Penentu matriks

Menemukan determinan matriks adalah masalah yang sangat umum dalam matematika dan aljabar yang lebih tinggi. Sebagai aturan, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa nilai determinan matriks saat menyelesaikan sistem persamaan yang kompleks. Metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan dibangun di atas perhitungan determinan matriks. Menggunakan definisi determinasi, keberadaan dan keunikan solusi sistem persamaan ditentukan. Oleh karena itu, sulit untuk melebih-lebihkan pentingnya kemampuan menemukan determinan matriks dalam matematika dengan benar dan akurat. Metode untuk memecahkan determinan secara teoritis cukup sederhana, tetapi dengan bertambahnya ukuran matriks, perhitungan menjadi sangat rumit dan membutuhkan banyak perhatian dan banyak waktu. Sangat mudah untuk membuat kesalahan kecil atau salah ketik dalam perhitungan matematis yang begitu rumit, yang akan menyebabkan kesalahan pada jawaban akhir. Oleh karena itu, bahkan jika Anda menemukan penentu matriks mandiri, penting untuk memeriksa hasilnya. Ini memungkinkan kami membuat layanan kami Menemukan penentu matriks secara online. Layanan kami selalu memberikan hasil yang benar-benar akurat yang tidak mengandung kesalahan atau kesalahan ketik. Anda dapat menolak perhitungan independen, karena dari sudut pandang terapan, temuan penentu matriks tidak bersifat mengajar, tetapi hanya membutuhkan banyak waktu dan perhitungan numerik. Karena itu, jika dalam tugas Anda penentuan determinan matriks adalah tambahan, perhitungan samping, gunakan layanan kami dan temukan determinan matriks online!

Semua perhitungan dilakukan secara otomatis dengan akurasi tertinggi dan benar-benar gratis. Kami memiliki antarmuka yang sangat nyaman untuk memasukkan elemen matriks. Tetapi perbedaan utama antara layanan kami dan yang serupa adalah kemungkinan mendapatkan solusi terperinci. Layanan kami di menghitung determinan matriks secara online selalu menggunakan metode yang paling sederhana dan singkat serta menjelaskan secara rinci setiap langkah transformasi dan penyederhanaan. Jadi Anda tidak hanya mendapatkan nilai determinan matriks, hasil akhir, tetapi seluruh solusi terperinci.

Konsep determinan merupakan salah satu konsep utama dalam mata kuliah aljabar linier. Konsep ini melekat pada HANYA MATRIKS KOTAK, dan artikel ini dikhususkan untuk konsep ini. Di sini kita akan berbicara tentang determinan matriks yang elemennya bilangan real (atau kompleks). Dalam hal ini, determinannya adalah bilangan real (atau kompleks). Semua presentasi lebih lanjut akan menjadi jawaban atas pertanyaan bagaimana menghitung determinan, dan properti apa yang dimilikinya.

Pertama, kami memberikan definisi determinan matriks bujur sangkar dengan orde n kali n sebagai jumlah produk permutasi elemen matriks. Berdasarkan definisi ini, kami menulis rumus untuk menghitung determinan matriks orde pertama, kedua, dan ketiga dan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh.

Selanjutnya kita beralih ke sifat-sifat determinan yang akan kita rumuskan dalam bentuk teorema tanpa pembuktian. Di sini, metode untuk menghitung determinan akan diperoleh melalui perluasannya atas elemen baris atau kolom. Metode ini mereduksi perhitungan determinan matriks berorde n kali n menjadi perhitungan determinan matriks berorde 3 kali 3 atau kurang. Pastikan untuk menunjukkan solusi untuk beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, mari kita memikirkan perhitungan determinan dengan metode Gauss. Metode ini baik untuk mencari determinan matriks berorde lebih besar dari 3 kali 3 karena memerlukan usaha komputasi yang lebih sedikit. Kami juga akan menganalisis solusi contoh.

navigasi halaman.

Definisi determinan matriks, perhitungan determinan matriks menurut definisi.

Kami mengingat beberapa konsep tambahan.

Definisi.

Permutasi urutan n disebut himpunan bilangan terurut yang terdiri dari n elemen.

Untuk himpunan yang berisi n elemen, terdapat n! (n faktorial) dari permutasi urutan n. Permutasi berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen.

Misalnya, pertimbangkan satu set yang terdiri dari tiga angka: . Kami menuliskan semua permutasi (totalnya ada enam, sejak ):

Definisi.

Pembalikan dalam permutasi urutan n setiap pasangan indeks p dan q disebut, di mana elemen permutasi p-th lebih besar dari q-th.

