Kerucut. frustrasi

Permukaan meruncing disebut permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik dari kurva yang diberikan dan sebuah titik di luar kurva (Gbr. 32).

Kurva ini disebut memandu , langsung - menghasilkan , dot - puncak permukaan kerucut.

Permukaan runcing melingkar lurus disebut permukaan yang dibentuk oleh semua garis yang melalui setiap titik lingkaran yang diberikan dan sebuah titik pada garis yang tegak lurus terhadap bidang lingkaran dan melalui pusatnya. Berikut ini, permukaan ini akan secara singkat disebut sebagai permukaan kerucut (gbr.33).

kerucut (kerucut melingkar lurus ) disebut benda geometris yang dibatasi oleh permukaan kerucut dan bidang yang sejajar dengan bidang lingkaran pemandu (Gbr. 34).

Beras. 32 Gambar. 33 Gambar. 34

Kerucut dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku di sekitar sumbu yang memuat salah satu kaki segitiga.

Lingkaran yang membatasi kerucut disebut dasar . Titik sudut permukaan kerucut disebut puncak kerucut. Ruas garis yang menghubungkan puncak kerucut dengan pusat alasnya disebut tinggi kerucut. Segmen yang membentuk permukaan kerucut disebut menghasilkan kerucut. sumbu kerucut adalah garis lurus yang melalui titik sudut kerucut dan pusat alasnya. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut. Perkembangan permukaan lateral Kerucut adalah suatu bidang yang jari-jarinya sama dengan panjang generatrix kerucut, dan panjang busur bidang tersebut sama dengan keliling alas kerucut.

Untuk kerucut, rumus berikut ini benar:

di mana R adalah jari-jari alas;

H- tinggi;

aku- panjang generatrix;

S utama- daerah dasar;

sisi S

S penuh

V adalah volume kerucut.

kerucut terpotong disebut bagian kerucut yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas kerucut (Gbr. 35).

Kerucut terpotong dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang di sekitar sumbu yang berisi sisi lateral trapesium, tegak lurus dengan alasnya.

Dua lingkaran yang mengikat kerucut disebut alasan . Tinggi kerucut terpotong adalah jarak antara alasnya. Segmen yang membentuk permukaan kerucut kerucut terpotong disebut menghasilkan . Garis lurus yang melalui pusat-pusat alas disebut sumbu kerucut terpotong. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut terpotong.

Untuk kerucut terpotong, rumus berikut ini benar:

(8)

di mana R adalah jari-jari alas bawah;

r adalah jari-jari alas atas;

H adalah tinggi, l adalah panjang generatrix;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

S penuh adalah luas permukaan total;

V adalah volume kerucut yang terpotong.

Contoh 1 Bagian kerucut yang sejajar dengan alas membagi tinggi dengan perbandingan 1:3, dihitung dari atas. Hitunglah luas permukaan sisi kerucut yang terpotong jika jari-jari alas dan tinggi kerucut adalah 9 cm dan 12 cm.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 36).

Untuk menghitung luas permukaan lateral kerucut terpotong, kami menggunakan rumus (8). Cari jari-jari alasnya Sekitar 1 A dan Sekitar 1 V dan menghasilkan AB.

Perhatikan segitiga sebangun SO 2 B dan JADI 1A, koefisien kesamaan , maka

Dari sini

Dari dulu

Luas permukaan lateral kerucut terpotong sama dengan:

Menjawab: .

Contoh2. Seperempat lingkaran jari-jari dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan jari-jari alas dan tinggi kerucut.

Keputusan. Empat kali lipat lingkaran adalah pengembangan dari permukaan lateral kerucut. Menunjukkan r adalah jari-jari alasnya, H- tinggi. Luas permukaan lateral dihitung dengan rumus: . Itu sama dengan luas seperempat lingkaran: . Kami mendapatkan persamaan dengan dua yang tidak diketahui r dan aku(pembangkit kerucut). Dalam hal ini, generatrix sama dengan jari-jari seperempat lingkaran R, jadi kita mendapatkan persamaan berikut: , Dimana Mengetahui jari-jari alas dan generatrix, kita menemukan ketinggian kerucut:

Menjawab: 2cm, .

Contoh 3 Sebuah trapesium persegi panjang dengan sudut lancip 45 O, alas lebih kecil 3 cm dan sisi miring sama dengan , berputar mengelilingi sisi tegak lurus alas. Temukan volume tubuh revolusi yang diperoleh.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 37).

Sebagai hasil dari rotasi, kami mendapatkan kerucut terpotong; untuk menemukan volumenya, kami menghitung jari-jari alas yang lebih besar dan tingginya. dalam trapesium O 1 O 2 AB kita akan menghabiskan AC^O 1 B. Di kita miliki: jadi segitiga ini sama kaki AC=SM\u003d 3 cm.

Menjawab:

Contoh 4 Sebuah segitiga dengan sisi 13 cm, 37 cm dan 40 cm berputar mengelilingi sumbu luar yang sejajar dengan sisi yang lebih besar dan berjarak 3 cm darinya (sumbu terletak pada bidang segitiga). Temukan luas permukaan benda revolusi yang dihasilkan.

Keputusan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 38).

