Pekerjaan selesai

KARYA INI

Banyak yang sudah ketinggalan dan sekarang Anda adalah lulusan, jika, tentu saja, Anda menulis tesis Anda tepat waktu. Tetapi hidup adalah sesuatu yang baru sekarang menjadi jelas bagi Anda bahwa, setelah berhenti menjadi siswa, Anda akan kehilangan semua kegembiraan siswa, banyak di antaranya yang belum Anda coba, menunda semuanya dan menundanya untuk nanti. Dan sekarang, alih-alih mengejar ketinggalan, Anda mengutak-atik tesis Anda? Ada jalan keluar yang bagus: unduh tesis yang Anda butuhkan dari situs web kami - dan Anda akan langsung memiliki banyak waktu luang!
Karya diploma telah berhasil dipertahankan di Universitas terkemuka di Republik Kazakhstan.
Biaya pengerjaan mulai 20.000 tenge

PEKERJAAN KURSUS

Proyek kursus adalah kerja praktek serius pertama. Dengan menulis makalah, persiapan untuk pengembangan proyek kelulusan dimulai. Jika seorang siswa belajar untuk menyatakan dengan benar isi topik dalam proyek kursus dan menggambarnya dengan benar, maka di masa depan dia tidak akan memiliki masalah baik dengan menulis laporan, atau dengan menyusun tesis, atau dengan melakukan tugas-tugas praktis lainnya. Untuk membantu siswa dalam menulis jenis pekerjaan siswa ini dan untuk memperjelas pertanyaan yang muncul selama persiapannya, sebenarnya, bagian informasi ini dibuat.
Biaya kerja dari 2.500 tenge

TESIS MASTER

Saat ini, di lembaga pendidikan tinggi Kazakhstan dan negara-negara CIS, tahap pendidikan profesional yang lebih tinggi, yang mengikuti setelah gelar sarjana - gelar master, sangat umum. Di magistrasi, siswa belajar dengan tujuan memperoleh gelar master, yang diakui di sebagian besar negara di dunia lebih dari gelar sarjana, dan juga diakui oleh pemberi kerja asing. Hasil pelatihan magistrasi adalah pembelaan tesis master.
Kami akan menyediakan Anda dengan bahan analitis dan tekstual up-to-date, harga termasuk 2 artikel ilmiah dan abstrak.
Biaya pengerjaan mulai 35.000 tenge

LAPORAN PRAKTEK

Setelah menyelesaikan semua jenis praktik siswa (pendidikan, industri, sarjana) laporan diperlukan. Dokumen ini akan menjadi penegasan kerja praktek mahasiswa dan dasar pembentukan penilaian untuk praktek. Biasanya, untuk menyusun laporan magang, Anda perlu mengumpulkan dan menganalisis informasi tentang perusahaan, mempertimbangkan struktur dan jadwal kerja organisasi tempat magang berlangsung, menyusun rencana kalender dan menjelaskan kegiatan praktis Anda.
Kami akan membantu Anda menulis laporan magang, dengan mempertimbangkan kekhususan kegiatan perusahaan tertentu.

kelas 8

Tanggal:

Pelajaran nomor 9.

Topik: Perkiraan perhitungan akar kuadrat.

Tujuan: 1. Mengajari siswa menemukan akar kuadrat yang mendekati.

2. Mengembangkan observasi, kemampuan menganalisis, membandingkan, menarik kesimpulan.

Menumbuhkan sikap positif terhadap pembelajaran

Jenis pelajaran: gabungan.

Bentuk organisasi pelajaran: individu, kolektif

Peralatan: papan proyek, kartu refleksi suasana hati, mikrokalkulator

Tiga jalan menuju pengetahuan: jalan refleksi

Ini adalah cara yang paling mulia

cara imitasi adalah cara termudah

dan jalan pengalaman adalah jalan yang paling pahit.

Konfusius

Selama kelas.

Mengatur waktu

Langkah pemeriksaan pekerjaan rumah

No 60 - 1 siswa tampil di papan tulis, siswa lain memeriksa kebenaran tugas di tempat

Pekerjaan lisan: diproyeksikan di papan tulis

a) Tentukan nilai akarnya:

b) Apakah ungkapan itu masuk akal:

c) Temukan bilangan yang akar kuadrat aritmatikanya adalah 0; satu; 3; sepuluh; 0.6

Tahap menjelaskan materi baru

Untuk menghitung nilai perkiraan akar kuadrat, Anda harus menggunakan mikrokalkulator. Untuk melakukan ini, masukkan ekspresi radikal ke dalam kalkulator dan tekan tombol dengan tanda radikal. Tetapi kalkulator tidak selalu tersedia, sehingga Anda dapat menemukan nilai perkiraan akar kuadrat sebagai berikut:

Mari kita cari nilainya.

