Eksponen digunakan untuk memudahkan penulisan operasi perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda dapat menulis 4 5 (\displaystyle 4^(5))(penjelasan tentang transisi semacam itu diberikan di bagian pertama artikel ini). Powers memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan mudah ditambahkan dan dikurangkan, menghasilkan penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui ada dalam eksponen), baca.
Langkah
Memecahkan masalah sederhana dengan kekuatan
- 4 5 = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikutnya. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:
- 4 5 = 16 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 4 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Teruslah mengalikan hasil perkalian dua angka pertama dengan angka berikutnya sampai Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam urutan. Metode ini berlaku untuk tingkat apa pun. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
Selesaikan masalah berikut. Periksa jawaban Anda dengan kalkulator.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\gaya tampilan 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
-
Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\gaya tampilan x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Praktis tidak mungkin menghitung derajat secara manual dengan eksponen besar (misalnya, derajat 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah mengatasi tugas ini. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -\u003e "Normal".
- Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex). Dengan menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dipelajari).
Penambahan, pengurangan, perkalian kekuatan
-
Anda dapat menambah dan mengurangi kekuatan hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menambahkan kekuatan dengan basis dan eksponen yang sama, maka Anda dapat mengganti operasi penambahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ingatlah bahwa gelar 4 5 (\displaystyle 4^(5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dimana 1 +1 =2). Artinya, hitung jumlah derajat yang sama, lalu kalikan derajat tersebut dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingat bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lainnya:
- 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
-
Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam hal ini, Anda hanya perlu menambahkan indikator, tanpa mengubah basisnya. Dengan demikian, x 2 x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:
Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponen dikalikan. Misalnya diberikan gelar. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Arti dari aturan ini adalah Anda melipatgandakan kekuatan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. Seperti ini:
- (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- Karena basisnya sama, eksponennya cukup dijumlahkan: (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
-
Eksponen dengan eksponen negatif harus dikonversi ke pecahan (ke pangkat terbalik). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis pangkat ini ke dalam penyebut pecahan (masukkan 1 ke pembilangnya), dan buat eksponennya menjadi positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Berikut adalah contoh lainnya:
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi (basis tidak berubah). Operasi pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basisnya). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ingat bahwa pecahan adalah angka (pangkat, ekspresi) dengan eksponen negatif.
-
Berikut adalah beberapa ekspresi untuk membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan masalah daya. Ungkapan di atas mencakup materi yang disajikan dalam bagian ini. Untuk melihat jawabannya, cukup sorot ruang kosong setelah tanda sama dengan.
Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan
-
Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen tersebut dapat didekomposisi menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingat saja aturan untuk mengalikan kekuatan. Misalnya diberikan gelar. Ubah eksponen tersebut menjadi akar yang eksponennya sama dengan penyebut dari eksponen pecahan, lalu naikkan akar tersebut ke eksponen yang sama dengan pembilang dari eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingatlah itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:
- x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
- x 5 3 = x 5 x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung eksponen (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
- Ingat bahwa setiap nomor sama dengan dirinya sendiri dengan kekuatan pertama, misalnya, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, angka apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) dan 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
- Ketahuilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat seperti itu tidak memiliki solusi). Ketika Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan mendapatkan kesalahan. Tapi ingat bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan 1, misalnya, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
- Dalam matematika tingkat tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e adalah konstanta yang kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti kesetaraan ini dapat ditemukan di semua buku teks tentang matematika tingkat tinggi.
Gelar dengan eksponen pecahan (misalnya, ) diubah menjadi operasi ekstraksi akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak masalah bilangan apa yang ada dalam penyebut pangkat pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) adalah akar keempat dari "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
Peringatan
- Sebagai eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Oleh karena itu, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, sebenarnya bisa jadi itu benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot fungsi eksponensial apa pun, seperti 2 x .
Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan eksponen secara manual, tulis ulang eksponen sebagai operasi perkalian, di mana basis eksponen dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, diberikan gelar 3 4 (\gaya tampilan 3^(4)). Dalam hal ini, basis derajat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri 4 kali: 3 3 3 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lainnya:
Pertama, kalikan dua angka pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua empat kali lipat pertama, lalu ganti dengan hasilnya. Seperti ini:
Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Konsep eksponensial
Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.
Definisi 1
Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.
Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .
Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.
Ingat kembali apa itu pangkat dari bilangan dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:
Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.
Contoh 1
Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .
Keputusan
Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .
Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.
Contoh 2
Hitung nilainya 3 2 7 2
Keputusan
Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.
Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Jika tugas menunjukkan kebutuhan untuk menaikkan bilangan irasional ke kekuatan alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.
Contoh 3
Lakukan kuadrat dari bilangan .
Keputusan
Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .
Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:
Ini jelas dari catatan. 
.
Itu tidak tergantung pada dasar gelar.
Contoh 4
Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .
Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.
Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: setelah semua, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.
Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real yang tidak sama dengan 0 dan a 0 = 1 .
Contoh 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - tidak ditentukan.
Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita melihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lebih dari derajat biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.
Contoh 6
Naikkan 3 ke pangkat -2.
Keputusan
Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3
Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.
Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Contoh 7
Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.
Keputusan
Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini: 
Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).
Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449
Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.
Contoh 8
Contoh: 3 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan
Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.
Definisi 2
Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.
Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.
Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.
Contoh 9
Hitung 8 - 2 3 .
Keputusan
Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.
Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.
Contoh 10
Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.
Keputusan
Mari kita ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
Jawaban: 13501, 25107.
Jika ada bilangan besar dalam pembilang dan penyebut dari eksponen pecahan, maka menghitung eksponen tersebut dengan eksponen rasional adalah pekerjaan yang agak sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.
Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional
Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat, dalam indikator yang ada bilangan irasional, tidak sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.
Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan eksponen irasional a , maka kita mengambil pendekatan desimal dari eksponen dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:
Contoh 11
Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....
Keputusan
Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita ambil, misalnya, aproksimasi a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Tingkat pertama
Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)
Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?
Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.
Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.
Ayo ayo!)
Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).
TINGKAT PERTAMA
Eksponen adalah operasi matematika yang sama seperti penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.
Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat sederhana. Perhatian. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.
Mari kita mulai dengan penambahan.
Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.
Sekarang perkalian.
Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.
Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…
Berikut tabel perkaliannya. Ulang.
Dan satu lagi, yang lebih cantik:
Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.
Menaikkan angka menjadi kekuatan
Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.
Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.
Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sebuah pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.
Contoh kehidupan nyata #1
Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.
Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.
Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari Anda". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().
Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.
Contoh kehidupan nyata #2
Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?
Contoh kehidupan nyata #3
Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa meter demi meter kubus yang akan masuk ke kolam Anda.
Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Maka! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?
Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:
Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.
Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.
Contoh kehidupan nyata #4
Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?
Contoh kehidupan nyata #5
Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.
Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.
Syarat dan konsep...agar tidak bingung
Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...
Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.
Berikut gambar untuk Anda pastikan.
Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan indikator "" dibaca sebagai "dalam derajat" dan ditulis sebagai berikut:
Kekuatan angka dengan eksponen alami
Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?
Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.
Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?
Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.
Ringkasan:
Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).
- Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
- Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
- Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:
Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.
Properti gelar
Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.
Mari kita lihat apa itu dan ?
Prioritas-A:
Berapa banyak pengganda yang ada secara total?
Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.
Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan:
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu pasti alasannya sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
hanya untuk produk kekuatan!
Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.
2. yaitu -kekuatan suatu bilangan
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak pernah dapat melakukan ini secara total:
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?
Tapi itu tidak benar, sungguh.
Gelar dengan basis negatif
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.
Tapi apa yang harus menjadi dasar?
Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.
Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Apakah Anda berhasil?
Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.
Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!
6 contoh latihan
Analisis solusi 6 contoh
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.
Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.
Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.
bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.
Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:
Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?
Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:
Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.
Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:
Mari kita ulangi aturannya:
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.
Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).
Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.
Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:
Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:
Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:
Jadi, mari kita rumuskan aturannya:
Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).
Mari kita rangkum:
I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.
II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .
AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif: .
Tugas untuk solusi independen:
Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:
Analisis tugas untuk solusi independen:
Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Pecahkan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar bagaimana menanganinya dengan mudah dalam ujian!
Mari kita lanjutkan untuk memperluas lingkaran angka yang "cocok" sebagai eksponen.
Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?
Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.
Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:
Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:
Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":
Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?
Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.
Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.
Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .
Ternyata itu. Jelas, kasus khusus ini dapat diperpanjang: .
Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:
Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.
Tidak ada!
Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!
Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan ke pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.
Bagaimana dengan ekspresi?
Tapi di sini muncul masalah.
Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.
Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.
Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).
Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.
Jadi jika:
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:
5 contoh latihan
Analisis 5 contoh untuk pelatihan
Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.
Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali
Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.
Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali;
...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;
...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real.
Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
Analisis solusi:
1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:
Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkanmu pada sesuatu? Kami mengingat rumus untuk perkalian singkat dari selisih kuadrat:
PADA kasus ini,
Ternyata:
Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:
Jawaban: 16
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
TINGKAT LANJUT
definisi derajat
Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:
- — dasar derajat;
- - eksponen.
Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)
Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)
Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:
pemasangan ke kekuatan nol:
Ekspresinya tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.
Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:
(karena tidak mungkin untuk membagi).
Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.
Contoh:
Derajat dengan eksponen rasional
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Properti gelar
Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.
Mari kita lihat: apa itu dan?
Prioritas-A:
Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:
Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:
Q.E.D.
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : .
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus memiliki dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!
Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Mari kita atur ulang seperti ini:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.
Kekuasaan dengan basis negatif.
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .
Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ?
Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.
Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:
- bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.
Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:
Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:
Sebelum menganalisis aturan terakhir, mari selesaikan beberapa contoh.
Hitung nilai ekspresi:
Solusi :
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat!
Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan 3 dapat diterapkan, tetapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Jika Anda mengalikannya, tidak ada yang berubah, kan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:
Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
Jadi sekarang aturan terakhir:
Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:
Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:
Contoh:
Gelar dengan eksponen irasional
Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan bilangan bulat negatif - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka itu tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (seperti halnya sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang dibuat oleh matematikawan untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
| 1) | 2) | 3) |
Jawaban:
- Ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
- Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita dapatkan, misalnya: .
- Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR
Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:
Derajat dengan eksponen bilangan bulat
derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).
Derajat dengan eksponen rasional
derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.
Gelar dengan eksponen irasional
eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.
Properti gelar
Fitur derajat.
- Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol sama dengan kekuatan apa pun.
- Setiap angka pangkat nol adalah sama.
SEKARANG ANDA PUNYA KATA...
Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.
Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.
Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.
Tulis di komentar.
Dan semoga sukses dengan ujian Anda!
Di salah satu artikel sebelumnya, kami telah menyebutkan derajat suatu bilangan. Hari ini kita akan mencoba menavigasi dalam proses menemukan maknanya. Secara ilmiah, kita akan mencari tahu cara mengeksponen dengan benar. Kami akan memahami bagaimana proses ini dilakukan, pada saat yang sama menyentuh semua eksponen yang mungkin: alami, irasional, rasional, utuh.
Jadi, mari kita lihat lebih dekat solusi dari contoh dan cari tahu apa artinya:
- Definisi konsep.
- Mengangkat ke seni negatif.
- Skor keseluruhan.
- Menaikkan angka ke kekuatan irasional.
Berikut adalah definisi yang secara akurat mencerminkan makna: “Menaikkan pangkat adalah definisi nilai derajat suatu bilangan.”
Dengan demikian, konstruksi angka a dalam Seni. r dan proses mencari nilai derajat a dengan pangkat r adalah konsep yang identik. Misalnya, jika tugasnya adalah menghitung nilai derajat (0,6) 6 , maka dapat disederhanakan menjadi ungkapan "Naikkan angka 0,6 ke pangkat 6".
Setelah itu, Anda dapat melanjutkan langsung ke aturan konstruksi.
Meningkatkan ke kekuatan negatif
Untuk kejelasan, Anda harus memperhatikan rantai ekspresi berikut:
110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 di minus 1 st.,
1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 dalam minus 2 langkah.,
11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 dikurangi 3 st.,
110000=0,00001=1*10 hingga minus 4 derajat.
Berkat contoh-contoh ini, Anda dapat dengan jelas melihat kemampuan untuk menghitung 10 pangkat negatif secara instan. Untuk tujuan ini, cukup dengan menggeser komponen desimal:
- 10 hingga -1 derajat - sebelum unit 1 nol;
- di -3 - tiga nol sebelum satu;
- -9 adalah 9 nol dan seterusnya.
Juga mudah dipahami menurut skema ini berapa 10 dikurangi 5 sdm. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Cara menaikkan angka menjadi kekuatan alami
Mengingat definisi, kami memperhitungkan bahwa bilangan asli a dalam seni. n sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Mari kita ilustrasikan: (a * a * ... a) n, di mana n adalah banyaknya bilangan yang dikalikan. Dengan demikian, untuk menaikkan a ke n, perlu untuk menghitung produk dari bentuk berikut: a * a * ... dan bagi dengan n kali.
Dari sini menjadi jelas bahwa ereksi dalam seni alam. bergantung pada kemampuan untuk melakukan perkalian(Materi ini dibahas dalam bagian perkalian bilangan real). Mari kita lihat masalahnya:
Angkat -2 ke 4 sdm.