Pada contoh sebelumnya, invers dari permutasi 4 , 9 , 7 adalah p=2 , q=3 , karena elemen kedua dari permutasi tersebut adalah 9 dan lebih besar dari elemen ketiga yaitu 7 . Invers dari permutasi 9 , 7 , 4 akan menjadi tiga pasang: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) dan p=2 , q=3 (7>4 ).

Kami akan lebih tertarik pada jumlah inversi dalam permutasi, daripada inversi itu sendiri.

Membiarkan menjadi matriks persegi urutan n oleh n atas bidang bilangan real (atau kompleks). Membiarkan menjadi himpunan semua permutasi dari urutan n dari himpunan . Himpunan berisi n! permutasi. Mari kita nyatakan permutasi ke-k dari himpunan sebagai , dan jumlah inversi dalam permutasi ke-k sebagai .

Definisi.

Penentu matriks Dan ada angka yang sama dengan .

Mari kita gambarkan rumus ini dengan kata-kata. Determinan matriks bujur sangkar berorde n kali n adalah jumlah yang memuat n! ketentuan. Setiap suku merupakan perkalian dari n elemen matriks, dan setiap perkalian mengandung elemen dari setiap baris dan dari setiap kolom matriks A. Koefisien (-1) muncul sebelum suku ke-k jika elemen-elemen matriks A pada perkalian diurutkan berdasarkan nomor baris, dan jumlah inversi pada permutasi ke-k dari himpunan nomor kolom adalah ganjil.

Determinan matriks A biasanya dilambangkan sebagai , dan det(A) juga digunakan. Anda juga dapat mendengar bahwa determinan disebut determinan.

Jadi, .

Hal ini menunjukkan bahwa determinan matriks orde pertama adalah elemen dari matriks tersebut.

Menghitung Determinan Matriks Kuadrat Orde Kedua - Rumus dan Contoh.

sekitar 2 oleh 2 pada umumnya.

Dalam hal ini n=2 , karenanya n!=2!=2 .

.

Kita punya

Dengan demikian, kami memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks orde 2 dengan 2, berbentuk .

Contoh.

memesan.

Larutan.

Dalam contoh kita. Kami menerapkan formula yang dihasilkan :

Perhitungan determinan matriks kuadrat orde ketiga - rumus dan contoh.

Mari kita cari determinan dari matriks persegi sekitar 3 oleh 3 pada umumnya.

Dalam hal ini n=3 , karenanya n!=3!=6 .

Mari susun dalam bentuk tabel data yang diperlukan untuk menerapkan rumus .

Kita punya

Dengan demikian, kami memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks orde 3 kali 3, berbentuk

Demikian pula, seseorang dapat memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 4 kali 4, 5 kali 5 dan lebih tinggi. Mereka akan terlihat sangat besar.

Contoh.

Hitung Determinan Matriks Kuadrat sekitar 3 kali 3.

Larutan.

Dalam contoh kita

Kami menerapkan rumus yang dihasilkan untuk menghitung determinan matriks orde ketiga:

Rumus untuk menghitung determinan matriks kuadrat orde kedua dan ketiga sangat sering digunakan, jadi sebaiknya Anda mengingatnya.

Sifat-sifat determinan matriks, perhitungan determinan matriks menggunakan sifat-sifat.

Berdasarkan definisi di atas, berikut ini yang benar. sifat penentu matriks.

Determinan matriks A sama dengan determinan matriks transposisi A T , yaitu .

Contoh.

Pastikan penentu matriks sama dengan determinan dari matriks yang ditransposisikan.

Larutan.

Mari gunakan rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 3 kali 3:



Kami mentranspos matriks A:


Hitung determinan matriks yang ditransposisikan:



Memang, determinan matriks yang ditransposisi sama dengan determinan matriks asal.

Jika dalam matriks persegi semua elemen dari setidaknya satu baris (salah satu kolom) adalah nol, determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Contoh.

Periksa bahwa determinan matriks urutan 3 kali 3 adalah nol.

Larutan.




Memang, determinan matriks dengan kolom nol adalah nol.

Jika Anda menukar dua baris (kolom) dalam matriks persegi, maka determinan dari matriks yang dihasilkan akan berlawanan dengan yang asli (yaitu, tandanya akan berubah).

Contoh.

Diberikan dua matriks persegi berorde 3 kali 3 Dan . Tunjukkan bahwa determinannya berlawanan.

Larutan.

Matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengganti baris ketiga dengan baris pertama, dan baris pertama dengan baris ketiga. Menurut properti yang dipertimbangkan, penentu matriks tersebut harus berbeda tanda. Mari kita periksa dengan menghitung determinan menggunakan rumus terkenal.



