Dalam membuktikan sifat-sifat limit suatu fungsi, kami memastikan bahwa tidak ada yang benar-benar diperlukan dari lingkungan bocor di mana fungsi kami didefinisikan dan yang muncul selama pembuktian, kecuali untuk sifat-sifat yang ditunjukkan dalam pengantar paragraf sebelumnya. 2. Keadaan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk memilih objek matematika berikut.

sebuah. Basis; definisi dan contoh utama

Definisi 11. Suatu himpunan B dari himpunan bagian dari himpunan X akan disebut basis dalam himpunan X jika dua kondisi terpenuhi:

Dengan kata lain, elemen dari himpunan B adalah himpunan tak kosong, dan perpotongan dari keduanya berisi beberapa elemen dari koleksi yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa dasar yang paling umum digunakan dalam analisis.

Jika kemudian sebaliknya mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung ke a dari kanan atau dari sisi nilai besar (masing-masing, dari kiri atau dari sisi nilai yang lebih kecil). Ketika catatan pendek diterima alih-alih

Entri akan digunakan alih-alih Ini berarti bahwa a; cenderung di atas himpunan E ke a, tetap lebih besar (kurang) dari a.

kemudian sebaliknya mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung plus tak terhingga (masing-masing, hingga minus tak terhingga).

Notasi akan digunakan sebagai gantinya

Ketika alih-alih kita (jika ini tidak menyebabkan kesalahpahaman) kita akan menulis, seperti biasa dalam teori limit barisan,

Perhatikan bahwa semua alas yang terdaftar memiliki ciri bahwa perpotongan dua elemen alas itu sendiri merupakan elemen dari alas ini, dan tidak hanya berisi beberapa elemen alas. Kami akan bertemu dengan basis lain ketika mempelajari fungsi yang tidak diberikan pada sumbu nyata.

Kami juga mencatat bahwa istilah "basis" yang digunakan di sini adalah sebutan singkat dari apa yang disebut "dasar filter" dalam matematika, dan batas dasar yang diperkenalkan di bawah ini adalah bagian paling penting untuk analisis konsep batas filter yang dibuat oleh bahasa Prancis modern. matematikawan A. Cartan

b. Batas fungsi dasar

Definisi 12. Membiarkan menjadi fungsi pada himpunan X; B adalah basa di X. Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi terhadap basis B jika untuk sembarang tetangga dari titik A terdapat elemen alas yang bayangannya terdapat di lingkungan tersebut

Jika A adalah limit fungsi terhadap basis B, maka kita tulis

Mari kita ulangi definisi limit dengan basis dalam simbolisme logis:

Karena kita sekarang sedang mempertimbangkan fungsi dengan nilai numerik, akan berguna untuk mengingat bentuk definisi dasar berikut ini:

Dalam formulasi ini, alih-alih lingkungan sewenang-wenang V(A), kami mengambil lingkungan yang simetris (terhadap titik A) (e-neighborhood). Kesetaraan definisi ini untuk fungsi bernilai nyata mengikuti dari fakta bahwa, seperti yang telah disebutkan, setiap lingkungan dari suatu titik mengandung beberapa lingkungan simetris dari titik yang sama (lakukan bukti secara penuh!).

Kami telah memberikan definisi umum dari limit suatu fungsi terhadap basis. Di atas dianggap sebagai contoh dasar yang paling umum dalam analisis. Dalam masalah khusus di mana satu atau lain dari basis ini muncul, perlu untuk dapat menguraikan definisi umum dan menuliskannya untuk basis tertentu.

Mempertimbangkan contoh basis, kami, khususnya, memperkenalkan konsep lingkungan tak terhingga. Jika kita menggunakan konsep ini, maka sesuai dengan definisi umum dari limit, masuk akal untuk mengadopsi konvensi berikut:

atau, yang sama,

Biasanya, dengan cara nilai kecil. Dalam definisi di atas, tentu saja tidak demikian. Sesuai dengan konvensi yang diterima, misalnya, kita dapat menulis

Untuk dianggap terbukti dalam kasus umum limit atas basis sewenang-wenang, semua teorema pada limit yang kami buktikan di Bagian 2 untuk basis khusus , perlu untuk memberikan definisi yang sesuai: akhirnya konstan, akhirnya terbatas, dan sangat kecil untuk basis fungsi tertentu.

