Dalam topik ini, kita akan mempertimbangkan konsep matriks, serta jenis matriks. Karena ada banyak istilah dalam topik ini, saya akan menambahkan ringkasan untuk memudahkan navigasi materi.
Pengertian matriks dan elemennya. Notasi.
Matriks adalah tabel dengan $m$ baris dan $n$ kolom. Elemen matriks dapat berupa objek yang sangat beragam sifatnya: bilangan, variabel, atau, misalnya, matriks lain. Misalnya, matriks $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ memiliki 3 baris dan 2 kolom; elemennya adalah bilangan bulat. Matriks $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ berisi 2 baris dan 4 kolom.
Berbagai cara untuk menulis matriks: tampilkan\sembunyikan
Matriks dapat ditulis tidak hanya dalam kurung bulat, tetapi juga dalam kurung lurus atau kurung siku ganda. Artinya, entri di bawah ini berarti matriks yang sama:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
Hasil kali $m\kali n$ disebut ukuran matriks. Misalnya, jika matriks berisi 5 baris dan 3 kolom, maka kita berbicara tentang matriks $5\kali 3$. Matriks $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ memiliki ukuran $3 \times 2$.
Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: $A$, $B$, $C$, dan seterusnya. Misalnya, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Penomoran baris dimulai dari atas ke bawah; kolom - dari kiri ke kanan. Misalnya, baris pertama matriks $B$ berisi elemen 5 dan 3, dan kolom kedua berisi elemen 3, -87, 0.
Elemen matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Misalnya, elemen matriks $A$ dilambangkan dengan $a_(ij)$. Indeks ganda $ij$ berisi informasi tentang posisi elemen dalam matriks. Bilangan $i$ adalah nomor baris, dan bilangan $j$ adalah nomor kolom, pada perpotongan di mana elemen $a_(ij)$ berada. Misalnya, pada perpotongan baris kedua dan kolom kelima dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \kanan)$ elemen $ a_(25)= $59:
Demikian pula, pada perpotongan baris pertama dan kolom pertama, kita memiliki elemen $a_(11)=51$; di persimpangan baris ketiga dan kolom kedua - elemen $a_(32)=-15$ dan seterusnya. Perhatikan bahwa $a_(32)$ dibaca sebagai "a three two" tetapi bukan "a three two".
Untuk sebutan singkat dari matriks $A$, yang besarnya sama dengan $m\times n$, digunakan notasi $A_(m\times n)$. Anda dapat menulis sedikit lebih detail:
$$ A_(m\kali n)=(a_(ij)) $$
dimana notasi $(a_(ij))$ menyatakan elemen dari matriks $A$. Dalam bentuk yang diperluas sepenuhnya, matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dapat ditulis sebagai berikut:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \kanan) $$
Mari kita perkenalkan istilah lain - matriks yang sama.
Dua matriks dengan ukuran yang sama $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ disebut setara jika elemen-elemen yang bersesuaian sama, mis. $a_(ij)=b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.
Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: show\hide
Entri "$i=\overline(1,m)$" berarti bahwa parameter $i$ berubah dari 1 menjadi m. Misalnya, entri $i=\overline(1,5)$ mengatakan bahwa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.
Jadi, untuk kesetaraan matriks, diperlukan dua kondisi: kebetulan ukuran dan kesetaraan elemen yang sesuai. Misalnya, matriks $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ tidak sama dengan matriks $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ karena matriks $A$ adalah $3\times 2$ dan matriks $B$ adalah $2\kali 2$. Juga matriks $A$ tidak sama dengan matriks $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ karena $a_( 21)\neq c_(21)$ (yaitu $0\neq 98$). Tetapi untuk matriks $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, kita dapat dengan aman menulis $A =F$ karena ukuran dan elemen yang bersesuaian dari matriks $A$ dan $F$ bertepatan.
Contoh 1
Tentukan ukuran matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \kanan)$. Tentukan dengan apa elemen $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ sama.
Matriks ini berisi 5 baris dan 3 kolom, jadi ukurannya adalah $5\kali 3$. Notasi $A_(5\times 3)$ juga dapat digunakan untuk matriks ini.