Benar-benar, .

Jika setidaknya dua baris (dua kolom) sama dalam sebuah matriks bujur sangkar, maka determinannya sama dengan nol.

Contoh.

Tunjukkan bahwa determinan matriks sama dengan nol.

Larutan.

Dalam matriks ini, kolom kedua dan ketiga adalah sama, jadi menurut properti yang dipertimbangkan, determinannya harus sama dengan nol. Mari kita periksa.



Faktanya, determinan matriks dengan dua kolom identik adalah nol.

Jika dalam matriks bujur sangkar semua elemen dari setiap baris (kolom) dikalikan dengan beberapa angka k, maka determinan dari matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan dari matriks asli, dikalikan dengan k. Misalnya,



Contoh.

Buktikan bahwa determinan matriks sama dengan tiga kali determinan matriks .

Larutan.

Elemen kolom pertama matriks B diperoleh dari elemen kolom pertama matriks A yang berkorespondensi dengan mengalikannya dengan 3. Kemudian, berdasarkan properti yang dipertimbangkan, kesetaraan harus berlaku. Mari kita periksa dengan menghitung determinan matriks A dan B.



Oleh karena itu, , yang akan dibuktikan.

CATATAN.

Jangan bingung atau bingung konsep matriks dan determinan! Properti yang dipertimbangkan dari determinan matriks dan operasi perkalian matriks dengan bilangan jauh dari hal yang sama.
, Tetapi .

Jika semua elemen dari setiap baris (kolom) matriks bujur sangkar adalah jumlah dari s suku (s adalah bilangan asli lebih besar dari satu), maka determinan matriks tersebut akan sama dengan jumlah determinan s dari matriks yang diperoleh dari yang asli, jika sebagai elemen baris (kolom) sisakan satu term dalam satu waktu. Misalnya,


Contoh.

Buktikan bahwa determinan suatu matriks sama dengan jumlah determinan matriks tersebut .

Larutan.

Dalam contoh kita , oleh karena itu, karena properti yang dipertimbangkan dari determinan matriks, persamaan . Kami memeriksanya dengan menghitung determinan yang sesuai dari matriks berorde 2 dengan 2 menggunakan rumus .


Dari hasil yang diperoleh, dapat diketahui bahwa . Ini melengkapi buktinya.

Jika kita menjumlahkan elemen-elemen dari beberapa baris (kolom) matriks dengan elemen-elemen yang sesuai dari baris (kolom) lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asli.

Contoh.

Pastikan bahwa jika elemen kolom ketiga dari matriks tambahkan elemen yang sesuai dari kolom kedua matriks ini, dikalikan dengan (-2), dan tambahkan elemen yang sesuai dari kolom pertama matriks, dikalikan dengan bilangan real sembarang, maka determinan dari matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan dari matriks asal.

Larutan.

Jika kita mulai dari sifat determinan yang dipertimbangkan, maka determinan matriks yang diperoleh setelah semua transformasi yang ditunjukkan dalam soal akan sama dengan determinan matriks A.

Pertama, kita menghitung determinan matriks asli A:



Sekarang mari kita lakukan transformasi matriks A yang diperlukan.

Tambahkan ke elemen kolom ketiga matriks elemen yang sesuai dari kolom kedua matriks, setelah sebelumnya dikalikan dengan (-2) . Setelah itu, matriks akan terlihat seperti:


Ke elemen kolom ketiga dari matriks yang dihasilkan, kami menambahkan elemen yang sesuai dari kolom pertama, dikalikan dengan:


Hitung determinan matriks yang dihasilkan dan pastikan determinannya sama dengan determinan matriks A, yaitu -24:



Penentu matriks bujur sangkar adalah jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dengan mereka penambahan aljabar.



Berikut adalah pelengkap aljabar dari elemen matriks , .

Properti ini memungkinkan menghitung determinan matriks orde lebih tinggi dari 3 dengan 3 dengan mereduksinya menjadi jumlah dari beberapa determinan matriks orde satu lebih rendah. Dengan kata lain, ini adalah rumus berulang untuk menghitung determinan matriks kuadrat dari sembarang urutan. Kami menyarankan Anda untuk mengingatnya karena penerapannya yang cukup sering.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

urutkan 4 dengan 4, kembangkan

• oleh elemen baris ke-3,
• oleh elemen kolom ke-2.

Larutan.

Kami menggunakan rumus untuk memperluas determinan dengan elemen baris ke-3



Kita punya



Jadi soal mencari determinan matriks orde 4 kali 4 direduksi menjadi perhitungan tiga determinan matriks orde 3 kali 3:



Mengganti nilai yang diperoleh, kami sampai pada hasilnya:


Kami menggunakan rumus untuk memperluas determinan dengan elemen kolom ke-2


dan kami bertindak dengan cara yang sama.