Dari dulu . Sekarang, di antara angka-angka yang terletak pada interval dari 1 hingga 2, kami mengambil angka tetangga 1,4 dan 1,5, kami mendapatkan: , lalu kami mengambil angka 1,41 dan 1,42, angka-angka ini memenuhi pertidaksamaan . Jika kita melanjutkan proses mengkuadratkan bilangan-bilangan tetangga ini, kita mendapatkan sistem pertidaksamaan berikut:

Diproyeksikan ke papan.

Dari sistem ini, membandingkan angka setelah titik desimal, kita mendapatkan:

Nilai perkiraan akar kuadrat dapat diambil dalam hal kelebihan dan kekurangan, yaitu. dengan kekurangan dengan akurasi 0,0001 dan kelebihan.

Konsolidasi materi yang dipelajari.

tingkat "A"

0.2664 0.2 - karena kekurangan

№93 (kalkulator yang digunakan)

5. Jeda Valeologis: latihan untuk mata.

Tingkat "B"

6. Latar belakang sejarah tentang perlunya mencari nilai akar kuadrat

(Siswa yang bersedia diundang terlebih dahulu untuk menyiapkan pesan tentang topik ini menggunakan Internet)

Sebuah rumus diusulkan untuk menemukan nilai perkiraan akar kuadrat dari bilangan irasional:

Tingkat "C" No.105

7. Refleksi.

Ringkasan pelajaran.

Pekerjaan rumah: No. 102,

Topik: "Menemukan
nilai perkiraan dari akar kuadrat "

Jenis pelajaran: ONZ, R

Tujuan dasar:

• belajar mencari nilai perkiraan akar kuadrat,
• mempelajari metode untuk menghitung akar.

Selama kelas

1. Penentuan nasib sendiri untuk kegiatan belajar

Tujuan dari panggung: 1) mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pembelajaran;

2) tentukan isi pelajaran: kami terus mengerjakan akar kuadrat

Organisasi proses pendidikan pada tahap 1:

Apa yang kita pelajari dalam pelajaran aljabar sekarang? (Akar kuadrat)

Apa itu akar kuadrat?

- Sudah selesai dilakukan dengan baik! Untuk pekerjaan yang sukses, kami akan melakukan tugas-tugas berikut.

2. Aktualisasi pengetahuan dan fiksasi kesulitan dalam kegiatan

Tujuan dari panggung: 1) memperbarui konten pendidikan yang diperlukan dan cukup untuk persepsi materi baru: menemukan nilai-nilai akar kuadrat;

2) untuk memperbarui operasi mental yang diperlukan dan cukup untuk persepsi materi baru: perbandingan, analisis, generalisasi;

3) memperbaiki semua konsep dan algoritma yang berulang dalam bentuk skema dan simbol;

4) memperbaiki kesulitan individu dalam aktivitas, menunjukkan kurangnya pengetahuan yang ada pada tingkat yang signifikan secara pribadi: temukan makna ekspresi.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 2:

1. Hitung : , , , ,

4. tugas individu.

Temukan nilai ekspresi..

3. Identifikasi penyebab kesulitan dan penetapan tujuan kegiatan

Tujuan dari panggung: 1) mengatur interaksi komunikatif, di mana sifat khas tugas yang menyebabkan kesulitan dalam kegiatan pendidikan terungkap dan diperbaiki: kemampuan untuk menemukan nilai akar kuadrat;

2) menyepakati tujuan dan topik pelajaran.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 3:

– apa yang perlu Anda lakukan?

- Apa yang kamu dapatkan? (Siswa menunjukkan pilihan mereka)

- Apa masalahnya?

Apakah 2 diekstraksi sepenuhnya?

Tidak.

Bagaimana kita akan menemukan?

Apa cara untuk menemukan akar?

Teman-teman, Anda tahu, kita tidak selalu berurusan dengan angka yang dengan mudah direpresentasikan sebagai kuadrat dari angka, yang diekstraksi sepenuhnya dari bawah akar.

- Apa tujuan kita?

- Merumuskan topik pelajaran.

- Tulis topik di buku catatan Anda.

4. Membangun proyek untuk keluar dari kesulitan

Tujuan dari panggung: 1) mengatur interaksi komunikatif untuk membangun mode tindakan baru yang menghilangkan penyebab kesulitan yang diidentifikasi;

2) memperbaiki mode tindakan baru dalam tanda, bentuk verbal.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 4:

1 METODE untuk menghitung 2 akurat hingga dua tempat desimalKami akan berdebat sebagai berikut.

Bilangan 2 lebih besar dari 1 karena 1 2 2 lebih besar dari 2. Oleh karena itu, notasi desimal dari angka tersebut akan dimulai sebagai berikut: 1, ... Artinya, akar dari dua, ini adalah unit dengan sesuatu.