Definisi 13. Suatu fungsi disebut akhirnya konstan di basis B jika terdapat bilangan dan elemen basis tersebut, di sembarang titik di mana

Saat ini, manfaat utama dari pengamatan yang dilakukan dan konsep basis yang diperkenalkan sehubungan dengan itu adalah bahwa mereka menyelamatkan kita dari pemeriksaan dan bukti formal teorema limit untuk setiap jenis lintasan tertentu ke limit atau, dalam terminologi kita saat ini, untuk setiap basis tipe tertentu

Untuk akhirnya terbiasa dengan konsep batas atas basis sewenang-wenang, kami akan membuktikan sifat-sifat lebih lanjut dari limit suatu fungsi dalam bentuk umum.

bilangan konstan sebuah ditelepon membatasi urutan(x n ) jika untuk sembarang bilangan positif kecilε > 0 ada sejumlah N sedemikian rupa sehingga semua nilai x n, dimana n>N memenuhi pertidaksamaan

|x n - a|< ε. (6.1)

Tulis sebagai berikut: atau x n → sebuah.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-, a + ), yaitu jatuh ke dalam sekecil apa punε -lingkungan intinya sebuah.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari fungsi x n = f(n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Misalkan fungsi f(x) diberikan dan sebuah - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), mis. titik seperti itu, lingkungan mana pun yang berisi titik-titik himpunan D(f) yang berbeda dari sebuah. Dot sebuah mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan D(f).

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika untuk setiap urutan (x n ) dari nilai argumen yang cenderung sebuah, barisan yang bersesuaian (f(x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika, diberikan bilangan positif kecil sewenang-wenang, seseorang dapat menemukan seperti itu>0 (tergantung pada), yang untuk semua x berbaring di-lingkungan dari suatu bilangan sebuah, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak pada-lingkungan dari nomor A, yaitu.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa - “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x →memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

. (6.3)

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu sebuah, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk mencari limit dalam praktek, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batas ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya, rasio dua jumlah yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan batas semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian".

Teorema 2. (6.7)

itu. adalah mungkin untuk melewati batas di dasar derajat pada eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Akibat wajar dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

jika x → a dan pada saat yang sama x > a, maka tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 yang ditulis adalah +0. Demikian pula, jika x→a dan pada saat yang sama x a-0. angka dan diberi nama yang sesuai. batas kanan dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya sebuah. Agar limit fungsi f(x) ada sebagai x→a perlu dan cukup untuk . Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

,

yaitu, perjalanan ke limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan bahwa pada x = xo fungsi f(x) Memiliki celah. Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D(f), karena di salah satu tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi titik-titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut menerus di sebelah kanan pada suatu titik x o jika batas

,

dan kontinu di sebelah kiri pada suatu titik x o jika batas

.

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o ekuivalen dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga , dan kedua, batas ini sama dengan f(x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki celah.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f(x o), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) pada intinya xo punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, maka kita katakan bahwa di titik x o fungsi memiliki jeda jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x di x→ +0 memiliki batas yang sama dengan +∞, maka, pada titik x=0 ia memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari x) di titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu di setiap titik interval disebut kontinu di . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus menerus dari beberapa kuantitas mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, penggandaan bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya. I. Perelman, yang memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada saat ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 sarang. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun 100 sarang. unit tumbuh hingga 100× 1,5 \u003d 150, dan setelah enam bulan lagi - pada 150× 1,5 \u003d 225 (unit sarang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 » 237 (unit sarang). Kami akan meningkatkan jangka waktu untuk menambahkan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 sarang. unit setahun kemudian:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unit ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unit den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unit den.).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal bunga bergabung, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang sama dengan kira-kira 271. Modal ditempatkan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Keputusan.Kita perlu membuktikan bahwa apapunε > 0 kita ambil, karena ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan|xn-1|< ε.

Ambil sembarang e > 0. Sejak ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/e ). Dengan demikian kami membuktikan bahwa limit .

Contoh 3.2 . Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum .

Keputusan.Terapkan teorema jumlah limit dan temukan limit setiap suku. untuk n→ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat langsung diterapkan. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua n. Kemudian, dengan menerapkan teorema limit hasil bagi dan teorema limit jumlah, kita menemukan:

.

Contoh 3.3. . Mencari .

Keputusan. .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas alas.

Contoh 3.4 . Mencari ( ).

Keputusan.Tidak mungkin untuk menerapkan teorema limit perbedaan, karena kita memiliki ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus istilah umum:

.

Contoh 3.5 . Diberikan sebuah fungsi f(x)=2 1/x . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Kami menggunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam bentuk barisan. Ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, maka batasnya Ayo pilih sekarang sebagai x n barisan dengan suku yang sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6 . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana barisan (f(x n)) = (sin x n ) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n \u003d p n, maka sin x n \u003d sin p n = 0 untuk semua n dan batasi jika
xn=2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Dengan demikian tidak ada.

Widget untuk menghitung batas online

Di kotak atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang batasnya ingin Anda temukan. Di kotak bawah, masukkan angka yang cenderung x dan klik tombol Kalkulator, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika Anda mengklik Tampilkan langkah di sudut kanan atas di jendela hasil, Anda akan mendapatkan solusi terperinci.

Aturan masukan fungsi: kuadrat(x) - akar kuadrat, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: * perkalian, / pembagian, ^ eksponensial, bukan ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai kuadrat(tan(x/2)).

Biarkan fungsi y=ƒ(x) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik x o, kecuali, mungkin, untuk titik x o itu sendiri.