Kami tidak akan menjelaskan secara rinci perhitungan determinan matriks orde ketiga.



Contoh.

Hitung Penentu Matriks sekitar 4 kali 4.

Larutan.

Anda dapat menguraikan determinan matriks menjadi elemen kolom atau baris mana pun, tetapi akan lebih bermanfaat untuk memilih baris atau kolom yang berisi elemen nol dalam jumlah terbesar, karena ini akan membantu menghindari perhitungan yang tidak perlu. Mari kita perluas determinan dengan elemen baris pertama:



Kami menghitung determinan matriks orde 3 kali 3 yang diperoleh sesuai dengan rumus yang kami ketahui:



Kami mengganti hasilnya dan mendapatkan nilai yang diinginkan


Contoh.

Hitung Penentu Matriks sekitar 5 kali 5.

Larutan.

Baris keempat matriks memiliki jumlah elemen nol terbesar di antara semua baris dan kolom, sehingga disarankan untuk memperluas determinan matriks tepat dengan elemen baris keempat, karena dalam hal ini kita memerlukan lebih sedikit perhitungan.



Penentu matriks orde 4 kali 4 yang diperoleh ditemukan pada contoh sebelumnya, jadi kami akan menggunakan hasil yang sudah jadi:



Contoh.

Hitung Penentu Matriks sekitar 7 kali 7 .

Larutan.

Anda tidak boleh langsung terburu-buru menguraikan determinan dengan elemen-elemen dari baris atau kolom mana pun. Jika Anda mencermati matriks, Anda akan melihat bahwa elemen-elemen dari baris keenam matriks dapat diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen yang sesuai dari baris kedua dengan dua. Yaitu, jika kita menambahkan elemen baris kedua yang sesuai dikalikan dengan (-2) ke elemen baris keenam, maka determinan tidak akan berubah karena sifat ketujuh, dan baris keenam dari matriks yang dihasilkan akan terdiri dari nol. Penentu matriks semacam itu sama dengan nol dengan properti kedua.

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa properti yang dipertimbangkan memungkinkan Anda menghitung determinan matriks dari urutan apa pun, tetapi Anda harus melakukan banyak operasi komputasi. Dalam kebanyakan kasus, lebih menguntungkan untuk menemukan determinan matriks berorde lebih tinggi daripada yang ketiga dengan metode Gauss, yang akan kita pertimbangkan di bawah ini.

Jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dari matriks persegi dan pelengkap aljabar dari elemen-elemen yang sesuai dari baris (kolom) lainnya sama dengan nol.


Contoh.

Tunjukkan bahwa jumlah hasil kali unsur-unsur kolom ketiga matriks pada pelengkap aljabar dari elemen yang sesuai dari kolom pertama sama dengan nol.

Larutan.




Determinan hasil kali matriks persegi dengan ordo yang sama sama dengan hasil kali determinannya, yaitu, , di mana m adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, A k , k=1,2,…,m adalah matriks kuadrat dengan ordo yang sama.

Contoh.

Pastikan bahwa determinan produk dari dua matriks dan sama dengan produk determinannya.

Larutan.

Mari kita cari dulu hasil perkalian determinan matriks A dan B:


Sekarang mari kita lakukan perkalian matriks dan hitung determinan dari matriks yang dihasilkan:



Dengan demikian, , yang akan ditampilkan.

Perhitungan determinan matriks dengan metode Gauss.

Mari kita gambarkan inti dari metode ini. Dengan menggunakan transformasi elementer, matriks A direduksi sedemikian rupa sehingga pada kolom pertama semua elemen kecuali untuk menjadi nol (ini selalu mungkin jika determinan matriks A bukan nol). Kami akan menjelaskan prosedur ini nanti, tetapi sekarang kami akan menjelaskan mengapa ini dilakukan. Elemen nol diperoleh untuk mendapatkan perluasan determinan yang paling sederhana atas elemen kolom pertama. Setelah transformasi matriks A, dengan mempertimbangkan properti kedelapan dan , kami memperoleh

Di mana - urutan minor (n-1)-th, diperoleh dari matriks A dengan menghapus elemen baris pertama dan kolom pertamanya.

Dengan matriks yang bersesuaian dengan minor, prosedur yang sama untuk mendapatkan elemen nol di kolom pertama dilakukan. Begitu seterusnya hingga perhitungan akhir determinan.

Sekarang tinggal menjawab pertanyaan: "Bagaimana cara mendapatkan elemen nol di kolom pertama"?

