan simultan dengan nol dari jumlah gaya dan jumlah momen gaya yang bekerja pada benda.

  Mari kita cari tahu posisi apa yang harus ditempati sumbu rotasi agar benda yang terpaku padanya tetap dalam keseimbangan di bawah aksi gravitasi. Untuk melakukan ini, kita akan memecah tubuh menjadi banyak bagian kecil dan menarik gaya gravitasi yang bekerja padanya.

  

  Sesuai dengan aturan momen, untuk keseimbangan, jumlah momen semua gaya ini terhadap sumbu harus sama dengan nol.

  Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap benda terdapat titik unik di mana jumlah momen gravitasi terhadap setiap sumbu yang melalui titik ini sama dengan nol. Titik ini disebut pusat gravitasi (biasanya bertepatan dengan pusat massa).

  Pusat gravitasi tubuh (CG) ditelepon titik di mana jumlah momen gravitasi yang bekerja pada semua partikel benda sama dengan nol.

  Dengan demikian, gaya gravitasi tidak menyebabkan tubuh berputar di sekitar pusat gravitasi. Oleh karena itu, semua gaya gravitasi dapat digantikan oleh satu gaya yang diterapkan pada titik ini dan sama dengan gaya gravitasi.

  Untuk mempelajari gerakan tubuh atlet, istilah common center of gravity (CGG) sering diperkenalkan. Sifat utama dari pusat gravitasi:

  Jika tubuh terpaku pada sumbu yang melewati pusat gravitasi, maka gravitasi tidak akan menyebabkannya berputar;

  Pusat gravitasi adalah titik penerapan gravitasi;

  Dalam bidang seragam, pusat gravitasi bertepatan dengan pusat massa.

  Kesetimbangan adalah posisi tubuh di mana ia dapat tetap diam untuk waktu yang lama secara sewenang-wenang. Ketika tubuh menyimpang dari posisi keseimbangan, gaya yang bekerja padanya berubah, dan keseimbangan gaya terganggu.

  Ada berbagai jenis keseimbangan (Gbr. 9). Merupakan kebiasaan untuk membedakan tiga jenis keseimbangan: stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh.

  Kesetimbangan yang stabil (Gbr. 9, a) dicirikan oleh fakta bahwa tubuh kembali ke posisi semula ketika dibelokkan. Dalam hal ini, gaya muncul, atau momen gaya, cenderung mengembalikan tubuh ke posisi semula. Contohnya adalah posisi tubuh dengan penyangga atas (misalnya, tergantung di mistar gawang), ketika, dengan penyimpangan apa pun, tubuh cenderung kembali ke posisi semula.

  Keseimbangan acuh tak acuh (Gbr. 9, b) dicirikan oleh fakta bahwa ketika posisi tubuh berubah, tidak ada gaya atau momen gaya yang cenderung mengembalikan tubuh ke posisi semula atau lebih jauh memindahkan tubuh darinya. Ini adalah kejadian langka pada manusia. Contohnya adalah keadaan tanpa bobot di pesawat ruang angkasa.

  Keseimbangan yang tidak stabil (Gbr. 9, c) diamati ketika, dengan penyimpangan kecil tubuh, gaya atau momen gaya muncul yang cenderung menyimpang lebih banyak dari posisi awalnya. Kasus seperti itu dapat diamati ketika seseorang, yang berdiri di atas penyangga area yang sangat kecil (jauh lebih kecil dari area kedua kakinya atau bahkan satu kakinya), menyimpang ke samping.

  Gambar 9 Keseimbangan tubuh: stabil (a), acuh tak acuh (b), tidak stabil (c)

  

  Seiring dengan jenis keseimbangan benda yang terdaftar dalam biomekanik, satu lagi jenis keseimbangan dipertimbangkan - stabil-terbatas. Jenis keseimbangan ini dibedakan oleh fakta bahwa tubuh dapat kembali ke posisi semula jika menyimpang darinya hingga batas tertentu, misalnya, ditentukan oleh batas area pendukung. Jika deviasi melebihi batas ini, keseimbangan menjadi tidak stabil.

  Tugas utama dalam memastikan keseimbangan tubuh manusia adalah memastikan bahwa proyeksi GCM tubuh berada dalam area penyangga. Bergantung pada jenis aktivitas (mempertahankan posisi statis, berjalan, berlari, dll.) dan persyaratan untuk stabilitas, frekuensi dan kecepatan tindakan korektif berubah, tetapi proses mempertahankan keseimbangan adalah sama.

  Distribusi massa dalam tubuh manusia

  Massa tubuh dan massa segmen individu sangat penting untuk berbagai aspek biomekanik. Dalam banyak olahraga, perlu diketahui distribusi massa untuk mengembangkan teknik yang benar untuk melakukan latihan. Untuk menganalisis gerakan tubuh manusia digunakan metode segmentasi: secara konvensional dibagi menjadi segmen-segmen tertentu. Untuk setiap segmen, massa dan posisi pusat massa ditentukan. Di meja. 1 mendefinisikan massa bagian tubuh dalam unit relatif.

  Tabel 1. Massa bagian tubuh dalam satuan relatif

  Seringkali, alih-alih konsep pusat massa, konsep lain digunakan - pusat gravitasi. Dalam medan gravitasi seragam, pusat gravitasi selalu bertepatan dengan pusat massa. Posisi pusat gravitasi tautan ditunjukkan sebagai jaraknya dari sumbu sendi proksimal dan dinyatakan relatif terhadap panjang tautan yang diambil sebagai satu unit.

  Di meja. 2 menunjukkan posisi anatomi pusat gravitasi berbagai bagian tubuh.

  Meja 2. Pusat gravitasi bagian tubuh

  Bagian tubuh	Posisi pusat gravitasi
  Panggul	0,44 panjang tautan
  Shin	0,42 panjang tautan
  Bahu	0,47 panjang tautan
  Lengan bawah	0,42 panjang tautan
  batang tubuh
  Kepala
  Sikat
  Kaki
  Bahu	0,47 panjang tautan
  Lengan bawah	0,42 panjang tautan
  batang tubuh	Jarak 0,44 dari sumbu transversal sendi bahu ke sumbu pinggul
  Kepala	Terletak di daerah pelana Turki tulang sphenoid (proyeksi dari depan antara alis, dari samping - 3,0 - 3,5 di atas saluran pendengaran eksternal)
  Sikat	Di daerah kepala tulang metakarpal ketiga
  Kaki	Pada garis lurus yang menghubungkan tuberkulum kalkaneus kalkaneus dengan ujung jari kedua pada jarak 0,44 dari titik pertama
  Pusat massa gravitasi umum dalam posisi vertikal tubuh	Terletak di kuda-kuda utama di daerah panggul, di depan sakrum