Banyak dari semuanya bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai penyatuan tiga set: satu set angka positif, satu set angka negatif dan satu set yang terdiri dari satu angka - angka nol. Untuk menunjukkan bahwa nomor sebuah positif, nikmati catatannya a > 0, untuk menunjukkan angka negatif gunakan catatan lain sebuah< 0 .

Jumlah dan hasil kali bilangan positif juga bilangan positif. Jika nomor sebuah negatif, maka bilangan -sebuah positif (dan sebaliknya). Untuk setiap bilangan positif a, pasti ada bilangan positif bilangan rasional r, Apa r< а . Fakta-fakta ini mendasari teori ketidaksetaraan.

Menurut definisi, pertidaksamaan a > b (atau setara, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, yaitu jika bilangan a - b positif.

Pertimbangkan, khususnya, ketidaksetaraan sebuah< 0 . Apa yang dimaksud dengan ketidaksetaraan ini? Berdasarkan pengertian di atas, artinya 0 - a > 0, yaitu -a > 0 atau nomor berapa? -sebuah secara positif. Tapi ini kasusnya jika dan hanya jika angkanya sebuah negatif. Jadi pertidaksamaan sebuah< 0 berarti angkanya tapi negatif.

Sering juga digunakan notasi ab(atau, yang sama, ba).
Rekaman ab, menurut definisi, berarti baik a > b, atau a = b. Jika kita mempertimbangkan entri ab sebagai proposisi tak tentu, maka dalam notasi logika matematika dapat ditulis

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Contoh 1 Apakah pertidaksamaan 5 0, 0 0 benar?

Ketimpangan 5 0 adalah pernyataan majemuk terdiri dari dua ucapan sederhana dihubungkan oleh penghubung logis "atau" (disjungsi). Baik 5 > 0 atau 5 = 0. Pernyataan pertama 5 > 0 benar, pernyataan kedua 5 = 0 salah. Menurut definisi disjungsi, pernyataan majemuk seperti itu benar.

Rekam 00 dibahas dengan cara yang sama.

Pertidaksamaan bentuk a > b, a< b akan disebut ketat, dan ketidaksetaraan bentuk ab, ab- tidak ketat.

ketidaksetaraan a > b dan c > d(atau sebuah< b dan dengan< d ) akan disebut pertidaksamaan dengan arti yang sama, dan pertidaksamaan a > b dan c< d - ketidaksetaraan makna yang berlawanan. Perhatikan bahwa kedua istilah ini (ketidaksamaan dalam arti yang sama dan berlawanan) hanya merujuk pada bentuk ketidaksetaraan penulisan, dan bukan pada fakta-fakta itu sendiri yang diungkapkan oleh ketidaksetaraan ini. Jadi, dalam kaitannya dengan pertidaksamaan sebuah< b ketidaksamaan dengan< d adalah ketidaksetaraan dengan arti yang sama, dan secara tertulis d > c(berarti hal yang sama) - ketidaksetaraan makna yang berlawanan.

Seiring dengan ketidaksetaraan bentuk a > b, ab apa yang disebut ketidaksetaraan ganda digunakan, yaitu, ketidaksetaraan bentuk sebuah< с < b , kartu as< b , sebuah< cb ,
sebuahcb. Menurut definisi, entri

sebuah< с < b (1)
berarti kedua pertidaksamaan berlaku:

sebuah< с dan dengan< b.

Ketidaksetaraan memiliki arti yang sama acb, ac< b, а < сb.

Pertidaksamaan ganda (1) dapat ditulis sebagai berikut:

(sebuah< c < b) [(a < c) & (c < b)]

dan pertidaksamaan ganda a c b dapat ditulis dalam bentuk berikut:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Sekarang mari kita lanjutkan ke presentasi sifat-sifat utama dan aturan tindakan pada ketidaksetaraan, setelah menyetujui bahwa dalam artikel ini huruf-huruf a, b, c mewakili bilangan real, dan n berarti bilangan asli.

1) Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitivitas).

Bukti.

Karena sesuai dengan kondisi a > b dan b > c, maka bilangan a - b dan b - c positif, dan karenanya bilangan a - c \u003d (a - b) + (b - c), sebagai jumlah bilangan positif, juga positif. Ini berarti, menurut definisi, bahwa a > c.

2) Jika a > b, maka untuk setiap c pertidaksamaan a + c > b + c berlaku.

Bukti.

Sebagai a > b, maka bilangan a - b secara positif. Oleh karena itu, bilangan (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b juga positif, yaitu
a + c > b + c.

3) Jika a + b > c, maka a > b - c, yaitu, suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.

Bukti berikut dari properti 2) cukup untuk kedua bagian dari ketidaksetaraan a + b > c tambahkan nomor -b.

4) Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d, yaitu, menambahkan dua pertidaksamaan dengan arti yang sama menghasilkan pertidaksamaan dengan arti yang sama.

Bukti.