Mari kita gambarkan algoritme tindakan.

Jika , maka elemen-elemen dari baris pertama matriks ditambahkan ke elemen-elemen yang sesuai dari baris ke-k, di mana . (Jika tanpa pengecualian semua elemen kolom pertama dari matriks A adalah nol, maka determinannya adalah nol dengan properti kedua dan tidak diperlukan metode Gaussian). Setelah transformasi seperti itu, elemen "baru" akan berbeda dari nol. Determinan matriks "baru" akan sama dengan determinan matriks asli karena sifat ketujuh.

Sekarang kita memiliki matriks yang memiliki . Kapan ke elemen baris kedua kita menambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga - elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan . Dan seterusnya. Kesimpulannya, untuk elemen baris ke-n, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan . Jadi matriks yang ditransformasikan A akan diperoleh, semua elemen kolom pertama, kecuali , akan menjadi nol. Determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asli karena sifat ketujuh.

Mari kita analisis metode saat memecahkan contoh, jadi lebih jelas.

Contoh.

Hitung determinan matriks orde 5 dengan 5 .

Larutan.

Mari gunakan metode Gauss. Mari kita ubah matriks A sehingga semua elemen kolom pertamanya, kecuali , menjadi nol.

Karena elemen awalnya , maka kita tambahkan ke elemen baris pertama matriks elemen yang sesuai, misalnya baris kedua, karena:

Tanda "~" berarti kesetaraan.

Sekarang kita menambahkan elemen baris kedua elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga - elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , dan lanjutkan dengan cara yang sama hingga baris keenam:

Kita mendapatkan

dengan matriks kami melakukan prosedur yang sama untuk mendapatkan elemen nol di kolom pertama:

Karena itu,

Sekarang kami melakukan transformasi dengan matriks :

Komentar.

Pada beberapa tahap transformasi matriks dengan metode Gauss, suatu situasi dapat muncul ketika semua elemen dari beberapa baris terakhir matriks menjadi nol. Ini akan berbicara tentang persamaan determinan dengan nol.

Meringkaskan.

Determinan matriks bujur sangkar yang elemennya bilangan adalah bilangan. Kami telah mempertimbangkan tiga cara untuk menghitung determinan:

1. melalui penjumlahan hasil kali kombinasi unsur-unsur matriks;
2. melalui perluasan determinan oleh elemen baris atau kolom matriks;
3. metode pengurangan matriks menjadi segitiga atas (dengan metode Gauss).

Rumus diperoleh untuk menghitung determinan matriks orde 2 kali 2 dan 3 kali 3 .

Kami telah menganalisis sifat-sifat determinan matriks. Beberapa dari mereka memungkinkan Anda untuk dengan cepat memahami bahwa determinannya adalah nol.

Saat menghitung determinan matriks dengan orde lebih tinggi dari 3 kali 3, disarankan untuk menggunakan metode Gauss: lakukan transformasi dasar matriks dan bawa ke segitiga atas. Penentu matriks semacam itu sama dengan hasil kali semua elemen pada diagonal utama.

Ingat teorema Laplace:
Teorema Laplace:

Misalkan k baris (atau k kolom) dipilih secara sembarang dalam determinan d dengan urutan n, . Maka jumlah hasil kali semua minor orde ke-k yang terdapat dalam baris terpilih dan pelengkap aljabarnya sama dengan determinan d.

Untuk menghitung determinan dalam kasus umum, k diambil sama dengan 1. Artinya, dalam determinan d urutan n, sebuah baris (atau kolom) dipilih secara sewenang-wenang. Kemudian jumlah produk dari semua elemen yang terkandung dalam baris (atau kolom) yang dipilih dan pelengkap aljabarnya sama dengan determinan d.

Contoh:
Hitung penentu

Larutan:

Mari kita pilih baris atau kolom yang berubah-ubah. Untuk alasan yang akan terlihat nanti, kami akan membatasi pilihan kami pada baris ketiga atau kolom keempat. Dan berhenti di baris ketiga.

Mari gunakan teorema Laplace.

Elemen pertama dari baris yang dipilih adalah 10, yaitu pada baris ketiga dan kolom pertama. Mari kita hitung pelengkap aljabarnya, yaitu temukan determinan yang diperoleh dengan menghapus kolom dan baris di mana elemen ini berdiri (10) dan temukan tandanya.

"ditambah jika jumlah dari semua baris dan kolom di mana M minor berada adalah genap, dan dikurangi jika jumlah ini ganjil."
Dan kami mengambil minor yang terdiri dari satu elemen 10, yang ada di kolom pertama dari baris ketiga.