Sekarang mari kita coba mencari jumlah persepuluh.

Untuk melakukan ini, kita akan menguadratkan pecahan dari satu ke dua sampai kita mendapatkan bilangan yang lebih besar dari dua.

Mari kita ambil langkah pembagian 0,1, karena kita mencari jumlah persepuluh.

Dengan kata lain, kita akan mengkuadratkan angka: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Kami mendapat angka yang lebih besar dari dua, angka yang tersisa tidak perlu lagi dikuadratkan. Nomor 1.4 2 kurang dari 2 dan 1,5 adalah 2 sudah lebih besar dari dua, maka angka 2 harus termasuk dalam interval 1,4 hingga 1,5. Oleh karena itu, notasi desimal dari angka 2 di tempat kesepuluh harus mengandung 4. 2=1.4….

Dengan kata lain, 1,4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Sudah di 1,42 kita mendapatkan bahwa kuadratnya lebih besar dari dua, angka kuadrat lebih lanjut tidak masuk akal.

Dari sini kita mendapatkan bahwa bilangan 2 akan termasuk dalam interval dari 1,41 hingga 1,42 (1,41

Karena kita perlu menulis 2 dengan akurasi dua tempat desimal, kita sudah bisa berhenti dan tidak melanjutkan perhitungan.

2 1,41. Ini akan menjadi jawabannya. Jika perlu untuk menghitung nilai yang lebih akurat, seseorang harus melanjutkan perhitungan, mengulangi rantai penalaran berulang-ulang.

Latihan

Hitung sampai dua tempat desimal

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Kesimpulan Teknik ini memungkinkan Anda untuk mengekstrak akar dengan akurasi yang telah ditentukan sebelumnya.

2 METODE Untuk mengetahui bagian bilangan bulat dari akar kuadrat suatu bilangan, Anda dapat, dengan mengurangkannya dari semua bilangan ganjil secara berurutan, hingga sisanya lebih kecil dari bilangan yang dikurangi berikutnya atau sama dengan nol, menghitung jumlah tindakan yang dilakukan.

Sebagai contoh, mari kita cari 16 seperti ini:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• 4 langkah selesai, jadi 16 = 4

Hitung Tugas

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Kesimpulan Teknik ini nyaman ketika root benar-benar dihilangkan.

3 METODE Orang Babilonia kuno menggunakan metode berikut untuk menemukan nilai perkiraan akar kuadrat dari bilangan x mereka. Mereka mewakili angka x sebagai jumlah dari a 2+b,

dimana 2 - kuadrat tepat dari bilangan asli a yang paling dekat dengan bilangan x, dan menggunakan rumus.

Kami mengekstrak akar kuadrat menggunakan rumus,

Misalnya dari nomor 28:

Kesimpulan Metode Babilonia memberikan perkiraan yang baik untuk nilai yang tepat dari akar.

5. Konsolidasi utama dalam pidato eksternal

Tujuan dari panggung: perbaiki konten pendidikan yang dipelajari dalam pidato eksternal.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 5:

dari buku teks: No. 336, 337, 338.339, 343.345

6. Bekerja mandiri dengan self test sesuai standar.

Tujuan dari panggung: uji kemampuan Anda untuk menerapkan algoritme penjumlahan dan pengurangan dalam kondisi umum dengan membandingkan solusi Anda dengan standar untuk pengujian mandiri.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 6:

338 (a), 339 (c, d)

Setelah memeriksa terhadap standar, kesalahan dianalisis dan diperbaiki.

7. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan

Tujuan dari panggung: 1) melatih keterampilan menggunakan konten baru dalam hubungannya dengan yang dipelajari sebelumnya;

Organisasi proses pendidikan pada tahap 7:

1 kelompok (sedang) "Tidak. ______________

Kelompok 2 (tinggi) _________________

8. Refleksi kegiatan dalam pembelajaran

1) memperbaiki konten baru yang dipelajari dalam pelajaran;

2) mengevaluasi kegiatan mereka sendiri dalam pelajaran;

3) mengucapkan terima kasih kepada teman sekelas yang membantu mendapatkan hasil pelajaran;

4) memperbaiki kesulitan yang belum terselesaikan sebagai arahan untuk kegiatan pembelajaran di masa depan;

5) Mendiskusikan dan menuliskan pekerjaan rumah.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 8:

– Apa yang kita pelajari di kelas hari ini?