Mari kita rumuskan dua definisi ekuivalen dari limit suatu fungsi di suatu titik.

Definisi 1 (dalam "bahasa urutan", atau menurut Heine).

Angka A disebut limit fungsi y \u003d ƒ (x) dalam tungku x 0 (atau pada x® x o), jika untuk sembarang urutan nilai yang dapat diterima dari argumen x n, n N (x n ¹ x 0) konvergen ke x o urutan nilai yang sesuai dari fungsi (х n), n N, konvergen ke bilangan A

Dalam hal ini, tulis
atau (x)->A pada x→x o. Arti geometris dari limit suatu fungsi: berarti bahwa untuk semua titik x yang cukup dekat dengan titik x o, nilai-nilai yang bersesuaian dari fungsi tersebut sedikit berbeda dari angka A.

Definisi 2 (dalam "bahasa ", atau setelah Cauchy).

Bilangan A disebut limit fungsi di titik x o (atau di x→x o) jika untuk sembarang positif ada bilangan positif sehingga untuk semua x¹ x o memenuhi pertidaksamaan |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Arti geometris dari limit fungsi:

jika untuk setiap -lingkungan dari titik A ada -tetangga dari titik x o sedemikian rupa sehingga untuk semua x¹ ho dari -lingkungan ini nilai-nilai yang sesuai dari fungsi (x) terletak di -lingkungan dari titik A. Dengan kata lain, titik-titik dari grafik fungsi y = (x) terletak di dalam strip dengan lebar 2ε dibatasi oleh garis lurus y=A+ , y=A-ε (lihat Gambar 110) . Jelas, nilai tergantung pada pilihan , jadi kami menulis =δ(ε).

<< Пример 16.1

Buktikan itu

Solusi: Ambil sembarang >0, cari =δ(ε)>0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Mengambil =ε/2, kita melihat bahwa untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Batas satu sisi

Dalam definisi limit fungsi, dianggap bahwa x cenderung ke x 0 dengan cara apa pun: tersisa lebih kecil dari x 0 (di sebelah kiri x 0), lebih besar dari x o (di sebelah kanan x o), atau berfluktuasi sekitar titik x 0 .

Ada kasus ketika metode pendekatan argumen x ke xo secara signifikan mempengaruhi nilai limit fungsi. Oleh karena itu, konsep batas satu sisi diperkenalkan.

Bilangan A 1 disebut limit fungsi y \u003d ƒ (x) di sebelah kiri titik x o, jika untuk sembarang bilangan > 0 ada bilangan \u003d δ (ε)> 0 sehingga untuk x (x 0 -δ; x o), pertidaksamaan |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 atau secara singkat: (x o- 0) \u003d A 1 (notasi Dirichlet) (lihat Gambar 111).

Batas fungsi di sebelah kanan didefinisikan dengan cara yang sama, kami menulisnya menggunakan simbol:

Secara singkat, limit di sebelah kanan dilambangkan dengan (x o +0)=A.

Batas-batas suatu fungsi di kiri dan kanan disebut batas satu sisi. Jelas, jika ada, maka kedua batas satu sisi ada, dan A=A 1 =A 2 .

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika kedua limit (x 0 -0) dan (x 0 +0) ada dan sama, maka ada limit dan A \u003d (x 0 -0).

Jika A 1 A 2, maka lorong ini tidak ada.

16.3. Limit fungsi pada x ®

Biarkan fungsi y=ƒ(x) didefinisikan dalam interval (-∞;∞). Bilangan A disebut batas fungsi(x) pada x→ ∞ , jika untuk sembarang bilangan positif terdapat bilangan =М()>0 sehingga untuk semua yang memenuhi pertidaksamaan |х|>М pertidaksamaan |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Arti geometris dari definisi ini adalah sebagai berikut: untuk "ε>0 $ M>0, bahwa untuk x (-∞; -M) atau x (M; +∞) nilai yang sesuai dari fungsi ( x) jatuh ke dalam -lingkungan dari titik A , yaitu, titik-titik grafik terletak pada strip dengan lebar 2ε, dibatasi oleh garis lurus y \u003d A + dan y \u003d A-ε (lihat Gambar 112 ).

16.4. Fungsi besar tak terhingga (b.b.f.)

Fungsi y=ƒ(x) disebut besar tak hingga untuk x→x 0 jika untuk sembarang bilangan M>0 ada bilangan =δ(M)>0, yang untuk semua x memenuhi pertidaksamaan 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Misalnya, fungsi y=1/(x-2) adalah a b.b.f. di x->2.

Jika (x) cenderung tak hingga sebagai x→x o dan hanya mengambil nilai positif, maka kita tulis

jika hanya bernilai negatif, maka

Fungsi y \u003d (x), diberikan pada seluruh garis bilangan, disebut tak terbatas untuk x→∞, jika untuk sembarang bilangan M>0 ada bilangan N=N(M)>0 sehingga untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x|>N, pertidaksamaan |ƒ(x)|>M dipenuhi . Pendek:

Misalnya, y=2x memiliki b.b.f. di x→∞.