Jadi:


Suku keempat dari penjumlahan ini adalah 0, oleh karena itu ada baiknya memilih baris atau kolom dengan jumlah elemen nol maksimum.

Menjawab: -1228

Contoh:
Hitung determinannya:

Larutan:
Ayo pilih kolom pertama, karena dua elemen di dalamnya sama dengan 0. Mari kita perluas determinan di kolom pertama.


Kami memperluas setiap determinan orde ketiga dalam bentuk baris pertama dan kedua


Kami memperluas setiap determinan orde kedua di kolom pertama


Menjawab: 48
Komentar: saat memecahkan masalah ini, rumus untuk menghitung determinan orde ke-2 dan ke-3 tidak digunakan. Hanya ekspansi dengan baris atau kolom yang digunakan. Yang mengarah pada penurunan urutan determinan.

Perhitungan determinan N urutan ke-th:

Konsep penentu N urutan ke-th

Dengan menggunakan artikel tentang determinan ini, Anda pasti akan belajar bagaimana memecahkan masalah seperti berikut ini:

Selesaikan persamaan:

dan banyak hal lain yang sangat disukai guru.

Penentu matriks atau hanya determinan memainkan peran penting dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Secara umum, determinan diciptakan untuk tujuan ini. Karena sering dikatakan juga "determinan suatu matriks", kita juga akan menyebutkan matriks di sini. Matriks adalah meja persegi panjang yang terdiri dari angka-angka yang tidak dapat dipertukarkan. Matriks bujur sangkar adalah tabel yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Hanya matriks persegi yang dapat memiliki determinan.

Mudah untuk memahami logika penulisan determinan menurut skema berikut. Mari kita ambil sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui yang Anda kenal dari sekolah:

Dalam determinan, koefisien untuk yang tidak diketahui ditulis secara berurutan: di baris pertama - dari persamaan pertama, di baris kedua - dari persamaan kedua:

Misalnya, jika diberikan sistem persamaan

maka determinan berikut dibentuk dari koefisien yang tidak diketahui:

Jadi, katakanlah kita diberi tabel persegi yang terdiri dari angka-angka yang disusun N baris (baris horizontal) dan dalam N kolom (baris vertikal). Dengan bantuan angka-angka ini, menurut beberapa aturan yang akan kita pelajari di bawah, mereka menemukan nomor yang mereka panggil penentu N urutan ke-th dan dilambangkan sebagai berikut:

(1)

Nomor dipanggil elemen determinan (1) (indeks pertama berarti nomor baris, yang kedua - nomor kolom, di persimpangan yang ada elemen; Saya = 1, 2, ..., N; J= 1, 2, ..., n). Urutan determinan adalah jumlah baris dan kolomnya.

Garis lurus imajiner yang menghubungkan elemen-elemen determinan yang kedua indeksnya sama, mis. elemen

ditelepon diagonal utama, diagonal lainnya adalah samping.

Perhitungan determinan orde kedua dan ketiga

Mari kita tunjukkan bagaimana determinan dari tiga orde pertama dihitung.

Penentu urutan pertama adalah elemen itu sendiri yaitu

Determinan urutan kedua adalah angka yang diperoleh sebagai berikut:

, (2)

Produk dari elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal sekunder.

Persamaan (2) menunjukkan bahwa perkalian unsur-unsur diagonal utama diambil dengan tandanya, dan perkalian unsur-unsur diagonal sekunder diambil dengan tanda yang berlawanan .

Contoh 1 Hitung determinan orde kedua:

Larutan. Dengan rumus (2) kami menemukan:

Penentu urutan ketiga adalah angka yang diperoleh seperti ini:

(3)

Sulit untuk mengingat rumus ini. Namun, ada aturan sederhana yang disebut aturan segitiga , yang membuatnya mudah untuk mereproduksi ekspresi (3). Menandakan elemen-elemen determinan dengan titik-titik, kami menghubungkan dengan segmen garis lurus yang menghasilkan produk dari elemen-elemen determinan (Gbr. 1).

Rumus (3) menunjukkan bahwa produk dari elemen-elemen diagonal utama, serta elemen-elemen yang terletak di simpul dua segitiga, yang alasnya sejajar dengannya, diambil dengan tandanya; dengan yang berlawanan - produk dari elemen diagonal sekunder, serta elemen yang terletak di simpul dua segitiga yang sejajar dengannya .

Pada Gambar 1, diagonal utama dan alas segitiga yang bersesuaian dengannya dan diagonal sekunder serta alas segitiga yang bersesuaian disorot dengan warna merah.