Permukaan badan putaran yang dihasilkan terdiri dari permukaan samping dua kerucut terpotong dan permukaan samping silinder. Untuk menghitung luas ini, perlu diketahui jari-jari alas kerucut dan silinder ( MENJADI dan OC) membentuk kerucut ( SM dan AC) dan tinggi silinder ( AB). Yang tidak diketahui hanyalah BERSAMA. adalah jarak dari sisi segitiga ke sumbu rotasi. Ayo temukan DC. Luas segitiga ABC di satu sisi sama dengan hasil kali setengah sisi AB dan tinggi yang ditarik padanya DC, di sisi lain, mengetahui semua sisi segitiga, kami menghitung luasnya menggunakan rumus Heron.

Salah satu metode yang paling efektif untuk menentukan karakteristik metrik bangun datar adalah rotasi di sekitar sumbu, yang biasanya digunakan sebagai garis datar atau garis proyeksi.

Aturan konstruksi dasar

1. Jari-jari rotasi titik sama dengan jarak antara titik dan garis level yang bertindak sebagai sumbu. Nilai alami jari-jari ditentukan dengan metode segitiga siku-siku.
2. Ketika berputar di sekitar horizontal h, titik bergerak sepanjang lingkaran, yang diproyeksikan ke bidang horizontal ke dalam segmen garis lurus yang tegak lurus dengan proyeksi horizontal horizontal h. "Pada bidang frontal, lingkaran di mana titik bergerak adalah diproyeksikan menjadi elips. Tidak perlu membangunnya.
3. Ketika berputar di sekitar f frontal, titik bergerak sepanjang lingkaran, yang diproyeksikan ke bidang frontal ke dalam segmen garis lurus yang tegak lurus dengan proyeksi frontal f"". Pada saat yang sama, proyeksi horizontal garis perpindahan adalah elips, yang tidak perlu dibangun.

Mari kita pertimbangkan bagaimana menentukan nilai sebenarnya dari sudut antara garis a dan b yang berpotongan di titik A. Konstruksi ditunjukkan pada gambar dan dilakukan sesuai dengan algoritma yang dijelaskan di bawah ini.

Algoritma solusi

1. Kami melakukan proyeksi frontal h"" dari horizontal h. Ini memotong garis a"" dan b"" di titik 1"" dan 2"". Kami menentukan proyeksi horizontal 1 "dan 2" dan menggambar h melaluinya.
2. Temukan pusat rotasi O. Proyeksi horizontalnya O" terletak di perpotongan garis h" dengan garis tegak lurus yang ditarik dari A" ke h".
3. Kami menentukan nilai alami jari-jari rotasi R = O"A" 0 . Untuk melakukan ini, kita membangun segitiga siku-siku O"A"A" 0 , yang kakinya A"A" 0 sama dengan jarak dari A"" ke h"".
4. Kami menggambar busur lingkaran dengan jari-jari R sampai berpotongan dengan garis lurus O"A" di titik A" 1. Hubungkan A" 1 dengan titik 1" dan 2". Sudut yang diinginkan telah dibuat.

Seperti diketahui; ketika sebuah titik berputar di sekitar sumbu, ia bergerak dalam bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi dan menggambarkan lingkaran. Untuk menerapkan metode rotasi untuk mengubah gambar, kami mencatat empat elemen berikut (Gbr. 5.8):

sumbu rotasi (MN);

bidang rotasi titik(hal. S tegak lurus (MN));

pusat rotasi;

jari-jari rotasi (R; R= |OA|).

Sebagai sumbu rotasi, biasanya digunakan garis lurus, tegak lurus atau sejajar dengan bidang proyeksi. Pertimbangkan rotasi terhadap sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi.

Rotasi titik A pada gambar tentang sumbu M N, tegak lurus bidang H, ditunjukkan pada gambar 5.9. Bidang rotasi S sejajar dengan bidang H dan digambarkan pada proyeksi frontal sebagai berikut: Sv . Proyeksi horizontal tentang pusat rotasi tentang bertepatan dengan proyeksi tp sumbu, dan proyeksi horizontal oa radius rotasi OA adalah nilai alaminya. rotasi titik TETAPI pada gambar 5.9 dibuat sudut berlawanan arah jarum jam sehingga pada posisi baru titik dengan proyeksi a1", a1 jari-jari rotasi sejajar dengan bidangV Ketika sebuah titik berputar di sekitar sumbu vertikal, proyeksi horizontalnya bergerak sepanjang lingkaran, dan proyeksi frontal bergerak sejajar dengan sumbu x dan tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Jika titik tersebut diputar pada sumbu yang tegak lurus bidang V, maka proyeksi frontalnya akan bergerak sepanjang lingkaran, dan proyeksi horizontal akan bergerak sejajar dengan sumbu x.

Rotasi suatu titik di sekitar garis proyeksi digunakan dalam memecahkan beberapa masalah, misalnya, dalam menentukan ukuran alami dari segmen garis. Untuk ini (Gbr. 5.10), sumbu rotasi dengan proyeksi sudah cukup t "p", tp pilih sehingga melewati salah satu titik ekstrem segmen, misalnya, titik dengan proyeksi b", b. Kemudian ketika mengubah titik TETAPI sudut ke posisi A1 (OA1 || persegi V, oa, || sumbu x) segmen AB pindah ke posisi A1B, sejajar dengan bidang V dan, oleh karena itu, diproyeksikan ke dalamnya dalam ukuran penuh. Pada saat yang sama, sudut kemiringan segmen akan diproyeksikan dalam ukuran penuh AB ke bidang H.