Elemen $a_(12)$ berada di persimpangan baris pertama dan kolom kedua, jadi $a_(12)=-2$. Elemen $a_(33)$ berada di persimpangan baris ketiga dan kolom ketiga, jadi $a_(33)=23$. Elemen $a_(43)$ berada di persimpangan baris keempat dan kolom ketiga, jadi $a_(43)=-5$.
Menjawab: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Jenis matriks tergantung pada ukurannya. Diagonal utama dan samping. Jejak matriks.
Biarkan beberapa matriks $A_(m\times n)$ diberikan. Jika $m=1$ (matriks terdiri dari satu baris), maka matriks yang diberikan disebut matriks-baris. Jika $n=1$ (matriks terdiri dari satu kolom), maka matriks tersebut disebut matriks kolom. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ adalah matriks baris, dan $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \kanan)$ - matriks kolom.
Jika kondisi $m\neq n$ benar untuk matriks $A_(m\times n)$ (yaitu, jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom), maka sering dikatakan bahwa $A$ adalah matriks persegi panjang. Misalnya, matriks $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ memiliki ukuran $2\times 4 $, itu. berisi 2 baris dan 4 kolom. Karena jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom, matriks ini berbentuk persegi panjang.
Jika kondisi $m=n$ benar untuk matriks $A_(m\times n)$ (yaitu, jumlah baris sama dengan jumlah kolom), maka $A$ dikatakan matriks persegi dengan pesan $n$. Misalnya, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ adalah matriks bujur sangkar orde dua; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ adalah matriks bujur sangkar orde ke-3. Secara umum, matriks bujur sangkar $A_(n\times n)$ dapat ditulis sebagai berikut:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \kanan) $$
Elemen $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ dikatakan berada pada diagonal utama matriks $A_(n\kali n)$. Elemen-elemen ini disebut elemen diagonal utama(atau hanya elemen diagonal). Elemen $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ aktif sisi (sekunder) diagonal; mereka disebut elemen diagonal sekunder. Misalnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \kanan)$ kita memiliki:
Elemen $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ adalah elemen diagonal utama; elemen $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ adalah elemen diagonal sekunder.
Jumlah elemen diagonal utama disebut diikuti oleh matriks dan dilambangkan dengan $\Tr A$ (atau $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Misalnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ kita memiliki:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Konsep elemen diagonal juga digunakan untuk matriks non-persegi. Misalnya, untuk matriks $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elemen diagonal utamanya adalah $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Jenis matriks tergantung pada nilai elemennya.
Jika semua elemen matriks $A_(m\times n)$ sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut batal dan biasanya dilambangkan dengan huruf $O$. Misalnya, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ adalah matriks nol.
Biarkan matriks $A_(m\times n)$ terlihat seperti ini:
Maka matriks ini disebut berbentuk trapesium. Ini mungkin tidak berisi nol baris, tetapi jika ya, baris tersebut terletak di bagian bawah matriks. Dalam bentuk yang lebih umum, matriks trapesium dapat ditulis sebagai:
Sekali lagi, trailing null string adalah opsional. Itu. secara formal, kita dapat memilih kondisi berikut untuk matriks trapesium:
- Semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.
- Semua elemen dari $a_(11)$ hingga $a_(rr)$ yang terletak pada diagonal utama tidak sama dengan nol: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Semua elemen dari baris $m-r$ terakhir sama dengan nol, atau $m=r$ (yaitu tidak ada baris nol sama sekali).
Contoh matriks trapesium:
Mari kita beralih ke definisi berikutnya. Matriks $A_(m\times n)$ disebut melangkah jika memenuhi kondisi berikut:
Misalnya, matriks langkah akan menjadi:
Sebagai perbandingan, matriks $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ tidak dilangkahi karena baris ketiga memiliki bagian nol yang sama dengan baris kedua. Artinya, prinsip "semakin rendah garis - semakin besar bagian nol" dilanggar. Saya akan menambahkan bahwa matriks trapesium adalah kasus khusus dari matriks melangkah.
