Topik tutorial video ini adalah properti gerak, serta terjemahan paralel. Di awal pelajaran, kita akan sekali lagi mengulangi konsep gerakan, tipe utamanya - simetri aksial dan sentral. Setelah itu, kami mempertimbangkan semua sifat gerak. Mari kita menganalisis konsep "transfer paralel", untuk apa itu digunakan, beri nama propertinya.

Tema: Gerakan

Pelajaran: Gerakan. Properti Gerak

Mari kita buktikan teorema: saat bergerak, segmen masuk ke segmen.

Mari kita menguraikan rumusan teorema dengan bantuan Gambar. 1. Jika ujung segmen tertentu MN selama pergerakan ditampilkan di beberapa titik M 1 dan N 1, maka setiap titik P dari segmen MN harus menuju ke beberapa titik P 1 dari segmen M 1 N 1, dan sebaliknya, untuk setiap titik Q 1 dari segmen M 1 N 1 beberapa titik Q dari segmen MN akan ditampilkan.

Bukti.

Seperti dapat dilihat dari gambar, MN = MP + PN.

Biarkan titik P pergi ke beberapa titik P 1 "dari pesawat. Dari definisi gerak dapat disimpulkan bahwa panjang segmen sama dengan MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Dari persamaan tersebut didapat bahwa M 1 1 ", M 1 1 "+ 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, yaitu titik 1 "milik ke segmen M 1 N 1 dan bertepatan dengan titik P 1, jika tidak, alih-alih persamaan di atas, pertidaksamaan segitiga M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 akan benar. Artinya, kami membuktikan bahwa ketika bergerak, setiap titik, setiap titik P dari segmen MN pasti akan menuju ke beberapa titik P 1 dari segmen M 1 N 1. Bagian kedua dari teorema (mengenai titik Q 1) dibuktikan dengan cara yang persis sama .

Teorema terbukti berlaku untuk setiap gerakan!

Dalil: saat bergerak, sudut tersebut membentuk sudut yang sama besar.

Biarkan RAOB diberikan (Gbr. 2). Dan biarkan beberapa gerakan diberikan, di mana simpul menuju titik 1 , dan titik A dan B - masing-masing ke titik 1 dan 1 .

Perhatikan segitiga AOB dan A 1 O 1 B 1 . Menurut kondisi teorema, titik A, O dan B bergerak masing-masing ketika bergerak ke titik A1, O1 dan B1. Oleh karena itu, ada persamaan panjang AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 dan AB \u003d A 1 B 1. Jadi, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 di tiga sisi. Dari persamaan segitiga berikut persamaan sudut yang bersesuaian O dan O 1.

Jadi, setiap gerakan mempertahankan sudut.

Banyak konsekuensi mengikuti dari sifat dasar gerak, khususnya, bahwa setiap sosok selama gerakan dipetakan ke sosok yang setara dengannya.

Pertimbangkan jenis gerakan lain - transfer paralel.

Transfer paralel ke beberapa vektor tertentu disebut pemetaan bidang ke dirinya sendiri, di mana setiap titik M dari bidang menuju ke titik M 1 dari bidang yang sama (Gbr. 3).

Ayo buktikan terjemahan paralel adalah gerakan.

Bukti.

Mempertimbangkan segmen sewenang-wenang MN (Gbr. 4). Biarkan titik M bergerak ke titik M 1 selama transfer paralel, dan titik N - ke titik N 1. Dalam hal ini, kondisi transfer paralel terpenuhi: dan . Pertimbangkan segi empat

MM 1 N 1 N. Dua sisi yang berlawanan (MM 1 dan NN 1) adalah sama dan sejajar, seperti yang ditentukan oleh kondisi terjemahan paralel. Oleh karena itu, segi empat ini adalah jajaran genjang menurut salah satu tanda yang terakhir. Ini menyiratkan bahwa dua sisi lainnya (MN dan M 1 N 1) dari jajaran genjang memiliki sama panjang, yang harus dibuktikan.

Dengan demikian, transfer paralel memang merupakan gerakan.

Mari kita rangkum. Kita sudah mengenal tiga jenis gerak: simetri aksial, simetri pusat dan transfer paralel. Kami telah membuktikan bahwa ketika bergerak, segmen masuk ke segmen, dan sudut menjadi sudut yang sama. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa garis lurus melewati garis lurus ketika bergerak, dan sebuah lingkaran melewati lingkaran dengan jari-jari yang sama.

1. Atanasyan L. S. dan lain-lain.Geometri kelas 7-9. Tutorial untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2010.

2. Tes Geometri Farkov A.V.: Grade 9. Ke buku teks L. S. Atanasyan dan lainnya - M.: Ujian, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometri, akun. untuk 7-11 sel. umum inst. - M.: Pencerahan, 1995.

1. Rusia portal pendidikan ().

2. Festival ide-ide pedagogis « Pelajaran umum» ().

1. Atanasyan (lihat referensi), hal 293, 1, butir 114.

Teorema tentang gerak pusat massa.

Dalam beberapa kasus, untuk menentukan sifat gerak suatu sistem (terutama benda tegar), cukup mengetahui hukum gerak pusat massanya. Misalnya, jika Anda melempar batu ke sasaran, Anda tidak perlu tahu sama sekali bagaimana batu itu akan jatuh selama penerbangan, penting untuk menentukan apakah batu itu akan mengenai sasaran atau tidak. Untuk melakukan ini, cukup mempertimbangkan pergerakan beberapa titik tubuh ini.