Rotasi (perputaran) suatu titik dengan proyeksi b", b relatif terhadap sumbu dengan proyeksi t"p", tp, tegak lurus bidang V, ditunjukkan pada Gambar 5.11. Saat memutar titik PADA bergerak dalam bidang rotasi T (Th) ke posisi dengan proyeksi b1", b1 sehingga jari-jari rotasi OV menjadi sejajar dengan bidang H (o "b" || sumbu x).

Penerapan metode rotasi tanpa menunjukkan pada gambar sumbu rotasi tegak lurus terhadap bidang proyeksi.Jika Anda memutar sosok geometris di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi, maka proyeksi pada bidang ini tidak berubah baik dalam penampilan maupun dalam ukuran (hanya posisi proyeksi relatif terhadap sumbu proyeksi yang berubah). Proyeksi titik-titik sosok geometris pada bidang yang sejajar dengan sumbu rotasi bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu proyeksi (dengan pengecualian proyeksi titik-titik yang terletak pada sumbu rotasi), dan proyeksi secara keseluruhan berubah dalam bentuk dan ukuran. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menerapkan metode rotasi tanpa menentukan representasi sumbu rotasi. Karena

kasus, tanpa mengubah ukuran dan bentuk salah satu proyeksi gambar geometris, pindahkan proyeksi ini ke posisi yang diperlukan, dan kemudian buat proyeksi lain seperti yang ditunjukkan di atas.

Gambar 5.12 menunjukkan penggunaan metode rotasi tanpa menentukan sumbu untuk menentukan ukuran sebenarnya dari segitiga abc, diberikan oleh proyeksi a"b"c", abc. Untuk melakukan ini, dua rotasi bidang pada posisi umum, di mana segitiga berada, dilakukan sehingga setelah rotasi pertama bidang ini menjadi tegak lurus terhadap bidang. V, dan setelah yang kedua - sejajar dengan bidang H. Rotasi pertama di sekitar sumbu tegak lurus bidang H, tanpa menentukan posisinya, dilakukan menggunakan horizontal dengan proyeksi s"1", s-1 dalam bidang segitiga. Dalam hal ini, proyeksi horizontal a diputar agar sesuai dengan arah proyeksi. Proyeksi horizontal segitiga mempertahankan bentuk dan ukurannya, hanya posisinya yang berubah. poin A, B dan C dengan rotasi seperti itu, mereka bergerak dalam bidang yang sejajar dengan bidang H. Proyeksi a1", c1, b1" a"a1", b"b1" dan c"c1". Proyeksi frontal segitiga di posisi baru adalah segmen a1"b1"c1".

Rotasi kedua, yang membawa segitiga ke posisi sejajar dengan bidang H, dibuat di sekitar sumbu rotasi yang tegak lurus terhadap bidang H (posisi sumbu juga tidak ditunjukkan). Proyeksi frontal pada rotasi kedua mempertahankan penampilan dan ukuran yang diperoleh setelah rotasi pertama. poin A1, D1 dan C1 bergerak pada bidang yang sejajar dengan bidang V Proyeksi a 2 , b 2 , c 2 berada di jalur komunikasi horizontal a, a 2, blb2, c1c2. Proyeksi a2b2c 2 adalah ukuran sebenarnya dari segitiga yang diberikan.

Saat melakukan rotasi yang dipertimbangkan di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi, sumbu ini tidak ditunjukkan, tetapi dapat dengan mudah ditemukan. Misalnya, jika Anda menggambar segmen aa1, b1b2 dan tarik garis tegak lurus melalui titik tengahnya, maka titik potong yang dihasilkan dari garis tegak lurus tersebut akan menjadi proyeksi horizontal dari sumbu rotasi yang tegak lurus terhadap bidang H.

Penggunaan metode rotasi tanpa menentukan sumbu agak menyederhanakan konstruksi, tidak ada tumpang tindih satu

bagian di bagian lain, tetapi gambar menempati area yang luas. (Kasus rotasi yang dipertimbangkan tanpa menggambarkan sumbu rotasi adalah kasus khusus dari metode gerakan bidang-paralel.)

Sebuah metode rotasi di sekitar garis lurus sejajar dengan bidang proyeksi.Ukuran alami bangun datar dapat ditentukan dengan memutar di sekitar sumbu yang sejajar dengan bidang proyeksi, membawa bangun ke posisi sejajar dengan bidang proyeksi dengan satu putaran.

Gambar 5.13 menunjukkan definisi ukuran segitiga dengan proyeksi a"b"c", abc rotasi di sekitar horizontal.Dalam hal ini, semua titik segitiga(dengan pengecualian yang terletak pada sumbu rotasi)berputar di sekitar sumbu dalam lingkaran di pesawat tegak lurus terhadap sumbu.Jika segitiga mengambil posisi sejajar dengan bidang proyeksi, jari-jari rotasi titik-titiknya akan sejajar dengan bidang ini, yaitu, mereka akan diproyeksikan ke bidang H ukuran sebenarnya.

Horizontal dengan proyeksi diambil sebagai sumbu rotasi s"1", s-1.