Mari kita beralih ke definisi berikutnya. Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol, maka matriks seperti itu disebut matriks segitiga atas. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matriks segitiga atas. Perhatikan bahwa definisi matriks segitiga atas tidak mengatakan apa pun tentang nilai elemen yang terletak di atas diagonal utama atau pada diagonal utama. Mereka mungkin atau mungkin tidak nol, tidak masalah. Misalnya, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ juga merupakan matriks segitiga atas.
Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol, maka matriks seperti itu disebut matriks segitiga bawah. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriks segitiga bawah. Perhatikan bahwa definisi matriks segitiga bawah tidak mengatakan apa pun tentang nilai elemen di bawah atau pada diagonal utama. Mereka mungkin atau mungkin tidak nol, tidak masalah. Misalnya, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ dan $\left(\ mulai (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \kanan)$ juga matriks segitiga bawah.
Matriks persegi disebut diagonal jika semua elemen matriks ini yang tidak berada pada diagonal utama sama dengan nol. Contoh: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ akhir(array)\kanan)$. Elemen pada diagonal utama dapat berupa apa saja (sama dengan nol atau tidak) - ini tidak penting.
Matriks diagonal disebut lajang jika semua elemen matriks ini terletak pada diagonal utama sama dengan 1. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matriks identitas orde ke-4; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ adalah matriks identitas orde dua.
Operasi matriks dan sifat-sifatnya.
Konsep determinan orde kedua dan ketiga.Sifat-sifat determinan dan perhitungannya.
3. Gambaran umum tugas.
4. Penyelesaian tugas.
5. Membuat laporan pekerjaan laboratorium.
Glosarium
Pelajari definisi berikut ketentuan:
Dimensi Matriks adalah kumpulan dua buah bilangan yang terdiri dari banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.
Jika m=n, maka matriks tersebut disebut kotak matriks orde n.
Operasi matriks: mentranspos matriks, mengalikan (membagi) matriks dengan angka, penjumlahan dan pengurangan, mengalikan matriks dengan matriks.
Transisi dari matriks A ke matriks A m, yang baris-barisnya adalah kolom, dan kolom-kolomnya adalah baris-baris matriks A, disebut transposisi matriks A
Contoh: A= , A t = .
Ke kalikan matriks dengan angka, Anda perlu mengalikan setiap elemen matriks dengan angka ini.
Contoh: 2A= 2 = .
Jumlah (selisih) matriks A dan B dengan dimensi yang sama disebut matriks C \u003d A B, yang elemen-elemennya sama dengan ij = a ij b ij untuk semua saya dan j.
Contoh: A = ; B = . A+B= 
= .
kerja matriks A m n ke matriks B n k disebut matriks C m k , masing-masing elemen di mana c ij sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris ke-i matriks A dan elemen yang sesuai dari kolom ke-j dari matriks B:
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a in b nj .
Untuk dapat mengalikan matriks dengan matriks, mereka harus: sepakat untuk perkalian, yaitu jumlah kolom dalam matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Contoh: A= dan B=.
A·B—tidak mungkin, karena mereka tidak konsisten.
·А= . = 
= 
.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks.
1. Jika matriks A memiliki dimensi M N, dan matriks B adalah dimensinya nk, maka produk A · B ada.
Produk B A hanya dapat ada jika m=k.
2. Perkalian matriks tidak komutatif, mis. A · B tidak selalu sama dengan B · A, bahkan jika kedua produk didefinisikan. Namun, jika relasi A B = B A terpenuhi, maka matriks A dan B disebut permutasi.
Contoh. Hitung.
Minor elemen adalah determinan dari matriks orde yang diperoleh dengan menghapus baris ke- dari kolom ke-.
penjumlahan aljabar elemen disebut .
Teorema ekspansi Laplace:
Determinan matriks persegi sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dan komplemen aljabarnya.
Contoh. Hitung.
Keputusan. .
Sifat-sifat determinan orde ke-n:
1) Nilai determinan tidak akan berubah jika baris dan kolom dipertukarkan.