Perhatikan bahwa jika argumen , cenderung tak terhingga, hanya mengambil nilai natural, yaitu, N, maka b.b.f yang sesuai. menjadi barisan tak terhingga. Sebagai contoh, barisan v n =n 2 +1, n N, adalah barisan yang sangat besar. Jelas, setiap b.b.f. di lingkungan titik x o tidak terbatas di lingkungan ini. Kebalikannya tidak benar: fungsi tak terbatas mungkin bukan a b.b.f. (Misalnya, y=xsinx.)

Namun, jika limƒ(x)=A untuk x→x 0 , di mana A adalah bilangan terhingga, maka fungsi (x) dibatasi di sekitar titik x o.

Memang, dari definisi limit fungsi, maka untuk x → x 0 kondisi |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Hari ini di pelajaran kita akan menganalisis urutan yang ketat dan definisi yang ketat dari limit suatu fungsi, serta belajar bagaimana memecahkan masalah yang sesuai yang bersifat teoritis. Artikel ini ditujukan terutama untuk mahasiswa tahun pertama ilmu alam dan spesialisasi teknik yang telah mulai mempelajari teori analisis matematis dan mengalami kesulitan dalam memahami bagian matematika tingkat tinggi ini. Selain itu, materinya cukup mudah diakses oleh siswa SMA.

Selama bertahun-tahun keberadaan situs, saya menerima selusin surat yang tidak baik dengan isi kira-kira sebagai berikut: "Saya tidak mengerti analisis matematis dengan baik, apa yang harus saya lakukan?", "Saya tidak mengerti matan sama sekali, saya' saya berpikir untuk berhenti belajar,” dll. Memang, matan-lah yang sering menipiskan kelompok siswa setelah sesi pertama. Mengapa hal-hal seperti ini? Karena subjeknya sangat kompleks? Tidak semuanya! Teori analisis matematis tidak begitu sulit karena aneh. Dan Anda harus menerima dan mencintainya apa adanya =)

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sulit. Pertama dan terpenting, jangan putus sekolah. Pahami dengan benar, berhenti, itu akan selalu punya waktu ;-) Tentu saja, jika dalam satu atau dua tahun dari spesialisasi yang dipilih itu akan membuat Anda sakit, maka ya - Anda harus memikirkannya (dan tidak memukul demam!) tentang perubahan aktivitas. Tapi untuk saat ini layak untuk dilanjutkan. Dan, tolong, lupakan frasa "Saya tidak mengerti apa-apa" - Anda tidak mengerti apa-apa sama sekali.

Apa yang harus dilakukan jika teorinya buruk? Omong-omong, ini tidak hanya berlaku untuk analisis matematis. Jika teorinya buruk, maka pertama-tama Anda harus SERIUS berlatih. Pada saat yang sama, dua tugas strategis diselesaikan sekaligus:

– Pertama, sebagian besar pengetahuan teoretis telah muncul melalui praktik. Dan begitu banyak orang memahami teori melalui ... - itu benar! Tidak, tidak, Anda tidak memikirkan itu.

- Dan, kedua, keterampilan praktis sangat mungkin untuk "meregangkan" Anda dalam ujian, bahkan jika ..., tetapi jangan disetel seperti itu! Semuanya nyata dan semuanya benar-benar “terangkat” dalam waktu yang cukup singkat. Analisis matematika adalah bagian favorit saya dari matematika yang lebih tinggi, dan karena itu saya tidak bisa tidak membantu Anda:

Pada awal semester 1, batas urut dan batas fungsi biasanya lewat. Tidak mengerti apa itu dan tidak tahu bagaimana menyelesaikannya? Mulailah dengan sebuah artikel Batas Fungsi, di mana konsep itu sendiri dianggap "dengan jari" dan contoh paling sederhana dianalisis. Kemudian kerjakan pelajaran lain tentang topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan, di mana saya sebenarnya telah merumuskan definisi yang ketat.

Ikon apa selain tanda pertidaksamaan dan modulus yang Anda ketahui?

- tongkat vertikal panjang berbunyi seperti ini: “sehingga”, “sehingga”, “sedemikian rupa” atau “sedemikian rupa”, dalam kasus kami, jelas, kami berbicara tentang angka - oleh karena itu "sehingga";

- untuk semua "en" lebih besar dari ;

– tanda modul berarti jarak, yaitu entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antar nilai kurang dari epsilon.

Nah, apakah itu sangat sulit? =)

Setelah menguasai latihan, saya menunggu Anda di paragraf berikut:

Memang, mari kita berpikir sedikit - bagaimana merumuskan definisi urutan yang ketat? ... Hal pertama yang terlintas dalam pikiran dalam terang sesi praktik: "batas suatu barisan adalah bilangan yang mendekati tak terhingga anggota barisan tersebut."