Titik C pada sumbu rotasi tetap. Untuk menggambarkan proyeksi horizontal segitiga setelah rotasi, perlu untuk menemukan posisi proyeksi dua simpul lainnya. Simpul dengan proyeksi a", a dan b", b segitiga perpindahan-

berada di pesawat P dan Q pergerakan titik-titik ini. Proyeksi horizontal tentang pusat rotasi verteks TETAPI adalah titik potong proyeksi horizontal s-1 sumbu rotasi dengan proyeksi horizontal Ph.h. Proyeksi frontalnya ditandai di atasnya. o. Segmen oa - mendatar, o "a" - proyeksi frontal jari-jari rotasi titik TETAPI. ukuran hidup oA radius rotasi titik TETAPI didefinisikan dengan cara yang dibahas dalam 2.3 (lihat Gambar 2.9), yaitu dengan membangun segitiga siku-siku. Di kaki oa dan aA \u003d o "2" segitiga dibangun oaa, sisi miringnya sama dengan jari-jari rotasi titik TETAPI.

Dari proyeksi tentang titik poros TETAPI ke arah jejak Ph dari bidang geraknya, kami mengesampingkan nilai alami jari-jari rotasi. Menandai proyeksi horizontal a, titik A, diputar ke posisi segitiga sejajar bidang N. Proyeksi horizontal titik bt PADA dalam posisi diputar kita temukan sebagai titik persimpangan proyeksi horizontal 1-at dengan jejak Q h . Proyeksi horizontal a1cb1 menyatakan nilai natural dari A ABC, karena setelah rotasi bidang segitiga sejajar dengan bidang N. Proyeksi frontal dari segitiga yang diputar bertepatan dengan proyeksi frontal dari horizontal 1"s", yaitu, itu adalah segmen garis lurus.

Jika Anda ingin memutar gambar geometris datar ke posisi sejajar dengan bidang V, kemudian frontal dipilih untuk sumbu rotasi.

Putar bidang di sekitar jejaknya hingga bertepatan dengan bidang proyeksi yang sesuai(kasus ini juga disebut metode kombinasi). Jika bidang diputar di sekitar jejaknya hingga bertepatan dengan bidang proyeksi di mana jejak ini berada, maka gambar geometris yang terletak di bidang tersebut akan ditampilkan tanpa distorsi. Metode ini adalah kasus khusus rotasi di sekitar bidang horizontal atau frontal, karena jejak horizontal bidang dapat dianggap sebagai horizontal "nol" dari bidang horizontal, dan jejak frontal sebagai frontal "nol".

Gambar 5.14 menunjukkan representasi visual dari rotasi bidang posisi umum R di sekitar jalur horizontal P h ke arah dari pesawat V ke penampil hingga sejajar dengan bidang N. Dalam posisi sejajar bidang R dengan pesawat

H garis lurus P Uq adalah jejak R dan, sejajar dengan pesawat N. Jejak Ph bagaimana sumbu rotasi tidak berubah posisinya. Dot Rx perpotongan jejak juga tidak berubah posisinya. Untuk membangun posisi gabungan P L , jejak P v cukup mencari satu titik lagi, misalnya titik N, jejak ini (kecuali titik Rx) dalam posisi sejajar dengan bidang N.

Titik N menggambarkan busur di pesawat Q, tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Tengah HAI busur ini adalah titik perpotongan bidang Q dengan jejak P h . Titik N 0 pada bidang H adalah titik potong busur jari-jari ON di bidang Q dengan jejak Q h . Menggambar garis lurus melalui P x dan N 0, kita mendapatkan P U0 . Segmen P X N tidak berubah panjangnya saat pesawat berputar; jadi titik N0 dapat diperoleh dengan menyilang Q h dengan busur yang dijelaskan dalam pesawat H, dari titik x dengan jari-jari P X N.

Untuk melakukan konstruksi yang dipertimbangkan pada gambar (Gbr. 5.15) pada jejak R dan titik sewenang-wenang dipilih N (itu bertepatan dengan proyeksinya P"). Melalui proyeksi horizontalnya P langsung pada, tegak lurus terhadap sumbu rotasi - jejak Ph.h. Sebuah titik ditemukan pada garis ini N 0 , yaitu titik N setelah sejajar dengan pesawat N. Dia ditemukan di kejauhan P X N 0 \u003d P x n "dari titik P x atau di kejauhan oN 0 dari titik o, sama dengan jari-jari rotasi titik N. Panjang radius oN 0 = on didefinisikan, misalnya, sebagai sisi miring dari segitiga siku-siku dengan kaki on dan nN (nN=nn").Garis lurus P U0 , melewati titik P x dan N 0, - posisi trek gabungan saya

Posisi gabungan dari titik C0 dibangun dengan cara yang sama C. Jari-jari rotasi oC ditemukan sebagai sisi miring dari persegi panjang

segitiga dengan satu kaki oc, kaki lainnya cc = s "1. Versi kedua dari konstruksi dibuat menggunakan bidang horizontal P dengan proyeksi c"2", c -2. Menggunakan radius busur Rx2" posisi yang cocok ditemukan 2o poin 2 pada garis Pv0, dan dalam posisi gabungan 20C0 garis mendatar melalui suatu titik 2 0 sejajar dengan jejak Ph.

Jika diperlukan untuk menggabungkan bidang dengan bidang proyeksi frontal, maka bidang tersebut harus diputar di sekitar jejak frontalnya.

24. Badan-badan revolusi.

Silinder, kerucut dan kerucut terpotong.