– Apa yang telah kita pelajari untuk dilakukan hari ini?

– Analisis aktivitas Anda dalam pelajaran dan evaluasi pekerjaan Anda.

Pekerjaan rumah №№ 344 , 346, 351

Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional? Sebagai contoh, kita ingin mengetahui apa itu 10 2. Jawabannya pada prinsipnya sangat sederhana. Mari kita ambil alih-alih 2 aproksimasinya dalam bentuk desimal berhingga drdbi - ini adalah bilangan rasional. Kita dapat meningkatkan ke tingkat yang rasional; itu turun untuk meningkatkan ke kekuatan integer dan mengekstraksi root. Kami akan mendapatkan nilai perkiraan nomor tersebut. Anda dapat mengambil pecahan desimal yang lebih panjang (ini lagi-lagi merupakan bilangan rasional). Maka Anda harus mengekstrak akar dari tingkat yang lebih besar; lagi pula, penyebut pecahan rasional akan meningkat, tetapi kita akan mendapatkan pendekatan yang lebih akurat. Tentu saja, jika kita mengambil nilai perkiraan 2 sebagai pecahan yang sangat panjang, maka eksponensial akan sangat sulit. Bagaimana cara mengatasi tugas ini?

Perhitungan akar kuadrat, akar pangkat tiga, dan akar pangkat rendah lainnya adalah proses aritmatika yang cukup mudah diakses oleh kita; menghitung, kami secara berurutan, satu demi satu, menulis desimal. Tetapi untuk menaikkan ke pangkat irasional atau mengambil logaritma (untuk menyelesaikan masalah invers), diperlukan pekerjaan yang tidak lagi mudah untuk menerapkan prosedur sebelumnya. Tabel datang untuk menyelamatkan. Mereka disebut tabel logaritma atau tabel kekuatan, tergantung pada tujuan mereka. Mereka menghemat waktu: untuk menaikkan angka menjadi kekuatan irasional, kami tidak menghitung, tetapi hanya membalik halaman.

Meskipun perhitungan nilai yang dikumpulkan dalam tabel adalah prosedur teknis murni, itu tetap merupakan masalah yang menarik dan memiliki sejarah panjang. Jadi mari kita lihat bagaimana hal itu dilakukan. Kami akan menghitung tidak hanya x \u003d 10 2, tetapi kami juga akan menyelesaikan masalah lain: 10 x \u003d 2, atau x \u003d log 10 2. Saat memecahkan masalah ini, kami tidak akan menemukan angka baru; ini hanya masalah komputasi. Solusinya adalah bilangan irasional, pecahan desimal tak terhingga, dan entah bagaimana tidak nyaman untuk menyatakannya sebagai jenis bilangan baru.

Mari kita pikirkan bagaimana menyelesaikan persamaan kita. Ide umumnya sangat sederhana. Jika kita menghitung 10 1 dan 10 1/10 , dan 10 1/100 , dan 10 1/1000 , dst., dan kemudian mengalikan hasilnya, kita mendapatkan 10 1,414 ... atau l0 2 Dengan melakukan ini, kita akan menyelesaikan masalah semacam itu. Namun, alih-alih 10 1/10, dst., kita akan menghitung 10 1/2, dan 10 1/4, dst. Sebelum kita mulai, mari kita jelaskan mengapa kita lebih sering mengacu pada angka 10 daripada angka lainnya. Kita tahu bahwa arti tabel logaritma jauh melampaui masalah matematika dari akar komputasi, karena

Ini diketahui oleh siapa saja yang telah menggunakan tabel logaritma untuk mengalikan angka. Atas dasar apa b mengambil logaritma? Tidak masalah; untuk perhitungan seperti itu hanya didasarkan pada prinsip, sifat umum fungsi logaritmik. Setelah menghitung logaritma sekali untuk beberapa basis arbitrer, Anda dapat pergi ke logaritma untuk basis lain menggunakan perkalian. Jika Anda mengalikan persamaan (22.3) dengan 61, maka itu akan tetap benar, jadi jika Anda mengalikan semua angka dalam tabel logaritma ke basis b dengan 61, maka tabel seperti itu juga dapat digunakan. Misalkan kita mengetahui logaritma semua bilangan ke basis b. Dengan kata lain, kita dapat menyelesaikan persamaan b a = c untuk sembarang c; ada meja untuk itu. Soalnya adalah bagaimana mencari logaritma dari bilangan c yang sama pada basis yang berbeda, seperti x. Kita perlu menyelesaikan persamaan x a' = c. Ini mudah dilakukan karena x selalu dapat direpresentasikan sebagai x = b t . Mencari t diberikan x dan b sederhana: t = log b x. Mari kita substitusikan x = b t ke dalam persamaan x a’ = c; itu akan masuk ke persamaan ini: (b t) a’ = b ta’ = c. Dengan kata lain, hasil kali ta' adalah logaritma dari c ke basis b. Jadi a' = a/t. Jadi, logaritma ke basis x sama dengan produk logaritma ke basis b dan bilangan konstan l/t. Oleh karena itu, semua tabel logaritma ekivalen sampai dengan perkalian dengan bilangan l/log b x. Ini memungkinkan kami untuk memilih basis apa pun untuk tabulasi, tetapi kami memutuskan bahwa paling mudah menggunakan angka 10 sebagai basis. (Pertanyaan mungkin muncul: apakah masih ada basis alami yang membuat semuanya terlihat lebih sederhana? Kami Kami akan mencoba untuk menjawab pertanyaan ini nanti, sementara semua logaritma akan dihitung dalam basis 10.)