Untuk menemukan hukum ini, kita beralih ke persamaan gerak sistem dan menambahkan bagian kiri dan kanannya suku demi suku. Kemudian kita mendapatkan:

Mari kita ubah sisi kiri persamaan. Dari rumus vektor jari-jari pusat massa, kita peroleh:

Mengambil dari kedua bagian persamaan ini turunan kedua kalinya dan memperhatikan bahwa turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, kita menemukan:

dimana adalah percepatan pusat massa sistem. Karena, dengan sifat internal kekuatan sistem, kemudian, dengan mengganti semua nilai yang ditemukan, kami akhirnya mendapatkan:

Persamaan dan menyatakan teorema tentang gerak pusat massa sistem: hasil kali massa sistem dan percepatan pusat massanya adalah jumlah geometris semua gaya luar yang bekerja pada sistem. Membandingkan dengan persamaan gerak titik material, kita memperoleh ekspresi lain dari teorema: pusat massa sistem bergerak sebagai titik material, yang massanya sama dengan massa seluruh sistem dan di mana semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem diterapkan.

Memproyeksikan kedua sisi persamaan ke sumbu koordinat, kita mendapatkan:

Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial gerak pusat massa dalam proyeksi pada sumbu sistem koordinat Cartesian.

Arti dari teorema terbukti adalah sebagai berikut.

1) Teorema memberikan pembenaran untuk metode dinamika titik. Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa solusi yang kita dapatkan, dengan mempertimbangkan benda yang diberikan sebagai titik material, tentukan hukum gerak pusat massa benda ini, itu. memiliki arti yang sangat spesifik.

Secara khusus, jika tubuh bergerak maju, maka gerakannya sepenuhnya ditentukan oleh gerakan pusat massa. Dengan demikian, benda yang bergerak secara progresif selalu dapat dianggap sebagai titik material dengan massa, sama dengan massa tubuh. Dalam kasus lain, tubuh dapat dianggap sebagai titik material hanya jika, dalam praktiknya, untuk menentukan posisi tubuh, cukup untuk mengetahui posisi pusat massanya.

2) Teorema memungkinkan, ketika menentukan hukum gerak pusat massa sistem apa pun, untuk mengecualikan semua gaya internal yang sebelumnya tidak diketahui dari pertimbangan. Ini adalah nilai praktisnya.

Jadi pergerakan mobil pada bidang horizontal hanya dapat terjadi di bawah aksi kekuatan luar, gaya gesekan yang bekerja pada roda dari sisi jalan. Dan pengereman mobil juga hanya dimungkinkan oleh gaya-gaya ini, dan bukan oleh gesekan antara bantalan rem dan tromol rem. Jika jalannya mulus, tidak peduli berapa banyak roda direm, mereka akan meluncur dan tidak akan menghentikan mobil.

Atau setelah ledakan proyektil terbang (di bawah aksi kekuatan internal) bagian-bagiannya, pecahannya, akan berhamburan sehingga pusat massanya akan bergerak sepanjang lintasan yang sama.

Teorema tentang gerak pusat massa suatu sistem mekanik harus digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam mekanika yang membutuhkan:

Menurut gaya yang diterapkan pada sistem mekanis (paling sering pada benda padat), tentukan hukum gerak pusat massa;

Oleh hukum yang diberikan pergerakan benda yang termasuk dalam sistem mekanis, temukan reaksi ikatan eksternal;

Berdasarkan gerak timbal balik yang diberikan dari benda-benda yang termasuk dalam sistem mekanis, tentukan hukum gerak benda-benda ini relatif terhadap beberapa kerangka acuan tetap.

Dengan menggunakan teorema ini, salah satu persamaan gerak sistem mekanis dengan beberapa derajat kebebasan dapat disusun.

Saat memecahkan masalah, konsekuensi dari teorema pada gerak pusat massa sering digunakan sistem mekanik.

Akibat wajar 1. Jika vektor utama gaya eksternal yang diterapkan pada sistem mekanis, nol, maka pusat massa sistem dalam keadaan diam atau bergerak lurus dan beraturan. Karena percepatan pusat massa adalah nol, .

Akibat wajar 2. Jika proyeksi vektor utama gaya eksternal pada sumbu apa pun sama dengan nol, maka pusat massa sistem tidak mengubah posisinya relatif terhadap sumbu ini, atau bergerak secara seragam relatif terhadapnya.

Misalnya, jika dua gaya mulai bekerja pada tubuh, membentuk sepasang gaya (Gbr. 38), maka pusat massa DARI itu akan bergerak di sepanjang lintasan yang sama. Dan tubuh itu sendiri akan berputar di sekitar pusat massa. Dan tidak masalah di mana beberapa kekuatan diterapkan.

Omong-omong, dalam statika kami membuktikan bahwa efek pasangan pada benda tidak bergantung pada tempat penerapannya. Di sini kami telah menunjukkan bahwa rotasi tubuh akan berada di sekitar sumbu pusat DARI.

Gbr.38

Teorema tentang perubahan momen kinetik.

Momen kinetik sistem mekanik relatif terhadap pusat tetap HAI adalah ukuran gerak sistem di sekitar pusat ini. Saat memecahkan masalah, biasanya bukan vektor itu sendiri yang digunakan, tetapi proyeksinya pada sumbu sistem koordinat tetap, yang disebut momen kinetik terhadap sumbu. Misalnya, - momen kinetik sistem relatif terhadap sumbu tetap Ons .

Momentum sistem mekanik adalah jumlah dari momentum poin dan badan termasuk dalam sistem ini. Pertimbangkan cara untuk menentukan momentum sudut poin materi dan tubuh yang kokoh berbagai kesempatan gerakan mereka.