Saat menghitung determinan, sangat penting, seperti di sekolah menengah, untuk diingat bahwa angka minus dikalikan dengan angka minus menghasilkan tanda plus, dan tanda plus dikalikan dengan angka minus menghasilkan angka dengan tanda minus.

Contoh 2 Hitung determinan orde ketiga:

Larutan. Dengan menggunakan aturan segitiga, kita dapatkan

Perhitungan determinan N urutan ke-th

Perluasan baris atau kolom determinan

Untuk menghitung determinan N Untuk itu perlu diketahui dan digunakan teorema berikut.

Teorema Laplace. Penentunya sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris dan pelengkap aljabarnya, mis.

Definisi. Jika dalam determinan N th order pilih sewenang-wenang P baris dan P kolom ( P < N), maka elemen-elemen pada perpotongan baris dan kolom tersebut membentuk sebuah matriks terurut.

Penentu matriks ini disebut minor penentu asli. Misalnya, pertimbangkan determinan:

Mari kita buat matriks dari baris dan kolom dengan bilangan genap:

Penentu

ditelepon minor penentu . Menerima minor dari urutan kedua. Jelas bahwa berbagai anak di bawah umur dari orde pertama, kedua, dan ketiga dapat dibangun.

Jika kita mengambil sebuah elemen dan mencoret baris dan kolom di perpotongannya dengan determinan, maka kita mendapatkan minor, yang disebut minor dari elemen tersebut, yang dilambangkan dengan:

.

Jika minor dikalikan dengan , di mana 3 + 2 adalah jumlah dari baris dan kolom nomor di persimpangan yang elemen berdiri, maka produk yang dihasilkan disebut penambahan aljabar elemen dan dilambangkan dengan ,

Secara umum, minor dari suatu elemen akan dilambangkan dengan , dan komplemen aljabar dengan ,

(4)

Sebagai contoh, mari kita hitung pelengkap aljabar dari unsur-unsur dan determinan urutan ketiga:

Dengan rumus (4) kita dapatkan

Saat menguraikan determinan, properti determinan berikut sering digunakan N urutan ke-th:

jika produk dari elemen yang sesuai dari baris atau kolom lain dengan faktor konstan ditambahkan ke elemen dari baris atau kolom mana pun, maka nilai determinan tidak akan berubah.

Contoh 4

Mari kita kurangi dulu elemen baris keempat dari baris pertama dan ketiga, lalu kita akan memilikinya

Di kolom keempat dari determinan yang diperoleh, tiga elemen adalah nol. Oleh karena itu, lebih menguntungkan untuk memperluas determinan ini dengan elemen kolom keempat, karena tiga produk pertama akan menjadi nol. Itu sebabnya

Anda dapat memeriksa solusinya dengan kalkulator determinan online .

Dan contoh berikut menunjukkan bagaimana perhitungan determinan urutan apa pun (dalam hal ini, urutan keempat) dapat direduksi menjadi perhitungan determinan urutan kedua.

Contoh 5 Hitung determinannya:

Mari kita kurangi elemen baris pertama dari baris ketiga, dan tambahkan elemen baris pertama ke elemen baris keempat, maka kita akan mendapatkan

Di kolom pertama, semua elemen kecuali yang pertama adalah nol. Artinya, determinan sudah bisa didekomposisi di kolom pertama. Tapi kami benar-benar tidak ingin menghitung determinan urutan ketiga. Oleh karena itu, kami akan membuat lebih banyak transformasi: ke elemen baris ketiga kami menambahkan elemen baris kedua, dikalikan dengan 2, dan dari elemen baris keempat kami mengurangi elemen baris kedua. Akibatnya, determinan, yang merupakan pelengkap aljabar, dapat diperluas dengan sendirinya di kolom pertama, dan kita hanya perlu menghitung determinan orde kedua dan tidak bingung dengan tanda-tandanya:

Membawa determinan ke bentuk segitiga

Penentu di mana semua elemen yang terletak di satu sisi salah satu diagonal sama dengan nol disebut segitiga. Kasus diagonal sekunder direduksi menjadi kasus diagonal utama dengan membalik urutan baris atau kolom. Penentu seperti itu sama dengan produk dari elemen diagonal utama.

Untuk mereduksi menjadi bentuk segitiga, properti determinan yang sama digunakan N urutan ke, yang kita gunakan di paragraf sebelumnya: jika kita menambahkan produk dari elemen yang sesuai dari baris atau kolom lain dengan faktor konstan ke elemen dari baris atau kolom mana pun, nilai determinan tidak akan berubah.

Anda dapat memeriksa solusinya dengan kalkulator determinan online .