Sekarang mari kita lihat bagaimana tabel logaritma dikompilasi. Pekerjaan dimulai dengan ekstraksi berturut-turut dari akar kuadrat dari 10. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel. 22.1. Eksponen ditulis di kolom pertama, dan angka 10 s ada di kolom ketiga. Jelas bahwa 10 1 \u003d 10. Mudah untuk menaikkan 10 hingga setengah kekuatan - ini adalah akar kuadrat dari 10, dan semua orang tahu cara mengambil akar kuadrat dari angka berapa pun. (Akar kuadrat sebaiknya diambil bukan dengan cara yang biasanya diajarkan di sekolah, tetapi sedikit berbeda. Untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan N, kita pilih bilangan a yang cukup dekat dengan jawabannya, hitung N / a dan rata-rata a' = 1/2; ini rata-rata akan menjadi angka baru a, pendekatan baru dari akar N. Proses ini sangat cepat mengarah ke tujuan: jumlah digit signifikan berlipat ganda setelah setiap langkah.) Jadi kita punya menemukan akar kuadrat pertama; itu sama dengan 3.16228. Apa yang diberikannya? Memberikan sesuatu. Kita sudah tahu apa 10 0,5 itu, dan kita tahu setidaknya satu logaritma.

Logaritma dari 3.16228 sangat dekat dengan 0.50000. Namun, kami masih perlu melakukan sedikit usaha: kami membutuhkan tabel yang lebih detail. Mari kita ambil akar kuadrat lainnya dan temukan 10 1/4, yang sama dengan 1.77828. Sekarang kita tahu logaritma lain: 1.250 adalah logaritma dari 17.78; selain itu, kita dapat mengatakan bahwa 10 0,75 sama dengan: setelah semua, ini adalah 10 (0,5 + 0,25), yaitu, produk dari angka kedua dan ketiga dari kolom ketiga Tabel. 22.1. Jika Anda membuat kolom pertama tabel cukup panjang, maka tabel akan berisi hampir semua angka; mengalikan angka-angka dari kolom ketiga, kita mendapatkan 10 untuk hampir semua kekuatan. Ini adalah ide dasar tabel. Tabel kami berisi sepuluh akar berurutan dari 10; pekerjaan utama dalam menyusun tabel diinvestasikan dalam menghitung akar-akar ini.

Mengapa kita tidak terus meningkatkan akurasi tabel lebih lanjut? Karena kita sudah memperhatikan sesuatu. Dengan menaikkan 10 ke daya yang sangat kecil, kami mendapatkan unit dengan tambahan kecil. Hal ini tentu saja terjadi karena jika kita menaikkan, misalnya, 10 1/1000 ke pangkat 1000, maka kita kembali mendapatkan 10; jelas bahwa 10 1/1000 tidak bisa menjadi angka yang besar: sangat dekat dengan satu. Selain itu, penambahan kecil pada kesatuan berperilaku seolah-olah mereka dibagi 2 setiap kali; lihat tabel lebih dekat: 1815 ke 903, lalu ke 450, 225, dll. Jadi, jika kita menghitung satu lagi, kesebelas, akar kuadrat, itu akan sama dengan 1,00112 dengan akurasi tinggi, dan kami menebak hasil ini genap sebelum perhitungan. Bisakah Anda memberi tahu apa penambahan satu jika Anda menaikkan 10 pangkat /1024 karena cenderung nol? Bisa. Penambahannya kira-kira sama dengan 0,0022511∆. Tentu saja, tidak persis 0,0022511∆; untuk menghitung penambahan ini lebih tepat, mereka melakukan trik berikut: kurangi satu dari 10 s dan bagi selisihnya dengan eksponen s. Penyimpangan hasil bagi yang diperoleh dengan cara ini dari nilai eksaknya adalah sama untuk setiap pangkat s. Dapat dilihat bahwa rasio ini (Tabel 22.1) kurang lebih sama. Pada awalnya mereka sangat berbeda, tetapi kemudian mereka semakin dekat satu sama lain, jelas berjuang untuk beberapa angka. Nomor apa ini? Mari kita lihat bagaimana jumlah kolom keempat berubah jika kita turun ke kolom. Pertama, selisih antara dua bilangan yang berdekatan adalah 0,0211, lalu 0,0104, lalu 0,0053, dan terakhir 0,0026. Perbedaan setiap kali berkurang setengahnya. Mengambil satu langkah lagi, kami akan membawanya ke 0,0013, lalu ke 0,0007, 0,0003, 0,0002, dan akhirnya menjadi sekitar 0,0001; kita harus membagi 26 secara berurutan dengan 2. Jadi, kita akan turun lagi 26 unit dan menemukan batas 2.3025. (Nanti kita akan melihat bahwa 2.3026 akan lebih tepat, tetapi mari kita ambil apa yang kita miliki.) Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat menaikkan 10 ke pangkat berapa pun, jika eksponennya dinyatakan dengan cara apa pun melalui I / I024.