2) Jika determinan berisi baris (kolom) hanya nol, maka itu sama dengan nol.
3) Ketika dua baris (kolom) dipertukarkan, determinannya berubah tanda.
4) Determinan yang memiliki dua baris (kolom) identik sama dengan nol.
5) Faktor persekutuan dari elemen-elemen dari sembarang baris (kolom) dapat dikeluarkan dari tanda determinan.
6) Jika setiap elemen dari suatu baris (kolom) tertentu merupakan jumlah dari dua suku, maka determinannya sama dengan jumlah dari dua determinan, yang masing-masing baris (kolomnya), kecuali yang disebutkan, adalah sama seperti pada determinan yang diberikan, dan pada baris ( kolom) yang disebutkan dari determinan pertama adalah suku pertama, yang kedua - yang kedua.
7) Jika dua baris (kolom) sebanding dalam determinan, maka sama dengan nol.
8) Determinan tidak berubah jika elemen baris (kolom) tertentu ditambahkan ke elemen baris (kolom) lain yang bersesuaian dikalikan dengan angka yang sama.
9) Determinan matriks segitiga dan diagonal sama dengan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.
Metode mengumpulkan nol untuk menghitung determinan didasarkan pada sifat-sifat determinan.
Contoh. Hitung.
Keputusan. Kami mengurangi sepertiga yang digandakan dari baris pertama, lalu kami menggunakan teorema ekspansi di kolom pertama.
~ 
.
pertanyaan tes(Oke-1, Oke-2, Oke-11, PC-1) :
1. Apa yang disebut determinan orde kedua?
2. Apa sifat utama dari determinan?
3. Apa yang dimaksud dengan minor elemen?
4. Apa yang disebut komplemen aljabar dari elemen determinan?
5. Bagaimana cara memperluas determinan orde ketiga dengan elemen-elemen dari sembarang baris (kolom)?
6. Berapakah jumlah perkalian elemen-elemen baris (atau kolom), determinan komplemen aljabar dari elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain?
7. Apa aturan segitiga?
8. Bagaimana determinan orde tinggi dihitung dengan reduksi orde
10. Matriks apa yang disebut bujur sangkar? Batal? Apa itu matriks-baris, matriks-kolom?
11. Matriks apa yang disebut sama?
12. Berikan definisi operasi penjumlahan, perkalian matriks, perkalian matriks dengan suatu bilangan
13. Kondisi apa yang harus memenuhi ukuran matriks selama penjumlahan, perkalian?
14. Apa sifat-sifat operasi aljabar: komutatif, asosiatif, distributif? Manakah dari mereka yang dilakukan untuk matriks selama penambahan, perkalian, dan mana yang tidak?
15. Apa yang dimaksud dengan matriks invers? Untuk matriks mana itu didefinisikan?
16. Merumuskan teorema tentang keberadaan dan keunikan matriks invers.
17. Rumuskan lemma pada transposisi hasil kali matriks.
Tugas praktek umum(Oke-1, Oke-2, Oke-11, PC-1) :
nomor 1. Tentukan jumlah dan selisih matriks A dan B :
sebuah) 
b) 
di) 
2. Ikuti langkah ini :
c) Z \u003d -11A + 7B-4C + D
jika 
Nomor 3. Ikuti langkah ini :
di) 
4. Dengan menerapkan empat metode menghitung determinan matriks persegi, temukan determinan matriks berikut: :
Nomor 5. Temukan determinan dari orde ke-n, dengan elemen-elemen kolom (baris) :
sebuah) 
b) 
6. Tentukan determinan suatu matriks dengan menggunakan sifat-sifat determinan:
sebuah) 
b) 
Panduan ini akan membantu Anda mempelajari caranya operasi matriks: penjumlahan (pengurangan) matriks, transposisi suatu matriks, perkalian matriks, mencari invers suatu matriks. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan dapat diakses, contoh-contoh yang relevan diberikan, sehingga bahkan orang yang tidak siap pun dapat mempelajari cara melakukan tindakan dengan matriks. Untuk pengendalian diri dan pengujian diri, Anda dapat mengunduh kalkulator matriks secara gratis >>>.