Untuk titik material dengan massa yang memiliki kecepatan, momentum sudut terhadap beberapa sumbu Ons didefinisikan sebagai momen vektor momentum dari titik ini terhadap sumbu yang dipilih:

Momentum sudut suatu titik dianggap positif jika, dari sisi arah sumbu positif, pergerakan titik terjadi berlawanan arah jarum jam.

Jika sebuah titik membuat gerakan kompleks, untuk menentukan momentum sudutnya, vektor momentum harus dianggap sebagai jumlah dari jumlah gerakan relatif dan translasi (Gbr. 41)

Tapi , di mana adalah jarak dari titik ke sumbu rotasi, dan

Beras. 41

Komponen kedua dari vektor momentum sudut dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti momen gaya terhadap sumbu. Adapun momen gaya bernilai nol jika vektor kecepatan relatif terletak pada bidang yang sama dengan sumbu rotasi translasi.

Momen kinetik benda tegar relatif terhadap pusat tetap dapat didefinisikan sebagai jumlah dari dua komponen: yang pertama mencirikan bagian translasi dari gerak benda bersama dengan pusat massanya, yang kedua mencirikan gerakan sistem di sekitar pusat massa:

Jika benda melakukan gerak translasi, maka komponen kedua sama dengan nol

Momen kinetik benda tegar paling sederhana dihitung ketika berputar di sekitar sumbu tetap

dimana adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi.

Teorema tentang perubahan momentum sudut sistem mekanik saat bergerak di sekitar pusat tetap dirumuskan sebagai berikut: total waktu turunan dari vektor momentum sudut sistem mekanik terhadap beberapa pusat tetap HAI besar dan arahnya sama dengan momen utama gaya eksternal yang diterapkan pada sistem mekanis, yang didefinisikan relatif terhadap pusat yang sama

di mana - Titik utama semua kekuatan eksternal tentang pusat HAI.

Ketika memecahkan masalah di mana benda dianggap berputar di sekitar sumbu tetap, mereka menggunakan teorema tentang perubahan momentum sudut relatif terhadap sumbu tetap

Adapun teorema tentang gerak pusat massa, teorema tentang perubahan momentum sudut memiliki konsekuensi.

Akibat wajar 1. Jika momen utama semua gaya eksternal relatif terhadap beberapa pusat tetap sama dengan nol, maka momen kinetik sistem mekanis relatif terhadap pusat ini tetap tidak berubah.

Akibat wajar 2. Jika momen utama semua gaya luar terhadap beberapa sumbu tetap sama dengan nol, maka momen kinetik sistem mekanis terhadap sumbu ini tetap tidak berubah.

Teorema perubahan momentum digunakan untuk memecahkan masalah di mana gerakan sistem mekanis dipertimbangkan, yang terdiri dari benda pusat yang berputar di sekitar sumbu tetap, dan satu atau lebih benda, yang gerakannya terkait dengan pusat.Komunikasi dapat dilakukan dengan menggunakan ulir, benda dapat bergerak di sepanjang permukaan benda pusat atau di salurannya karena kekuatan internal. Dengan menggunakan teorema ini, seseorang dapat menentukan ketergantungan hukum rotasi tubuh pusat pada posisi atau gerakan tubuh yang tersisa.

Gerak bidang dan sifat-sifatnya. Contoh gerakan. Klasifikasi gerakan. Kelompok gerakan. Menerapkan gerak untuk pemecahan masalah

Lalu lintas- ini adalah transformasi angka, di mana jarak antara titik dipertahankan. Jika dua angka digabungkan secara tepat satu sama lain melalui gerakan, maka angka-angka ini sama, sama.

Lalu lintas adalah transformasi bijektif dari bidang , di mana untuk setiap titik yang berbeda X, Y relasi XY φ(X)φ(Y) dipenuhi.

Sifat gerakan:

1. Komposisi φ ◦ ψ dua gerakan ψ , φ adalah sebuah gerakan.

Dok-in: Biarkan sosok itu F diterjemahkan oleh gerakan ψ menjadi sosok F ', dan sosoknya F ' diterjemahkan dengan gerakan φ menjadi sosok F ''. Biar intinya X angka F langsung ke intinya X ' bentuk F ' , dan selama gerakan kedua, intinya X ' bentuk F ' menuju titik X '' bentuk' F ''. Kemudian transformasi gambar F menjadi sosok F '', di mana titik sewenang-wenang X angka F langsung ke intinya X '' bentuk' F '', mempertahankan jarak antara titik, dan karena itu juga merupakan gerakan.

Perekaman lagu selalu dimulai dari gerakan terakhir, karena hasil komposisi adalah gambar akhir - ditempatkan sesuai dengan aslinya: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Jika φ – gerakan, lalu transformasi -1 juga merupakan gerakan.

Dok-in: Biarkan transformasi bentuk F menjadi sosok F ' menerjemahkan berbagai titik angka F di berbagai titik pada gambar F '. Biarkan titik sewenang-wenang X angka F di bawah transformasi ini menuju suatu titik X ' bentuk F ’.

Transformasi bentuk F ' menjadi sosok F , di mana titik X ' menuju titik X , disebut transformasi invers dari . Untuk setiap gerakan φ adalah mungkin untuk menentukan gerakan terbalik, yang dilambangkan -1 .

Dengan demikian, transformasi gerak mundur, juga merupakan gerakan.

Jelas bahwa transformasi -1 memenuhi persamaan: f◦f-1 = f-1◦f = ε , di mana ε adalah tampilan yang identik.