Sekarang mudah untuk membuat tabel logaritma, karena kami telah menyimpan semua yang diperlukan untuk ini. Prosedur untuk ini ditunjukkan pada Tabel. 22.2, dan nomor yang diperlukan diambil dari kolom kedua dan ketiga dari Tabel. 22.1.

Misalkan kita ingin mengetahui logaritma dari 2. Artinya kita ingin mengetahui pangkat 10 yang harus dinaikkan untuk mendapatkan 2. Mungkinkah menaikkan 10 pangkat 1/2? Tidak, itu terlalu besar. Melihat Tabel 22.1, kita dapat mengatakan bahwa angka yang kita butuhkan terletak antara 1/4 dan 1/2. Mari kita mulai mencarinya dengan 1/4; bagi 2 dengan 1,778…, kita dapatkan 1,124…; saat membagi, kami mengurangi 0,250000 dari logaritma dua, dan sekarang kami tertarik pada logaritma 1,124 .... Setelah menemukannya, kami akan menambahkan 1/4 = 256/1024 ke hasilnya. Mari kita cari di Tabel 22.1 angka yang, ketika bergerak sepanjang kolom ketiga dari atas ke bawah, akan langsung berdiri di belakang 1,124 .... Ini adalah 1.074607. Rasio 1,124… untuk 1,074607 adalah 1,046598. Pada akhirnya, kami akan mewakili 2 sebagai produk dari angka-angka dari Tabel. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Untuk faktor terakhir (1.000573) tidak ada tempat di meja kami; untuk menemukan logaritmanya, perlu untuk menyatakan angka ini sebagai 10∆/1024 1 + 2.3025∆/1024. Dari sini mudah untuk menemukan bahwa = 0,254. Jadi, produk kita dapat direpresentasikan sebagai sepuluh pangkat 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Menambahkan dan membagi, kita mendapatkan logaritma yang diinginkan: log 10 2 = 0.30103; hasil ini benar hingga tempat desimal kelima!

Kami menghitung logaritma dengan cara yang persis sama seperti yang dilakukan Mr. Briggs dari Halifax pada tahun 1620. Ketika dia selesai, dia berkata: "Saya telah menghitung secara berurutan 54 akar kuadrat dari 10." Faktanya, dia hanya menghitung 27 akar pertama, dan kemudian dia melakukan trik dengan . Menghitung 27 kali akar kuadrat dari 10 sebenarnya sedikit lebih sulit daripada
10 kali seperti yang kami lakukan. Namun, Mr. Briggs melakukan lebih banyak lagi: dia menghitung akar ke tempat desimal keenam belas, dan ketika dia menerbitkan tabelnya, dia meninggalkannya hanya 14 tempat desimal untuk melengkapi kesalahan. Untuk menyusun tabel logaritma ke tempat desimal keempat belas dengan metode ini sangat sulit. Tetapi 300 tahun kemudian, para penyusun tabel logaritma sibuk mengurangi tabel Mr. Briggs, setiap kali membuang angka desimal yang berbeda dari tabel tersebut. Baru belakangan ini dimungkinkan dengan bantuan komputer elektronik untuk menyusun tabel logaritma secara independen dari Mr. Briggs. Dalam hal ini, metode perhitungan yang lebih efisien digunakan, berdasarkan perluasan logaritma menjadi deret.