Saya akan mencoba meminimalkan perhitungan teoretis, di beberapa tempat penjelasan "dengan jari" dan penggunaan istilah yang tidak ilmiah dimungkinkan. Pecinta teori yang solid, tolong jangan terlibat dalam kritik, tugas kami adalah belajar bagaimana bekerja dengan matriks.
Untuk persiapan SUPER-CEPAT pada topik (yang "membakar") ada kursus pdf intensif Matriks, determinan, dan offset!
Matriks adalah tabel persegi panjang dari beberapa elemen. Sebagai elemen kami akan mempertimbangkan angka, yaitu matriks numerik. ELEMEN adalah istilah. Diinginkan untuk mengingat istilah itu, itu akan sering terjadi, bukan kebetulan bahwa saya menggunakan huruf tebal untuk menyorotnya.
Penamaan: matriks biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital
Contoh: Pertimbangkan matriks dua kali tiga:
Matriks ini terdiri dari enam elemen:
Semua angka (elemen) di dalam matriks ada dengan sendirinya, yaitu, tidak ada pertanyaan tentang pengurangan apa pun: 
Itu hanya tabel (set) angka!
Kami juga akan setuju jangan atur ulang nomor, kecuali dinyatakan lain dalam penjelasan. Setiap nomor memiliki lokasinya sendiri, dan Anda tidak dapat mengocoknya!
Matriks yang dimaksud memiliki dua baris: 
dan tiga kolom: 
STANDAR: ketika berbicara tentang dimensi matriks, maka pertama menunjukkan jumlah baris, dan hanya kemudian - jumlah kolom. Kami baru saja memecah matriks dua kali tiga.
Jika jumlah baris dan kolom suatu matriks sama, maka matriks tersebut disebut kotak, Sebagai contoh: 
adalah matriks tiga kali tiga.
Jika matriks memiliki satu kolom atau satu baris, maka matriks tersebut disebut juga vektor.
Sebenarnya, kita tahu konsep matriks sejak sekolah, pertimbangkan, misalnya, sebuah titik dengan koordinat "x" dan "y": . Pada dasarnya, koordinat suatu titik ditulis ke dalam matriks satu-per-dua. Omong-omong, ini adalah contoh untuk Anda mengapa urutan angka penting: dan merupakan dua titik bidang yang sama sekali berbeda.
Sekarang mari kita beralih ke studi. operasi matriks:
1) Tindakan satu. Menghapus minus dari matriks (Memperkenalkan minus ke dalam matriks).
Kembali ke matriks kami 
. Seperti yang mungkin Anda perhatikan, ada terlalu banyak bilangan negatif dalam matriks ini. Ini sangat merepotkan dalam hal melakukan berbagai tindakan dengan matriks, tidak nyaman untuk menulis begitu banyak minus, dan itu hanya terlihat jelek dalam desain.
Mari pindahkan minus ke luar matriks dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:
Pada nol, seperti yang Anda pahami, tandanya tidak berubah, nol - itu juga nol di Afrika.
Contoh terbalik: 
. Terlihat jelek.
Kami memperkenalkan minus ke dalam matriks dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:
Yah, itu jauh lebih cantik. Dan, yang paling penting, akan LEBIH MUDAH untuk melakukan tindakan apa pun dengan matriks. Karena ada tanda rakyat matematika seperti itu: semakin banyak minus - semakin banyak kebingungan dan kesalahan.
2) Aksi dua. Mengalikan Matriks dengan Angka.
Contoh:
Sederhana saja, untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda perlu setiap orang kalikan elemen matriks dengan bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, tiga.
Contoh lain yang berguna:
– perkalian matriks dengan pecahan
Mari kita lihat dulu apa yang harus dilakukan TIDAK DIBUTUHKAN:
TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks, pertama, itu hanya mempersulit tindakan lebih lanjut dengan matriks, dan kedua, menyulitkan guru untuk memeriksa solusi (terutama jika 
- jawaban akhir dari tugas).