3. Keterkaitan komposisi: Misalkan 1 , 2 , 3 – gerakan sukarela. Maka 1 (φ 2 φ 3) = (φ 1 2)◦φ 3 .

Fakta bahwa komposisi gerakan memiliki sifat asosiatif memungkinkan kita untuk menentukan derajat φ Dengan indikator alami n .

Mari kita taruh 1= φ dan n +1= n◦ φ , jika n≥ 1 . Dengan demikian gerakan n diperoleh oleh n -banyak aplikasi yang konsisten gerakan φ .

4. Pelestarian kelurusan: Titik-titik yang terletak pada satu garis lurus, ketika bergerak, melewati titik-titik yang terletak pada satu garis lurus, dan urutan posisi relatifnya dipertahankan.

Ini berarti bahwa jika poin SEBUAH ,B ,C berbaring pada satu garis lurus (titik seperti itu disebut collinear), pergi ke titik 1 ,B1 ,C1 , maka titik-titik ini juga terletak pada garis; jika titik B terletak di antara titik-titik SEBUAH dan C , maka intinya B1 terletak di antara titik-titik 1 dan C1 .

Dokter. Biar intinya B lurus AC terletak di antara titik-titik SEBUAH dan C . Mari kita buktikan bahwa poin 1 ,B1 ,C1 berbaring di baris yang sama.

Jika poin 1 ,B1 ,C1 tidak terletak pada satu garis lurus, maka mereka adalah simpul dari beberapa segitiga A 1 B 1 C 1 . Itu sebabnya A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Dengan definisi gerak, maka AC <AB +SM .

Namun, dengan sifat mengukur segmen AC =AB +SM .

Kami telah sampai pada kontradiksi. Jadi intinya B1 terletak di antara titik-titik 1 dan C1 .

Katakanlah intinya 1 terletak di antara titik-titik B1 , dan C1 . Kemudian A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , dan karenanya AB +AC =SM . Tapi ini bertentangan dengan kesetaraan. AB +SM =AC .

Jadi, titik 1 tidak terletak di antara titik B1 , dan C1 .

Hal ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama bahwa titik C1 tidak bisa berbohong di antara titik-titik 1 dan B1 . Karena dari tiga poin 1 ,B1 ,C1 satu terletak di antara dua lainnya, maka titik ini hanya bisa B1 . Teorema terbukti sepenuhnya.

Konsekuensi. Ketika bergerak, garis lurus dipetakan ke garis lurus, sinar ke sinar, segmen ke segmen, dan segitiga ke segitiga yang sama.

Jika kita menyatakan dengan X himpunan titik-titik bidang, dan dengan (X) gambar himpunan X di bawah gerakan , yaitu. himpunan semua titik berbentuk (x), di mana x X, maka kita dapat memberikan rumusan yang lebih tepat untuk sifat ini:

Biarkan menjadi gerakan, A, B, C tiga titik collinear yang berbeda.

Maka titik-titik (A), (B), (C) juga kolinear.

Jika l adalah garis, maka (l) juga merupakan garis.

Jika himpunan X adalah sinar (segmen, setengah bidang), maka himpunan (X) juga merupakan sinar (segmen, setengah bidang).

5. Saat bergerak, sudut antara balok dipertahankan.

Dokter. Membiarkan AB dan AC - dua sinar yang memancar dari suatu titik SEBUAH tidak terletak pada garis lurus yang sama. Saat bergerak, sinar ini berubah menjadi beberapa setengah garis (sinar) A 1 B 1 dan A 1 C 1 . Karena gerak mempertahankan jarak, maka segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah sama menurut kriteria ketiga untuk persamaan segitiga (jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga ini sama). Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan sudut BACA dan B 1 A 1 C 1 , yang harus dibuktikan.

6. Setiap gerakan mempertahankan arah sinar bersama dan orientasi bendera yang sama.

sinar l A dan l B ditelepon searah(berorientasi serupa, sebutan: l A l B ) jika salah satunya terkandung dalam yang lain, atau jika digabungkan dengan transfer paralel. BenderaF = (π l , l o) adalah penyatuan setengah bidang l dan balok lihat.

Dot HAI - awal bendera, balok lihat mulai dari titik HAI - tiang bendera l - setengah bidang dengan batas aku .

Dokter. Membiarkan φ - gerakan sukarela l A l B -sinar codirectional dengan asal-usul di titik TETAPI dan PADA masing-masing. Mari kita perkenalkan notasi: l A1 = φ (l A ), 1 = φ (TETAPI ), l B1= φ (l B ),DALAM 1 = φ (TETAPI ). Jika sinar l A dan l B terletak pada garis lurus yang sama, maka, berdasarkan kodirectivitas, salah satunya terkandung dalam yang lain. Mengingat bahwa l A  l B , kita mendapatkan φ (l A )  φ (l B ), yaitu l A1 l B1 (simbol menunjukkan penyertaan atau kesetaraan subset elemen ke set elemen). Namun, jika, l A, l B berbaring di garis yang berbeda, lalu biarkan n = (AB ). Kemudian ada setengah bidang seperti itu n , Apa l A, l B  n . Dari sini φ (l A ),φ (l B ) φ (n ). Karena φ (n ) adalah setengah bidang, dan batasnya mengandung titik 1 dan DALAM 1 , kita kembali mendapatkan itu l A, l B diarahkan bersama.