1. Persegi dengan sisi sebuah berputar di sekitar tegak lurus terhadap diagonal melalui ujungnya. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

2. Persegi dengan sisi sebuah berputar mengelilingi sumbu luar yang sejajar dengan sisinya dan dipisahkan oleh panjang sisinya. Diperlukan: 1) menentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan; 2) tentukan dalam perbandingan berapa volume yang dibentuk oleh rotasi persegi akan dibagi dengan permukaan yang akan digambarkan diagonalnya.

3. Segitiga sama sisi berputar di sekitar tegak lurus terhadap sisi yang ditarik melalui ujungnya. Bagaimana permukaan yang digambarkan oleh sisi-sisi segitiga berhubungan satu sama lain?

4. Sebuah segitiga sama sisi berputar pertama di sekitar sisi, dan kemudian di sekitar sejajar dengan sisi yang ditarik melalui titik sudut. Kali kedua, volume dan permukaan diperoleh, dua kali lebih besar dari yang pertama. Membuktikan.

5. Segitiga sama sisi dengan sisi sebuah berputar di sekitar sumbu eksternal yang sejajar dengan sisi dan dihapus dari itu dengan jarak yang sama dengan apotema segitiga. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

6. Satu sisi sebuah sebuah segitiga sama sisi diperpanjang hingga panjangnya, dan sebuah garis tegak lurus terhadapnya ditarik melalui ujung perpanjangannya. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang akan diperoleh jika segitiga diputar tegak lurus ini.

7. Ketinggian segitiga sama sisi diperpanjang di luar titik ke panjangnya, dan tegak lurus terhadapnya ditarik melalui ujung perpanjangan. Di samping sebuah tentukan volume dan permukaan benda yang dibentuk oleh rotasi segitiga di sekitar tegak lurus ini.

8. Sisi bujur sangkar berfungsi sebagai sisi segitiga sama sisi yang dibangun dari luar, dan gambar yang dihasilkan berputar di sekitar garis lurus yang menghubungkan simpul luar dari dua segitiga yang berlawanan. Sisi persegi adalah sebuah . Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

9. Di samping sebuah dari segi enam biasa, tentukan volume dan permukaan benda yang dibentuk oleh rotasinya: 1) di sekitar diameter; 2) di sekitar apotema.

10. Di samping sebuah dari segi enam biasa menentukan volume dan permukaan tubuh yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sisi.

11. sebuah berputar di sekitar sumbu yang melewati simpulnya tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke simpul ini. Tentukan volume dan permukaan benda revolusi.

12. segi enam biasa dengan sisi sebuah berputar di sekitar sumbu eksternal yang sejajar dengan sisi dan dipisahkan darinya oleh panjang apotema. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

13. Sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 5 cm dan 12 cm berputar di sekitar sumbu luar, yang sejajar dengan kaki yang lebih besar dan 3 cm darinya. Tentukan volume dan permukaan tubuh revolusi.

14. Sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 15 cm dan 20 cm berputar tegak lurus terhadap sisi miring, ditarik melalui puncak sudut lancip yang lebih besar. Tentukan volume dan permukaan benda revolusi.

15. Sebuah segitiga dengan panjang sisi 9 cm, 10 cm, dan 17 cm berputar mengelilingi ketinggian yang ditarik dari titik sudutnya yang lebih kecil. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

16. Sebuah segitiga dengan panjang sisi 8 cm dan 5 cm yang membentuk sudut 60° berputar terhadap sumbu yang melalui titik sudut tersebut tegak lurus terhadap sisi yang lebih kecil. Tentukan volume dan permukaan benda revolusi.

17. Volume yang dibentuk dengan memutar jajaran genjang secara berurutan di sekitar dua sisi yang berdekatan berbanding terbalik dengan sisi-sisi ini. Membuktikan.

18. Sebuah belah ketupat yang luasnya Q berputar pada suatu sisi. Tentukan permukaan tubuh yang dihasilkan.

19. 1) Belah ketupat dengan sisi sebuah dan sudut lancip 60° berputar terhadap sumbu yang ditarik melalui titik sudut yang tegak lurus terhadap sisi. Tentukan volume dan permukaan benda revolusi.

2) Masalah yang sama untuk sudut 45°.

20. Trapesium sama kaki, di mana sudut lancip adalah 45 ° dan sisinya sama dengan alas yang lebih kecil, berputar di sekitar sisi. Sepanjang panjangnya sebuah menentukan volume dan luas permukaan benda revolusi.

21. Sebuah trapesium dibuat dalam setengah lingkaran dengan jari-jari R sedemikian rupa sehingga alas bawahnya adalah diameter lingkaran ini, dan sisi lateralnya membelokkan busur sebesar 30°. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dibentuk oleh rotasi trapesium ini di sekitar jari-jari yang tegak lurus dengan alasnya.

22. AB adalah diameter setengah lingkaran tertentu dengan jari-jari R; Busur BC berisi 60 °. Sebuah tali busur AC dan garis singgung CD digambar, di mana D adalah titik pada sambungan diameter AB. Tentukan volume dan permukaan benda yang diperoleh dengan memutar segitiga ACD di sekitar sumbu AD.

Bola dan bagian-bagiannya.

23. Pada setengah lingkaran berjari-jari R dari ujung diameternya AB, diletakkan busur IUD 60 °, dan titik C terhubung ke A. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang terbentuk jika kita memutar AB sebuah gambar yang dibatasi dengan diameter AB, tali busur AC dan busur IUD.