Saat menyusun tabel, kami menemukan fakta menarik; jika eksponen sangat kecil, maka sangat mudah untuk menghitung 10 ; itu hanya 1+2,3025ε. Ini berarti bahwa 10 n/2,3025 = 1 + n untuk n yang sangat kecil. Selain itu, kami mengatakan dari awal bahwa kami menghitung basis 10 logaritma hanya karena kami memiliki 10 jari di tangan kami dan lebih mudah bagi kami untuk menghitung dalam puluhan. Logaritma ke basis lain diperoleh dari logaritma ke basis 10 dengan perkalian sederhana. Sekarang saatnya untuk mencari tahu apakah ada basis logaritma yang dibedakan secara matematis, dibedakan untuk alasan yang tidak ada hubungannya dengan jumlah jari di tangan. Dalam skala natural ini, rumus dengan logaritma akan terlihat lebih sederhana. Mari kita buat tabel logaritma baru dengan mengalikan semua logaritma basis 10 dengan 2.3025…. Ini sesuai dengan transisi ke basis baru - alami, atau basis e. Perhatikan bahwa log e (l + n) n atau e n 1 + n, ketika n → 0.

Sangat mudah untuk menemukan nomor e itu sendiri; itu sama dengan 101/ 2.3025 atau 10 0.4342294... Itu 10 pangkat irasional. Untuk menghitung e, Anda dapat menggunakan tabel akar 10. Mari kita nyatakan 0,434294 ... pertama sebagai 444,73 / 1024, dan pembilang pecahan ini sebagai jumlah 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0.73 . Oleh karena itu, angka e sama dengan produk dari angka-angka tersebut
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Angka 0,73 tidak ada dalam tabel kita, tetapi hasil yang sesuai dapat direpresentasikan sebagai 1 + 2,3025∆/1024 dan dihitung dengan = 0,73.) Mengalikan semua 7 faktor, kita mendapatkan 2,7184 (dengan seharusnya menjadi 2,7183, tetapi hasil ini baik). Dengan menggunakan tabel seperti itu, Anda dapat menaikkan angka ke kekuatan irasional dan menghitung logaritma dari angka irasional. Begitulah cara menghadapi irasionalitas!

Sebelum munculnya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan akar menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Tergantung pada nomor root, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau tepat. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan asli. Misalnya faktor dari bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor , yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, coba faktorkan bilangan akar menjadi faktor kuadrat.

• Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (secara manual). Pertama coba faktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 memberi Anda 16. Angka 16 juga merupakan angka kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
• Ini dapat ditulis sebagai berikut: 400 = (25 x 16).

1. Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat tiap suku, yaitu (a x b) = a x b. Gunakan aturan ini dan ambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan kalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.

   • Dalam contoh kita, ambil akar kuadrat dari 25 dan 16.
     • (25 x 16)
     • 25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. Jika bilangan akar tidak memfaktorkan ke dalam dua faktor kuadrat (dan memang demikian dalam banyak kasus), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban yang tepat dalam bentuk bilangan bulat. Tetapi Anda dapat menyederhanakan masalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan Anda akan mengambil akar dari faktor biasa.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari bilangan 147. Bilangan 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. Jika perlu, evaluasi nilai root. Sekarang Anda dapat mengevaluasi nilai akar (menemukan nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan nomor akar. Anda akan mendapatkan nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.

   • Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan akarnya adalah 3. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai 3 terletak antara 1 dan 2. Karena nilai 3 mungkin lebih dekat ke 2 daripada 1, perkiraan kita adalah: 3 = 1.7. Kami mengalikan nilai ini dengan angka pada tanda root: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Jika Anda melakukan perhitungan pada kalkulator, Anda mendapatkan 12,13, yang cukup dekat dengan jawaban kami.
     • Metode ini juga bekerja dengan jumlah besar. Sebagai contoh, perhatikan 35. Bilangan akarnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai 35 terletak antara 5 dan 6. Karena nilai 35 jauh lebih dekat ke 6 daripada ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat menyatakan bahwa 35 sedikit lebih kecil dari 6. Verifikasi dengan kalkulator memberi kami jawaban 5,92 - kami benar.

4. Cara lain adalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Tuliskan faktor-faktor prima dalam satu baris dan temukan pasangan faktor-faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat diambil dari tanda akar.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kami menguraikan angka akar menjadi faktor prima: 45 \u003d 9 x 5, dan 9 \u003d 3 x 3. Jadi, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 dapat diambil dari tanda akar: 45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan 5.
   • Pertimbangkan contoh lain: 88.
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11). Anda mendapat tiga pengali 2; ambil beberapa dari mereka dan keluarkan dari tanda akar.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11. Sekarang kita dapat mengevaluasi 2 dan 11 dan menemukan jawaban yang mendekati.