Sifat penentu N urutan ke-th

Dalam dua paragraf sebelumnya, kita telah menggunakan salah satu sifat determinan N urutan ke-th. Dalam beberapa kasus, untuk menyederhanakan perhitungan determinan, Anda dapat menggunakan properti determinan penting lainnya. Misalnya, seseorang dapat mereduksi suatu determinan menjadi jumlah dari dua determinan, salah satu atau keduanya dapat dengan mudah diperluas sepanjang beberapa baris atau kolom. Ada banyak kasus penyederhanaan seperti itu, dan pertanyaan tentang penggunaan satu atau beberapa properti determinan harus diselesaikan secara individual.

1. Teorema dekomposisi:

Determinan apa pun sama dengan jumlah produk pasangan elemen dari deret apa pun dan pelengkap aljabarnya.

Untuk Saya- baris ke-:

atau untuk J kolom ke-th:

Contoh 7.1. Hitung determinan dengan memperluas elemen baris pertama:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Teorema dekomposisi memungkinkan kita mengganti perhitungan satu determinan N- perhitungan urutan ke-th N penentu ( N- 1) urutan ke-1.

Namun, untuk menyederhanakan perhitungan, disarankan untuk menggunakan metode "perkalian nol" untuk determinan orde tinggi, berdasarkan properti 6 bagian 5. Idenya adalah:

Pertama, "kalikan nol" di beberapa baris, mis. dapatkan seri di mana hanya satu elemen yang tidak sama dengan nol, sisanya adalah nol;

Kemudian perluas determinan pada elemen deret ini.

Oleh karena itu, berdasarkan teorema dekomposisi, determinan asal sama dengan hasil kali unsur tak nol dan pelengkap aljabarnya.

Contoh 7.2. Hitung determinannya:

.

"kalikan nol" di kolom pertama.

Dari baris kedua kita kurangi yang pertama dikalikan 2, dari baris ketiga kita kurangi yang pertama dikalikan 3, dan dari baris keempat kita kurangi yang pertama dikalikan 4. Dengan transformasi seperti itu, nilai determinan tidak akan berubah.

Menurut properti 4 bagian 5, kita dapat menghilangkan tanda determinan dari kolom ke-1, dari kolom ke-2 dan dari kolom ke-3.

Konsekuensi: Determinan dengan deret nol sama dengan nol.

2. Teorema substitusi:

Jumlah produk berpasangan dari bilangan apa pun dan pelengkap aljabar dari deret determinan tertentu sama dengan determinan yang diperoleh dari deret ini jika elemen deret ini diganti dengan bilangan yang diambil.

Untuk baris -th:

1. Teorema pembatalan:

Jumlah produk berpasangan dari elemen-elemen dari setiap deret dan pelengkap aljabar dari deret paralel sama dengan nol.

Memang, dengan teorema substitusi, kami memperoleh determinan yang untuknya k baris -th berisi elemen yang sama seperti di Saya baris -th

Tetapi menurut properti 3 dari Bagian 5, determinan seperti itu sama dengan nol.

Dengan demikian, teorema dekomposisi dan konsekuensinya dapat ditulis sebagai berikut:

8. Informasi umum tentang matriks. Definisi dasar.

Definisi 8.1 . Matriks disebut tabel persegi panjang berikut:

Penunjukan matriks berikut juga digunakan: , atau atau .

Baris dan kolom suatu matriks diberi nama baris.

Nilainya disebut ukuran matriks.

Jika kita menukar baris dan kolom dalam matriks, kita mendapatkan matriks yang disebut dialihkan. Matriks dialihkan dengan , biasanya dilambangkan dengan simbol .

Misalnya:

Definisi 8.2. Dua matriks A Dan B ditelepon setara, Jika

1) kedua matriks memiliki ukuran yang sama, yaitu Dan ;

2) semua elemen yang bersesuaian adalah sama, mis.

Kemudian . (8.2)

Di sini satu persamaan matriks (8.2) setara dengan persamaan skalar (8.1).

9. Varietas matriks.

1) Sebuah matriks, yang semua elemennya sama dengan nol, disebut matriks nol:

2) Jika matriks hanya terdiri dari satu baris, maka itu disebut matriks baris, Misalnya . Demikian pula, matriks yang hanya memiliki satu kolom disebut matriks kolom, Misalnya .

Transposisi mengubah matriks kolom menjadi matriks baris dan sebaliknya.

3) Jika M=N, maka matriksnya disebut matriks kuadrat orde ke-n.

Diagonal suku-suku suatu matriks bujur sangkar, dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah, disebut utama. Diagonal lain dari anggotanya, dari pojok kiri bawah ke pojok kanan atas, disebut samping.

Untuk matriks bujur sangkar, determinannya dapat dihitung det(A).