24. Pada setengah lingkaran berjari-jari R dari ujung diameternya AB, ditarik busur BMC 45°, dari titik C ditarik garis singgung yang memotong kelanjutan diameter AB di titik D. Gambar dibatasi oleh garis lurus BD dan CD dan busur BMC berputar di sekitar BD. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

25. O adalah pusat busur AMC dengan jari-jari R; B-point pada kelanjutan radius OA; BC-singgung busur AMC; CD - tegak lurus dengan jari-jari OA. Angka tersebut berputar di sekitar sumbu OB. Tentukan jarak OD jika permukaan yang dibentuk oleh rotasi busur AMC membagi dua volume yang dibentuk oleh rotasi segitiga OSV di sekitar sumbu OB.

26. AMC, CND dan DPB adalah sepertiga berurutan dari setengah lingkaran dengan diameter AB dan pusat O. Jari-jari OS dan OD dan tali busur AC dan AD digambar, dan gambar berputar di sekitar diameter AB. Buktikan bahwa gambar ACND dan OCND menggambarkan volume yang sama, masing-masing membentuk setengah volume bola.

27. Segmen lingkaran berputar di sekitar diameter yang sejajar dengan tali busur. Buktikan bahwa volume yang dihasilkan sama dengan volume bola dengan diameter sama dengan tali busur segmen.

28. 1) AOB - kuadran dengan pusat O dan jari-jari R; AMC - busur berisi 60 °; AD- tangen, dan D adalah titik perpotongannya dengan kelanjutan radius OS. Sosok yang dibatasi oleh segmen AD dan CD dan busur AMC berputar di sekitar jari-jari OB. Tentukan volume dan permukaan tubuh yang dihasilkan.

2) Masalah yang sama untuk busur AMC sama dengan 45°.

teorema Gulden.

29. Periksa kedua teorema Hulden untuk kasus rotasi:

1) persegi panjang di sekitar salah satu sisinya;

2) belah ketupat dengan sisi sebuah dan tinggi h di sekitar salah satu sisinya;

3) segitiga beraturan dengan sisi sebuah di sekitar sumbu yang melewati bagian atas sejajar dengan alas;

4) segitiga siku-siku di sekitar salah satu kaki;

5) segitiga siku-siku di sekitar sisi miring.

30. Penampang cincin besi - persegi dengan sisi sebuah = 4cm; diameter cincin rata-rata d = 80 cm dan berat jenisnya adalah 8,6. Cari berat cincin.

31. Pelampung penolong, yang penampangnya berbentuk lingkaran, dapat dianggap sebagai benda yang dihasilkan dari rotasi lingkaran di sekitar sumbu tertentu. Diameter bagian: d =12cm; diameter luar pelampung D = 75 cm Hitung permukaan pelampung dan volumenya.

32. Depot lokomotif berbentuk setengah lingkaran dalam denah (Gbr. 44), dengan diameter dalam 20 m; lebar setengah cincin 9 m; Pada penampang melintang depot berbentuk trapesium persegi panjang ABCD dengan sisi sejajar 4,25 m dan 6,5 m. Hitunglah volume depot.

33. Panjang sisi segitiga tersebut adalah 9 cm, 10 cm, dan 17 cm. Segitiga tersebut berputar mengelilingi ketinggiannya yang lebih besar. Tentukan volume permukaan benda revolusi.

34. Buktikan bahwa volume yang diperoleh dengan memutar segitiga di sekitar alas dan di sekitar garis lurus yang sejajar dengan alas yang melalui titik sudut adalah perbandingan 1:2.

Saat mempelajari materi topik, Anda perlu mempelajari:

jenis badan revolusi;

definisi badan-badan revolusi;

definisi unsur-unsur badan revolusi;

konsep pengembangan silinder dan kerucut;

definisi dan perhitungan permukaan lateral dan penuh silinder dan kerucut;

definisi bidang singgung bola dan sifat-sifatnya;

konsep luas permukaan bola;

definisi polihedron tertulis dalam bola dan dijelaskan di sekitarnya.

Dalam proses pemecahan masalah, keterampilan berikut diuji:

menggambarkan badan-badan revolusi;

Hitung elemen badan revolusi;

menggambarkan bagian tubuh;

Hitung luas permukaan lateral dan penuh silinder dan kerucut;

Tulis persamaan untuk bola.

Soal tes teori

Pilihan 1

1. Konsep permukaan silinder dan elemen-elemennya. Merumuskan definisi silinder dan elemen-elemennya.

2. Turunkan rumus untuk menghitung luas permukaan bola.

3. Temukan rasio luas permukaan lateral dan bagian aksial kerucut.

pilihan 2

1. Konsep permukaan kerucut. Merumuskan definisi kerucut dan elemen-elemennya.

2. Tentukan posisi pusat bola yang dibatasi pada piramida segi empat beraturan. Buktikan klaim Anda.

3. Temukan rasio luas permukaan lateral dan bagian aksial silinder.

Opsi 3

1. Merumuskan definisi kerucut terpotong dan elemen-elemennya.

2. Tentukan posisi pusat bola yang tertulis dalam piramida segitiga beraturan. Buktikan klaim Anda.

3. Buktikan bahwa total permukaan kerucut sama sisi sama dengan permukaan bola dengan diameter tinggi kerucut.

Opsi 4

1. Merumuskan definisi bola dan bola. Tuliskan persamaan bola berjari-jari R yang berpusat di titik O(0; 0; 0) dan di titik A(x0; y0; z0).