Ayo terapkan gerakannya φ ke flag yang berorientasi identik F = (l ,l A ), G= (m ,m B ). Pertimbangkan kasus ketika poin SEBUAH dan B cocok. Jika lurus aku dan m berbeda, maka orientasi bendera yang sama berarti bahwa (1) l A m , m A  'l , atau (2) l A saya ,m A  l . Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa kondisi (1) terpenuhi. Kemudian φ (l A )  φ (m ), φ (m A )  φ ('l ). Ini menyiratkan orientasi yang sama dari bendera φ (F ) dan φ (G ).Jika langsung aku ,m cocok, lalu F=G atau F = G'. Oleh karena itu, bendera φ (F ) dan φ (G ) memiliki orientasi yang sama.

Biarkan sekarang titik SEBUAH dan B berbeda. Dilambangkan dengan n garis lurus ( AB ). Jelas bahwa ada sinar codirectional tidak ada dan nB dan setengah pesawat n sedemikian rupa sehingga bendera F 1 = (n, n A ) diarahkan bersama dengan F , dan bendera G 1 = (n , n B , ) diarahkan bersama dengan G. Cara φ (F ) dan φ (G ) berorientasi sama, teorema terbukti.

Contoh gerakan:

1) terjemahan paralel - transformasi gambar di mana semua titik gambar bergerak ke arah yang sama dengan jarak yang sama.

2) simetri terhadap garis lurus (simetri aksial atau cermin). transformasi σ angka F menjadi sosok F', di mana masing-masing titiknya X langsung ke intinya X', yang simetris terhadap garis yang diberikan aku, disebut transformasi simetri terhadap garis l. Pada saat yang sama, angka-angka F dan F' disebut simetris terhadap garis aku.

3) berbalik arah. Dengan memutar pesawat ρ sekitar titik ini HAI disebut gerakan di mana setiap sinar yang berasal dari titik ini berputar melalui sudut yang sama α ke arah yang sama

"Investigasi gerakan pesawat dan beberapa sifat mereka". halaman 21 dari 21

Investigasi gerakan pesawat

dan beberapa propertinya

Isi

Dari sejarah perkembangan teori gerak.

Pengertian dan sifat-sifat gerak.

Kesesuaian angka.

Jenis-jenis gerakan.

4.1. Pemindahan paralel.

4.2. Belok.

4.3. Simetri tentang garis lurus.

4.4. Simetri geser.

5. Studi sifat khusus simetri aksial.

6. Penyelidikan kemungkinan adanya jenis gerakan lain.

7. Teorema mobilitas. Dua macam gerakan.

8. Klasifikasi gerakan. teorema Chall.

Gerakan sebagai sekelompok transformasi geometris.

Penerapan gerakan dalam pemecahan masalah.

Literatur.

Sejarah perkembangan teori gerak.

Yang pertama mulai membuktikan beberapa proposisi geometris dianggap sebagai ahli matematika Yunani kuno Thales dari Miletus(625-547 SM). Berkat Thales, geometri mulai berubah dari seperangkat aturan praktis menjadi sains sejati. Sebelum Thales, bukti sama sekali tidak ada!

Bagaimana Thales melakukan pembuktiannya? Untuk tujuan ini, ia menggunakan gerakan.

Lalu lintas - ini adalah transformasi angka, di mana jarak antara titik dipertahankan. Jika dua angka digabungkan secara tepat satu sama lain melalui gerakan, maka angka-angka ini sama, sama.

Dengan cara inilah Thales membuktikan sejumlah teorema geometri pertama. Jika pesawat diputar sebagai satu kesatuan yang kaku di sekitar beberapa titik HAI 180 o, balok OA akan pergi ke kelanjutannya OA ’ . Dengan seperti itu berputar (disebut juga simetri pusat terpusat HAI ) setiap titik TETAPI bergerak ke satu titik TETAPI ’ , Apa HAI adalah titik tengah segmen A A ’ (Gbr. 1).

Gbr.1 Gbr.2

Membiarkan HAI - simpul umum dari sudut vertikal AOB dan TETAPI ’ OV ’ . Tetapi kemudian jelas bahwa ketika berbelok melalui 180 °, sisi salah satu dari dua sudut vertikal hanya akan melewati sisi yang lain, yaitu. kedua sudut ini sejajar. Ini berarti bahwa sudut vertikal sama (Gbr. 2).

Membuktikan persamaan sudut pada alas segitiga sama kaki, digunakan Thales simetri aksial : ia menggabungkan dua bagian segitiga sama kaki dengan menekuk gambar di sepanjang garis bagi sudut di puncak (Gbr. 3). Dengan cara yang sama, Thales membuktikan bahwa diameter membagi dua lingkaran.

Gbr.3 Gbr.4

Thales Terapan dan gerakan lain - transfer paralel , di mana semua titik pada gambar dipindahkan ke arah tertentu dengan jarak yang sama. Dengan bantuannya, ia membuktikan teorema yang sekarang menyandang namanya:

jika ruas-ruas yang sama disisihkan pada satu sisi sudut dan garis-garis sejajar ditarik melalui ujung-ujung ruas tersebut hingga berpotongan dengan sisi kedua sudut tersebut, maka ruas-ruas yang sama juga akan diperoleh pada sisi lain dari sudut tersebut.(Gbr. 4).

Pada zaman dahulu, ide gerakan juga digunakan oleh orang-orang terkenal Euclid, penulis "Awal" - sebuah buku yang telah bertahan lebih dari dua milenium. Euclid adalah kontemporer Ptolemy I, yang memerintah di Mesir, Suriah dan Makedonia dari 305-283 SM.