Dan terutama, TIDAK DIBUTUHKAN bagi setiap elemen matriks dengan dikurangi tujuh:
Dari artikel Matematika untuk boneka atau harus mulai dari mana, kita ingat bahwa pecahan desimal dengan koma dalam matematika yang lebih tinggi mencoba dengan segala cara yang mungkin untuk menghindari.
Satu-satunya diinginkan yang harus dilakukan dalam contoh ini adalah memasukkan minus ke dalam matriks:
Tapi jika SEMUA elemen matriks dibagi 7 tanpa jejak, maka akan mungkin (dan perlu!) untuk membagi.
Contoh:
Dalam hal ini, Anda dapat MEMBUTUHKAN kalikan semua elemen matriks dengan , karena semua bilangan dalam matriks habis dibagi 2 tanpa jejak.
Catatan: dalam teori matematika tinggi tidak ada konsep sekolah "pembagian". Alih-alih frasa "ini dibagi ini", Anda selalu dapat mengatakan "ini dikalikan dengan pecahan". Artinya, pembagian adalah kasus khusus perkalian.
3) Tindakan tiga. Transposisi matriks.
Untuk mentranspos matriks, Anda perlu menuliskan baris-barisnya ke dalam kolom-kolom matriks yang ditransposisikan.
Contoh:
Transpos Matriks
Hanya ada satu baris di sini dan, menurut aturan, itu harus ditulis dalam kolom:
adalah matriks yang ditransposisikan.
Matriks yang dialihkan biasanya dilambangkan dengan superskrip atau goresan di kanan atas.
Contoh langkah demi langkah:
Transpos Matriks 
Pertama, kita tulis ulang baris pertama menjadi kolom pertama:
Kemudian kita tulis ulang baris kedua menjadi kolom kedua: 
Dan akhirnya, kami menulis ulang baris ketiga menjadi kolom ketiga:
Siap. Secara kasar, transpose berarti membalikkan matriks pada sisinya.
4) Tindakan empat. Jumlah (selisih) matriks.
Jumlah matriks adalah operasi sederhana.
TIDAK SEMUA MATRIKS BISA DILIPAT. Untuk melakukan penjumlahan (pengurangan) matriks, matriks harus berukuran SAMA.
Misalnya, jika matriks dua kali dua diberikan, maka itu hanya dapat ditambahkan ke matriks dua kali dua dan tidak ada yang lain! 
Contoh:
Tambahkan matriks 
dan 
Untuk menambahkan matriks, Anda perlu menambahkan elemen yang sesuai:
Untuk perbedaan matriks, aturannya sama, perlu untuk menemukan perbedaan dari elemen yang sesuai.
Contoh:
Cari selisih matriks 
, 
Dan bagaimana cara mengatasi contoh ini agar lebih mudah, agar tidak bingung? Dianjurkan untuk menghilangkan minus yang tidak perlu, untuk ini kami akan menambahkan minus ke matriks:
Catatan: dalam teori matematika tinggi tidak ada konsep sekolah tentang "pengurangan". Alih-alih frasa "kurangi ini dari ini", Anda selalu dapat mengatakan "tambahkan angka negatif ke ini". Artinya, pengurangan adalah kasus khusus dari penambahan.
5) Tindakan lima. perkalian matriks.
Matriks apa yang dapat dikalikan?
Untuk matriks yang akan dikalikan dengan matriks, sehingga jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris matriks.
Contoh:
Apakah mungkin untuk mengalikan matriks dengan matriks?
Jadi, Anda dapat mengalikan data matriks.
Tetapi jika matriks disusun kembali, maka dalam kasus ini, perkalian tidak mungkin lagi!
Oleh karena itu, perkalian tidak mungkin:
Tidak jarang untuk tugas-tugas dengan trik, ketika seorang siswa diminta untuk mengalikan matriks, perkalian yang jelas tidak mungkin.
Perlu dicatat bahwa dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk mengalikan matriks dengan kedua cara.