Oke, mari kita menulis selanjutnya :

Sangat mudah untuk memahami itu selanjutnya mendekati tak hingga mendekati -1, dan suku genap - untuk "satuan".

Mungkin dua batas? Tetapi mengapa beberapa urutan tidak dapat memiliki sepuluh atau dua puluh dari mereka? Dengan begitu Anda bisa pergi jauh. Dalam hal ini, adalah logis untuk mengasumsikan bahwa jika barisan memiliki limit, maka barisan tersebut unik.

Catatan : barisan tidak memiliki batas, tetapi dua turunan dapat dibedakan darinya (lihat di atas), yang masing-masing memiliki batasnya sendiri.

Dengan demikian, definisi di atas ternyata tidak dapat dipertahankan. Ya, ini berfungsi untuk kasus seperti (yang tidak saya gunakan dengan benar dalam penjelasan sederhana tentang contoh-contoh praktis), tetapi sekarang kita perlu menemukan definisi yang ketat.

Percobaan kedua: “Batas suatu barisan adalah bilangan yang didekati oleh SEMUA anggota barisan, dengan pengecualian, mungkin, terakhir kuantitas." Ini lebih dekat dengan kebenaran, tetapi masih belum sepenuhnya akurat. Jadi, misalnya, urutannya setengah dari istilah tidak mendekati nol sama sekali - mereka sama dengan itu =) Omong-omong, "lampu berkedip" umumnya membutuhkan dua nilai tetap.

Rumusannya tidak sulit untuk dijelaskan, tetapi kemudian muncul pertanyaan lain: bagaimana cara menulis definisi dalam istilah matematika? Dunia ilmiah bergumul dengan masalah ini untuk waktu yang lama sampai situasinya terpecahkan. maestro terkenal, yang, pada dasarnya, memformalkan analisis matematika klasik dengan segala ketelitiannya. Cauchy menawarkan untuk beroperasi lingkungan yang sangat memajukan teori.

Pertimbangkan beberapa hal dan itu sewenang-wenang-lingkungan:

Nilai "epsilon" selalu positif, dan terlebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri. Asumsikan bahwa lingkungan yang diberikan berisi satu set istilah (belum tentu semua) beberapa urutan. Bagaimana menuliskan fakta bahwa, misalnya, istilah kesepuluh jatuh ke lingkungan? Biarkan itu di sisi kanannya. Maka jarak antara titik dan harus kurang dari "epsilon": . Namun, jika "x kesepuluh" terletak di sebelah kiri titik "a", maka selisihnya akan negatif, dan oleh karena itu tanda harus ditambahkan padanya. modul: .

Definisi: suatu bilangan disebut limit suatu barisan jika untuk apa saja sekitarnya (dipilih sebelumnya) ada bilangan asli - SEPERTI itu SEMUA anggota urutan dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan:

Atau lebih pendek: jika

Dengan kata lain, tidak peduli seberapa kecil nilai "epsilon" yang kita ambil, cepat atau lambat "ekor tak terbatas" dari barisan akan SEPENUHNYA berada di lingkungan ini.

Jadi, misalnya, "ekor tak terbatas" dari urutan SEPENUHNYA masuk ke setiap lingkungan kecil sewenang-wenang dari titik . Jadi, nilai ini adalah limit dari barisan menurut definisi. Saya mengingatkan Anda bahwa barisan yang batasnya nol disebut kecil sekali.

Perlu dicatat bahwa untuk urutan tidak mungkin lagi mengatakan "ekor tak terbatas" akan datang”- anggota dengan bilangan ganjil sebenarnya sama dengan nol dan “jangan kemana-mana” =) Itulah sebabnya kata kerja “akan berakhir” digunakan dalam definisi. Dan, tentu saja, anggota urutan seperti itu juga "tidak pergi ke mana pun." Omong-omong, periksa apakah jumlahnya akan menjadi batasnya.

Mari kita tunjukkan bahwa barisan tidak memiliki batas. Pertimbangkan, misalnya, lingkungan titik . Cukup jelas bahwa tidak ada nomor seperti itu, setelah itu ALL anggota akan berada di lingkungan ini - anggota ganjil akan selalu "melompat" ke "minus satu". Untuk alasan yang sama, tidak ada batasan pada intinya.

Perbaiki materi dengan latihan:

Contoh 1

Buktikan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Tunjukkan nomor , setelah itu semua anggota barisan dijamin berada di dalam sembarang lingkungan kecil dari titik tersebut .

Catatan : untuk banyak barisan, bilangan asli yang diinginkan bergantung pada nilai - maka notasinya .

Keputusan: mempertimbangkan sewenang-wenang akankah ada nomor - sehingga SEMUA anggota dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan ini:

Untuk menunjukkan adanya bilangan yang diperlukan , kita nyatakan dalam bentuk .