   Menghitung akar kuadrat secara manual

   Menggunakan pembagian kolom

   1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambar garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu gambar garis horizontal ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan akar menjadi pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah titik desimal. Jadi, bilangan 79520789182.47897 ditulis sebagai "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Sebagai contoh, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780.14. Gambar dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tulis nomor di kiri atas sebagai "7 80, 14". Adalah normal bahwa digit pertama dari kiri adalah digit yang tidak berpasangan. Jawabannya (akar dari angka yang diberikan) akan ditulis di kanan atas.

   2. Diberikan pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri, temukan bilangan bulat terbesar n yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan angka (atau satu angka) yang bersangkutan. Dengan kata lain, temukan bilangan kuadrat yang paling dekat dengan, tetapi kurang dari, pasangan bilangan pertama (atau satu bilangan) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat itu; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang ditemukan di kanan atas, dan tuliskan n persegi di kanan bawah.

      • Dalam kasus kami, angka pertama di sebelah kiri adalah angka 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Kurangi kuadrat dari angka n yang baru saja Anda temukan dari pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri. Tulislah hasil perhitungan di bawah subtrahend (kuadrat dari bilangan n).

      • Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 untuk mendapatkan 3.

   4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.

      • Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, menggandakan angka dari kanan atas menghasilkan 4. Tulis "4_×_=" dari kanan bawah.

   5. Isi bagian yang kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kasus kami, jika kami menempatkan angka 8 alih-alih tanda hubung, maka 48 x 8 \u003d 384, yang lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 baik-baik saja. Tulis 7 alih-alih tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 \u003d 329. Tulis 7 dari kanan atas - ini adalah digit kedua dalam akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780.14.

   6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tulis hasil dari langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, temukan perbedaannya dan tulis di bawah yang dikurangi.

      • Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, yang sama dengan 51.

   7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dibongkar adalah bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka letakkan pemisah (koma) dari bilangan bulat dan pecahan tersebut pada akar kuadrat yang diinginkan dari kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan nomor berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.

      • Dalam contoh kita, pasangan bilangan berikutnya yang akan dihancurkan adalah bagian pecahan dari bilangan 780.14, jadi letakkan pemisah bilangan bulat dan pecahan di akar kuadrat yang diperlukan dari kanan atas. Hancurkan 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan kanan atas (27) adalah 54, jadi tulis "54_×_=" di kanan bawah.

   8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar sebagai pengganti tanda hubung di sebelah kanan (bukan tanda hubung Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri.

      • Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka saat ini di sebelah kiri (5114). Tulis 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkalian dari angka saat ini di sebelah kiri: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis sepasang nol di sebelah angka saat ini di sebelah kiri dan ulangi langkah 4, 5 dan 6. Ulangi langkah sampai Anda mendapatkan akurasi jawaban yang Anda butuhkan (jumlah tempat desimal).

      Memahami proses

      1. Untuk menguasai metode ini, bayangkan bilangan yang akar kuadratnya ingin Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Hitung nilai L dimana L² = S.

         Masukkan huruf untuk setiap digit dalam jawaban Anda. Dilambangkan dengan A digit pertama dalam nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C yang ketiga dan seterusnya.

         Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit depan. Dilambangkan dengan S a pasangan angka pertama pada nilai S, dengan S b pasangan angka kedua, dan seterusnya.

         Jelaskan hubungan metode ini dengan pembagian panjang. Seperti dalam operasi pembagian, di mana setiap kali kita hanya tertarik pada satu digit berikutnya dari bilangan yang habis dibagi, ketika menghitung akar kuadrat, kita bekerja dengan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam nilai akar kuadrat) .

      2. Perhatikan pasangan angka pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang dicari akan menjadi digit tersebut, kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kami mencari A yang memenuhi pertidaksamaan A² Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertama akan serupa: kami mempertimbangkan digit pertama dari angka yang dapat dibagi 88962 (8) dan memilih angka terbesar yang, ketika dikalikan dengan 7, memberikan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kami mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Bayangkan secara mental persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Anda mencari L, yaitu panjang sisi persegi yang luasnya S. A, B, C adalah angka dalam angka L. Anda dapat menulisnya secara berbeda: 10A + B \u003d L (untuk dua -digit angka) atau 100A + 10B + C \u003d L (untuk angka tiga digit) dan seterusnya.

         • Biarlah (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingat bahwa 10A+B adalah bilangan yang B berarti satuan dan A berarti puluhan. Misalnya, jika A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A² adalah luas persegi bagian dalam yang besar, B² adalah luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B adalah luas masing-masing kedua persegi panjang tersebut. Menambahkan luas gambar yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi asli.