Misalnya, untuk matriks, dan perkalian dan perkalian dimungkinkan
Definisi 1. Ukuran matriks Am n adalah tabel persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom, terdiri dari bilangan atau ekspresi matematika lainnya (disebut elemen matriks), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, atau
Definisi 2.
Dua matriks 
dan 
ukuran yang sama disebut setara, jika mereka cocok dengan elemen demi elemen, mis. 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
Dengan bantuan matriks, mudah untuk menuliskan beberapa ketergantungan ekonomi, misalnya, tabel distribusi sumber daya untuk sektor ekonomi tertentu.
Definisi 3. Jika jumlah baris matriks sesuai dengan jumlah kolomnya, mis. m = n, maka matriks tersebut disebut urutan persegin, sebaliknya persegi panjang.
Definisi 4. Transisi dari matriks A ke matriks A m, di mana baris dan kolom ditukar dengan menjaga keteraturan, disebut transposisi matriks.
Jenis matriks: persegi (ukuran 33) - 
,
persegi panjang (ukuran 25) - 
,
diagonal - 
, lajang - 
, nol - 
,
matriks-baris - 
, matriks-kolom -.
Definisi 5.
Unsur-unsur matriks bujur sangkar berorde n dengan indeks-indeks yang sama disebut unsur-unsur diagonal utama, yaitu ini adalah elemen-elemennya: 
.
Definisi 6. Unsur-unsur matriks persegi berorde n disebut elemen diagonal sekunder jika jumlah indeksnya sama dengan n + 1, yaitu ini adalah unsur-unsurnya: .
1.2. Operasi pada matriks.
1
0
.
jumlah
dua matriks 
dan 
matriks yang berukuran sama disebut matriks = (с ij), yang unsur-unsurnya ditentukan oleh persamaan dengan ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).
Sifat-sifat operasi penjumlahan matriks.
Untuk setiap matriks A, B, C yang berukuran sama, persamaan berikut berlaku:
1) A + B = B + A (komutatifitas),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asosiasi).
2
0
.
kerja
matriks
per nomor
disebut matriks 
berukuran sama dengan matriks A, dan b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Sifat-sifat operasi perkalian matriks dengan bilangan.
(А) = ()А (asosiasi perkalian);
(А+В) = +В (distribusi perkalian terhadap penjumlahan matriks);
(+)A = A+A (distribusi perkalian terhadap penjumlahan bilangan).
Definisi 7.
Kombinasi linier matriks 
dan 
dengan ukuran yang sama disebut ekspresi dari bentuk A + B, di mana dan adalah bilangan arbitrer.
3 0 . Produk A Dalam matriks A dan B, masing-masing, dengan ukuran mn dan nk, disebut matriks C berukuran mk, sedemikian rupa sehingga elemen dengan ij sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris ke-i matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, yaitu dengan ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Hasil kali AB hanya ada jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.
Sifat-sifat operasi perkalian matriks:
(АВ)С = (ВС) (asosiasi);
(А+В)С = +ВС (distribusi terhadap penjumlahan matriks);
(В+С) = +АС (distribusi terhadap penjumlahan matriks);
(bukan komutatif).
Definisi 8. Matriks A dan B, yang AB = BA, disebut komuter atau permutasi.
Mengalikan matriks kuadrat dari urutan apa pun dengan matriks identitas yang sesuai tidak mengubah matriks.
Definisi 9. Transformasi dasar matriks disebut operasi berikut:
Tukar dua baris (kolom).
Kalikan setiap elemen baris (kolom) dengan angka bukan nol.
Menambahkan ke elemen satu baris (kolom) elemen yang sesuai dari baris lain (kolom).
Definisi 10. Matriks B yang diperoleh dari matriks A dengan bantuan transformasi elementer disebut setara(dilambangkan BA).
Contoh 1.1. Tentukan kombinasi linear dari matriks 2A–3B jika
,
.
,
,
.
Contoh
1.2.
Cari hasil kali matriks 
, jika
.
Solusi: karena jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua, maka produk matriks ada. Hasilnya, kami mendapatkan matriks baru 
, di mana
Akibatnya, kita mendapatkan 
.