Karena untuk sembarang nilai "en", maka tanda modulus dapat dihilangkan:

Kami menggunakan tindakan "sekolah" dengan ketidaksetaraan yang saya ulangi dalam pelajaran Pertidaksamaan linier dan Lingkup fungsi. Dalam hal ini, keadaan penting adalah bahwa "epsilon" dan "en" positif:

Karena di sebelah kiri kita berbicara tentang bilangan asli, dan ruas kanan umumnya pecahan, maka perlu dibulatkan:

Catatan : kadang ada penambahan unit di sebelah kanan untuk reasuransi, tapi nyatanya ini berlebihan. Secara relatif, jika kita juga memperlemah hasilnya dengan pembulatan ke bawah, maka bilangan terdekat yang sesuai (“tiga”) akan tetap memenuhi pertidaksamaan semula.

Dan sekarang kami melihat ketidaksetaraan dan ingat bahwa pada awalnya kami mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan, mis. "epsilon" bisa sama dengan siapa pun nomor positif.

Kesimpulan: untuk sembarang kecil -tetangga titik, nilainya . Jadi, suatu bilangan adalah limit suatu barisan menurut definisi. Q.E.D.

Omong-omong, dari hasilnya sebuah pola alami terlihat jelas: semakin kecil -neighborhood, semakin besar angkanya setelah itu SEMUA anggota barisan akan berada di lingkungan ini. Tapi tidak peduli seberapa kecil "epsilon", akan selalu ada "ekor tak terbatas" di dalam, dan di luar - meskipun besar, namun terakhir jumlah anggota.

Bagaimana impresinya? =) Saya setuju bahwa itu aneh. Tapi ketat! Silakan baca ulang dan pikirkan lagi.

Pertimbangkan contoh serupa dan kenali teknik lain:

Contoh 2

Keputusan: dengan definisi barisan, perlu dibuktikan bahwa (Bicaralah dengan lantang!!!).

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan titik dan cek, apakah itu ada? bilangan asli - sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, pertidaksamaan berikut berlaku:

Untuk menunjukkan keberadaan seperti itu , Anda perlu mengekspresikan "en" melalui "epsilon". Kami menyederhanakan ekspresi di bawah tanda modul:

Modul menghancurkan tanda minus:

Penyebutnya positif untuk setiap "en", oleh karena itu, tongkat dapat dilepas:

mengacak:

Sekarang kita harus mengambil akar kuadrat, tetapi tangkapannya adalah bahwa untuk beberapa "epsilon" sisi kanan akan negatif. Untuk menghindari masalah ini mari kita kuatkan modulus pertidaksamaan:

Mengapa ini bisa dilakukan? Jika, secara relatif, ternyata , maka kondisinya akan lebih terpenuhi. Modul dapat hanya meningkatkan ingin nomor , dan itu akan cocok untuk kita juga! Secara kasar, jika yang keseratus cocok, maka yang ke dua ratus akan berhasil! Menurut definisi, Anda perlu menunjukkan keberadaan nomor itu sendiri(setidaknya beberapa), setelah itu semua anggota urutan akan berada di -neighbourhood. Omong-omong, itu sebabnya kami tidak takut dengan pembulatan terakhir dari sisi kanan ke atas.

Mengekstrak akar:

Dan bulatkan hasilnya:

Kesimpulan: karena nilai "epsilon" dipilih secara sewenang-wenang, kemudian untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari titik, nilainya , sehingga pertidaksamaan . Dengan demikian, a-prioritas. Q.E.D.

saya menyarankan khususnya memahami penguatan dan pelemahan ketidaksetaraan - ini adalah metode analisis matematika yang khas dan sangat umum. Satu-satunya hal yang Anda butuhkan untuk memantau kebenaran tindakan ini atau itu. Jadi, misalnya, pertidaksamaan dengan tidak bermaksud melonggarkan, mengurangkan, katakanlah, satu:

Sekali lagi, bersyarat: jika nomornya pas, maka yang sebelumnya mungkin tidak cocok lagi.

Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri:

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi barisan, buktikan bahwa

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Jika urutannya luar biasa hebat, maka definisi limit dirumuskan dengan cara yang sama: suatu titik disebut limit suatu barisan jika untuk sembarang, besar sewenang-wenang ada angka sedemikian rupa sehingga untuk semua angka yang lebih besar , ketidaksetaraan akan terpenuhi. Nomor tersebut disebut lingkungan titik "ditambah tak terhingga":

Dengan kata lain, tidak peduli seberapa besar nilai yang kita ambil, "ekor tak terhingga" dari deret akan selalu masuk ke -tetangga titik , hanya menyisakan sejumlah suku terhingga di sebelah kiri.

Contoh kerja:

Dan notasi yang disingkat: jika

Untuk kasus ini, tulis sendiri definisinya. Versi yang benar ada di akhir pelajaran.