Kita berhadapan dengan indikator alami. Dengan demikian, jalannya keputusan adalah sebagai berikut: (-2) dalam Seni. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sekarang tinggal melakukan perkalian bilangan bulat: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Kami mendapatkan 16.
Jawaban untuk tugas:
(-2) dalam Seni. 4=16.
Contoh:
Hitung nilainya: tiga koma dua per tujuh kuadrat.
Contoh ini sama dengan hasil kali berikut: tiga koma dua tujuh kali tiga koma dua tujuh. Mengingat bagaimana perkalian bilangan campuran dilakukan, kami menyelesaikan konstruksi:
- 3 seluruh 2 pertujuh dikalikan sendiri;
- sama dengan 23 pertujuh kali 23 pertujuh;
- sama dengan 529 empat puluh sembilan;
- kami mengurangi dan mendapatkan 10 tiga puluh sembilan empat puluh sembilan.
Menjawab: 10 39/49
Berkenaan dengan masalah menaikkan ke indikator irasional, perlu dicatat bahwa perhitungan mulai dilakukan setelah selesainya pembulatan awal dari dasar derajat ke peringkat tertentu, yang akan memungkinkan untuk memperoleh nilai dengan nilai tertentu. ketepatan. Misalnya, kita perlu mengkuadratkan bilangan P (pi).
Kita mulai dengan membulatkan P ke perseratusan dan mendapatkan:
P kuadrat \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Namun, jika kita mengurangi P menjadi seperseribu, kita mendapatkan P = 3,14159. Kemudian mengkuadratkan mendapatkan angka yang sama sekali berbeda: 9.8695877281.
Perlu dicatat di sini bahwa dalam banyak masalah tidak perlu menaikkan bilangan irasional menjadi suatu pangkat. Sebagai aturan, jawabannya dimasukkan baik dalam bentuk, pada kenyataannya, gelar, misalnya, akar 6 pangkat 3, atau, jika ekspresi memungkinkan, transformasi dilakukan: akar 5 hingga 7 derajat \u003d 125 akar dari 5.
Cara menaikkan angka menjadi kekuatan bilangan bulat
Manipulasi aljabar ini tepat mempertimbangkan kasus-kasus berikut:
- untuk bilangan bulat;
- untuk indikator nol;
- untuk bilangan bulat positif.
Karena hampir semua bilangan bulat positif bertepatan dengan massa bilangan asli, pengaturannya ke pangkat bilangan bulat positif adalah proses yang sama seperti pengaturan dalam Seni. alami. Kami telah menjelaskan proses ini di paragraf sebelumnya.
Sekarang mari kita bicara tentang perhitungan Seni. batal. Kami telah menemukan di atas bahwa pangkat nol dari angka a dapat ditentukan untuk sembarang a (nyata), sementara a di st. 0 akan sama dengan 1.
Dengan demikian, pembangunan setiap bilangan real untuk seni nol. akan memberikan satu.
Misalnya, 10 di st.0=1, (-3.65)0=1, dan 0 di st. 0 tidak dapat ditentukan.
Untuk menyelesaikan eksponensial ke pangkat bilangan bulat, tetap harus memutuskan opsi untuk nilai bilangan bulat negatif. Kita ingat bahwa Seni. dari a dengan eksponen bilangan bulat -z akan didefinisikan sebagai pecahan. Dalam penyebut pecahan adalah Art. dengan nilai bilangan bulat positif, yang nilainya telah kita pelajari untuk ditemukan. Sekarang tinggal mempertimbangkan contoh konstruksi.
Contoh:
Hitung nilai bilangan 2 pangkat tiga dengan bilangan bulat negatif.
Proses solusi:
Menurut definisi derajat dengan indikator negatif, kami menunjukkan: dua di minus 3 sdm. sama dengan satu banding dua pangkat tiga.
Penyebutnya dihitung secara sederhana: dua potong dadu;
3 = 2*2*2=8.
Menjawab: dua dikurangi 3 sdm. = seperdelapan.
Tingkat pertama
Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)
Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?
Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.
Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.
Ayo ayo!)
Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).
TINGKAT PERTAMA
Eksponen adalah operasi matematika yang sama seperti penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.
Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat sederhana. Perhatian. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.
Mari kita mulai dengan penambahan.
Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.
Sekarang perkalian.
Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.
Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…
Berikut tabel perkaliannya. Ulang.
Dan satu lagi, yang lebih cantik:
Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.
Menaikkan angka menjadi kekuatan
Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.
Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.
Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sebuah pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.
Contoh kehidupan nyata #1
Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.
Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.
Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari Anda". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().
Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.
Contoh kehidupan nyata #2
Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?
Contoh kehidupan nyata #3
Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa meter demi meter kubus yang akan masuk ke kolam Anda.
Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Maka! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?
Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:
Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.
Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.
Contoh kehidupan nyata #4
Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?
Contoh kehidupan nyata #5
Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.
Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.
Syarat dan konsep...agar tidak bingung
Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...
Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.
Berikut gambar untuk Anda pastikan.
Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan indikator "" dibaca sebagai "dalam derajat" dan ditulis sebagai berikut:
Kekuatan angka dengan eksponen alami
Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?
Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.
Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?
Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.
Ringkasan:
Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).
- Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
- Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
- Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:
Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.
Properti gelar
Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.
Mari kita lihat apa itu dan ?
Prioritas-A:
Berapa banyak pengganda yang ada secara total?
Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.
Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan:
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu pasti alasannya sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
hanya untuk produk kekuatan!
Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.
2. yaitu -kekuatan suatu bilangan
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak pernah dapat melakukan ini secara total:
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?
Tapi itu tidak benar, sungguh.
Gelar dengan basis negatif
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.
Tapi apa yang harus menjadi dasar?
Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.
Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Apakah Anda berhasil?
Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.
Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!
6 contoh latihan
Analisis solusi 6 contoh
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.
Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.
Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.
bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.
Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:
Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?
Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:
Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.
Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:
Mari kita ulangi aturannya:
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.
Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).
Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.
Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:
Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:
Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:
Jadi, mari kita rumuskan aturannya:
Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).
Mari kita rangkum:
I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.
II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .
AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif: .
Tugas untuk solusi independen:
Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:
Analisis tugas untuk solusi independen:
Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Pecahkan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar bagaimana menanganinya dengan mudah dalam ujian!
Mari kita lanjutkan untuk memperluas lingkaran angka yang "cocok" sebagai eksponen.
Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?
Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.
Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:
Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:
Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":
Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?
Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.
Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.
Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .
Ternyata itu. Jelas, kasus khusus ini dapat diperpanjang: .
Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:
Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.
Tidak ada!
Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!
Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan ke pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.
Bagaimana dengan ekspresi?
Tapi di sini muncul masalah.
Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.
Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.
Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).
Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.
Jadi jika:
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:
5 contoh latihan
Analisis 5 contoh untuk pelatihan
Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.
Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali
Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.
Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali;
...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;
...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real.
Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
Analisis solusi:
1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:
Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkanmu pada sesuatu? Kami mengingat rumus untuk perkalian singkat dari selisih kuadrat:
Pada kasus ini,
Ternyata:
Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:
Jawaban: 16
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
TINGKAT LANJUT
definisi derajat
Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:
- — dasar derajat;
- - eksponen.
Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)
Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)
Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:
pemasangan ke kekuatan nol:
Ekspresinya tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.
Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:
(karena tidak mungkin untuk membagi).
Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.
Contoh:
Derajat dengan eksponen rasional
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Properti gelar
Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.
Mari kita lihat: apa itu dan?
Prioritas-A:
Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:
Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:
Q.E.D.
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : .
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus memiliki dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!
Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Mari kita atur ulang seperti ini:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.
Kekuasaan dengan basis negatif.
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .
Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ?
Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.
Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:
- bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.
Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:
Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:
Sebelum menganalisis aturan terakhir, mari selesaikan beberapa contoh.
Hitung nilai ekspresi:
Solusi :
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat!
Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan 3 dapat diterapkan, tetapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Jika Anda mengalikannya, tidak ada yang berubah, kan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:
Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
Jadi sekarang aturan terakhir:
Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:
Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:
Contoh:
Gelar dengan eksponen irasional
Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan bilangan bulat negatif - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka itu tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (seperti halnya sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang dibuat oleh matematikawan untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
| 1) | 2) | 3) |
Jawaban:
- Ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
- Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita dapatkan, misalnya: .
- Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR
Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:
Derajat dengan eksponen bilangan bulat
derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).
Derajat dengan eksponen rasional
derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.
Gelar dengan eksponen irasional
eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.
Properti gelar
Fitur derajat.
- Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol sama dengan kekuatan apa pun.
- Setiap angka pangkat nol adalah sama.
SEKARANG ANDA PUNYA KATA...
Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.
Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.
Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.
Tulis di komentar.
Dan semoga sukses dengan ujian Anda!