Gerakan secara implisit hadir, misalnya, dalam penalaran Euclid ketika membuktikan tanda-tanda persamaan segitiga: "Mari kita memaksakan satu segitiga pada yang lain dengan cara ini dan itu." Menurut Euclid, dua angka disebut sama jika mereka dapat "digabungkan" oleh semua titiknya, yaitu. dengan menggerakkan satu gambar sebagai satu kesatuan yang solid, seseorang dapat secara akurat menempatkannya pada gambar kedua. Bagi Euclid, gerakan belum merupakan konsep matematika. Sistem aksioma yang pertama kali dikemukakan olehnya dalam “Principles” menjadi dasar teori geometri yang disebut Geometri Euclidean.

Di zaman modern ini, perkembangan disiplin ilmu matematika terus berlanjut. Geometri analitik diciptakan pada abad ke-11. Profesor Matematika di Universitas Bologna Bonaventura Cavalieri(1598-1647) menerbitkan esai "Geometri, dinyatakan dengan cara baru dengan bantuan kontinu tak terpisahkan." Menurut Cavalieri, setiap bangun datar dapat dianggap sebagai sekumpulan garis paralel atau "jejak" yang ditinggalkan oleh sebuah garis ketika bergerak sejajar dengan dirinya sendiri. Demikian pula, sebuah ide diberikan tentang tubuh: mereka terbentuk selama pergerakan pesawat.

Perkembangan lebih lanjut dari teori gerak dikaitkan dengan nama matematikawan dan sejarawan sains Prancis Michel Chall(1793-1880). Pada tahun 1837, ia menerbitkan karya "Tinjauan sejarah tentang asal usul dan pengembangan metode geometris." Dalam proses penelitian geometrinya sendiri, Schall membuktikan teorema yang paling penting:

setiap gerakan mempertahankan orientasi dari sebuah pesawat adalah

translasi paralel atau rotasi,

setiap gerakan yang mengubah orientasi dari sebuah bidang adalah aksial

simetri atau simetri geser.

Pembuktian teorema Chall sepenuhnya dilakukan pada butir 8 abstrak ini.

Pengayaan penting yang dimiliki geometri pada abad ke-19 adalah penciptaan teori transformasi geometris, khususnya, teori matematika tentang gerak (perpindahan). Pada saat ini, ada kebutuhan untuk memberikan klasifikasi semua sistem geometrik yang ada. Masalah ini diselesaikan oleh seorang ahli matematika Jerman Christian Felix Klein(1849-1925).

Pada tahun 1872, dengan asumsi jabatan profesor di Universitas Erlangen, Klein memberikan kuliah tentang "Tinjauan Komparatif Penelitian Geometris Terbaru". Gagasan yang diajukan olehnya untuk memikirkan kembali semua geometri berdasarkan teori gerak disebut "Program Erlangen".

Menurut Klein, untuk membangun geometri tertentu, Anda perlu menentukan satu set elemen dan sekelompok transformasi. Tugas geometri adalah mempelajari hubungan-hubungan antara unsur-unsur yang tetap invarian di bawah semua transformasi kelompok tertentu. Misalnya, geometri Euclid mempelajari sifat-sifat figur yang tetap tidak berubah selama gerakan. Dengan kata lain, jika satu angka diperoleh dari yang lain dengan gerakan (angka seperti itu disebut kongruen), maka angka-angka ini memiliki persamaan yang sama. sifat geometris.

Dalam pengertian ini, gerakan membentuk dasar geometri, dan lima aksioma keselarasan dipilih oleh kelompok independen dalam sistem aksioma geometri modern. Sistem aksioma yang lengkap dan cukup ketat ini, yang merangkum semua penelitian sebelumnya, diusulkan oleh ahli matematika Jerman. David Gilbert(1862-1943). Sistem dua puluh aksiomanya, dibagi menjadi lima kelompok, pertama kali diterbitkan pada tahun 1899 dalam buku "Dasar Geometri".

Pada tahun 1909 seorang matematikawan Jerman Friedrich Schur(1856-1932), mengikuti ide-ide Thales dan Klein, mengembangkan sistem aksioma geometri lainnya - berdasarkan pertimbangan gerakan. Dalam sistemnya, khususnya, alih-alih kelompok aksioma keselarasan Hilbert, kelompok tiga aksioma gerak.

Jenis dan beberapa sifat penting dari gerakan dibahas secara rinci dalam esai ini, tetapi secara singkat dapat diungkapkan sebagai berikut: gerakan membentuk kelompok yang mendefinisikan dan menentukan geometri Euclidean.

Pengertian dan sifat-sifat gerak.

Dengan menggeser setiap titik dari gambar ini dalam beberapa cara, gambar baru diperoleh. Dikatakan bahwa angka ini diperoleh transformasi dari yang satu ini. Transformasi dari satu gambar ke yang lain disebut gerakan jika mempertahankan jarak antara titik, yaitu. menerjemahkan setiap dua poin X dan kamu satu bentuk per titik X ’ dan kamu ’ sosok lain sehingga XY = X ’kamu ’.

Definisi. Transformasi bentuk yang menjaga jarak

antara titik disebut gerakan gambar ini.

! Komentar: konsep gerakan dalam geometri terhubung dengan gagasan perpindahan yang biasa. Tetapi jika, berbicara tentang perpindahan, kita membayangkan proses yang berkelanjutan, maka dalam geometri hanya posisi awal dan akhir (gambar) dari gambar yang akan menjadi masalah bagi kita. Pendekatan geometris ini berbeda dengan pendekatan fisik.

Saat bergerak, titik yang berbeda sesuai dengan gambar yang berbeda, dan setiap titik X satu angka dimasukkan ke dalam korespondensi dengan satu-satunya dot X ’ sosok lain. Jenis transformasi ini disebut satu-ke-satu atau bijektif.