2. Turunkan rumus untuk menghitung permukaan lateral kerucut.

3. Buktikan bahwa luas permukaan penuh silinder sama dengan luas permukaan lateral silinder lain yang berjari-jari sama, yang tingginya sama dengan jumlah jari-jari dan tinggi silinder ini .

kerja mandiri 17

Pilihan 1

1. Luas penampang silinder adalah 16. Hitung luas penampang silinder ini yang sejajar dengan sumbu dan terletak pada jarak yang sama dengan setengah jari-jari alas silinder.

2. Setengah lingkaran dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan sudut antara generatrix dan tinggi kerucut.

3. Jari-jari dua bola adalah 16 dan 20 dm, jarak antara pusatnya adalah 25 dm. Temukan keliling lingkaran di mana permukaannya berpotongan.

pilihan 2

1. Jari-jari alas silinder adalah 26 cm, membentuk 4,8 dm. Pada jarak berapa dari sumbu silinder harus ditarik bagian yang sejajar dengan sumbu dan berbentuk persegi?

2. Jari-jari sektor tersebut adalah 3 m, sudutnya 120°. Sektor ini dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan jari-jari alas kerucut.

3. Diagonal belah ketupat adalah 30 dan 40 cm. Permukaan bola menyentuh semua sisi belah ketupat. Hitunglah jarak dari pusat bola ke bidang belah ketupat jika jari-jari bola 13 cm.

Opsi 3

1. Jari-jari alas silinder adalah 12 cm. Tentukan jarak antara bagian aksial dan bagian dengan setengah luas.

2. Sudut pengembangan permukaan sisi kerucut adalah 120°. Generatrix kerucut adalah 15 cm. Hitung diameter alas kerucut.

3. Sebuah belah ketupat ditumpangkan pada sebuah bola berjari-jari 10 cm sehingga masing-masing sisinya sama dengan 12,5 cm menyentuh bola. Bidang belah ketupat berjarak 8 cm dari pusat bola.Temukan luas belah ketupat tersebut.

Opsi 4

1. Dua bagian yang saling tegak lurus ditarik melalui generatrix silinder, yang luasnya sama dengan 60 dan 80 dm. Temukan luas bagian aksial.

2. Jari-jari alas kerucut adalah 12 cm, membentuk 40 cm. Hitung sudut sapuan kerucut ini.

3. Sisi-sisi segitiga tersebut adalah 10 dm, 10 dm, dan 12 dm. Hitunglah jarak dari bidang segitiga ke pusat bola yang bersinggungan dengan sisi-sisi segitiga. Jari-jari bola adalah 5 dm.

Pekerjaan mandiri 18

Pilihan 1

1. Diagonal bagian aksial silinder 25% lebih besar dari diameter alasnya. Hitunglah luas total silinder jika jarak antara pusat-pusatnya adalah 15 cm.

2. Pengembangan permukaan sisi silinder - persegi dengan sisi 4 dm. Cari volume silinder.

3. Diagonal bagian aksial kerucut terpotong saling tegak lurus, tinggi kerucut adalah H, membentuk l. Temukan permukaan lateral kerucut.

4. Jari-jari alas kerucut adalah 12 cm, membentuk 40 cm. Tentukan sudut perkembangan permukaan sisi kerucut.

5. Generator kerucut terpotong 10 cm, beda alas 6 cm, luas penampang 112 cm2. Temukan permukaan lateral kerucut.

6. Sebuah jajar genjang yang sisi-sisinya 21 cm dan 89 cm dan diagonalnya 100 cm mengelilingi sisi yang lebih kecil. Temukan volume tubuh revolusi.

7. Sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 16 dan 12 cm berputar mengelilingi sisi miring. Temukan volume dan luas rotasi.

pilihan 2

1. Permukaan samping silinder adalah setengah dari total permukaannya. Hitunglah luas permukaan silinder jika diagonal bagian aksialnya 10 in.

2. Luas permukaan tabung adalah 500 p cm2, diameter alasnya adalah 20 cm. Hitunglah volume tabung tersebut.

3. Generatrix kerucut terpotong mengacu pada ketinggiannya sebagai 41:40. Jari-jari alasnya adalah 24 dan 6 cm. Carilah permukaan lateral kerucut.

4. Sudut pengembangan permukaan sisi kerucut adalah 120°. Generatrix kerucut adalah 15 cm. Hitunglah luas permukaan kerucut tersebut.

5. Tentukan tinggi kerucut yang terpotong jika permukaan lateralnya sama dengan jumlah luas alasnya, dan jari-jari alasnya adalah R dan r.

6. Trapesium sama kaki dengan alas 12 dan 18 cm dan sudut lancip 60° berputar mengelilingi alas yang lebih kecil. Temukan permukaan dan volume benda revolusi.

7. Sebuah segitiga dengan dua sisi sama dengan 5 cm dan 8 cm, membentuk sudut 60°, berputar pada sisi yang terbesar. Temukan permukaan dan volume benda revolusi.

Pekerjaan mandiri 19

Pilihan 1

1. Sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 16 dan 12 cm berputar mengelilingi sisi miring. Temukan permukaan tubuh revolusi.