Setelah Anda "mengisi" tangan Anda dengan contoh-contoh praktis dan menemukan definisi limit barisan, Anda dapat beralih ke literatur tentang analisis matematika dan / atau buku catatan Anda dengan kuliah. Saya sarankan mengunduh volume pertama Bohan (lebih mudah - untuk siswa paruh waktu) dan Fikhtengoltz (lebih detail dan teliti). Dari penulis lain, saya menyarankan Piskunov, yang kursusnya difokuskan pada universitas teknis.

Cobalah untuk mempelajari teorema yang berkaitan dengan batas barisan, buktinya, konsekuensinya dengan cermat. Pada awalnya, teorinya mungkin tampak "berawan", tetapi ini normal - hanya perlu membiasakan diri. Dan banyak yang bahkan akan merasakannya!

Definisi ketat dari limit suatu fungsi

Mari kita mulai dengan hal yang sama - bagaimana merumuskan konsep ini? Definisi verbal limit suatu fungsi dirumuskan lebih sederhana: “suatu bilangan adalah limit suatu fungsi, jika dengan “x” cenderung (baik kiri dan kanan), nilai fungsi yang sesuai cenderung » (lihat gambar). Semuanya tampak normal, tetapi kata-kata adalah kata-kata, makna adalah makna, ikon adalah ikon, dan notasi matematika yang ketat tidak cukup. Dan di paragraf kedua, kita akan berkenalan dengan dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

Biarkan fungsi didefinisikan pada beberapa interval kecuali, mungkin, untuk titik . Dalam literatur pendidikan, secara umum diterima bahwa fungsi di sana bukan didefinisikan:

Pilihan ini menyoroti inti dari batas fungsi: "x" sangat dekat pendekatan , dan nilai fungsi yang sesuai adalah sangat dekat ke . Dengan kata lain, konsep batas tidak menyiratkan "pendekatan yang tepat" untuk poin, yaitu pendekatan yang sangat dekat, tidak masalah apakah fungsi didefinisikan pada titik atau tidak.

Definisi pertama limit suatu fungsi, tidak mengherankan, dirumuskan dengan menggunakan dua barisan. Pertama, konsep-konsep itu saling terkait, dan kedua, batas-batas fungsi biasanya dipelajari setelah batas-batas barisan.

Perhatikan urutannya poin (bukan pada gambar) milik interval dan Selain daripada, yang konvergen ke . Kemudian nilai fungsi yang sesuai juga membentuk urutan numerik, yang anggotanya terletak pada sumbu y.

Batas fungsi heine untuk apa saja urutan titik (milik dan berbeda dari), yang konvergen ke titik , urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke .

Eduard Heine adalah seorang matematikawan Jerman. ... Dan tidak perlu berpikir seperti itu, hanya ada satu gay di Eropa - ini adalah Gay-Lussac =)

Definisi kedua dari batas dibangun ... ya, ya, Anda benar. Tapi pertama-tama, mari kita lihat desainnya. Pertimbangkan -lingkungan titik yang sewenang-wenang (lingkungan "hitam"). Berdasarkan paragraf sebelumnya, notasi berarti bahwa beberapa nilai fungsi terletak di dalam "epsilon"-environment.

Sekarang mari kita cari -neighborhood yang sesuai dengan -neighborhood yang diberikan (secara mental menggambar garis putus-putus hitam dari kiri ke kanan dan kemudian dari atas ke bawah). Perhatikan bahwa nilai yang dipilih sepanjang segmen yang lebih kecil, dalam hal ini, sepanjang segmen kiri yang lebih pendek. Selain itu, "merah" -lingkungan suatu titik bahkan dapat dikurangi, karena dalam definisi berikut fakta keberadaan itu penting lingkungan ini. Dan, sama, entri berarti bahwa beberapa nilai ada di dalam lingkungan "delta".

Batas Cauchy dari suatu fungsi: bilangan tersebut disebut limit fungsi di titik jika untuk apa saja dipilih sebelumnya lingkungan (sewenang-wenang kecil), ada-lingkungan intinya, SEPERTI bahwa: SEBAGAI HANYA nilai (milik) termasuk dalam bidang ini: (panah merah)- SEGERA nilai fungsi yang sesuai dijamin untuk memasuki -neighborhood: (panah biru).

Saya harus memperingatkan Anda bahwa agar lebih dapat dipahami, saya sedikit berimprovisasi, jadi jangan menyalahgunakannya =)

Singkatan: jika

Apa inti dari definisi? Secara kiasan, dengan mengurangi -neighbourhood secara tak terbatas, kami "menemani" nilai-nilai fungsi hingga batasnya, sehingga tidak ada alternatif lain untuk didekati. Sangat tidak biasa, tetapi sekali lagi benar-benar! Untuk mendapatkan ide yang benar, baca ulang kata-katanya lagi.

! Perhatian: jika Anda hanya perlu merumuskan definisi menurut Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupa tentang penting komentar awal: "Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada beberapa interval kecuali mungkin sebuah titik". Saya menyatakan ini sekali di awal dan tidak mengulanginya setiap kali.