Berkenaan dengan gerakan, alih-alih istilah "persamaan" angka (garis lurus, segmen, bidang, dll.), istilah ini digunakan "kesesuaian" dan simbol yang digunakan  . Simbol digunakan untuk menunjukkan kepemilikan.Dengan mengingat hal ini, kita dapat memberikan definisi yang lebih tepat tentang gerakan:

Gerak adalah transformasi bijektif dari bidang , di mana untuk setiap

berbagai titik X, Y є π hubungan XY  φ (X ) φ (kamu ).

Hasil dari eksekusi dua gerakan berturut-turut disebut komposisi. Jika gerakan dilakukan terlebih dahulu φ , diikuti dengan gerakan ψ , maka komposisi gerak tersebut dilambangkan dengan ψ ◦ φ .

Contoh paling sederhana dari gerakan adalah tampilan identitas (biasanya untuk menunjukkan - ε ), di mana setiap titik X , milik pesawat, titik ini sendiri dibandingkan, yaitu. ε (X ) = X .

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat penting dari gerakan.

C Properti 1.

Lemma 2. 1. Komposisiφ ◦ ψ dua gerakanψ , φ adalah sebuah gerakan.

Bukti.

Biarkan sosok itu F diterjemahkan oleh gerakan ψ menjadi sosok F ', dan sosoknya F ' diterjemahkan dengan gerakan φ menjadi sosok F ''. Biar intinya X angka F langsung ke intinya X ' bentuk F ' , dan selama gerakan kedua, intinya X ' bentuk F ' menuju titik X '' bentuk' F ''. Kemudian transformasi gambar F menjadi sosok F '', di mana titik sewenang-wenang X angka F langsung ke intinya X '' bentuk' F '', mempertahankan jarak antara titik, dan karena itu juga merupakan gerakan.

Perhatikan bahwa perekaman komposisi selalu dimulai dari gerakan terakhir, karena hasil komposisi adalah gambar akhir - ditempatkan sesuai dengan aslinya:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C Properti 2.

Lemma 2.2 . Jika sebuahφ – gerakan, lalu transformasiφ -1 juga merupakan gerakan.

Bukti.

Biarkan transformasi bentuk F menjadi sosok F ' menerjemahkan berbagai poin dari gambar F di berbagai titik pada gambar F '. Biarkan titik sewenang-wenang X angka F di bawah transformasi ini menuju suatu titik X ' bentuk F ’.

Transformasi bentuk F ' menjadi sosok F , di mana titik X ' menuju titik X , disebut transformasi terbalik dengan yang diberikan. Untuk setiap gerakan φ adalah mungkin untuk menentukan gerakan terbalik, yang dilambangkan φ -1 .

Berdebat mirip dengan bukti properti 1, kita dapat memverifikasi bahwa transformasi kebalikan dari gerakan juga merupakan gerakan.

Jelas bahwa transformasi φ -1 memenuhi persamaan:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , di mana ε adalah tampilan yang identik.

Properti 3 (asosiasi komposisi).

Lemma 2.3. Biarkan 1 , φ 2 , φ 3 - gerakan sukarela. Kemudian 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Fakta bahwa komposisi gerakan memiliki sifat asosiatif memungkinkan kita untuk menentukan derajat φ dengan indikator alami n .

Mari kita taruh φ 1 = φ dan φ n+1 = φ n ◦ φ , jika n ≥ 1 . Dengan demikian gerakan φ n diperoleh oleh n -beberapa aplikasi gerakan berurutan φ .

C Properti 4 (menjaga kelurusan).

Teorema 2. 1. Titik-titik terletak pada garis lurus yang sama, ketika bergerak, melewati titik-titik,

Lalu lintas tubuh di bawah pengaruh gravitasi

Kursus >> Fisika

Jenis lintasan mereka gerakan menegaskan peningkatan ... aero- dan hidrodinamika adalah belajar gerakan padatan dalam gas dan ... gesekan) adalah Properti cairan nyata tahan... laras dan pesawat terbang lengan cakrawala dibuat beberapa sudut, ...

Belajar distribusi konduktivitas listrik dalam gelombang detonasi terkompresi dalam bahan peledak kental

Pekerjaan diploma >> Kimia

... riset elektrofisika properti... hasil dan mereka analisis 2.1 ... produk detonasi di pesawat terbang Chapman-Jouguet ... memungkinkan Anda untuk menghitung lalu lintas elektron semi klasik. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O beberapa kesalahan sistematis saat mengukur konduktivitas...

Properti bahan teknik (2)

Kerja Praktek >> Industri, produksi

BAGIAN I Baja struktural dan paduannya Baja struktural adalah baja yang dimaksudkan untuk pembuatan bagian-bagian mesin (baja bangunan mesin), struktur dan struktur (baja konstruksi). Baja Struktural Karbon Baja Struktur...

Pergerakan menjaga jarak dan karena itu mempertahankan semua sifat geometris dari angka, karena mereka ditentukan oleh jarak. Pada titik ini, kita akan mendapatkan hasil maksimal properti Umum gerakan, mengutip bukti dalam kasus di mana tidak jelas.

Properti 1. Tiga titik terletak pada garis lurus yang sama, ketika bergerak, masuk ke tiga titik yang terletak pada garis lurus yang sama, dan tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, menjadi tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Biarkan gerakan menerjemahkan poin menjadi poin, maka persamaan berlaku

Jika titik A, B, C terletak pada garis lurus yang sama, maka salah satunya, misalnya, titik B terletak di antara dua lainnya. Dalam hal ini dan dari persamaan (1) maka . Dan persamaan ini berarti bahwa titik B terletak di antara titik A dan C. Pernyataan pertama terbukti. Yang kedua mengikuti dari yang pertama dan reversibilitas gerakan (dengan kontradiksi).