Kuliah 2. Determinan. Perhitungan determinan orde kedua, ketiga. Properti kualifikasin-urutan.
ODA. Meja persegi panjang dengan t garis dan P kolom bilangan real disebut matriks ukuran t×n. Matriks dilambangkan dengan huruf Latin kapital: A, B, ..., dan deretan bilangan dibedakan dengan tanda kurung bulat atau kurung siku.
Angka-angka yang termasuk dalam tabel disebut elemen matriks dan dilambangkan dengan huruf latin kecil dengan indeks ganda, di mana saya- nomor baris j– nomor kolom pada perpotongan tempat elemen tersebut berada. Secara umum, matriks ditulis sebagai berikut:
Dua matriks dianggap setara jika elemen-elemen yang bersesuaian adalah sama.
Jika jumlah baris matriks t sama dengan jumlah kolomnya P, maka matriks tersebut disebut kotak(sebaliknya persegi panjang).
Matriks Ukuran 
disebut matriks baris. Matriks Ukuran 
disebut matriks kolom.
Elemen matriks dengan indeks yang sama ( 
dll.), bentuk diagonal utama matriks. Diagonal lainnya disebut diagonal samping.
Matriks persegi disebut diagonal jika semua elemennya yang terletak di luar diagonal utama sama dengan nol.
Matriks diagonal yang entri diagonalnya sama dengan satu disebut lajang matriks dan memiliki notasi standar E:
Jika semua elemen matriks yang terletak di atas (atau di bawah) diagonal utama sama dengan nol, matriks tersebut dikatakan berbentuk segitiga:
2. Operasi matriks
1. Transposisi matriks - transformasi di mana baris matriks ditulis sebagai kolom dengan tetap mempertahankan urutannya. Untuk matriks persegi, transformasi ini setara dengan pemetaan simetris terhadap diagonal utama:
.
2. Matriks yang berdimensi sama dapat dijumlahkan (dikurangi). Jumlah (selisih) matriks adalah matriks dengan dimensi yang sama, yang setiap elemennya sama dengan jumlah (selisih) elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks asli:
3. Setiap matriks dapat dikalikan dengan angka. Hasil kali matriks dengan suatu bilangan adalah matriks dengan ordo yang sama, yang setiap elemennya sama dengan hasil kali elemen yang bersesuaian dari matriks asal dengan bilangan ini:
.
4. Jika jumlah kolom suatu matriks sama dengan jumlah baris matriks lainnya, maka matriks pertama dapat dikalikan dengan matriks kedua. Hasil kali matriks tersebut adalah matriks, yang setiap elemennya sama dengan jumlah perkalian berpasangan dari elemen-elemen baris yang bersesuaian dari matriks pertama dan elemen-elemen kolom yang bersesuaian dari matriks kedua.
Konsekuensi. Eksponensial matriks ke>1 adalah hasil kali matriks A ke sekali. Didefinisikan untuk matriks persegi saja.
Contoh.
Sifat-sifat operasi pada matriks.
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;
Sifat-sifat yang tercantum di atas mirip dengan sifat-sifat operasi pada bilangan. Ada juga sifat-sifat khusus matriks. Ini termasuk, misalnya, sifat khas perkalian matriks. Jika produk AB ada, maka produk BA
Mungkin tidak ada
Mungkin berbeda dari AB.
Contoh. Perusahaan memproduksi dua jenis produk A dan B dan menggunakan tiga jenis bahan baku S 1 , S 2 , dan S 3 . Tingkat konsumsi bahan baku diberikan oleh matriks N= 
, di mana n aku j- jumlah bahan baku j dihabiskan untuk produksi satu unit output saya. Rencana produksi diberikan oleh matriks C = (100 200), dan biaya per unit setiap jenis bahan baku diberikan oleh matriks 
. Tentukan biaya bahan baku yang dibutuhkan untuk output yang direncanakan dan total biaya bahan baku.
Keputusan. Biaya bahan baku didefinisikan sebagai produk matriks C dan N:
Kami menghitung total biaya bahan baku sebagai produk S dan P.