Menurut teorema analisis matematika yang sesuai, definisi Heine dan Cauchy adalah setara, tetapi varian kedua adalah yang paling terkenal. (masih mau!), yang juga disebut "batas lidah":

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa

Keputusan: fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan kecuali titik . Menggunakan definisi , kami membuktikan keberadaan limit pada suatu titik tertentu.

Catatan : besarnya lingkungan "delta" tergantung pada "epsilon", maka sebutannya

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan. Tugasnya adalah menggunakan nilai ini untuk memeriksa apakah apakah itu ada?- lingkungan, SEPERTI, yang dari pertidaksamaan mengikuti pertidaksamaan .

Dengan asumsi bahwa , kami mengubah pertidaksamaan terakhir:
(menguraikan trinomial persegi)

Pertimbangkan sebuah fungsi %%f(x)%% yang didefinisikan setidaknya di beberapa lingkungan yang terputus %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% dari titik %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% garis bilangan diperpanjang.

Konsep limit menurut Cauchy

Angka %%A \di \mathbb(R)%% disebut batas fungsi%%f(x)%% pada %%a \in \mathbb(R)%% (atau karena %%x%% cenderung %%a \in \mathbb(R)%%) jika, apa pun positifnya angka %%\varepsilon%% adalah, ada angka positif %%\delta%% sedemikian rupa sehingga untuk semua titik yang tertusuk %%\delta%% lingkungan dari titik %%a%% nilai fungsi milik %%\varepsilon %%-lingkungan titik %%A%%, atau

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Panah kanan f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Definisi ini disebut definisi dalam bahasa %%\varepsilon%% dan %%\delta%%, dikemukakan oleh ahli matematika Prancis Augustin Cauchy dan telah digunakan sejak awal abad ke-19 hingga sekarang, karena memiliki kebutuhan ketelitian dan akurasi matematis.

Menggabungkan lingkungan yang berbeda dari titik %%a%% seperti %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% dengan lingkungan %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, kita mendapatkan 24 definisi batas Cauchy.

pengertian geometris

Arti geometris dari limit suatu fungsi

Mari kita cari tahu apa arti geometris dari limit suatu fungsi di suatu titik. Mari kita plot fungsi %%y = f(x)%% dan tandai titik %%x = a%% dan %%y = A%% di atasnya.

Limit fungsi %%y = f(x)%% pada titik %%x \ke a%% ada dan sama dengan A jika untuk sembarang %%\varepsilon%%-lingkungan dari titik %%A% % seseorang dapat menentukan %%\ delta%%-lingkungan dari titik %%a%% sedemikian sehingga untuk %%x%% dari %%\delta%%-lingkungan ini nilai %%f(x)% % akan berada di %%\varepsilon%%-poin lingkungan %%A%%.

Perhatikan bahwa menurut definisi Cauchy dari limit suatu fungsi, untuk keberadaan limit pada %%x \sampai a%%, tidak peduli berapa nilai yang diambil fungsi pada titik %%a%%. Anda dapat memberikan contoh di mana fungsi tidak didefinisikan ketika %%x = a%% atau mengambil nilai selain %%A%%. Namun, batasnya bisa %%A%%.

Definisi batas Heine

Elemen %%A \in \overline(\mathbb(R))%% disebut limit dari fungsi %%f(x)%% pada %% x \ke a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , jika untuk sembarang urutan %%\(x_n\) \ke a%% dari domain, urutan nilai yang sesuai %%\big\(f(x_n)\big\)%% cenderung ke %%A%%.

Definisi limit menurut Heine nyaman digunakan ketika ada keraguan tentang keberadaan limit suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Jika mungkin untuk membangun setidaknya satu barisan %%\(x_n\)%% dengan limit pada titik %%a%% sedemikian rupa sehingga barisan %%\big\(f(x_n)\big\)%% tidak memiliki limit, maka kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi %%f(x)%% tidak memiliki limit pada titik ini. Jika untuk dua berbagai urutan %%\(x"_n\)%% dan %%\(x""_n\)%% memiliki sama batas %%a%%, urutan %%\big\(f(x"_n)\big\)%% dan %%\big\(f(x""_n)\big\)%% memiliki berbagai limit, maka dalam hal ini limit fungsi %%f(x)%% juga tidak ada.

Contoh

Misal %%f(x) = \sin(1/x)%%. Mari kita periksa apakah limit fungsi ini ada pada titik %%a = 0%%.

Pertama kita pilih barisan $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) yang konvergen ke titik ini. $$

Jelas bahwa %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% dan %%\lim (x_n) = 0%%. Kemudian %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% dan %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Kemudian ambil barisan $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

dimana %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% dan %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%% Begitu pula untuk barisan $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \kanan\), $$

juga konvergen ke titik %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Ketiga urutan memberikan hasil yang berbeda, yang bertentangan dengan kondisi definisi Heine, yaitu. fungsi ini tidak memiliki batas pada titik %%x = 0%%.

Dalil

Pengertian limit menurut Cauchy dan menurut Heine adalah ekuivalen.