Properti 2. Sebuah segmen diubah menjadi segmen dengan gerakan.

Biarkan ujung-ujung segmen AB dihubungkan oleh gerak f dengan titik A dan B. Ambil sembarang titik X dari segmen AB. Kemudian, seperti pada pembuktian sifat 1, dapat ditentukan bahwa bayangannya - suatu titik terletak pada ruas AB antara titik A dan B. Selanjutnya, setiap titik

Y dari segmen A B adalah bayangan dari beberapa titik Y dari segmen AB. Yaitu, titik Y, yang dipindahkan dari titik A pada jarak A Y. Oleh karena itu, segmen AB dipindahkan dengan gerakan ke segmen AB.

Properti 3. Saat bergerak, sinar menjadi sinar, garis lurus - menjadi garis lurus.

Buktikan sendiri pernyataan-pernyataan ini. Properti 4. Segitiga diterjemahkan menjadi segitiga dengan gerakan, setengah bidang menjadi setengah bidang, bidang menjadi bidang, bidang paralel- di bidang paralel.

Segitiga ABC diisi dengan ruas-ruas yang menghubungkan simpul A dengan titik X sisi yang berlawanan SM (Gbr. 26.1). Gerakan akan menetapkan segmen BC beberapa segmen BC dan ke titik A - titik A, tidak terletak pada garis BC. Untuk setiap segmen AX, gerakan ini akan menetapkan segmen AX, di mana titik X terletak pada BC. Semua segmen AX ini akan mengisi segitiga ABC.

Segitiga masuk ke dalamnya

Setengah bidang dapat direpresentasikan sebagai penyatuan segitiga yang berkembang tak terbatas, di mana satu sisi terletak pada batas setengah bidang

(Gbr. 26.2). Oleh karena itu, setengah bidang akan pergi ke setengah bidang saat bergerak.

Demikian pula, sebuah bidang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari segitiga-segitiga yang mengembang tak terhingga (Gbr. 26.3). Oleh karena itu, ketika bergerak, sebuah pesawat dipetakan ke sebuah pesawat.

Karena gerakan mempertahankan jarak, jarak antar gambar tidak berubah saat bergerak. Dari sini dapat disimpulkan, khususnya, bahwa selama gerakan, bidang-bidang paralel masuk ke bidang-bidang paralel.

Sifat 5. Ketika bergerak, bayangan tetrahedron adalah tetrahedron, bayangan setengah ruang adalah setengah ruang, bayangan ruang adalah seluruh ruang.

Tetrahedron ABCD adalah gabungan ruas garis yang menghubungkan titik D dengan semua titik yang mungkin X segitiga ABC(Gbr. 26.4). Saat bergerak, segmen dipetakan ke segmen, dan karenanya tetrahedron akan berubah menjadi tetrahedron.

Setengah ruang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari tetrahedra yang mengembang yang alasnya terletak pada bidang batas setengah ruang. Oleh karena itu, ketika bergerak, bayangan setengah ruang akan menjadi setengah ruang.

Ruang dapat dianggap sebagai gabungan dari tetrahedra yang mengembang tanpa batas. Oleh karena itu, ketika bergerak, ruang dipetakan ke semua ruang.

Properti 6. Saat bergerak, sudut dipertahankan, yaitu, setiap sudut dipetakan ke sudut dengan jenis yang sama dan besaran yang sama. Hal yang sama berlaku untuk sudut dihedral.

Saat bergerak, setengah bidang dipetakan ke setengah bidang. Karena sudut cembung adalah perpotongan dua setengah bidang, dan sudut tidak cembung dan sudut dihedral adalah gabungan setengah bidang, maka ketika bergerak, sudut cembung masuk ke sudut cembung, dan sudut tidak cembung

sudut dan sudut dihedral, masing-masing, menjadi sudut noncembung dan dihedral.

Biarkan sinar a dan b yang memancar dari titik O dipetakan ke sinar a dan b yang memancar dari titik O. Ambil segitiga OAB dengan simpul A pada sinar a dan B pada sinar b (Gbr. 26.5) . Ini akan muncul di segitiga sama BAB dengan simpul A pada sinar a dan B pada sinar b. Jadi, sudut antara sinar a, b dan a, b sama besar. Oleh karena itu, ketika bergerak, besar sudut dipertahankan.

Akibatnya, tegak lurus garis lurus, dan karenanya garis dan bidang, dipertahankan. Mengingat definisi sudut antara garis lurus dan bidang dan besarannya sudut dihedral, kami menemukan bahwa nilai-nilai sudut ini dipertahankan.

Properti 7. Pergerakan mempertahankan luas permukaan dan volume tubuh.

Memang, karena gerakan mempertahankan tegak lurus, gerakan ketinggian (segitiga, tetrahedra, prisma, dll.) diterjemahkan menjadi ketinggian (gambar segitiga ini, tetrahedra, prisma, dll.). Dalam hal ini, panjang ketinggian ini akan dipertahankan. Oleh karena itu, luas segitiga dan volume tetrahedra dipertahankan selama gerakan. Ini berarti bahwa luas poligon dan volume polihedra akan dipertahankan. Luas permukaan melengkung dan volume benda yang dibatasi oleh permukaan tersebut diperoleh batasi transisi pada bidang permukaan polihedral dan volume badan polihedral. Karena itu, mereka dipertahankan selama gerakan.