2. Jari-jari alas sabuk berbentuk bola adalah 63 dan 39 cm, tingginya 36 cm. Hitunglah permukaan sabuk berbentuk bola tersebut.

3. Tinggi piramida segitiga beraturan h. Tulang rusuk lateral saling tegak lurus. Temukan jari-jari bola yang dibatasi.

4. Dalam sebuah piramida terpotong segitiga biasa, tingginya 17 cm, jari-jari lingkaran yang dijelaskan di sekitar alasnya adalah 5 dan 12 cm. Temukan jari-jari bola yang dibatasi.

5. Sebuah persegi dengan sisi yang sama dengan a berputar di sekitar tegak lurus terhadap diagonal, ditarik melalui ujungnya. Temukan permukaan tubuh yang dihasilkan.

pilihan 2

1. Sebuah segitiga yang kedua sisinya 5 dan 8 cm, membentuk sudut 60°, berputar pada sisi yang terbesar. Temukan permukaan tubuh revolusi.

2. Total permukaan segmen bola sama dengan S. Tentukan tinggi segmen jika jari-jari bola adalah R.

3. Alas limas berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisinya 3 dm. Salah satu rusuknya adalah 2 dm dan tegak lurus alasnya. Temukan jari-jari bola yang dibatasi.

4. Sisi alas sebuah piramida berbentuk segi empat beraturan adalah 7 dan 1 dm. Tepi samping miring ke alas pada sudut 45°. Temukan jari-jari bola yang dibatasi.

5. Segi enam beraturan dengan sisi a berputar mengelilingi sumbu luar, yang sejajar dengan sisi tersebut dan berjarak darinya dengan panjang apotema. Temukan permukaan tubuh yang dihasilkan.

Pekerjaan mandiri 20

Pilihan 1

1. Tepi lateral piramida segitiga beraturan sama dengan b dan membentuk sudut a dengan bidang alas. Sebuah silinder sama sisi ditulis dalam piramida sehingga bidang alasnya terletak pada bidang alas piramida. Cari volume silinder.

2. Dasar piramida adalah segitiga beraturan. Satu sisi sisi tegak lurus terhadap bidang alas dan sama dengan l, dan dua sisi lainnya membentuk sudut a dengan bidang alas. Sebuah prisma lurus tertulis di piramida, tiga simpul di antaranya terletak di tepi lateral piramida, dan tiga lainnya terletak di dasar piramida, diagonal wajah lateral prisma adalah dengan bidang alas b. Hitunglah tinggi prisma tersebut.

3. Pada prisma segi empat beraturan, luas sisi sisinya sama dengan q. Temukan luas bagian diagonal.

4. Sebuah bidang yang tegak lurus dengan diameter bola membaginya menjadi bagian-bagian 3 dan 9 cm. Bagian-bagian apa yang menjadi bagian dari volume bola?

pilihan 2

1. Sudut di bagian atas bagian aksial kerucut adalah 2b. Keliling alasnya adalah c. Tentukan luas permukaan lateral kerucut.

2. Diagonal bagian aksial kerucut terpotong dibagi dengan titik persimpangan dalam perbandingan 2: 1, dihitung dari alas besar. Sudut antara diagonal yang menghadap alas adalah a. Diagonalnya adalah l. Temukan volume kerucut.

3. Panjang rusuk sisi sejajar siku-siku adalah 5 cm, sisi alasnya 6 dan 8 cm, salah satu diagonal alasnya 12 cm. Hitunglah diagonal-diagonal alas tersebut.

4. Berapa bagian volume bola yang merupakan volume segmen bola dengan tinggi 0,1 diameter bola?

Opsi 3

1. Generatrix kerucut sama dengan l dan condong ke bidang alas dengan sudut a. Tentukan luas permukaan total kubus bertulisan tersebut.

2. Sebuah bujur sangkar tertulis di dasar kerucut, yang sisinya adalah a. Bidang yang melalui salah satu sisi bujur sangkar ini dan titik puncak kerucut, ketika berpotongan dengan permukaan kerucut, membentuk segitiga sama kaki dengan sudut pada titik sudut sama dengan a. Temukan volume kerucut.

3. Sisi alas prisma segi empat beraturan adalah 15 cm dan tingginya 20 cm. Hitunglah jarak terpendek dari sisi alas ke diagonal prisma yang tidak memotongnya.

4. Dua bola yang sama besar disusun sedemikian rupa sehingga pusat yang satu terletak pada permukaan yang lain. Bagaimana volume seluruh bagian bola berhubungan dengan volume seluruh bola?

Opsi 4

1. Sebuah prisma segitiga siku-siku dengan rusuk yang sama ditulis dalam sebuah kerucut, generatrix yang miring ke bidang alas pada sudut a. Hitunglah volume prisma jika jari-jari alas kerucut adalah R.

2. Volume kerucut adalah V. Sebuah piramida tertulis di kerucut, yang alasnya terletak segitiga sama kaki dengan sudut a di antara sisi-sisinya. Temukan volume piramida.

3. Pada suatu jajar genjang siku-siku, panjang sisinya 1 m, sisi alasnya 23 dm dan 11 dm, diagonal alasnya adalah 2: 3. Tentukan luas penampang diagonalnya.

4. Pada sisi alas a dan sisi b, carilah seluruh permukaan prisma segi enam beraturan.