Dengan definisi pertidaksamaan, cukup untuk menunjukkan bahwa perbedaan
(a + c) - (b + c) positif. Perbedaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Karena dengan kondisi nomor a - b dan c - d positif, maka (a + c) - (b + d) juga merupakan bilangan positif.

Konsekuensi. Aturan 2) dan 4) menyiratkan Aturan berikutnya pengurangan pertidaksamaan: jika a > b, c > d, kemudian a - d > b - c(untuk bukti itu cukup untuk kedua bagian dari pertidaksamaan a + c > b + d tambahkan nomor - c - d).

5) Jika a > b, maka untuk c > 0 kita memiliki ac > bc, dan untuk c< 0 имеем ас < bc.

Dengan kata lain, saat mengalikan kedua ruas pertidaksamaan, keduanya tidak nomor positif tanda pertidaksamaan dipertahankan (yaitu, diperoleh pertidaksamaan dengan arti yang sama), dan bila dikalikan dengan bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik (yaitu, diperoleh pertidaksamaan dengan arti yang berlawanan.

Bukti.

Jika sebuah a > b, kemudian a - b adalah bilangan positif. Oleh karena itu, tanda perbedaannya ac-bc = taksi) cocok dengan tanda nomor dengan: jika dengan adalah bilangan positif, maka selisihnya ac - sm positif dan oleh karena itu ac > bc, dan jika dengan< 0 , maka perbedaan ini negatif dan oleh karena itu bc - ac positif, yaitu bc > ac.

6) Jika a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd, yaitu, jika semua suku dari dua pertidaksamaan dengan arti yang sama adalah positif, maka perkalian suku demi suku dari pertidaksamaan ini menghasilkan pertidaksamaan dengan arti yang sama.

Bukti.

Kita punya ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Sebagai c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, lalu ac - bd > 0, yaitu ac > bd.

Komentar. Hal ini jelas dari bukti bahwa kondisi d > 0 dalam perumusan properti 6) tidak penting: agar properti ini benar, cukuplah kondisinya a > b > 0, c > d, c > 0. Jika (jika pertidaksamaan a > b, c > d) angka a, b, c tidak semuanya positif, maka pertidaksamaan ac > bd tidak boleh dilakukan. Misalnya, ketika sebuah = 2, b =1, c= -2, d= -3 kita punya a > b, c > d, tetapi pertidaksamaan ac > bd(yaitu -4 > -3) gagal. Jadi, syarat bahwa bilangan a, b, c positif dalam pernyataan sifat 6) adalah esensial.

7) Jika a b > 0 dan c > d > 0, maka (pembagian pertidaksamaan).

Bukti.

Kita punya Pembilang pecahan di ruas kanan adalah positif (lihat sifat 5), 6)), penyebutnya juga positif. Karena itu,. Ini membuktikan properti 7).

Komentar. Kami mencatat penting kasus spesial aturan 7) diperoleh ketika a = b = 1: jika c > d > 0, maka. Jadi, jika suku-suku pertidaksamaan itu positif, maka ketika diteruskan ke resiprokal, kita memperoleh pertidaksamaan dengan arti yang berlawanan. Kami mengundang pembaca untuk memverifikasi bahwa aturan ini juga dipertahankan dalam 7) Jika ab > 0 dan c > d > 0, maka (pembagian pertidaksamaan).

Bukti. kemudian.

Kami membuktikan di atas beberapa sifat pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda > (lagi). Namun, semua sifat ini dapat dirumuskan dengan menggunakan tanda < (kurang), karena pertidaksamaan b< а berarti, menurut definisi, sama dengan ketidaksetaraan a > b. Selain itu, karena mudah diperiksa, sifat-sifat yang dibuktikan di atas juga dipertahankan untuk ketidaksetaraan yang tidak ketat. Misalnya, properti 1) untuk ketidaksetaraan non-ketat akan memiliki tampilan berikutnya: jika ab dan bc, kemudian kartu as.

Tentu saja, sifat umum dari ketidaksetaraan tidak terbatas pada apa yang telah dikatakan di atas. Masih ada seluruh baris ketidaksetaraan pandangan umum terkait dengan pertimbangan daya, eksponensial, logaritma dan fungsi trigonometri. Pendekatan umum untuk menulis ketidaksetaraan semacam ini adalah sebagai berikut. Jika beberapa fungsi y = f(x) meningkat secara monoton pada segmen [a,b], maka untuk x 1 > x 2 (di mana x 1 dan x 2 termasuk dalam segmen ini) kita memiliki f (x 1) > f(x 2). Demikian pula, jika fungsi y = f(x) berkurang secara monoton pada segmen [a,b], lalu di x 1 > x 2 (di mana x 1 dan X 2 milik segmen ini) yang kita miliki f(x1)< f(x 2 ). Tentu saja, apa yang dikatakan tidak berbeda dengan definisi monotonisitas, tetapi teknik ini sangat cocok untuk menghafal dan menulis ketidaksetaraan.

Jadi, misalnya, untuk sembarang n fungsi y = x n meningkat secara monoton pada sinar {0} {0} }